ભૂમિતિ (Geometry)

ગણિતની એક શાખા, જેમાં ભૌમિતિક આકૃતિઓનાં આકાર, કદ અને સ્થિતિનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે. વળી આકાર, ખૂણા અને અંતર એકબીજા સાથે કેવી રીતે સંકળાયેલાં છે તેનો અભ્યાસ પણ કરવામાં આવે છે.

geo એટલે ભૂ–પૃથ્વી અને metron એટલે માપન. આ બે શબ્દો પરથી આ શબ્દ બન્યો છે. geometryનો અર્થ પૃથ્વીનું માપન એવો થાય છે. સમતલ (plane) પરની ભૌમિતિક આકૃતિઓમાં ત્રિકોણ, લંબચોરસ, વર્તુળ વગેરે તથા ઘન (solid) ભૌમિતિક આકારોમાં સમઘન (cube), લંબઘન (parallelopiped) અને ગોલક (sphere) વગેરેનો સમાવેશ થાય છે.

ભૂમિતિ પરના આ વ્યાપ્તિલેખને નીચેના મહત્વના વિષય-વિભાગોમાં અહીં રજૂ કરવાનો ઉપક્રમ છે :

(1) ભૂમિતિનો ઇતિહાસ અને યુક્લિડીય ભૂમિતિ, (2) અયુક્લિડીય(non-Euclidean) ભૂમિતિ, (3) પ્રક્ષેપી (projective) ભૂમિતિ, (4) રીમાન્નીય ભૂમિતિ, (5) વૈશ્લેષિક (analytical) ભૂમિતિ, (6) સાંત (finite) ભૂમિતિ, (7) બીજગણિતીય (algebraic) ભૂમિતિ, (8) વિકલ (differential) ભૂમિતિ, (9) ફ્રૅક્ટલ (fractal) ભૂમિતિ, (10) સંસ્થિતિવિદ્યા (topology).

ભૂમિતિનો ઇતિહાસ

ભૂમિતિને ગણિતની સ્વતંત્ર શાખા તરીકે ગ્રીક ભૂમિતિના નામે ઓળખવામાં આવે છે, લગભગ પાંચ હજાર વર્ષ પહેલાં ઇજિપ્ત અને બૅબિલોનવાસીઓને ભૂમિતિના સિદ્ધાંતોની જાણ હતી. નાઇલ નદીમાં પૂર આવી ગયા પછી જમીનના સીમાડા ફરીથી નક્કી કરવા માટે ઇજિપ્તવાસીઓએ ભૂમિતિ વિકસાવી હતી. બૅબિલોનવાસીઓએ બાંધકામ અને જમીનની મોજણી (survey) કરવા ભૂમિતિ પ્રયોજી હતી, પરંતુ પૂર્વના દેશોમાં ખાસ કરીને ભારતમાં વૈદિક સમયમાં (ઈ. પૂ. 1500થી 700) ભૂમિતિનો અભ્યાસ શરૂ થયો હતો. ભૂમિતિના સિદ્ધાંતો ‘શુલ્બસૂત્ર’માં જોવા મળે છે. વૈદિક સાહિત્ય-સંહિતાઓ, કલ્પસૂત્રો અને વેદાંગોમાં ગણિતની સામગ્રી વેરવિખેર મળે છે. વેદાંગોનાં કલ્પસૂત્રમાં ધાર્મિક-કર્મકાંડ અને જ્યોતિષમાં ખગોળશાસ્ત્ર આવરેલું છે. આ બંને ગ્રંથોમાં ગણિત અંગેનું વિપુલ સાહિત્ય મળે છે. વૈદિક ગણિતશાસ્ત્રના મહત્વના સ્રોત કલ્પસૂત્રો છે. શ્રૌતસૂત્ર તેના ભાગરૂપ છે. તેના ભાગરૂપે ‘શુલ્બસૂત્રો’ છે. ‘શુલ્બ’ એટલે દોરડું કે દોરી, જેની મદદથી માપનનું કાર્ય થઈ શકે છે. માપ્યા પછી ભૌમિતિક આકૃતિ કે ઘનાકારો બનાવવાનું કામ સરળ બને છે. આમ ‘શુલ્બસૂત્રો’માં દ્વિપરિમાણી આકૃતિઓ અને ત્રિ-પરિમાણી ઘનાકારો રચવાની અને ક્ષેત્રમાપન અંગેની માહિતી, સૂત્રો અને નિયમો આવેલાં છે.

કૃષ્ણ યજુર્વેદીઓએ તૈત્તિરીય શાખામાં વિવિધ શુલ્બો રચ્યાં છે. યજુર્વેદીઓ યજ્ઞ-કુંડો, વેદીઓ વગેરેનાં આકાર, રચના વગેરેની ભૂમિતિના જ્ઞાતા હતા. તૈત્તિરીય શાખાનું ‘બૌધાયન શુલ્બ’ મોટા કદનો ગ્રંથ છે. તેનાં ત્રણ પ્રકરણમાં અનુક્રમે 116, 85 અને 323 મળી કુલ 525 સૂત્રો છે. તેમાં યજ્ઞવેદીઓની રચના અંગેની ભૌમિતિક રીતો આપેલી છે. ભૌમિતિક આકૃતિઓ અંગેનાં સૂત્રો અને નિયમો પણ છે. વિવિધ અગ્નિકુંડોના સ્થાન અંગેનું વર્ણન તેમજ કામ્યફળ મેળવવા માટે યોજવામાં આવતા યજ્ઞો અને યજ્ઞકુંડોની માહિતી પણ છે. ‘માનવશુલ્બસૂત્ર’માં માપપટ્ટીની રચના અંગે, શંકુ અંગેની ભૂમિતિ તેમજ દિશાઓ નક્કી કરવાની રીતોનું વર્ણન મળે છે. ‘કાત્યાયન શુલ્બસૂત્ર’ સાત પ્રકરણ અને 107 સૂત્રોવાળો નાનો ગ્રંથ છે. તેમાં માપપટ્ટીની રચના અંગે, શંકુની રચના અને ભૌમિતિક સૂત્રો અંગે વિગતો છે. ‘બૌધાયન શુલ્બસૂત્ર’માં લંબચોરસના વિકર્ણના વર્ગ અંગેનું સૂત્ર અહીં આપેલું છે.

दीर्घचतुरस्त्रस्यक्ष्णया रज्जुः पार्श्वमानी तीर्यग्मानी च ।

यत्पृथगभूते      कुरुतस्तदुभयम्       करोति   ।।

કોઈ ચોરસ કે લંબચોરસના વિકર્ણ પર ખેંચાયેલ ક્ષેત્રફળ તેની બે ભુજાઓ પર ખેંચાયેલ ક્ષેત્રફળની બરાબર હોય છે. આ પાયથાગોરસના પ્રમેયનું પદ્યસ્વરૂપ છે. આમ વિવિધ ‘શુલ્બસૂત્રો’માં સુરેખાનું અનેક સરખા ભાગોમાં વિભાજન કરવા અંગેની તથા વર્તુળના વ્યાસ દોરી તેનું ગમે તેટલા ભાગોમાં વિભાજન કરવા અંગેની રીતો છે. દરેક વિકર્ણ લંબચોરસને તેમજ પરસ્પરને દુભાગે છે, સમાંતર રેખાઓ વચ્ચે એક જ પાયા પર સ્થિત સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ સરખા હોય છે વગેરે ભૌમિતિક ગુણધર્મો તેમાં છે. એક સુરેખાને અભિલંબ બીજી સુરેખા દોરવી, આપેલ બાજુનો ચોરસ રચવો, આપેલ પાયો અને ઊંચાઈવાળો સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ રચવો વગેરે રચનાઓ પણ તેમાં છે. મહાવીરાચાર્ય, આર્યભટ્ટ અને ભાસ્કરાચાર્યના કૃતિત્વમાં પણ ભૂમિતિ જોવા મળે છે. આર્યભટ્ટે વર્તુળના પરિઘ અને વ્યાસ વચ્ચેનો સંબંધ,  મેળવેલો, જે દશાંશના ચાર સ્થાન સુધી શુદ્ધ છે.

ભૂમિતિનો તર્કબદ્ધ અભ્યાસ શરૂ કરવાનું શ્રેય ગ્રીક ગણિતી થેલ્સ(ઈ. પૂ. 640થી 546)ને આપવામાં આવે છે. ઇજિપ્તના નિવાસ દરમિયાન તેમણે ગણિત અને ભૌતિકશાસ્ત્રનો અભ્યાસ કરેલો. થેલ્સ અને તેમના શિષ્યોએ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણના ખૂણાઓ અંગે, વ્યાસથી થતા વર્તુળના બે ભાગ અંગે અને બે ત્રિકોણની એકરૂપતા અંગે પણ અભ્યાસ કર્યો હતો. ગ્રીક ગણિતી પાયથાગોરાસે (ઈ.પૂ.575થી 495) દક્ષિણ ઇટાલીમાં તત્વજ્ઞાન અને ગણિતના અભ્યાસીઓનો વૈચારિક સંપ્રદાય (school of thought) શરૂ કર્યો. કાટખૂણ ત્રિકોણના કર્ણ અને બાકીની બે બાજુઓ સંબંધી પ્રમેય સાથે પાયથાગોરાસનું નામ જોડવામાં આવે છે. (પરંતુ આ ગુણધર્મ ઘણા પ્રાચીન કાળથી બૅબિલોન, ઇજિપ્ત, ચીન અને ભારતમાં જ્ઞાત હતો.) ત્રિકોણના ત્રણ ખૂણાનો સરવાળો બે કાટખૂણા જેટલો થાય છે અને બે પૂર્ણાંક સંખ્યાઓના ગુણોત્તર સ્વરૂપે જે સંખ્યાને ન મૂકી શકાય તે અસંમેય સંખ્યા (irrational number) છે (દા.ત., ) – એ પણ પાયથાગોરાસ વિચારસરણીના ગણિતીઓએ બતાવેલું, પરંતુ આ ગણિતીઓએ વર્તુળના અભ્યાસ અંગે પૂરતું લક્ષ આપ્યું ન હતું. પાછળથી પાંચમી સદીમાં ઍથેન્સના ગણિતીઓએ ઘણીબધી ભૌમિતિક રચનાઓનો અભ્યાસ કર્યો, પરંતુ તેઓ ત્રણ વિશિષ્ટ ભૌમિતિક રચનાઓ કરી શક્યા નહિ. આ ત્રણ રચનાઓ તે : (1) આપેલા ક્ષેત્રફળવાળા વર્તુળના જેટલા ક્ષેત્રફળવાળો ચોરસ (square) રચવો; (2) ખૂણાના ત્રણ સરખા ભાગ પાડવા (trisect); (3) આપેલા ઘન(cube)થી બમણું ઘનફળ (volume) ધરાવતા ઘનની રચના કરવી. આ રચનાઓ માત્ર માપપટ્ટી અને પરિકરની મદદથી જ કરવી એવી પૂર્વશરત રાખવામાં આવી હતી. આ શરતને આધીન રહીને પ્રયત્ન કરતાં આ ત્રણ રચનાઓ અશક્ય હોવાનું ઓગણીસમી સદીમાં સિદ્ધ થયું છે. પ્લેટો અને તેના શિષ્યોયે બિંદુ, રેખા, પૃષ્ઠ વગેરેની ભૌમિતિક વ્યાખ્યાઓ અને પૂર્વધારણાઓનું સ્પષ્ટીકરણ કરેલું છે. ત્યારબાદ યુક્લિડે (ઈ. પૂ. 345–275) તેની ભૂમિતિમાં આ વ્યાખ્યાઓ અને પૂર્વધારણાઓનો ઉપયોગ કરેલો જણાય છે. યુક્લિડે લખેલો ગ્રંથ ‘એલિમેન્ટ્સ’ (elements) મહત્વનો છે. તેમાં તે સમયે પ્રવર્તતા ગણિતના સિદ્ધાંતોની તર્કબદ્ધ ગોઠવણી જોવા મળે છે. યુક્લિડનું આ મહત્વનું પ્રદાન છે. આર્કિમિડીઝે (ઈ. પૂ. 287થી 212 આશરે) ભૂમિતિમાં પરવલયના ક્ષેત્રફળમાપન અને ગોલકના ઘનફળમાપન અંગેનો સિદ્ધાંત, વર્તુળના ક્ષેત્રફળની શોધ, વર્તુળના વ્યાસ અને પરિઘના ગુણોત્તર અંગેની અસમતા (inequality) જેવાં સંશોધનો કરેલાં છે. ઈ. પૂ. 261થી 200માં ઍપોલોનિયસને ‘શાંકવ’ (Conics) નામનો ગ્રંથ લખવા માટે બહુમાન મળ્યું. યુક્લિડ, આર્કિમિડીઝ અને ઍપોલોનિયસના સમયે ભૂમિતિએ પ્રગતિનાં ઉચ્ચ શિખરો સર કર્યાં. ઈ. પૂ. 300ના અરસામાં ગ્રીક ફિલસૂફ પ્લેટો અને તેમની અકાદમીના શિષ્યોનો સૈદ્ધાંતિક ભૂમિતિના અભ્યાસમાં મોટો ફાળો છે. આ સમય દરમિયાન ગ્રીક ફિલસૂફ ઍરિસ્ટૉટલે અભિગૃહીત (axiomatic) પદ્ધતિ અને નિગમનાત્મક (deductive) તર્કનો વ્યાપક ઉપયોગ કર્યો. પ્રાચીન ગ્રીકોની ગણનાપાત્ર સિદ્ધિઓમાંની એક નિગમનાત્મક પદ્ધતિ(deductive method) છે. તેની માંડણી અનુભવ-આધારિત સ્વયંસિદ્ધ સત્યો કે અભિગૃહીતો (axioms) ઉપર થયેલી છે. તેના આધારે ભૌમિતિક પરિણામો, ગુણધર્મો અને ભૌમિતિક પ્રમેયો વિકસ્યાં. નિગમનાત્મક પદ્ધતિના પ્રાથમિક અંશો યુક્લિડના ‘મૂળતત્વો’(elements)માં રજૂ કરેલા છે. યુક્લિડની ભૂમિતિમાં આકૃતિને આધારે તર્ક કરવામાં આવતો હતો કે આકૃતિની કલ્પના કરી તેના આધારે ભૌમિતિક સંબંધોની ધારણા કરી પરિણામો તારવવામાં આવતાં હતાં. વળી પ્રમેય સાબિત કરવામાં આકૃતિ એક અગત્યનું અંગ બનતી હતી; પરંતુ આકૃતિઓનો ક્યારે અને કેટલે અંશે ઉપયોગ કરવો તે અંગે કોઈ સ્પષ્ટતા તે જમાનામાં ન હતી.

ઈ. સ.ની પાંચમી સદીથી પંદરમી સદી સુધીના ગાળામાં ભૂમિતિની વિકાસગાથા જોઈએ તો તે સમયગાળામાં ભારતમાં આર્યભટ્ટ (ઈ. સ. 476ના અરસામાં) અને બ્રહ્મગુપ્ત (ઈ. સ. 598ના અરસામાં) આ બે પ્રસિદ્ધ ગણિતશાસ્ત્રીઓ થઈ ગયા. આર્યભટ્ટે તેમના પુસ્તક ‘આર્યભટ્ટીયમ્’માં વર્તુળના પરિઘ અને વ્યાસનો ગુણોત્તર 3.1416 છે – એમ દર્શાવ્યું હતું. ત્રિકોણનું અને વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ તેમજ વર્તુળની ત્રિજ્યા શોધવાનાં સૂત્રો પણ મેળવ્યાં હતાં. વળી ચક્રીય ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ પણ શોધ્યું હતું.

યુરોપમાં જૉન કેપ્લરે અત્યંત અલ્પ અને અત્યંત મોટી સંખ્યાઓ અંગેના ખ્યાલો રજૂ કર્યા હતા. વર્તુળ અનંત (infinite) બાજુઓવાળો બહુકોણ (polygon) છે – એવી સંકલ્પના તેમણે રજૂ કરી. દ્વિ-પરિમાણી (two-dimensional) પૃષ્ઠ (surface) ઉપર ત્રિપરિમાણી પદાર્થની આકૃતિનું નિદર્શન કર્યું. તેમાંથી ભૂગોળમાં નકશા દોરવાની રીત શરૂ થઈ, તેમજ પ્રક્ષેપી ભૂમિતિ (projective-geometry) પણ મળી. ગણિતી જિરાર્ડ-દ’-સર્ગે ત્રિકોણ સંબંધી પ્રમેયો પ્રક્ષેપી ભૂમિતિમાં સિદ્ધ કર્યાં. ભૂમિતિની સ્વતંત્ર શાખા તરીકે તેનો વિકાસ ઓગણીસમી સદીમાં થયો. પ્રક્ષેપ લીધા પછી ભૌમિતિક આકૃતિના અચળ રહેતા ગુણધર્મોનો અભ્યાસ પ્રક્ષેપી ભૂમિતિમાં કરવામાં આવે છે.

સત્તરમી સદીમાં ફ્રેંચ ગણિતશાસ્ત્રી દ’ કાર્ત (1596–1650) અને પીરી-દ’-ફર્મા (1601–1665) – બંનેએ સ્વતંત્રપણે વૈશ્લેષિક ભૂમિતિ (analytical geometry) રચી. ભૂમિતિના વિકાસની આ ખૂબ મહત્વની ઘટના છે. 1637માં દ’ કાર્તે તેમનાં સંશોધન તેમના ગ્રંથ ‘લા-જ્યૉમેત્રી’માં પ્રસિદ્ધ કર્યાં, જોકે ફર્માનાં સંશોધન તેમના મૃત્યુ બાદ 1679માં પ્રસિદ્ધ થયાં. આ ભૂમિતિમાં બિંદુનું સ્થાન સહનિર્દેશાંક કે યામો(co-ordinates)થી દર્શાવવામાં આવે છે. વક્ર કે પૃષ્ઠને મુખ્યત્વે બૈજિક સમીકરણ(Linear equations)થી દર્શાવવામાં આવે છે. સમતલમાં રેખાઓને એકઘાતી સમીકરણથી અને વર્તુળ તેમજ શાંકવોને દ્વિઘાતી સમીકરણ(quadratic equations)થી દર્શાવી અભ્યાસ કરવામાં આવે છે. તેના પરથી આગળ જતાં ત્રણ, ચાર વગેરે ઘાતવાળાં ભૌમિતિક પરિરૂપો(models)નો અભ્યાસ કરવાનું સરળ બન્યું અને  ભૂમિતિના અનેક જૂના અને નવા વણઊકલ્યા પ્રશ્નોના જવાબ મળ્યા. આપણે આગળ જોઈ ગયા તેમ માત્ર માપપટ્ટી અને પરિકરથી ત્રણ ખ્યાતનામ ભૌમિતિક રચનાઓ કરવી શક્ય નથી તે પણ બીજગણિતની એક સિદ્ધિ રૂપે પુરવાર થયું. સહનિર્દેશાંક પદ્ધતિના ઉપયોગથી P-પરિમાણી અવકાશની સંકલ્પના વાપરવાનું શક્ય બન્યું. સત્તરમા શતકમાં કલનશાસ્ત્રનો વિકાસ થયો તેની સાથે તેનો ભૂમિતિ સાથે વિનિયોગ કરી વિકલ ભૂમિતિ (differential geometry) વિકસાવવામાં આવી. લિયૉનાર્દ ઓયલર (1707–1783), કાર્લ ફ્રેડરિક ગૉસ (1777–1855) વગેરેએ ભૂમિતિની આ શાખાને પોતાના સંશોધન-પ્રદાનથી સમૃદ્ધ કરી. 1827માં ગૉસે વક્રતા(curvature)માં ગૉસિયન વક્રતાનું સૂત્ર આંશિક વિકલોના સ્વરૂપમાં આપ્યું. વક્ર પરનાં પાસપાસેનાં બે બિંદુઓ વચ્ચેના અંતરના વર્ગને દ્વિપરિમાણી અવકાશમાં કાર્તેઝીય પદ્ધતિમાં ds² = dx² + dy² અને ત્રિપરિમાણી અવકાશમાં ds² = dx² + dy² + dz² સૂત્રથી દર્શાવવામાં આવે છે. પાછળથી કોઈ પણ પરિમાણવાળા અવકાશ માટે અંતર અંગેનું વ્યાપક સૂત્ર રીમાન્ને આપ્યું. શુદ્ધ ભૂમિતિના પુરસ્કર્તાઓને ભૂમિતિનો બૈજિક સ્વરૂપમાં વિકાસ રુચતો ન હતો. તેમના મત મુજબ બીજગણિતનો ભૂમિતિમાં ઉપયોગ કરવાથી ભૂમતિનું ઓજસ ઓછું થાય છે. પાછળથી ઓગણીસમી સદીમાં ગેસ્પાર્ડ મોન્ગે કાર્નો અને પાંસ્લેએ ભૂમિતિનું મહત્ત્વ ફરીથી પ્રસ્થાપિત કર્યું તેમજ વર્ણનાત્મક (descriptive) ભૂમિતિની રચના કરી. ત્યારબાદ અયુક્લિડીય ભૂમિતિનો જન્મ થયો.

ઍલેક્ઝાન્ડ્રિયાની શાળામાં શિક્ષણકાર્ય કરતા યુક્લિડે (ઈ. પૂ. ત્રીજા સૈકામાં તે સમયે ઉપલબ્ધ ભૂમિતિના સાહિત્યને વ્યવસ્થિત ગોઠવી તેના આધારે ‘ભૂમિતિનાં મૂળતત્વો’ નામનો ગ્રંથ રચ્યો. ભૂમિતિનાં પ્રમેયો ચકાસતાં યુક્લિડને જણાયું કે બધાં પ્રમેય અમુક પૂર્વધારણાઓમાંથી ફલિત થાય છે. યુક્લિડે આવી થોડી પૂર્વધારણાઓ સ્વીકારી. તેમાંની પાંચમી પૂર્વધારણાને ‘સમાંતરની પૂર્વધારણા’ કહેવામાં આવે છે : ‘કોઈ એક સુરેખા આપેલી હોય અને તેની બહાર એક બિંદુ આપ્યું હોય તો તે બિંદુમાંથી તે સુરેખાને સમાંતર એક જ રેખા દોરી શકાય, આ પરિણામ પ્રમેય જેવું લાગે છે એટલે તેને બાકીની પૂર્વધારણાઓ પરથી સાબિત કરી શકાશે તેવું  યુક્લિડને પહેલાં લાગતું હતું; પરંતુ તેની સાબિતી તેઓ શોધી ન શક્યા, તેથી આખરે તેમણે આ પરિણામને પૂર્વધારણા તરીકે સ્વીકાર્યું હતું.

ઘણા ગણિતશાસ્ત્રીઓએ સમાંતરની પૂર્વધારણા સાબિત કરવા પ્રયત્ન કર્યા, પરંતુ અસફળ રહ્યા. આથી જર્મન ગણિતી ફ્રેડરિક ગૉસ, ફ્રેંચ ગણિતી જૉન બોલ્યાઈ અને રશિયન ગણિતી લૉબેશિવ્સ્કી – આ ત્રણ ગણિતશાસ્ત્રીઓએ એકબીજાથી સ્વતંત્ર રીતે આ પૂર્વધારણાને બદલીને તેને સ્થાને કોઈ નવી પૂર્વધારણા મૂકી જોવાના પ્રયત્ન કર્યા. પ્રખ્યાત ગણિતી ગૉસે નવી ભૂમિતિની રચના કરી, તેમાં પાંચ પૂર્વધારણાઓ લીધી, જેમાંની ચાર યુક્લિડની ભૂમિતિમાંથી સ્વીકારી, પરંતુ પાંચમી પૂર્વધારણા યુક્લિડની સમાંતરની પૂર્વધારણા કરતાં તદ્દન જુદી હતી, જે આ પ્રમાણે છે : ‘એક સુરેખા આપેલી હોય તેની બહાર એક બિંદુ આપ્યું હોય તો તે બિંદુમાંથી પસાર થતી અને આપેલી રેખાને સમાંતર હોય એવી ઓછામાં ઓછી બે સુરેખા દોરી જ શકાય.’ આના ઉપર તર્કબદ્ધ ભૂમિતિની રચના ગૉસે કરી; પરંતુ તે પ્રસિદ્ધ કરી નહિ. રશિયન ગણિતશાસ્ત્રી લૉબેશિવ્સ્કીએ ઈ. સ. 1830માં આ જ પૂર્વધારણા ઉપર આધારિત અયુક્લિડીય ભૂમિતિની રચના કરી. ઈ. સ. 1833માં જૉન બોલ્યાઈ નામના હંગેરિયન ગણિતશાસ્ત્રીએ પણ આવી જ ભૂમિતિની શોધ કરી. આમ ગૉસ, લૉબેશિવ્સ્કી અને બોલ્યાઈ – આ ત્રણેય ગણિતશાસ્ત્રીઓએ એકબીજાથી સ્વતંત્ર રીતે નવી ભૂમિતિનું સર્જન કર્યું. આ ભૂમિતિની પૂર્વધારણા યુક્લિડની પાંચમી પૂર્વધારણાથી જુદી પડે છે; એટલે તે ભૂમિતિને અયુક્લિડીય ભૂમિતિ કહેવામાં આવે છે. આ ભૂમિતિને અતિવલયી (hyperbolic) ભૂમિતિ પણ કહેવામાં આવે છે. યુક્લિડીય ભૂમિતિમાં ત્રિકોણના ત્રણ ખૂણાનો સરવાળો હંમેશાં  બે કાટખૂણા જેટલો થાય છે. લૉબેશિવ્સ્કીય ભૂમિતિમાં ત્રિકોણના ત્રણ ખૂણાનો સરવાળો બે કાટખૂણા કરતાં ઓછો થાય છે; એટલું જ નહીં, પણ આ ત્રણ ખૂણાનો સરવાળો ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ ઉપર આધાર રાખે છે.

જેમ ક્ષેત્રફળ વધે છે તેમ સરવાળો બે કાટખૂણાની નજીક આવતો જાય છે. આથી આ ભૂમિતિનાં પ્રમેય યુક્લિડીય ભૂમિતિના પ્રમેયથી જુદાં પડે છે. આ ભૂમિતિના એક પરિરૂપ(model)માં સમતલને વર્તુળના અંતર્ભાગમાં આવેલાં બિંદુઓના ગણ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવ્યું છે, સુરેખાને વર્તુળની જીવા તરીકે અને સમાંતર રેખાઓને એકબીજીને કદી ન છેદતી રેખાઓ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી છે.

ઈ. સ. 1850માં અયુક્લિડીય ભૂમિતિનું બીજું એક સ્વરૂપ જર્મન ગણિતી રીમાન્ને આપ્યું; તેને રીમાન્નીય ભૂમિતિ (Riemannian geometry) કહેવામાં આવે છે. આ ભૂમિતિમાં સમાંતરની પૂર્વધારણાને બદલીને, ‘એક સુરેખા આપી હોય અને તેની બહાર એક બિંદુ આપ્યું હોય તો તે બિંદુમાંથી પસાર થતી અને આપેલી સુરેખાને સમાંતર થાય એવી એક પણ સુરેખા દોરી શકાય નહિ’ – એવી પૂર્વધારણા (postulate) રીમાન્ને આપી. આના ઉપર તર્કબદ્ધ ભૂમિતિની રચના રીમાન્ને કરી, જે ઉપવલયી ભૂમિતિ (elliptic geometry) કે રીમાન્નીય ભૂમિતિ તરીકે જાણીતી છે. રીમાન્નીય ભૂમિતિમાં ગોલીય (spherical) ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો બે કાટખૂણા કરતાં વધારે હોય છે. આ ભૂમિતિમાં દીર્ઘવૃત્તો (greater circles) એ ગોલકની સુરેખાઓ છે, તેથી આ સુરેખાઓ અનન્ત (infinite) નથી, પણ નિ:સીમ (unbounded) છે. બે દીર્ઘવૃત્તો એક, બીજાને સમાંતર નથી, પરંતુ એકબીજાને બે બિંદુએ છેદે છે. (આકૃતિ 3) ગોલીય સપાટી પરની ભૂમિતિ રીમાન્નીય ભૂમિતિ છે. પૃથ્વી ગોલક (sphere) આકારની છે, તેથી પૃથ્વી પરનાં માપ અને આકૃતિઓ રીમાન્નીય ભૂમિતિને અનુસરે છે.

યુક્લિડીય ભૂમિતિ એ બિંદુઓ, રેખાઓ અને ખૂણાઓની ભૂમિતિ છે. રેખાઓ એકબીજી સાથે સમાન કે અસમાન હોઈ શકે, સમાંતર કે અસમાંતર હોઈ શકે, ખૂણાઓ પણ એકબીજા સાથે સમાન કે અસમાન હોઈ શકે છે. પ્રક્ષેપી ભૂમિતિ (projective geometry) ખાસ પ્રકારની ભૂમિતિ છે. તે વસ્તુના ફોટોગ્રાફ, ચિત્ર કે પડછાયાની ભૂમિતિ છે. પદાર્થનો ફોટો કે પડછાયો એ મૂળ પદાર્થનો પ્રક્ષેપ (projection) છે. પ્રક્ષેપિત આકૃતિ કે ચિત્રમાં સમાંતર બાજુઓ સમાંતર રહેતી નથી, કાટખૂણા કાટખૂણા રહેતા નથી, રેખાઓ નાનીમોટી દેખાય છે. આથી અહીં યુક્લિડીય ભૂમિતિના ‘સમાનતા, નાના-મોટાપણું, સમાંતર હોવું, –ની વચ્ચે હોવું જેવા માપન અંગેના (metric) ખ્યાલો કાઢી નાંખવામાં આવે છે. તેમાં બિંદુઓ બિંદુઓ અને રેખાઓ રેખાઓ જ રહે છે. આમ મૂળ પદાર્થ અને તેનાં ચિત્ર, ફોટોગ્રાફ કે પ્રક્ષેપનાં લક્ષણો અફર (unchanged) રહે તેવા સંબંધોને વ્યક્ત કરતી ભૂમિતિ તે પ્રક્ષેપી ભૂમિતિ છે. આ ભૂમિતિમાં વર્તુળનો પ્રક્ષેપ પરવલય (parabola), ઉપવલય (ellipse) કે અતિવલય (hyperbola) હોઈ શકે છે; પરંતુ શંકુચ્છેદ (conic section) આકૃતિના પ્રક્ષેપો શંકુચ્છેદ જ હોય છે.

ઓગણીસમી સદીમાં રૂપાંતર(transformation)-ભૂમિતિ પણ વિકસી. તેમાં રૂપાંતરણોને અનુલક્ષીને ભૌમિતિક આકૃતિઓના અચલ (constant) રહેતા ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે. વાળવાથી (bending), ખેંચવાથી (strething) કે દાબવાથી (pressing) જે ગાણિતિક સંરચના(structures)ના ગુણધર્મો બદલાતા ન હોય તેવા ગુણધર્મોનો અભ્યાસ સ્થાનવિદ્યા કે સંસ્થિતિવિદ્યા(topology)માં કરવામાં આવે છે.

શિવપ્રસાદ મ. જાની

યુક્લિડીય ભૂમિતિ

યુક્લિડનાં ‘મૂળતત્વો’(Elements)માં રજૂ કરેલી વ્યાખ્યાઓ અને અભિગૃહીતો (axioms) પર આધારિત ભૂમિતિ.

શાળાનું સરળ ભૂમિતિ(plane geometry)નું કોઈ પુસ્તક જોઈએ તો તેમાં બે બાબતો જોવા મળે છે : (i) અભિગૃહીતો, અને (ii) પૂર્વધારણાઓ (postulates). અભિગૃહીતો એટલે સ્વત:સિદ્ધ સત્યો, જેમને સાબિત કરવાં પડતાં નથી. (દા.ત., સમગ્ર તેના કોઈ ખંડ કરતાં મોટો હોય છે.) પૂર્વધારણા એટલે એવી ભૌમિતિક વિગતો જે અત્યંત સરળ અને સ્પષ્ટ હોવાથી તેમની પ્રમાણભૂતતા (validity) સ્વીકારી લેવામાં આવે છે. (દા.ત., બે ભિન્ન બિંદુઓમાંથી એકમેવ રેખા દોરી શકાય છે.) પ્રાચીન કાળથી આ વ્યવસ્થા ચાલી આવે છે. ઍરિસ્ટૉટલના મત મુજબ દરેક નિદર્શનાત્મક (demonstrative) વિજ્ઞાન અનિદર્શનીય સિદ્ધાંતોમાંથી ઉદભવે છે, નહિ તો નિદર્શન-પરંપરાનો અંત આવતો નથી. ભૂમિતિમાં ગાણિતિક વિધોનોના તાર્કિક નિગમન(deduction)ની પ્રણાલિકા પ્લેટોની અકાદમી અને પાયથાગોરાસના કાર્યમાં જોવા મળે છે. તેમાંથી જ કદાચ યુક્લિડને તાર્કિક નિગમનની પ્રેરણા મળી હોય !

યુક્લિડનું કાર્ય : સામાન્ય ખ્યાલો, પૂર્વધારણાઓ અને કેટલીક વ્યાખ્યાઓની મદદથી યુક્લિડે 465 ભૌમિતિક પરિણામો, સિદ્ધાંતો, પ્રમેયો વગેરે મેળવેલાં છે. બિંદુ (point) જગા રોકતું નથી, રેખા(line)ને લંબાઈ છે, પણ પહોળાઈ નથી – એવી બિંદુ અને રેખાની વ્યાખ્યા યુક્લિડે આપી. ભૂમિતિનાં અનેક પ્રમેયોની ચકાસણી કરતાં યુક્લિડને જણાયું કે બધાં પ્રમેય અમુક સામાન્ય ખ્યાલો અને પૂર્વધારણાઓની મદદથી ક્રમશ: ફલિત થાય છે. આવા ખ્યાલો અને પૂર્વધારણાઓને સ્વીકારી લેવાં પડે છે. યુક્લિડે તેની ભૂમિતિમાં પ્રારંભમાં પાંચ સામાન્ય ખ્યાલો અને પાંચ પૂર્વધારણાઓ નોંધી છે. યુક્લિડના સામાન્ય ખ્યાલો : (1) કોઈ ત્રીજી વસ્તુ સાથે સરખી હોય તેવી બે વસ્તુઓ સરખી હોય છે. (2) સરખામાં સરખા ઉમેરીએ તો મળતા સમગ્રો (wholes) સરખા હોય છે. (3) સરખામાંથી સરખા બાદ કરીએ તો પરિણામે મળતા શેષ (remainders) પણ સરખા હોય છે. (4) એકબીજી સાથે એકાકાર (co-incident) થતી વસ્તુઓ સરખી હોય છે; જેમ કે, બે બાજુ, બે ખૂણા, બે ત્રિકોણો, બે વર્તુળો વગેરે માટે આમ થાય છે. (5) સમગ્ર હંમેશાં શેષ કરતાં મોટો હોય છે.

યુક્લિડની પૂર્વધારણાઓ : (1) આપેલાં બે બિંદુને જોડતો એક અંતરાલ (interval) હોય છે. (2) આવા અંતરાલને બંને દિશામાં અમર્યાદિત રીતે (indefinitely) લંબાવી શકાય છે. (3) કોઈ પણ બિંદુને કેન્દ્ર તરીકે લઈ, કોઈ પણ લંબાઈની ત્રિજ્યા લઈને વર્તુળ રચી શકાય છે. (4) સઘળા કાટખૂણા સરખા હોય છે. (5) બે રેખાને એક રેખા છેદતી હોય તો છેદક રેખાની જે તરફ બે રેખાની જોડ વડે રેખા સાથે આંતરેલા અંત:ખૂણા(interior angles)નો સરવાળો બે કાટખૂણા કરતાં ઓછો હોય તે તરફ રેખાઓને લંબાવતાં રેખાઓ એકબીજીને છેદે છે. (જુઓ આકૃતિ 1.)

યુક્લિડીય ભૂમિતિના અભ્યાસમાં નિગમનાત્મક તર્ક (deductive reasoning) મહત્વનો છે. સર્વસ્વીકૃત વિધાનો સ્વીકારી તેના ઉપર નિગમનાત્મક તર્ક ચલાવી નવાં વિધાનો તારવવામાં આવે છે; દા.ત., ચતુષ્કોણ ABCDના ખૂણાઓનો સરવાળો ચાર કાટખૂણા છે એમ સાબિત કરવું છે. ચતુષ્કોણનો વિકર્ણ BD દોરી તેને બે ત્રિકોણ ABD અને BCDમાં વહેંચી શકાય છે તે જાણીતું છે.

વળી બંને ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો બે કાટખૂણાઓ (180°) છે એમ સાબિત કરી શકાય છે. આથી ચતુષ્કોણથી બનેલા બે ત્રિકોણના ખૂણાઓનો સરવાળો, 2 (2 કાટખૂણા) = 4 કાટખૂણા = 360° છે, (આકૃતિ-5) એમ નિગમનાત્મક તર્કથી સાબિત થાય છે. આગમનિક કે પ્રેરણાત્મક તર્ક (inductive reasoning) બીજા પ્રકારનો તર્ક છે. આમાં વિશિષ્ટ અનુભવ કે ગુણધર્મ સામાન્યીકરણ (generalisation) તરફ જાય છે; દા. ત., 1 = 1²,  1 + 3 = 2², 1 + 3 + 5 = 3² એ બધાં પરિણામો પરથી પ્રથમ n – એકી પૂર્ણાંકોનો સરવાળો n² થાય છે એવું અનુમાન કરી તેને સાબિત પણ કરી શકાય છે.

યુક્લિડની ભૂમિતિ અભિગૃહીત (axiomatic) અભિગમ પર રચાયેલી છે. તેમાં ત્રણ બાબતો આવે છે : ભૌમિતિક પદો (geometric terms), સામાન્ય ખ્યાલો અને પૂર્વધારણાઓ, ભૌમિતિક પદો વ્યાખ્યાયિત અને અવ્યાખ્યાયિત – એમ બે પ્રકારનાં હોય છે. બિંદુ, રેખા વગેરે ભૂમિતિના અભિગૃહીત અભિગમનાં મહત્વનાં પદો છે. તેના પરથી રેખાખંડ, કિરણ જેવાં પદો વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. અભિગૃહીતોને નિગમનાત્મક તર્ક લગાડી તેમાંથી પ્રમેયો તારવવામાં આવે છે.

યુક્લિડના ગ્રંથ ‘મૂળતત્વો’(Elements)ના તેર ભાગ પાડેલા છે. તેના અમુક ભાગોમાં ભૂમિતિ અંગેની વિગતો આપેલી છે. પ્રથમ પુસ્તકમાં બે ભાગ છે : એકમાં ત્રિકોણની એકરૂપતા સાથે સંકળાયેલાં પ્રમેયો છે. બીજામાં અસમતા (inequality) અંગેનાં પ્રમેયો – દા.ત., ત્રિકોણની બાજુઓ નાનીમોટી હોય તો મોટી બાજુ સામેનો ખૂણો મોટો હોય છે; ત્રિકોણની કોઈ એક બાજુને લંબાવીએ તો બનતો બહિષ્કોણ (exterior angle) અંત:સંમુખ ખૂણા કરતાં મોટો હોય છે; ત્રિકોણની કોઈ પણ બે બાજુઓનો સરવાળો ત્રીજી બાજુ કરતાં મોટો હોય છે – જેવાં પ્રમેયો.

યુક્લિડના બીજા પુસ્તકમાં ચોરસ અને લંબચોરસના વિભાજન અંગેનાં પરિણામ આપેલાં છે; દા.ત., (a + b) બાજુવાળા ચોરસનું ક્ષેત્રફળ આકૃતિ (6)માં દર્શાવ્યું છે. ક્ષેત્રફળનું વિભાજન આકૃતિ 6માં દર્શાવ્યા મુજબ ચાર ભાગમાં કર્યું છે; જેમાંના બે સમચોરસ અને બે લંબચોરસ છે. a બાજુવાળો ચોરસ; a લંબાઈ અને b પહોળાઈવાળા બે લંબચોરસ અને b બાજુવાળો બીજો ચોરસ – આમ (a + b) લંબાઈની બાજુવાળા ચોરસ ABCDનું ક્ષેત્રફળ = a² + ab + ab + b² છે માટે (a + b)² = a² + 2ab + b² છે. આ સમચોરસનું ક્ષેત્રફળ દર્શાવતું સૂત્રાત્મક સ્વરૂપ છે. (આકૃતિ–6)

યુક્લિડના ત્રીજા અને ચોથા પુસ્તકમાં વર્તુળ પરનાં પ્રમેય અને અન્ય પ્રમેયો છે. પાંચમું પુસ્તક યુડોક્સસે લખેલું છે એમ માનવામાં આવે છે. તેમાં અસંમેય સંખ્યા(irrational number)નું નિરૂપણ કરેલું છે; દા.ત., એકમ લંબાઈના ચોરસના વિકર્ણ(diagonal)ની લંબાઈ  છે (આકૃતિ–7), જે અસંમેય સંખ્યા છે. અસંમેય સંખ્યાને બે પૂર્ણાક સંખ્યાઓના ગુણોત્તર(ratio)-સ્વરૂપે દર્શાવી શકાતી નથી. અસંમેય સંખ્યા , અહીં p અને q પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ છે અને q ≠ 0.

છઠ્ઠા પુસ્તકમાં ક્ષેત્રફળ અંગેનાં પરિણામો અને પ્રમેયો છે. સાતમાથી દસમા સુધીનાં પુસ્તકોમાં સંખ્યાઓના ગુણધર્મોની ચર્ચા છે. અગિયારમું અને બારમું બંને પુસ્તકો ઘન ભૂમિતિ(solid geometry)ને લગતાં છે. તેરમા પુસ્તકમાં નિયમિત ચતુષ્ફલક (tetrahedron), નિયમિત અષ્ટફલક (octahedron) અને નિયમિત વિંશતિફલક(icosahedron)ની રચના અંગેની વિગતો છે.

યુક્લિડનાં ‘મૂળતત્વો’માં આવરેલી ભૂમિતિ ઉત્કૃષ્ટ અને સંપૂર્ણ છે એમ માનવામાં આવતું હતું, તેમાં સઘળી ભૂમિતિ આવી જાય છે અને તેમાં કોઈ અધૂરપ કે કચાશ નથી એવો સર્વસાધારણ ખ્યાલ પણ પ્રવર્તતો હતો. 19મી સદીના અંતમાં ભૂમિતિના અભ્યાસીઓ અને કુશાગ્ર વિવેચકોને યુક્લિડની રજૂઆતમાં પરિશુદ્ધ (rigorous) ગણિતની ઊણપ જણાઈ. યુક્લિડનાં ‘મૂળતત્વો’ ભૂમિતિને સંપૂર્ણપણે અભિવ્યક્ત કરતાં નથી, કારણ કે તેની પ્રસિદ્ધિ પછીની સદીઓમાં ભૂમિતિમાં ઘણાં સિદ્ધાંતો, ગુણધર્મો વગેરે ઉમેરાયાં છે. જોકે યુક્લિડનું કાર્ય બહુ મોટા ગજાનું કાર્ય છે. તેના દ્વારા જ અભિગૃહીત અભિગમ અને નિગમનાત્મક ગણિતની શરૂઆત થયેલી છે. એમ છતાં તાત્વિક રીતે તે પરિપૂર્ણ નથી. યુક્લિડની સાબિતીઓને હાલમાં યથાવત્ સ્વીકારી શકાય તેમ નથી. તેમણે આપેલાં અભિગૃહીતો અને વ્યાખ્યાઓ હાલના સંદર્ભમાં ફેરફાર માંગે છે.

કોઈ પ્રમેય સાબિત કરીએ ત્યારે તેના પ્રત્યેક સોપાનનું, પૂર્વ-પ્રતિપાદિત પ્રમેય, સિદ્ધાંત કે ગુણધર્મથી સમર્થન કરવું પડે છે. સમર્થનનો આ સિલસિલો અવિરત ચાલુ રાખી શકાય નહિ; ક્યાંક તો મૂળભૂત વિધાનો કે અવ્યાખ્યાયિત પદોથી શરૂઆત કરવી જ પડે. આથી યુક્લિડની ભૂમિતિમાં વ્યાખ્યાઓ, સામાન્ય ખ્યાલો અને પૂર્વધારણાઓ જોવા મળે છે. અહીં વિષય રજૂ કરવા માટે અવ્યાખ્યાયિત પદોની જરૂર પડે છે.  આમ અવ્યાખ્યાયિત પદો અને અભિગૃહીતોની મદદથી નિગમનાત્મક ભૂમિતિની શરૂઆત થઈ. ભૌમિતિક આકૃતિઓમાં એકરૂપતા, સમરૂપતા જેવા સંબંધો પણ હોય છે. પરિણામે બિંદુ, રેખા, સમતલ જેવાં અવ્યાખ્યાયિત પદો તેમજ અભિગૃહીતો અને સંબંધોનું અસ્તિત્વ સ્વીકારવામાં આવ્યું છે.

યુક્લિડીય ભૂમિતિમાં ત્રિકોણોની એકરૂપતા પુરવાર કરવા માટે એક ત્રિકોણને ઉપાડી બીજા ત્રિકોણ પર બંધબેસતો આવે એ રીતે ગોઠવવામાં આવે છે. આ વખતે ઉઠાવેલા ત્રિકોણનો આકાર યથાવત્ જળવાઈ રહે છે કે કેમ ? તે અંગે યુક્લિડની ભૂમિતિમાં સ્પષ્ટીકરણ નથી. આથી બંધબેસતી ગોઠવણી(super position) અને આકારની સાચવણી (preservation of shape)ને અવ્યાખ્યાયિત સંબંધ તરીકે સ્વીકારવામાં આવ્યો. યુક્લિડીય ભૂમિતિમાં ક્રમ (order) અંગેના સંબંધો (જેવા કે, ત્રિકોણની અંદર હોવું કે બહાર હોવું) આમેજ કરી ભૂમિતિની પુનર્રચના કરવી જોઈએ એવું આધુનિકોએ સૂચવ્યું હતું.

ઓગણીસમી સદીમાં ભૂમિતિના વિકાસની સાથે આકારગત કે સૂત્રગત ભૂમિતિ (formal geometry) મળી. વળી અવકાશ સાથેના તેના વિનિયોગથી અવકાશવિજ્ઞાન મળ્યું. અવકાશના સિદ્ધાંતોને અરૂપ આધાર (abstract foundation) પર રજૂ કરતો ગ્રંથ 1844માં ગ્રાસમૅને પ્રસિદ્ધ કર્યો. અંકગણિતની જેમ ભૂમિતિ પણ રોજબરોજના વ્યવહારમાંથી ઊભી થઈ છે અને શુદ્ધ ગણિતના સ્વરૂપમાં છે.

1882માં પાશ્ચ (Pasch) નામના ગણિતીના ‘આધુનિક ભૂમિતિ પરનાં વ્યાખ્યાનો’ (Lectures on New Geometry) નામના ગ્રંથની પ્રથમ આવૃત્તિ બહાર પડી, જે થોડા કેન્દ્રસ્થ ખ્યાલો (nuclear notins) અને વિધાનો પર વ્યાખ્યાયિત છે. તેના મત મુજબ નિગમનાત્મક ભૂમિતિમાં ભૌમિતિક ખ્યાલોના અર્થ અને ભૌમિતિક આકૃતિઓથી નિગમન હંમેશાં પર હોવું જોઈએ. તેમાં વ્યાખ્યાઓ અને વિધાન દ્વારા વ્યક્ત થયેલા સંબંધો જ લક્ષમાં લેવાવા જોઈએ. 1889માં પિનોએ તેના ‘ભૂમિતિના સિદ્ધાંતો’(પ્રિન્સિપિયા-દ-જ્યોમેત્રિયા)માં દર્શાવ્યું કે ભૂમિતિમાં બને એટલાં ઓછાં ભૌમિતિક પદો હોવાં જોઈએ. તેણે પ્રથમ વાર સંજ્ઞાત્મક તર્કશાસ્ત્ર (symbolic logic)નો ભૂમિતિમાં ઉપયોગ કર્યો. 1904માં વેબ્લેને ક્રમનું અભિગૃહીત (order axiom) ભૂમિતિમાં દાખલ કર્યું. ત્યારબાદ ભૂમિતિનાં કેટલાંક પ્રમેયોની સાબિતીઓ વિરોધાભાસ (contradiction) અને વર્જિતમધ્ય(excluded middle)ની રીતથી આપવાનું શરૂ થયું.

ઓગણીસમી સદીના અંત અને વીસમી સદીની શરૂઆતના ગાળા દરમિયાન પાશ્ર્ચ, પિનો અને હિલ્બર્ટે ભૂમિતિની પુનર્રચના કરી. તેમાં હિબ્લર્ટનું કાર્ય નોંધપાત્ર ગણાય છે.

હિલ્બર્ટનાં અભિગૃહીતોનો ઉપયોગ યુક્લિડની ભૂમિતિની પુનર્રચના માટે કરવામાં આવ્યો છે. તેમાં અભિગૃહીતોને આપતન (incidence), ક્રમ (order), એકરૂપતા, સમાંતરતા અને સાતત્ય – એમ પાંચ સમૂહમાં વહેંચવામાં આવ્યાં છે. આપતન અને અસ્તિત્વના ખ્યાલમાં બિંદુ અને રેખાને અવ્યાખ્યાયિત પદો તરીકે સ્વીકારવામાં આવે છે. ‘બિંદુ રેખા પર આવેલું છે’ કે ‘રેખા બિંદુમાંથી પસાર થાય છે’ જેવા અવ્યાખ્યાયિત સંબંધોને આપતન-સંબંધો (incident relations) કહેવામાં આવે છે. (1) ઓછામાં ઓછી એક રેખા અસ્તિત્વ ધરાવે છે. (2) પ્રત્યેક રેખા ઉપર ઓછામાં ઓછાં બે બિંદુ આવેલાં હોય છે. (3) બધાં બિંદુઓ એક રેખા ઉપર આવેલાં હોતાં નથી. (4) બે ભિન્ન બિંદુઓમાંથી એક અને માત્ર એક (unique) રેખા પસાર થાય છે. આ હિલ્બર્ટનાં અભિગૃહીતો છે. આ અભિગૃહીતો પ્રણાલી(system)ની અરિક્તતા, આપતન-સંબંધોની યથાર્થતા અને દ્વિપરિમાણના અસ્તિત્વનું સમર્થન કરે છે. ક્રમનો ખ્યાલ (order relation) ‘ની વચ્ચે હોવું’ (betweenneess), ‘–થી વધારે કે ઓછા હોવું’ જેવાં અભિગૃહીતોને યુક્લિડીય ભૂમિતિમાં સમાવવાથી રેખાખંડની વ્યાખ્યા મળે છે. રેખાખંડને બિંદુઓના ગણ તરીકે દર્શાવી શકાય છે. વળી તે પરથી કિરણ(ray)ની વ્યાખ્યા આપી, કિરણયુગ્મ ખૂણો રચે છે તે પણ રજૂ કરી શકાય છે. હિલ્બર્ટનાં અભિગૃહીતો દ્વારા રેખાખંડો અને ખૂણાઓમાં એકરૂપતાના સંબંધો દર્શાવ્યા પછી ત્રિકોણોમાં એકરૂપતાની સંકલ્પના મેળવી શકાય છે. સમાંતરતાને આપતન-અભિગૃહીત તરીકે લઈ શકાય છે. સમાંતર અંગેનું અભિગૃહીત (parallelism axiom) અયુક્લિડીય ભૂમિતિના ઉદભવ સાથે સંકળાયેલું હોવાથી તેનું ખાસ ઐતિહાસિક મહત્વ છે.

(5) સમાંતરતાનું અભિગૃહીત : ‘એક રેખા આપેલી હોય, તેની બહાર એક બિંદુ આપ્યું હોય તો તે બિંદુમાંથી પસાર થતી અને આપેલી રેખાને સમાંતર હોય એવી એક અને માત્ર એક જ રેખા દોરી શકાય છે.’ આ અભિગૃહીતમાં ‘એક અને માત્ર એક રેખાને બદલે’ એક કરતાં વધારે રેખાઓ’ મૂકીને જૉન બોલ્યાઈ, લોબાચેવ્સ્કી અને ફ્રેડરિક ગૉસે એકબીજાથી સ્વતંત્રપણે નવી ભૂમિતિનું સર્જન કર્યું. તેને અતિવલયી (hyperbolic) ભૂમિતિ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. આ માપનના ખ્યાલ સહિતની અયુક્લિડીય ભૂમિતિ છે. વળી ‘એક અને માત્ર એક રેખા’ને બદલે ‘એક પણ રેખા દોરી શકાય નહીં’ મૂકીને જર્મન ગણિતી રીમાન્ને પણ માપનના ખ્યાલ સહિતની અયુક્લિડીય ભૂમિતિ રચી. તેને રીમાન્નીય કે ઉપવલયી (elliptic) અયુક્લિડીય ભૂમિતિ કહેવામાં આવે છે.

પ્રસિદ્ધ ગ્રીક કાળથી અઢારમી સદીના અંત સુધીમાં ભૂમિતિના વિકાસ દરમિયાન બે શકવર્તી ભૌમિતિક સંશોધનો થયાં. બંને પાછળથી પ્રક્ષેપી ભૂમિતિના નિર્માણમાં કારણભૂત બન્યાં. જેમાંનું પ્રથમ 1639માં ફ્રેંચ ગણિતી જિરાર્ડ દ’ સર્ગના પ્રમેય તરીકે જાણીતું છે, જ્યારે બીજું ચોથી સદીમાં ઍલેક્ઝાન્ડ્રિયામાં થઈ ગયેલા ગણિતીના નામ પરથી પેપસ(pappus)ના પ્રમેય તરીકે જાણીતું છે. તેને સુચારુ સ્વરૂપમાં ફ્રેંચ ગણિતી પાસ્કલે મૂક્યું અને તે પાસ્કલના પ્રમેય તરીકે પછી જાણીતું થયું છે. લગભગ બસો વર્ષ સુધી દ’ સર્ગ અને પાસ્કલના પ્રમેયની સાબિતી યુક્લિડની ભૂમિતિના આધારે આપવામાં આવી હતી. પેપસનું પ્રમેય અહીં દર્શાવ્યા પ્રમાણે વ્યક્ત કરેલું છે : ‘જો A₁, A₂, A₃ એ સુરેખા r પર આવેલાં ત્રણ ભિન્ન બિંદુઓ હોય અને B₁, B₂, B₃ એ સુરેખા s પર આવેલાં ત્રણ ભિન્ન બિંદુઓ હોય, બંને રેખાઓ પરસ્પરને o બિંદુ આગળ છેદતી હોય અને A₂B₃, A₃B₂નું છેદબિંદુ C₁; A₁B₃, A₃B₁નું છેદબિંદુ C₂; તેમજ A₁B₂, A₂B₁નું છેદબિંદુ C₃ હોય તો બિંદુઓ C₁, C₂, C₃ સમરેખસ્થ હોય છે.’ (આકૃતિ–8)

પેપસના પ્રમેયની પ્રતિજ્ઞામાંથી જોઈ શકાય છે કે અહીં માત્ર બિંદુઓના જોડાણ અને રેખાઓના છેદન અંગેનો સંબંધ વ્યક્ત કરવામાં આવેલો છે. અહીં અંતર, ખૂણા, એકરૂપતા કે સમાંતરતા જેવા ખ્યાલો કોઈ ભાગ ભજવતા નથી. આ સંબંધો માપનરહિત (non-metric) સંબંધો છે. માપનરહિતના ખ્યાલોવાળી આ પ્રકારની ભૂમિતિ પાછળથી પ્રક્ષેપી ભૂમિતિ તરીકે જાણીતી થઈ.

ભૂમિતિ ગણિતશાસ્ત્રની મહત્વની શાખા છે. સુથારો, ઇજનેરો, સ્થપતિઓ અને ડિઝાઇનરો તેમની કૃતિઓને વધારે ઉપયોગી, આકર્ષક અને સુવિધાપૂર્ણ બનાવવા માટે ભૂમિતિનો ઉપયોગ કરે છે. નાવિકો અને વિમાનચાલકો સ્થળોનું અંતર જાણવા તેમજ મોજણીદારો જમીનના સીમાંકન માટે પણ તેનો ઉપયોગ કરે છે.

શિવપ્રસાદ મ. જાની

અયુક્લિડીય ભૂમિતિ (Non–Euclidean Geometry)

ભૂમિતિના પાયામાં રહેલી યુક્લિડની પૂર્વધારણાઓ પૈકી એક કે વધુ પૂર્વધારણાઓનો અસ્વીકાર કરી તેમના વિરોધી અર્થવાળી પૂર્વધારણાઓ સ્વીકારી વિકસાવાયેલી ભૂમિતિ. સામાન્ય રીતે યુક્લિડની બીજી અથવા/અને પાંચમી પૂર્વધારણાઓનો અસ્વીકાર કરી અયુક્લિડીય ભૂમિતિઓ બનાવવામાં આવી છે.

યુક્લિડની બીજી પૂર્વધારણા આવી છે :

દરેક અંતરાલને બન્ને દિશામાં અમર્યાદ રીતે વિસ્તારી શકાય છે.

આ પૂર્વધારણાનો અર્થ એવો થાય છે કે દરેક રેખા અનંત લંબાઈની છે.

યુક્લિડની પાંચમી પૂર્વધારણાનું મૂળ સ્વરૂપ આવું હતું : કોઈ રેખા ℓ અન્ય બે રેખાઓ m અને nને એવી રીતે છેદે કે ℓની એક જ બાજુએ બનતા બંને ખૂણાઓનો સરવાળો બે કાટખૂણાથી ઓછો હોય તો ℓની એ જ બાજુએ m અને n પરસ્પર છેદે જ. (જુઓ આકૃતિ-9).

આ પૂર્વધારણાની સમાનાર્થી પૂર્વધારણા એવી છે કે રેખા ℓ આપી હોય અને તેની બહાર બિંદુ P આપ્યું હોય તો Pમાંથી પસાર થાય અને ℓને સમાંતર હોય તેવી બરાબર એક જ રેખા મળે. આ સ્વરૂપમાં આ પાંચમી પૂર્વધારણા સમાંતરની પૂર્વધારણા કહેવાય છે.

યુક્લિડને પોતાને એવો ભ્રમ હતો કે તેની પાંચમી પૂર્વધારણાને તે સિવાયની પૂર્વધારણાઓની મદદથી સાબિત કરી શકાય; પણ તે તેમ ન જ કરી શક્યો અને તેથી તેણે આખરે તે વિધાનને પૂર્વધારણા તરીકે સ્વીકાર્યું.

યુક્લિડ પછી પણ સમાંતરની પૂર્વધારણાને સાબિત કરવાના પ્રયત્નો થતા રહ્યા; પણ તેમાં કોઈને સફળતા મળી નહિ. અઢારમી સદીમાં સચ્ચેરીએ અનિષ્ટાપત્તિની રીતે આવી સાબિતી આપવાનો પ્રયત્ન કર્યો. તેણે માની લીધું કે રેખાની બહારના આપેલા બિંદુથી રેખાને સમાંતર એક પણ રેખા ન દોરી શકાય. આવી માન્યતામાંથી તર્કની રીતે ફલિત થતાં અનેક તારણો તેણે મેળવ્યાં. તેને આશા હતી કે અન્ય પૂર્વધારણાઓ સાથે વિસંગત એવું કોક તારણ તેને મળશે; પણ એવું કશું તેને મળ્યું નહિ. ખરેખર તો તેણે અયુક્લિડીય ભૂમિતિ વિકસાવી હતી, પણ યુક્લિડની પૂર્વધારણાથી જુદું કશું સંભવી જ ન શકે એવી એક ગ્રંથિ તે સમય સુધી બધા ગણિતશાસ્ત્રીઓમાં બંધાઈ ગઈ હતી. એટલે સચ્ચેરી, પોતે એક નવી ભૂમિતિ શોધ્યાનો યશ લઈ શકત તેને બદલે, પોતે નિષ્ફળ ગયાનો એકરાર કરીને શાંત થઈ ગયો.

ઓગણીસમી સદીની શરૂઆતમાં જર્મનીના (અને વિશ્વના) મહાન ગણિતજ્ઞ ગાઉસને ખ્યાલ આવી ગયો હતો કે સમાંતરની પૂર્વધારણા અન્ય પૂર્વધારણાઓથી સ્વતંત્ર જ છે અને તેને સાબિત કરી શકાય જ નહિ. તેણે પણ સચ્ચેરીની જેમ અયુક્લિડીય ભૂમિતિનાં અનેક પરિણામો મેળવ્યાં હતાં; પરંતુ તેને ખ્યાલ હતો કે તત્કાલીન ગણિતજ્ઞો યુક્લિડની ભૂમિતિથી એટલા તો અભિભૂત હતા કે તેઓ અયુક્લિડીય ભૂમિતિનાં પરિણામો સ્વીકારશે નહિ. તેથી ગાઉસે પોતાનાં અયુક્લિડીય ભૂમિતિનાં પરિણામો ગુપ્ત જ રાખ્યાં. તેણે એમ વિચાર્યું  કે મૃત્યુ પહેલાં તે એ બધાં પરિણામો બરાબર લખીને સુરક્ષિત સ્થાને મૂકી જશે, જેથી તેના મૃત્યુની સાથે જ અયુક્લિડીય ભૂમિતિનું પણ મૃત્યુ ન થઈ જાય.

પણ ગાઉસે એવું કશું કરવાની જરૂર પડી નહિ, કારણ કે લગભગ ઈ. સ. 1830માં હંગેરીના જોહાન બોલ્યાઈ અને રશિયાના નિકોલાઈ લોબાચેવસ્કીએ એકબીજાથી સ્વતંત્ર રીતે આપેલ રેખાની બહારનાં બિંદુએથી આપેલ રેખાને સમાંતર અનેક રેખાઓ દોરી શકાય એમ સ્વીકારી પરિણામો મેળવ્યાં અને બંનેએ હિંમતથી અયુક્લિડીય ભૂમિતિની શોધની જાહેરાત કરી.

બોલ્યાઈ અને લોબાચેવસ્કીની ભૂમિતિમાં રેખાની બહારના બિંદુએથી રેખાને અનેક સમાંતર રેખાઓ મળે છે. આ અયુક્લિડીય ભૂમિતિને અતિવલયી (hyperbolic) ભૂમિતિ કહે છે. સચ્ચેરી અને ગાઉસની ભૂમિતિમાં એવી પૂર્વધારણા હતી કે સમાંતર રેખાઓ જેવું કશું છે જ નહિ (એટલે કે બે રેખાઓ હમેશાં છેદે જ.) આના પર આધારિત ભૂમિતિ ઉપવલયી (elliptic) ભૂમિતિ કહેવાઈ.

સમતલના કે અવકાશના યોગ્ય ઉપગણો માટે ‘બિંદુ’ અને ‘રેખા’ની યોગ્ય વ્યાખ્યા આપવામાં આવે તો તે ઉપગણની ભૂમિતિ અયુક્લિડીય હોય તેવું બને છે; દા. ત., એક મોટા વર્તુળની અંદર આવેલાં તમામ બિંદુઓ પરની જ એક ભૂમિતિ લઈએ, જેમાં રેખા એટલે વર્તુળની કોઈ પણ જીવા એમ સમજીએ તો કોઈ પણ આપેલ બે બિંદુઓ એક જ રેખા પર આવેલાં છે તે સ્પષ્ટ છે; જ્યારે બે રેખાઓ છેદે તો એક જ બિંદુએ છેદે તે સ્પષ્ટ છે. હવે આકૃતિ (10)માં

રેખા ℓ અને તેના પર ન હોય તેવું બિંદુ P છે. તો Pમાંથી પસાર થતી રેખાઓ m અને n, ℓને છેદતી નથી. આમ ℓને ‘સમાંતર’ હોય તેવી Pમાંથી અનેક રેખાઓ છે. આમ આ ભૂમિતિ અતિવલયી છે. આ ભૂમિતિમાં દરેક રેખા સાંત લંબાઈની છે તેથી આમાં યુક્લિડની બીજી પૂર્વધારણા પણ સચવાઈ નથી.

ઉપવલયી ભૂમિતિનું ઉદાહરણ જોવા માટે એક ગોલક લઈએ. તેના પ્રત્યેક વ્યાસનાં અંત્યબિંદુઓની જોડીને ‘બિંદુ’ કહીએ અને ગોલકના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતા પ્રત્યેક સમતલને ‘રેખા’ કહીએ તો જણાશે કે બે ભિન્ન બિંદુઓ બરાબર રીતે એક જ રેખા નિશ્ચિત કરે છે અને બે ભિન્ન રેખાઓ હમેશ એક બિંદુએ છેદે છે. તેથી આ ભૂમિતિમાં કોઈ પણ બે રેખાઓ સમાંતર નથી.

ઓગણીસમી સદીના અંતભાગમાં રીમાન્ને અયુક્લિડીય ભૂમિતિમાં અંતરના ખ્યાલને વિસ્તૃત સ્વરૂપ આપીને અત્યંત વ્યાપક અયુક્લિડીય વિકલ ભૂમિતિ આપી, જે રીમાન્નીય ભૂમિતિ તરીકે ઓળખાઈ. વીસમી સદીમાં આઇન્સ્ટાઇને જ્યારે પોતાના સાપેક્ષતાના સિદ્ધાંતને વ્યાપક સ્વરૂપ આપ્યું ત્યારે સ્થળ-કાળની ભૂમિતિ તરીકે તેણે રીમાન્નીય ભૂમિતિ અપનાવી અને તેથી વ્યાપક સાપેક્ષતાનો સિદ્ધાંત નિસર્ગની કેટલીયે ઘટનાઓને સમજાવી શક્યો.

અરુણ વૈદ્ય

પ્રક્ષેપી ભૂમિતિ (Projective Geometry)

માપનની સંકલ્પનાઓને વર્જ્ય ગણી આપાતી (incident) અભિગૃહીતો (axioms) અને આપાતી સંબંધો(incident relations)ની મદદથી રચેલી ભૂમિતિ.

પ્રક્ષેપી ભૂમિતિના મૂળભૂત ખ્યાલો બિંદુ, રેખા અને સમતલ (plane) છે, જે અવ્યાખ્યાયિત છે. આ ભૂમિતિમાં આપાતી સંબંધો આવરેલા છે અને માપન (metric) સંબંધો વર્જ્ય ગણેલા છે. આથી યુક્લિડીય ભૂમિતિમાં આવતા રેખાખંડ, મધ્યબિંદુ, કાટખૂણો અને વર્તુળ જેવા માપન-આધારિત ખ્યાલોને, માપનના ખ્યાલ રહિતની પૂર્વધારણાઓ અને વ્યાખ્યાઓ દ્વારા રજૂ કરેલા છે.

ભૂમિતિનો અભ્યાસ માનીય, પ્રક્ષેપી (projective) અને વૈશ્લૈષિક (analytic) ર્દષ્ટિકોણથી કરેલો છે. માનીય કે માપનના ર્દષ્ટિકોણથી ગ્રીક ગણિતીઓએ ભૂમિતિનો અભ્યાસ કર્યો તેમાં યુક્લિડનું નામ જાણીતું છે. યુક્લિડીય ભૂમિતિ માપનની ભૂમિતિ છે. તેમાં રેખાખંડને લંબાઈના એકમ દ્વારા અને ખૂણાને રેડિયન કે અંશના માપથી દર્શાવેલો હોય છે. સંગામી રેખાઓ (concurrent lines) અને સમરેખસ્થ (collinear) બિંદુઓ અંગે કેટલાંક પ્રમેય યુક્લિડીય ભૂમિતિમાં છે. પ્રક્ષેપી ભૂમિતિમાં પૅપસ (Pappus) અને દ’ સર્ગ (De-sargues)નાં પ્રમેય આ પ્રકારનાં છે. આમ પ્રક્ષેપી ભૂમિતિનો કેટલોક ભાગ પ્રાચીન કાળથી યુક્લિડીય ભૂમિતિના ભાગ તરીકે જાણીતો છે. પંદરમા અને સોળમા સૈકા દરમિયાન ચિત્રકારોએ ત્રિપરિમાણી (three dimensional) પદાર્થોને દ્વિપરિમાણી ચિત્રો દ્વારા હૂબહૂ વ્યક્ત કરેલા છે.

અઢારમી સદીમાં ભૂમિતિમાં બે શકવર્તી સંશોધન કરવામાં આવ્યાં; જે પ્રક્ષેપી ભૂમિતિના સર્જન તરફ દોરી ગયાં : (i) ઈ. સ. 1639માં જિરાર્ડ દ’ સર્ગે તેમના નામથી જાણીતું દ’ સર્ગનું પ્રમેય શોધ્યું અને સાબિત કર્યું. (ii) પૅપસનું પ્રમેય જે ઈ. સ.ની ચોથી સદીથી જાણીતું હતું, તે પ્રમેયને વ્યાપક સ્વરૂપમાં 1640માં ફ્રેંચ ગણિતી બ્લેઇઝ પાસ્કલે રજૂ કર્યું. આ બે પ્રમેયોમાં નોંધપાત્ર બાબત એ છે કે તેમાં બિંદુઓનાં જોડાણ, અને રેખાઓનાં છેદબિંદુ અંગેના સંબંધો રજૂ કરેલા છે. આથી એક બાબત સ્પષ્ટ થઈ કે ભૂમિતિનાં કેટલાંક પ્રમેયોમાં અંતર, ખૂણા જેવા માપનના ગુણધર્મો(metric properties)નો ઉપયોગ કરવામાં આવતો નથી. પ્રક્ષેપી ભૂમિતિનું આ વિશિષ્ટ લક્ષણ ગણાય છે. જિરાર્ડ દ’ સર્ગ, બ્લેઇઝ પાસ્કલ, ફિલિપ દ’ લાહિરે વગેરેએ યુક્લિડનાં ‘મૂળતત્વો’માં ન હોય તેવાં કેટલાંક ભૌમિતિક પરિણામો આપાતી અભિગૃહીતો અને આપાતી સંબંધોની મદદથી સાબિત કર્યાં, તેમાંથી પ્રક્ષેપી ભૂમિતિની શરૂઆત થઈ. બે રેખાઓ પરસ્પરને છેદતી હોય ત્યારે દ’ સર્ગનું પ્રમેય અને પૅપસ-પાસ્કલનું પ્રમેય આ બંને પ્રમેયોનાં કથન અને સાબિતી ખાસ કાળજી માગી લે છે. વિક્ટર પાસ્લેએ આદર્શ બિંદુઓ અને આદર્શ રેખાના ખ્યાલ રજૂ કર્યા ત્યારે આ મુશ્કેલીઓનું નિવારણ થયું.

સમતલ પરની કોઈ પણ બે રેખા પરસ્પરને આદર્શ બિંદુ (ideal point) આગળ છેદે છે. વળી સમતલ પરની કોઈ પણ એક રેખા પર એક જ આદર્શ બિંદુ હોય છે. (આકૃતિ-11)

સમતલ પરની બે રેખાઓ આદર્શ બિંદુમાં સંગામી થાય ત્યારે તે બે રેખાઓનું સંગમનબિંદુ આદર્શ બિંદુ હોય છે અને તે બે રેખાઓ પરસ્પરને સમાંતર છે એમ કહેવામાં આવે છે. પ્રક્ષેપી ભૂમિતિમાં સમાંતર રેખા આ રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જે યુક્લિડીય ભૂમિતિની વ્યાખ્યાનું વ્યાપક સ્વરૂપ છે. ‘સમાંતર હોવું’ (to be parallel) – આ સંબંધ સામ્ય-સંબંધ (Equivalue relation) છે. યુક્લિડની ભૂમિતિનો આ ગુણધર્મ ઉપર્યુક્ત વ્યાખ્યાના સંદર્ભમાં પણ ‘સામ્ય સંબંધ’ છે.

આદર્શ રેખા પર બે નિરપેક્ષ (absolute) બિંદુઓ લેવામાં આવે છે. કોઈ બે રેખાઓ, આદર્શ રેખાને એવાં બે બિંદુઓમાં છેદે કે જેથી નિરપેક્ષ બિંદુઓના સંદર્ભમાં આ બે બિંદુઓ અનુબદ્ધ પ્રસંવાદી (harmonic conjugate) હોય તો આવી બે રેખાઓ ‘પરસ્પરને કાટખૂણે’ (mutually perpendicular) છે એમ કહેવામાં આવે છે. (આકૃતિ 12)

શાંકવો (conics) અને વર્તુળ : બે રેખાવલી કે કિરણસૂચિ (pencil of lines) પ્રક્ષેપી હોય ત્યારે એક રેખાવલીમાંની રેખાઓના, બીજી રેખાવલીમાંની અનુરૂપ રેખાઓ સાથેનાં બધાં છેદબિંદુઓના ગણને શાંકવો કહેવામાં આવે છે; અર્થાત્ સમરૂપ કિરણસૂચિઓ (homographic pencils)નાં અનુરૂપ કિરણો સાથેનાં છેદબિંદુઓના બિંદુપથ(locus)ને શાંકવ કહેવામાં આવે છે. (જુઓ આકૃતિ 13.)

બે સમરૂપ વિસ્તાર(homographic range)નાં અનુરૂપ બિંદુઓને જોડતી રેખાના પરિસ્પર્શક (envelope) સ્વરૂપે પણ તેને જોઈ શકાય છે. આમ શાંકવ સ્વ-દ્વૈત (self-dual) રચે છે.

પ્રક્ષેપી ભૂમિતિમાં પાંચ બિંદુ શાંકવ નિશ્ચિત કરે છે. A, B, C, D, E સામાન્ય સ્થિતિમાં આવેલાં એવાં પાંચ બિંદુઓ છે, જેમાંથી કોઈ પણ ત્રણ બિંદુ સમરેખસ્થ ન હોય. D(ABC) અને E(ABC) રેખાવલીનાં બે શિરોબિંદુ D અને E લઈ શકીએ. પ્રક્ષેપી ભૂમિતિના મૂળભૂત પ્રમેય અનુસાર આ રેખાવલીઓ પ્રક્ષેપી છે; માટે શાંકવની વ્યાખ્યા અનુસાર આ બે રેખાવલીમાંથી વ્યાખ્યાયિત શાંકવ જો ABCમાંથી પસાર થતો હોય તો Dમાંથી અને એ જ કારણસર Eમાંથી પણ પસાર થવો જોઈએ. આથી એમ ફલિત થાય છે કે શાંકવ, સામાન્ય સ્થિતિમાં આવેલાં આપેલાં પાંચ બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે. કોઈ પણ શાંકવ જો બે નિરપેક્ષ બિંદુઓમાંથી પસાર થાય તો તે શાંકવને ‘વર્તુળ’ કહેવામાં આવે છે, કોઈ પણ ત્રણ બિંદુઓમાંથી અનન્ય (unique) વર્તુળ પસાર થાય છે. યુક્લિડીય ભૂમિતિનો આ ગુણધર્મ પ્રક્ષેપી ભૂમિતિના આ વિધાન સાથે સુસંગત છે. આમ યુક્લિડીય ભૂમિતિમાં આવરેલાં સમાંતર રેખાઓ, મધ્યબિંદુ, કાટખૂણા અને વર્તુળ વગેરે ખ્યાલોને ખાસ વ્યાખ્યાઓ અને પૂર્વધારણાઓ દ્વારા પ્રક્ષેપી ભૂમિતિમાં પણ મેળવી શકાય છે. પ્રક્ષેપી ભૂમિતિમાં આદર્શ બિંદુ, આદર્શ રેખાઓ, નિરપેક્ષ બિંદુઓ વગેરે ખ્યાલો વ્યાખ્યાયિત કર્યા પછી યુક્લિડીય ભૂમિતિમાં પ્રવર્તતાં પરિણામોને પ્રક્ષેપી ભૂમિતિમાં પણ મેળવી શકાય છે.

પ્રક્ષેપી ભૂમિતિ અંગેના મોટાભાગના અગત્યના ખ્યાલો જે. વી. પૉંસ્લે, ઍલેક્ઝાંડ્રિયાના પૅપસ (Pappus)’, જિરાર્ડ દ’ સર્ગ, વૉન સ્ટૉટ, બ્લેઇઝ પાસ્કલ અને ફેલિક્સ ક્લાઇને રજૂ કર્યા હતા. વિક્ટર પાસ્લેએ પ્રક્ષેપી ભૂમિતિ પર પ્રથમ પુસ્તક લખ્યું. તેમના આ પ્રદાન પછી પ્રક્ષેપી ભૂમિતિને યુક્લિડીય ભૂમિતિના માળખામાંથી મુક્ત કરી તેને સ્વતંત્ર સ્વરૂપમાં મૂકવાનો પ્રયત્ન થયો. ઓગણીસમી સદીના પૂર્વાર્ધમાં આ ભૂમિતિનો ઝડપથી વિકાસ થયો.

અગાઉ જણાવ્યા અનુસાર બિંદુ, રેખા અને સમતલ પ્રક્ષેપી ભૂમિતિમાં અવ્યાખ્યાયિત પદો છે. તેની સાથે કેટલાંક આપતન-અભિગૃહીતો લેવામાં આવે છે.

આપતન–અભિગૃહીતો (incidence axioms) : (1) ઓછામાં ઓછી એક રેખા અસ્તિત્વ ધરાવે છે. (2) પ્રત્યેક રેખા પર ઓછામાં ઓછાં ત્રણ બિંદુઓ આવેલાં હોય છે. (3) એક જ રેખા પર બધાં બિંદુઓ આવેલાં હોતાં નથી. (4) બે ભિન્ન બિંદુઓ એક અને માત્ર એક રેખા બનાવે છે. (5) બે ભિન્ન રેખાઓ એક અને માત્ર એક બિંદુ આગળ મળે છે.

પ્રક્ષેપી ભૂમિતિના પાયામાં જ દ્વિત્વ(duality)નો સિદ્ધાંત સંકળાયેલો હોવાથી આ ભૂમિતિમાં તે વ્યાપકપણે જોવા મળે છે. આથી પ્રક્ષેપી ભૂમિતિમાં રજૂ કરેલા દરેક ખ્યાલની સાથે તેનું દ્વિધ (dual) આપવું જરૂરી છે.

દ્વિત્વ (duality) : સમતલમાં આવેલાં બિંદુઓ અને રેખાઓ વચ્ચે ખાસ પ્રકારની સંમિતતા (symmetry) પ્રવર્તે છે જેને દ્વિત્વ કહેવામાં આવે છે; દા. ત. બિંદુ અને તેમાંથી પસાર થતી રેખાને બદલે રેખા અને તેના ઉપર આવેલું બિંદુ  એમ લખીએ તો આ બે વિધાનો વચ્ચે દ્વિત્વ પ્રવર્તે છે એમ કહેવામાં આવે છે; જેમ કે, કોઈ ભૌમિતિક વિધાનના કથનમાં કે કોઈ ભૌમિતિક આકૃતિના વર્ણનમાં જો બિંદુ અને રેખા; ‘માં આવેલું છે’ અને ‘માંથી પસાર થાય છે’; તથા ‘થી જોડેલાં છે’, અને ‘માં છેદે છે’ જેવાં શબ્દયુગ્મોમાં આવતા શબ્દોની અંદર અંદર અદલાબદલી કરવામાં આવે તો અગાઉનું ભૌમિતિક વિધાન નવા કથનરૂપે મળે છે કે અગાઉની ભૌમિતિક આકૃતિ કરતાં જુદી ભૌમિતિક આકૃતિ મળે છે. આવા વિધાન કે કથનને મૂળ વિધાનનું દ્વિત્વ કહેવામાં આવે છે. બિંદુ અને તેમાંથી પસાર ન થતી રેખાનું દ્વિધ (dual), રેખા અને તેના પર ન આવેલું બિંદુ છે. પ્રક્ષેપી ભૂમિતિમાં ત્રિકોણ(triangle)ની સાથે ત્રિભુજ (trilateral); સંપૂર્ણ ચતુષ્કોણ(complete quadrangle)ની સાથે સંપૂર્ણ ચતુર્ભુજ (complete quadrilateral); સમરેખ (collinear) બિંદુઓની સાથે સંગામી (concurrent) રેખાઓ વગેરે એકબીજાનાં દ્વિધ છે.

ત્રિકોણ અને ત્રિભુજ વચ્ચેનું દ્વિત્વ : ત્રિકોણ : તે ત્રણ અસમરેખસ્થ (non-collinear) બિંદુઓ અને ત્રણ બિંદુઓમાંથી મળતા બિંદુયુગ્મો(pair of points)થી નિશ્ચિત થતી ત્રણ રેખાઓથી બનેલી સંરચના (structure) છે. [જુઓ આકૃતિ 14 (i).]

ત્રિભુજ : ત્રણ અસંગામી(non-concurrent) રેખાઓ અને આ ત્રણ રેખાઓથી બનતાં રેખાયુગ્મો લઈ તેના છેદબિંદુમાંથી બનતી સંરચના તે ત્રિભુજ છે. [આકૃતિ 14 (i).]

ત્રિકોણ અને ત્રિભુજ વચ્ચેનું દ્વિત્વ અહીં રજૂ કરેલું છે :

	ત્રિકોણ	ત્રિભુજ
(1)	ત્રણ શિરોબિંદુઓથી રચાતી આકૃતિ છે.	ત્રણ બાજુઓથી રચાયેલી આકૃતિ છે.
(2)	ત્રણ શિરોબિંદુઓને બબ્બેની જોડમાં જોડવાથી મળતી આકૃતિ છે.	ત્રણ બાજુઓના બબ્બેની જોડમાં થતા છેદનથી મળતી આકૃતિ છે.
(3)	છેદબિંદુ આગળ બનતા ખૂણાથી બંધાયેલી આકૃતિ છે.	બાજુઓની બબ્બેની જોડથી રચાયેલી આકૃતિ છે.

સમતલમાં ત્રિભુજ અને ત્રિકોણ, બાજુઓ અને શિરોબિંદુ સાપેક્ષે દ્વિત્વ રચે છે, પરંતુ બંને એક જ આકૃતિ રજૂ કરતાં હોવાથી પ્રક્ષેપી ભૂમિતિમાં ત્રિકોણ અને ત્રિભુજ વચ્ચે કોઈ ભેદ નથી. એટલે કે પ્રક્ષેપી ભૂમિતિમાં ત્રિકોણ અને ત્રિભુજ વચ્ચે સ્વયં-દ્વિત્વ (self-duality) છે. પ્રક્ષેપી ભૂમિતિમાં સંપૂર્ણ ચતુષ્કોણ (complete quadrangle) અને સંપૂર્ણ ચતુર્ભુજ (complete quadrilateral) એવા બે ખ્યાલો છે. [આકૃતિ 15-(i), (ii).]

	સંપૂર્ણ ચતુષ્કોણ		સંપૂર્ણ ચતુર્ભુજ
(1)	ચાર બિંદુઓથી બનતી આકૃતિ છે. (A,B,C,D).	(1)	ચાર રેખાઓ બનતી આકૃતિ છે. (ℓ1, ℓ3, ℓ2, ℓ4.)
(2)	બિંદુઓને બબ્બેની જોડમાં જોડવાથી મળતી રેખાઓથી બનેલી આકૃતિ છે.	(2)	બબ્બેની જોડમાં રેખાઓ લઈએ ત્યારે રેખાઓનાં છેદબિંદુમાંથી મળતી આકૃતિ છે : (ℓ1, ℓ4), (ℓ3, ℓ4), (ℓ1, ℓ2), (ℓ2, ℓ3)
(3)	રેખાઓને ચતુષ્કોણની બાજુઓ કહે છે, જેની સંખ્યા છ (six) છે : AB, BC, CD, DA, AC, BD.	(3)	રેખાઓનાં છેદબિંદુઓને ચતુર્ભુજનાં શિરોબિંદુઓ કહે છે, જેમની સંખ્યા 6 છે : (ℓ1, ℓ4), (ℓ3, ℓ4), (ℓ1, ℓ2), (ℓ2, ℓ3), (ℓ2, ℓ4), (ℓ1, ℓ3).
(4)	સામસામેની બાજુઓનાં છેદબિંદુઓને વિકર્ણ-બિંદુઓ (diagonal points) કહે છે, જે ત્રણ છે : P, Q, R.	(4)	સામસામેનાં છેદબિંદુઓને જોડવાથી વિકર્ણ-રેખાઓ (diagonal lines) મળે છે, જે ત્રણ છે, : d1, d2, d3.
(5)	ત્રણ વિકર્ણ-બિંદુઓથી મળતી આકૃતિ વિકર્ણ-ત્રિકોણ (diagonal triangle) છે : Δ PQR.	(5)	ત્રણ વિકર્ણ-રેખાઓથી મળતી આકૃતિ વિકર્ણ ત્રિભુજ (diagonal trilateral) છે.
(6)	સંપૂર્ણ ચતુષ્કોણમાં છ બાજુઓ, ચાર શિરોબિંદુઓ ત્રણ વિકર્ણ-બિંદુઓ અને વિકર્ણ-ત્રિકોણ છે.	(6)	સંપૂર્ણ ચતુર્ભુજમાં છ શિરોબિંદુઓ, ચાર બાજુઓ, ત્રણ વિકર્ણ-રેખાઓ અને વિકર્ણ ત્રિભુજ (diagonal trilateral) છે.

પ્રક્ષેપી ભૂમિતિમાં સંપૂર્ણ ચતુષ્કોણ અને સંપૂર્ણ ચતુર્ભુજ બંને ભિન્ન આકૃતિઓ છે. [આકૃતિ 15 (1) અને (2)] અને બંને પરસ્પરનાં દ્વિધ છે.

બહુપરિમાણી અવકાશમાં દ્વિત્વ : સમતલ ભૂમિતિ, ઘન ભૂમિતિ અને પ્રક્ષેપી ભૂમિતિમાં દ્વિત્વ-સંબંધ જોવા મળે છે. તેવી જ રીતે બહુપરિમાણી (multidimensional) ભૂમિતિમાં પણ વ્યાપકપણે તે જોવા મળે છે. સમતલમાં બિંદુ અને રેખા દ્વિધ ઘટકો (dual elements) છે તે જાણીતું છે. ત્રિ-પરિમાણી અવકાશમાં બિંદુ અને સમતલ દ્વિધ ઘટકો છે અને રેખા સ્વયંદ્વિધ (self-dual) છે એટલે કે કોઈ પણ તર્કસિદ્ધ પ્રમેયમાં ‘બિંદુ’ને બદલે ‘સમતલ’ અને ‘સમતલ’ને બદલે ‘બિંદુ’ મૂકવામાં આવે અને ‘રેખા’ને જેમની તેમ રાખીએ તો મળતું નવું પ્રમેય તર્કસિદ્ધ હોય છે; દા.ત., ‘સમરેખ ન હોય તેવાં ત્રણ બિંદુઓ અનન્ય (unique) સમતલ નિશ્ચિત કરે છે’ અને ‘એક જ રેખામાંથી પસાર ન થતાં ત્રણ સમતલો એક અનન્ય બિંદુ નક્કી કરે છે.’ અહીં આ બે વિધાનો વચ્ચે દ્વિત્વ છે.

ચતુષ્પરિમાણી અવકાશમાં બિંદુ અને સપાટ (flat) ત્રિપરિમાણી અવકાશ પરસ્પર દ્વિધ-ઘટકો છે. રેખા અને સમતલ પરસ્પર દ્વિત્વ રચે છે. ચતુષ્પરિમાણમાં સ્વયંદ્વિધ ઘટક નથી. પંચપરિમાણી (five-dimensional) અવકાશમાં બિંદુ અને ચતુષ્પરિમાણી સપાટ અવકાશ દ્વિત્વ રચે છે. સમતલ (દ્વિ-પરિમાણી સપાટ અવકાશ) સ્વયંદ્વિધ છે. રેખા અને ત્રિપરિમાણી સપાટ અવકાશ દ્વિત્વ રચે છે. વ્યાપક રીતે n પરિમાણી અવકાશમાં નીચેના ઘટકો દ્વિત્વ રચે છે : બિંદુ અને (n–1)પરિમાણી સપાટ અવકાશ; રેખા અને (n–2) પરિમાણી સપાટ અવકાશ; સમતલ અને (n–3)પરિમાણી સપાટ અવકાશ;……; r–પરિમાણી અવકાશ અને (n-r-1)પરિમાણી સપાટ અવકાશ. n–પરિમાણી અવકાશમાં n-યુગ્મ (even) હોય ત્યારે સ્વયંદ્વિત્વ ન હોય, n અયુગ્મ હોય ત્યારે માત્ર  પરિમાણી અવકાશ જ સ્વયં દ્વિત્વ હોય છે. ભૂમિતિ અનેક નૈસર્ગિક ગુણધર્મો ધરાવે છે, જેમાં દ્વિત્વનો સિદ્ધાંત રસપ્રદ ગુણધર્મ છે.

ત્રિકોણયુગ્મ વચ્ચેનાં બે અગત્યનાં પરિણામો : બિંદુ-સાપેક્ષે સંદર્શ – ત્રિકોણો (triangles perspective from a point) : Δ ABC અને Δ A´B´C´નાં શિરોબિંદુઓને એક એક સંગતતામાં એવી રીતે મૂક્યાં છે જેથી સંદર્શતા-કેન્દ્ર (centre of perspectivity) ત્રિકોણનાં અનુરૂપ શિરોબિંદુ AA´, BB´, CC´ યુગ્મ સાથે સમરેખસ્થ થાય (આકૃતિ 16) અને ત્યારે ત્રિકોણો બિંદુ-સાપેક્ષે સંદર્શ છે એમ કહેવામાં આવે છે.

રેખા-સાપેક્ષે સંદર્શતા-ત્રિકોણો (triangles perspective from a line) :  Δ ABC અને Δ A´B´C´ની બાજુઓને એક એક સંગતતામાં એવી રીતે મૂકી છે, જેથી સંદર્શતા-અક્ષ B´ C´ (axis of perspectivity) ત્રિકોણની અનુરૂપ બાજુઓના, યુગ્મ BCB´C´, AB-A´B´, AC-A´C´ સાથે સંગામી (concurrent) થાય   (આકૃતિ 7) અને ત્યારે ત્રિકોણો રેખા-સાપેક્ષે સંદર્શ છે એમ કહેવામાં આવે છે. આકૃતિ (17) માં A´´ C´´ B´´ સંદર્શતા-અક્ષ છે.

બે ત્રિકોણોમાં બિંદુ-સાપેક્ષે સંદર્શતા અને અક્ષ-સાપેક્ષે સંદર્શતા – આ બે સંબંધો દ્વિત્વ-સંબંધો છે.

સંદર્શતા અંગેનો ગુણધર્મ : જો બે ત્રિકોણો બિંદુ(vertex)-સાપેક્ષે સંદર્શ હોય તો તે બે ત્રિકોણો અક્ષ(axis)-સાપેક્ષે પણ સંદર્શ હોય છે. આ પ્રમેય દ’ સર્ગના પ્રમેય તરીકે જાણીતું છે. એટલે કે બે ત્રિકોણોનાં સંગત શિરોબિંદુઓને જોડતી રેખાઓ (A´A, B´B, C´C) સંગામી હોય (0 બિંદુ આગળ) તો સંગત બાજુઓ(AB-A´B´, BC-B´C´, ACA´C´)નાં છેદનબિંદુઓ (C”, A”, B”) સમરેખસ્થ હોય છે.

દ’ સર્ગનું પ્રમેય : જો બે ત્રિકોણો બિંદુ (vertex) સાપેક્ષે સંદર્શ (perspective) હોય તો તે ત્રિકોણો અક્ષ(axis)-સાપેક્ષે સંદર્શ હોય છે એટલે કે બે ત્રિકોણોમાં સંગત શિરોબિંદુઓને જોડતી રેખાઓ સંગામી હોય તો સંગત બાજુઓનાં છેદન-બિંદુઓ સમરેખસ્થ હોય છે.

સાબિતી : ABC અને A´B´C´ બે અસમતલીય (non-coplanar) ત્રિકોણો છે. આ બે ત્રિકોણો અનુક્રમે વિભિન્ન સમતલ π અને π´ પર આવેલા છે. A´A, B´B, C´C રેખાઓ o બિંદુ આગળ સંગામી છે. હવે A´A અને B´B રેખાઓ પરસ્પરને o બિંદુ આગળ છેદે છે, તેથી તે એક સમતલ નિશ્ચિત કરે છે. રેખાઓ AB અને A´B´ આ જ સમતલ પર આવેલી હોવાથી પરસ્પરને છેદે છે. ધારો કે આ બિંદુ C” છે. બિંદુ C” એ સમતલ π અને π´ બંને પર આવેલું છે. આવી જ રીતે AC અને A´C´ પરસ્પરને B” બિંદુ આગળ, BC અને B´C´ પરસ્પરને A” બિંદુ આગળ છેદે છે. વળી છેદબિંદુઓ B”, A´ પણ π અને π´ બંને સમતલ પર આવેલાં છે. આમ ત્રણેય બિંદુઓ બંને સમતલ π અને π´ પર આવેલાં હોવાથી તે સમતલ π અને π´ની છેદક રેખા પર આવેલાં છે આથી તે બિંદુઓ સમરેખસ્થ છે. તેથી સંદર્શની વ્યાખ્યા અનુસાર ત્રિકોણો રેખાના સંદર્ભમાં સંદર્શી (perspective from line) છે. આમ આ પ્રમેય સાબિત થાય છે અને સાબિતી પૂરી થાય છે. દ’ સર્ગનું પ્રમેય પ્રક્ષેપી ભૂમિતિનું એક લાક્ષણિક પ્રમેય છે. દ’ સર્ગના પ્રમેયની પ્રતિજ્ઞામાંથી જોઈ શકાય છે કે અહીં માત્ર બિંદુઓનાં જોડાણ અને રેખાઓના છેદન અંગેનો સંબંધ વ્યક્ત કરવામાં આવેલો છે. અહીં અંતર, ખૂણા, એકરૂપતા કે સમાંતરતા કોઈ ભાગ ભજવતાં નથી. તેમાં A, B, C; A´, B´, C´; A”, B”, C” અને o એમ દસ બિંદુઓ આવે છે. આ બિંદુઓને ગમે તેમ આડાંઅવળાં મૂકવામાં આવે તો ફેર પડતો નથી. આકૃતિ(18)માં જેમ દસ બિંદુઓ છે, તેમ દસ સુરેખાઓ પણ છે. દરેક સુરેખા પર ત્રણ બિંદુઓ છે અને દરેક બિંદુમાંથી ત્રણ ત્રણ સુરેખાઓ પસાર થાય છે. આ પ્રમેયનું પ્રતિપ્રમેય જે તેનું દ્વિત્વ છે તે પણ સાચું છે.

પાસ્કલનું પ્રમેય : શાંકવ (conic) ઉપર કોઈ પણ છ બિંદુઓ  A, B, C, D, E, F આવેલાં હોય તો AB અને DE; BC અને EF તેમજ CD અને FA – આ ત્રણ રેખાયુગ્મનાં છેદનબિંદુઓ સમરેખસ્થ હોય છે (આકૃતિ-19) :

પાસ્કલના પ્રમેયનું દ્વિધ (dual of Pascal’s theorem) : એક શાંકવને પરિગત (circumscribed) ષટ્કોણ લઈએ તો તે ષટ્કોણનાં સામસામેનાં બિંદુઓને જોડતી રેખાઓ સંગામી (concurrent) હોય છે. આ પ્રમેય બ્રાયન્કોનના પ્રમેય તરીકે જાણીતું છે. (આકૃતિ 20)

રેખાખંડ ABનું C અને D બિંદુઓ એકસરખા ગુણોત્તરમાં આંતરિક અને બાહ્ય વિભાજન કરે છે (AC/CB = AD/DB). અહીં C અને D બિંદુઓને, A અને B બિંદુ-સાપેક્ષે સ્વરિત સંયુગ્મી (harmonic conjugate) કહેવામાં આવે છે. આવી જ રીતે A અને B બિંદુઓ C અને D બિંદુ-સાપેક્ષે સ્વરિત સંયુગ્મી હોય જ છે. A, B, C, D બિંદુઓ સ્વરિત-વિસ્તાર (harmonic range) કે સ્વરિત સંયુગ્મી બિંદુશ્રેણી H (A, B; C, D) રચે છે એમ કહેવામાં આવે છે. રેખા પરનાં બે નિશ્ચિત બિંદુઓ A, B માટે તે રેખા પરના બિંદુ Cને અનુરૂપ અનન્ય બિંદુ D અથવા Dને અનુરૂપ અનન્ય બિંદુ C મળે છે, જેની રચના આકૃતિ 21માં દર્શાવી-વર્ણવી છે.

વૈકલ્પિક રીત A, B, C, D ચાર સમરેખસ્થ બિંદુઓ છે, જેમાં A અને B એ સંપૂર્ણ ચતુર્ભુજ OPRQનાં વિકર્ણ-બિંદુઓ છે. C અને D બિંદુઓ સંપૂર્ણ ચતુર્ભુજની ભિન્ન બાજુઓ પર આવેલાં છે, જે ત્રીજા વિકર્ણ-બિંદુમાંથી પસાર થાય છે. આવાં A, B, C, D બિંદુઓ સ્વરિત બિંદુશ્રેણી રચે છે એમ કહેવામાં આવે છે. તેને H (A, B; C, D)થી દર્શાવવામાં આવે છે. (આકૃતિ-21)

પ્રમેય : જો A, B, C ત્રણ ભિન્ન સમરેખસ્થ બિંદુઓ હોય તો એવું એક અનન્ય બિંદુ D અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી આવાં A, B, C, D બિંદુઓ સ્વરિત બિંદુશ્રેણી રચે છે. એટલે કે સંકેતમાં H (A, B; C, D) છે. આવું ચોથું બિંદુ D શોધવા માટે રચના કરવી પડે છે.

   રચના : A, B, C ત્રણ સમરેખસ્થ બિંદુઓ છે. ચોથું બિંદુ D એવું શોધવું છે કે જેથી A, B, C, D સ્વરિત બિંદુશ્રેણી બનાવે. AB એક રેખા છે. AB ઉપર ન હોય એવું એક o બિંદુ છે. AB પર એક C બિંદુ છે. OA, OB, OC જોડવી જોઈશે. OC પર એક R-બિંદુ લઈ, ARને લંબાવવી જોઈએ. તે OBને P બિંદુ આગળ મળશે. BRને લંબાવતાં તે OAને બિંદુ Q આગળ મળશે. QPને જોડીને લંબાવતાં તે લંબાવેલી રેખા ABને D બિંદુ આગળ મળશે. આમ D બિંદુ ACB પરનું એકમેવ ચોથું બિંદુ છે કે જેથી H (A, B; C, D) થાય છે. દ’ સર્ગના પ્રમેયને વારંવાર પ્રયોજી ચતુર્થ બિંદુનું અનન્ય અસ્તિત્વ સાબિત કરી શકાય છે. A, B, C, D ચાર સમરેખસ્થ બિંદુઓ માટે ગુણોત્તરને વિસ્તાર(AB, CD)નો તિર્યક ગુણોત્તર (cross ratio) કહેવામાં આવે છે, જે વાસ્તવિક સંખ્યા છે અને પ્રક્ષેપન પછી પણ આ ગુણોત્તર યથાવત્ રહે છે. ઉદાહરણ તરીકે, A, B, C, Dનાં પ્રક્ષેપી બિંદુ A´, B´, C´, D´ માટે નિશ્ચર છે. વળી છે. એટલે કે તિર્યક્ગુણોત્તર પ્રક્ષેપી નિશ્ચર છે. સ્વરિત વિસ્તાર તિર્યક ગુણોત્તરનું વિશિષ્ટ ઉદાહરણ હોવાથી તે પણ પ્રક્ષેપી નિશ્ચર છે. સ્વરિત વિસ્તાર માટે ગુણોત્તર–1 છે.

ચાર સંગામી રેખાઓની રેખાવલી (pencil) છે. (આકૃતિ 22) કોઈ પણ ચાર બિંદુઓમાં છેદતી તિર્યક છેદક રેખાથી મળતા વિસ્તારનો તિર્યક ગુણોત્તર અચલ હોય છે. આ અચલ, ગણનામાં લીધેલી રેખાવલીનો તિર્યક ગુણોત્તર છે. આમ ચાર સંગામી રેખાઓની રેખાવલીનો તિર્યક ગુણોત્તર પ્રક્ષેપીય નિશ્ચર છે. જો આ રેખાવલીનો તિર્યક ગુણોત્તર1 હોય તો રેખાવલીને સ્વરિત રેખાવલી (harmonic pencil) કહેવાય છે. સ્વરિત રેખાવલી હંમેશાં સ્વરિત રેખાવલીમાં પ્રક્ષેપિત થાય છે. પ્રક્ષેપી ભૂમિતિમાં તિર્યક ગુણોત્તર વ્યક્ત કરવા માટે ફૉન સ્ટૉટ (Venstaudt)ની ચાર સંજ્ઞાઓ α, β, γ, δ વાપરવામાં આવે છે. આ સંજ્ઞાઓ સંખ્યા વ્યક્ત કરતી નથી. તિર્યક ગુણોત્તરને થી દર્શાવવામાં આવે છે.

કેન્દ્રીય સંદર્શતા : એક રેખા પરનાં બિંદુઓનું બીજી રેખા પરનાં બિંદુઓ સાથેનું વ્યાપ્ત (onto) રૂપાંતરણ એવું હોય કે જેથી બે રેખા પરનાં અનુરૂપ બિંદુઓનું પ્રત્યેક યુગ્મ, કોઈ એક નિશ્ચિત બિંદુ સાથે સમરેખસ્થ હોય તો રૂપાંતરણને કેન્દ્રીય સંદર્શતા (central perspectivity) કહેવામાં આવે છે. આકૃતિ 22 કેન્દ્રીય સંદર્શતાનું ઉદાહરણ છે :

આકૃતિમાં o નિશ્ચિત બિંદુ છે. A, B, C વગેરે બિંદુઓનાં અનુરૂપ રૂપાંતરિત બિંદુઓ A´, B´, C´ વગેરે છે. જો T (A) = A´, T (B) = B´, T(C) = C´…. હોય તો T(A, B, C, D) = A´, B´, C´, D´ મળે.

એક રેખા પરનાં બિંદુઓનું બીજી રેખા પરનાં બિંદુઓ સાથેના જે વ્યાપ્ત રૂપાંતરણને પરિમિત સંખ્યાની કેન્દ્રીય સંદર્શતાઓના ગુણાકાર સ્વરૂપે દર્શાવી શકાય તેને પ્રક્ષેપીય રૂપાંતરણ કહે છે. આકૃતિ 23માં રેખા ℓના m પરના પ્રક્ષેપીય રૂપાંતરણને દર્શાવ્યું છે.

અહીં T (A, B, C) = A´, B´, C´ અને T´ (A´, B´, C´) = A”, B”, C” ⇒ T´T (A, B, C) = A”, B”, C”. આમ T´T પ્રક્ષેપીય રૂપાંતરણ છે. પ્રત્યેક પ્રક્ષેપણ કેન્દ્રીય સંદર્શતા હોય એ જરૂરી નથી, પરંતુ પ્રત્યેક કેન્દ્રીય સંદર્શતા પ્રક્ષેપણ હોય છે. દરેક પ્રક્ષેપીય રૂપાંતરણ Tનું વ્યસ્ત (inverse) T^–1 મળે છે અને તે પણ પ્રક્ષેપીય રૂપાંતરણ હોય છે. (જુઓ આકૃતિ 23.) એટલે કે T (A, B, C) = A”, B”, C” ⇔ T^–1 (A´´, B´´, C´´) = A, B, C :

પ્રક્ષેપી ભૂમિતિનું મૂળભૂત પ્રમેય (fundamental theorem of projective geomatry) : આપેલી રેખા પરનાં આપેલાં ત્રણ ભિન્ન બિંદુઓને આપેલા ક્રમમાં અન્ય રેખા પરનાં આપેલાં ત્રણ ભિન્ન બિંદુઓ પર આલેખિત કરે તેવું એક અનન્ય પ્રક્ષેપીય રૂપાંતરણ છે.

પૅપસ પ્રમેય (Pappusનું theorem) : જો A, B, C કોઈ એક સમતલ પરનાં સમરેખસ્થ બિંદુઓ હોય અને A´, B´, C´ તે જ સમતલ પરનાં બીજાં ત્રણ સમરેખસ્થ બિંદુઓ હોય તો AB´, BA´; AC´, CA´; BC´, CB´ના છેદબિંદુઓ L, M, N સમરેખસ્થ હોય છે :

આકૃતિ 4માં LMN રેખાને પૅપસ રેખા કહેવામાં આવે છે. આ પ્રમેય દ’ સર્ગના પ્રમેય જેવું જ છે. તેમાં 9 બિંદુઓ અને 9 સુરેખાઓ છે. દરેક બિંદુમાંથી ત્રણ સુરેખાઓ પસાર થાય છે અને દરેક સુરેખા પર ત્રણ ત્રણ બિંદુઓ છે.

પ્રથમ રેખા પરના X બિંદુને સંગત, બીજી રેખા પર Y બિંદુ મળે છે (આકૃતિ–24). એક જ રેખા પરનાં ચાર બિંદુઓ ધ્યાનમાં લેતાં એ ચાર બિંદુઓ વચ્ચેનાં અંતરો અને તેમનાં પ્રક્ષેપિત બિંદુ વચ્ચેનાં અંતરો ચોક્કસ સંબંધ ધરાવતાં જણાય છે. એટલે કે મૂળ રેખા પરનાં ચાર સમરેખ બિંદુઓ X, A, B, C હોય અને તેનાં પ્રક્ષેપિત બિંદુઓ Y, A´, B´, C´ હોય તો તિર્યક ગુણોત્તર (X, A, B, C) = તિર્યક ગુણોત્તર (Y, A´, B´, C´) થાય છે. આમ ચાર સમરેખ બિંદુઓનો એક ગણ, અનુરૂપ ચાર પ્રક્ષેપિત બિંદુઓના ગણ સાથે પ્રક્ષેપી હોવા માટેની આ શરત છે.

અહીં બે બાબતો નોંધવાપાત્ર છે :

(1) આપાત ગુણધર્મોના સંદર્ભમાં વિચારીએ તો પૅપસનું પ્રમેય-પ્રક્ષેપી ભૂમિતિના મૂળભૂત પ્રમેય સાથે સામ્ય ધરાવતું પ્રમેય છે.

(2) વળી પૅપસનું પ્રમેય, પાસ્કલના પ્રમેયનું વિશિષ્ટ ઉદાહરણ છે; કારણ કે અહીં શાંકવ રેખાયુગ્મના સ્વરૂપમાં અપહ્રાસિત (degenerate) થાય છે.

પ્રક્ષેપી ભૂમિતિના યામો (co-ordinates in projective geometry) : માપન ભૂમિતિમાં કાર્તેઝિયન યામ(Cartesian co-ordinates)નો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. સમતલ પરનું બિંદુ નિશ્ચિત કરવા માટે સંખ્યાયુગ્મની જરૂર પડે છે. સમતલ પરનાં બિંદુઓ અને સંખ્યાઓની ક્રમયુક્ત જોડ (ordered pair) વચ્ચે એક એક સંગતતા પ્રવર્તે છે. કાર્તેઝિયન યામ પદ્ધતિ ઉપરાંત ધ્રુવીય યામ (polar co-ordinates) પદ્ધતિ, ગોલીય ધ્રુવ યામ (spherical polar co-ordinates) પદ્ધતિ જેવી વિવિધ યામ-પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે.

પ્રાચીન ગણિતજ્ઞો અંકગણિત અને બીજગણિતની સમસ્યાઓ કેટલીક વાર ભૌમિતિક આકૃતિઓના સ્વરૂપમાં વ્યક્ત કરી ઉકેલતા. હવે ભૂમિતિની સમસ્યાઓને બીજગણિતથી ઉકેલવાની શરૂઆત થઈ છે. સમતલીય પ્રક્ષેપી ભૂમિતિમાં બૈજિક પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. આ ભૂમિતિમાં ‘બિંદુ’ અને ‘રેખા’ને દ્વિધ ઘટકો ગણવામાં આવે છે.

પ્રક્ષેપી ભૂમિતિમાં સમતલ પરના બિંદુને વાસ્તવિક સંખ્યાઓની ક્રમયુક્ત ત્રિપુટી (ordered triplet) (x₁, x₂, x₃) ≠ (0, 0, 0)થી દર્શાવવામાં આવે છે. તેને (kx₁, kx₂, kx₃), (k ≠ 0)થી પણ દર્શાવી શકાય છે. (x₁, x₂, x₃) અને (kx₁, kx₂, kx₃) એક જ બિંદુ દર્શાવે છે. આ યામોને સમઘાત યામો કે સમઘાત નિર્દેશાંકો (homogeneous co-ordinates) કહેવામાં આવે છે. સમઘાત યામોમાં સુરેખાનું સમીકરણ lx + my + nz = 0 છે. તેને વાસ્તવિક સંખ્યાઓની ક્રમયુક્ત ત્રિપુટીના સ્વરૂપમાં [l, m, n] ≠  (0, 0, 0)થી દર્શાવવામાં આવે છે. અહીં [λl, λm, λn] અને [l, m, n] એક જ સુરેખા દર્શાવે છે. ^.(x, y, z) બિંદુ, નિશ્ચિત રેખા [l, m, n] પરનું ચલબિંદુ હોય તો lx + my + nz = 0 સુરેખાનું સમીકરણ દર્શાવે છે. જ્યારે [l, m, n] રેખા, નિશ્ચિત બિંદુ ^.(x, y, z)માંથી પસાર થતી હોય તો xl + ym + zn = 0 ને બિંદુનું સમીકરણ કહેવામાં આવે છે. રેખાયામ અને બિંદુયામને સ્પર્શરેખીય (tangential) સમીકરણ કહેવામાં આવે છે. આમ સમઘાત યામોમાં ‘બિંદુ’ અને ‘રેખા’ વચ્ચેનું દ્વિત્વ (duality) જોવા મળે છે, જે સમીકરણોમાં x, y, z અને l, m, nની તેમજ નાના અને મોટા કૌંસની અદલાબદલી કરવાથી મળે છે. રેખા [1, 2, 3]નું સમીકરણ 1x + 2y + 3z = 0 છે અને રેખા 2x – 4y + 5z = 0ના યામ [2, –4, 5] છે. વળી બિંદુ (2, –1, 0)નું સમીકરણ 2x–y = 0 છે અને x – z = 0 બિંદુના યામ (1, 0, –1) છે.

પ્રક્ષેપી ભૂમિતિ એ ભૂમિતિની કોઈ ખાસ શાખા નથી, પરંતુ તે એક વ્યાપક ભૂમિતિ છે. તેમાં બિંદુ, રેખા, સમતલ વગેરે જેવાં અવ્યાખ્યાયિત પદો અને થોડી આપતન-પૂર્વધારણાઓ કે અભિગૃહીતો લઈ ખૂબ ઝીણવટથી વિસ્તૃત સંરચના (structure) ઊભી કરવામાં આવી છે. તેમાં માપના અને માપનના ખ્યાલો(જેમ કે લંબાઈ, ખૂણા વગેરેનું માપન)નો ઉપયોગ પ્રચલિત સંદર્ભમાં કરવામાં આવતો નથી. બહુ મોટી સંખ્યામાં અગત્યનાં પરિણામો મેળવ્યા પછી તેમાં આદર્શ બિંદુઓ, નિરપેક્ષ બિંદુઓ, આદર્શ રેખા વગેરેનું નિરૂપણ કરી તેમાંથી યુક્લિડીય, અયુક્લિડીય, અફાઇન ભૂમિતિ સ્થાપિત કરવામાં આવી માટે પ્રક્ષેપી ભૂમિતિ ‘સકલ’ ભૂમિતિ છે (Projective geometry is all geometry)  – આવું એક ખ્યાતનામ ગણિતશાસ્ત્રીનું વિધાન છે.

એ. આર. રાવ

શિવપ્રસાદ મ. જાની

રીમાન્નીય ભૂમિતિ (Riemannian Geometry)

યુક્લિડની ભૂમિતિની બીજી પૂર્વધારણામાં અનંત(infinite)ને બદલે નિ:સીમ (unbounded) અને પાંચમી પૂર્વધારણામાં ‘માત્ર એક જ સમાંતર સુરેખા દોરી શકાય’ને બદલે ‘એક પણ સમાંતર સુરેખા ન દોરી શકાય’ આ બે ફેરફાર કરવાથી મળતી અયુક્લિડીય ભૂમિતિ.

યુક્લિડની ભૂમિતિમાં પાંચ પૂર્વધારણાઓ છે. તેમાંની પાંચમી પૂર્વધારણા સમાંતરની પૂર્વધારણા તરીકે જાણીતી છે.

સમાંતરની પૂર્વધારણા : કોઈ એક સુરેખા આપેલી હોય, તેની બહાર એક બિંદુ આપેલું હોય, તો તે બિંદુમાંથી તે સુરેખાને સમાંતર એક જ સુરેખા દોરી શકાય છે. આ પૂર્વધારણાએ ભૂમિતિના વિકાસમાં અગત્યનો ભાગ ભજવ્યો છે. બોલ્યાઈ અને લૉબેશિવ્સ્કી નામના ગણિતશાસ્ત્રીઓએ સુરેખાની બહારના બિંદુમાંથી સુરેખાને એક કરતાં વધારે સમાંતર સુરેખાઓ દોરી શકાય તેવી પૂર્વધારણા સ્વીકારી, તે પર આધારિત અયુક્લિડીય ભૂમિતિની રચના; કરી જે અતિવલયી ભૂમિતિ તરીકે ઓળખાય છે.

રીમાન્ને યુક્લિડીય ભૂમિતિમાં બીજી અને પાંચમી પૂર્વધારણાઓ બદલી બીજા પ્રકારની અયુક્લિડીય ભૂમિતિ રચી. ‘કોઈ પણ રેખાખંડને બંને બાજુએ જ્યાં સુધી લંબાવવો હોય ત્યાં સુધી લંબાવી શકાય.’ સુરેખાને છેડા નથી; તે અનંત છે. રીમાન્ને આ પૂર્વધારણામાં ફેરફાર કર્યો. રીમાન્નની સુરેખા વર્તુળાકાર છે. વર્તુળને છેડા નથી છતાં તેના પરિઘની લંબાઈ અનંત નથી. આથી અનંતને બદલે તેને નિ:સીમ (unbounded) કહીએ. વળી યુક્લિડની પાંચમી પૂર્વધારણાને બદલે; ‘કોઈ એક સુરેખા આપેલી હોય તેની બહાર એક બિંદુ આપ્યું હોય તો તે બિંદુમાંથી પસાર થતી અને આપેલી સુરેખાને સમાંતર હોય એવી એક પણ સુરેખા દોરી શકાય નહિ’ – આવી પૂર્વધારણા રીમાન્ને સ્વીકારી. એટલે કે આપેલા બિંદુમાંથી દોરેલી સઘળી સુરેખાઓ આપેલી સુરેખાને છેદશે જ. આમ રીમાન્નીય ભૂમિતિમાં સમાંતર રેખાઓનું અસ્તિત્વ જ નથી. રીમાન્નની ભૂમિતિ ગોલક પરની ભૂમિતિ છે. આ ભૂમિતિમાં ત્રિકોણના ત્રણ ખૂણાનો સરવાળો હંમેશાં બે કાટખૂણા (180°) કરતાં વધારે જ થાય છે, (આકૃતિ 25) વળી ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ જેમ ઘટતું જાય તેમ ત્રણ ખૂણાનો સરવાળો 180°ની નજીક આવતો જાય છે. પૃથ્વીની સપાટી ગોલકના પૃષ્ઠ જેવી હોવાથી પૃથ્વીની સપાટી પરની ભૂમિતિ રીમાન્નીય ભૂમિતિ જ છે.

રીમાન્નની ભૂમિતિમાં બે બિંદુને જોડતી સુરેખા તે બે બિંદુઓ વચ્ચેનું ન્યૂનતમ અંતર છે. રીમાન્નીય ભૂમિતિમાં બે બિંદુને જોડતા ન્યૂનતમ અંતરવાળા માર્ગને ભૂરેખા (geodesic) કહેવામાં આવે છે. યુક્લિડીય ભૂમિતિમાં તેને સુરેખા કહેવામાં આવે છે. ગોલકની વક્ર સપાટી પર દોરેલી ભૂરેખાઓ દીર્ઘવર્તુળો (great circles) છે; રેખાંશવૃત્તો પણ દીર્ઘવર્તુળો છે. ગોલક પરની રેખાઓ દીર્ઘવૃત્તો હોવાથી તે રેખાઓ અનંત નથી, પરંતુ નિ:સીમ છે. બે દીર્ઘવૃત્તો એકબીજાને સમાંતર નથી. હકીકતમાં બે દીર્ઘવૃત્તો એકબીજાને બે બિંદુ આગળ છેદે છે. પૃથ્વી ગોલક આકારની છે, તેથી પૃથ્વી પરનાં માપ અને આકૃતિઓ રીમાન્નીય ભૂમિતિને અનુસરે છે. રીમાન્નીય ભૂમિતિનો ગાણિતિક અભ્યાસ કરવા માટે પ્રદિશ (tensor) અંગે જાણવું જરૂરી છે. (વિશ્વકોશ, ખંડ 8ના પાન 182 પર ‘ટેન્સર’ના અધિકરણમાં તે અંગે વિગતો આપેલી છે.) ત્રિપરિમાણી અવકાશમાં (x, y, z) અને (x + dx, y + dy, z + dz) બિંદુઓ વચ્ચેના અંત dsને ds² = dx² + dy² + dz² સૂત્ર વડે દર્શાવવામાં આવે છે. (અહીં x, y, z કાર્તેઝીય યામો છે.) વક્રીય યામપદ્ધતિ(curvilinear co-ordinates)માં અંતરનું સૂત્ર ds² = adu² + bdv² + cdw² + 2fdudv + 2gdudw + 2hdwduથી દર્શાવવામાં આવે છે. અહીં a, b, c, f, g, h એ વક્રીય યામ u, v, wનાં વિધેયો છે. આ જ વિભાવનાને રીમાન્ને n – પરિમાણી – અવકાશ માટે વિસ્તારી છે. કોઈ પણ પદ્ધતિ જેમાં બે નજીકનાં બિંદુઓના યામો x² અને x² + dx² (i = 1, 2,…, n) હોય તો તે બે બિંદુઓ વચ્ચેના અંતર dsને ds² = g_ij dxⁱ dx^j (i, j = 1, 2, …, n)….(1) વડે દર્શાવવામાં આવે છે. અહીં gij એ બે કક્ષાના સહચલ સંમિત ટેન્સરના સહગુણકો છે અને પ્રણાલિકાનુસાર g_ij dxⁱ dx^j એ ખરેખર તો આ પ્રકારનાં પદોનો સરવાળો દર્શાવે છે. |g_ij| ≠ 0 છે. દર્શાવેલા વર્ગાત્મક-વિકલ સ્વરૂપને રીમાન્નીય ‘માન’ કહેવામાં આવે છે. રીમાન્નીય માન ઉપર આધારિત ભૂમિતિને રીમાન્ન-ભૂમિતિ કહેવામાં આવે છે. માન ટેન્સર gijના અનુબદ્ધ ટેન્સરના સંઘટકો g^ij છે. કોઈ પણ ટેન્સરના અનુગોનું નિમ્નીકરણ અને ઊર્ધ્વીકરણ gij અને g^ijની મદદથી કરી શકાય છે. n-પરિમાણીય રીમાન્નીય અવકાશ xⁱ = x^i(t) વડે વ્યાખ્યાયિત વક્રના t = t_o અને t = t₁ બિંદુઓ વચ્ચેના – ચાપની લંબાઈ ..(2) સૂત્રથી આપવામાં આવે છે. Aⁱ અને Bⁱ અનુક્રમે પ્રતિચલ અને સહચલ સદિશોના સંઘટકો (components) છે અને તેમનાં માન અનુક્રમે A અને B છે. A અને Bની વ્યાખ્યાઓ A² = gij Aⁱ A^j અને B² = g^ij Bi Bj છે. l અને m માનવાળા બે પ્રતિચલ સદિશોના સંઘટકો λlⁱ અને μ^j હોય તો આ બે સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો(q), સૂત્ર વડે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. જો g_ij lⁱ m^j = 0 હોય તો આ બે સદિશો પરસ્પર લંબ છે એમ કહેવામાં આવે છે.

રીમાન્નીય ભૂમિતિમાં ક્રિસ્ટૉફેલ સંજ્ઞાઓ મહત્વપૂર્ણ ભાગ ભજવે છે. પ્રથમ પ્રકારની ક્રિસ્ટૉફેલ સંજ્ઞા [ij, k] અને દ્વિતીય પ્રકારની ક્રિસ્ટૉફેલ સંજ્ઞા છે. આ સંજ્ઞાઓ ટેન્સરના સંઘટકો નથી; વળી તે i અને jમાં સમમિત (symmetric) છે. તેના કેટલાક અગત્યના ગુણધર્મો ટેન્સરના અધિકરણમાં આપેલા છે.

કોઈ પણ ટેન્સરનું આંશિક વિકલન ટેન્સર હોતું નથી. ક્રિસ્ટૉફેલ સંજ્ઞાઓનો ઉપયોગ કરી ટેન્સરનું એવું વિકલન મેળવી શકાય છે, જે ટેન્સર હોય છે. આવા વિકલનને ટેન્સરનું સહચલ વિકલન કહેવામાં આવે છે. કોઈ પણ ટેન્સરના સહચલ વિકલનની વ્યાખ્યા આપી શકાય છે. બે પ્રદિશ એક જ પ્રકારના હોય તો તેમનો સરવાળો પણ તે જ પ્રકારનો પ્રદિશ થાય છે. બે પ્રદિશોના સરવાળા, બહિર્ગુણન અથવા અંતર્ગુણનનું સહચલ વિકલન આંશિક વિકલનના નિયમોનું પાલન કરે છે. પ્રતિચલ સદિશ uⁱ નું (ડાયવર્જન્સ) છે. અહીં   g = |g_ij| છે. અદિશ વિધેય Φ ને લાપ્લાસીયની વ્યાખ્યા  થી આપવામાં આવે છે. સતત અદિશ વિધેયનું આંશિક વિકલન સમક્રમી હોય છે; પરંતુ સહચલ વિકલન સમક્રમી હોતું નથી. એ (1,3) પ્રકારના ટેન્સરના સંઘટકો છે. આ સંઘટકોને રીમાન્ન-વક્રતા-ટેન્સરના સંઘટકો કહેવામાં આવે છે. સામાન્ય રીતે  શૂન્ય હોતો નથી, તેથી સહચલ વિકલન સમક્રમી નથી. અવકાશના કોઈ પ્રદેશની ભૂમિતિ રીમાન્નીય હોય તો તે અવકાશ વક્રતાવાળો છે એમ ગણી શકાય. રીમાન્ન-વક્રતા-ટેન્સરનો આઇન્સ્ટાઇનના સાપેક્ષવાદમાં ઉપયોગ કરવામાં આવે છે.

વક્રતા-ટેન્સરનાં ત્રણ પ્રકારનાં સંકોચનો છે. પ્રથમ સંકોચન શૂન્ય છે, જ્યારે બાકીના બે એકબીજાથી વિરુદ્ધ ચિહ્નનાં છે; તેથી જ અર્થપૂર્ણ છે. R_jk (0, δ) પ્રકારના ટેન્સરના સંઘટકો છે. આ ટેન્સરને ‘રિસી’(Ricci)-ટેન્સર કહેવામાં આવે છે. બધા જ j અને k માટે R_jk = R_kj છે, આમ આ ટેન્સર સમમિત છે. સહચલ વક્રતા-ટેન્સર R_hijkની વ્યાખ્યા  છે. R_hijk સમમિતતા ગુણધર્મો ધરાવે છે. R_hijk + R_hjki + R_hkij = 0ને વક્રતા-ટેન્સર માટેનું ચક્રીય નિત્યસમ કહેવામાં આવે છે. વળી R_hijk,l + R_hikl,j + R_hilj,k = 0(4) વક્રતા-ટેન્સરનું પાલન કરે છે. આ નિત્યસમને બિયાન્કી નિત્યસમ Bianchi-Identitiesકહેવામાં આવે છે. g^il R_jk = R એક અદિશ રાશિ છે. Rને રીમાન્નીય અવકાશનો વક્રતા-અદિશ કહેવામાં આવે છે. = g^il R_lk એ (1,1) પ્રકારના મિશ્ર ટેન્સરના સંઘટકો છે. આ ટેન્સરને મિશ્ર રિસી-ટેન્સર કહેવામાં આવે છે જો આઇન્સ્ટાઇન-ટેન્સરના સંઘટકો કહેવામાં આવે છે. આ ટેન્સર સાપેક્ષવાદમાં અગત્યનો ભાગ ભજવે છે.

g_ik અને δ_ikનાં સહચલ વિકલનો શૂન્ય છે – આ બાબત તેમજ બિયાન્કી નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીને = 0 છે એમ સાબિત કરી શકાય છે; જે એમ બતાવે છે કે આઇન્સ્ટાઇન-ટેન્સર ડાયવર્જન્સ-મુક્ત છે. n-પરિમાણીય રીમાન્નીય અવકાશમાં એક વક્ર C છે. તેનું સમીકરણ xⁱ = xⁱ (s) છે. વક્રના ચાપની લંબાઈ s છે. વક્ર C પરના P બિંદુ આગળનો એકમ સ્પર્શક સદિશ છે.

એકમ સદિશના સંઘટકો છે.   ને ભૂરેખીય (geodesic) વક્રતા-સદિશના સંઘટકો કહેવામાં આવે છે. આ સદિશની લંબાઈ K_gને ભૂરેખીય વક્રતા (geodesic curvature) કહેવામાં આવે છે. વળી  ને ભૂરેખીય અભિલંબ (geodesic-normal) ના સંઘટકો કહેવામાં આવે છે. સદિશ  અને  પરસ્પરને લંબ છે. જો Kg = 0 હોય તો વક્ર C, રીમાન્નીય અવકાશની ભૂરેખા બને છે.

રીમાન્નીય અવકાશમાં ભૂરેખાનાં સમીકરણ  છે.

જે અવકાશ માટે R_hijk = 0 હોય તેવા અવકાશને સપાટ અવકાશ (flat space) કહેવામાં આવે છે.

R_hijk = k (g_hj g_ik – g_hk g_ij)…(7) હોય તો તેમાં k અચળ છે એમ સાબિત કરી શકાય છે. આવા અવકાશને અચળ વક્રતાવાળો અવકાશ કહેવામાં આવે છે. જે રીમાન્ન અવકાશ માટે R_ij = λG_ij, (λ-અચળ) હોય તેવા અવકાશને આઇન્સ્ટાઇન-અવકાશ કહેવામાં આવે છે. અચળ વક્રતાવાળો અવકાશ હંમેશાં આઇન્સ્ટાઇન-અવકાશ હોય છે. પ્રત્યેક દ્વિપરિમાણી અવકાશ આઇન્સ્ટાઇન-અવકાશ છે. પ્રત્યેક ત્રિપરિમાણી આઇન્સ્ટાઇન-અવકાશ હંમેશાં અચળ વક્રતાવાળો અવકાશ છે.

લીલાધર ખેસાભાઈ પટેલ

વૈશ્લેષિક ભૂમિતિ (Analytic Geometry)

ભૌમિતિક પ્રશ્નોને હલ કરવા માટે બૈજિક પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરી રચેલી ભૂમિતિ.

1637માં દ’ કાર્ત-રેનેએ વૈશ્લિષિક ભૂમિતિ રચી, તેમાં બીજગણિતનો ઉપયોગ શરૂ કર્યો. તેમાં સમતલ પરનાં બિંદુઓને બે વાસ્તવિક સંખ્યાની ક્રમયુક્ત જોડ તરીકે તેમજ રેખા અને વક્રોને બૈજિક સમીકરણ સ્વરૂપે રજૂ કર્યાં.

વૈશ્લેષિક ભૂમિતિનો આધાર એ સંખ્યાઓ વડે અવકાશમાં બિંદુનું સ્થાન નિશ્ચિત કરતો વિચાર છે. ઉદાહરણત: અક્ષાંશ, રેખાંશ અને પૃથ્વીથી ઊંચાઈ દ્વારા દર્શાવાતા બિંદુનો અભિગમ ઈ. પૂ. ત્રીજી સદીમાં થઈ ગયેલા ગણિતી પર્ગાના ઍપોલોનિયસ અને આર્કિમિડીઝના જમાના સુધી પાછળ લઈ જાય છે. 17મી સદીમાં થઈ ગયેલા દ’ કાર્ત અને અન્ય ફ્રેન્ચ ગણિતી ફર્મા હતા, જેમણે આ અભિગમ પદ્ધતિસર વિકસાવ્યો. આ જ સદીમાં ન્યૂટન અને લાઇબ્નિટ્ઝે ઋણાત્મક અંતરોનો વિચાર આપ્યો.

સમતલીય વૈશ્લેષિક ભૂમિતિ : કાર્તેઝીય યામ : દ્વિપરિમાણી ભૂમિતિમાં બિંદુનું સ્થાન પરસ્પર છેદતી બે ભિન્ન રેખાઓથી તેનાં અંતરો વડે નિશ્ચિત થાય છે. આ રેખાઓને અક્ષો (axes) કહે છે; દા.ત., આકૃતિ 26માં બે પરસ્પર લંબ-રેખાઓ એકબીજીને બિંદુ Oમાં છેદે છે, જે ઊગમ-બિંદુ તરીકે ઓળખાય છે. રેખા એક અક્ષ છે, જેને x-અક્ષ કહે છે અને રેખા બીજો અક્ષ છે, જેને y-અક્ષ કહે છે.

 

આ અક્ષો વડે નિશ્ચિત થતા સમતલમાંના કોઈ પણ બિંદુને તેના  અને થી લંબ અંતરોની જોડ દ્વારા દર્શાવાય છે. જો સમતલના બિંદુ Pનું x-અક્ષથી અંતર y અને y-અક્ષથી અંતર x હોય તો ક્રમયુક્ત જોડ (x, y) બિંદુ Pનું સમતલમાં સ્થાન નિશ્ચિત કરે છે. (x, y)ને બિંદુ Pના યામ કહે છે. ઊગમ-બિંદુથી x-અક્ષ પર x અંતરે બિંદુ M સુધી પહોંચી ત્યાંથી y-અક્ષને સમાંતર દિશામાં y અંતરે જતાં P આગળ પહોંચાય છે. xને Pનો x-યામ ભુજ (abscissa) અને yને તેનો Y-યામ કોટિ (ordinate) કહે છે. y-અક્ષની જમણી બાજુના બિંદુ માટે X-યામ ધન લેવાય છે અને ડાબી બાજુના બિંદુ માટે ઋણ લેવાય છે, જ્યારે Y-અક્ષ પરના બિંદુનો x-યામ શૂન્ય હોય છે. તે જ પ્રમાણે x-અક્ષની ઉપર તરફના બિંદુનો y-યામ ધન, નીચેની તરફના બિંદુનો y-યામ ઋણ અને x-અક્ષ પરના બિંદુનો y-યામ શૂન્ય હોય છે. સ્વાભાવિક રીતે ઊગમ-બિંદુ Oના યામ (0, 0) થશે. આ પ્રકારના યામોને કાર્તેઝીય યામો તરીકે ઓળખવામાં આવે છે જેનો ખ્યાલ દ’ કાર્ત દ્વારા અપાયો હતો અને તેથી તે કાર્તેઝીય યામ કહેવાયા. જો અક્ષો પરસ્પર લંબ ન હોય એટલે કે તિર્યક હોય તો તેને અનુરૂપ બિંદુ Pના યામ પણ (x, y) તરીકે જ લેવાય છે, જ્યાં x એ બિંદુ Pનું Y-અક્ષથી x-અક્ષને સમાંતર દિશામાં અંતર છે અને y એ Pનું X-અક્ષથી y-અક્ષને સમાંતર દિશામાં અંતર છે (જુઓ આકૃતિ-27.) આ લેખમાં અક્ષો પરસ્પર લંબ હોય તેવી પદ્ધતિની જ વાત કરીશું.

સુરેખા : યામપદ્ધતિમાં સુરેખાને સમીકરણ વડે દર્શાવવામાં આવે છે; દા. ત., Y-અક્ષ પરનાં તમામ બિંદુઓના યામ (0, y) સ્વરૂપના હોય છે. એટલે y-અક્ષનું સમીકરણ x = 0 તરીકે લઈ શકાય અને તે જ પ્રમાણે x-અક્ષનું સમીકરણ y = 0 થાય. જો શિરોલંબ સિવાયની કોઈ પણ રેખા ઊગમ-બિંદુમાંથી પસાર થતી હોય તો તે પરના બિંદુ(x,y)ના યામોનો ગુણોત્તર y/x અચળ થાય છે, જેને અચળ m તરીકે દર્શાવીએ તો m = y/x એટલે કે y = mx તે રેખાનું સમીકરણ બને છે. રેખા પરનાં (ઊગમ-બિંદુ સહિતનાં) તમામ બિંદુઓ આ સમીકરણ y = mxનું સમાધાન કરે છે. જો m એ a/b સ્વરૂપની અચળ સંખ્યા હોય તો સમીકરણ y = mxને ax – by = 0 પ્રમાણે દર્શાવી શકાય અને m = –a/b સ્વરૂપે હોય તો સમીકરણ ax + by = 0 પ્રમાણે દર્શાવી શકાય. (જુઓ આકૃતિ-28) જો એ સમતલમાંની કોઈ એક રેખા હોય, જેના પર બિંદુ O´ (x₁, y₁) આવેલું હોય તો O´માંથી x–અક્ષ અને y–અક્ષને સમાંતર અક્ષો અનુક્રમે   અને દોરી તેમને અનુરૂપ ℓ પરના કોઈ પણ બિંદુ P(x, y)ના યામ (x´, y´) થાય તો x´ = x – x₁ અને y´ = y – y₁ મળે. (આકૃતિ 29) હવે નવા અક્ષોને સાપેક્ષ રેખા ℓ ઊગમ-બિંદુ O´(x₁, y₁)માંથી પસાર થાય છે એટલે તેનું સમીકરણ ax´ + by´ = 0 સ્વરૂપે મળશે, જે a(x-x₁) + b(y-y₁) = 0 થશે એટલે કે ax + by + c = 0 મુજબ મળશે, જ્યાં c = –(ax₁ + by₁) – એ અચળ છે. આથી સમતલમાંની કોઈ પણ રેખાને સમીકરણ ax + by + c = 0 સ્વરૂપે દર્શાવી શકાય છે. આ સમીકરણમાં ચલ x અને yના ઘાત 1 છે તેથી તે એકઘાત-સમીકરણ કહેવાય છે. વળી આવાં સમીકરણો સુરેખા દર્શાવતાં હોઈ તેમને સુરેખ સમીકરણ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે.

જો સુરેખ સમીકરણ ax + by + c = 0માં b ≠ 0 હોય તો yને સૂત્રનાથ (subject of formala) બનાવી સમીકરણને y = mx + d સ્વરૂપે લખી શકાય છે, જેમાં xના સહગુણક mને સુરેખાનો ઢાળ (slope) કહે છે અને d એ રેખાએ y-અક્ષ પર આંતરેલ અંત:ખંડ ‘intercept’ કહેવાય છે. અહીં અંત:ખંડ એટલે y-અક્ષને રેખા જે બિંદુમાં છેદે તે બિંદુનું ઊગમ-બિંદુથી અંતર છે જેને, બિંદુ ઊગમ-બિંદુની ઉપર તરફ હોય તો ધન અને નીચે તરફ હોય તો ઋણ લેવામાં આવે છે. (આકૃતિ-30) જો રેખા y-અક્ષને સમાંતર ન હોય અને (x₁, y₁) તથા (x₂, y₂) તે પરનાં બે ભિન્ન બિંદુઓ હોય તો તે રેખાનો ઢાળ m = (y₂–y₁)/(x₂–x₁) મુજબ વ્યાખ્યાયિત થાય છે. સુરેખાનાં સમીકરણનું y = mx + d સ્વરૂપ ઘણું જ ઉપયોગી છે, કારણ કે તે પરથી સુરેખાનાં બે અંગો ઢાળ અને y–અંત:ખંડ સીધાં જ જાણી શકાય છે. જો બે ભિન્ન રેખાઓના ઢાળ સમાન હોય તો તે પરસ્પર સમાંતર રેખાઓ કહેવાય છે. જો બે રેખાઓના ઢાળનો ગુણાકાર –1 થાય તો તે રેખાઓ પરસ્પર લંબ છે. આથી બે રેખાઓ y = m₁x + d₁ અને y = m₂x + d₂ સમાંતર હોવા માટેની શરત m₁ = m₂ છે અને પરસ્પર લંબ હોવા માટેની શરત m₁ m₂ = –1 છે.

y-અંત:ખંડની જેમ સુરેખા અને x-અક્ષના છેદબિંદુના ઊગમ-બિંદુથી અંતરને x–અંત:ખંડ કહે છે જેને, બિંદુ ઊગમ-બિંદુની જમણી બાજુએ હોય તો ધન અને ડાબી બાજુએ હોય તો ઋણ લેવાય છે. જો કોઈ સુરેખાના x–અક્ષ અને y–અક્ષ પરના અંત:ખંડો અનુક્રમે a અને b હોય તો તેનું સમીકરણ  મુજબ લેવાય છે, જેને અંત:ખંડ (intercept) સ્વરૂપનું સમીકરણ કહે છે. (આકૃતિ–31)

જો સુરેખા બે ભિન્ન બિંદુઓ (x₁, y₁) તથા (x₂, y₂)માંથી પસાર  થતી હોય અને y-અક્ષને સમાંતર ન હોય તો તેનું સમીકરણ   મુજબ લેવામાં આવે છે. આ સમીકરણને નિશ્ચાયક સ્વરૂપે  પ્રમાણે પણ દર્શાવી શકાય છે. જો નિશ્ચાયક સ્વરૂપે સમીકરણ લેવામાં આવે તો રેખાઓ y–અક્ષને સમાંતર ન હોવાનો વિકલ્પ જરૂરી નથી. જો ત્રીજું બિંદુ (x₃, y₃) ઉપરની રેખા પર આવેલું હોય તો તેના યામ રેખાના સમીકરણનું સમાધાન કરે એટલે શરત  નું સમાધાન થાય, જેને  મુજબ પણ લઈ શકાય.

આ શરત ત્રણ બિંદુઓ (x₁, y₁), (x₂, y₂) અને (x₃, y₃) સમરેખ (collinear) હોવા માટેની શરત બને છે. અત્રે વર્ણવેલાં તમામ સમીકરણો સુરેખાનાં કાર્તેઝીય સમીકરણો કહેવાય છે.

બે રેખાઓનો છેદ : બે ભિન્ન રેખાઓ સમાંતર ન હોય તો તેઓ એકબીજીને અનન્ય બિંદુમાં છેદે છે, જેને તે રેખાઓનું છેદબિંદુ કહે છે. જો a₁x + b₁y + c₁ = 0 અને a₂x + b₂y + c₂ = 0 રેખાઓનાં સમીકરણો હોય તો તેમનાં છેદબિંદુના યામ આ બે સુરેખ સમીકરણોના સામાન્ય ઉકેલ વડે મળે છે.

પ્રાચલ સમીકરણો(parametric equations) : કેટલીક વખત સુરેખાને દર્શાવવા માટે તેના સમીકરણની બે ચલ રાશિઓ x અને yને અન્ય એક ચલ tનાં પદોમાં દર્શાવાય છે અને એ રીતે x અને yને tનાં પદોમાં દર્શાવતાં બે સમીકરણો મળે છે, જેમને તે રેખાનાં પ્રાચલ સમીકરણો કહે છે અને tને પ્રાચલ (parameter) તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. બિંદુઓ (x₁, y₁) તથા (x₂, y₂)ને જોડતી રેખાનાં પ્રાચલ સમીકરણો x = tx₁ + (1-t)x₂; y = ty₁ + (1-t) y₂ છે. પ્રાચલ સમીકરણોમાંથી tનો લોપ કરવાથી તે સુરેખાનું કાર્તેઝીય સમીકરણ મળે છે.

અંતર : બે બિંદુઓ P(x₁, y₁) અને Q(x₂, y₂) વચ્ચેનું અંતર PQ = સૂત્ર વડે મળે છે. આ સૂત્ર પાયથાગોરાસના પ્રમેયની મદદથી મેળવી શકાય છે. કોઈ પણ બિંદુ P(x,y)નું ઊગમબિંદુ O(0, 0)થી અંતર OP =  થશે. કોઈ પણ બિંદુ P(x₁, y₁)નું સુરેખા ax + by + c = 0થી અંતર મેળવવા માટે Pમાંથી તે રેખાને દોરેલી લંબરેખા જો Q(x₂, y₂) બિંદુમાં છેદે તો PQ = d એ બિંદુ P (x₁, y₁)નું રેખા ax + by + c = 0 થી લંબ-અંતર d = (ax₁ + by₁ + c) મુજબ મેળવી શકાય છે. તે જ પ્રમાણે બે સમાંતર રેખાઓ ax + by + C₁ = 0 અને ax + by + c₂ = 0 વચ્ચેનું અંતર એ એક રેખા પરના કોઈ પણ બિંદુનું બીજી રેખાથી અંતર છે, જે d = (C₂ – C₁)  સૂત્ર પરથી મળે છે. (આકૃતિ–32)

વર્તુળ : વર્તુળ એ સમતલમાંના એક નિશ્ચિત બિંદુથી નિશ્ચિત અંતરે આવેલા સમતલનાં તમામ બિંદુઓને સમાવતો વક્ર છે. નિશ્ચિત બિંદુ વર્તુળનું કેન્દ્ર કહેવાય છે અને નિશ્ચિત અંતર તેની ત્રિજ્યા કહેવાય છે. જો વર્તુળનું કેન્દ્ર C(a, b) હોય અને તેની ત્રિજ્યા r હોય તો વર્તુળ પરના કોઈ પણ બિંદુ P(x, y) માટે r = cp = થશે અને તેથી (x–a)² + (y–b)² = r² મળશે જે વર્તુળનું સમીકરણ થશે. (આકૃતિ–33) જો વર્તુળનું કેન્દ્ર ઊગમ-બિંદુ O(0, 0) હોય તો તેનું સમીકરણ x² + y² = r² મળશે. વર્તુળનું

વ્યાપક સમીકરણ x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 મુજબ લેવામાં આવે છે, જ્યાં (-g, -f) વર્તુળનું કેન્દ્ર થશે અને r = તેની ત્રિજ્યા થશે. સ્વાભાવિક છે કે a² + b² – c > 0 હોય છે. જો બે વર્તુળો એકબીજાને છેદે તો વધુમાં વધુ બે બિંદુઓમાં છેદે. જો છેદબિંદુ એક જ હોય તો વર્તુળો એકબીજાને સ્પર્શે છે એમ કહેવાય. બે ભિન્ન છેદબિંદુઓને જોડતી રેખા કે સામાન્ય સ્પર્શરેખાને વર્તુળોનો રૅડિકલ અક્ષ કહે છે. (આકૃતિ–34). જો પરસ્પર છેદતાં વર્તુળોનાં સમીકરણો (common tangent) x² + y² + 2gh + 2fy + c = 0 અને x² + y² + 2g´x + 2f´y + c´ = 0 હોય તો તેમના રૅડિકલ અક્ષનું સમીકરણ 2(g–g´)x + 2 (f–f´)y + (c–c´) = 0 થશે. વર્તુળ-સંહતિમાંનાં વર્તુળોને એક અનન્ય મૂલાક્ષ હોય તો તે સંહતિને

સહઅક્ષીય સંહતિ (coaxial system) કહે છે. વર્તુળોનાં કેન્દ્રોને જોડતી રેખા તેમના મૂલાક્ષ(radicalaxis)ને લંબ હોય છે. વર્તુળ x² + y² + 2gx + fy + c = 0ના બિંદુ P(x₁, y₁) આગળના સ્પર્શકનું સમીકરણ x₁x + y₁y + g(x+x₁) + f(y + y₁) + c = 0 છે. જો બિંદુ P(x₁, y₁) વર્તુળની બહારની બાજુએ હોય તો ઉપરનું જ સમીકરણ P(x₁, y₁)ની વર્તુળને સાપેક્ષ ધ્રુવરેખા દર્શાવશે. આ ધ્રુવરેખા બિંદુ P(x₁, y₁)માંથી વર્તુળને દોરેલા બે સ્પર્શકોનાં સ્પર્શબિંદુઓને જોડતી રેખા થશે. (આકૃતિ–35) વર્તુળનાં પ્રાચલ સમીકરણો x = a + rcos t; y = b + rsin t મુજબ લેવાય છે, જ્યાં (a, b) તેનું કેન્દ્ર અને r તેની ત્રિજ્યા છે; t પ્રાચલ છે.

શંકુચ્છેદ (conic section) : બેવડા લંબશંકુ(right cone) અને સમતલના છેદથી મળતા વક્રો શંકુચ્છેદ તરીકે ઓળખાય છે. નિશ્ચિત રેખા ℓને બિંદુ Oમાં છેદતી અને ℓ સાથે α (0 < α < π/2) માપના ખૂણે રહી ℓ ફરતે પરિભ્રમણ કરતી રેખા વડે રચાતી ઘન-આકૃતિ એ બેવડો લંબશંકુ છે. O તેનું શિરોબિંદુ (vertex) કહેવાય છે,  ℓ તેનો અક્ષ કહેવાય છે અને પરિભ્રમણ કરતી રેખા સર્જક-રેખા (generating line) કહેવાય છે. (આકૃતિ–36) શિરોબિંદુ O વડે

બેવડા લંબશંકુના પડતા બે ભાગોમાંનો દરેક લંબશંકુ છે. શંકુચ્છેદમાં મળતા વક્રોમાં વર્તુળ વિશિષ્ટ પ્રકારનો વક્ર છે, જે લંબશંકુ અને તેના અક્ષને લંબ સમતલના છેદવાથી મળે છે. ઈ. પૂ.ની ચોથી સદીમાં ગ્રીસના મેનેકમસ દ્વારા આ વક્રોનો અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો હતો. મેનેકમસ એ તત્વજ્ઞાની પ્લેટો અને વિજ્ઞાની યૂડૉક્સસ, બંનેનો વિદ્યાર્થી હતો. ડેલિયન પ્રશ્ન તરીકે જાણીતો પ્રશ્ન કે જેમાં આપેલા ઘનથી બમણા ઘનફળવાળો ઘન રચવાના પ્રશ્નનો અભ્યાસ કરતાં કરતાં શંકુચ્છેદનો ખ્યાલ એમણે વિકસાવ્યો. લંબશંકુ અને તેની સર્જક રેખાને સમાંતર દ્વારા મળતો શંકુચ્છેદ પરવલય છે. લંબશંકુને પૂર્ણ રીતે છેદતા સમતલ દ્વારા મળતો શંકુચ્છેદ ઉપવલય છે, જે લંબગોળાકાર હોય છે. વર્તુળ તેનો વિશિષ્ટ પ્રકાર કહેવાય. બેવડા લંબશંકુનો તેના અક્ષને સમાંતર સમતલ દ્વારા મળતો શંકુચ્છેદ અતિવલય છે. (આકૃતિ–37)

યુક્લિડે શંકુચ્છેદ પર ચાર પુસ્તકો લખ્યાં હતાં, પરંતુ તેનું બધું જ સાહિત્ય ગુમ થઈ ગયું. આર્કિમિડીઝને ઉપવલયનું ક્ષેત્રફળ તથા પરવલયના ખંડનું ક્ષેત્રફળ મેળવવામાં સફળતા મળી હતી. એમની રીત સંકલન-પદ્ધતિને મળતી આવતી હતી. જોકે 17મી સદી સુધી કલનશાસ્ત્રનો વધુ વિકાસ થયો નહીં.

જ્યારે એપૉલોનિયસે એનાં આઠ પુસ્તકો ફક્ત શંકુચ્છેદ પર જ લખ્યાં ત્યારે ગ્રીક ભૂમિતિ અને ખાસ કરીને ગ્રીક ગણિતશાસ્ત્ર એની પરાકાષ્ઠાએ પહોંચ્યાં. એમાંનાં પ્રથમ સાત પુસ્તકો જળવાયાં છે; જેમાં શંકુચ્છેદના પ્રાથમિક ખ્યાલો સંપૂર્ણપણે વર્ણવવામાં આવ્યા છે. કોઈ પણ વૃત્તીય શંકુ, લંબ કે તિર્યક્ના સમતલ સાથેના છેદ શંકુચ્છેદ છે તેની પ્રતીતિ એપૉલોનિયસે સૌપ્રથમ વાર કરાવી. આ વક્રોના અભ્યાસ દરમિયાન એમણે એ વક્રોને એમના કહેવાતા ઊગમ-બિંદુના ઉલ્લેખ વિના માન્ય રાખ્યા. ‘ઉપવલય’, ‘પરવલય’ અને ‘અતિવલય’ જેવાં પદોની ઓળખ એપૉલોનિયસે જ કરાવી. એપૉલોનિયસના વિવરણ પર તેના અનુગામી ગ્રીક ગણિતશાસ્ત્રીઓ થોડો ઉમેરો કરી શક્યા. જોકે ઈ. પૂ.ની ચોથી સદીમાં ઍલેક્ઝાન્ડ્રિયાના પૅપસનું મહત્વનું યોગદાન નોંધવાયોગ્ય છે. એણે દર્શાવ્યું કે શંકુચ્છેદ પરના કોઈ પણ બિંદુના એક નિશ્ચિત બિંદુ S થી અંતર અને એક નિશ્ચિત રેખા ℓથી લંબ-અંતરનો ગુણોત્તર અચળ હોય છે. બિંદુ Sને શંકુચ્છેદની નાભિ અને રેખા ℓને તેની નિયામિકા કહે છે. આ અચળ ગુણોત્તરને ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) કહે છે અને તેને e વડે દર્શાવવામાં આવે છે. કાર્તેઝીય યામોમાં શંકુચ્છેદનું સમીકરણ મેળવવા માટે આ વિધાન વ્યાખ્યા તરીકે લેવામાં આવ્યું. વ્યાપક સ્વરૂપમાં શંકુચ્છેદનું સમીકરણ ax² + 2hxy + by² + 2gx + 2fy + c = 0 તરીકે લેવામાં આવે છે; જ્યાં a, h, b, g, f, c ચોક્કસ શંકુચ્છેદ માટે અચલ હોય છે. તેઓ ઉત્કેન્દ્રતા અને નાભિ તથા નિયામિકાના સ્થાન પર આધાર રાખે છે. આ પાંચ અચલાંકોવાળા સમીકરણ પરથી કહી શકાય કે શંકુચ્છેદ તે પરનાં પાંચ બિંદુઓ વડે સંપૂર્ણ રીતે મેળવી શકાય છે. જો ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) ℓ એક, એકથી ઓછી કે એકથી વધુ હોય તો તેને અનુરૂપ શંકુચ્છેદ પરવલય, ઉપવલય કે અતિવલય તરીકે મળે છે.

ઉપવલય (ellipse) : ઉપવલય એ શંકુચ્છેદ છે કે જેને માટે ઉત્કેન્દ્રતા e, એકથી નાની હોય. સરળતા ખાતર ઉપવલયની નાભિ x-અક્ષ પર અને નિયામિકા x-અક્ષને લંબ લેવામાં આવે તો તેનું કેન્દ્ર ઊગમ-બિંદુ પર લઈ શકાય અને તેનું કાર્તેઝીય સમીકરણ = 1 મુજબ મળે. આ સમીકરણનું સ્વરૂપ પ્રમાણિત સ્વરૂપ છે અને તે વડે દર્શાવેલો ઉપવલય આકૃતિ 38માં દર્શાવ્યા

મુજબ છે. આ ઉપવલયનું ક્ષેત્રફળ πab છે, જ્યાં 2a એ ઉપવલયના પ્રધાન અક્ષની લંબાઈ છે અને 2b તેના ગૌણ અક્ષ(minor axis)ની લંબાઈ છે. π એ વર્તુળના પરિઘ અને વ્યાસનો ગુણોત્તર માટેનો સંકેત છે. a અને b વચ્ચેનો સંબંધ b² = a² (1–e²) મુજબ છે. ઉપવલય પરના કોઈ પણ બિંદુ Pથી તેની નાભિઓ S અને S´ના અંતરોનો સરવાળો અચળ હોય છે અને તે પ્રધાન અક્ષની લંબાઈ જેટલો હોય છે. આ ગુણધર્મ પરથી ઉપવલયની બીજી વૈકલ્પિક વ્યાખ્યા પણ લઈ શકાય; જેમ કે, બે નિશ્ચિત બિંદુઓથી જેનાં અંતરોનો સરવાળો અચળ રહે તે રીતે સમતલમાં ગતિ કરતા બિંદુનો બિંદુપથ ઉપવલય છે. આ ગુણધર્મ ઉપવલય દોરવા માટેની સરળ રીતનો આધાર છે, જે રીતમાં બે ટાંકણીઓ ભિન્ન સ્થાનોએ જડી તેમની વચ્ચેના અંતરથી વધુ લંબાઈની દોરીના છેડા બાંધી એક પેન્સિલની અણી વડે ત્રિકોણ બને એ રીતે દોરીને ખેંચેલી રાખી અણીને બન્ને ટાંકણીની ફરતે કાગળ પર ફેરવવામાં આવતાં દોરાતી આકૃતિ ઉપવલય થશે. અહીં ટાંકણીનાં સ્થાન નાભિ (focus) દર્શાવશે. બ્રહ્માંડમાં ગ્રહોની ગતિ ઉપવલયાકાર હોય છે.

ઉત્કેન્દ્રકોણ : ઉપવલયનો પ્રધાન અક્ષ (major axis) જેનો વ્યાસ હોય એવું ઉપવલયને સમાવતું વર્તુળ તેનું સહાયક વૃત્ત (auxiliary circle) કહેવાય છે. (આકૃતિ–39) જો ઉપવલયના કોઈ પણ બિંદુ Pમાંથી તેના પ્રધાન અક્ષને લંબ દોરેલ રેખા તેના સહાયકવૃત્તને P’ બિંદુમાં છેદે અને પ્રધાન અક્ષને Lમાં મળે તો ∠P´OL = θ એ Pનો ઉત્કેન્દ્રકોણ કહેવાય છે. બિંદુઓ P અને P´ અનુરૂપ બિંદુઓ કહેવાય છે અને દર્શાવી શકાય કે b×P´L = a×PL. (આકૃતિ–39) x = aCosθ; y = bsinθ ઉપવલયનાં પ્રાચલ સમીકરણો છે, જ્યાં પ્રાચલ (parameter) θ, Pના ઉત્કેન્દ્રકોણનું માપ છે.

ઉપવલયનો એક ઘણો જ ઉપયોગી ગુણધર્મ છે કે તેના કોઈ પણ બિંદુ P આગળના સ્પર્શક સાથે રેખાખંડો SP અને S´P સમાન ખૂણા આંતરે છે. જો ઉપવલીય ખંડવાળા અંતર્ગોળ પરાવર્તકના એક નાભિ આગળ વિકિરણ કે અવાજનું ઉદભવ-સ્થાન રાખવામાં આવે તો તે વિકિરણ કે અવાજનાં મોજાં અન્ય નાભિસ્થાનને અનુલક્ષે છે. આ ગુણધર્મનો ઉપયોગ અમુક પ્રાયોગિક અજમાયશમાં થાય છે.

પરવલય (parabola) : પરવલય શંકુચ્છેદનો એક પ્રકાર છે, જેની ઉત્કેન્દ્રતા 1 છે. એ સમતલમાં નિશ્ચિત બિંદુ અને નિશ્ચિત રેખાથી સરખે અંતરે રહી ફરતા બિંદુનો બિંદુપથ (locus) છે. પરવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ y² = 4ax છે, જેનું શિરોબિંદુ O(0, 0) છે અને x-અક્ષ તેનો અક્ષ કહેવાય છે. બિંદુ S(a, 0) તેની નાભિ અને રેખા x + a = 0 તેની નિયામિકા છે. પરવલય તેના અક્ષ વિષે સમમિત

છે તેથી તેને સમમિતતાનો અક્ષ (directix) પણ કહે છે. (આકૃતિ 40–41) નાભિમાંથી પસાર થતા સમમિતતાના અક્ષને લંબ અને પરવલયની શાખાઓ વડે સીમિત રેખાખંડને પરવલયનો નાભિલંબ કહે છે. જો P પરવલય પરનું કોઈ પણ બિંદુ હોય તો આગળનો સ્પર્શક રેખા  અને Pમાંથી સમમિતતાના અક્ષને સમાંતર મળતી રેખા સાથે સમાન ખૂણા બનાવે છે. આ ગુણધર્મ ઘણી પ્રયોગિક અજમાયશો માટે આધાર બને છે; જેમ કે, પરવલયી ખંડવાળા પરાવર્તકની નાભિ આગળ વિકિરણ કે અવાજનું ઉદભવ-સ્થાન હોય તો તે પ્રકાશ કે અવાજ-સમાંતર દિશામાં પરાવર્તિત થાય છે અને તે જ પ્રમાણે સમાંતર દિશામાં વહેતા પ્રકાશ કે અવાજનાં મોજાં પરવલયી ખંડવાળા પરાવર્તક સાથે અથડાય તો પરાવર્તિત થઈ એક બિંદુએ કેન્દ્રિત થાય છે. આવા પરવલયી પરાવર્તકોનો ઉપયોગ વાહનોની હેડલાઇટમાં, સર્ચલાઇટમાં, ઇલેક્ટ્રિક હીટરમાં અને એવાં કંઈ કેટલાંયે સાધનોમાં થાય છે. પરવલયને પ્રલંબિત ઉપવલય તરીકે માની શકાય છે, જેનું કેન્દ્ર અને એક બાજુના નાભિ તથા શિરોબિંદુ અનંત આગળ એકાકાર થાય. આથી એક દાર્શનિક ગુણધર્મ ઉપવલય જેવો જ મળે કે જેમાં એક નાભિમાંથી ઉદભવતો પ્રકાશ પરાવર્તિત થઈ અન્ય નાભિ તરફ અનુલક્ષે છે. પરવલય માટે બીજી નાભિ અનંત અંતરે હોઈ તે તરફ અનુલક્ષતું પરાવર્તિત કિરણ સમમિતતાના અક્ષને સમાંતર પ્રસરે છે. હવાના અવરોધ વિના, ફક્ત ગુરુત્વાકર્ષણની અસર તળે ગતિ કરતા પદાર્થનો પથ પરવલયાકાર હોય છે. વર્ગાત્મક બહુપદી વિધેય સ્વરૂપમાં મળતું સમીકરણ y = ax² + bx + cનો આલેખ પરવલય હોય છે.

અતિવલય (hyperbola) : અતિવલય એ શંકુચ્છેદનો પ્રકાર છે, જે માટે ઉત્કેન્દ્રતા 1થી મોટી હોય છે. એનું પ્રમાણિત સમીકરણ = 1 છે આ અતિવલય આકૃતિ – 42માં દર્શાવેલ છે.

આ વક્રને બે શાખાઓ (branches) છે. S(ae, 0) અને S´ (-ae, 0) તેની નાભિ છે તથા l1 અને l2 તેની નિયામિકાઓ છે, જે x-અક્ષને અનુક્રમે (-a/e, 0) અને (a/e, 0)માં છેદે છે. O(0, 0) અતિવલયનું કેન્દ્ર છે. A(ae, 0) અને A´(–ae, 0) અતિવલયના x–અક્ષ સાથેનાં છેદબિંદુઓ છે. AA´ એ 2a લંબાઈનો અતિવલયનો મુખ્ય અક્ષ છે. b² = a² (e² – 1) મુજબ b મળતા x-અક્ષ પર B (0, -b) અને B´ (0, b)ને જોડતો 2b લંબાઈનો રેખાખંડ અતિવલયનો અનુબદ્ધ અક્ષ કહેવાય છે બન્ને શાખાને અનંત બિંદુએ સ્પર્શે એવા Oમાંથી પસાર થતા બે અનંત સ્પર્શકો(asymptotes) મળે છે, જેમનાં સમીકરણો જો અતિવલયના સમીકરણતરીકે લેવામાં આવે તો તે પણ અતિવલય દર્શાવે છે. આ બે અતિવલયો પરસ્પરના અનુબદ્ધ અતિવલયો (conjugate hyperbola) કહેવાય છે. જો અતિવલયમાં a = b હોય તો તે લંબાતિવલય (rectangular hyperbola) કહેવાય છે, જેનું સમીકરણ x² – y² = a² મુજબ મળે છે. લંબાતિવલયના અનંત સ્પર્શકો y = x અને y = -x થશે, જે પરસ્પર લંબ અને ચરણોને દુભાગે છે. જો લંબાતિવલયના અનંત સ્પર્શકોને યામાક્ષો તરીકે લેવામાં આવે તો તે અતિવલયનું સમીકરણ xy = c સ્વરૂપમાં મળશે, જ્યાં c અચળ છે.

સ્પર્શક (tangent) અને અભિલંબ (normal) : કોઈ પણ વક્ર y = f(x)ના બિંદુ P(x₁, y₁)નો સ્પર્શક એ P આગળ વક્રને સ્પર્શતી રેખા છે. સ્પર્શકનું સમીકરણ મેળવવા માટે એ Pમાંથી તો પસાર થાય જ છે એટલે એનો ઢાળ m મળે તો તેનું સમીકરણ y – y₁ = m(x – x₁) મુજબ લેવાય. આ ઢાળ મેળવવા માટે y = f(x)નું x સાપેક્ષ વિકલન કરી dy/dx = f´(x) મેળવી, તેનું P(x₁, y₁) આગળ મૂલ્ય લેવાય છે. તેથી m = f´ (x₁) થશે અને સ્પર્શકનું સમીકરણ y – y1 = f´(x₁)(x–x₁) થશે. આ રીતે વર્તુળ x² + y² = a², ઉપવલય = 1, પરવલય y² = 4ax અને અતિવલય = 1 ના (x₁, y₁) આગળના સ્પર્શકોનાં સમીકરણો અનુક્રમે x₁x + y₁y = a², y₁y = a², , y₁y=2a(x +x1) અને  મુજબ મેળવી શકાય છે; જેમાં બિંદુ P(x₁, y₁) જે તે વક્ર પર આવેલું હોઈ તેના યામ વક્રના સમીકરણનું સમાધાન કરે એ શરતનો ઉપયોગ કરવાનો હોય છે. સ્પર્શબિંદુ P(x₁, y₁) P બિંદુ આગળ સ્પર્શરેખાના લંબરૂપે દોરેલી રેખાને અભિલંબ કહે છે, જેનો ઢાળ–1/m થશે અને તેનું સમીકરણ m(y–y₁) + (x–x₁) = 0 મુજબ થશે, જ્યાં m = f´(x₁) છે.

વૈશ્લેષિક પ્રક્ષેપ ભૂમિતિ (Analytic Projective Geometry)

16મી સદીના ઉત્તરાર્ધ અને 17મી સદીના પૂર્વાર્ધમાં થઈ ગયેલ જર્મન ખગોળશાસ્ત્રી જોહાનિસ કેપ્લરે કલ્પના કરી કે બે સમાંતર રેખાઓ એકબીજીને અનંત આગળ મળે છે. અનંત આગળના તેમના છેદબિંદુને આદર્શ  બિંદુ (ideal point) તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. આ સમાંતર રેખાઓની સંહતિની રેખાઓનાં છેદબિંદુઓ વડે અનંત આગળ રેખા ઉદભવે છે. આ રેખાનો સમાવેશ કરી કેપ્લરે યુક્લિડીય સમતલનો વિસ્તાર કર્યો, જેને પ્રક્ષેપી સમતલ (projective plane) તરીકે ઓળખવામાં આવ્યું. આ પ્રક્ષેપ સમતલના બિંદુ Pના યામ (x₁, x₂,  x₃) સ્વરૂપના હોય છે, જ્યાં x₁, x₂, x₃ એકીસાથે શૂન્ય ન હોય. જો k₁, k₂, k₃ ત્રણ શૂન્યેતર અચલાંકો હોય તો (k₁x₁, k₂x₂, k₃x₃) એ Pના વ્યાપક પ્રક્ષેપ-યામો કહેવાય છે. અનંત આગળની રેખાને સમપરિમાણ સમીકરણ k₁x₁ + k₂x₂ + k₃x₃ = 0 વડે દર્શાવાય છે. આ સિવાયનું અન્ય સમપરિમાણ સુરેખ સમીકરણ સામાન્ય રેખાનું નિરૂપણ કરે છે. આ ભેદ અવગણતાં અહીં ભૂમિતિનું પ્રક્ષેપ ભૂમિતિમાં પરિવર્તન થાય છે અને તેથી અનંત આગળનાં બિંદુઓને પણ સામાન્ય બિંદુઓ જેમ જ માન્ય રાખવામાં આવે છે. આ મહત્વનું પગલું 19મી સદીના જર્મન ગણિતશાસ્ત્રી કાર્લ જ્યૉર્જ ક્રિશ્ચયન દ્વારા ભરવામાં આવ્યું. એમને હિસાબે પ્રક્ષેપ સમતલના યામો, ઉપર વર્ણવ્યા મુજબના લેવામાં આવ્યા અને કોઈ પણ શૂન્યેતર સંખ્યા k માટે (kx₁, kx₂, kx₃) એક જ બિંદુ (x₁, x₂, x₃)ના વ્યાપક યામો તરીકે સ્વીકારાયા. અહીં બિંદુ (x₁, x₂, x₃)ને (x) સંકેત વડે દર્શાવવાની પ્રથા રાખીએ તો બે બિંદુઓ (x) અને (y) સાથે સમરેખ હોય એવા કોઈ પણ બિંદુના યામ (x – ty) મુજબ લેવાય, જ્યાં t પ્રાચલ છે. જો શિરોબિંદુઓ (x), (y), (z)વાળા ત્રિકોણને (x)(y)(z) વડે દર્શાવવામાં આવે તો તે ત્રિકોણને (u) બિંદુને સાપેક્ષ (x + u) (y + u) (z + u) વડે દર્શાવી શકાય. 17મી સદીના ફ્રેન્ચ ગણિતશાસ્ત્રી જીરાર્ડ દ’ સર્ગના દ્વિ-ત્રિકોણ પ્રમેયના સંદર્ભમાં આ બે ત્રિકોણોની અનુરૂપ બાજુઓ ત્રણ સમરેખ બિંદુઓ (y–z), (z–x) અને (x–y)માં મળે છે. સામાન્ય સમપરિમાણ સુરેખ વિધેય  = ∑c_ijx_j, (1 ≤ j ≤ 3). સમરેખ બિંદુઓને સમરેખ (collineear) બિંદુઓમાં પ્રતિબિંબિત કરે છે, જ્યાં |c_ij| ≠ 0 હોય છે. આ ક્રિયાને સમરેખતા (collinearity) કહે છે. જો સમપરિમાણ સુરેખ વિધેય x₁´ = x₁, x₂´ = x₂ અને x₃´ = kx₃ મુજબ વ્યાખ્યાયિત હોય, જ્યાં k શૂન્યેતર અચળ હોય, તો તે સમરેખતા દ્વારા બિંદુ (0, 0, 1)માંથી પસાર થતી દરેક રેખા તેમજ રેખા x₃ = 0 પરનું દરેક બિંદુ અપરિવર્તિત રહે છે. અહીં થશે.

ઘનયામ (co-ordinate solid) ભૂમિતિ : વૈશ્લેષિક ભૂમિતિને દ્વિ-પરિમાણમાંથી વિસ્તારી ત્રિ-પરિમાણ કે બહુપરિમાણ ભૂમિતિ સર્જવામાં આવી છે. ત્રિ-પરિમાણી અવકાશમાં બિંદુને ત્રણ કાર્તેઝીય યામો x, y, z વડે (x, y, z) મુજબ દર્શાવાય છે. સમતલને સુરેખ સમીકરણ ax + by + cg + d = 0 દ્વારા દર્શાવાય છે, રેખાને બે સમતલના છેદ તરીકે, બે ભિન્ન બિંદુઓના જોડાણ વડે કે એક બિંદુ અને દિશા વડે દર્શાવાય છે. બિંદુ(x, y, z)ના ધ્રુવીય (polar) યામો બે પ્રકારે લેવાય છે : (1) નળાકારીય (cylindrical) યામ (r, θ, z), જ્યાં x = cosθ, y = rsinθ છે. (2) ગોલીય (spherical) યામ (r, θ, Φ), જ્યાં x = rcosθcosΦ, y = rsinθcosΦ અને z = rsinΦ છે.

ધનેશ ભાવસાર

સાંત ભૂમિતિ (Finite Geometry)વૈશ્લેષિક પ્રક્ષેપ ભૂમિતિ

પ્રક્ષેપી ભૂમિતિમાં સાંત સંખ્યાનાં બિંદુઓ મળતાં બનતી ભૂમિતિ. પ્રક્ષેપી ભૂમિતિ માટે સામાન્ય રીતે નીચેની પૂર્વધારણાઓ લેવાય છે :

(1) ઓછામાં ઓછી એક રેખા છે.

(2) પ્રત્યેક રેખા પર ઓછામાં ઓછાં ત્રણ બિંદુઓ છે.

(3) બે ભિન્ન બિંદુઓ એક જ રેખા પર હોય.

(4) બે ભિન્ન રેખાઓ બરાબર એક બિંદુએ છેદે.

(5) બધાં બિંદુઓ એક જ રેખા પર નથી.

(6) રેખા પર એક સિવાયનાં તમામ બિંદુઓની વાસ્તવિક સંખ્યાગણ સાથે ક્રમ જાળવતી એક એક સંગતતા છે.

સાંતભૂમિતિમાં આ છેલ્લી પૂર્વધારણાને સ્થાને અન્ય બે પૂર્વધારણાઓ લેવાય છે, જે નીચે પ્રમાણે છે :

(7) જો બે ત્રિકોણોનાં અનુરૂપ શિરોબિંદુઓને જોડતી રેખાઓ સંગામી હોય તો તે ત્રિકોણોની અનુરૂપ બાજુઓનાં છેદબિંદુઓ સમરેખ હોય [આને દ’ સર્ગનું પ્રમેય પણ કહે છે.] (આકૃતિ – 43)

(8) જો A, B, C સમરેખ હોય તથા A´, B´, C´ પણ સમરેખ હોય તો AB´, A´B; BC´, B´C તથા CA´, C´Aનાં છેદબિંદુઓ પણ સમરેખ હોય. [આને પૅપસનું પ્રમેય પણ કહે છે. (આકૃતિ–44)]

આ આઠ પૂર્વધારણાઓમાંથી નિષ્પન્ન થતી ભૂમિતિમાં કેટલાક અનિવાર્ય ગુણધર્મો આવે છે. તેમાંનો એક ગુણધર્મ એવો છે કે જો કોઈ એક રેખા પર સાંત સંખ્યાનાં કહો કે m, બિંદુઓ હોય તો પ્રત્યેક રેખા પર બરાબર m બિંદુઓ જ હોય.

દરેક રેખા પર કોઈ પણ એક બિંદુને અનંતીનું બિંદુ કહેવાય છે અને તેને ∞ એ સંકેત વડે દર્શાવાય છે.

ઉપરની આઠ પૂર્વધારણાઓનું સમાધાન કરતી ભૂમિતિનો એક અન્ય રસિક ગુણધર્મ એ છે કે પ્રત્યેક રેખા પર ∞ સિવાયનાં બિંદુઓનો ગણ (બીજગણિતનું) ક્ષેત્ર રચે છે. આ માટે બિંદુઓના સરવાળા અને ગુણાકારની વ્યાખ્યા આ પ્રમાણે અપાય છે : પહેલાં તો રેખા ℓ પર ∞ સિવાયનાં કોઈ બે બિંદુઓને O અને 1 એવાં નામ અપાય છે. હવે ℓ પર ∞ સિવાયનાં કોઈ બે બિંદુઓ x અને y આવ્યાં હોય તો ℓ પર બિંદુઓ x + y અને xy મેળવવા નીચેની રચનાઓ કરાય છે. પહેલાં તો ∞ માંથી પસાર થતી અન્ય બે રેખાઓ m અને n અને n પર ∞ સિવાયનું કોઈ બિંદુ A લેવામાં આવે છે. O તથા Aને જોડતી

રેખા ધારો કે mને B બિંદુએ છેદે છે. xને B સાથે જોડવામાં આવે છે. અને તે રેખા ધારો કે nને C બિંદુએ છેદે છે. yને A સાથે જોડવામાં આવે છે અને ધારો કે તે રેખા mને Dમાં છેદે છે. તો રેખા CD ℓને જ્યાં છેદે તે બિંદુ x + y છે. અહીં રસની વાત એ છે કે ℓ પર x + yની સ્થિતિ કેવળ x અને y પર આધાર રાખે છે, m કે nની પસંદગી કે n પર Aની પસંદગી પર આધાર રાખતી નથી.

ગુણાકાર-બિંદુ xy મેળવવા માટે ℓ પરના બિંદુ Oમાંથી પસાર થતી રેખા m અને ∞માંથી પસાર થતી રેખા n લો. n પર કોઈ બિંદુ A લો. 1Aને જોડો અને ધારો કે તે રેખા mને B બિંદુએ છેદે છે. ધારો કે રેખા xB mને C બિંદુએ છેદે છે અને Ay mને D બિંદુએ છેદે છે. તો CD ℓને જે બિંદુએ છેદે તે જ xy છે.

અહીં એમ સાબિત કરી શકાય કે ℓ પર xyની પરિસ્થિતિ કેવળ x અને y પર અને નહિ કે m, n કે Aની પસંદગી પર આધાર રાખે છે.

ℓ પર ∞ સિવાયનાં તમામ બિંદુઓ સરવાળા અને ગુણાકારની આ ક્રિયાઓ પરત્વે ક્ષેત્ર રચે છે.

જો આ ક્ષેત્ર સાંત હોય તો આ રીતે મળતી ભૂમિતિ સાંતભૂમિતિ કહેવાય છે.

આગળ જણાવ્યા પ્રમાણે, સાંત ભૂમિતિમાં જો એક રેખા પર n + 1 બિંદુઓ હોય (એટલે કે ∞ ઉપરાંત n બિંદુઓ) તો દરેક રેખા પર n + 1 બિંદુઓ જ હોય. આવી સાંતભૂમિતિને n–કક્ષાની સાંતભૂમિતિ કહેવાય છે.

આપણે જોઈ ગયા તેમ, n–કક્ષાની ભૂમિતિમાં પ્રત્યેક રેખા પરનાં ∞ સિવાયનાં n બિંદુઓ ક્ષેત્ર રચે છે. ગાલ્વાશાસ્ત્ર (Galoa theory) પ્રમાણે કોક અવિભાજ્ય સંખ્યા p અને ધનપૂર્ણાંક α માટે n = p^α હોય છે.

જો સાંત ભૂમિતિ દ્વિપરિમાણીય (એટલે કે સમતલ ભૂમિતિ હોય) અને તે p^α –કક્ષાની હોય તો તે FG (2, P^α) કહેવાય છે.

n–કક્ષાની સાંત ભૂમિતિમાં સમતલમાંનાં બિંદુઓની કુલ સંખ્યા ગણી કાઢી શકાય. આ સમતલ પર એક રેખા AB લેવામાં આવે અને એ રેખા પર ન હોય તેવું એક બિંદુ P લેવામાં આવે. પછી જો સમતલનું અન્ય કોઈ પણ બિંદુ Q લેવામાં આવે તો રેખા PQ રેખા ABને એક જ બિંદુએ છેદશે. આમ સમતલનું દરેક બિંદુ Pમાંથી પસાર થતી અને ABને છેદતી એક જ રેખા પર છે. AB પરનાં  તમામ બિંદુઓને વારાફરતી P સાથે જોડતી રેખાઓ પર જ સમતલનાં બધાં બિંદુઓ મળે. હવે AB પર n + 1 બિંદુઓ છે તે દરેક્ધો P સાથે જોડતાં n + 1 રેખાઓ મળે. તે દરેક પર P સિવાય n બિંદુઓ હોય. તેથી કુલ n² + n બિંદુઓ મળે. આમાં P પોતે ગણાયું ન હોવાથી તે ગણતાં આખા સમતલમાં n² + n + 1 બિંદુઓ હોય.

આ સંદર્ભમાં FG (2, 2¹)નું એક ર્દષ્ટાંત જોવા જેવું છે : અહીં n = 2¹ = 2 તેથી n² + n + 1 = 7. આમ સમતલમાં 7 બિંદુઓ છે અને દરેક રેખા પર n + 1 = 3 બિંદુઓ છે. આ 7 બિંદુઓને A₁, A₂, A₃, A₄, A₅, A₆, A₇ કહીએ તો સાત રેખાઓ આવી લઈ શકાય :

ℓ₁ = {A₁, A₂, A₄}, ℓ₂ = {A₂, A₃, A₅}, ℓ₃ = {A₃, A₄, A₆}

ℓ₄ = {A₄, A₅, A₇}, ℓ₅ = {A₅, A₆, A₁},

ℓ₆ = {A₆, A₇, A₂}, ℓ₇ = {A₇, A₁, A₃}

આ વ્યવસ્થામાં સાંત ભૂમિતિની પૂર્વધારણાઓનું સમાધાન થાય છે તે જોઈ શકાય. આકૃતિ સ્વરૂપે ઉપરની ભૂમિતિને નીચે બે રૂપે રજૂ કરી છે : (અહીં ‘રેખા’ એટલે સીધી લીટી જ એવો અર્થ નથી તે ખાસ ધ્યાનપાત્ર છે.)

મુખ્યત્વે સાંત ભૂમિતિનો ઉપયોગ પ્રાયોગિક આયોજનમાં થાય છે. Balanced Incomplete Block Design તૈયાર કરવા માટે સાંત ભૂમિતિ ઉપયોગી થઈ પડે છે.

અરુણ વૈદ્ય

બૈજિક ભૂમિતિ (Algebraic Geometry)

અનેક ચલો x₁, x₂,…, x_nમાં સમીકરણ સંહતિ Fi (x₁, x₂, …., x_n) = 0, i = 1, 2, …, kના ઉકેલના અભ્યાસને  બૈજિક ભૂમિતિ કહે છે. આ અભ્યાસમાં (x₁, x₂…, x_n)ને n-પરિમાણી ભૂમિતિનું બિંદુ ગણવામાં આવે છે.

સમતલના કોઈ વક્રનો અભ્યાસ તેના સમીકરણ દ્વારા કરવામાં આવે તો તે વૈશ્લેષિક ભૂમિતિનો મુદ્દો બને છે; દા. ત., અમુક પરવલયનું સમીકરણ y²–4x = 0 છે. એટલે કે તે પરવલય પરનાં તમામ બિંદુઓ (x, y) માટે x અને y વચ્ચે y²–4x = 0 એવો સંબંધ છે અને તેથી ઊલટું, આ સંબંધવાળાં સમતલનાં બધાં જ બિંદુઓ (x, y) પરવલય પર આવેલ છે. પરવલયનાં તમામ બિંદુઓ જેનું સમાધાન કરે તેવું y² – 4x = 0 એકમાત્ર સમીકરણ નથી; દા. ત., સમીકરણ y²x–4x² = 0નું પણ પરવલયનાં બધાં જ બિંદુઓ સમાધાન કરશે. વ્યાપક રીતે g(x, y), x અને yની કોઈ પણ બહુપદી હોય તો (y²–4x) g(x, y) = 0 એ સમીકરણનું પણ પરવલયનાં સઘળાં બિંદુઓ સમાધાન કરે છે. આમ પરવલય સાથે માત્ર એક જ નહિ, પણ અનેક સમીકરણોનો સમૂહ સાંકળી શકાય છે.

બૈજિક ભૂમિતિના અભ્યાસની શરૂઆતમાં તો કેવળ બૈજિક સમતલીય વક્ર f(x¹, x²) = 0[જ્યાં f અવિભાજ્ય બહુપદી છે]નાં કેટલાંક લક્ષણો, જેવાં કે અસામાન્ય (singular) બિંદુઓ, બહુલ (multiple) બિંદુઓ અને વંશ(genus)નો અભ્યાસ કરવામાં આવતો.

આધુનિક અભ્યાસમાં બહુપદીઓ fiના સહગુણકો કોઈ ક્ષેત્ર kના ઘટકો હોઈ શકે છે અને સમીકરણોના ઉકેલ kને સમાવતા અને બૈજિક ર્દષ્ટિએ સંવૃત્ત (algebraically closed) ક્ષેત્ર Kમાં શોધવામાં આવે છે.

સમીકરણ-સંહતિ f_i (x₁, …., x_n) = 0ના ઉકેલોનો ગણ X હોય તો તેને એક ઉપસમષ્ટિ (variety) કહે છે. વળી X જો n–પરિમાણીય અવકાશનો કોઈ અરિક્ત ઉપગણ હોય તો Xના પ્રત્યેક બિંદુએ શૂન્ય થાય તેવી તમામ બહુપદીઓf(x₁,…., x_n)નો ગણ બહુપદીમંડળનું એક ઇષ્ટમંડળ (ideal) થાય છે અને તેને સાંત આધાર હોય છે.

દા.ત., y²–4x = 0ને સંલગ્ન ઉપસમષ્ટિ પરવલય છે અને એ પરવલયને સંલગ્ન ઇષ્ટમંડળ (y²–4x) g(x, y) પ્રકારની તમામ બહુપદીઓનો ગણ છે. આ ગણ એક ઇષ્ટમંડળ છે અને તેનો આધાર એકમેવ બહુપદી y²–4x છે.

વૈશ્લેષિક ભૂમિતિમાં પરવલયનો અભ્યાસ y²–4x = 0 ના અભ્યાસ દ્વારા થાય છે, જ્યારે બૈજિક ભૂમિતિમાં પરવલયનો અભ્યાસ તેને સંલગ્ન ઇષ્ટમંડળના બૈજિક અભ્યાસ દ્વારા કરવામાં આવે છે.

આમ આધુનિક બૈજિક ભૂમિતિમાં બહુપદીમંડળનાં ઇષ્ટમંડળો અને તેમને અનુરૂપ ઉપસમષ્ટિઓનો અભ્યાસ કરાય છે.

અરુણ વૈદ્ય

વિકલ ભૂમિતિ (Differential Geometry)

ભૂમિતિની એક શાખા, જેમાં અવકાશના કોઈ પણ બિંદુના સામીપ્ય-(neighbourhood)માં વક્રો અને પૃષ્ઠોની વર્તણૂકનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે.

સત્તરમી સદીમાં વિકસેલા અનંતસૂક્ષ્મ કલન (infinitesimal calculaus)માંથી વિકલ ભૂમિતિનો ઉદભવ થયો. કલનશાસ્ત્રના વિનિયોગથી વક્ર અને વક્રસપાટીઓનો અવકાશમાં અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો, તેમાંથી વક્રતા (curvature) અંગેની વિવિધ વિભાવનાઓ (notions) તેમજ વિષયને જોવાની નવી ર્દષ્ટિ પણ મળી. ઑયલર, મૉન્ગે અને ગાઉસ જેવા ગણિતશાસ્ત્રીઓનાં પાયાનાં સંશોધનોથી વિકલ ભૂમિતિનો વિકાસ થયો.

ત્રિપરિમાણી યુક્લિડીય અવકાશ R³માં નિયમિત વક્રની કલ્પના બે રીતે કરી શકાય : (i) કોઈ એક ગતિ કરતા કણના ગતિમાર્ગ કે બિંદુપથ(locus) તરીકે, (ii) ત્રિપરિમાણી અવકાશ R³માં વક્રને કોઈ વાસ્તવિક પ્રાચલ(parameter)ના વિધેય તરીકે.

વિકલ ભૂમિતિમાં નિયમિત વક્ર : m વર્ગના વિધેયની વ્યાખ્યા r : (a, b) → R³ એક વિધેય હોય અને (a, b) અંતરાલના પ્રત્યેક બિંદુએ નાં m–કક્ષા સુધીનાં સતત વિકલનફળો અસ્તિત્વ ધરાવતાં હોય તો m-વર્ગનું વિધેય છે એમ કહેવામાં આવે છે (સંકેત C^m)  અહીં m-ધનપૂર્ણાંક સંખ્યા છે. R³માં m વર્ગનો નિયમિત વક્ર : વિવૃત અંતરાલ (a, b) ઉપર વિધેય એવી રીતે વ્યાખ્યાયિત કરેલું છે, જેથી પ્રત્યેક t ∈ (a, b) આગળ થાય અને કોઈક પૂર્ણાંક k ≥ 1 માટે વિધેય k વર્ગનું થાય તો આવા વિધેય ને R³માં k– વર્ગનો નિયમિત વક્ર કહેવામાં આવે છે. આ વક્રનું પ્રાચલ સમીકરણ =  (t) છે. (આમ t–પ્રાચલ છે.)

સ્પર્શક સદિશક્ષેત્ર  : (a, b) → R³માં નિયમિત વક્ર છે. તેમાં સૂત્ર   આગળ વ્યાખ્યાયિત વિધેય  : (a, b) → R³ ને વક્ર (t)નું સદિશ ક્ષેત્ર કહેવામાં આવે છે. પ્રત્યેક t∈(a, b) માટે એકમ-સદિશ છે. : (a, b) → R³ એક નિયમિત વક્ર, t_o ∈ (a, b) બિંદુ,   વક્ર  (t)નું સ્પર્શક સદિશ ક્ષેત્ર હોય તો  થી દર્શાવાતી સુરેખાને વક્ર  (t)ની t_o બિંદુ આગળની સ્પર્શરેખા અને બિંદુ t_oને સ્પર્શબિંદુ કહેવામાં આવે છે. નિયમિત વક્ર દર્શાવતા વિધેયના પ્રતિબિંબગણને વક્રનો ભૌમિતિક આકાર કહેવામાં આવે છે.  : (a, b) → R³ એક નિયમિત વક્ર છે.

પુન:પ્રાચલીકરણ : જો g : (c, d) → (a, b) એક એક અને વ્યાપ્ત વિધેય એવું મેળવી શકાય કે જેથી કોઈ પૂર્ણાંક k ≥ 1 માટે g અને તેનું પ્રતીપવિધેય g^–1 : (a, b) → (c, d) બંને k વર્ગનાં હોય તો આવા વિધેય gને વક્ર (t)નું પુન:પ્રાચલીકરણ કહેવામાં આવે છે. પુન:પ્રાચલીકરણથી નિયમિત વક્રનો વર્ગ બદલાતો નથી. નિયમિત વક્રોના મોટા ભાગના ગુણધર્મો વક્રોના ભૌમિતિક આકારો ઉપર જ આધારિત હોય છે, વક્રના પ્રાચલીકરણ પર આધાર રાખતા નથી. વક્રની ચાપલંબાઈ સૂત્ર વડે વ્યાખ્યાયિત કરતાં મળતા વિધેય h : (a, b) → Rને વક્ર (t)ની ચાપલંબાઈ કહેવામાં આવે છે. કેટલીક વાર અનુકૂળતા ખાતર t ને બદલે s પ્રાચલ વાપરવામાં આવે છે. આવા પ્રાચલીકરણને વક્રનું ચાપલંબાઈ પ્રાચલીકરણ કહેવામાં આવે છે. R³ના નિયમિતવક્રને અવકાશવક્ર તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે. અવકાશવક્રનો વિસ્તાર R³ના કોઈ સમતલમાં સમાતો હોય તેવા વક્રને સમતલવક્ર કહેવામાં આવે છે.

આશ્લેષી સમતલ (osculating plane) : ધારો કે ને P આગળની સ્પર્શરેખા   છે તથા Q, ની બહારનું પણ  પરનું કોઈ બિંદુ છે. ધારો કે તથા Q દ્વારા પરિભાષિત થતું સમતલ ∝ છે. વક્રતા પર જેમ Q Pને અનુલક્ષે તેમ સમતલ ∝ના લક્ષ્યરૂપે જે સમતલ મળે તેને નું P આગળનું આશ્લેષી સમતલ કહે છે. બિંદુ P આગળના અભિલંબ સમતલ અને આશ્લેષી સમતલની છેદરેખાને P આગળનો પ્રધાન અભિલંબ કહેવામાં આવે છે. પ્રધાન-અભિલંબની દિશાના એકમ સદિશને P બિંદુ આગળનો પ્રધાન અભિલંબ એકમ સદિશ કહેવામાં આવે છે, અને તેને સંકેત વડે દર્શાવવામાં આવે છે. જો સ્પર્શક સદિશ અચળ ન હોય તો≠ 0 થાય છે. વળી  ⊥  છે તેમજ આશ્લેષી સમતલમાં છે; તેથી = k છે. પ્રણાલી અનુસાર k ધન લેવામાં આવે છે; જે અદિશ (scalar) છે. kને P બિંદુ આગળની વક્રની વક્રતા (curvature) કહેવામાં આવે છે તેમજ ρ = ને P બિંદુ આગળની વક્રતા-ત્રિજ્યા (radius of curvature) કહેવામાં આવે છે, P બિંદુ આગળના આશ્લેષી સમતલને લંબરૂપે આવેલા અભિલંબને સહાભિલંબ (co-normal) કહેવામાં આવે છે. આ રેખા દર્શાવતી દિશાના એકમ સદિશને સહાભિલંબ એકમ સદિશ કહેવામાં આવે છે અને તેને થી દર્શાવવામાં આવે છે. વક્રના પ્રત્યેક બિંદુ આગળ , , અને આ ત્રણ મૂળભૂત સદિશો છે. નિયમિત વક્ર માટે આ ત્રણ સદિશને જોડતાં, અહીં દર્શાવ્યા મુજબ ત્રણ સૂત્રો છે : = k , = -τ અને = τ– k, આ સૂત્રોને સેરે–ફ્રેને સૂત્રો તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. વિકલ ભૂમિતિના વિકાસમાં આ સૂત્રોએ મહત્ત્વપૂર્ણ ભાગ ભજવ્યો છે. સેરે-ફ્રેનેના સૂત્રમાં આવતા અદિશ τ (ટો) ને વક્રનો P બિંદુ આગળનો મરોડ (torsion) કહેવામાં આવે છે. τ ≠ 0 હોય તો σ = ને વક્રની P બિંદુ આગળની મરોડ-ત્રિજ્યા (radius of torsion) કહેવામાં આવે છે. સમતલ વક્રનો મરોડ શૂન્ય હોય છે. સુરેખા એવો વક્ર છે, જેની વક્રતા અને મરોડ બંને શૂન્ય હોય છે. દ્વિપરિમાણી યુક્લિડીય અવકાશના R² ના કોઈ ઉપગણ Uને નીચેના સંજોગોમાં R²નો વિવૃત ઉપગણ કહેવામાં આવે છે. Uમાંના દરેક (a, b) માટે એવો ε > 0 મળવો જોઈએ કે જેથી જ્યારે જ્યારે (x–a)²+(y–b)² < ε હોય ત્યારે (x, y) ∈ U થાય તો Uને R²નો વિવૃત ઉપગણ કહેવામાં આવે છે.

k–વર્ગનું સરળપૃષ્ઠ :  : U → R³ વિધેય છે, જે (i) એક એક અને (ii) કોઈ પૂર્ણાંક k ≥ 1 માટે C^k હોય, તદુપરાંત પ્રત્યેક (u, ν) ∈ U_(class) આગળ હોય તો વિધેય ને R³માં kવર્ગનું સરળ પૃષ્ઠ કહેવામાં આવે છે. તેનો સંકેત (u, v) છે. = (u, v) ને સરળ પૃષ્ઠનું પ્રાચલીય સમીકરણ કહેવામાં આવે છે. અહીં u, ν વક્રીય યામો છે. વિધેય : R² → R³ ને (u, v) = (u²,  v², uv) વડે આપેલું છે. અહીં u > 0, v > 0 છે.  સ્પષ્ટપણે સરળ પૃષ્ઠ છે. સંબંધને સરળ પૃષ્ઠો માટેનો નિયમિતતા-પ્રતિબંધ (regularity condition) કહેવામાં આવે છે. માંથી ફલિત થાય છે કે   અને સુરેખ-સ્વાયત્ત સદિશો (linearly independent vectors) છે. ને ₁ અને ને ₂ સંકેતથી દર્શાવવામાં આવે છે.

સરળ પૃષ્ઠનું સ્પર્શ-સમતલ : : U → R³ એક સરળ પૃષ્ઠ છે. P =  (a, b) કોઈ એક બિંદુ  છે  P બિંદુમાંથી પસાર થતા અને સદિશ ને લંબ-સમતલને સરળ પૃષ્ઠ (u, v)નું P બિંદુ આગળનું સ્પર્શ સમતલ કે સ્પર્શતલ કહેવામાં આવે છે અને ને P બિંદુ આગળનો એકમ અભિલંબ કહેવામાં આવે છે. અહીં || એ સદિશ નું માન (magnitude) છે. વળી ₁ x ₂ ≠ 0 હોવાથી અસ્તિત્વ ધરાવે તેમજ ₁ , ₂, અને સુરેખ સ્વાયત્ત છે. સુરેખ સ્વાયત્તતાનો ઉપયોગ કરી સરળ પૃષ્ઠના ઘણા ગુણધર્મો મેળવી શકાય છે.

કેટલાંક સરળ પૃષ્ઠ : ગોલક, ઉપવલયજ અને પરવલયજનાં પૃષ્ઠો અને પરિભ્રમણ-પૃષ્ઠ એ ત્રિ-પરિમાણી અવકાશ R³માં સરળ પૃષ્ઠો છે. R³માં નિયમિત વક્રને દર્શાવવા માટે એક પ્રાચલની જરૂર પડે છે, જ્યારે સરળ પૃષ્ઠ દર્શાવવા બે પ્રાચલની જરૂર પડે છે.

K–વર્ગનું યામ પરિવર્તન : U અને V એ અવકાશ R²ના બે વિવૃત ઉપગણો છે એવું વિધેય f : V → U અસ્તિત્વ ધરાવે, જેથી (i) f – એકની સામે એક (one to one) તેમજ વ્યાપ્ત હોય અને (ii) f અને તેનું પ્રતીપ વિધેય f^-1 : U → V બંને કોઈક પૂર્ણાંક k ≥ 1 માટે k–વર્ગનાં હોય તો વિધેય f ને K-વર્ગનું યામ-પરિવર્તન કહેવામાં આવે છે. યામ-પરિવર્તન એ નિયમિત વક્રો માટેના પુન:પ્રાચલીકરણના ખ્યાલનું વ્યાપક સ્વરૂપ છે.

સરળ પૃષ્ઠ પર યામ-પરિવર્તન અંગેનાં પરિણામો : (i) : U → R³ એક સરળ–પૃષ્ઠ છે. f : V → U એક યામ-પરિવર્તન હોય તો વિધેય * : of : V → R³ પણ એક સરળપૃષ્ઠ છે. વિધેયો અને ^*ના પ્રતિબિંબગણ સમાન હોય છે.

(ii) : U → R³ સરળ પૃષ્ઠ છે અને f : V → U એક યામ-પરિવર્તન છે, વળી (a, b)∈V છે. ^* = of હોય તો (a) સરળ પૃષ્ઠ ને f(a, b) બિંદુ આગળનો સ્પર્શતલ અને પૃષ્ઠ ^* ને (a, b) બિંદુ આગળનો સ્પર્શતલ સમાન હોય છે. કદાચ તેમની દિશા વિરુદ્ધ હોઈ શકે છે.

પરિભ્રમણ-પૃષ્ઠો : (surfaces of revolution) : (t) એક સમતલ વક્ર છે. તેના સમતલમાં એક નિશ્ચિત રેખા ℓ છે. વક્ર રેખા ℓની આસપાસ પરિભ્રમણ (revolve) કરે ત્યારે પૃષ્ઠ બને છે તેને પરિભ્રમણપૃષ્ઠ કહેવામાં આવે છે. નિશ્ચિત રેખા ℓને પરિભ્રમણપૃષ્ઠની અક્ષ (axis of revolution) કહેવામાં આવે છે.

વિવિધ પરિભ્રમણ-પૃષ્ઠ : એકબીજીને છેદતી હોય, પરંતુ કાટખૂણો ન બનાવતી બે રેખાઓ પૈકીની એક્ધો બીજીની આસપાસ પૂર્ણ પરિભ્રમણ કરાવવાથી લંબવૃત્તીય શંકુ-પૃષ્ઠ મળે છે. એક રેખાને તેને સમાંતર બીજી રેખાની આસપાસ પૂર્ણ પરિભ્રમણ કરાવવાથી લંબવૃત્તીય નળાકારનું પૃષ્ઠ મળે છે. એક અર્ધવર્તુળ તેના સીમક-વ્યાસ (bounding diameter)ની આસપાસ પરિભ્રમણ કરે તો ગોલક (sphere) બને છે.

પ્રાચલીય વક્રો : : u → R³ એક સરળ પૃષ્ઠ છે. P = (a, b) તેના પરનું કોઈ એક બિંદુ છે. પૃષ્ઠ ઉપરના વક્રની ચર્ચા કરવા માટે u અને n ને કોઈ વાસ્તવિક પ્રાચલ tના વિધેય તરીકે લેવામાં આવે છે. આમ પૃષ્ઠ પરનો વક્ર u = u(t), ν = ν(t) વડે વ્યાખ્યાયિત થાય છે; તેથી (u, ν) = (u(t), ν(t)) = (t) થાય. : U→R³ એક સરળ પૃષ્ઠ છે, P = (a, b) તેના પરનું કોઈ બિંદુ છે. (u) = (u, b) સમીકરણ વડે વ્યાખ્યાયિત વક્રને P બિંદુમાંથી પસાર થતો u–વક્ર કહેવામાં આવે છે અને (ν) = (a, ν) વડે વ્યાખ્યાયિત વક્રને P બિંદુમાંથી પસાર થતો ν-વક્ર કહેવામાં આવે છે. આ બંને વક્રોને પ્રાચલીય વક્રો કહેવામાં આવે છે. સ્પષ્ટ છે કે (a) =  (a, b) = ₁ અને (b) = (a, b) = ₂ (a, b) છે. ધારો કે ∈R³ એક સદિશ છે. જો કોઈક ε > 0 માટે એવો નિયમિત વક્ર = (-ε, ε)  → λ (ν) છે કે જેથી (0) = P અને (U) = થાય, તો સદિશ ને P બિંદુ આગળનો સરળ પૃષ્ઠ (u, ν)નો સ્પર્શક સદિશ કહેવામાં આવે છે. ₁, (a, b) અને ₂ (a, b), સરળ પૃષ્ઠ : u → R³ પરનાં બિંદુઓ P = , (a, b) આગળના સ્પર્શક સદિશો છે, , (a, b) અને ₂ (a, b) સુરેખ સ્વાયત્ત સદિશો છે. M⊂R³ અને ε > 0 P∈M આગળ d(P, Q) < ε થાય તેવાં Mનાં બધાં Q બિંદુઓના ગણને Pનું ε-સામીપ્ય ε-neighbourhood કહેવામાં આવે છે. R³માંના યુક્લિડીય અંતરને સંકેત dથી દર્શાવવામાં આવે છે.

બિંદુ આગળનું સતત વિધેય : g : M → R³ એક વિધેય છે. જો g(P)∈U થાય તેવા R²ના પ્રત્યેક વિવૃત ગણ U માટે, Pનું એવું સામીપ્ય N અસ્તિત્વ ધરાવે, જેથી G (N)⊂U થાય, તો વિધેય  બિંદુ P આગળ સતત છે એમ કહેવામાં આવે છે.

ઉચિત સરળ પૃષ્ઠ : : U → R³ એક સરળ પૃષ્ઠ છે. જો નું પ્રતીપ વિધેય ^-1 : (U) → U, ગણ r (U)ના પ્રત્યેક બિંદુએ સતત હોય તો વિધેય  ને ઉચિત સરળ પૃષ્ઠ કહેવામાં આવે છે.

k-વર્ગનું પૃષ્ઠ (વ્યાખ્યા) : M⊂R³ પ્રત્યેક બિંદુ P∈M માટે k-વર્ગનું એવું ઉચિત સરળ પૃષ્ઠ અસ્તિત્વ ધરાવે છે, જેનો પ્રતિબિંબગણ Mનો  ઉપગણ હોય અને Pના કોઈક દ સામીપ્યને Mમાં સમાવે તો ગણ Mને R³માં k–વર્ગનું પૃષ્ઠ કહેવામાં આવે છે.

જો : U → R³ અને  : : V → R³ – આ બે સરળ પૃષ્ઠો હોય અને P(U) = U¹, (V) = V¹ હોય તો ¹ o : ^-1 (U¹ ∩ V¹) →^-1(U¹∩V¹)k-વર્ગનું યામ-પરિવર્તન કહેવામાં આવે છે. (અહીં k ≥ 1 અને U, V એ R²ના વિવૃત ઉપગણો છે.) વાસ્તવમાં ગણ Mને આચ્છાદિત કરે એવું સરળ પૃષ્ઠોનું આચ્છાદન મેળવવામાં આવે છે, જેથી ગણ Mનું પ્રત્યેક બિંદુ P, આ આચ્છાદનના ઓછામાં ઓછા એક સરળ પૃષ્ઠમાં હોય જ. વિકલ ભૂમિતિમાં પૃષ્ઠના સ્થાનિક ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કરતી વખતે પૃષ્ઠ અને સરળ પૃષ્ઠ બંનેને એક જ ગણવામાં આવે છે. હકીકતમાં આવાં પૃષ્ઠ એ વાસ્તવિક પૃષ્ઠના એક નાના ભાગરૂપ જ હોય છે.

એકમ ઝડપ વક્ર : નિયમિત વક્ર   : (a, b) → R³ માટે || = 1 હોય તો ને એકમ ઝડપ વક્ર કહેવામાં આવે છે. = (u, ν) પર u = u (t), ν = ν(t) વડે વ્યાખ્યાયિત વક્ર = (u(t)ν(t)), લઈએ તો આ વક્ર ફક્ત tનું વિધેય બને છે.

આ સૂત્રથી ચાપલંબાઈ s અને પ્રાચલ t જોડાયેલાં છે. અહીં E = ₁ . ₁, F = _{1 . 2} અને G = ₂ . ₂ છે. E > 0, G > 0 અને H² = EG – F² > 0 છે. આ સમીકરણને ds^z = Edu² + 2Fdudν + Gdν²થી દર્શાવી શકાય.

તેને પૃષ્ઠ ઉપરનું માન કહેવામાં આવે છે તેમજ E, F અને Hને પ્રથમ મૂળભૂત સ્વરૂપના સહગુણકો કહેવામાં આવે છે.

ભૂરેખા (geodesic) અને ભૂરેખીય વક્રતા : પૃષ્ઠ= (u, ν) પરનો એક વક્ર (s) = (u(s)), n(s)) છે. (ચાપલંબાઈ) s સાપેક્ષના વિકલનને ડૅશ (´) સંકેતથી દર્શાવવામાં આવે છે, એટલે કે ( = ‘) છે. અભિલંબ ની દિશામાંના “ના સંઘટક્ધો ની અભિલંબ-વક્રતા (normal cuvature) કહેવામાં આવે છે. તેનો સંકેત k_n છે. સદિશ ની દિશામાંના ´´ના સંઘટક્ધો ની ભૂરેખીય વક્રતા કહેવામાં આવે છે. તેનો સંકેત k_g છે. નો એકમ સ્પર્શક સદિશ છે. જો ની વક્રતા k હોય તો છે. પૃષ્ઠ ઉપરના જે વક્રમાં k_g = 0 હોય તે વક્રને પૃષ્ઠની ભૂરેખા (geodesic) કહેવામાં આવે છે. ત્રિપરિમાણીય અવકાશમાં ભૂરેખાઓ સુરેખાઓ છે અને ગોલક માટે ભૂરેખાઓ દીર્ઘવર્તુળો (greater circles) છે. આ વિધાન મેળવી શકાય છે. ચાપલંબાઈ sને પ્રાચલ તરીકે લઈએ તો

ભૂરેખાઓનાં વિકલ સમીકરણો છે. અહીં 2T = Eu´² + 2Fu´n´ + Gn´² છે. આમ પૃષ્ઠની ભૂરેખાના પ્રત્યેક બિંદુએ પ્રધાન અભિલંબ, પૃષ્ઠને અભિલંબ હોય છે. પૃષ્ઠ પરનો એકમ ઝડપ વક્ર છે. તે p = (a) અને Q = (b)માંથી પસાર થાય છે. જો એ બિંદુ P અને Q વચ્ચેનો ટૂંકામાં ટૂંકો વક્ર હોય તો પૃષ્ઠ ઉપરની ભૂરેખા છે એમ સાબિત કરી શકાય છે.

પૃષ્ઠ પરના બિંદુ p આગળના સ્પર્શતલમાંની દિશાને એકમ સદિશના સંઘટકોથી દર્શાવવામાં આવે છે. આ સંઘટકોને દિશા સહગુણકો કહેવામાં આવે છે અને તેમને (ℓ, m)થી દર્શાવવામાં આવે છે. સદિશ (ℓ, m) એકમ હોવાથી El² + 2Flm + Gn² = 1 થાય છે. પૃષ્ઠ ઉપરનું પ્રથમ મૂળભૂત સ્વરૂપ મુખ્યત્વે ચાપલંબાઈઓની ગણતરી કરવામાં વપરાય છે; પરંતુ E,F,G સહગુણકો બીજી રીતે મહત્ત્વપૂર્ણ ભાગ ભજવે છે, પ્રાચલીય વક્રોને ₁ અને ₂ થી દર્શાવવામાં આવે છે. આ પ્રાચલીય વક્રોની પ્રાચલીય દિશાઓ વચ્ચેનો ખૂણો θ હોય તો

જો પ્રાચલીયવક્રો પરસ્પર લંબરૂપે હોય તો F = 0 થાય. =(u, ν) એક પૃષ્ઠ છે.  ને અનુક્રમે ₁₁, ₁₂ અને ₂₂ સંકેતોથી દર્શાવવામાં આવે છે. ₁₂ = ₂₁ હોય છે. જો પૃષ્ઠનો એકમ અભિલંબ હોય તો L = ·₁₁, M = ·₁₂  અનેN = ·₂₂  હોય છે તેમજ અભિલંબ-વક્રતા k_nને

સ્વરૂપમાં અભિવ્યક્ત કરી શકાય છે : જો  અને  હોય તો L, M, Nને L = –₁ . ₁, M = –₁ .₂ = –₂ .₁ અને N = –₂ .₂ જેવા વૈકલ્પિક સ્વરૂપમાં પણ અભિવ્યક્ત કરી શકાય છે. L, M, Nને પૃષ્ઠના દ્વિતીય મૂળભૂત સ્વરૂપના સહગુણકો કહેવામાં આવે છે અને Ldu² + 2Mdudν + Ndν²ને પૃષ્ઠનું દ્વિતીય મૂળભૂત સ્વરૂપ કહેવામાં આવે છે, વિકલ ભૂમિતિના વિકાસમાં આ સ્વરૂપનો મહત્ત્વનો ફાળો છે. ઉપર્યુક્ત ચર્ચામાંથી ફલિત થાય છે કે પૃષ્ઠ ઉપરના બિંદુ p આગળના એક જ દિશાવાળા બધા વક્રોની અભિલંબ-વક્રતા પણ એક જ હોય છે. પરિણામ(1)ની જમણી બાજુનો છેદ ધન અને નિયત છે. તેથી અભિલંબવક્રતા k_nનું ચિહ્ન દ્વિતીય મૂળભૂત સ્વરૂપના ચિહ્ન ઉપર આધારિત છે. જો પૃષ્ઠ ઉપરના p બિંદુ આગળ દ્વિતીય મૂળભૂત સ્વરૂપ નિયત હોય અર્થાત્ LN –M² > 0 હોય તો kn, p બિંદુ આગળની બધી જ દિશાઓ માટે પોતાનું ચિહ્ન જાળવી રાખે છે અને p બિંદુને ઉપવલયી બિંદુ કહેવામાં આવે છે. LN–M² = 0 હોય ત્યારે p બિંદુને પરવલયી–બિંદુ અને LN–M²< 0 હોય ત્યારે p બિંદુને અતિવલયીબિંદુ કહેવામાં આવે છે. પૃષ્ઠ પરના p બિંદુ આગળની દિશા (ℓ, m) સહગુણકો વડે નક્કી કરવામાં આવે છે. આથી નિશ્ચિત દિશામાં અભિલંબ-વક્રતા K = Lℓ² + 2Mℓm + Nm² વડે આપવામાં આવે છે. અહીં Eℓ² + 2Fℓm + Gm² = 1 છે. આ પ્રતિબંધને આધીન રહીને ℓ, mમાં ફેરફાર કરવામાં આવે તો અભિલંબ-વક્રતા(k)માં પણ ફેરફાર થાય છે. લાગ્રાન્જના અનિર્ણીત ગુણકોની મદદથી kની મહત્તમ અને લઘુતમ કિંમતો શોધી શકાય છે. જો આ મહત્તમ અને લઘુતમ કિંમતો અનુક્રમે k_a અને k_b હોય તો

μને p બિંદુ આગળની  સરેરાશ વક્રતા કહેવામાં આવે છે. kને p બિંદુ આગળની ગૉસિયન વક્રતા તેમજ k_a અને k_bને p બિંદુ આગળની પ્રધાન વક્રતાઓ કહેવામાં આવે છે.

આ પ્રધાન વક્રતાઓને અનુરૂપ પ્રધાન દિશાઓ સમીકરણ વડે નિશ્ચિત થાય છે. જો હોય તો પ્રધાન દિશાઓ નિશ્ચિત કરી શકાતી નથી તે સ્પષ્ટ છે. જે બિંદુ આગળ હોય તે બિંદુને શૂન્યવૃત્ત (umbilic) કહેવામાં આવે છે. જો પૃષ્ઠ ઉપરનું બિંદુ p શૂન્યવૃત્ત ન હોય તો p આગળ બે ભિન્ન અને પરસ્પર લંબપ્રધાન દિશાઓ મળે છે. જો પૃષ્ઠ ઉપરના વક્ર df rના પ્રત્યેક બિંદુએ સ્પર્શરેખા પ્રધાન દિશા હોય તો આવા ને વક્રતા-રેખા (line of curvature) કહેવામાં આવે છે. વક્રતારેખાના સમીકરણો :

(Lk–E) dν + (M–kF) dν = 0 અને

(Mk–F) dν + (Nk–G) dν = 0 છે.  ………..(3)

અહીં k પ્રધાન વક્રતાઓમાંની એક છે. જો પૃષ્ઠ = (u, ν)થી આપેલ હોય તો વક્રતા-રેખાઓ kd + d= 0 સમીકરણથી નિશ્ચિત કરી શકાય છે. આ સમીકરણને રોડ્રિગ્ઝ (Rodrigues) સૂત્ર કહેવામાં આવે છે. જો પ્રાચલીય વક્રોને વક્રતા-રેખાઓ તરીકે લેવામાં આવે તો બે મૂળભૂત સહગુણકો F અને M શૂન્ય થાય છે. જો k_a અને k_b સમાન હોય તો બિંદુ શૂન્યવૃત્ત બને છે, જે ચકાસી શકાય છે.

દ્વિતીય મૂળભૂત સ્વરૂપનું ભૌમિતિક અર્થઘટન : P (u, v) અને Q (u+h, ν+k) પૃષ્ઠના ઉપરના બે નજીકનાં બિંદુઓ છે. P આગળના સ્પર્શતલથી Q બિંદુનું લંબ-અંતર d છે. _P અને_Q અનુક્રમે P અને Q બિંદુ આગળના સ્થાન-સદિશો છે.

d = (_Q–_P) .

= (h₁+k₂) . + ½(h²₁₁+2hk₁₂+k²₂₂) . + (h³, K³)

= ½ (Lh²+2Mhk+Nk²) + 0(h³,k³)

ઉપવલયી બિંદુ આગળ d પોતાનું ચિહ્ન જાળવી રાખે છે, તેથી આવા બિંદુ P પાસેનું પૃષ્ઠ, P આગળના સ્પર્શતલની એક જ બાજુએ હોય છે, અતિવલયી બિંદુ આગળ પૃષ્ઠ સ્પર્શતલને છેદે છે.

અહીં પૃષ્ઠ ઉપરના બિંદુ આગળ લંબ-કાર્તેઝીય યામ એવી રીતે પસંદ કરેલા છે, જેથી ox અને oy, બિંદુ o આગળની પ્રધાન દિશાઓ પર છે, અને oz બિંદુ P આગળના પૃષ્ઠને અભિલંબની દિશામાં છે. જો ત્રણ કે તેથી વધારે ક્રમની નાની કિંમતો અવગણવામાં આવે તો બિંદુ o આગળ પૃષ્ઠનું સમીકરણ z² =  ax² + by² મળે છે. o આસપાસ પૃષ્ઠને સમતલ z = 2h, શાંકવ 2h = ax² + by², z=2hમાં છેદે છે. બિંદુ o આગળની ox દિશામાં અભિલંબ-વક્રતા= a = k_a છે; તેવી જ રીતે b = K_b છે. જો Ra = અને Rb = હોય તો ઉપર્યુક્ત શાંકવ = 2h, z =2h છે. આ શાંકવને ડ્યુપિનની નિર્દેશિકા (dupin’s indicatrix) કહેવામાં આવે છે. આ શાંકવ અભિલંબ-વક્રતાનું દિશાને સાપેક્ષ ચલનું ભૌમિતિક અર્થઘટન આપે છે. જો k_a અને k_b એકસરખું ચિહ્ન ધરાવતાં હોય તો ઉપર્યુક્ત શાંકવ એક ઉપવલય છે; તેની પ્રધાન અક્ષો અને હોય છે. જો h > 0 હોય તો આ ઉપવલય વાસ્તવિક હોય છે અને જો h < 0 હોય તો તે કાલ્પનિક હોય છે. જો k_a અને k_b પરસ્પરવિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવતાં હોય તો ઉપર્યુક્ત શાંકવ, hના ચિહ્ન મુજબ બે અનુબદ્ધ અતિવલયોમાંનો એક જ છે. આ વિકલ્પમાં 0 આગળના અનંત સ્પર્શકોની દિશાઓને 0 આગળની અનંત સ્પર્શકીય (asymptotic) દિશાઓ કહેવામાં આવે છે.

વિકાસનીય પૃષ્ઠ : એક પ્રાચલીય સમીકરણ સંહતિના પરિસ્પર્શક્ધો વિકાસનીય પૃષ્ઠ કહેવામાં આવે છે. આવા પૃષ્ઠને અમુક રેખાઓના યોગ-ગણ તરીકે પણ ગણી શકાય છે. આ રેખાઓને વિકાસનીય પૃષ્ઠની સર્જક રેખાઓ (generating line) કહેવામાં આવે છે. વિકાસનીય પૃષ્ઠોને ખેંચ્યા કે ફાડ્યા સિવાય એક સમતલમાં વિકસાવી શકાય છે. આ વિકાસનીય પૃષ્ઠની કોઈ પણ સર્જક રેખાના દરેક બિંદુ આગળ સ્પર્શક સમતલ સમાન હોય છે. જો પૃષ્ઠનું સમીકરણ z = f (x,y) હોય તો પૃષ્ઠ વિકાસનીય હોવા માટેની જરૂરી અને પર્યાપ્ત શરત = 0 છે. α પ્રાચલવાળી એક પ્રાચલીય સમતલ સંહતિનું સમીકરણ F (x,y,z,α) = 0 હોય તો પરિસ્પર્શકની સર્જક રેખાઓ માંથી મળે છે. આ બે સમીકરણોમાંથી પ્રાચલ αનો લોપ કરવાથી વિકાસનીય પૃષ્ઠનું સમીકરણ મળે છે. નળાકાર એ વિકાસનીય પૃષ્ઠનું એક જાણીતું ઉદાહરણ છે.

સદિશ સંકેતમાં એક પ્રાચલીય સમતલ-સંહતિનું સમીકરણ પ્રાચલ uનાં વિધેયો છે. u પ્રાચલવાળા સમતલને u-સમતલ કહીએ, બે સમતલ u અને n (u < ν) જો સમાંતર ન હોય, તો એક સુરેખામાં છેદે છે. જો હોય તો આ સુરેખાનાં સમીકરણ f(u) = 0, f(ν) = 0 છે, તેથી u અને ν વચ્ચે એવી કિંમત u₁ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી f(u) = 0 છે, અહીં ડૉટ u, u પ્રત્યેનું વિકલનરૂપ દર્શાવે છે. આમ ઉપર્યુક્ત સુરેખાનાં સમીકરણ  છે. આ સુરેખાને u સમતલને અનુરૂપ લાક્ષણિક રેખા કહેવામાં આવે છે. આ જ રીતે સમતલ-સંહતિનાં ત્રણ સમતલો u, ν, w (u<ν<w) સામાન્ય રીતે એક બિંદુમાં છેદે છે. આ બિંદુને નક્કી કરવાનાં સમીકરણો છે.

જો સુરેખ અવલંબી (linearly dependent) હોય તો ઉપર્યુક્ત ત્રણ સમીકરણોને કોઈ ઉકેલ હોતો નથી અથવા તો ઉકેલ અનિર્ણાયક હોય છે. જો ઉપર્યુક્ત સમીકરણ-સંહતિને ઉકેલ હોય તો તે બિંદુને uસમતલને અનુરૂપ લાક્ષણિક બિંદુ (characteristic point) કહેવામાં આવે છે. સામાન્ય રીતે સમતલ-સંહતિનાં સમતલોને અનુરૂપ લાક્ષણિક બિંદુઓ વિકાસનીય પૃષ્ઠ ઉપર એક વક્ર નક્કી કરે છે. આ વક્રને પ્રત્યાવર્તન-ધાર (edge of regression) કહેવામાં આવે છે. નિયમિત અવકાશી વક્રો સાથે પણ આવી એક પ્રાચલીય સમતલ-સંહતિ સંકળાયેલી હોય છે. (દા.ત., આશ્લેષી સમતલ-સંહતિ, અભિલંબ સમતલ-સંહતિ વગેરે). તેથી આવાં સમતલો સાથે સંકળાયેલી વિકાસનીય પૃષ્ઠોની ચર્ચા પણ કરી શકાય. વિકાસનીય પૃષ્ઠો માટે ગાઉસિયન વક્રના k શૂન્ય છે એમ સાબિત કરી શકાય છે.

એક ગતિ કરતી સુરેખાથી આવરી લેવાતા પૃષ્ઠને અંકિત પૃષ્ઠ (ruled surface) કહેવામાં આવે છે. આવાં અંકિત પૃષ્ઠોની ગાઉસિયન વક્રતા કદી પણ ધન (positive) હોતી નથી. આ અધિકરણમાં વિકલ ભૂમિતિની ચર્ચામાં મૂળભૂત અવકાશ તરીકે ત્રિપરિમાણી-યુક્લિડીય અવકાશ R³ લીધો છે. વિકલ ભૂમિતિના અર્વાચીન અભિગમમાં મૂળભૂત અવકાશ તરીકે વિકલનીય બહુવળ (manifold) લેવામાં આવે છે. વિકલનીય બહુવળ કોઈક બિંદુ આગળ n-પરિમાણી યુક્લિડીય અવકાશ Rⁿની જેમ વર્તે છે.

લીલાધર ખેસાભાઈ પટેલ

ખંડક ભૂમિતિ (Fractal Geometry)

ઉત્તરોત્તર વિભાજનની પુનરાવર્તિત પ્રક્રિયાને પરિણામે નિર્મિત આકૃતિઓ કે સપાટીઓ સાથે સંકળાયેલી ભૂમિતિ.

અહીં સરળ ભૌમિતિક આકૃતિમાં વિભાજનથી ઉપસાવેલી ભાત(pattern)નું પુનરાવર્તન કરવાથી અટપટી લાગતી ભૌમિતિક આકૃતિ મળે છે, જેને ખંડક (fractal) કહેવામાં આવે છે. ભાત કે નકશીના પુનરાવર્તનને સ્વયં-સમરૂપતા (self-similarity) કહેવામાં આવે છે. તે ફ્રૅક્ટલનું મહત્વનું લક્ષણ છે. આકૃતિના એક નાનકડા ભાગ જેવા જ આકારનો અન્ય થોડો મોટો ભાગ હોય અને એ જ આકારનો એથી પણ મોટો ભાગ હોય અને આ સંરચના આગળ ને આગળ ચાલ્યા કરતી હોય તો રચાતી આકૃતિઓ સ્વયં સમરૂપ હોય છે.

ફ્રૅક્ટલના મુખ્ય બે પ્રકાર છે : નિયમિત ફ્રૅક્ટલ અને અનિયતરૂપ (random) ફ્રૅક્ટલ. નિયમિત (regular) સ્વરૂપના ફ્રૅક્ટલને ભૌમિતિક ફ્રૅક્ટલ પણ કહેવામાં આવે છે. તેવી નિર્માણશૈલીમાં મોટી આકૃતિથી શરૂ કરીને નાની કે નાની થતી જતી એકબીજીની પ્રતિકૃતિ હોય તેવી સંરચનાઓ કરવામાં આવે છે. ભીની જગામાં થતી હંસરાજ કે પર્ણાંગ (fern) જેવી અપુષ્પ વનસ્પતિ પ્રકૃતિમાં ફ્રૅક્ટલનું સુંદર ઉદાહરણ છે. (આકૃતિ – 49)

હિમતૂલાકાર વક્ર (snowflake like curve), સિરપિન્સ્કી ત્રિકોણ, પીનોનો અવકાશ ભરી દેતો વક્ર (Peano’s spacefilling curve) ફ્રૅક્ટલનાં ઉદાહરણો છે.

એક સમબાજુ ત્રિકોણ લઈ તેની દરેક બાજુનું ત્રણ ભાગમાં વિભાજન કરી મધ્યભાગ પર ફરી સમબાજુ ત્રિકોણ રચતાં (આકૃતિ – 50)માં બતાવ્યા પ્રમાણે ષડ્બિંદુ તારક (six-pointed star) આકારનો સમતલીય વક્ર બને છે. તારકની દરેક બાજુ પર વિભાજનની ઉપર્યુક્ત ક્રિયાનું પુનરાવર્તન કરવાથી હિમતૂલાકાર (snowflake like) વક્ર મળે છે.

આકૃતિ 51(a) અને 51(b)માં બતાવ્યા મુજબ ત્રિકોણની ત્રણેય બાજુઓનાં મધ્યબિંદુઓને જોડતા મૂળ ત્રિકોણથી નાનો અને ઊલટો ત્રિકોણ બને છે. આ ક્રિયાના પુનરાવર્તનથી નાના અને નાના થતા જતા ત્રિકોણ બને છે. આમ સિરપિન્સ્કી ત્રિકોણ રચાય છે.

આકૃતિ 52માં પીનોનો અવકાશ ભરી દેતો વક્ર, રચનાના ત્રણ તબક્કારૂપે દર્શાવ્યો છે. આ વક્ર રચવામાં એક ચોરસ દોરી તેનો વિકર્ણ દોરવામાં આવે છે. (આકૃતિ – 52માંa) આ ચોરસનું નવ સરખા ભાગોમાં વિભાજન કરવામાં આવે છે. (આકૃતિ – 52 b) ત્યારબાદ બતાવ્યા પ્રમાણે કેટલાક વિકર્ણ જોડવામાં આવે છે. આમ નિર્મિત થયેલા પ્રત્યેક ચોરસમાં નિશ્ચિત વિકર્ણ જોડવામાં આવે છે. (આકૃતિ – 52માંc). આ વિધિનું પુનરાવર્તન કરતાં એક વક્ર મળે છે. જે મૂળ ચોરસનાં બધાં બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે અને ચોરસને ભરી દે છે.

અનિયતરૂપ ફ્રૅક્ટલમાં મોટા માપક્રમ (scaling) અને નાના માપક્રમની રચનાઓ વચ્ચે ગાણિતિક સંબંધો પ્રવર્તે છે. નૈસર્ગિક ઘટનાઓની ઘણી સંરચનાઓ, અનિયત રૂપના ફ્રૅક્ટલ રજૂ કરે છે. દરિયાકાંઠો, ગિરિમાળાઓનાં શિખરો, વાદળોના બદલાતા જતા આકારોની કિનારીઓ, આકાશમાં ઝબૂકતી વીજળીના તેજ-લિસોટાનો પથ વગેરે આકારોને અનિયતરૂપ ફ્રૅક્ટલ સ્વરૂપના ગણી શકાય છે.

વાસ્તવિક વિશ્લેષણ(real analysis)ના ગણિતમાં કૅન્ટરગણની રચનામાં અને સર્વત્ર સતત હોય, પરંતુ કયાંય વિકલનીય ન હોય (everywhere continuous but nowhere differentiable) તેવા વાયરસ્ટ્રાસના વિધેયના આલેખમાં (આકૃતિ – 54) પણ ફ્રૅક્ટલ સ્વરૂપ જોવા મળે છે.

કૅન્ટરગણ(cantor set)ની રચના : કૅન્ટરગણ નામે ઓળખાતો સંવૃત અંતરાલ [0, 1]નો ઉપગણ કેટલાક રસપ્રદ ગુણધર્મો ધરાવે છે. (આકૃતિ – 53) તેની રચનાના પ્રથમ પગલે અંતરાલ [0, 1]માંથી મધ્ય-તૃતીય વિવૃત અંતરાલ કાઢી નાંખીએ તો બે સંવૃત અંતરાલ મળે છે. મળેલા બે સંવૃત અંતરાલોના મધ્ય-તૃતીય-વિવૃત અંતરાલ બીજા પગલે કાઢી નાંખીએ તો ચાર સંવૃત અંતરાલ બાકી રહે છે. ત્રીજે પગલે બાકી રહેલા ચાર સંવૃત અંતરાલોના મધ્ય-તૃતીય-વિવૃત અંતરાલ કાઢી નાંખીએ અને આમ આગળ જતાં ^n–1મા પગલે બાકી રહેલા 2^n–1 સંવૃત અંતરાલોના મધ્ય-તૃતીય-વિવૃત અંતરાલો કાઢી નાંખતાં 2ⁿ સંવૃત અંતરાલો બાકી રહેશે. આ ક્રિયા ચાલુ રાખીએ તો મળતા સંવૃત અંતરાલોનાં અંત્યબિંદુઓનો ગણ કૅન્ટરગણ છે એટલે કે ,…….વગેરે બિંદુઓ કૅન્ટરગણમાં છે. આ ફ્રૅક્ટલ સ્વરૂપનું ઉદાહરણ છે. અહીં આકૃતિ – 54માં દર્શાવેલો વાયરસ્ટ્રાસના વિધેયનો આલેખ પણ ફ્રૅક્ટલ સ્વરૂપનો છે :

કૅન્ટરગણ અને વાયરસ્ટ્રાસના વિધેયના ફ્રૅક્ટલ સ્વરૂપ તરફ ગણિતીઓનું ખાસ ધ્યાન ગયું નહોતું. કૅન્ટરગણ, પીનોનો અવકાશ ભરી દેતો વક્ર (આકૃતિ – 52) અને વાયરસ્ટ્રાસ વિધેયના આલેખ માત્ર અપવાદરૂપ ગાણિતિક સંરચનાઓ નથી; પરંતુ વાસ્તવિક સ્વરૂપમાં તેઓ નૈસર્ગિક ઘટનાઓની રજૂઆત કરે છે. આવી સમજણ સાથેના ગણિતશાસ્ત્રીઓના અભિનવ અભિગમે ગણિતની એક મહત્વની ભૌમિતિક વિચારસરણી ઊભી કરી છે. યુક્લિડીય અવકાશ ના ઉપગણોની અતિ-અનિયમિત ભૂમિતિનો અભ્યાસ કરવા માટેનું શાસ્ત્ર અને કસબ (technique) ફ્રૅક્ટલ ભૂમિતિ પૂરાં પાડે છે.

ગણિતનાં આવાં કેટલાંક સરળ સમીકરણોના પુનરાવર્તનથી ફ્રૅક્ટલ આકૃતિઓ મળે છે, દા.ત., સંકર ચલ zનું વિધેય f(z) = z²+c, z∈ ≠ લઈ તેનો આલેખ લઈએ, ત્યારબાદ f(f(z)) = (z²+c)² + c અને f [f(f(z))] = {(z²+c)²+c}²+c એમ આલેખો લેતા જઈએ તો આકૃતિ – 55માં બતાવ્યા પ્રમાણે ફ્રૅક્ટલ આકૃતિઓ મળે છે. છેવટે મળતી આકૃતિ પરથી દેખાય છે કે કુદરતમાં દેખાતા અનેક આકારો ફ્રૅક્ટલ સ્વરૂપના હોય છે. ઉપરનાં વિધેય f(z), f[f(z)], f[f(z)] બતાવે છે કે ફ્રૅક્ટલ મેળવવા માટે અટપટી અને ઘણી ગણતરીઓ કરવી પડે છે. આને માટે અને આલેખોના ચિત્રાત્મક નિરૂપણ માટે કમ્પ્યૂટર કામે લગાડવાં પડે છે. કદાચ આ જ કારણે કમ્પ્યૂટરો સુલભ થયા પછી જ ફ્રૅક્ટલ ભૂમિતિના અભ્યાસને વેગ મળ્યો.

વાદળાં, પહાડોની સપાટી, વૃક્ષોનો આકાર, દરિયાકિનારો વગેરે કુદરતીની રચનાઓ દ્વારા નિરૂપાતી ભૂમિતિનાં અતિ-અનિયમિત સ્વરૂપોને ગાણિતિક રીતે રજૂ કરવાના હેતુલક્ષી સંશોધનોની સભાન શરૂઆત ઈ. સ. 1975થી 1982ના ગાળામાં બેનૉઇટ માંડેલબ્રોટનાં સંશોધનાત્મક નિરીક્ષણોથી થઈ હતી. વિવિધ વિશિષ્ટ કમ્પ્યૂટર–આલેખોનાં નિરીક્ષણોથી પ્રભાવિત થયેલા માંડેલબ્રોટે કુદરત દ્વારા નિરૂપાતી ભૂમિતિના ગૂઢ, જટિલ, અતિ-ખંડિત-અનિયમિત સ્વરૂપને છતું કરતું પુસ્તક ‘ફ્રૅક્ટલ જ્યૉમેટ્રી ઑવ્ નેચર’ 1982માં પ્રકાશિત કર્યું. ત્યારથી આ દિશામાં અવિરત પ્રયત્નો થઈ રહ્યા છે.

હવે ફ્રૅક્ટલ અને ફ્રૅક્ટલ ભૂમિતિ અંગેનું થોડું ગણિત જોઈએ. યુક્લિડીય અવકાશ IRⁿના ઉપગણો માટે બે પ્રકારનાં પરિમાણો (dimensions) આપવામાં આવે છે. IRⁿના ઉપગણ Fનું સાંસ્થિતિક પરિમાણ dim_T(F) અને Fનું હાઉસડૉર્ફ પરિમાણ dim_H(F) છે. જો ઉપગણ Fનું સાંસ્થિતિક પરિમાણ તેના હાઉસડૉર્ફ પરિમાણ કરતાં ઓછું હોય એટલે કે dim_T(F) < dim_HF હોય તો Fને ફ્રૅક્ટલ કહેવામાં આવે છે. આ પરિમાણોની વ્યાખ્યા અહીં આપી નથી; છતાં સાંસ્થિતિક પરિમાણ પૂર્ણાંક હોય છે, જ્યારે હાઉસડૉર્ફ પરિમાણ અપૂર્ણાંક હોઈ શકે છે એ નોંધપાત્ર છે. વળી Fનું હાઉસડૉર્ફ પરિમાણ Fની અતિ-ખંડિતતા કે અનિયમિતતાનું માપ છે એમ કહી શકાય.

પીયૂષકુમાર જ. ભટ્ટ

સંસ્થિતિવિદ્યા (Topology)

સતત વિરૂપ કરતાં બળોની અસર નીચે પણ પદાર્થો અને આકૃતિઓના અપરિવર્તિત રહેતા ગુણધર્મોના અભ્યાસ અંગેની વિદ્યા.

અહીં ‘સતત’ શબ્દ મહત્વનો છે. સતત પરિબળ એટલે પદાર્થને તોડ્યા વગર કે તેના ટુકડાઓને સાંધ્યા વગર પદાર્થને વિરૂપ (deformed) કરવા મથતું પરિબળ. પદાર્થને ખેંચતું, સંકોચતું, વાંકા વાળતું પરિબળ એવાં બધાં પરિબળો સતત છે. જો કોઈ પદાર્થમાં છિદ્ર હશે  તો તે પદાર્થ પર સતત પરિબળ લગાડવાથી તેનો આકાર બદલાશે, પરંતુ પદાર્થના બદલાયેલા આકારમાં પણ છિદ્ર તો હશે જ. આથી છિદ્ર હોવું એ સાંસ્થિતિક ગુણધર્મ (topological property) છે. એ જ પ્રમાણે પદાર્થ પર કોઈ અખંડ વક્ર હશે તો તે પણ સતત પરિબળની અસર હેઠળ અખંડ તો રહેશે જ. આથી વક્રની અખંડતા એ પણ સાંસ્થિતિક ગુણધર્મ છે. કોઈ વક્રનું n – અખંડ ટુકડાઓમાં વિભાજિત હોવું એ પણ સાંસ્થિતિક ગુણધર્મ છે. જો મૂળ વક્ર વર્તુળ હોય તો વિરૂપતાની અસર નીચે તેનો આકાર કદાચ વર્તુળ નહિ રહે, પણ તે કોઈક બંધ વક્ર (closed curve) જ રહેશે.

સંસ્થિતિવિદ્યાના પદ્ધતિસરના અભ્યાસમાં સૌપ્રથમ તો કયા પરિબળને કે કયા પરિવર્તનને સતત કહેવું તેનો ચોક્કસ ખ્યાલ વિકસાવવો પડે છે. આ માટે બિંદુઓનાં સામીપ્યો (neighbourhoods) અથવા બિંદુઓ વચ્ચેના અંતર જેવા ખ્યાલો દાખલ કરવા પડે છે. જે પદાર્થ કે ગણનો અભ્યાસ થતો હોય તેનો જે ઉપગણ પોતાના દરેક બિંદુનું કોઈ ને કોઈ સામીપ્ય પોતાનામાં સમાવતો હોય તેને વિવૃત (open) ગણ કહેવામાં આવે છે. એવું બને છે કે સતત પરિવર્તન હેઠળ ન બદલાતા દરેક ગુણધર્મનું વિવૃત ગણો વડે સચોટ વર્ણન થઈ શકે છે. આથી ગણના તમામ વિવૃત ઉપગણોની સંહતિ(system)ને જ સંસ્થિતિ (topology) કહે છે.

જો ગણમાં બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર વ્યાખ્યાયિત હોય તો તેની મદદથી સામીપ્ય, વિવૃત ગણ વગેરે ખ્યાલો દાખલ કરી શકાય છે. આ રીતે મળતા સંસ્થિતિ-અવકાશને માનાવકાશ (metric space) કહે છે; પરંતુ જેમાં અંતરનો ખ્યાલ ન હોય તેમાં પણ વિવૃત ગણનો ખ્યાલ દાખલ કરી શકાય છે અને એમ સંસ્થિતિ ઊભી થાય છે.

સમગ્રપણે વિચારીએ તો ઉપર્યુક્ત અને બીજા ખ્યાલો વિકસાવીને

(i) કેવળ બિંદુ-ગણોની સંસ્થિતિવિદ્યા (point-set topology) કે સામાન્ય સંસ્થિતિવિદ્યા (general topology), (ii) બૈજિક સંસ્થિતિવિદ્યા (algebraic topology) અને (iii) વિકલ સંસ્થિતિવિદ્યા (differential topology) – એમ ત્રણ શાખાઓમાં સંસ્થિતિ-વિદ્યાનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે.

કૅન્ટરનો ગણ-સિદ્ધાંત, આસ્કોલી અને વૉલ્ટરાના વિશ્લેષણ (analysis) અંગેનાં, ફ્રેશે(Freches)ના માનાવકાશ અંગેનાં અને ફેલિક્સ હાઉસડૉર્ફના સાંસ્થિતિક અવકાશ અંગેનાં સંશોધનોમાં સામાન્ય સંસ્થિતિવિદ્યાનો ઊગમ રહેલો છે.

હેન્રી પ્વાંકેર, એલ. ઈ. જે. બ્રાઉવર, બેટ્ટી, લિપ્શિત્ઝ વગેરેનાં સંશોધનોમાં બૈજિક સંસ્થિતિ વિદ્યાનો ઊગમ, અને બૈજિક સમીકરણોના ઉકેલ-સ્વરૂપે બૈજિક વિધેયો અને તેનાં સંકલનોના સંદર્ભે રીમાન્ન, વેબ્લેન વગેરેનાં પૃષ્ઠો (surfaces) (દા.ત., રીમાન્ન પૃષ્ઠો) અંગેનાં સંશોધનોમાં વિકલ સંસ્થિતિવિદ્યાનો ઊગમ રહેલો છે. આ ત્રણેય શાખાઓમાં સંસ્થિતિ, સાંસ્થિતિક અવકાશ અને તે પરનાં સતત વિધેયો અભ્યાસના કેન્દ્રમાં છે.

અહીં કેટલીક સમસ્યાઓ આપી છે જે સંસ્થિતિવિદ્યામાં સંશોધન પ્રેરનારી હતી : (a) ‘સમતલ (યુક્લિડીય અવકાશમાં IR²)માં દોરેલું વર્તુળ અથવા વર્તુળ જેવો કોઈ પણ સાદો બંધ (closed) વક્ર સમતલનું બે અચ્છેદ્ય (પરસ્પર ન છેદતા) ભાગોમાં વિભાજન કરે છે. વર્તુળ અથવા બંધ વક્ર આ બંને ભાગોની સામાન્ય સીમા હોય છે.’ જૉર્ડનના પ્રમેય તરીકે જાણીતા અને દેખીતી રીતે સાચા લાગતા આ વિધાનની સાબિતી જટિલ છે.

(b) n–પરિમાણીય યુક્લિડીય અવકાશ IRⁿનો n–પરિમાણ અંગેનો ખ્યાલ માત્ર બૈજિક જ છે કે સાંસ્થિતિક પણ છે તેવો પ્રશ્ન 1910ના અરસામાં ઉદભવ્યો. તેનો હકારાત્મક જવાબ બ્રાઉવર, લબેગ વગેરેએ શોધી કાઢ્યો. તે સમય દરમિયાન કેટલીક બૈજિક પ્રકારની સાંસ્થિતિક સંકલ્પનાઓનો જન્મ થયો.

(c) સમીકરણ f(x) = 0 ના ઉકેલો(જો મળી શકે તો)ની ઉપયોગિતા ઘણી હોવાથી, તેના ઉકેલો કયા કયા સંજોગોમાં મળી શકે છે તેની શરતો નક્કી કરવામાં ગણિતશાસ્ત્રીઓને રસ હતો. તેથી f(x) = 0 એટલે કે f(x) + x = x અથવા બીજા સ્વરૂપમાં F(x)=x પ્રકારનાં સમીકરણોના ઉકેલો મળી શકે તે માટેના વ્યાપક સંજોગો શોધવાના પ્રયત્નો થયા. ઈ. સ. 1912–13માં બ્રાઉવરે સાબિત કર્યું કે n–પરિમાણીય ગોલક Bⁿ = {x ∈ IRⁿ/॥x॥≤1} ઉપર વ્યાખ્યાયિત થયેલ કોઈ પણ સતતવિધેય Fને માટે ઓછામાં ઓછું એવું એક બિંદુ [જેને Fનું સ્થિરબિંદુ (fixed point) કહેવાય છે] Bⁿમાં મળે છે કે જેથી F(x) = x થાય. ‘બ્રાઉવર-સ્થિર બિંદુ’ પ્રમેય તરીકે ઓળખાતા આ પરિણામનાં વ્યાપક સ્વરૂપો પણ મેળવવામાં આવ્યાં છે.

(d) સંકર સંખ્યા zની બહુપદીઓ (polynomials) a₀(z), a₁(z),….., a_n(z)ને સંકર સહગુણકો તરીકે લઈને મેળવેલ બૈજિક સમીકરણ a₀(z)wⁿ + a₁ (z) w^n–1 +……..+a_n (z) = 0 [a₀ (z) ≠ 0]ના ઉકેલો કેટલાક સંજોગોમાં સંકર-સંખ્યા zના વૈશ્લેષિક (analytic) વિધેય w = w(z)ના સ્વરૂપમાં લખી શકાય છે, અને જો આપેલા n-ઘાતી સમીકરણનાં બધાં n-બીજ કોઈ બિંદુ z₀ ઉપર અસમાન હોય તો z₀ના કોઈ નાના સામીપ્યમાં વૈશ્લેષિક (analytic) વિધેયો w_i = w_i (z), i = 1, 2, 3…….n, મળે છે, જે z₀ ઉપર સમીકરણના n ઉકેલો આપે છે. આ સંદર્ભમાં ગણિતશાસ્ત્રીઓને a₀(z)wⁿ+a₁(z)w^n—1+……+a_n(z) = 0 દ્વારા મળતા બહુમૂલ્યક (multiple-valued) બૈજિક વિધેય w(z) અને તેની શાખાઓ w_i(z)ની ગાણિતિક ચર્ચામાં સ્વાભાવિક રીતે જ રસ હોય, પરંતુ W(z)નું બહુમૂલ્યપણું પરિસ્થિતિને જટિલ બનાવતું હતું. જર્મન ગણિતશાસ્ત્રી બર્નહાર્ડ રીમાન્ને 1851 સૂચવ્યું કે સંકર સંખ્યાક્ષેત્ર Cમાં ઉકેલો શોધવાને બદલે અનેક વળાંકોવાળા કોઈ એક પૃષ્ઠ(surface)માં આ ઉકેલો મેળવવા જોઈએ; કારણ કે આમ કરવાથી પૃષ્ઠ ઉપર w(z) એક મૂલ્યક બને છે, અને w(z)ની દરેક શાખા wi(z) તે પૃષ્ઠ પરના જુદા જુદા ભાગો પરનાં w(z)નાં મૂલ્યો બને છે. (આવા પૃષ્ઠને રીમાન્ન પૃષ્ઠ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે). ઉકેલો મેળવવા આ રીતના ભૂમિતિના ઉપયોગે અંતત: વિકલનીય બહુવળ (differential manifold)ના શાસ્ત્ર(વિકલ્ય સંસ્થિતિ-વિદ્યા)ને જન્મ આપ્યો. વિકલનીય બહુવળના શાસ્ત્રમાં બહુવળોનો વૈશ્વિક (global) અભ્યાસ કરવામાં આવે છે.

સામાન્ય સંસ્થિતિવિદ્યાના કેટલાક અગત્યના ખ્યાલો અને પરિણામો : કોઈ ગણની Xની સંસ્થિતિ એટલે તેના કેટલાક ઉપગણોનો એવો સમુચ્ચય કે જે પોતાના (i) યથેચ્છ ઘટકોના યોગગણ અને (ii) યથેચ્છ સાંત સંખ્યાના ઘટકોના છેદગણને પોતાનામાં જ સમાવી લેતો હોય. સંસ્થિતિનો દરેક સભ્ય વિવૃત ગણ કહેવાય છે. ગણ X તેની સંસ્થિતિ સાથે સાંસ્થિતિક અવકાશ કહેવાય છે. ગણ Xના ઘટકો સાંસ્થિતિક અવકાશ Xનાં બિંદુ છે. X અને Y સાંસ્થિતિક અવકાશો માટે કોઈ વિધેય f: X → Y એવું હોય કે જેથી Yના દરેક વિવૃત ગણ G માટે Gનું પ્રતીપ – પ્રતિબિંબ f^–1 (G), Xમાં વિવૃત હોય તો વિધેય f સતત છે. આ સતત વિધેય જો એક એક (one-to-one) અને વ્યાપ્ત (onto) હોય અને તેનું પ્રતીપ વિધેય પણ સતત હોય તો આવા વિધેય fને તદ્રૂપ (homomorphi) કહેવામાં આવે છે. બે સાંસ્થિતિક અવકાશો વચ્ચે જો આવી તદ્રૂપતા હોય તો તે બંનેનાં બિંદુઓ અને વિવૃત ગણો વચ્ચે એક એક અને વ્યાપ્ત સંગતતા હોય છે. વિરૂપતા (deformation) ખરેખર તો બે પરિસ્થિતિઓ દ્વારા નિરૂપાતા બે સાંસ્થિતિક અવકાશો વચ્ચેની તદ્રૂપતાઓ છે. બે વિરૂપતાઓ દરમિયાન જળવાઈ રહેતા ગુણધર્મો ખરેખર તો તદ્રૂપતા દ્વારા જળવાઈ રહે છે. તદ્રૂપતા દ્વારા જળવાઈ રહેતા ગુણધર્મો સાંસ્થિતિક ગુણધર્મો (topological properties) છે.

જો કોઈ બે સાંસ્થિતિક અવકાશો વચ્ચે તદ્રૂપતાનું અસ્તિત્વ હોય, તો તે સાંસ્થિતિક અવકાશોનો તદ્રૂપ (homomorphic) કહેવામાં આવે છે. બધા જ શક્ય સાંસ્થિતિક અવકાશોના ગણમાં, બે સાંસ્થિતિક અવકાશો વચ્ચેની તદ્રૂપતા સામ્ય-સંબંધ (equivalence relation) વ્યાખ્યાયિત કરે છે. આ સામ્ય-સંબંધ સાંસ્થિતિક અવકાશોના ગણનું સામ્યવર્ગ (equivalent-class) તરીકે અચ્છેદ્ય ઉપગણોમાં વિભાજન કરે છે. જો બે સાંસ્થિતિક અવકાશો એક જ સામ્યવર્ગમાં આવતા હોય તો અને તો જ તે તદ્રૂપ હોય છે. જો કોઈ સાંસ્થિતિક અવકાશ (topological space) X, કોઈ સાંસ્થિતિક ગુણધર્મ pની બધી શરતોનું પાલન કરતો હોય તો Xને તદ્રૂપ બધા સાંસ્થિતિક અવકાશો પણ p અંગેની બધી શરતોનું પાલન કરે; આથી સાંસ્થિતિક અવકાશોનું વર્ગીકરણ સંસ્થિતિવિદ્યામાં મહત્વનું છે.

સાંતપરિમિત બિંદુઓવાળા સાંસ્થિતિક અવકાશોના પરિમિતતા અંગેના ગુણધર્મનું સાંસ્થિતિકીકરણ સુબદ્ધતા (compactness) છે. આ મહત્વનો ગુણધર્મ છે. સાંસ્થિતિક અવકાશ Xના દરેક વિવૃત આચ્છાદન(open cover)માંથી સાંત ઉપાચ્છાદન (finite subcover) મેળવી શકાય તો Xને સુબદ્ધ અવકાશ કહેવામાં આવે છે. એટલે કે કોઈ સાંસ્થિતિક અવકાશનું આચ્છાદન કરતા વિવૃત ગણોના દરેક સમુચ્ચયમાંથી આપેલા સાંસ્થિતિક અવકાશને આચ્છાદિત કરતા સાંત સંખ્યાના વિવૃત ગણો મળતા હોય તેવો સાંસ્થિતિક અવકાશ સુબદ્ધ છે. સુબદ્ધતાનો ગુણધર્મ ખૂબ ઉપયોગી છે.

(i) સાંસ્થિતિક અવકાશમાં વિવૃત ગણના પૂરક ગણને સંવૃત ગણ (closed set) કહે છે. જો કોઈ સાંસ્થિતિક અવકાશ Xમાં દરેક બિંદુ x અને સંવૃત ગણ C, માટે f(x) = 0 અને f(c) = 1 થાય તેવું સતત વિધેય f : X → [0, 1] મળતું હોય તો તેવા અવકાશ Xને પૂર્ણ નિયમિત અવકાશ (complete regular space) કહે છે. દરેક પૂર્ણ નિયમિત અવકાશ વાસ્તવિક સંખ્યાઓના કેટલાક સુબદ્ધ અંતરાલોના ગુણાકાર અવકાશના એક ઉપાવકાશને તદ્રૂપ હોય છે.

(ii) બે સાંસ્થિતિક અવકાશો X અને Y વચ્ચેના સતત વિધેયોના ગણ Fનો કોઈ ઉપગણ C કયા સંજોગોમાં યોગ્ય સંસ્થિતિ સાથે સુબદ્ધ હોય તે જણાવતું પરિણામ આસ્કોલીનું પ્રમેય છે.

અવિભક્ત અવકાશ : કોઈ સાંસ્થિતિક અવકાશને બે અરિક્ત અચ્છેદ્ય વિવૃત ગણોના યોગ તરીકે વ્યક્ત ન કરી શકાય તેવા અવકાશને અવિભક્ત (connected) અવકાશ કહેવામાં આવે છે. અવિભક્તતા એ અખંડતાનું એક સાંસ્થિતિક સ્વરૂપ છે. તે એક સાંસ્થિતિક ગુણધર્મ છે. અવિભક્તતાના અનેક પ્રકારો અને સ્વરૂપોની ચર્ચા સંસ્થિતિવિદ્યાનું એક મહત્વનું અંગ છે. અવિભક્તતાના ખ્યાલોની મદદથી સાંસ્થિતિક અવકાશોનું વર્ગીકરણ કરી શકાય છે. ઘણા જાણીતા અવકાશો અવિભક્ત છે; દા.ત., યુક્લિડીય અવકાશ [ધન પૂર્ણાંક સંખ્યા n માટે…

ગણ IRⁿ = {(x₁, x₂,…..,x_n)/x₁, x₂,…..,x_n વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે] તેના યુક્લિડીય માન d (x, y) = {(∑(x_i —y_i)²}^½, x = (x₁, x₂,….,x_n) અને y = (y₁, y₂,…..,y_n) દ્વારા મળતી d-માનજન્ય સંસ્થિતિ (d-metric topology) સાથે યુક્લિડીય અવકાશ છે.

હિલ્બર્ટ અવકાશ (ગણ H ={x₁, x₂,……)/x₁, x₂,… વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે અને સાન્ત છે.} તેની d-માનજન્ય સંસ્થિતિ સાથે હિલ્બર્ટ અવકાશ છે. અહીં  ,.

શાળાઓમાં શીખવાતી સમતલ, ઘન કે યામ-ભૂમિતિઓ યુક્લિડીય અવકાશો IR² અને IR³ ની ભૂમિતિઓ છે.

ઈ. સ. 1966માં અમેરિકન ગણિતી આર.ડી. ઍન્ડર્સને સાબિત કર્યું હતું કે હિલ્બર્ટ અવકાશ અને IRના ગણનીય વખત ગુણાકાર(IRxIRxIRx…)વાળો ગુણાકાર અવકાશ તદ્રૂપ છે, જે અનપેક્ષિત છે.

બિંદુઓ અને સંવૃત ગણોને, વિવૃત ગણો દ્વારા વિવિધ રીતે અલગ કરવાના ગુણધર્મો અને તેને મળતા ગુણધર્મોને અલગતા-(separation)ના ગુણધર્મો તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. આ સાંસ્થિતિક ગુણધર્મો નૈસર્ગિક છે. જો કોઈ સાંસ્થિતિક અવકાશ Xમાં અચ્છેદ્ય સંવૃત ગણો A અને Bની દરેક જોડને અચ્છેદ્ય વિવૃત ગણો U_A (A, U_Aનો ઉપગણ છે) અને U_B(B, U_Bનો ઉપગણ છે) દ્વારા અલગ કરી શકાતા હોય તો તે અવકાશ X, નિયત (normal) અવકાશ છે. અલગતાના આ ગુણધર્મને લગતાં અહીં આપેલાં બે પરિણામ મહત્વનાં છે :

(1) યુરિઝોનનું પ્રમેયિકા (Uryson’s lemma) સાંસ્થિતિક અવકાશ X નિયત હોય તો તેના કોઈ પણ બે અચ્છેદ્ય સંવૃત ગણો A અને B માટે f(A) = 0 અને f(B) = 1 થાય તેવું એક સતત વિધેય f : X → [0, 1] મળે છે.

(2) યુરિઝોનનું માનક્ષમતા(metrization)નું પ્રમેય : દ્વિતીય ગણનીય (second countable), નિયમિત સાંસ્થિતિક અવકાશ માનક્ષમ (metrizable) હોય છે. માનક્ષમ સાંસ્થિતિક અવકાશમાં બિંદુઓ વચ્ચે અંતરનો ખ્યાલ એવી રીતે દાખલ કરી શકાય છે કે તેથી મળતી સંસ્થિતિ મૂળ સંસ્થિતિ જ હોય.

દ્વિતીય ગણનીય (second countable) અવકાશ એટલે જેની સંસ્થિતિ તેના વિવૃત ગણોના કોઈ ગણનીય સમુચ્ચયના સભ્યોના યોગગણોની બનેલી હોય તેવો અવકાશ. જો સાંસ્થિતિક અવકાશમાં કોઈ ગણનીય ઉપગણ એવો હોય, જેથી કોઈ પણ વિવૃત ગણ તે ઉપગણના કોઈ ને કોઈ બિંદુને તો સમાવે જ, તો તે અવકાશ વિયોજનીય (separable) છે. આ સાંસ્થિતિક ગુણધર્મ ધરાવતા અવકાશો કેટલાક સંજોગોમાં રસપ્રદ બને છે; દા.ત., પ્રથમ અને અંતિમ બિંદુઓ વિનાનો દરેક વિયોજનીય અવિભક્ત રૈખિકક્રમી અવકાશ રેખા Rને સાંસ્થિતિક રીતે સમતુલ્ય છે.

સાંસ્થિતિક અવકાશના સંવૃત, સુબદ્ધ કે અવિભક્ત ઉપગણોના સમુચ્ચયો ઉપર ભિન્ન ભિન્ન રીતે સંસ્થિતિઓ વ્યાખ્યાયિત કરીને મેળવેલા સાંસ્થિતિક અવકાશો; જેવા કે, અવકાશોનું વિઘટન (decomposition of spaces), અધ્યવકાશ (hyperspaces)નો ઉપયોગ ગણિતના ગહન અને નવી દિશાઓના અભ્યાસ ફ્રૅક્ટલ (fractal) માટે કરવામાં આવે છે. n-પરિમાણીય બહુવળો (n-manifolds), બહુફલકો, સ્થિરબિંદુ વગેરેને લગતા કોયડાઓ સામાન્ય સંસ્થિતિ-વિદ્યાના આજના સંશોધનના વિષયો છે.

બૈજિક સંસ્થિતિવિદ્યા(algebraic topology)ના કેટલાક ખ્યાલો અને પરિણામો : બૈજિક સાંસ્થિતિક વિદ્યામાં સાંસ્થિતિક સમસ્યાઓનું બૈજિક સમસ્યામાં રૂપાંતર કરીને પ્રશ્નોનો હલ શોધવામાં આવે છે. સાંસ્થિતિક અવકાશોને બૈજિક માળખાં (structures) જેવાં કે, સમૂહ, મંડળ, ક્ષેત્ર વગેરે સાથે સાંકળવામાં આવે છે. વળી સતત કે તદ્રૂપ વિધેયોને એવી રીતે સાંકળવામાં આવે છે, જેથી (1) વિધેયોના સંયોજનનો ગુણધર્મ જળવાઈ રહે અને (2) તદેવ વિધેય (identity function) બૈજિક વિધેય સાથે જ સંકળાય.

ભૌમિતિક સમસ્યાઓના નિરાકરણ માટે યુક્લિડીય અવકાશની ભૌમિતિક રચનાઓનો બૈજિક સંસ્થિતિવિદ્યાની આધુનિક રજૂઆત મુજબ હેન્રી પ્વાંકેરે અભ્યાસ કર્યો. તેમાં રેખાખંડો, બંધ-ત્રિકોણીય પ્રદેશો, ચતુષ્ફલકો અને તેનાં બહુપરિમાણીય સ્વરૂપોને, વિધેયો દ્વારા, પૂર્ણાંક સંખ્યાઓના સમૂહ જેવા બૈજિક માળખામાં રૂપાંતરિત કર્યા બાદ અભ્યાસ કરવામાં આવે છે. ખાસ કરીને ભાગાકાર-સમૂહ(quotient group)ની રચનાનો ઉપયોગ કરીને તેને n-પરિમાણીય, m છિદ્રવાળા સાંસ્થિતિક અવકાશ Xની સાથે એક સમૂહ H_n(X)- ને સાંકળ્યો [જે પૂર્ણાંક સંખ્યાઓના સમૂહ Zના n-વખત ગુણાકાર-સમૂહ (સરલ-અનુલોમ) (direct sum) Z⊕Z⊕….⊕Zને એકરૂપ છે]. આ H_n(X) તદ્-વિરૂપતા (homology group) છે. કોઈ પણ તદ્રૂપ સાંસ્થિતિક અવકાશો X અને Y માટે તદ્-વિરૂપ-સમૂહો H_n (X) અને Hn(Y) એકરૂપ હોય છે.

તદ્રૂપ-વિદ્યાનાં કેટલાંક મહત્વનાં પરિણામો અહીં રજૂ કર્યાં છે :

(i) ઑઇલર(Euler)નું પ્રમેય (IR³માં) : જો કોઈ સાદા નિયમિત બહુફલક(simple regular polyhedron)માં V શિરોબિંદુઓ, e કિનારીઓ અને f બાજુઓ (ફલકો) હોય તો V – e + f = 2 થાય. આ પરિણામનું વ્યાપક n–પરિમાણીય સ્વરૂપ પણ મેળવાયું છે. 3માં માત્ર પાંચ જ સાદાં નિયમિત બહુફલકો ઘન, ચતુષ્ફલક, અષ્ટફલક, દ્વાદશફલક અને વિંશતીફલક શા માટે મળે છે તે અંગેની જિજ્ઞાસા આ પરિણામ સંતોષે છે. V – e + f અને તેનું વ્યાપક સ્વરૂપ સાંસ્થિતિક નિશ્ર્ચર (invariant) છે. તેને ઑયલર અભિલક્ષણ (charateristic) કહેવામાં આવે છે.

(ii) જો n ≠ m હોય, તો IRⁿ અને IR^m તદ્રૂપ ન હોય.

(iii) કોઈ સતત વિધેય f : Bⁿ → S^n–1, (જે ગોલક

S^n–1 = {(x₁, x₂,….,x_n) ∈ IRⁿ/ }  ઉપર તદેવ વિધેય હોય) અસ્તિત્વ ધરાવતું નથી. ‘દરેક સતત વિધેય f : Bⁿ → Bⁿને એક સ્થિર બિંદુ હોય છે.’ — આ બ્રાઉવરનું સ્થિરબિંદુ પ્રમેય છે અને લેફ્શિત્ઝે (Lefschitz) તેનું વિસ્તૃત અને વ્યાપક રૂપ સાબિત કર્યું છે. ઈ. સ. 1928માં ઍલેક્ઝાંડ્રોવે સુબદ્ધ અવકાશ માટે તદ્વિરૂપ-વિદ્યાનો વિકાસ કર્યો અને 1932માં ચેકે કોઈ પણ સાંસ્થિતિક અવકાશ માટે આ વિદ્યાનો વિસ્તાર કર્યો.

‘પથ–અવિભક્તતા’નો ઉપયોગ કરી, સાંસ્થિતિક અવકાશને સમૂહ જેવી બૈજિક રચના સાથે સાંકળી, તદ્-વિરૂપ વિદ્યાની જેમ જ સમ-સ્થિતિ-વિદ્યા(homotopy)ની રચના પ્વાંકેરે કરી હતી.

એક જ ઊગમ અને અંતિમ બિંદુવાળા પથો f અને gને એકમાંથી બીજામાં વિરૂપિત (deformed) કરી શકાતા હોય તો તે બંને પથો એકબીજાને સમસ્થૈતિક છે એમ કહેવામાં આવે છે. [અહીં વિધેય f : (0,1)→X પથ છે. તે ઉગમબિંદુ f(0) અને અંતિમ બિંદુ f(1)ને જોડે છે. વળી f(0) = f(1) છે.] આ વ્યાખ્યા લઈને સાંસ્થિતિક અવકાશ Xને એક સમૂહ π₁(X)ની સાથે સાંકળવામાં આવે છે. π₁(X)ને પ્રથમ સમસ્થિતિ-સમૂહ કહે છે. જો અવકાશ Xમાં એક પરિમાણીય n છિદ્રો હોય તો π₁ ગુણાકારસમૂહ Z⊕Z⊕……⊕Z (n-વખત)ને એકરૂપ થાય છે. બહુપરિમાણીય પથો(દા.ત., IR³)માં ફુગ્ગા જેવા પથનો ઉપયોગ કરીને ઉચ્ચપરિમાણીય સમસ્થિતિ-સમૂહો π_n(x)ને Xની સાથે સાંકળવામાં આવે છે. nમા સમ-સ્થિતિ-સમૂહ n–પરિમાણીય છિદ્રોની ગણતરી કરે છે. IR^m+1ના ઉપાવકાશ m-ગોલક S^mના સમસ્થિતિ-સમૂહો π_n(S^m), સમસ્થિતિ-વિદ્યાના અભ્યાસનો મહત્વનો વિષય છે. π₁(s´) એકરૂપ Z છે, જ્યારે π₁(sⁿ), (n>1) એકરૂપ {0} છે.

ત્રણ-પરિમાણીય બહુવળ(manifold)ની વ્યાપક લાક્ષણિકતા-ઓની શોધ જેવા મુદ્દાઓ બૈજિક સંસ્થિતિવિદ્યાના સંશોધનક્ષેત્રવિષયો છે. દરેક ત્રણ-બહુવળના દરેક કક્ષાના તદ્-વિરૂપ સમૂહો મેળવી શકાય છે એમ એડવિન મોઇઝે સાબિત કર્યું હતું (1952). બે બહુવળ માટે પણ આમ સાબિત થયું છે. બધા n-બહુવળની વિરૂપતાનો અભ્યાસ શક્ય નથી એમ કર્બી અને સીબનમૅને સાબિત કર્યું (1969). દરેક સુબદ્ધ સાદું, અવિભક્ત ત્રણ-બહુવળ, ત્રણ-ગોલક S³ને તદ્રૂપ છે એવી ‘પ્વાંકેરની અટકળ’ આજે પણ ગણિતશાસ્ત્રીઓ માટે આહવાનરૂપ કોયડો છે.

દર્શનસિંઘ બસન

પીયૂષકુમાર જ. ભટ્ટ