દ્વિત્વ (duality) : ગણિતમાં કેટલીક વાર એવું બને છે કે અમુક તર્કસિદ્ધ વિધાન કે પ્રમેયમાં અમુક બે પદોની તથા અમુક બે પ્રક્રિયાઓની એકસામટી અદલાબદલી કરવામાં આવે તો જે નવું વિધાન મળે તે પણ તર્કસિદ્ધ એટલે કે સાચું જ હોય. આને દ્વિત્વનો સિદ્ધાંત કહે છે; દા. ત., ગણસિદ્ધાંતમાં નીચેનું વિધાન લઈએ : (AUB)’ = A’
B’ . આ વિધાનમાં સંકેત A’ તે ગણ Aનો પૂરક ગણ સૂચવે છે તથા U અને અનુક્રમે યોગ અને છેદની પ્રક્રિયાઓ છે. હવે આ વિધાનમાં યોગ અને છેદ ક્રિયાઓની અદલાબદલી કરીએ તો વિધાન
(AB)’ = A’ U B’
મળે અને આ વિધાન પણ સાચું જ છે. આપણે કહીએ છીએ કે ગણસિદ્ધાંતમાં યોગ અને છેદ ક્રિયાઓ એક દ્વિત્વ રચે છે. એટલે ગણો અંગેના કોઈ પણ પ્રમેયમાં યોગને સ્થાને છેદ તથા છેદને સ્થાને યોગ મૂકવાથી એક બીજું પ્રમેય મળે છે.
(AUB) C = (A C) U (BC)માં આ અદલાબદલી કરતાં અન્ય સત્ય વિધાન (A B) U C = (A U C) (B U C) મળે છે. અહીં એ નોંધવું જોઈએ કે મૂળ વિધાનમાં સાર્વત્રિક ગણ અને/અથવા ખાલી ગણ આવતા હોય તો તેમની પણ અદલાબદલી કરવી જોઈએ. આમ વિધાન A U A’ = S (S = સાર્વત્રિક ગણ)માંથી A A’ = Ø (Ø = ખાલી ગણ) મળે.
દ્વિત્વનો આ સિદ્ધાંત જેમ ગણસિદ્ધાંતમાં તેમ પ્રક્ષેપી ભૂમિતિ(Projective Geometry)માં, વિકલ સમીકરણો-(differential equations)માં, સુરેખ આયોજન(linear programming)માં એમ ગણિતની અનેક શાખાઓમાં દેખાય છે.
આકૃતિ (i) અને (ii) : દ’સર્ગનું પ્રમેય
સમતલની પ્રક્ષેપી ભૂમિતિમાં બિંદુ અને રેખા એ પદોની તથા ‘રેખા પર હોવું’ અને ‘બિંદુમાંથી પસાર થવું’ – એ બે ક્રિયાઓની એકસામટી અદલાબદલી કરવાથી એક તર્કસિદ્ધ પ્રમેયમાંથી હંમેશ બીજું તર્કસિદ્ધ પ્રમેય મળે છે; દા. ત., ‘બે બિંદુઓ હંમેશ એક જ રેખામાં હોય છે’ એ વિધાનમાંથી દ્વિત્વના સિદ્ધાંત પ્રમાણે ‘બે રેખાઓ હંમેશ એક જ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે’ એ સત્ય વિધાન મળે છે. [અહીં નોંધવું જોઈએ કે પ્રક્ષેપી ભૂમિતિમાં સમાંતર રેખાઓ જેવું કશું નથી હોતું.] દ્વિત્વના આ સિદ્ધાંતમાં બિંદુ અને રેખા જેમ વિનિમયક્ષમ પદો છે તેમ સમરેખસ્થ (collinear) બિંદુઓ અને સંગામી (concurrent) (રેખાઓ) પણ વિનિમયક્ષમ છે. આ સિદ્ધાંત હેઠળ ત્રિકોણ ત્રિભુજ થાય છે જે પણ ત્રિકોણ જ છે.
સમતલની પ્રક્ષેપી ભૂમિતિમાં દ’સર્ગનું પ્રમેય દ્વિત્વના સિદ્ધાંતથી સુંદર પરિણામ આપે છે.
દ’સર્ગનું પ્રમેય (De’sargues’ Theorem) : જો બે ત્રિકોણનાં અનુરૂપ શિરોબિંદુઓને જોડતી રેખાઓ સંગામી હોય તો તે બે ત્રિકોણની અનુરૂપ બાજુઓનાં છેદબિંદુઓ એકરેખસ્થ હોય છે.
આ પ્રમેય પર દ્વિત્વનો સિદ્ધાંત લગાડતાં નીચેનું સત્ય પ્રમેય (જે ખરેખર દ’સર્ગના પ્રમેયનું પ્રતિપ્રમેય છે) મળે છે :
જો બે ત્રિકોણોની અનુરૂપ બાજુઓનાં છેદબિંદુઓ એકરેખસ્થ હોય તો તે બે ત્રિકોણનાં અનુરૂપ શિરોબિંદુઓને જોડતી રેખાઓ સંગામી હોય છે. (જુઓ આકૃતિ 1 અને 2.)
અગાઉ જોયું તેમ, દ્વિત્વના સિદ્ધાંત અનુસાર બિંદુ અને રેખા, એકરેખસ્થ અને સંગામી એ વિનિમયક્ષમ પદો છે. એ જ પ્રમાણે ‘વક્ર પરનું બિંદુ’ અને ‘વક્રની સ્પર્શક રેખા’ એ પણ વિનિમયક્ષમ છે.
અવકાશની પ્રક્ષેપી ભૂમિતિમાં બિંદુ અને સમતલ – એ પદો વિનિમયક્ષમ છે, જ્યારે રેખા એ પદ જેમનું તેમ રહે છે. એટલે કે આ ભૂમિતિના કોઈ પણ પ્રમેયમાં બિંદુ અને સમતલ એ પદોની અદલાબદલી કરીએ અને રેખા જેમની તેમ રાખીએ તો અન્ય સાચું પ્રમેય મળે છે.
વિકલ સમીકરણશાસ્ત્રમાં અંશત: વિકલ સમીકરણ
f (x,y,z,p,q)=0
માં જો x અને p તેમજ y અને qની અદલાબદલી કરીએ, તથા z ને સ્થાને px+qy–z મૂકીએ તો જે નવું વિકલ સમીકરણ મળે તેના ઉકેલને અને મૂળ સમીકરણના ઉકેલને ગાઢ સંબંધ છે. આ દ્વિત્વના સિદ્ધાંતથી મળતું નવું વિકલ સમીકરણ જો આપેલ સમીકરણ કરતાં સરળ હોય તો મૂળ સમીકરણને ઉકેલવાનો એક સરળ માર્ગ જડે છે.
સુરેખ આયોજનના દરેક પ્રશ્ન પર પણ દ્વિત્વનો સિદ્ધાંત લાગુ પાડી નવો પ્રશ્ન મેળવી શકાય છે અને વિકલ સમીકરણની જેમ જ અહીં પણ બે પ્રશ્નના ઉકેલો વચ્ચે ગાઢ સંબંધ હોય છે. આમ દ્વિત્વના સિદ્ધાંતથી પ્રશ્નને સરળ સ્વરૂપ આપી ઉકેલી શકાય છે.
એ. આર. રાવ
શિવપ્રસાદ મ. જાની