ચિરપ્રતિષ્ઠિત યાંત્રિકી (classical mechanics)

બળની અસર હેઠળ સમયના વિધેય (function) તરીકે પદાર્થના સ્થાનને લગતું વર્ણનાત્મક વિજ્ઞાન(એને ન્યૂટોનિયન યાંત્રિકી પણ કહે છે). યાંત્રિકી એ ભૌતિક વિજ્ઞાનની શાખા છે. તે દ્રવ્યની સાદામાં સાદી યાંત્રિકીય ગતિ સાથે સંબંધ ધરાવે છે. તેવી ગતિ દરમિયાન પદાર્થના સ્થાનમાં સમય સાથે ફેરફાર થતો હોય છે. પદાર્થ સ્થૂળ પ્રણાલી છે, જે ઘણી મોટી સંખ્યામાં અણુઓ કે પરમાણુઓ ધરાવે છે. આથી આવી પ્રણાલીનું પરિમાપ (size) આંતર-આણ્વિક અંતરો કરતાં ઘણું વધારે હોય છે. ચિરપ્રતિષ્ઠિત યાંત્રિકી શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશના વેગ કરતાં ખૂબ જ ઓછો વેગ ધરાવતા પદાર્થોની ગતિ સાથે સંબંધ ધરાવે છે. લગભગ પ્રકાશના વેગ જેટલો વેગ ધરાવતા પદાર્થોની ગતિ સાપેક્ષિકીય યાંત્રિકી (relativistic mechanics) સાથે સંબંધ ધરાવે છે. અતિ સૂક્ષ્મકણોની ખાસ લાક્ષણિક ગતિ ક્વૉન્ટમ યાંત્રિકી સાથે સંબંધ ધરાવે છે. પરમાણુના સ્થિર દળ જેટલું અથવા તેથી ઓછું દળ ધરાવતા કણને સૂક્ષ્મકણ (microparticle) કહે છે.

આર્કિમિડીઝના સમય (287–212 ઈ. પૂ.) દરમિયાન યાંત્રિકીના કેટલાક નિયમોનો સ્વીકાર થયો હતો. આ નિયમોની માન્યતાને આધારે ગૅલિલિયોએ 1638માં યાંત્રિકીની કેટલીક મૂળભૂત વિભાવનાઓ નિશ્ચિત કરી. આઇઝેક ન્યૂટને 1687માં તેના ‘પ્રિન્સિપિયા’માં ગુરુત્વાકર્ષણનો નિયમ, ભરતીનો સિદ્ધાંત તથા સૌર (solar) પ્રણાલીના સિદ્ધાંતો રજૂ કર્યા. અઢારમી સદીમાં જે. ડિએલેમ્બર્ટ, જે. એલ. લાગ્રાન્જ, પી. એસ. લાપ્લાસ અને બીજા કેટલાકનાં નોંધપાત્ર કાર્ય અને લખાણો યાંત્રિકીના ક્ષેત્રે ચિરપ્રતિષ્ઠિત છે. આ બધાનાં કાર્યો સંયુક્ત રીતે ચિરપ્રતિષ્ઠિત યાંત્રિકીનો વિશાળ પાયો છે. સંખ્યાકીય (statistical), સાપેક્ષિકીય (relativistic) અને ક્વૉન્ટમ યાંત્રિકીના વિકાસને આ ક્ષેત્રમાં આવરી લેવાયા નથી.

ચિરપ્રતિષ્ઠિત યાંત્રિકીના નિયમોને ગણિતીય સ્વરૂપ આપવામાં આવ્યું છે. ગણિતીય તર્કને આધારે પદાર્થની શક્ય ગતિની તારવણી કાઢી શકાય છે. આ તારવણી ઉપરથી કરવામાં આવતાં અનુમાનને પ્રાયોગિક પરિણામો સાથે સરખાવવામાં આવે છે. ચિરસંમત યાંત્રિકી, ભૌતિક સિદ્ધાંતની પ્રકૃતિ સ્પષ્ટ કરે છે. આધુનિક ભૌતિકશાસ્ત્રની વિવિધ શાખાઓનું તે આરંભબિંદુ છે. ચિરપ્રતિષ્ઠિત યાંત્રિકીનો અભ્યાસ અન્ય ક્ષેત્રોમાં ઉપયોગી એવી ગણિતીય કાર્યપદ્ધતિ અને પ્રવિધિ સાથે માહિતગાર થવાની તક પૂરી પાડે છે.

ચિરપ્રતિષ્ઠિત યાંત્રિકીમાં વાયુ, પ્રવાહી અને ઘન પદાર્થની ગતિના અભ્યાસનો સમાવેશ થાય છે. સામાન્યત: તેનો વધુ પડતો ઉપયોગ ઘન પદાર્થોની ગતિના વર્ણન માટે થાય છે. ઘન પદાર્થોના સંદર્ભમાં ચિરપ્રતિષ્ઠિત યાંત્રિકીનું નીચે પ્રમાણે વર્ગીકરણ કરવામાં આવેલું છે : (1) સ્થિતિકી (statics) : તે બળોના સંયોજનના નિયમો સાથે સંબંધિત છે અને ઘન, પ્રવાહી અને વાયુ પદાર્થ ઉપર સંયોજિત બળોને લીધે સ્થાપિત થતા સંતુલનની પરિસ્થિતિનો ખ્યાલ આપે છે. (2) શુદ્ધ ગતિવિજ્ઞાન (kinematics) : જેમાં ગતિ ઉત્પન્ન કરનાર આંતરક્રિયા કે કારણોને લક્ષમાં લીધા સિવાય ગતિનું વર્ણન કરવામાં આવે છે. (3) ગતિકી (dynamics) : જેમાં પદાર્થો વચ્ચે આંતરક્રિયાની અસર અને ગતિ ઉત્પન્ન કરનાર કારણોસહ ગતિનું વર્ણન કરવામાં આવે છે.

દ્રવ્ય-કણ અથવા બિંદુને પદાર્થ ગણવામાં આવે છે અને તેના કદ તથા આકારનો ગતિ ઉપર કોઈ પ્રભાવ પડતો નથી. જેમકે સૂર્યની આસપાસ ગ્રહોની ગતિના અભ્યાસમાં તેમને બિંદુ કે કણ તરીકે ગણવામાં આવે છે, કારણ કે ગ્રહથી સૂર્ય વચ્ચેના અંતરની સરખામણીમાં, તેમનાં પરિમાપ નહિવત્ છે. કણોનું તંત્ર એટલે કણોનું સંકુલ અને સંકુલની ગતિ એટલે કણની ગતિ. આવા સંકુલમાં કણો એકબીજા સાથે આંતરક્રિયા કરતા હોય છે. તંત્ર સાથે સંકળાયેલ ન હોય તેવા પદાર્થ સાથે પણ આંતરક્રિયા કરે છે. જે પદાર્થમાં કોઈ પણ બે કણો અથવા બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર સમયના સંદર્ભમાં અફર રહે છે તેવા પદાર્થને સંપૂર્ણ ર્દઢ પદાર્થ કહે છે. આવા ર્દઢ પદાર્થનો આકાર તેમજ તેનું કદ સર્વદા નિશ્ચિત રહે છે. ર્દઢ પદાર્થને, ર્દઢપણે એકબીજા સાથે સંકળાયેલા કણોના તંત્ર તરીકે ગણી શકાય

નિર્દેશતંત્ર (frame of reference) : કોઈ પણ કણ કે પદાર્થની ગતિના ચોક્કસ વર્ણન માટે નિર્દેશતંત્ર અનિવાર્ય છે. નિર્દેશતંત્ર વાસ્તવિક અથવા પરિસ્થિતિને અનુરૂપ ર્દઢ પદાર્થ છે જેના સંદર્ભમાં, પદાર્થની ગતિનું વર્ણન કે અભ્યાસ કરવામાં આવે છે. આવા નિર્દેશ-તંત્રમાં ર્દઢ રીતે બદ્ધ કરેલી યામપદ્ધતિ (co-ordinate system) હોય છે, જેમાં ગતિ કરતા પદાર્થના દરેક કણનું સ્થાન, બિંદુના ત્રણ યામો વડે ચોક્કસ નક્કી કરી શકાય છે. નિર્દેશતંત્ર સાથે ‘ઘડિયાળ’ રાખવામાં આવે તો અવકાશમાં ગતિ કરતા પદાર્થનું સ્થાન સમયની સાથે ચોક્કસ નક્કી કરી શકાય છે. યાંત્રિકીમાં ખાસ ત્રણ પ્રકારની યામપદ્ધતિઓનો ઉપયોગ થાય છે. (1) દક્ષિણાવર્તી (right-handed) કાર્તિઝીય (Cartesian) (આકૃતિ 1અ), (2) નળાકાર (cylindrical) યામપદ્ધતિ (આકૃતિ 1બ) અને (3) ગોલીય (spherical) યામપદ્ધતિ (આકૃતિ 1ક). અહીં કણ Mનું સ્થાન આકૃતિ 1અમાં x, y, z યામો વડે, આકૃતિ 1બમાં ρ, φ, z યામો વડે અને આકૃતિ 1કમાં r, θ, φ યામો વડે દર્શાવ્યું છે. કાર્તિઝીય યામપદ્ધતિમાં કણ Mનું સ્થાન સદિશ  વડે દર્શાવવામાં આવે છે. જ્યાં i, j, k અનુક્રમે ox, oy, oz દિશામાં લીધેલા એકમ સદિશો (unit vectors) છે. સદિશ rનું સમયસાપેક્ષ વિકલન કરતાં વેગ મળે છે. વેગનું સમયસાપેક્ષ વિકલન કરતાં પ્રવેગ મળે  છે.

ગતિપથ : અવકાશમાં ગતિ કરતા કણનાં સ્થાનોને જોડતી રેખાને, તે કણનો ગતિપથ કહે છે. સમીકરણ q_i = q_i (t) પ્રાચલિક સ્વરૂપ(parametric form)માં પથનાં સમીકરણો છે જ્યાં i = 1, 2, 3 છે અને q કાર્તિઝીય, નળાકાર તથા ગોલીય યામપદ્ધતિમાં દર્શાવાતા યામ છે.

દ્રવ્ય-તંત્રના બધા જ ઘટક કણો અવકાશમાં યર્દચ્છ (arbitrary) સ્થાન કે વેગ ધરાવતા હોય તો તેને મુક્ત તંત્ર ગણવામાં આવે છે અને જો તેમ ન હોય તો તંત્રને અમુક્ત (constrained) ગણવામાં આવે છે. અવકાશમાં રહેલા દ્રવ્ય-તંત્રના સ્થાન કે ગતિ ઉપર લાદેલા પ્રતિબંધોને યાંત્રિક નિયંત્રણો (constraints) કહે છે. કણોના તંત્રને એકાએક ઘનીભૂત (condensed) કરી દેતાં, તંત્રનું મુક્ત સ્થાનાંતર અવરોધાય નહિ તો તેવાં નિયંત્રણોને આંતરિક (internal) નિયંત્રણ કહે છે. બાકીનાં બધાં બાહ્ય (external) નિયંત્રણો કહેવાય છે. જે તંત્રમાં કણનાં સ્થાન અને વેગનો સંબંધ નિયંત્રણોમાંથી પરિણમે છે અને નિયંત્રણોને નીચેના સમીકરણ વડે વ્યક્ત કરવામાં આવે છે તેને દ્વિપક્ષી (bilateral) નિયંત્રણ કહે છે. φ(… x_i, y_i, z_i…. , _i, _I, _i… t) = 0 જ્યાં t સમય છે અને x_i y_i z_i તંત્રમાં i ક્રમના બિંદુના યામો છે. અહીં i = 1, 2, …. n  છે; _i, _I, _i ક્રમના કણના અનુક્રમે x, y, z દિશામાં વેગ છે. દ્વિપક્ષી નિયંત્રણો આંતરિક નિયંત્રણો છે જે ર્દઢ પદાર્થના કણ વચ્ચેનું અંતર અફર રાખે છે. જે નિયંત્રણોને નીચેની અસમાનતા (inequality) વડે વ્યક્ત કરવામાં આવે છે, તેને એકપક્ષી (unilateral) નિયંત્રણ કહે છે. φ₁(…x_i, y_i, z_i…. , _i, _I, _i…) ≥ 0 અવિતાન્ય (inextensible) અને નમ્ય(flexible) દોરી વડે લટકાવેલા પદાર્થની ગતિ અથવા સમક્ષિતિજ સમતલમાં પદાર્થની ગતિ, એકપક્ષી નિયંત્રણનું ઉદાહરણ છે. નિયંત્રણ સમીકરણોમાં સમય સ્પષ્ટ રીતે સમાવિષ્ટ થતો ન હોય તેવાં નિયંત્રણોને સ્થાયી (scleronomous) નિયંત્રણ કહે છે. આવાં નિયંત્રણો સમયથી સ્વતંત્ર હોય છે. સમય સ્પષ્ટ રીતે સમાવિષ્ટ થતો હોય તેવાં નિયંત્રણોને સમય-આધારિત (rheonomous) નિયંત્રણો કહે છે. અવકાશમાં તંત્રના કણોના માત્ર સ્થાન ઉપર પ્રતિબંધ હોય તો તેવાં નિયંત્રણોને ભૌમિતિક નિયંત્રણો કહે છે. અવકાશમાં તંત્રના કણોના માત્ર સ્થાન ઉપર જ નહિ પણ તેમના વેગ ઉપર પણ પ્રતિબંધ હોય તો તેવાં નિયંત્રણોને શુદ્ધગતિક કહે છે. નિયંત્રણ સમીકરણમાં તંત્રના કણોના યામોનાં વિકલનો સામેલ થતાં ન હોય તો તેવાં નિયંત્રણોને પૂર્ણસંકેતિત (holonomic) નિયંત્રણો કહે છે. સમીકરણોમાં આવાં વિકલનો હાજર હોય તો તેવાં નિયંત્રણોને અપૂર્ણસંકેતિત નિયંત્રણો કહે છે. સ્થાયી અને ખરબચડી સપાટી ઉપર સરકતા નહિ પણ ગબડતા ગોળાના સ્પર્શ-બિંદુનો વેગ નિયંત્રિત કરનાર પરિસ્થિતિને અપૂર્ણસંકેતિત નિયંત્રણ કહે છે.

વેગ અને પ્રવેગ (velocity and acceleration) : યાંત્રિકીમાં વેગ અનિયમિત, અચળ અથવા પ્રવેગી હોય છે. પ્રવેગી ગતિ હોય ત્યારે અંતર વગેરેની ગણતરી માટે સરેરાશ વેગ લેવામાં આવે છે. સુરેખ ગતિમાં પ્રવેગ પણ ચળ કે અચળ હોય છે. વેગના મૂલ્ય કે દિશામાં કે બંનેમાં ફેરફાર કરવાથી પ્રવેગ ઉત્પન્ન થાય છે. વર્તુળ ગતિમાં સ્પર્શીય (tangential) તથા ત્રિજ્યાવર્તી (radial) એમ બે પ્રકારના પ્રવેગ હોય છે.

જડત્વીય (inertial) નિર્દેશ તંત્રના સંદર્ભમાં વ્યાખ્યાયિત કરેલ કણની ગતિને નિરપેક્ષ ગતિ કહે છે. ગતિ કરતા નિર્દેશતંત્રના સંદર્ભમાં વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવતી ગતિને સાપેક્ષ ગતિ કહે છે. ગતિ કરતા નિર્દેશતંત્રના કોઈ પણ બિંદુની નિરપેક્ષ ગતિને પરિવહન (transportation) કહે છે. પરિવહન પ્રવેગ (a_t), સાપેક્ષ પ્રવેગ (a_r) અને પૂરક અથવા કોરિયોલિસ (coriolis) પ્રવેગ(a_c)ના સરવાળાને નિરપેક્ષ (absolute) પ્રવેગ (a_a) કહે છે. માટે

a_a = a_t + a_r + a_c.

કોરિયોલિસ બળ એટલે કણવેગના સ્પર્શકની દિશામાં લીધેલા ઘટકના ફેરફાર સાથે સંકળાયેલ જડત્વીય બળ. કોરિયોલિસ બળથી પેદા થતા પ્રવેગને કોરિયોલિસ પ્રવેગ કહે છે. જો તંત્રની ગતિ સુરેખ હોય અથવા ગતિ કરતા નિર્દેશતંત્રને સાપેક્ષ કણ સ્થિર હોય અથવા ગતિ કરતી તંત્રના અક્ષને સમાંતરે કણ ગતિ કરતો હોય, તો કોરિયોલિસ પ્રવેગ શૂન્ય બને છે.

ગતિ માટે ન્યૂટનના નિયમો : ન્યૂટનનો પહેલો નિયમ જડત્વનો નિયમ છે, બીજો નિયમ બળનું મૂલ્ય આપે છે અને ત્રીજો નિયમ ક્રિયા અને પ્રતિક્રિયા સમાન અને પરસ્પર વિરુદ્ધ છે તે દર્શાવે છે. યાંત્રિકીમાં બળ એક અતિ મહત્વનો રાશિ છે કારણ કે તે પદાર્થમાં ગતિ ઉત્પન્ન કરે છે. બળો બે પ્રકારનાં હોય છે : (1) આંતરિક પ્રતિક્રિયા બળો : જેમનો સદિશ સરવાળો શૂન્ય થાય છે અને તેને કારણે પદાર્થની ગતિ ઉપર તેની કોઈ અસર થતી નથી. (2) બાહ્ય બળો જે પદાર્થની ગતિ માટે જવાબદાર હોય છે. પદાર્થ ઉપર લાગતું બાહ્ય બળ શૂન્ય હોય તો તેવા પદાર્થને અલગ કરેલો (isolated) પદાર્થ કહે છે.

દ્રવ્યમાન અને વેગમાન (mass and momentum) : પદાર્થના જડત્વીય અને ગુરુત્વીય ગુણધર્મોનું માપ દર્શાવતી ભૌતિક રાશિને પદાર્થના દ્રવ્યમાન તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. કણના દળ અને તેના વેગના ગુણાકારથી મળતા રાશિને વેગમાન (momentum) કહે છે.

ગુરુત્વાકર્ષણ અને ભારવિહીનતા (gravitation and weightlessness) : વિશ્વનો પ્રત્યેક પદાર્થ બીજા પદાર્થોને પોતાની તરફ આકર્ષે છે. આ હકીકત ઉપરથી ન્યૂટને ગુરુત્વાકર્ષણનો સાર્વત્રિક નિયમ આ પ્રમાણે આપ્યો : ‘‘બે પદાર્થો વચ્ચે પ્રવર્તતું પારસ્પરિક આકર્ષણબળ તેમના દળના ગુણાકારના સમપ્રમાણમાં અને તેમની વચ્ચેના અંતરના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.’’ એટલે કે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ  જ્યાં m₁ અને m₂ પદાર્થનાં દળ છે, r તેમની વચ્ચેનું અંતર છે અને G ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક છે.

ભારવિહીનતા(weightlessness)ને શૂન્ય ગુરુત્વની સ્થિતિ પણ કહે છે. ભારવિહીનતા એ દ્રવ્ય-તંત્રની એક એવી સ્થિતિ છે જેના ઉપર બાહ્ય રીતે લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળ વડે તંત્રના ભાગો, એકબીજા ઉપર દબાણ કરતા નથી. ભારવિહીનતાવાળા પદાર્થને સ્પ્રિંગના છેડે લટકાવવામાં આવે તો સ્પ્રિંગનું વિરૂપણ થતું નથી. અથવા પદાર્થને કોઈ ટેકા ઉપર ટેકવવામાં આવે તો તે ટેકા ઉપર બળ લાગતું નથી.

ગુરુત્વાકર્ષણનો સિદ્ધાંત ગુરુત્વાકર્ષી ક્ષેત્રમાં પદાર્થની ગતિનું વર્ણન કરે છે. ગુરુત્વાકર્ષી ક્ષેત્ર એકદમ નબળું (weak) હોય તો જ આ સિદ્ધાંત ચોકસાઈપૂર્વક કામ આપે છે. આઇન્સ્ટાઇને સમય, અવકાશ અને ગુરુત્વાકર્ષણના પાયા ઉપર આધારિત નવો સિદ્ધાંત આપ્યો, જેના પ્રમાણે ચતુષ્પારિમાણિક દિક્કાલ સાતત્યક(space-time continuum)ના ભૌમિતિક ગુણધર્મો નિશ્ચર (invariant) નથી; પરંતુ અવકાશમાં ગુરુત્વાકર્ષી દળના વિતરણ ઉપર આધારિત હોય છે. ગુરુત્વાકર્ષી ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરતું દ્રવ્યમાન વાસ્તવિક ત્રિ-પારિમાણિક અવકાશને ‘વિકૃત’ કરે છે. ગુરુત્વાકર્ષી ક્ષેત્રમાં મુક્ત કણની ગતિને અનુરૂપ જગત-રેખા (world-line) ચતુષ્પારિમાણિક સાતત્યકમાં અલ્પાંતરી રેખા (geodesic line) છે. આ એવી રેખા છે જેના ઉપર બે જગતબિંદુઓ (world-point) વચ્ચેના અંતરનું સંકલન (∫ds) આત્યંતિક (extreme) મૂલ્ય ધરાવે છે. દિક્કાલ સાતત્યકની વક્રતાને કારણે તેવા જગતબિંદુમાંથી પસાર થતી જગતરેખા સુરેખ હોતી નથી. ગુરુત્વાકર્ષી ક્ષેત્રની અસર હેઠળ ગતિ કરતા પદાર્થનો પથ સુરેખ હોતો નથી.

એકસમાન (અચળ) ગુરુત્વાકર્ષી ક્ષેત્રમાં બિનપ્રવેગિત (જડત્વીય) નિર્દેશતંત્ર અને બિનગુરુત્વાકર્ષી ક્ષેત્રમાં પ્રવેગિત (બિનજડત્વીય) નિર્દેશતંત્ર ભૌતિક રીતે સમતુલ્ય છે. સમાન પરિસ્થિતિ વચ્ચે જો કોઈ એક પ્રયોગ આ બંને નિર્દેશતંત્રમાં કરવામાં આવે તો બંને તંત્રમાં એકસરખાં પરિણામ મળે છે. આને આઇન્સ્ટાઇનનો તુલ્યતા-(equivalence)નો સિદ્ધાંત કહે છે. ‘સાચું’ ગુરુત્વાકર્ષી ક્ષેત્ર અવકાશના માત્ર મર્યાદિત ભાગમાં અને મર્યાદિત સમયગાળામાં જડત્વીય બળ ક્ષેત્રની બરાબર (સમાન) હોય છે.

ઊર્જા અને સંઘાત (energy and collision) : પદાર્થની ગતિ-ઊર્જા (kinetic energy) અને સ્થિતિ-ઊર્જા(potential energy)ને યાંત્રિક (mechanical) ઊર્જા કહે છે. સંરક્ષી બળક્ષેત્રમાં યાંત્રિક ઊર્જા અચળ રહે છે.

સંઘાત કરતા પદાર્થોના વિરૂપણની પ્રક્રિયા દરમિયાન પ્રચંડ આંતરિક સંઘાતબળ (impact force) અસ્તિત્વમાં આવે છે. બાહ્ય બળો કરતાં આવાં બળો અનેકગણાં વધારે હોય છે. આથી સંઘાતમાં બાહ્યબળ નગણ્ય હોય છે. એટલે સંઘાત કરતા પદાર્થોના તંત્રને સંવૃત (closed) તંત્ર કહે છે. આવા સંવૃત તંત્રમાં રેખીય અને કોણીય વેગમાનના નિયમોનું સંરક્ષણ થાય છે, અર્થાત્ તંત્રનું રેખીય અને કોણીય વેગમાન અચળ રહે છે.

યાંત્રિકીમાં પદાર્થની ગતિ માટે ન્યૂટનના નિયમોના જેટલું જ મહત્વ ગ્રહોની ગતિ માટે કેપ્લર(Kepler)ના નિયમોનું છે. ટાઇકો બ્રાહેએ જિંદગીભર ખગોલીય પદાર્થો(ગ્રહો)નાં અવલોકનો લીધાં પણ કમનસીબે તે તેમાંથી કોઈ સિદ્ધાંત તારવી શક્યો નહિ, પણ તેના મદદનીશ કેપ્લરે ટાઇકો બ્રાહેનાં અવલોકનનો ઉપયોગ કરીને કેન્દ્રીય બળોની અસર હેઠળ થતી ગ્રહોની ગતિને આધારે નિયમો તારવ્યા.

વૈશ્લેષિક યાંત્રિકી(analytical mechanics)નાં મૂળભૂત તત્વો : સ્વતંત્ર પ્રાચલો q₁, q₂, … q_n દ્રવ્યતંત્રના સર્વસામાન્ય (generalised) નિર્દેશાંકો છે. આ નિર્દેશાંકો તંત્રની સંપૂર્ણ રચના નિર્દિષ્ટ કરે છે. તંત્રના સર્વસામાન્ય નિર્દેશાંકોનું સમયસાપેક્ષ વિકલન તંત્રના સર્વસામાન્ય વેગ આપે છે. એટલે કે =  જ્યાં i = 1, 2, 3 …. S છે. દ્રવ્ય-તંત્રના સ્વાતંત્ર્યના અંશો (degrees of freedom) : તંત્રની શક્ય એવી સ્વતંત્ર ગતિઓની સંખ્યા (S). પૂર્ણસંકેતિત તંત્ર માટે સ્વાતંત્ર્યના અંશોની સંખ્યા સર્વસામાન્ય નિર્દેશાંકોની સંખ્યા જેટલી હોય છે. એટલે કે S = 1 થાય છે. અપૂર્ણસંકેતિત તંત્ર માટે  S = 1 – k છે જ્યાં k લાદેલાં અપૂર્ણસંકેતિત નિયંત્રણોની સંખ્યા છે. t સમયે લાદેલાં નિયંત્રણોને આધીન રહીને દ્રવ્ય-તંત્રની રચનામાં થતા અનંતસૂક્ષ્મ (infinitesimal) ફેરફારોને આભાસી (virtual) વિસ્થાપન (displacement) કહે છે. જો નિયંત્રણો સ્થાયી હોય તો અત્યંત સૂક્ષ્મ સમયના ગાળા(dt)માં થતું તંત્રનું વિસ્થાપન તેના એકાદ આભાસી વિસ્થાપન સાથે મળતું આવે છે. સમય-આધારિત નિયંત્રણોની બાબતે તંત્રનું વાસ્તવિક વિસ્થાપન એકેય આભાસી વિસ્થાપન સાથે મળતું આવતું નથી. કારણ કે dt સમય દરમિયાન નિયંત્રણો દ્વારા ઉદભવતી પરિસ્થિતિ બદલાય છે. આભાસી વિસ્થાપનને કારણે થતા કાર્યને આભાસી કાર્ય કહે છે અને સર્વસામાન્ય નિર્દેશાંકો સાથે સંકળાયેલાં બળોને સર્વસામાન્ય બળો કહે છે. તંત્રના આભાસી વિસ્થાપન દરમિયાન નિયંત્રણોની પ્રતિક્રિયારૂપે થતા કાર્યના અંશોનો સરવાળો શૂન્ય થાય તો તેવાં નિયંત્રણોને આદર્શ અથવા કાર્યવિહીન (workless) નિયંત્રણ કહે છે. સ્વાતંત્ર્યના S અંશો ધરાવતા તંત્રના k-ક્રમના કણનું આભાસી વિસ્થાપન δqi થાય છે. જ્યાં δqi તંત્રના આભાસી વિસ્થાપનને અનુરૂપ સર્વસામાન્ય નિર્દેશાંકોમાં થતો અત્યંત સૂક્ષ્મ વધારો છે જેને સર્વસામાન્ય નિર્દેશાંકોનાં સમકાલિક (isochronous) દોલનો કહે છે.

આભાસી કાર્ય થાય છે. જ્યાં છે.   એ લાગુ પાડેલાં બળોનું કુલ બળ છે  અને  R_k એ નિયંત્રણોની પ્રતિક્રિયાઓનું કુલ બળ છે. અહીં  સર્વસામાન્ય બળ છે.  અહીં સર્વસામાન્ય બળ છે. આદર્શ નિયંત્રણો માટે  થાય છે. ઘર્ષણરહિત સપાટી ઉપર સરકતા અથવા ખરબચડી સપાટી ઉપર સરક્યા વિના ગબડતા પદાર્થ માટે આદર્શ નિયંત્રણની સ્થિતિ સર્જાય છે. નિયંત્રણો આદર્શ હોય ત્યારે સર્વસામાન્ય બળોને પ્રયોજિત (applied) બળો વડે દર્શાવવામાં આવે છે. જો બધાં બળો સંરક્ષી હોય તો થાય છે, જ્યાં V, તંત્રની કુલ સ્થિતિ-ઊર્જા છે.

વ્યાપક રીતે છે જ્યાં સર્વસામાન્ય અસંરક્ષી બળ છે. f_k, તમામ અસંરક્ષી બળોનું પરિણામી બળ છે જે તંત્રના k-ક્રમના કણ ઉપર લાગુ પડે છે.

લાગ્રાંજ (Lagrangian) વિધેય L : તંત્રની ગતિ-ઊર્જા (T) અને સ્થિતિઊર્જા(V)ના તફાવતને લાગ્રાંજ L કહે છે. લાગ્રાંજ સર્વસામાન્ય નિર્દેશાંકો, વેગો અને સમયનું વિધેય છે.

અહીં q અને  પૂર્ણસંકેતિત તંત્રના અનુક્રમે S સર્વસામાન્ય નિર્દેશાંકો અને S સર્વસામાન્ય વેગોનો નિર્દેશ કરે છે.

મુક્ત દ્રવ્ય-તંત્ર અથવા સ્થાયી નિયંત્રણો માટે ગતિ-ઊર્જા સમય ઉપર આધારિત હોતી નથી.

સ્થિતિઊર્જા અને સંરક્ષી તંત્ર માટે લાગ્રાંજ વિધેય (L) પણ સમય ઉપર સ્પષ્ટ રીતે આધારિત નથી. આથી

લાગ્રાંજ વિધેય Lનું સર્વસામાન્ય વેગ _i સાપેક્ષ આંશિક (partial) વિકલન, સર્વસામાન્ય નિર્દેશાંકો q_iને સંયુગ્મી (conjugate) સર્વસામાન્ય વેગમાન P_i કહે છે. એટલે કે    થાય છે.

લાગ્રાંજનાં ગતિ સમીકરણો : જો પૂર્ણસંકેતિત તંત્રની ગતિને સર્વસામાન્ય નિર્દેશાંકો q₁, q₂… q₃ અને સર્વસામાન્ય વેગો ₁, ₂… ₃ વડે દર્શાવવામાં આવે તો ગતિનું સમીકરણ નીચે મુજબ મળે છે.

  જ્યાં (i = 1, 2, … S છે) T, તંત્રની ગતિઊર્જા અને Q_i સર્વસામાન્ય બળ છે. આ લાગ્રાંજનું ગતિ સમીકરણ છે. જો સંરક્ષી બળક્ષેત્રમાં ગતિ થતી હોય તો લાગ્રાંજનું સમીકરણ નીચે મુજબ મળે છે :

જો સંરક્ષી અને અસંરક્ષી બળો લાગતાં હોય તો યર્દચ્છ (arbitrary) પૂર્ણસંકેતિત તંત્ર માટે લાગ્રાંજનાં સમીકરણો નીચે પ્રમાણે મળે છે :

 જ્યાં Q_i સર્વસામાન્ય અસંરક્ષી બળો છે.

હેમિલ્ટનનું વિધેય અને વિહિત (canonical) ગતિનાં સમીકરણો : સ્વાતંત્ર્ય અંશો S ધરાવતા પૂર્ણસંકેતિત તંત્રનું હેમિલ્ટની વિધેય, તંત્રના સર્વસામાન્ય નિર્દેશાંકો અને વેગમાન તેમજ સમયનું વિધેય છે. તેનું સ્વરૂપ નીચે મુજબ છે :

સંરક્ષી તંત્રમાં લાગ્રાંજી અને હેમિલ્ટની વિધેયોમાં સમય સ્પષ્ટપણે સમાવિષ્ટ થતો નથી. આથી થાય છે. અને તેથી H = અચળ મળે છે.

આથી થાય છે.

થાય છે.

આથી સંરક્ષી પદ્ધતિ માટે હેમિલ્ટની વિધેય કુલ યાંત્રિક ઊર્જા દર્શાવે છે.

તંત્રની સ્થિતિનું નિરૂપણ કરવા માટે બધા જ સર્વસામાન્ય નિર્દેશાંકો qi અને વેગમાન P_i વાળા બહુપારિમાણિક અવકાશનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. 2S-પરિમાણવાળા અવકાશને પ્રાવસ્થા (phase) અથવા ગામા અવકાશ કહે છે. સર્વસાધારણ નિર્દેશાંકો qiવાળા અને S-પરિમાણવાળા પેટાઅવકાશને વિન્યાસી (configurational) અવકાશ કહે છે. તંત્રની સ્થિતિને પ્રાવસ્થા અવકાશમાં બિંદુ વડે ચિત્રિત કરવામાં આવે છે. તંત્રની સ્થિતિમાં થતો ફેરફાર પ્રાવસ્થા અવકાશમાં પ્રાવસ્થા બિંદુના પથ વડે વ્યક્ત કરવામાં આવે છે. પ્રાવસ્થા પથ પોતે પોતાને ક્યાંય છેદતો નથી. જો છેદે તો હેમિલ્ટનના સમીકરણના એકથી વધુ ઉકેલ મળે. પ્રાવસ્થા અવકાશ અને વાસ્તવિક અવકાશ વચ્ચે કશું જ સામાન્ય નથી. તે સ્પષ્ટપણે ભૌમિતિક રચના છે. તેના વડે તંત્રની સ્થિતિના વિચરણ નિયમો ભૌમિતિક સ્વરૂપે સૂત્રબદ્ધ કરવામાં આવે છે.

યાંત્રિકીના વિચરણ (variational) સિદ્ધાંતોની વિભાવના : આ સિદ્ધાંતોને આધારે દ્રવ્ય-તંત્રનાં ગતિ સમીકરણો અથવા સંતુલનની પરિસ્થિતિઓ પ્રાપ્ત કરી શકાય છે. આ સિદ્ધાંતો દર્શાવે છે કે વાસ્તવિક ગતિ અથવા દ્રવ્ય-તંત્રની સ્થિતિ કેવી રીતે તેની શુદ્ધ ગતિવિજ્ઞાનની તમામ શક્ય ગતિઓથી જુદી પડે છે. વિચરણ સિદ્ધાંતો જે કોઈ પણ ક્ષણે ગતિના અથવા તંત્રની સ્થિતિના આવા ફેરફારો વ્યક્ત કરે છે તે ફેરફારને વિકલ (differential) કહે છે. યાંત્રિકીમાં આ વિચરણ સિદ્ધાંતો એકદમ વ્યાપક હોય છે. પૂર્ણસંકેતિત અને અપૂર્ણસંકેતિત એમ બંને પ્રકારનાં તંત્રોને તે લાગુ પડે છે. જે વિચરણ સિદ્ધાંતો પરિમિત (finite) સમયગાળા દરમિયાન તંત્રની વાસ્તવિક ગતિ અને તેની શુદ્ધ ગતિવિજ્ઞાનની ર્દષ્ટિએ તમામ શક્ય ગતિઓ વચ્ચેનો તફાવત સ્થાપિત કરે છે તે તફાવતને સંકલ (integral) કહે છે. સંકલ વિચરણ સિદ્ધાંતો માત્ર પૂર્ણસંકેતિત તંત્ર માટે માન્ય છે.

મુખ્ય વિકલ વિચરણ સિદ્ધાંતો નીચે પ્રમાણે છે :

પ્રથમ સિદ્ધાંત આભાસી કાર્યનો સિદ્ધાંત છે જેને આભાસી વિસ્થાપનનો સિદ્ધાંત પણ કહે છે. આ સિદ્ધાંત પ્રમાણે આદર્શ નિયંત્રણો સાથે કોઈ પણ દ્રવ્ય-તંત્રના સંતુલન માટે પ્રયોજેલા બળને કારણે થતા આભાસી વિસ્થાપનથી મળતા કાર્યના અંશોનો સરવાળો શૂન્ય અથવા શૂન્યથી ઓછો થાય તે જરૂરી અને પર્યાપ્ત છે. નિયંત્રણો દ્વિપક્ષી હોય તો સરવાળો શૂન્ય થવો જોઈએ અને નિયંત્રણો એકપક્ષી હોય તો સરવાળો શૂન્યથી ઓછો થવો જોઈએ.

આથી કાર્ય

જ્યાં l તંત્રના સર્વસામાન્ય નિર્દેશાંકોની સંખ્યા છે. ખાસ તો પૂર્ણસંકેતિત તંત્ર માટે બધાં જ વિચરણો δq_i સ્વતંત્ર હોય છે અને સંતુલનની શરત Q_i = 0 થાય છે જ્યાં i = 1, 2, 3 ….. S છે.

ડિ-એલૅમ્બર્ટ-લાગ્રાંજનો સિદ્ધાંત : આ સિદ્ધાંત મુજબ દ્વિપક્ષી નિયંત્રણો સાથે કોઈ પણ દ્રવ્ય-તંત્રની વાસ્તવિક ગતિ માટે પ્રયોજિત બળો અને જડત્વીય બળોને કારણે થતા આભાસી વિસ્થાપનથી મળતા કાર્યના અંશોનો સરવાળો શૂન્ય થવો જોઈએ. એટલે કે થાય છે. જ્યાં  એ mk દળ ધરાવતા k-ક્રમના કણનો પ્રવેગ છે.  એ  ડિ-એલૅમ્બર્ટ જડત્વીય બળ છે.

હેમિલ્ટનનો ક્રિયા (action) સંકલ (integral) S : તે લાગ્રાંજી વિધેય Lનો સમય સંકલન (integration) છે જે નીચે પ્રમાણે વ્યક્ત થાય છે :  જ્યાં t₀ તંત્રની પ્રારંભિક સ્થિતિનો સમય છે અને t₁ તંત્રની જે સમયે સ્થિતિ નિશ્ચિત કરવામાં આવતી હોય તે ક્ષણનો સમય છે.

લાગ્રાંજનો ક્રિયા સંકલ : તે નીચે પ્રમાણે છે :

સંરક્ષી પૂર્ણસંકેતિત તંત્ર માટે H = અચળ હોય છે.

∴ S₀ = H (t₁ – t₀) + S થાય છે જ્યાં S ક્રિયા-સંકલ છે.

યાંત્રિકીના સંકલ વિચરણ સિદ્ધાંતો (integral variational principles) : હેમિલ્ટનનો સિદ્ધાંત : પૂર્ણસંકેતિત તંત્ર t₀ સમયે A₀(q_i0) સ્થાનથી t_i સમયે A (q_i1) સ્થાન ઉપર જતાં થતું વાસ્તવિક વિસ્થાપન, t₁ – t₀ સમયગાળામાં તંત્ર A₀થી A₁ ઉપર જતાં, શુદ્ધ વિજ્ઞાનની ર્દષ્ટિએ થતાં શક્ય વિસ્થાપનોથી જુદું પડે છે. અને તેનો ક્રિયા-સંકલ ચરમ મૂલ્ય (extremum) ધરાવે છે. એટલે કે અથવા  થાય છે. જ્યાં δ એ સમકાલિક વિચરણની સંજ્ઞા છે. અહીં ક્રિયા-સંકલ બદલાતો હોય તે છતાં સમય (t) બદલાતો નથી; પરંતુ તંત્રમાં પ્રારંભિક (A₀) અને અંતિમ (A_i) સ્થાનો નિશ્ચિત છે. એટલે કે થાય છે જ્યાં δ = 1, 2, 3 … S છે. હેમિલ્ટનનો વ્યાપક સિદ્ધાંત નીચે પ્રમાણે લખી શકાય છે :

પૂર્ણસંકેતિત અસંરક્ષી પદ્ધતિ માટે હેમિલ્ટનનો સિદ્ધાંત નીચેનું સ્વરૂપ ધારણ કરે છે :

છે અને V* સર્વસામાન્ય સ્થિતિમાન છે.

મૉપર્શિયસ (Maupertius) – લાગ્રાંજનો સિદ્ધાંત : આ સિદ્ધાંતને લઘુતમ ક્રિયાનો સિદ્ધાંત પણ કહે છે. સંરક્ષી પૂર્ણસંકેતિત તંત્ર, સ્થિતિ A₀ (q_i0)થી સ્થિતિ A₁(q_i1) ઉપર જતાં થતું વાસ્તવિક વિસ્થાપન શુદ્ધ ગતિવિજ્ઞાનની ર્દષ્ટિએ આ તંત્રના A₀ થી A₁ સુધી બીજાં શક્ય એવાં સમઊર્જાકીય (isoenergetical) વિસ્થાપનોથી જુદું પડે છે. તેમાં લાગ્રાંજી ક્રિયા-સંકલ ચરમ મૂલ્ય ધરાવે છે. આમાં થાય છે જ્યાં Δ કુલ વિચરણ માટેની સંજ્ઞા છે.

વિહિત (canonical) રૂપાંતરણો : ગતિનાં પ્રમાણિત સમીકરણોમાં પૂર્ણસંકેતિત તંત્રના સર્વસામાન્ય નિર્દેશાંકો q₁ q₂ …. q_s અને સર્વસામાન્ય વેગમાનો P₁ P₂ … P_s સ્વતંત્ર ચલ રાશિઓ છે. આ 2S રાશિઓનાં નવાં સ્વતંત્ર રાશિઓનાં રૂપાંતરણો qi´ = qi´ (P, q, t) અને Pi´ = Pi´ (q, p, t)ને પ્રમાણિત રૂપાંતરણો કહે છે. નવા ચલ રાશિઓમાં તંત્રની ગતિનાં સમીકરણોએ ગતિનાં પ્રમાણિત સમીકરણોનું સ્વરૂપ જાળવી રાખવું જોઈએ. અને    જ્યાં i = 1, 2, … S છે. અને H´ = H´ (q´, P´, t) નવું હેમિલ્ટનનું વિધેય છે.

સંરક્ષણ નિયમો : કોઈ પણ બંધ તંત્રની ગતિનો પ્રથમ સંકલ તેની કુલ ઊર્જા આપે છે. આ ઊર્જાના સંરક્ષણ અને પરિવર્તનનો નિયમ છે. આ નિયમ સમયની સમાંગતા(homogenity)માંથી પરિણમે છે. સંરક્ષી તંત્ર માટે સમયની સમાંગતા તંત્રની કુલ યાંત્રિક ઊર્જાના સંરક્ષણ પ્રત્યે દોરી જાય છે. સમયની સમાંગતાને કારણે સંરક્ષી તંત્રની ગતિનો નિયમ નિશ્ચિત કરતું લાગ્રાંજી વિધેય L સ્પષ્ટ રીતે સમય ઉપર આધારિત નથી. વેગમાન સદિશ બંધ તંત્રની ગતિનો સંકલ છે. વેગમાનના સંરક્ષણનો નિયમ અવકાશની સમાંગતામાંથી ઉદભવે છે. અવકાશની સમાંગતા એટલે બંધ તંત્રને સમગ્રપણે આ અવકાશમાં સમાંતર સ્થાનાંતરણ આપવામાં આવે તોપણ તંત્રના યાંત્રિક ગુણધર્મોમાં કશો જ ફેર પડતો નથી. એટલે કે લાગ્રાંજી વિધેય બદલાતું નથી.

કોણીય વેગમાન સદિશ પણ બંધ તંત્રની ગતિનો સંકલ છે. કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણનો નિયમ અવકાશની સમદૈશિકતા (isotropy) સાથે સંકળાયેલ છે. સમદૈશિક અવકાશમાં બંધ તંત્રને સમગ્રપણે ભ્રમણ આપવા છતાં તેના યાંત્રિક ગુણધર્મો બદલાતા નથી. ભ્રમણ દરમિયાન તંત્રનું લાગ્રાંજી વિધેય બદલાવું જોઈએ નહિ.

યાંત્રિક દોલનો : જે ગતિનું નિયત સમયને ગાળે પુનરાવર્તન થતું હોય, તેને કંપનો અથવા દોલનો કહે છે. લોલકની ગતિનાં, એન્જિનના પિસ્ટનનાં તથા દોરીનાં દોલનો યાંત્રિક દોલનોનું ઉદાહરણ છે. વિદ્યુતચુંબકીય દોલનો બિનયાંત્રિક છે. દોલનો દરમિયાન થતા ફેરફાર નિયત સમયના ગાળે પુનરાવર્તન કરે તો તેવાં દોલનોને આવર્તક(periodic) દોલનો કહે છે. કણ કે પદાર્થની પ્રસંવાદી (harmonic) ગતિનું વિકલન સમીકરણ વડે નિરૂપણ કરવામાં આવે છે. જ્યાં x, કણનું સ્થાનાંતર;  કણનો પ્રવેગ અને કોણીય આવૃત્તિ છે. અપ્રસંવાદી ગતિનું નિરૂપણ ફૂરિયે (Fourier) શ્રેણી વડે કરવામાં આવે છે.

કોઈ પણ જાતના અવરોધક બળની ગેરહાજરીમાં થતાં અવિરત દોલનોને મુક્ત (free) દોલનો કહે છે. મુક્ત દોલનો દરમિયાન તંત્રની ઊર્જા અચળ રહે છે. આથી દોલનોનો કંપવિસ્તાર પણ અચળ રહે છે.

તંત્ર ઉપર લગાડેલ બાહ્ય આવર્તક બળને કારણે તંત્રમાં ચાલુ રહેતાં દોલનોને પ્રણોદિત (forced) દોલનો કહે છે. દોલનોની ઊર્જા સમય સાથે ઘટતી હોય તો તેવાં દોલનોને અવમંદિત (damped) દોલનો કહે છે.

કણની મુક્તતાના કેટલાક અંશો સાથે તંત્રનાં નાનાં દોલનોમાં સંરક્ષી તંત્રનાં મુક્ત દોલનો, અવમંદિત દોલનો અને ઊર્જા-સંરક્ષી (non-dissipative) તંત્રનાં પ્રણોદિત દોલનોનો સમાવેશ થાય છે. સ્વાતંત્ર્યના એક અંશ સાથે અરૈખિક (non-linear) તંત્રનાં દોલનોમાં સંરક્ષી તંત્રનાં મુક્ત દોલનો, ક્ષયકારી (dissipative) તંત્રનાં મુક્ત દોલનો, ઊર્જા સંરક્ષી તંત્રનાં પ્રણોદિત દોલનો, ક્ષયકારી તંત્રનાં પ્રણોદિત દોલનો અને સ્વપ્રેરિત દોલનોનો સમાવેશ થાય છે.

પ્રહલાદ છ. પટેલ