ગણિત

ગણતરી, માપન અને વસ્તુઓના આકાર અંગેના પ્રાથમિક વ્યવહારમાંથી વિકસેલું સંરચના (structure), ક્રમ (order) અને સંબંધ (relation) અંગેનું વિજ્ઞાન.

લોકભાષામાં ગણિતને અંકગણિત સમજવામાં આવે છે. ગણિત એટલે હિસાબનું ગણિત; જેમાં સરવાળા, બાદબાકી, ગુણાકાર અને ભાગાકાર આવે છે. શાળાના વિદ્યાર્થી માટે ગણિત એટલે અંકગણિત, બીજગણિત અને ભૂમિતિ છે. વિજ્ઞાન કે ઇજનેરી કૉલેજના વિદ્યાર્થીઓ માટે ગણિતમાં કલનશાસ્ત્ર, બૈજિક ભૂમિતિ અને યંત્રશાસ્ત્રનો સમાવેશ થઈ જાય. આમ સામાન્ય વ્યક્તિના ખ્યાલ પ્રમાણે ગણિત એટલે એકબીજા જોડે ખાસ સંબંધ ન ધરાવતા પાંચ-છ વિષયોનો સમૂહ. અંકગણિત એટલે સાદું અને ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ અને નફાતોટાના દાખલાઓ, બીજગણિત એટલે અવયવો પાડવાની રીતો અને કૂટપ્રશ્ર્નો અને ભૂમિતિ એટલે એક પછી એક આવતાં પ્રમેયોની હારમાળા. આ બધાંને કારણે ગણિત એટલે સંકેતો, સૂત્રો, સમીકરણો અને ઉકેલ શોધવાની અવનવી અને અટપટી યુક્તિઓવાળો ક્લિષ્ટ વિષય લાગે. બુદ્ધિશાળીઓને ગણિત મનોરંજક લાગે છે. વર્તમાનપત્રો અને સામયિકોમાં ગણિતગમ્મતના મથાળા હેઠળની રમતો કે ઉખાણાં તેમને આકર્ષે છે. તેઓ ગણિતને બુદ્ધિચાતુર્ય ખીલવવાના અને માનસિક આનંદ મેળવવાના સાધન તરીકે જુએ છે. વૈજ્ઞાનિક ર્દષ્ટિએ ગણિત રાશિઓનાં માપની ગણતરીનું સાધન અને વિજ્ઞાનના સિદ્ધાંતો અને નિયમોને સરળતાથી અભિવ્યક્ત કરવા માટેનું માધ્યમ પણ છે; પરંતુ શુદ્ધ ગણિતજ્ઞોનો ર્દષ્ટિકોણ જુદો છે. તેમના મત મુજબ ગણિત કેવળ માનસિક પ્રવૃત્તિ છે. તેમની ર્દષ્ટિએ ગણિતના સર્જન માટે બાહ્ય દુનિયાના અનુભવની કોઈ જરૂર નથી. અમુક બાબતો ધારી લઈને અને અમુક નિયમો સ્વીકારી લઈને ધારેલી બાબતોમાંથી સ્વીકારેલા નિયમો અને શુદ્ધ તર્ક વાપરીને પરિણામો મેળવવાં તે ગણિત છે.

ગણિત વિશે પ્રવર્તતા ભિન્ન ભિન્ન ખ્યાલો, તેના વિશેની સમજ અને ગેરસમજ, ગમા અને અણગમા છતાં માનવસમાજે સદીઓથી તેનું મહત્વ સ્વીકાર્યું છે. ગણિત માટેનો અંગ્રેજી શબ્દ mathematics લૅટિન શબ્દ mathematicaમાંથી આવેલ છે. કોઈ પણ વ્યક્તિ માટે પાયાના ગણિતનું જ્ઞાન હોવું આવશ્યક લેખાયું છે. ભારતીય સંસ્કૃતિમાં ગણિતનું સ્થાન ઊંચું અંકાયું છે.

ગણિતનાં અનેકવિધ પાસાંને કારણે તેની ચોક્કસ વ્યાખ્યા આપવી અઘરી છે. ગણિતની એક વ્યાખ્યા રાશિ અને અવકાશના વિજ્ઞાન (science of quantity and space) તરીકે અપાય છે. રાશિ ગણિતનો સંખ્યાઓ (numbers) જોડેનો સંબંધ સૂચવે છે અને અવકાશ સમતલ આકૃતિઓના અને ઘન પદાર્થોના આકાર (form) જોડેનો સંબંધ સૂચવે છે. સંખ્યાઓ અને આકાર એ બે પ્રવાહોમાં ગણિતના વિકાસનો અભ્યાસ થાય છે.

ગણિતનો ઇતિહાસ હજારો વર્ષ જેટલો જૂનો છે. માનવસંસ્કૃતિનો વિકાસ થતો ગયો તેમ ગણિત વિકસતું ગયું. તેના વિકાસની આછી રૂપરેખા જોઈએ. આદિમાનવ ગુફામાંથી બહાર નીકળી ક્રમશ: શિકાર, પશુપાલન અને ખેતી તરફ વળ્યો. આથી તેને પશુઓની ગણતરી કરવાની, જમીનમાપનની અને સમયમાપનની જરૂરિયાત ઊભી થઈ, ખેતી માટે તેને ઋતુઓ વિશેની જાણકારી જરૂરી બની. ઋતુઓની સમજ અને સમયમાપન માટે ખગોળનું જ્ઞાન મેળવવું જરૂરી બન્યું; ખગોલીય પ્રશ્ર્નોના ઉકેલ માટે ગણિતનું જ્ઞાન અનિવાર્ય બન્યું. પશુઓની ગણતરી માટે પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ 1, 2, 3, 4, …નું જ્ઞાન પૂરતું હતું; પરંતુ સમયમાપન અને ખગોલીય ગણતરીઓ માટે અપૂર્ણાંક સંખ્યાઓ, ભૂમિતિ અને ત્રિકોણમિતિ જરૂરી બન્યાં. ખેતી માટે જમીન વહેંચવી, યજ્ઞો માટે વેદી રચવી – જેવા પ્રશ્નોને કારણે ભૂમિતિનો અભ્યાસ જરૂરી બન્યો. વેપાર-વાણિજ્ય માટે અંકગણિત મહત્વનું સાધન બની રહ્યું, મકાનો અને નહેરોના બાંધકામ માટે ભૂમિતિ અને અંકગણિત જરૂરી બન્યાં. માનવસંસ્કૃતિ સાથે ગણિતનો પણ વિકાસ થયો.

આજથી પાંચ-છ હજાર વર્ષો પૂર્વે માનવજાત માટે પાયાના ગણિતનાં મંડાણ થઈ ચૂક્યાં હતાં. નાઈલ નદીને કિનારે ઇજિપ્તની અને એશિયામાં યુફ્રેટિસ-તૈગ્રિસ નદીઓ વચ્ચે આવેલા પ્રદેશમાં મેસોપોટેમિયન સંસ્કૃતિ હતી. મેસોપોટેમિયામાં બૅબિલૉન, અસિરિયા અને સુમેર વગેરેનો સમાવેશ થતો હતો. ઇજિપ્ત અને મેસોપોટેમિયાની પ્રજાએ ખેતી, વેપાર-વાણિજ્ય અને ઇજનેરી વિદ્યામાં પ્રગતિ સાધી હતી અને તે માટે આવશ્યક ગણિત વિકસાવ્યું હતું. બૅબિલોન સંખ્યાપદ્ધતિ 60 પર આધારિત હતી. બૅબિલોનના અંકગણિતમાં ગુણાકાર, ભાગાકાર, વર્ગ અને ઘનનાં કોષ્ટકોનો ઉપયોગ વર્ગમૂળ અને ઘનમૂળ શોધવામાં થતો. વળી n = 1, 2, … માટે n³ + n²નાં કોષ્ટક રચી બૅબિલોનના ગણિતજ્ઞો x³ + x² = 150 જેવાં સમીકરણોનો ઉકેલ શોધતા. એક ચલના ત્રિઘાત સમીકરણના ઉકેલની રીત અને બે ચલનાં બે સુરેખ સમીકરણોની સંહતિના ઉકેલની રીતો બૅબિલોનના ગણિતજ્ઞો જાણતા હતા. ભૂમિતિમાં લંબચોરસ, કાટખૂણ ત્રિકોણ, સમદ્વિભુજ ત્રિકોણ અને વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ શોધવાની રીતનો તેમને ખ્યાલ હતો. સાદા ઘન પદાર્થોનું કદ તેઓ ગણી શકતા. અર્ધવર્તુળમાંનો ખૂણો કાટખૂણો હોય છે તેની તેમને જાણ હતી.

લગભગ સાડાત્રણ હજાર વર્ષ પૂર્વે લખાયેલા ‘રહાઇન્ડ પેપિરસ’ જેવા ગ્રંથોમાંથી ઇજિપ્તના ગણિત વિશેનો ખ્યાલ મળે છે. અંકગણિતમાં પ્રવીણ ઇજિપ્તવાસીઓ દશ લાખ કે તેથી મોટી સંખ્યાઓનો ઉપયોગ સરળતાથી કરતા. ચોરસ આકારના ટોચ અને તળિયાવાળા પિરામિડના છેદ(frustum)નું કદ શોધવાના એક દાખલાનો સાચો ઉકેલ ઈ. પૂ. 1850ના ઇજિપ્તના એક ગ્રંથમાં જોવામાં આવે છે.

ભારતીય અને બૅબિલોનના ગણિતે અંકગણિત અને બીજગણિતમાં વધુ પ્રગતિ કરી હતી. ઈ. પૂ. 800ના અરસામાં લખાયેલાં ‘શુલ્બસૂત્રો’માં ચોરસ અને લંબચોરસના વિકર્ણોનાં માપનાં સૂત્રો મળે છે; છતાં પ્રાચીન ભારતમાં ગણિતનો વિકાસ મુખ્યત્વે જ્યોતિષશાસ્ત્રના એક આવશ્યક અંગ તરીકે થયો હતો. આર્યભટ્ટે (ઈ. સ. 476) તેમના ખગોળશાસ્ત્રના ગ્રંથમાં ગણિતનો અલગ અધ્યાય લખ્યો. ‘આર્યભટીય’ (આર્યભટ્ટ, પાંચમી અને છઠ્ઠી સદી), ‘બ્રાહ્મસ્ફુટ’ સિદ્ધાંત (બ્રહ્મગુપ્ત, સાતમી સદી) ‘ગણિતસારસંગ્રહ’ (મહાવીરાચાર્ય, નવમી સદી) અને ‘સિદ્ધાંતશિરોમણિ’ (ભાસ્કરાચાર્ય દ્વિતીય, બારમી સદી) જેવા ગ્રંથો દ્વારા ભારતમાં થયેલા ગણિતના વિકાસનો ખ્યાલ આવે છે. આર્યભટ્ટે πનું મૂલ્ય (3.1416) આપ્યું હતું. આર્યભટ્ટ અને બ્રહ્મગુપ્તને ઋણ સંખ્યાઓ વિશે ખ્યાલ હતો. સંખ્યાઓ લખવાની હાલની પદ્ધતિ ભારતની દેન છે. 273 અને 425માં 2નું મૂલ્ય સ્થાન પર આધારિત છે. શૂન્યની શોધ એ ભારતીય ગણિતની મૂલ્યવાન શોધ છે, જેનાથી 037, 307 અને 370 વચ્ચેનો ભેદ સમજી શકાય છે. શૂન્યનો પ્રથમ ઉપયોગ ઈ. સ. 876ના એક ભારતીય ગ્રંથમાં જોવા મળે છે. શૂન્યનો ખ્યાલ, 0, 1, 2, 3, ….. 9 વગેરે સંજ્ઞાઓનું પ્રદાન, ગણતરીનું કૌશલ અને બીજગણિતને સાંકેતિક બનાવવામાં ફાળો એ ભારતીય ગણિતનાં સબળ પાસાં છે. જુદાં જુદાં બૈજિક સમીકરણોના ઉકેલની જુદી જુદી રીતો ભારતીય ગણિતમાં જોવા મળે છે; પરંતુ સમીકરણની વ્યાપકતા, ઉકેલની વ્યાપક રીત અને સઘળા ઉકેલ શોધવા જેવા મહત્વના પ્રશ્નોની છણાવટનો ભારતીય ગણિતમાં અભાવ જોવા મળે છે. પ્રાચીન ભારતીય ગણિતની આ મર્યાદાઓ છે.

ગ્રીક ગણિત અને તર્કશુદ્ધ ગણિતનો પ્રારંભ : ઈ. પૂ. 600 અને ઈ. સ. 400ની વચ્ચે ગણિતનો દોર ગ્રીસના ગણિતીઓના હાથમાં રહ્યો. ગ્રીસ અને ઇજિપ્ત વચ્ચે એ સમયે ગાઢ સંબંધ હતો. ગ્રીસના ઘણા ગણિતજ્ઞો અભ્યાસ માટે ઇજિપ્ત જતા. ગ્રીસની મિલેટસની વિદ્યાપીઠનો સ્થાપક થેલીઝ (Thales) (ઈ. પૂ. 624-548), તેનો શિષ્ય પાયથાગોરાસ (Pythagoras, અંદાજે ઈ. પૂ. 572-501) અને મહાન ચિંતક પ્લેટો (જેણે ઍથેન્સની વિદ્યાપીઠની સ્થાપના કરી હતી) લાંબા સમય સુધી ઇજિપ્તમાં રહ્યા હતા. આ ગણિતજ્ઞોએ ઇજિપ્તવાસીઓને ભૂમિતિનો વ્યવહારમાં ઉપયોગ કરતા જોયા હતા; પરંતુ નિરીક્ષણ અને અનુભવ પરથી પરિણામો તારવવાની ઇજિપ્તવાસીઓની રીતથી તેઓને સંતોષ ન હતો. ગ્રીસના ગણિતજ્ઞો તર્કમાં પાવરધા હતા. બિંદુ, રેખા, સમતલ, લંબાઈ, ક્ષેત્રફળ જેવા ખ્યાલોનું અમૂર્તીકરણ કરીને શુદ્ધ તર્કની મદદથી તેમણે ભૌમિતિક પરિણામો મેળવ્યાં. આમ તો આ પ્રક્રિયાની શરૂઆત થેલીઝ અને પાયથાગોરાસે કરી હતી; પરંતુ તેને પૂર્ણ કળાએ પહોંચાડી યુક્લિડે (Euclid, ઈ. પૂ. 365-275). શાળામાં શીખવાતી ભૂમિતિ યુક્લિડીય ભૂમિતિ તરીકે ઓળખાય છે છતાં તેનાં બહુ ઓછાં પરિણામો યુક્લિડે શોધ્યાં છે. યુક્લિડે ભૂમિતિના 13 ગ્રંથો લખ્યા છે, જેને તેણે મૂળતત્વો (elements) કહ્યાં છે. આ ગ્રંથોમાં પરિણામનાં 465 વિધાનો (propositions) છે. આમાં ઘણાંખરાં પરિણામો યુક્લિડના પુરોગામીઓએ શોધ્યાં અને સાબિત કર્યાં છે. ભૂમિતિનાં વેરવિખેર પરિણામોને યુક્લિડે એકત્રિત કર્યાં, તાર્કિક રીતે સાબિતી આપી શકાય તે પ્રમાણે ક્રમબદ્ધ ગોઠવ્યાં અને ભૂમિતિનું એક વ્યવસ્થિત માળખું ઊભું કર્યું. આથી યુક્લિડનું નામ ભૂમિતિ સાથે જોડવામાં આવ્યું છે. આ માટે તેણે બિંદુ, રેખા જેવા શબ્દોની વ્યાખ્યા આપી, કેટલાંક પરિણામો સ્વીકારી લીધાં, જેને સ્વયંસિદ્ધ સત્યો (axioms) અને પૂર્વધારણાઓ (postulates) કહ્યાં. આ બધાંના ઉપયોગ અને તર્કની મદદથી પ્રથમ પ્રમેય સાબિત કર્યું. બીજું પ્રમેય સાબિત કરવા માટે અગાઉની વ્યાખ્યાઓ, સ્વયંસિદ્ધ સત્યો અને પૂર્વધારણાઓ ઉપરાંત પ્રથમ પ્રમેય વાપરી શકાય. ત્રીજું પ્રમેય સાબિત કરવા માટે સાબિત કરેલાં બંને પ્રમેયનો ઉપયોગ થઈ શકે. આ રીતે યુક્લિડની ભૂમિતિનું માળખું રચાયું. આ રીતને પૂર્વધારણાયુક્ત અભિગમ(postulational approach) અથવા નિગમન તર્ક(deductive reasoning)ની રીત કહેવાય છે. પરિણામે યુક્લિડ નિગમન તર્કનો પિતા ગણાય છે. યુક્લિડની ભૂમિતિના અભિગમમાં અને ભૂમિતિના આજના અભિગમમાં થોડો ફેર છે. યુક્લિડે બધાં જ પદોની વ્યાખ્યા આપવા પ્રયત્ન કર્યો છે. તાર્કિક રીતે આ યોગ્ય નથી. તેથી કેટલાંક પદો આજે અવ્યાખ્યાયિત તરીકે લેવામાં આવે છે. યુક્લિડે સ્વયંસિદ્ધ સત્યો અને પૂર્વધારણાઓ વચ્ચે ભેદ પાડ્યો હતો. આજે આ ભેદ પાડવામાં આવતો નથી.

યુક્લિડીયેતર ભૂમિતિ અને આધુનિક ગણિત : યુક્લિડની ભૂમિતિ શુદ્ધ તર્ક પર રચાયેલી છે એ ખરું; છતાં તેનાં મૂળ તો વ્યવહારમાં અને કુદરતમાં મળી આવતા પદાર્થોમાં જ હતાં. બે ખીલા વચ્ચે ચુસ્ત રીતે ખેંચીને બાંધેલી દોરી રેખાનો અને સરોવરની સપાટી સમતલનો ખ્યાલ આપતી. આકાશમાંના તારાઓ બિંદુઓ જેવા દેખાતા અને વૃક્ષનું થડ નળાકાર જેવું લાગતું. યુક્લિડે વ્યવહારમાં ઉપયોગી એવી સમતલની અને ત્રિપરિમાણીય અવકાશની ભૂમિતિની જ વાત કરી છે. ઓગણીસમી સદીની શરૂઆતમાં જ ગણિતમાં એક નવો ચીલો શરૂ થયો. આ ચીલામાં અભિગમ તો યુક્લિડની ભૂમિતિ માફક પૂર્વધારણાઓમાંથી તાર્કિક રીતે પરિણામો મેળવવાનો જ રહ્યો; પરંતુ પૂર્વધારણાઓ વ્યવહારના સામાન્ય ખ્યાલો સાથે સંબંધ ધરાવતી હોય કે તેવા ખ્યાલો સાથે સુસંગત હોય એવું જરૂરી ન લેખાયું. આ નવા ચીલાનાં મૂળ યુક્લિડની ભૂમિતિ જોડે સંકળાયેલા એક પ્રશ્નમાં હતાં. યુક્લિડની ભૂમિતિમાં પાંચમી પૂર્વધારણા નીચે પ્રમાણે છે :

જો l આપેલી રેખા હોય અને P એ lની બહારનું બિંદુ હોય તો Pમાંથી પસાર થતી અને lને સમાંતર એવી એક અને માત્ર એક જ રેખા મળે.

યુક્લિડે પહેલી ચાર પૂર્વધારણાઓમાંથી સમાંતરની ઉપરની પૂર્વધારણા પ્રમેય તરીકે સાબિત કરવાનો પ્રયત્ન કર્યો હતો; પરંતુ તેને સફળતા મળી ન હતી. ત્યારબાદ બે હજાર વર્ષોથી વધુ સમય સુધી આવા પ્રયત્નો થતા રહ્યા. 1830માં રશિયન ગણિતશાસ્ત્રી લૉબશેવ્સ્કી(1793-1856)એ યુક્લિડની અનન્ય સમાંતરની પૂર્વધારણાને બદલે નીચેની પૂર્વધારણા લીધી :

જો l અને P ઉપર મુજબ હોય તો Pમાંથી lને સમાંતર ઓછામાં ઓછી બે રેખા તો દોરી જ શકાય. આ પૂર્વધારણા અને યુક્લિડે લીધેલી બાકીની પૂર્વધારણાઓ સાથે લૉબશેવ્સ્કીએ ભૂમિતિનું તર્કસંગત માળખું રચ્યું. આ ઉપરથી પ્રતિપાદિત થયું કે યુક્લિડની સમાંતર અંગેની પાંચમી પૂર્વધારણા તેની પ્રથમ ચાર પૂર્વધારણાઓમાંથી પરિણામ તરીકે તારવી શકાય નહિ; કારણ કે જો આમ થાય તો યુક્લિડની પ્રથમ ચાર પૂર્વધારણાઓ લૉબશેવ્સ્કીની ભૂમિતિમાં પણ હોવાથી પરસ્પર વિરોધી એવી યુક્લિડની પાંચમી પૂર્વધારણા અને લૉબશેવ્સ્કીએ તેની અવેજીમાં લીધેલી પૂર્વધારણા એ બંને લૉબશેવ્સ્કીની ભૂમિતિમાં હોય અને તો એ ભૂમિતિ તર્કસંગત ન રહે.

લૉબશેવ્સ્કીની નવી ભૂમિતિની રચના બાદ ટૂંક સમયમાં જ જ્હૉન બોલ્યૉઇ નામના હંગેરિયન ગણિતીએ આવી ભૂમિતિ સ્વતંત્ર રીતે રચી તેની જાહેરાત કરી હતી અને કાર્લ ફ્રેડરિક ગાઉસ નામના જર્મન ગણિતીએ લૉબશેવ્સ્કીના પહેલાં આવી ભૂમિતિની રચના કરી હતી; પરંતુ તેને પ્રસિદ્ધિ આપી ન હતી. લૉબશેવ્સ્કીની ભૂમિતિ બાદ લગભગ ત્રણ દાયકા પછી જર્મન ગણિતી બર્નહાર્ડ રીમને (Riemann, 1826-1866) આપેલી રેખાની બહારના બિંદુમાંથી આપેલી રેખાને સમાંતર એવી એક પણ રેખા દોરી ન શકાય તેવી પૂર્વધારણા લઈ ભૂમિતિ રચી, જે રીમનીય ભૂમિતિ તરીકે જાણીતી થઈ. લૉબશેવ્સ્કીની અને રીમનની ભૂમિતિઓ યુક્લિડીયેતર ભૂમિતિ તરીકે ઓળખાય છે.

યુક્લિડની અનન્ય સમાંતરની પૂર્વધારણા આપણને સાહજિક લાગે છે, જ્યારે બે કે વધુ સમાંતર હોવાની કે એક પણ સમાંતર ન હોવાની વાત કૃત્રિમ ભાસે છે. આમ છતાં ગણિતની ર્દષ્ટિએ યુક્લિડીયેતર ભૂમિતિઓ યુક્લિડની ભૂમિતિ જેટલી જ સુસંગત અને મહત્વની છે. પૂર્વધારણાઓ એ માત્ર ધારી લીધેલી બાબતો છે. એ સાચી કે ખોટી હોવાનો કે સાહજિક કે કૃત્રિમ હોવાનો કોઈ પ્રશ્ર્ન નથી. નિગમન તર્કની રીતમાં પૂર્વધારણાઓમાંથી પરિણામો તારવવાનાં હોય છે. એટલે કે જો પૂર્વધારણાઓ હોય તો પરિણામો આવે. આધુનિક ગણિત જો… તો….ની તર્ક-આધારિત રમત છે. આનો અર્થ એ નથી કે ગમે તેવી પૂર્વધારણાઓથી શરૂઆત કરી ગણિત રચવામાં આવે છે. સામાન્ય રીતે ગણિતજ્ઞ પાસે કોઈક મૉડલ હોય છે. (જેમ કે, યુક્લિડ પાસે વ્યવહારુ ભૂમિતિનું મૉડલ હતું.) એ મૉડલ માટે ઓછામાં ઓછી પૂર્વધારણાઓ સ્વીકારી પરિણામો તારવવામાં આવે છે. લાભ એ છે કે જો પૂર્વધારણાઓ બીજા કોઈ મૉડલમાં લાગુ પડે તો તેમાંથી મળતાં પરિણામો પણ એ મૉડલ માટે આપોઆપ મળી જાય. આને કારણે પૂર્વધારણાયુક્ત અભિગમ શુદ્ધ ગણિતના વિકાસ માટે અને ગણિતની ઉપયોગિતાની ર્દષ્ટિએ બહુ અગત્યનો સિદ્ધ થયો છે.

ઓગણીસમી સદીના પૂર્વાર્ધમાં બીજગણિત પણ પૂર્વધારણાયુક્ત (axiomatic) બન્યું. પૂર્ણાંકોના ગણ પર સરવાળા અને ગુણાકારની ક્રિયાઓ છે. આ ક્રિયાઓ સંવૃતતા (closure) અને જૂથ (associativity) જેવા કેટલાક નિયમોને અનુસરે છે. સરવાળા અને ગુણાકારની ક્રિયાઓ સાથે પૂર્ણાંકનો ગણ એક પ્રકારની સંરચનાનું ઉદાહરણ છે. આધુનિક બીજગણિત એ રચનાઓનો અભ્યાસ છે. સમૂહ (group), મંડળ (ring), ક્ષેત્ર (field) વગેરે બીજગણિતની જુદી જુદી રચનાઓ છે. સમૂહમાં અરિક્ત (non-empty) ગણ પર એક ક્રિયા હોય, જે સંવૃતતા અને જૂથના નિયમોનું પાલન કરે. આ ક્રિયા (operation) માટે ગણમાં એકમ ઘટક હોય અને દરેક ઘટકનો, આપેલી ક્રિયાના સંદર્ભમાં, વિરોધી ઘટક હોય, મંડળમાં ગણ પર બે ક્રિયાઓ હોય છે જે ચોક્કસ નિયમોને અનુસરતી હોય છે. આ ક્રિયાઓને સરવાળા અને ગુણાકારની ક્રિયાઓ કહેવામાં આવે છે. મંડળમાં ગુણાકારની ક્રિયા જો કેટલાક વિશેષ નિયમોને અનુસરે તો મંડળ ક્ષેત્ર બને છે. સામાન્ય સરવાળા અને ગુણાકારની ક્રિયાઓ સાથે પૂર્ણાંકોનો ગણ મંડળ રચે છે, જ્યારે વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ સરવાળા, ગુણાકાર સાથે ક્ષેત્ર બનાવે છે.

જેમ ભૂમિતિના માળખામાં પૂર્વધારણાઓમાંથી પરિણામો તારવી શકાય છે તેમ બીજગણિતની રચનામાં એ રચના માટેના જે નિયમો હોય તે નિયમો પરથી પરિણામો તારવી શકાય છે. રચનાને વ્યાખ્યાયિત કરતી ક્રિયાઓ માટેના નિયમો એ અહીં પૂર્વધારણાઓ છે. રચના માટેનાં પરિણામો તેના દરેક ઉદાહરણમાં સાચાં હોવાથી આધુનિક બીજગણિત ભૌતિકશાસ્ત્ર અને રસાયણશાસ્ત્રના અભ્યાસમાં પણ ઉપયોગી નીવડ્યું છે. આધુનિક બીજગણિતની મદદથી ભૂમિતિના સદીઓથી વણઊકલ્યા રહેલા કેટલાક પ્રશ્નોનો ઉકેલ મેળવી શકાયો છે. પ્રાચીન પ્રશ્નોના નામે જાણીતા ભૂમિતિના ત્રણ પ્રશ્નો માત્ર પરિકર અને આંકા વગરની માપપટ્ટીની મદદથી નીચેની રચનાઓ (constructions) કરવા અંગેના છે :

1. આપેલા ખૂણાનું ત્રિભાજન કરવું.

2. આપેલા વર્તુળના ક્ષેત્રફળ જેટલું ક્ષેત્રફળ ધરાવતો ચોરસ રચવો.

3. આપેલા ઘનના કદથી બમણું કદ ધરાવતા ઘનની રચના કરવી.

આ પ્રશ્નો ગ્રીક સમયથી જાણીતા હતા, પરંતુ તેમનો ઉકેલ લગભગ બાવીસસો વર્ષ બાદ આબેલ અને ગાલ્વાએ આપેલ સમૂહ અને ક્ષેત્રના ખ્યાલોથી આવ્યો. ત્રણેય પ્રશ્નોના ઉત્તર નકારમાં છે. આ પ્રશ્નના ઉત્તર એક એકમની લંબાઈનો રેખાખંડ આપેલો હોય તો કઈ સંખ્યા જેટલી લંબાઈ ધરાવતા રેખાખંડ પરિકર અને (આંકા વગરની) માપપટ્ટીની મદદથી રચી શકાય, તે પ્રશ્નના ઉત્તર જોડે સંકળાયેલા છે. આમ ભૂમિતિના આ પ્રશ્નો સંખ્યાઓને લગતા પણ છે અને તેના ઉકેલ માટે આધુનિક બીજગણિતની જરૂર પડે છે. આ પ્રશ્નોનો ઉકેલ ગણિતના ખ્યાલોમાં પ્રવર્તતા ઐક્યનું સરસ ઉદાહરણ પૂરું પાડે છે.

ગણનો ખ્યાલ (notion) અને અનંત(infinity)ની સમજ : પૂર્વધારણાયુક્ત તાર્કિક અભિગમ બાદ ગણનો ખ્યાલ એ આધુનિક ગણિતનું અગત્યનું પાસું છે. ગણિતની બધી જ શાખાઓમાં ગણનો ખ્યાલ છૂટથી વપરાય છે અને આ ખ્યાલે ગણિતને એક સક્ષમ ભાષા પૂરી પાડી છે. ગણિતના ખ્યાલોની અભિવ્યક્તિ ગણની સાંકેતિક ભાષાને કારણે સ્પષ્ટ, સચોટ અને સરળ બની છે.

ગણના ખ્યાલનો જનક જર્મનીનો જ્યૉર્જ કૅન્ટૉર (1845-1918) હતો. તેણે ગણના ખ્યાલ વડે અનંતનો ખ્યાલ સ્પષ્ટ કર્યો. જો A અને B ગણ હોય અને Bનો દરેક ઘટક Aનો ઘટક હોય તો B એ Aનો ઉપગણ કહેવાય. જો B એ Aનો ઉપગણ હોય અને Aનો ઓછામાં ઓછો એક ઘટક Bમાં ન હોય તો B એ Aનો ઉચિત ઉપગણ કહેવાય. કૅન્ટૉરે નોંધ્યું કે સાન્ત ગણને તેના કોઈ ઉચિત ઉપગણ જોડે એક-એક સંગતતા (correspondence) ન હોઈ શકે અને અનંત ગણને તેના ઓછામાં ઓછા એક ઉચિત ઉપગણ જોડે એક-એક સંગતતા હોય જ. ઉદાહરણ તરીકે પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગણ N = {1, 2, 3, ….} લઈએ. યુગ્મ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગણ E = {2, 4, 6, ….} એ Nનો ઉચિત ઉપગણ છે. જો 1 જોડે 2, 2 જોડે 4, 3 જોડે 6 અને વ્યાપક રીતે n જોડે 2n સાંકળીએ તો N અને E વચ્ચે એક-એક સંગતતા મળે છે. આવું બને છે કારણ કે N અનંત ગણ છે.

કૅન્ટૉરે ગણસિદ્ધાંતના ઉપયોગથી અબૈજિક સંખ્યાઓ વિશે વિશિષ્ટ પ્રકારની માહિતી મેળવી. સંખ્યા (વાસ્તવિક કે સંકર) પૂર્ણાંક સહગુણકોવાળા બહુપદી સમીકરણનું બીજ હોય તો તે બૈજિક (algebraic) સંખ્યા કહેવાય છે. દરેક સંમેય સંખ્યા બૈજિક છે જ; પરંતુ તે સિવાય પણ ઘણી સંખ્યાઓ બૈજિક છે. 2 +  બૈજિક છે કારણ કે તે સમીકરણ x² – 4x + 1 = 0નું બીજ છે. બૈજિક ન હોય તેવી સંખ્યા અબૈજિક (transcendental) કહેવાય છે. કોઈ સંખ્યા અબૈજિક છે તેમ બતાવવું સહેલું નથી. e અને π જેવી પરિચિત સંખ્યાઓ બૈજિક છે કે અબૈજિક તે નક્કી કરતાં ગણિતીઓને ઘણો સમય લાગ્યો. શાર્લ અર્મીટ (Charles Hermite) નામના ફ્રેંચ ગણિતીએ 1873માં e અબૈજિક છે તેમ બતાવ્યું અને લિન્ડમાન નામના જર્મન ગણિતીએ 1882માં πની અબૈજિકતા સિદ્ધ કરી. કૅન્ટૉરે અબૈજિક સંખ્યાઓ અંગે મેળવેલું પરિણામ સમજવા માટે ગણસિદ્ધાંતની કેટલીક વ્યાખ્યાઓ અને પરિણામો પર ત્વરિત નજર ફેરવીએ.

જો B એ Aનો ઉપગણ હોય અને B અનંત હોય તો એ સહેલાઈથી સાબિત થઈ શકે કે A અનંત છે. (આમ તો આ દેખીતું જ લાગે છે.) પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગણ N એ વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ગણ IRનો ઉપગણ હોવાથી IR અનંત છે. જો કોઈ ગણને N જોડે એક-એક સંગતતા હોય તો તે ગણ ગણનીય (countable) કહેવાય. જે અનંત ગણ ગણનીય ન હોય તે અગણનીય (uncountable) કહેવાય. એમ પણ બતાવી શકાય કે બે ગણનીય ગણનો યોગ ગણ ગણનીય થાય, વળી ગણનીય ગણ અને સાન્ત ગણનો યોગ ગણ પણ ગણનીય થાય. વળી એવું સાબિત થઈ શકે કે IRને N જોડે એક-એક સંગતતા નથી અને તેથી IR અગણનીય છે.

ફરી કૅન્ટૉરની બૈજિક-અબૈજિક સંખ્યાઓની વાત પર આવીએ. એ બતાવવું અઘરું નથી કે બૈજિક વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ B ગણનીય છે. હવે જો અબૈજિક વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ C પણ ગણનીય હોય તો B C = IR પણ ગણનીય થાય; પરંતુ IR તો અગણનીય છે. આ ઉપરથી ફલિત થાય છે કે અબૈજિક વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ અગણનીય છે. આમ કૅન્ટૉરે અબૈજિક સંખ્યાઓનું અસ્તિત્વ પુરવાર કર્યું; એટલું જ નહિ, આવી સંખ્યાઓ મોટા પ્રમાણમાં અસ્તિત્વ ધરાવે છે એમ પણ પુરવાર કર્યું.

ગણિત અને અન્ય વિજ્ઞાનો : પ્રાકૃતિક વિજ્ઞાનોને પ્રકૃતિ જોડે, સામાજિક વિજ્ઞાનોને સમાજ જોડે અને ઇજનેરી વિજ્ઞાન અને વાણિજ્યશાસ્ત્રને વ્યવહારુ દુનિયા જોડે જેવો સંબંધ છે એવો કોઈ સંબંધ શુદ્ધ ગણિતને પ્રકૃતિ જોડે, સમાજ જોડે કે બહારની દુનિયા જોડે નથી. ગણિત કેવળ માનસિક પ્રવૃત્તિ છે અને તેને પોતાની દુનિયા છે. આમ છતાં પ્રકૃતિના અભ્યાસને અને ગણિતને સદીઓથી ગાઢ સંબંધ રહ્યો છે. વાસ્તવમાં ઓગણીસમી સદીના અંત સુધીમાં શોધાયેલ ગણિતનું પ્રેરણાસ્થાન વ્યવહારના કે પ્રકૃતિસંલગ્ન પ્રશ્નોમાં જ હતું. પ્રકૃતિના પ્રશ્નોથી અલિપ્ત રહીને બિલકુલ સ્વતંત્ર રીતે ગણિતના વિકાસની વાત સોએક વર્ષ જ જૂની છે.

પ્રાકૃતિક ઘટના જોડે ગણિતનો સંબંધ દર્શાવનાર પ્રથમ ગણિતશાસ્ત્રી પાયથાગોરાસ હતો. સંગીતના વાજિંત્રમાંથી નીકળતો ધ્વનિ તારની લંબાઈ પર આધારિત હોવાનું પાયથાગોરાસે સાબિત કર્યું હતું. આર્કિમીડીઝે પ્રકાશ અને યંત્રશાસ્ત્રને લગતી ઘણી ઘટનાઓને ગાણિતિક રીતે મૂલવી હતી. ગણિતને લીધે ખગોળશાસ્ત્રનો સઘન અભ્યાસ શક્ય બન્યો હતો. સત્તરમી સદીના પ્રારંભમાં કેપ્લરે ગ્રહોની ગતિના નિયમો માટે અઢારસો વર્ષ પૂર્વેની ગ્રીક ભૂમિતિનો ઉપયોગ કર્યો હતો. ન્યૂટનના જગવિખ્યાત ગ્રંથનું તો નામ જ ‘Philosophiae Naturalis Principia Mathematica’ (પ્રાકૃતિક તત્વજ્ઞાનના ગાણિતિક સિદ્ધાંતો) છે. આ ગ્રંથમાં ન્યૂટને ગણિતની મદદથી અનેક ખગોલીય અને ભૌતિક ઘટનાઓનો અભ્યાસ કર્યો છે. ન્યૂટને દિશા ચીંધ્યા બાદ ભૌતિકશાસ્ત્રના અભ્યાસ માટે ગણિત લગભગ અનિવાર્ય સાધન બની ગયું. ઉષ્ણતાવહનના અભ્યાસ માટે ફૂરિયે(Fourier)એ, વિદ્યુત અને ચુંબકત્વના અભ્યાસ માટે મૅક્સવેલે અને સાપેક્ષતાવાદના અભ્યાસ માટે આઇન્સ્ટાઇને ગણિતનો ઉપયોગ કર્યો.

ગણિત અને અન્ય વિજ્ઞાનોનો સંબંધ પારસ્પરિક રહ્યો છે. ગણિતે જેમ આપ્યું છે તેમ મેળવ્યું પણ છે. ત્રિકોણમિતિનો ઉદભવ ખગોળશાસ્ત્રને આભારી છે. ગતિના ખ્યાલો સ્પષ્ટ કરવા માટે ન્યૂટને કલનશાસ્ત્રની શોધ કરી. નેપિયરની લઘુગણકની શોધ ખગોળની ગણતરીની જરૂરિયાતમાંથી ઉદભવી હતી. ઉષ્ણતાવહનના અભ્યાસમાં ફૂરિયેએ વિધેય સાથે સંકળાયેલી વિશિષ્ટ પ્રકારની શ્રેઢીનો ઉપયોગ કર્યો. આ ફૂરિયે શ્રેઢી પોતે જ ગણિતશાસ્ત્રીઓ માટે અભ્યાસનો વિષય બની ગઈ.

નવાઈની વાત એ છે કે ‘ગણિત ખાતર ગણિત’ વિકસ્યું હોય એવું ગણિત પણ વિજ્ઞાનના અભ્યાસમાં ઉપયોગી નીવડ્યું છે. યુક્લિડીયેતર ભૂમિતિનો આવિષ્કાર યુક્લિડની સમાંતરની પૂર્વધારણાના પ્રશ્નના અભ્યાસમાંથી થયો, પરંતુ સાપેક્ષતાવાદના સિદ્ધાંતમાં રીમનીય ભૂમિતિ બહુ ઉપયોગી થઈ. સમૂહનો ખ્યાલ સ્ફટિક અને અણુના બંધારણના અભ્યાસમાં ઉપયોગી છે. સદિશ અવકાશ અને ક્ષેત્રના ખ્યાલો સંકેતશાસ્ત્ર(coding theory)માં ઉપયોગી છે. વૈધેયિક વિશ્લેષણ (functional analysis) ક્વૉન્ટમ યંત્રશાસ્ત્રમાં ઉપયોગી છે.

ગાણિતિક તરકીબો (mathematical techniques) હવે તો વિવિધ વિષયોના વિવિધ પ્રશ્નોના ઉકેલ માટે વપરાય છે. આને કારણે ગાણિતિક મૉડલિંગ ગણિતની અત્યંત વિકસતી શાખા છે.

ગણિત અને કમ્પ્યૂટર : ગણતરી એ ગણિતનું મહત્વનું પાસું છે અને ગણતરી સરળતાથી અને ઝડપથી કરી શકાય એ માટે સૈકાંઓથી પ્રયત્નો થતા આવ્યા છે. ઍબૅકસ નામનું ગણતરીનું સાધન બૅબિલોન સમયથી જાણીતું છે. પાસ્કલ (ફ્રેંચ, 1623-1662), લાઇબ્નિત્સ (Leibnitz, જર્મન, 1646-1716) અને ચાર્લ્સ બૅબિજ (Charles Babbage, બ્રિટિશ, 1792-1871) નામના ગણિતશાસ્ત્રીઓએ એક યા બીજા સ્વરૂપમાં ગણતરી માટે યાંત્રિક સાધન વિકસાવવા માટે પ્રયત્ન કર્યો હતો. વીસમી સદીના પાંચમા દાયકામાં કમ્પ્યૂટરની શોધ સાથે ગણતરી માટેનાં સાધનોના ક્ષેત્રે ક્રાન્તિ સર્જાઈ. કમ્પ્યૂટરના વિકાસમાં ગણિતજ્ઞ ફૉન નૉયમન(Von Neumann, જન્મે હંગેરિયન, પછીથી અમેરિકન, 1903-1957)નો ફાળો મહત્વનો છે. કમ્પ્યૂટર એ ગણતરીનું સાધન હોવા છતાં ઘણા સારા સારા ગણિતજ્ઞો પોતાના કાર્યમાં કમ્પ્યૂટરનો લવલેશ ઉપયોગ કરતા નથી. આનું એક કારણ એ છે કે શુદ્ધ ગણિતની ઘણીખરી શાખાઓમાં કમ્પ્યૂટરની મદદની જરૂર પડે એવી ખાસ કોઈ ગણતરીઓ હોતી નથી. શુદ્ધ ગણિતમાં ગણતરીઓ કરતાં વિચારો અને સંકલ્પનાઓનું મહત્વ ઘણું વિશેષ છે. આમ છતાં, સંખ્યાશાસ્ત્ર (number theory), સંચયી વિદ્યા (combinatorics) અને વિકલન સમીકરણો (differential equations) જેવી શાખાઓમાં કમ્પ્યૂટર ઉપયોગી છે અને આ અને અન્ય શાખાઓમાં કમ્પ્યૂટરનો ઉપયોગ વધતો જાય છે. ગણિતની દુનિયામાં કમ્પ્યૂટરનાં નોંધપાત્ર પગરણ થયાં 1976માં જ્યારે આપલ (Appel) અને હાકેન નામના બે અમેરિકન ગણિતીઓએ સો વર્ષ જૂના ચાર રંગના કોયડાનો કમ્પ્યૂટરની મદદથી ઉકેલ આપ્યો. અનુમાન એ હતું કે સમતલ કે ગોળા પરના અવિભક્ત પ્રદેશોવાળા કોઈ પણ નકશાને એક બિંદુથી વિશેષ સામાન્ય સરહદ ધરાવનાર બે પ્રદેશના રંગ જુદા જુદા હોય તે રીતે રંગવાને માટે વધુમાં વધુ ચાર રંગો જોઈએ. આપલ અને હાકેને બે વર્ષની જહેમત અને શક્તિશાળી કમ્પ્યૂટરના 1,200 કલાકના ઉપયોગને અંતે આ અનુમાન સાચું છે તેમ સાબિત કર્યું. જોકે ગણિતજ્ઞોને આ સાબિતીથી સંતોષ થયો નથી. કોઈ પણ જાણકાર ગણિતજ્ઞ આપમેળે સમજી શકે અને ફરી રજૂ પણ કરી શકે એ પ્રકારની પરિણામની સાબિતી હોવી જોઈએ. લાંબા સમય માટેના કમ્પ્યૂટરના ઉપયોગથી આપેલી સાબિતી આ કસોટીમાંથી પાર ઊતરી શકે ખરી ? આ એક વિવાદાસ્પદ બાબત છે. અત્યાર સુધીના ગણિતના વિકાસ પર કમ્પ્યૂટરનો પ્રભાવ નહિવત્ હોવા છતાં આવતાં વર્ષોમાં પરિસ્થિતિ બદલાશે એ નક્કી છે. કમ્પ્યૂટર હવે બહુ મોટા આંકડાઓ સાથે કામ કરી શકે છે; એટલું જ નહિ, માહિતીને સચિત્ર અંકિત પણ કરી શકે છે, આને કારણે અગાઉ જાણકારી ન હોય તેવી સપાટીઓ (surfaces) ગણિતીઓના ધ્યાન પર આવી છે. આમ પણ ગણિતીઓની નવી પેઢી શાળા-કક્ષાએથી જ કમ્પ્યૂટરથી પરિચિત હોવાથી કમ્પ્યૂટરને ગણિતમાં વધુ માનભર્યું સ્થાન મળશે એ દેખીતું છે.

ઉપસંહાર : ગણિતની 75 જેટલી મુખ્ય શાખાઓ અને 3,500 જેટલી પ્રશાખાઓમાં નવું નવું સર્જન થતું જ રહે છે. દર વર્ષે ત્રણ લાખ જેટલાં નવાં પ્રમેયો સાબિત થાય છે. વિજ્ઞાન અને ટૅક્નૉલૉજીના વિકાસમાં સહાયભૂત થવા માટે ગણિત સમક્ષ નવા પડકારો ઊભા થતા રહે છે; એટલું જ નહિ, ગણિતના પોતાના વિકાસ સાથે પણ ગણિતના નવા પ્રશ્નો ઊભા થતા રહે છે. જ્યાં સુધી માનવજાતને નવા જ્ઞાનની પિપાસા રહેશે ત્યાં સુધી નવા ગણિતનું સર્જન પણ ચાલુ રહેશે.

મહાવીરેન્દ્ર હરિપ્રસાદ વસાવડા

ગણિતના સુપ્રસિદ્ધ કોયડા

મનોરંજન માટે આંકડાની રમતો અને બીજી બુદ્ધિચાતુર્યયુક્ત ગણિતીય ગમ્મતો. ગણિતીય ગમ્મતો સાદા રસપ્રદ કોયડા અને રમતોથી માંડીને સંસ્કારયુક્ત સમસ્યાઓ સુધીની વિવિધતા ધરાવે છે અને તેમાંથી કેટલીક સમસ્યાઓ તો હજી સુધી વણઊકલી રહેલી છે. અંકગણિત, બીજગણિત, ભૂમિતિ, સંખ્યાસિદ્ધાંત, સંસ્થિતિવિદ્યા (topology), શ્રેણિક (matrix), સમૂહના સિદ્ધાંતો (group theory), સંયોજન વિજ્ઞાન, ગણસિદ્ધાંતો, ગાણિતિક તર્કશાસ્ત્ર, સંભાવનાશાસ્ત્ર વગેરે વિવિધ વિષયોમાં આવા કોયડા જોવા મળે છે. પડકારરૂપ સમસ્યાઓ દ્વારા બૌદ્ધિક મનોરંજન આપવાનો કોયડાઓનો હેતુ હોય છે. મોટા ભાગની ગણિત-ગમ્મતો જિજ્ઞાસાપ્રેરક અને ગૂઢ રહસ્ય સાથે સંકળાયેલી હોવાથી દીર્ઘજીવી નીવડી છે. મુદ્રણકળાની શોધ સાથે મધ્યયુગમાં ખાસ કરીને ઇટાલી અને જર્મની જેવા યુરોપના દેશોમાં કોયડાઓ માટે ભારે રસ જાગ્રત થયો. કોયડાઓના ક્ષેત્રમાં રાબી-બેન-એઝરા (1140), ફિબૉનાકી (Fibonacci, 1202), રૉબર્ટ રેકોર્ડ (Robert Recorde, 1542) અને જેરૉનિમો કાર્ડાનો(Geronimo Cardano, 1545)નું નોંધપાત્ર પ્રદાન છે. દૂધવાળો અને માપિયાંનો કોયડો પ્રસિદ્ધ છે. એક દૂધવાળા પાસે આઠ લિટર માપની બરણી દૂધથી પૂરી ભરેલી છે. તેની પાસે પાંચ લિટર અને ત્રણ લિટરનાં બે ખાલી માપિયાં છે તેની મદદથી અને બીજા વધારાના વાસણનો ઉપયોગ કર્યા સિવાય બે ગ્રાહક વચ્ચે તે ચાર-ચાર લિટર દૂધ કેવી રીતે વહેંચશે ? નીચેની સારણીમાં દર્શાવ્યા મુજબ A, B, C પાત્રોમાં દૂધની હેરફેર કરવાથી માગ્યા મુજબની વહેંચણી થઈ શકશે :

માપિયાં (લિટરમાં)

A પાત્ર : માપ 8 લિટર	B પાત્ર : માપ 5 લિટર	C પાત્ર : માપ 3 લિટર
8	–	–
5	–	3
5	3	–
2	3	3
2	5	1
7	–	1
7	1	–
4	1	3
4	4	–

બિલિયર્ડની રમતમાં સ્ટિક(cue)ની મદદથી ટેબલની દીવાલની કિનાર સાથે દડો અથડાઈ પરાવર્તન પામે છે. આ જાતની ગતિ ભૌમિતિક આકૃતિ 1માં તીર દ્વારા દર્શાવી છે, જે સારણીમાં દર્શાવેલી દૂધની હેરફેર સાથે મળતી આવે છે અને બિંદુ (4, 0) આગળ જ્યારે દડો આવી જાય ત્યારે ઉકેલ માટે થોભી જવાનું છે.

પરિમેય વક્ર અંગેના કોયડા : કાગળ પરથી પેન્સિલ ઉપાડ્યા સિવાય અને એની એ લીટી પર પેન્સિલ ન ફરે એ રીતે આકૃતિ દોરવાના કોયડા પરિમેય વક્ર(unicursal figure)ના કોયડાઓ કહેવાય છે. આકૃતિ (2) અને (3) પરિમેય વક્ર છે.

આકૃતિ (2)માં દરેક બિંદુમાંથી નીકળતાં કિરણો યુગ્મ સંખ્યામાં છે. આકૃતિ (3)માં ચાર યુગ્મ બિંદુઓ છે અને અયુગ્મ બિંદુઓની સંખ્યા બે (યુગ્મ) છે. આથી વક્ર (3) પરિમેય વક્ર છે. આકૃતિ (4)માં અયુગ્મ બિંદુઓ ચાર છે, જેની સંખ્યા બેથી વધારે છે આથી (આકૃતિ 4) પરિમેય વક્ર નથી. કેનિગ્ઝબર્ગની સપ્તસેતુ સમસ્યાના ઉકેલ સાથે ઑઇલરનો પરિપથ સિદ્ધાંત (Euler’s principle for closed network) સંકળાયેલો છે.

કેનિગ્ઝબર્ગની પ્રેગલ નદી પરના સાત પુલો આકૃતિ (5)માં દર્શાવ્યા છે. આ પુલો જમીન અને ટાપુઓને જોડે છે. કોઈ એક જ સ્થળેથી શરૂ કરીને સાતેય પુલો પરથી માત્ર એક જ વાર પસાર થઈ મૂળ સ્થળે પાછા ફરવાનું છે. આ સમસ્યા કેનિગ્ઝબર્ગની સમસ્યા છે. આ સમસ્યાનો ઉકેલ મળતો નથી એમ ઑઇલરે બતાવ્યું.

સંવૃત પરિમેય વક્રી પરિપથો (closed networks) પર ઑઇલરે એક સિદ્ધાંત રચ્યો, જે આ મુજબ છે : કોઈ પણ આકૃતિમાં દરેક બિંદુમાંથી નીકળતાં કિરણોની સંખ્યા યુગ્મ હોય અને અયુગ્મ બિંદુઓ વધુમાં વધુ બે હોય તો પરિપથ પરિમેય આકૃતિ બને છે. જો અયુગ્મ બિંદુઓ હોય જ નહિ તોપણ પરિપથ પરિમેય આકૃતિ બનાવે છે. વળી ગમે તે બિંદુએથી શરૂ કરી જે બિંદુથી શરૂ કરીએ ત્યાં પરત આવી પહોંચતા પરિપથ માટે પરિમેય આકૃતિ રચાય છે. જો બે જ અયુગ્મ બિંદુઓ હોય તો બેમાંથી એક અયુગ્મ બિંદુથી શરૂ કરી બીજા બિંદુ આગળ પરિમેય વક્ર પૂરો કરવો પડે. આકૃતિ (6)માં કેનિગ્ઝબર્ગની સપ્તસેતુ સમસ્યાને પરિપથના સ્વરૂપમાં દર્શાવી છે. આકૃતિ (5)માં જમીનના ચાર ખંડોને a, b, c, d વડે દર્શાવ્યા છે. તેનું આકૃતિ (6)માં બિંદુઓ દ્વારા નિરૂપણ કરેલું છે. આકૃતિ (5)માં દર્શાવેલા ખંડોને જોડતા પુલને આકૃતિ (6)માં અનુરૂપ બિંદુઓને જોડતા રેખાખંડ દ્વારા દર્શાવ્યા છે :

અહીં બધાં બિંદુઓ અયુગ્મ છે તેથી તેની સંખ્યા બેથી વધારે છે. આથી આ પરિપથ પરિમેય આકૃતિ બનાવતો નથી. માટે આ કોયડાનો ઉકેલ નથી.

પ્રવેશ અને નિર્ગમન (entrance and exit) અંગેના કોયડા : આકૃતિ (7)માં પ્રવેશ-નિર્ગમન કોયડો દર્શાવ્યો છે. તેમાં એક ઘરનો પ્લાન દોરેલો છે. તેમાં આવેલા ઓરડાઓમાં ઘણાં દ્વાર છે. તેમાં બહારથી કે અંદરથી કોઈ એક જગાએથી શરૂ કરી બધાં જ દ્વારોમાંથી એક જ વાર પસાર થઈ કોઈ જગાએ અટકવાનું છે.

A ઓરડાથી શરૂ કરો. A – F – G – E – D – C – B – A – G – A – C – E – F પ્રયાણમાર્ગ છે, જુઓ આકૃતિ (7). તેનો પરિપથ આકૃતિ (8)માં દર્શાવ્યો છે. પરિપથમાં ઓરડાઓનું બિંદુઓ દ્વારા અને દ્વારોનું રેખાખંડો દ્વારા નિરૂપણ કરેલું છે. પરિપથની આકૃતિ (8) જોતાં જણાય છે કે A અને F અયુગ્મ બિંદુઓ છે અને B, C, D, E, G યુગ્મ બિંદુઓ છે. અયુગ્મ બિંદુઓની સંખ્યા યુગ્મ (બે) છે આથી ઑઇલરના સંવૃત-પરિપથના સિદ્ધાંત અનુસાર આ પરિપથ પરિમેય વક્ર છે. પરિપથ અયુગ્મ બિંદુ Aથી શરૂ કરવામાં આવે છે અને તે અયુગ્મ બિંદુ F આગળ પૂરો કરવામાં આવે છે. આને અનુરૂપ ત્રણ દ્વાર(અયુગ્મ)વાળા A ઓરડાથી શરૂ કરેલું પ્રયાણ ત્રણ દ્વારવાળા (અયુગ્મ) F ઓરડામાં પૂરું થાય છે.

વિરોધાભાસ (paradox) અને ભ્રમણા (fallacies) : ગાણિતિક તર્કમાં તાર્કિકતાનું પ્રત્યેક સોપાન સાચું હોવા છતાં તેનો અંતિમ નિર્ણય સ્વીકારવો અપ્રતીતિકર હોય ત્યારે તેને ગણિતીય વિરોધાભાસ કહે છે; પરંતુ તર્કની અસંગતતાને કારણે વિશેષત: ખોટાં, વિચિત્ર કે ભ્રામક પરિણામો તરફ દોરી જતો ગાણિતિક તર્ક ગણિતીય ભ્રમણા કહેવાય છે. ભ્રમણામાંની ક્ષતિ ઘણુંખરું ગણિતીય સિદ્ધાંત કે તર્કના કોઈ સર્વસામાન્ય નિયમનો ભંગ કરે છે. વાપરનારને ગણિતના સિદ્ધાંતોનો સ્પષ્ટ ખ્યાલ ન હોય તો ભૂલ ઢંકાઈ જાય છે, પરિણામે ભ્રમણા ઊભી થાય છે. જાણીજોઈને ભૂલ ઊભી કરવામાં આવે એવા કુતર્કથી પણ ભ્રમણા ઊભી થાય છે. અનંતતા અને લક્ષના ખ્યાલોમાંથી ઘણા વિરોધાભાસ ઊભા થયા છે; દા. ત., અનંત સમગુણોત્તર શ્રેઢી

એમાં પદોનો સરવાળો કરીએ. જેમ વધુ ને વધુ પદો ઉમેરતા જઈએ તેમ સરવાળો વધુ ને વધુ મોટો થતો જતો હોય એમ જણાય છે; પરંતુ ખરેખર સરવાળો 2 થઈ શકતો નથી. જો શ્રેઢી ∑u_n અભિસારી હોય તો  u_n = 0 થાય, પરંતુ અનંત શ્રેઢી

આથી અનંત શ્રેઢી અભિસારી છે એમ લાગે છે પરંતુ અનંત શ્રેઢીનાં પદોને નીચે મુજબ ગોઠવતાં

શ્રેઢી =

< 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ….. થાય છે. આમ પદોની સંખ્યા અમર્યાદિત રીતે વધારતા જઈએ તો સરવાળો અમર્યાદિત રીતે મોટો થતો જાય છે. આમ આ શ્રેઢી અભિસારી લાગતી હતી; પરંતુ તે અભિસારી નથી પણ અપસારી છે. અનંત ગણના ખ્યાલમાં એક-એક સંગતતાનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે; દા. ત., પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગણ N અને પ્રાકૃતિક યુગ્મ સંખ્યાઓનો ગણ N_E લઈએ. જો Nના પ્રત્યેક ઘટકને N_E ના અનન્ય ઘટક સાથે અને N_Eના પ્રત્યેક ઘટકને Nના અનન્ય ઘટક સાથે સાંકળીએ તો

આ બે ગણ વચ્ચે એક-એક સંગતતા ઊભી થાય છે. પ્રાકૃતિક સંખ્યાના ગણ Nમાં જેટલા ઘટકો છે તેટલા જ ઘટકો યુગ્મ પ્રાકૃતિક સંખ્યાના ગણ N_Eમાં હોય તેમ લાગે છે. કોઈ પણ ગણ તેના ઉપગણ કરતાં મોટો હોય છે એવું અભિપ્રેત છે એટલે કે ‘સમગ્ર તેના ખંડ કરતાં મોટો હોય છે’ આ ખ્યાલથી ઉપર્યુક્ત પરિણામ વિરોધાભાસી છે. અનંત ગણને કારણે આવું વિરોધાભાસી પરિણામ મળે છે.

ક્રિપ્ટેરિધમ (cryptarithm) :  ગાણિતિક સંખ્યાઓ માટે સરવાળા, બાદબાકી, ગુણાકાર, ભાગાકાર જેવી પ્રક્રિયાઓ કરવામાં આવે છે; પરંતુ આંકડાને બદલે મૂળાક્ષર(alphabet)ના અક્ષરો મૂકીને સરવાળા, ગુણાકાર વગેરેના કોયડા રચવામાં આવ્યા છે, તે ‘ક્રિપ્ટ ઍરિથમેટિક’ તરીકે ઓળખાય છે. ‘ક્રિપ્ટ ઍરિથમેટિકના 150 કોયડાઓ’ નામનું પુસ્તક ડોવર પબ્લિકેશન, ન્યૂયૉર્ક દ્વારા 1963માં પ્રસિદ્ધ કરવામાં આવ્યું હતું. આવા સરવાળા અને ગુણાકારના બે કોયડા અહીં રજૂ કર્યા છે : (1) નીચેનો સરવાળો સાચો બને તે રીતે મૂળાક્ષરના અક્ષરોને બદલે (4 અને 9 સિવાયના) જુદા જુદા અંકો વાપરી સરવાળો કરો.

G	O	O	D
		T	O
		B	E
T	R	U	E

નીચે પ્રમાણે તર્ક ચલાવવાથી અક્ષરોને અનુરૂપ અંક મેળવી શકાય છે.

(1) O ≠ R, O > 7 છે તેથી O = 8 છે.

(2) સરવાળામાં E એકમના બે અંકોમાં આવેલો છે.

   D + O + E = E D + O = 10, D = 2 છે.

(3) G ≠ T, બીજા કૉલમની વદ્દી 3 શક્ય નથી; પરંતુ 2 શક્ય છે. આથી R = 0 છે પણ 1 નથી. (4) વળી G + 1 = T અને T + B = U + 11  છે. આથી બાકી રહેલા અંક 1, 3, 5, 6, 7માંથી (T, G) યુગ્મ (7, 6) કે (6, 5) હોય. જો T = 6 હોય તો T + B = U + 11માંથી B = U + 5 થાય જે અશક્ય છે. T = 7 અને G = 6 છે તેથી U = 1 અને B = 5 થાય. આથી એકમ સ્થાનમાં આવેલો એકમાત્ર અંક E = 3 છે. આમ દાખલાનો ઉકેલ :

6	8	8	2
		7	8
		5	3
7	0	1	3

બલ્ગેરિયાના સામયિક ‘સ્ફિન્ક્સ’માં નીચેનો ગુણાકાર પ્રસિદ્ધ થયા પછી 1931માં ક્રિપ્ટ ઍરિથમેટિક(crypt arithmetic)ની શરૂઆત થઈ; દા. ત.,

	A	B	C
	X	D	E
	F	E	C
D	E	C
H	G	B	C

ગુણાકાર સાચો બને એ રીતે મૂળાક્ષરના અક્ષરોને બદલે જુદા જુદા અંકો વાપરી ગુણાકાર કરીએ. આ ગુણાકારમાં (1) દશક D વડેના ગુણાકારમાં D X A = D છે. A = 1 છે.

(2) વળી D X C = C (એકમ અંક) અને E X C = C પણ એકમ અંક છે. આમ બંને ગુણાકારમાં એકમ અંક C છે. 1થી 9 સુધીના અંકોમાં 5 એવો અંક છે, જેને યુગ્મ સંખ્યા વડે ગુણીએ તો ગુણાકાર શૂન્ય અને અયુગ્મ સંખ્યા વડે ગુણીએ તો ગુણાકાર 5 મળે છે. આમ C = 5 છે. (D અને E અયુગ્મ છે.)

(3) બંને આંશિક ગુણાકાર FEC અને DEC ત્રણ આંકડાના છે તેથી D કે E બેમાંથી એકે 9 ન હોઈ શકે. પ્રથમ આંશિક ગુણાકારમાં E X Bનો ગુણાકાર બે અંકોનો હોવો જોઈએ; પરંતુ બીજા આંશિક ગુણાકારમાં D X Bનો ગુણાકાર એક અંકનો જ હોવો જોઈએ. આમ E > D છે. E = 7 અને D = 3 હોવા જોઈએ.

(4) D X B આ ગુણાકાર એક અંકનો હોવાથી B એ 3 કે 3થી નાનો હોવો જોઈએ. આથી B શૂન્ય કે 2 હોઈ શકે. E X B = 7 X B બે અંકની સંખ્યા હોવાથી B શૂન્ય નથી, આથી B = 2 છે.

(5) આ ગુણાકાર પૂરો કરતાં F = 8, G = 6 અને H = 4 છે. આમ ગુણાકારનો જવાબ નીચે મુજબ 4625 છે :

	1	2	5
	X	3	7
	8	7	5
3	7	5
4	6	2	5

જાદુઈ ચોરસ (magic squares) : પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓથી પરિચિત પ્રત્યેક વ્યક્તિને પસંદ પડે તેવી આ રમત છે. તેમાં ખાનાંવાળા ચોરસની પ્રત્યેક હાર, સ્તંભ તેમજ બંને મુખ્ય વિકર્ણોમાં આવેલી સંખ્યાઓનો સરવાળો એકસરખો થાય તેવી રીતે સંખ્યાઓને ગોઠવવામાં આવે છે. આવી ગોઠવણીને જાદુઈ ચોરસ કહે છે. આકૃતિ (9)માં દર્શાવેલ ચોરસમાં મૂકેલી સંખ્યાઓની ગોઠવણી જોઈએ :

8	3	4
1	5	9
6	7	2

અહીં ચોરસની પ્રત્યેક હારમાં આવેલી સંખ્યાઓનો સરવાળો 8 + 3 + 4 = 15, 1 + 5 + 9 = 15, 6 + 7 + 2 = 15 છે. વળી પ્રત્યેક સ્તંભમાં આવેલી સંખ્યાઓના સરવાળા પણ 8 + 1 + 6 = 15, 3 + 5 + 7 = 15, 4 + 9 + 2 = 15 છે. બંને મુખ્ય વિકર્ણોમાં આવેલી સંખ્યાઓના સરવાળા 8 + 5 + 2 = 15, 4 + 5 + 6 = 15 છે. આમ આ ગોઠવણી જાદુઈ ચોરસ થાય છે. અહીં 3² = 9 (1થી 9 સુધીની પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ)નો ઉપયોગ થયો હોવાથી આ ચોરસ ત્રણ કક્ષાનો સામાન્ય જાદુઈ ચોરસ કહેવાય છે. વ્યાપક રીતે n² સંખ્યાઓનો ઉપયોગ કરવાથી મળતા જાદુઈ ચોરસને n કક્ષાનો જાદુઈ ચોરસ કહે છે.

પંદરમી સદીમાં કૉન્સ્ટૅન્ટિનોપલના મોસોપુલુસે યુરોપમાં જાદુઈ ચોરસની રમત દાખલ કરી એમ માનવામાં આવે છે. સત્તરમી સદીમાં ફ્રાન્સમાં જાદુઈ ચોરસનો વ્યવસ્થિત અભ્યાસ શરૂ કરવામાં આવ્યો. હવે લગભગ બધા દેશોમાં જાદુઈ ચોરસનો મનોરંજન સાથે ગાણિતિક અભ્યાસ કરવામાં આવે છે. વિજ્ઞાન, સમાજશાસ્ત્ર, અર્થશાસ્ત્ર તથા ખેતીવાડીશાસ્ત્ર વગેરે વિષયોના અભ્યાસમાં જાદુઈ ચોરસનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. (વિશેષ વિગતો માટે જુઓ અધિકરણ જાદુઈ ચોરસો.)

ફિબૉનાકી સંખ્યાઓ : પીઝાના લિયૉનાર્ડ તરીકે જાણીતા ફિબૉનાકીએ લિબર અબાકી (Liber abaci) 1202માં પ્રસિદ્ધ કર્યું ત્યારે ફિબૉનાકીની શ્રેણી જાણીતી થઈ; જે 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ….. છે. મનોરંજનની નીચેની સમસ્યામાંથી આ શ્રેણી પ્રાપ્ત થઈ. સસલાની એક જોડી પ્રજનન શરૂ કરે છે કે જેથી દર મહિને સસલાનું એક યુગલ એક નવા યુગલને જન્મ આપે છે; પરંતુ નવું યુગલ જન્મના બે માસ પછી આ ક્રિયા શરૂ કરે છે તો વર્ષના અંતે કેટલાં (કોઈ સસલાનું મૃત્યુ ન થયું હોય તો) યુગલો હશે ? સમસ્યાનો ઉકેલ નીચેના કોઠામાં દર્શાવ્યો છે :

માસ                1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11   12

યુગલોની સંખ્યા            1   1   2   3   5   8   13  21  34  55  89  144

કોઠાની બીજી પંક્તિના ઘટકો જોઈએ તો તે ફિબૉનાકીની અનંત શ્રેણીનાં શરૂઆતનાં પદો છે એમ જણાય છે. આ શ્રેણીનું કોઈ એક પદ તેની અગાઉનાં બે પદના સરવાળા બરાબર હોય છે, એટલે કે U_{n + 2} = U_n + U_{n + 1}, (U₁ = U₂ = 2)

ફિબૉનાકીની અનંત શ્રેણીનાં બે ક્રમિક પદોનો ગુણોત્તર

મળે છે, જે અસંમેય સંખ્યા છે. આ ગુણોત્તરને સુવર્ણ સંખ્યા (golden number) કહે છે. આ ગુણોત્તર સૌંદર્ય કલાશાસ્ત્રની ર્દષ્ટિએ સર્વોત્કૃષ્ટ છે. તેને ટાઉ (tau) () સંકેતથી દર્શાવવામાં આવે છે. જો રેખાખંડ ABનું H બિંદુ આગળ આકૃતિ 9માં બતાવ્યા મુજબ એવી રીતે વિભાજન કરવામાં આવે કે જેથી  થાય તો આ વિભાજનને સુવર્ણ વિભાજન (golden section) કહે છે.

એક લંબચોરસ ABCDમાં લંબાઈ, પહોળાઈનો ગુણોત્તર થાય તો આવા લંબચોરસને સુવર્ણ લંબચોરસ (golden rectangle) કહે છે. માનસશાસ્ત્રીઓને કસોટી દ્વારા જણાય છે કે આંખને સૌથી વધુ ગમતી નિયમિત આકારની આકૃતિ સુવર્ણ લંબચોરસ છે. આકૃતિ (10)માં બતાવ્યા મુજબ કોઈ લંબચોરસમાંથી પહોળાઈ એક બાજુ હોય તેવો ચોરસ કાપી લઈ મળતો લંબચોરસ, મૂળ લંબચોરસને સમરૂપ હોય તો લંબચોરસ સુવર્ણ લંબચોરસ હોય જ :

સુવર્ણ લંબચોરસ ABCD દોરી તેમાંથી AB બાજુવાળો ચોરસ ABEF કાપી લઈએ તો બાકી રહેલો લંબચોરસ ECDF સુવર્ણ લંબચોરસ હોય છે. EG બાજુથી બનતો ચોરસ ECDFમાંથી કાપી લઈએ તો મળતો લંબચોરસ GHDF પણ સુવર્ણ લંબચોરસ જ છે. આ પ્રક્રિયાનું પુનરાવર્તન કરતા જઈએ અને AEHLM… બિંદુઓ જોડી વક્ર દોરતા જઈએ તો આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ સળંગ વક્ર મળે છે, જે લઘુગણકીય સર્પિલ(logarithmic spiral)ને મળતો આવે છે. અત્યંત જાણીતો આ વક્ર સૂર્યમુખીના ફૂલમાં બીજની ગોઠવણીમાં અને ગોકળગાયની છીપમાં જોવા મળે છે. સુવર્ણ અંક, સુવર્ણ લંબચોરસ, લઘુગણકીય વક્રના ઉપયોગથી, ‘ગતિમાન સંમિતતા’ (dynamic symmetry) નામે એક નવીન વિષય મળે છે.

નીમ ગેઇમ : સમય પસાર થાય અને મનોરંજન મળે તેવી આ રમત છે. બે જ વ્યક્તિ આ રમત રમી શકે છે. દીવાસળીઓ, લખોટીઓ કે કાંકરા – જેને આપણે કૂકરી કહીશું -ની ત્રણથી વધારે ઢગલીઓ કરવાની છે. દરેક ઢગલીમાં પાંચથી વધારે કૂકરી રાખવામાં આવે છે. રમત રમવાની શરૂઆત બેમાંથી એક હરીફે કરવાની છે. તેણે કોઈ પણ એક ઢગલીમાંથી કૂકરીઓ ઉપાડી લેવાની, ગમે તેટલી સંખ્યામાં કૂકરી ઉપાડી શકાય, આખી ઢગલી પણ ઉપાડી શકાય; પરંતુ એક વખતના વારામાં એક જ ઢગલીમાંથી કૂકરી લેવી પડે. આ પ્રમાણે બંને હરીફે વારાફરતી કૂકરી ઉપાડવાની. જે હરીફ છેલ્લે વધેલી કૂકરી કે કૂકરીઓ કે આખી ઢગલી ઉપાડે તે હરીફ જીત્યો ગણાય.

A અને B આ રમત રમે છે. આવો દાખલો જોઈએ. ધારો કે ઢગલીઓ નીચે પ્રમાણે છે : (જેમાં કૂકરીઓ ઊભી લીટી વડે અને ઢગલી ઊભી લીટીઓની પંક્તિથી દર્શાવી છે.)

A અને B રમવાનું શરૂ કરે છે. ધીરે ધીરે કૂકરીઓની સંખ્યા ઘટતી જાય છે અને A, Bને નીચેની પરિસ્થિતિમાં મૂકી દે છે (આકૃતિ 12). એટલે કે જ્યારે Bનો વારો આવ્યો ત્યારે બે ઢગલી વધી અને બંને ઢગલીમાં કૂકરીઓની સંખ્યા સરખી છે. પછી B કોઈ પણ ઢગલીમાંથી જેટલી કૂકરી ઉપાડે ત્યારે તેટલી કૂકરી A પણ ઉપાડે છે. આથી બંને ઢગલીમાં ફરી ફરી કૂકરીની સંખ્યા સરખી જ રહે છે. હવે જ્યારે Bનો વારો હોય ત્યારે દરેક વખતે કૂકરીની સંખ્યા સરખી જ થવાથી છેલ્લી કૂકરી ઉપાડી લેવાની તક Aને જ મળે. આથી B પોતાની હાર સ્વીકારી લે છે.

ફરીથી રમત શરૂ કરતાં Bએ Aને નીચેની પરિસ્થિતિમાં મૂક્યો (આકૃતિ 13).

Aને વિચાર કરતાં લાગ્યું કે પોતે જીતવામાં સફળ થાય તેમ નથી તેથી તેણે હાર સ્વીકારી લીધી. Bએ Aને આમ કરવાનું કારણ પૂછ્યું. તેણે કહ્યું, ‘જો હું પહેલી ઢગલી ઉપાડી લઉં તો તું ત્રીજી ઢગલીમાંથી એક કૂકરી લઈ લે, આથી બાકીની બે ઢગલીમાં કૂકરીની સંખ્યા સરખી થાય. જો હું બીજી બે ઢગલીમાંથી એક કૂકરી ઉપાડી લઉં તો તું આખી ત્રીજી ઢગલી લઈ લે અને હું હારી જાઉં. જો હું બીજી ઢગલી આખી ઉપાડી લઉં તો તું ત્રીજી ઢગલીમાંથી બે કૂકરી ઉપાડી લે અને હું મુશ્કેલીમાં મુકાઉં. જો હું ત્રીજી ઢગલીમાંથી એક કૂકરી ઉપાડી લઉં તો તું પહેલી હારની કૂકરી ઉપાડી લે, બે કૂકરી કાઢું તો તું બીજી ઢગલી લઈ લે, ત્રીજી ઢગલી ઉપાડી લઉં તો તું બીજી ઢગલીમાંથી એક કૂકરી ઉપાડી લે એટલે મારે તો બધા સંજોગોમાં હારવાનું જ છે. આ પરિસ્થિતિને (1, 2, 3)થી દર્શાવી આવી બીજી પરિસ્થિતિ (1, 4, 5), (1, 10, 11), (1, 8, 9) એટલે કે વ્યાપ્ત સ્વરૂપમાં (1, 2n, 2n + 1)માં થાય છે. આવી જ રીતે બે કૂકરી માટે (2, 4, 6), (2, 8, 10), (2, 5, 7), (2, 9, 11) જેવા સ્વરૂપની ગોઠવણી મળી એટલે (2, 4n, 4n + 2), (2, 4n + 1, 4n + 3) મળે છે. આ ભેદ સમજવા માટે દ્વિઅંકી પદ્ધતિ અને ગાઉસ સરવાળાની મદદ લેવી પડે છે.

જે સંખ્યાનો સરવાળો કરવો હોય તેને દ્વિઅંકીમાં ફેરવી નાખો, પછી સ્તંભ પ્રમાણે તેમાં રહેલી ‘એક’ની સંખ્યાઓ ગણો, જો ‘એક’ની સંખ્યા અયુગ્મ હોય તો ગાઉસ સરવાળો એક ગણાય, જો ‘એક’ની સંખ્યા યુગ્મ હોય તો ગાઉસ સરવાળો ‘0’ ગણાય; દા. ત., 28, 24, 15, 13નો ગાઉસ સરવાળો કરવો છે. સંખ્યાને ‘દ્વિઅંકી’માં ફેરવી સરવાળો કરીએ :

આમ ઉપરની સંખ્યાઓનો ગાઉસ સરવાળો 01000 છે. હવે આ રમતમાં ગાઉસ સરવાળાનો ઉપયોગ કેવી રીતે થાય છે તે જોઈએ.

પહેલાં દરેક ઢગલીની કૂકરીઓની સંખ્યાને દ્વિઅંકીમાં ફેરવો અને પછી ઢગલી પ્રમાણે કૂકરીની સંખ્યાનો ગાઉસ સરવાળો કરો. જો સરવાળામાં બધા 0 આવે તો જે શરૂઆત કરે તે હારે અને સરવાળામાં બધાં શૂન્ય ન હોય, એકાદ પણ એકડો હોય તો શરૂઆત કરનાર જીતે (જોકે હારજીત રમનારની કુનેહ પર આધાર રાખે છે). કારણ એ છે કે જ્યારે સરવાળામાં એકાદ પણ એકડો હોય ત્યારે એક ઢગલી તો એવી મળે જ કે જેમાંથી નિશ્ર્ચિત સંખ્યામાં કૂકરી ઉપાડી લેવાથી સરવાળામાં બધાં જ શૂન્યો લાવી શકાય. એટલે કે સરવાળો શૂન્ય કરી શકાય. હવે જો તમે સરવાળો શૂન્ય આવે એ રીતે કૂકરી ઉપાડી તમારા હરીફને સોંપતા જાઓ તો તે ગમે તે ઢગલીમાંથી ગમે તેટલી સંખ્યામાં કૂકરી ઉપાડે તોપણ સરવાળામાં ઓછામાં ઓછો એક તો એકડો દાખલ કરે જ એટલે ફરી તમે સરવાળો શૂન્ય બનાવી હરીફને સોંપો. એમ કરતાં કરતાં એવી પરિસ્થિતિ આવશે કે જ્યારે ઢગલીઓમાં કૂકરીની સંખ્યા શૂન્ય થશે ત્યારે પણ ગાઉસ સરવાળો શૂન્ય થવાનો. આ સ્થિતિમાં તમારા હરીફને તમે મૂકશો અને છેલ્લે તમે જ કૂકરી ઉપાડી ઢગલીઓમાં કૂકરીની સંખ્યા શૂન્ય કરી રમતમાં જીતી જશો. આમ સરવાળો શૂન્ય કરતા જવાથી જીતી શકાય; પરંતુ તમારો હરીફ દર વખતે એક એક ઉમેરતો જાય તો જીતી શકાય નહિ. (આની ગાણિતિક સાબિતી આપી શકાય છે.)

ગણિતીય રમત : ‘ઊલટ-પલટ’.

આકૃતિ (14)માં દર્શાવ્યા મુજબ એક લાઇનમાં ડાબી તરફનાં ત્રણ ખાનાંમાં સફેદ (W) કૂકરીઓ અને જમણી તરફનાં ત્રણ ખાનાંમાં કાળી (B) કૂકરીઓ છે. વચ્ચેનું ખાનું ખાલી છે. ડાબી તરફની ત્રણ સફેદ કૂકરીઓને (જેનું નિશાન O છે) ખસેડીને જમણા છેડે અને જમણી તરફની ત્રણ કાળી કૂકરીઓને (જેનું નિશાન • છે) ખસેડીને ડાબા છેડે લઈ જવાની છે. અહીં ઓછામાં ઓછાં પગલાંમાં કૂકરીઓનાં સ્થાન ઊલટ-પલટ કરવાનાં છે. કૂકરીઓને ખસેડવામાં નીચેના નિયમોનું પાલન કરવાનું છે : (1) એક સમયે એક જ કૂકરીને ઉપાડીને ફેરવી શકાય. (2) કૂકરીની બાજુમાં ખાલી જગા હોય તો જ તે જગા પર કૂકરીને ખસેડીને મૂકી શકાય. (3) કોઈ એક કૂકરીની નજીકની બીજી કૂકરી પાસે ખાલી જગા હોય તો તે કૂકરીને પાસેની બીજી કૂકરી પરથી કુદાવી શકાય. કૂકરીને ફેરવીએ એટલે એક પગલું લીધું ગણાય. શરૂઆતની ગોઠવણી W W W – B B B આકૃતિ (15)માં બતાવ્યા પ્રમાણેની છે. હવે એક પછી એક નીચે પ્રમાણે પગલાં લેવાશે. જો ખાલી જગાની બંને તરફ ત્રણ ત્રણ કૂકરીઓ હોય તો અદલાબદલીમાં ઓછામાં ઓછાં 15 પગલાં થાય. જુઓ આકૃતિ (15). નીચેનાં સૂચનો અનુસરવાથી ઓછામાં ઓછાં પગલાંમાં કૂકરીઓ ઊલટ-પલટ થાય છે.

(a) જો કોઈ ખાલી જગા માટે બે પ્રકારના ફેરફાર શક્ય હોય (i) કૂકરીને કુદાવ્યા સિવાય ખસેડી શકાય તેમ હોય (ii) કૂકરીને બીજા રંગની કૂકરીને કુદાવીને ખસેડી શકાય તેમ હોય તો બીજા પ્રકારનો ફેરફાર કરવો જોઈએ. (b) જો કોઈ એક રંગની કૂકરી ખસેડવાની શરૂ કરી હોય તો ‘શક્ય હોય ત્યાં સુધી’ તે જ રંગની કૂકરી ખસેડવી.

આ સૂચનોને અનુસરવાથી ઓછામાં ઓછાં પગલાંમાં કૂકરીઓની ફેરબદલી થઈ જશે. થોડું અનુમાન કરવાથી કૂકરીની સંખ્યા અને તેને ઊલટ-પલટ કરવા માટે લેવાતાં ઓછામાં ઓછાં પગલાંની સંખ્યાઓનો નિયમ મળે છે, જે નીચે પ્રમાણે છે :

પરંતુ વ્યાપક કોયડામાં એક બાજુ કૂકરીની સંખ્યા m હોય અને બીજી બાજુ કૂકરીની સંખ્યા n હોય (તેમજ તેમની વચ્ચે ખાલી જગા હોય) ત્યારે ઓછામાં ઓછાં પગલાંની સંખ્યા = (m x n) + m + n થાય છે.

ઓગણીસમી સદીના પૂર્વાર્ધમાં (ગણિતીય) મનોરંજન માટે ઓછું સાહિત્ય લખાયું હતું પરંતુ ઉત્તરાર્ધમાં વિશેષ પ્રમાણમાં લખાયું, જેમાં લુકાસ, ડૉજસન વગેરેનો મોટો ફાળો છે. ‘ગણિતમાં મનોરંજન’ અંગે લુકાસે ચાર ગ્રંથ પ્રસિદ્ધ કર્યા હતા. વીસમી સદીમાં અમેરિકન સામ લૉઇડે એટલે કે લૉઇડ પિતાપુત્રે પુષ્કળ કોયડા રચ્યા. રાષ્ટ્રીય મંડળ(national syndicate)માં લૉઇડે વર્ષો સુધી સાપ્તાહિક કોયડાની કટાર પ્રસિદ્ધ કરી. બંને પિતાપુત્રે અંદાજે દસ હજાર જેટલા કોયડા રચ્યા એમ માનવામાં આવે છે. ઓગણીસમી સદીના અંત અને વીસમી સદીના પૂર્વાર્ધમાં જર્મનીમાં હરમાન શુબર્ટ અને વિલ્હેમ એહ્રેન્સે કોયડાઓ અંગેનું કેટલુંક સાહિત્ય પ્રસિદ્ધ કર્યું. બ્રિટિશ યોગદાતાઓમાં હેન્રી ડડ્મીએ ‘સ્ટ્રૅન્ડ’ મૅગેઝિનમાં કેટલાક સુપ્રસિદ્ધ કોયડા રજૂ કર્યા, જેનું ત્યારબાદ વારંવાર પુનર્મુદ્રણ થયું. ‘ગણિતનું મનોરંજન અને નિબંધો’ ડબ્લ્યૂ. રાઉસબોલે પ્રસિદ્ધ કર્યું, જે મેધાવી અભિગમને કારણે ચિરપ્રતિષ્ઠિત બન્યું. તેની દસ આવૃત્તિઓ પ્રસિદ્ધ થઈ. ‘સ્ફિન્ક્સ’ના તંત્રી મૉરિસ ક્રેટચિકે કેટલીક ઉત્તમ કૃતિઓ આપી છે. વીસમી સદીના ઉત્તરાર્ધમાં કોયડાઓના પ્રકાર અને વિષયોમાં ઘણું વૈવિધ્ય જોવા મળે છે.

એ. આર. રાવ

શિવપ્રસાદ મ. જાની

ગણિતનો ઇતિહાસ

ગણિતનો ઇતિહાસ એટલે માનવજાતના વિકાસની સાથે સંકળાયેલી ગણિતના વિકાસની કથા. કવિ હોમરના જમાનાની દંતકથાનો એક રાક્ષસ પૉલિફીમસ (Polyphemus) પોતાની ગાયોની ગણતરી વિચિત્ર રીતે કરતો એવો ઉલ્લેખ મળે છે. ચરવા જતી અને ચરીને પાછી આવતી ગાયોની ખાતરી (ગણતરી) – એક ગાય માટે એક પથરો લઈ પથરાઓનો ઢગલો કરીને અને પાછી આવે ત્યારે ઢગલો ખાલી કરીને તે કરતો. એક પ્રકારની ચીજોમાંથી એક્ધો, બીજા પ્રકારની ચીજોમાંથી બીજી એક ચીજ સાથે સાંકળવાની (એક-એક સંગતતાની) આ પરિકલ્પના મનુષ્યના મનમાં કદાચ પ્રથમ વાર આવિષ્કાર પામી હશે. કુટુંબના સભ્યો, દુશ્મનોની સંખ્યા, ગાયોની સંખ્યા વગેરેની ગણતરી કરવાની જરૂરિયાતે મનુષ્યને ગણતરીની જુદી જુદી પદ્ધતિઓ વિકસાવવા પ્રેર્યો હશે. માટીની કે લાકડાની તકતી પર કાપા પાડવા (tally sticks), આડી ઊભી લીટીઓ દોરવી, તે પરથી સંખ્યા માટે 1, 2, 3, ….. જેવા સંકેતોની રચના થઈ હશે. જુદા જુદા દેશોમાંથી પ્રાપ્ત થયેલી માટીની, લાકડાની કે પથ્થરની તકતીઓ પરથી એમ લાગે છે કે અંકગણિત અને ભૂમિતિના પ્રારંભિક ખ્યાલો, સંખ્યાઓના સરવાળા, બાદ્બાકી, ગુણાકાર વગેરે; ભૂમિતિમાં બિંદુ, રેખા, વર્તુળ, અંતર વગેરેને વિકસિત સ્વરૂપમાં વ્યક્ત કરવા માટે માનવમને હજારો વર્ષ મથામણ કરી હશે. બૅબિલોનિયાની માટીની તકતીઓના 1થી 32 સુધીના પૂર્ણાંકોના વર્ગો, ઘન માટેનાં કોષ્ટકો તેમજ નિપુરની તકતીનાં કોષ્ટકો (2200 ઈ. પૂ.) તેનાં ઉદાહરણો છે. સૂર્ય, ચંદ્ર, તારાઓનું આકાશમાં પરિભ્રમણ, રાત્રિદિવસ અને ઋતુઓનું નિયમિત પુનરાવર્તન નીરખીને મનુષ્યે પંચાંગ(calendar)ની રચના કરી હશે. સૂર્યમંડળ અને બ્રહ્માંડમાં ગ્રહો અને તારાઓ વચ્ચેનાં મોટાં અંતરો પરથી પ્રયુત (10⁶), અર્બુદ (10⁸), પરાર્ધ (10¹⁷) (જેનો ઉલ્લેખ યજુર્વેદ ઈ. પૂ. 2000માં છે.) જેવી મોટી સંખ્યાઓ અંગેના ખ્યાલો અને ભૂમિતિના નિયમિત આકારોના ખ્યાલો મળ્યા હશે. ત્રિપદ એટલે કે ¾ નો ઋગ્વેદનો ઉલ્લેખ એ અપૂર્ણાંકનો સૌથી જૂનો ઉલ્લેખ છે. ઇજિપ્તના લોકો 1/42 જેવી અંશમાં એકડો હોય તેવી અપૂર્ણાંક સંખ્યાઓનો ઉપયોગ કરતા.

, n = 3, 5, 7……., 101 માટેની આવી રજૂઆતનો ઉલ્લેખ બ્રિટિશ મ્યુઝિયમમાં સચવાયેલા Rhind Papyrus(ઈ. પૂ. 1600)નાં વૃક્ષની છાલ પરનાં લખાણોમાં મળે છે. પ્રાચીન બૅબિલોનિયા, ઇજિપ્ત, ભારત અને ચીનના લોકોને પ્રાથમિક ભૂમિતિના ખ્યાલો જ્ઞાત હતા. મૉસ્કો મ્યુઝિયમ(Moscow papyrus – ઈ. પૂ. 1850)માં રખાયેલ વૃક્ષોની છાલ પરના લખાણમાંનો ચૌદમો કોયડો ચોરસના આધારવાળા પિરામિડના કદ શોધવા વિશેનો છે. ઈ. ટી. બેલ આ કોયડાને ‘ઇજિપ્તના મહાન પિરામિડ’ તરીકે ઓળખાવે છે. શૂન્યના સંકેત ‘0’નો પહેલો ઉલ્લેખ ભારતના મૌર્ય સમ્રાટ અશોકના જૂનાગઢ ખાતેના શિલાલેખ(ઈ. પૂ. 250)માં મળે છે. શૂન્યની જરૂરિયાતની સમજણ કેળવતાં અને તેની સંકલ્પના કરતાં ખાસો સમય લાગ્યો હશે. દશના આધાર પર રચાયેલી દશાંશપદ્ધતિ પ્રાચીન ભારતની દેન ગણાય છે, જે હવે આખા વિશ્વમાં સ્વીકારાઈ છે.

ઈ. પૂ. 600ના ગ્રીસનો પહેલો ખ્યાતનામ ગણિતશાસ્ત્રી મહાન થેલીઝ હતો. અર્ધવર્તુળ અંતર્ગત (inscribed) ખૂણો અને ત્રિકોણોમાં એકરૂપતાનો અભ્યાસ તેણે કર્યો હતો. પ્રાચીન બૅબિલોનિયા, ભારત અને ચીનના લોકોને ‘કાટખૂણ ત્રિકોણોમાં કર્ણનો વર્ગ કાટખૂણો બનાવતી બાકીની બે બાજુઓના વર્ગના સરવાળા બરાબર છે’ (પાઇથૅગોરસનું પ્રમેય)નું જ્ઞાન હતું. ઈ. પૂ. 540 આસપાસ ગ્રીસમાં પાયથાગોરાસ અને તેના શિષ્યોએ તેની પહેલી ભૌમિતિક સાબિતી આપી. ગણિતમાં તર્કબદ્ધ સાબિતી કેમ આપવી તે પાયથાગોરાસ-પરંપરા(Pythagorian school)એ વિશ્વને શીખવ્યું. આ ઉપરાંત આ વિદ્યાશ્રમે અંતરમાપન દ્વારા એક સુરેખા પર એકમ બાજુઓવાળા ચોરસના કર્ણની લંબાઈની રજૂઆત કરવાનો પ્રશ્ન ઊભો કર્યો અને આવી લંબાઈઓ માપ દર્શાવતી સંખ્યાઓને ન સમજી શકાય તેવી ‘અસંમેય’ (irrational) સંખ્યાઓ કહી. પ્રાચીન ગ્રીક વિદ્યાશ્રમોએ ગાણિતિક પરિણામોની તર્કબદ્ધ રજૂઆતની સિદ્ધિ હાંસલ કરી હતી. ઍલેક્ઝાન્ડ્રિયાના યુક્લિડ (ઈ. પૂ. 320) આવી એક પરંપરામાં તાલીમ પામ્યા હતા. તેમણે ‘ગણિતનાં મૂળતત્વો’ પુસ્તક લખ્યું હતું, ઍલેક્ઝાન્ડ્રિયાના ગણિતી થિયૉન અને બીજાઓએ સુધારેલી આવૃત્તિઓ પરથી તેના વિશે જાણવા મળ્યું છે. આ પુસ્તકમાં ગણીગાંઠી વ્યાખ્યાઓ અને ધારણાંઓથી શરૂઆત કરીને તાર્કિક રીતે એક પછી એક પરિણામો અને સિદ્ધાંતો તારવવામાં આવ્યાં છે. એ પુસ્તકના કુલ તેર ભાગ છે. મુખ્યત્વે બીજગણિત, ભૂમિતિ અને સંખ્યાગણિતનાં મૂળભૂત અને પ્રખ્યાત પરિણામોની ચર્ચા તેમાં છે. પાયથાગોરાસના પ્રમેયનું વ્યાપક સ્વરૂપ, આજની શાળામાં શીખવાતા ભૂમિતિનાં પરિણામો, ગુણોત્તર પ્રમાણનાં પરિણામો વગેરેનો પણ તેમાં સમાવેશ થાય છે. ગ્રીક ગણિતી આર્કિમીડીઝે (ઈ. પૂ. 250 આસપાસ) સમતલ અને વાંકીચૂકી સપાટીઓ પરની આકૃતિઓનાં ક્ષેત્રફળો અને સપાટીઓથી રચાતાં કદ શોધવા માટેનાં પરિણામો મેળવ્યાં હતાં. આ પરિણામોએ ઓગણીસસો વર્ષ પછી સંકલન-ગણિત (integral calculus) નામની ગણિતની શાખાને જન્મ આપ્યો હતો. તેના વખતમાં ગણિતની જાણીતી બધી જ શાખાઓમાં તેણે કોઈ ને કોઈ પ્રદાન કર્યું હતું.

પ્રાકૃતિક ઘટનાઓને સમજવાના પ્રયાસમાં ખગોળશાસ્ત્ર વિકસ્યું તેથી ગણિતને ઘણો લાભ થયો. વર્તુળમાં અંતર્ગત ખૂણાઓ, ચાપ, જ્યા તથા ત્રિકોણમિતીય રાશિઓ(ની ગણતરી કરી)ને સાંકળતાં કોષ્ટકો તૈયાર કરાયાં હતાં; દા.ત., પ્લીમ્પ્ટન અને ટૉલેમીનાં કોષ્ટકો. ઈ. પૂ. 230માં ગ્રીક ઍરિસ્ટાર્કસે (Aristarchus) લઘુકોણો a, b માટે   સમાન (equivalent) પરિણામનો ઉપયોગ કર્યો હતો; પરંતુ ઈ. સ.ની બીજી, ત્રીજી સદી પછી તેરસો વર્ષનો અંધારયુગ શરૂ થયો, જેમાં ગણિત ભારે મંથર ગતિએ આગળ વધ્યું. ગ્રીસ અને ભારતમાં ત્રિકોણમિતિ, બીજગણિત અને સંખ્યાગણિતનો સામાન્ય વિકાસ થયો. ગ્રીક ડાયફૅન્ટસે તેના ‘Arithmetica’માં ધન સંમેય સંખ્યા બે, ત્રણ કે ચાર પૂર્ણવર્ગોના સરવાળા રૂપે લખવા વગેરે પરિણામોની ચર્ચા કરી છે. ભારતમાં છઠ્ઠીથી આઠમી સદી દરમિયાન આર્યભટ્ટ સાઇનનો ઉપયોગ, ભાસ્કર પહેલો R sin (270^o + Φ) = – R sin (90 – Φ), Φ < 90^o વગેરે સૂત્રો, ત્રિકોણમિતિ તથા ax² + bx + c = 0ના ઉકેલની ચર્ચા જેવી બાબતો દ્વારા બીજગણિતનો સામાન્ય વિકાસ સાધી શક્યા હતા. ગ્રીક સંસ્કૃતિનાં વળતાં પાણી થતાં ગ્રીક ગણિતને આરબોએ – ખાસ કરીને બગદાદના ખલીફોના દરબારની વિદ્વત્-પરિષદે – જીવિત રાખ્યું હતું. ભારતીયો પાસેથી મેળવેલા અને પછીથી આરબ આંકડા પદ્ધતિ(arabic numerals)થી ઓળખાતા આંકડાઓની મદદથી મણકાયંત્ર સિવાય ગણિત કરવાની પદ્ધતિ આરબોએ વિકસાવી. પ્રાચીન અને મધ્યકાલીન યુગના સેતુરૂપ અલ્-ખ્વારીઝમી થઈ ગયો. જેણે સમીકરણ છોડવાની ગ્રીક અને ભારતીય પદ્ધતિઓ પોતાની કૃતિમાં સંક્ષેપમાં વર્ણવી છે. અલ્-ખ્વારીઝમીનાં પુસ્તકોનું અને બીજી આરબ કૃતિઓનું લૅટિનમાં ભાષાંતર કરવામાં આવ્યું. તેણે બારમી સદીમાં પશ્ચિમ યુરોપમાં ભારે રસ જાગ્રત કર્યો. અગિયારમી-બારમી સદી દરમિયાન ખોરાસાનનો કવિ ગણિતી ઉમર ખય્યામ – ઘનાત્મક સમીકરણનો ભૌમિતિક ઉકેલ, ભારતના ભાસ્કર બીજાએ – ‘લીલાવતી’ – સમાંતર અને ગુણોત્તર શ્રેણીઓ તથા πની લગભગ કિંમત, સોળમી સદી દરમિયાન ઇટાલિયન તાર્તાલ્યા અને કાર્ડન – વર્ગાત્મક સમીકરણના ઋણ તથા સંકર ઉકેલો અને ઘનાત્મક સમીકરણનો ભૌમિતિક બૈજિક ઉકેલ, ફેરારી – ચતુર્ઘાત સમીકરણનો ઉકેલ વગેરે સંશોધન દ્વારા ગણિત ગોકળગાયની ગતિએ વિકાસ પામ્યું. સોળમી સદી દરમિયાન ઇટાલિયન ગૅલિલિયો અને જર્મન કૅપ્લરની ખગોળશાસ્ત્રની ક્રાંતિકારી શોધોએ કલનગણિત નામની મહત્વની શાખાના ઉદભવ માટે જરૂરી ભૂમિકા તૈયાર કરી દીધી. ગૅલિલિયોએ ગતિશાસ્ત્ર અને દ્રવગતિશાસ્ત્રમાં સંશોધનો કર્યાં હતાં. સત્તરમી સદીમાં ગણિતની પ્રવૃત્તિઓનાં કેન્દ્રો ફ્રાન્સ અને બ્રિટન બન્યાં. ભૌતિકશાસ્ત્ર અને ખગોળશાસ્ત્રમાં ગાણિતિક પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ અને ગણતરીની પદ્ધતિઓનો વિકાસ થયો. જ્હૉન નેપિયરે (1550-1617) લઘુગણકની શોધ કરી જેથી ગણતરીની સુધારેલી રીતોએ પ્રાયોગિક રીતે મણકાયંત્ર પર સરસાઈ મેળવી. વિલિયમ આઉટરેડ(William Oughtred)ની સ્લાઇડ-રૂલની શોધ સાથે ઝડપી ગણતરીઓ શક્ય બની. સત્તરમી સદીમાં દેકાર્તે(Descartes)ની ભૌમિતિક પરિભાષા કલનશાસ્ત્ર માટે ન્યૂટનને સહાયક નીવડી.

પિયર દ ફર્મા(Pierre de Fermat, 1601-1665)એ વિકલનની પૂર્વકલ્પના કરી અને આધુનિક સંખ્યાગણિતનો પાયો નાખ્યો. ફ્રેંચ ગણિતી ફર્મા અને પાસ્કલે (1623-1662) સંભાવનાશાસ્ત્રના મૂળભૂત સિદ્ધાંતો આપ્યા. પાસ્કલે શાંક્વો(conic sections)ની ભૂમિતિમાં તેમના નામથી ઓળખાતું પ્રમેય આપ્યું. અંગ્રેજ ગણિતશાસ્ત્ર વૉલિસે (Wallis) ‘Arithmetica Infinitorum’ દ્વારા દેકાર્તે અને કાવાલ્યરી(Cavalieri)ની વિશ્લેષણની પદ્ધતિઓને મઠારી અને વિકસાવી.

ઇંગ્લિશ આઇઝેક બરો (1630-1677) અને આઇઝેક ન્યૂટને (1642-1727) વિકલનીય કલનગણિતનો વિકાસ કર્યો. સંકલન અને વિકલન એકબીજીથી ઊલટી પ્રક્રિયાઓ છે તેવું ભૌમિતિક અને બીજગણિતીય રીતે તેમણે સાબિત કર્યું. આ પરિણામ કલનગણિતના મૂળભૂત પ્રમેય તરીકે ઓળખાય છે. ન્યૂટને તેનાં પ્રખ્યાત પુસ્તકો ‘Principia’ અને ‘Optics’માં ગુરુત્વાકર્ષણ, યંત્રશાસ્ત્ર, ગતિશાસ્ત્ર અને દ્રવસ્થિતિશાસ્ત્ર વગેરેને લગતાં તેનાં સંશોધનોની ચર્ચા કરી છે અને અત્યંત સૂક્ષ્મ (infinitesimal) રાશિઓના કલનગણિતની પદ્ધતિનો પરિચય આપી બહોળો ઉપયોગ પણ તેમણે તેમાં કરી બતાવ્યો છે. અંગ્રેજ ગણિતશાસ્ત્રી જેમ્સ ગ્રેગરી(1638-1675)એ અભિસારી અને અપસારી શ્રેઢીઓનો ભેદ સ્પષ્ટ કરી વર્તુળ અને અતિવલયનાં ક્ષેત્રફળો અનંત અભિસારી શ્રેઢીના સ્વરૂપમાં મેળવ્યાં. જર્મન ગણિતી લાઇબ્નિત્સે (1646-1716) કલનગણિતના મૂળભૂત પ્રમેયની સ્વતંત્ર રીતે સાબિતી આપી. કલનગણિતમાં વપરાતા કેટલાક સંકેતો જેવા કે સંકલન માટે વપરાતો સંકેત ∫ પણ તેણે આપ્યો હતો. ગણતરીયંત્રોની શોધ પણ પાસ્કલ અને લાઇબ્નિત્સે સત્તરમી સદીમાં કરી હતી. આમ સત્તરમી સદીએ અઢારમી અને ઓગણીસમી સદીના ગણિતીઓ માટે સંશોધનનાં વિશાળ ક્ષેત્રો ખોલી દીધાં. અંગ્રેજ ગણિતી બ્રુક ટેલરે 1715માં અને સ્કૉટ ગણિતી કૉલિન મક્લૉરિને (Colin Maclaurin) 1742માં ગમે તેટલી વખત વિકલિત થઈ શકતાં વિધેયોને અભિસારી શ્રેઢી a₀ + a₁x + a₂x² + …….. + a_nxⁿ + …..ના સ્વરૂપમાં લખવા માટેનાં ટેલર અને મક્લૉરિનના પ્રમેયના નામે જાણીતાં પ્રમેયો મેળવ્યાં. સ્વિસ ગણિતી ઑઇલરે (1707-1783) તત્કાલીન નવાં સંશોધનોને સંઘટિત કરી વિકલનીય કલનગણિત (differential calculus), ગણિતનું વિશ્લેષણ (mathematical analysis), બીજગણિત તથા ભૂમિતિ ઉપર સુંદર પુસ્તકો લખ્યાં. તેણે e^ix = cos x + i sin x સૂત્ર પણ આપ્યું.

ફ્રેંચ ગણિતી દ આલાંબરે (D’ Alembert) 1745 આસપાસ પ્રવાહી, હવા અને કંપતા તારમાં ગતિ અંગેનાં સંશોધનો કરીને ત્રણેય બાબતોમાં લાગુ પડતા બીજી કક્ષાના ખંડશ: વિકલનીય સમીકરણ(partial differential equation)નો ઉકેલ મેળવ્યો. અઢારમી સદીના અંત અને ઓગણીસમી સદીના આરંભમાં પૅરિસ ગણિતની દુનિયાની રાજધાની ગણાતું. એ જમાનામાં લાગ્રાંઝ (Lagrange), લાપ્લાસ, લઝાંદ્ર (Legendre), ફૂરિયે અને કોશી (Cauchy) જેવા પ્રખર ગણિતશાસ્ત્રીઓ થયા. પ્રત્યેકે ગણિત ઉપરાંત ભૌતિકશાસ્ત્રમાં પણ અવનવાં પ્રદાનો કર્યાં. 1810 આસપાસ ફ્રેંચ ગણિતી ફૂરિયેએ [-π, π] પર વ્યાખ્યાયિત કોઈ પણ વિધેયને

ના સ્વરૂપમાં લખી શકાય તેવી રજૂઆત કરી, જેને જર્મન ગણિતી ડિરિક્લે(Dirichlet)એ વ્યવસ્થિત કર્યું. આ પરિણામ વીજચુંબકત્વ જેવી શાખાઓ માટે ખૂબ ઉપયોગી સાબિત થયું. શ્રેઢીઓનો અભિસાર, વિધેય, લક્ષ, વિકલન, સંકલન જેવા અભિનવ અને બહુ વપરાતા ખ્યાલોને ફ્રેંચ ગણિતી કોશી અને જર્મન ગણિતી વાયરસ્ટ્રાસે (Weierstrass) સુસ્પષ્ટ કર્યા અને તેને લગતાં પરિણામોને વિશેષ તર્કબદ્ધ કર્યાં. કોશીએ લક્ષનું અધિકૃત શાસ્ત્ર આપ્યું તથા સાતત્ય, વિકલન અને (નિયત) સંકલન વગેરેની વ્યાખ્યા લક્ષનો ઉપયોગ કરીને આપી. વાયરસ્ટ્રાસે વાસ્તવિક સંખ્યાસંહતિના તર્કબદ્ધ વિકાસ અને પછી તેના પર આધારિત લક્ષ, સાતત્ય, વિકલન વગેરેના વિશ્લેષણ કરવા પર ભાર મૂક્યો. ડેડકિન્ડ (Dedekind, 1831-1916), કૅન્ટૉર (1845-1918) અને પેઆનો(Peano, 1858-1932)એ આ દિશામાં કામ કર્યું. તેમણે પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ 1, 2, 3…..ને આધારરૂપ બનાવી તાર્કિક રીતે માત્ર વ્યાખ્યાઓ આપીને વાસ્તવિક સંખ્યા સંહતિ (real number system) વિકસાવી. કોશીએ  = ƒ(x, y) પ્રકારના સમીકરણના ઉકેલના અસ્તિત્વની સાબિતી ઉકેલને અનંત શ્રેઢીના સ્વરૂપમાં દર્શાવીને આપી. ફ્રેંચ ગણિતી પ્વાંકારે(Poincare)એ 1892-99 દરમિયાન વિકલનીય સમીકરણના વ્યાપક ઉકેલ માટે પ્રયત્ન કર્યા. બીજી કક્ષાનાં ખંડશ: વિકલનીય સમીકરણોના ઉકેલો અંગેના સંશોધનથી potential theoryની શરૂઆત થઈ તેમાંથી આગળ જતાં લબેગે (Lebesgue) 1912માં મેઝર થિયરી અંગેનું સંશોધન કર્યું. વાયરસ્ટ્રાસના નિયત સંકલનને મહત્તમ કે લઘુતમ બનાવતા વિચરણકલન (calculus of variations) અંગેના સંશોધનથી ઉપર્યુક્ત સિદ્ધાંતને મજબૂત આધાર મળ્યો. ઓગણીસમી સદીમાં ગણિતનો ભૌતિકશાસ્ત્ર સાથેનો સંબંધ સતત ચાલુ રહ્યો. સર જ્યૉર્જ સ્ટૉક્સ અને જે. સી. મૅક્સવેલે વિદ્યુતશાસ્ત્ર, દ્રવગતિશાસ્ત્ર અને વીજચુંબકત્વ(electromagnetism)નાં ત્રિપરિમાણી (three dimensional) પરિણામોને વ્યક્ત કરવા માટે સદિશ વિશ્લેષણ(vector analysis)ને વિકસાવ્યું. ભૌતિકશાસ્ત્રમાં વિકલન સમીકરણોના ઉકેલમાં વપરાતાં ખાસ પ્રકારનાં વિધેય તરફ વિશેષ લક્ષ્ય આપ્યું. ઓગણીસમી સદીમાં શુદ્ધ ગણિત(pure mathematics)માં પણ ભારે પ્રગતિ થઈ. ઓગણીસમી સદીમાં ગણિત પરંપરાગત પૂર્વગ્રહોમાંથી મુક્ત થઈ રહ્યું હતું. યુક્લિડીય ભૂમિતિની સમાંતર રેખાઓની પૂર્વધારણાઓનો અસ્વીકાર કરીને બીજી ભૂમિતિઓની રચના કરવામાં આવી, જે યુક્લિડીયેતર ભૂમિતિ તરીકે ઓળખાય છે. રશિયન ગણિતી લૉબશેવ્સ્કીની ભૂમિતિ અને જર્મન ગણિતી રીમનની ભૂમિતિ સ્વીકૃતિ પામી, વીસમી સદીમાં રીમનભૂમિતિને ભૌતિકશાસ્ત્રમાં આઇન્સ્ટાઇનના સાપેક્ષવાદમાં સ્થાન મળ્યું. આધુનિક બીજગણિતના વિકાસમાં હેમિલ્ટન અને આર્થર કેલીનો અગ્રગણ્ય ફાળો છે. ફ્રેંચ ગણિતજ્ઞો કોશી અને ગાલ્વા(Galois)ના પંચઘાત સમીકરણના ઉકેલની શક્યાશક્યતા અંગેનાં સંશોધનો નોંધપાત્ર છે. જર્મન ગણિતી ગાઉસે વિશિષ્ટ ગુણોત્તર અભિસારી શ્રેઢીની તેમજ અવિભાજ્ય પૂર્ણાંકોના પ્રખ્યાત પ્રાઇમ નંબર થિયરમની શોધ કરી હતી. કૅન્ટૉરે ગણોના સિદ્ધાંતોની રચના કરી અને કૅન્ટૉર તથા બૉલ્ટ્ઝાનો(Bolzano)એ અનંત ગણોના ગુણધર્મો તરફ ધ્યાન દોર્યું. ઓગણીસમી સદીના મધ્ય ભાગમાં સંજ્ઞાત્મક ગાણિતિક તર્કશાસ્ત્ર(symbolic logic)નો પાયો નંખાયો. ગણિતનાં વિધાનો અને ગાણિતિક દલીલોને સંજ્ઞાત્મક તર્કશાસ્ત્રના બીજગણિત દ્વારા કેવી રીતે દર્શાવી શકાય તે જ્યૉર્જ બૂલે (1815-1864) બૂલિયન બીજગણિત દ્વારા દર્શાવ્યું. ફ્રેગ (1848-1925) અને પેઆનોએ સંજ્ઞાત્મક તર્કશાસ્ત્રને ક્રમશ: વિકસાવ્યું. થોડીક પૂર્વધારણાઓ લઈ સમગ્ર ગણિતનું પરિશુદ્ધ (rigorous) સંજ્ઞાત્મક તર્કશાસ્ત્ર દ્વારા નિગમન (deduction) થઈ શકે તેવો એક નવો મત પ્રવર્તવા લાગ્યો. સંજ્ઞાત્મક તર્કશાસ્ત્રની આ રીતોથી ગણિતની કેટલીક વ્યાખ્યાઓ અને ખ્યાલોમાં વિસંગતતા અને વિરોધાભાસ જોવા મળશે એવો બર્ટ્રાન્ડ રસેલે અંગુલિનિર્દેશ કર્યો, જે ગણ સિદ્ધાંતોમાં રસેલના વિરોધાભાસ (Russell’s antimony) તરીકે ઓળખાય છે. બર્ટ્રાન્ડ રસેલ અને એ. વ્હાઇટહેડે ‘પ્રિન્સિપિયા મૅથેમેટિકા’ રચ્યું. 1872માં ફેલિક્સ ક્લાઇને ભૂમિતિની નવી વ્યાખ્યા આપી. તે પરથી મૉરિસ ફ્રેશે (Maurice Frechet) 1906માં અરૂપ ભૌમિતિક અવકાશોનો અભ્યાસ શરૂ કર્યો અને તેના પરિણામે વ્યાપક ભૂમિતિઓ અસ્તિત્વમાં આવી. સંસ્થિતિવિજ્ઞાન (topology) નામની ગણિતની નવી જ શાખાનો વિકાસ થયો.

અવ્યાખ્યાયિત પદો તથા તેમના સંબંધો અંગેની કેટલીક પૂર્વધારણાઓથી શરૂ કરીને પ્રમેયો, નવી વ્યાખ્યાઓ અને સિદ્ધાંતો તારવવાની પદ્ધતિને સ્વત:સિદ્ધ સૂત્રમય પદ્ધતિ (axiomatic method) કહે છે. એ પદ્ધતિ પ્રાચીન ગ્રીકો તરફથી વારસામાં મળેલી છે. ઓગણીસમી સદીનાં સંશોધનોએ એ પદ્ધતિને વધારે ધારદાર, તલસ્પર્શી અને તાજી કરી. ગ્રીકોની મૂર્તરાશિઓ માટે વપરાયેલ આ પદ્ધતિએ ઔપચારિક નિયમોનું સ્વરૂપ ધારણ કર્યું.

જર્મન ગણિતી હિલ્બર્ટે આ પદ્ધતિથી 1899માં ‘Grundlagen der Geometrie’ પુસ્તક દ્વારા યુક્લિડીય ભૂમિતિનું પુનરાલેખન કર્યું. પ્રમાણભૂત પૂર્વધારણાઓ, સ્વતંત્રતા, સુસંગતતા અને એક જ રીતે મળતાં બે અર્થઘટનોમાં સાંગોપાંગ સમાનતા હોવી વગેરે ગુણધર્મો આ પદ્ધતિમાં જરૂરી છે.

1931માં ઑસ્ટ્રિયન ગણિતી ગડલે (Gödel) સાબિત કર્યું કે પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓની કોઈ પણ સુસંગત પૂર્વધારણાઓના સમૂહ (ગણ) માટે હંમેશાં એક વિધાન એવું મળી શકે કે જે પૂર્વધારણાઓને આધારે સાચું છે કે ખોટું તે સાબિત ન કરી શકાય. આ અર્થમાં તે અપૂર્ણ છે. વળી તેણે એમ પણ સાબિત કર્યું કે આ પૂર્વધારણાઓની સુસંગતતાની સાબિતી તેના ગણની વ્યવસ્થામાં જ રહીને આપી ન શકાય. આમ તેણે હિલ્બર્ટે સૂચવેલી પદ્ધતિનું પુનર્મૂલ્યાંકન કરવાની જરૂરિયાત તરફ નિર્દેશ કર્યો. 1929માં સ્કોલમે અને 1945માં ગુડસ્ટીને પૂર્વધારણામુક્ત તાર્કિક પદ્ધતિનો પ્રથમ વાર પ્રયોગ કર્યો.

કાર્લ પિયર્સને (1857-1936) આંકડાશાસ્ત્રમાં અગ્રેસર-(pioneer)નું કામ કર્યું છે. કાર્યપ્રણાલી સંશોધન (operation research) તેણે નવું વિકસાવેલું ક્ષેત્ર છે, જેનો વિશેષત: અર્થશાસ્ત્ર અને સંચાલન(management)માં વિનિયોગ થયેલો છે. ઘણી સમસ્યાઓના ઉકેલ તેનાથી મળી શકે છે. 1940 પછી જ્હૉન ફૉન નૉઇમને સંશોધિત સિદ્ધાંત પર રચાયેલા અને તકનીકી વિદ્યાના આધારે વિકાસ પામેલા કમ્પ્યૂટરે પણ ગણિતના વિકાસમાં ફાળો આપ્યો છે. 1976માં ઇલિનૉઇ યુનિવર્સિટીના હાકેન અને આપલે ચાર રંગ કોયડા(four-colour problem)નો કમ્પ્યૂટર-આધારિત ઉકેલ આપ્યો છે. 1960માં અબ્રાહમ રૉબિન્સને ε, δને સ્થાને શૂન્યવત્ રાશિઓ(infinitesimals)નું સઘન પ્રયોજન કરીને કલનગણિતની સરળ પુન: રજૂઆત કરી છે.

સાડાત્રણથી ચાર હજાર વર્ષના સમયગાળા દરમિયાન ગણિતના ગુણાત્મક સ્વરૂપમાં વિકાસના ત્રણ તબક્કા આવ્યા છે. પ્રાચીન ગણિત માત્ર નિરીક્ષણ પર આધારિત (empirical) હતું. બીજા તબક્કામાં હકીકતો પરથી સિદ્ધાંતો તારવવાનું (deductive) સ્વરૂપ હતું, જ્યારે આજનું ગણિત પૂર્વધારણાઓ પરથી સિદ્ધાંતો તારવવા(hypotheti-codeductive)ના સ્વરૂપનું છે. દરેક મહત્વના નવા સંશોધન પછી સંબંધિત ગણિતને મઠારી વારંવાર વ્યવસ્થિત પાયા ઉપર મૂકવાની તથા પાઠ્યપુસ્તકો લખવાની જરૂરિયાત ઊભી થાય છે. યુક્લિડ, ઑઇલર, હિલ્બર્ટ, હાર્ડી વગેરેએ આ દિશામાં કામ કર્યું છે. છેલ્લાં પચાસ વર્ષ દરમિયાન ગણિતની સ્વતંત્ર શાખાઓ વચ્ચેની જુદાપણાની સંધિરેખાઓ ભૂંસાતી ચાલી છે ત્યારે 1930 પછીના ગણિતશાસ્ત્રીઓએ સર્વગણિતજ્ઞ (polymath) થવું રહ્યું. ગૅરટ બકૉર્ફના lattice theory અંગેના અભ્યાસ પછી બીજગણિત યુનિવર્સલ બીજગણિતમાં પરિવર્તન પામ્યું છે. ભૂમિતિમાં બૈજિક ખ્યાલોનો ઉપયોગ કરીને એમી નૂધરે અને અન્ય ગણિતીઓએ ભૂમિતિમાં બૈજિક પરિવર્તન આણ્યું છે. લૉરેન્ટ શ્વાટ્ર્ઝે, 1950ના ગાળામાં વિસ્તૃત વિધેયો(generalised functions distributions)નાં સંશોધનોએ ગણિતીય વિશ્લેષણ(analysis)ની ક્ષિતિજોનો વિસ્તાર વધાર્યો છે અને ‘ઉકેલ્ય’ વિકલનીય સમીકરણોના શાહ્ાને વિશાળ ફલક પર મૂકી દીધું છે. આમ ગણિતના વણઉકેલ્યા કોયડાઓ આજ પણ ગણિતના વિકાસ માટે અનેક નવી દિશાઓ સૂચવી રહ્યા છે.

પીયૂષકુમાર જ. ભટ્ટ

ગણિત  – ભારતમાં

ભારતમાં ગણિતના વિકાસના બે મુખ્ય તબક્કા છે, એક વૈદિકકાળથી લગભગ ઈ. સ.ની બારમી સદી સુધીનો અને બીજો વીસમી સદીનો. આ બેની વચ્ચે થોડા સમય માટે કેરળમાં સત્તરમી તથા અઢારમી સદીમાં ગણિતનું ખેડાણ થયું હતું.

પ્રાચીન સમયના ભારતના ગણિતશાસ્ત્રીઓએ ગણિતનાં કેટલાંક અતિ મહત્ત્વનાં પરિણામો (દા. ત., પાયથાગોરાસનું પ્રમેય, દ્વિઘાત સમીકરણનો વ્યાપક ઉકેલ, ક્રમચય, સંચય વગેરે) મેળવ્યાં હતાં, પણ આ બધી સિદ્ધિઓનો ત્યારપછીના ગણિતના વિકાસ પર ખાસ પ્રભાવ પડી શક્યો નહિ; કારણ કે આ સિદ્ધિઓની માહિતી ભારતની બહાર ગઈ નહિ અને ભારતમાં યવનોનાં આક્રમણ પછીની અંધાધૂંધીમાં ગણિત અને વિજ્ઞાનની પ્રગતિ રૂંધાઈ ગઈ. આમ છતાં પ્રાચીન ભારતીય ગણિતની બે સિદ્ધિઓએ સમગ્ર ગણિતના વિકાસ પર વિશ્ર્વવ્યાપી પ્રભાવ પાડ્યો છે. એક સિદ્ધિ તે શૂન્ય માટેના સંકેતનો ઉપયોગ અને દશાંકી પદ્ધતિ અને બીજી સિદ્ધિ તે ત્રિકોણમિતિ (અને તેમાંયે સાઇન વિધેયની વ્યાખ્યા).

દસના પાયા પર સંખ્યાઓની માંડણી કરવાનાં મૂળ છેક યજુર્વેદની તૈત્તિરીય સંહિતામાં મળે છે; જેમાં દસના જુદા જુદા ઘાત માટેના શબ્દો એક, દસ, શત, સહસ્ર, અયુત (= 10⁴), નિયુત, પ્રયુત, અર્બુદ, ન્યર્બુદ, સમુદ્ર, મધ્ય, અંત અને પરાર્ધ (10¹²) જેવા મળે છે. ત્યારપછી તૈત્તિરીય સંહિતામાં સાત વધુ પદો (અંતિમ પદ : લોક = 10¹⁹) મળે છે.

ઈ. પૂ. લગભગ 500ની સાલમાં પાણિનિને શૂન્યનો ખ્યાલ હતો એમ માનવા માટેનાં કારણો મળે છે, પણ શૂન્ય માટેનો સંકેત કદાચ સૌપ્રથમ લગભગ ઈ. પૂ. 200માં પિંગળે રૂપશૂન્યમ્માં વાપર્યો હતો. સંખ્યાઓ લખવાની પદ્ધતિ ભારતમાં ઈ. સ.ની શરૂઆતમાં ઉપયોગમાં આવી હતી. આ પદ્ધતિ ખરેખર કઈ સદીમાં અને કોણે શોધી તે કોઈ જાણતું નથી, પણ ઈ. સ.ની પાંચમી-છઠ્ઠી સદી સુધીમાં ભારતમાં તેનો વ્યાપક ઉપયોગ થતો હતો. આ પદ્ધતિનું જ્ઞાન બારમી સદી સુધીમાં આરબ દેશોમાં પહોંચ્યું અને આરબો દ્વારા એ જ્ઞાન પંદરમી સદીમાં યુરોપમાં પહોંચ્યું. પૂર્વગ્રહોને કારણે એ પદ્ધતિ યુરોપમાં તરત સ્વીકારાઈ નહિ, પણ દશાંકી પદ્ધતિ (અને સ્થાનમૂલ્યનો સિદ્ધાંત) ગણતરીમાં એટલી બધી સરળતા આણે છે કે સત્તરમી સદી સુધીમાં તો સમગ્ર વિશ્વમાં એ અમલમાં આવી ગઈ. આ પદ્ધતિએ ગણિતના અભ્યાસને એટલો બધો સરળ બનાવી દીધો કે ઘણા ગણિતશાસ્ત્રીઓનું માનવું છે કે આ પદ્ધતિ ન શોધાઈ હોત તો ગણિતની પ્રગતિ ઓછામાં ઓછાં બસો વર્ષ પાછળ ઠેલાઈ ગઈ હોત.

ભારતમાં ત્રિકોણમિતિનો વિકાસ મુખ્યત્વે ખગોલીય ગણતરીઓ સૂક્ષ્મ સ્વરૂપે કરી શકાય તે માટે થયો હતો. વર્ષ દરમિયાન આકાશમાં સૂર્યનો ગતિપથ વર્તુળ લાગે છે અને સૂર્યને આ વર્તુળ પર એક પ્રદક્ષિણા પૂરી કરતાં લગભગ 360 દિવસ લાગે છે તે પરથી વર્તુળના 360 ભાગ પાડવાનો ખ્યાલ ઊભો થયો હતો. વર્તુળના 360 ભાગ હોવાની વાત ઋગ્વેદમાં આવે છે. ત્યારપછીના સમયમાં આ ગણતરી નીચેના સ્વરૂપે વધારે સૂક્ષ્મ કરવામાં આવી હતી :

1 વર્તુળ (ચક્ર) = 12 રાશિઓ = 360 અંશ = 21600 કલા = 360 x 60² વિકલા = 360 x 60³ તત્પરા.

ધારો કે એકમવર્તુળની કોઈ ચાપ AP (= s) લઈએ. ચાપને માપવાની મુશ્કેલી હોવાથી તેની સાથે સંલગ્ન કોઈ રેખાખંડ લેવાથી સરળતા થાય એવો ખ્યાલ ગ્રીક તેમજ ભારતીય ગણિતશાસ્ત્રીઓને આવ્યો હતો. ગ્રીક ગણિતશાસ્ત્રીઓએ જીવા PAને જ s સાથે સંલગ્ન રેખાખંડ ગણ્યો અને આ તેમનું મુખ્ય ત્રિકોણમિતીય વિધેય થયું; પણ આ વિધેય સરળ ન હોવાથી ગ્રીકોની ત્રિકોણમિતિની પ્રગતિ રૂંધાઈ ગઈ. બીજી તરફ ભારતના ગણિતજ્ઞોએ પહેલી ર્દષ્ટિએ વિચિત્ર લાગતી પણ ગણતરીમાં અત્યંત સરળતા આણતી પસંદગી કરી. તેમણે sના મુખ્ય ત્રિકોણમિતીય વિધેય તરીકે રેખાખંડ PB લીધો. (જુઓ આકૃતિ 16). PB તે જીવા PCનો અડધો ભાગ હોવાથી શરૂઆતમાં PBને sની અર્ધજીવા (કે અર્ધજ્યા) અને પછીથી ટૂંકમાં sની જીવા કહેવાનું રાખ્યું. આ ‘જીવા’ શબ્દ અરબસ્તાન પહોંચતાં પહોંચતાં ‘જીબા’ કે ‘જેબ’ થઈ ગયો અને જેબનો અર્થ ગજવું કે પોલાણ છે અને તે અર્થનો લૅટિન શબ્દ સાઇનસ છે તેથી આપણો જીવા યુરોપમાં પહોંચતાં પહોંચતાં ‘સાઇન’ થઈ ગયો !

ગણિતના અભ્યાસીઓ જોઈ શકશે કે PB = sin s છે, જ્યારે PA = 2 sin  છે.

કાટખૂણાથી મોટી ચાપ માટેની સાઇન શોધવાનાં સૂત્રો ભાસ્કરાચાર્યે (પહેલાએ) લગભગ ઈ. સ. 600માં આપ્યાં. ભાસ્કરાચાર્યે (બીજાએ) (ઈ. સ. 1150) sin (A + B) અને sin (A – B)નાં સૂત્રો આપ્યાં હતાં. આ સૂત્રોની સાબિતી સોળમી સદીની એક મલયાળમ કૃતિ યુક્તિભાસમાં જોવા મળે છે.

ઈ. સ. 628માં બ્રહ્મગુપ્તે કેટલાક ખૂણાની સાઇન યાદ રાખવા માટે એક સુંદર નિયમ આપ્યો હતો. તેને આધુનિક ભાષામાં ટૂંકમાં આમ મૂકી શકાય :

અંતર અને ઊંચાઈ શોધવાના કોયડા ભારતના અનેક પ્રાચીન ગ્રંથો(લીલાવતી, આર્યભટીય વગેરે)માં જોવા મળે છે.

sin x, cos x વગેરેની શ્રેઢીઓ અંગેનું કાર્ય યુરોપમાં થયું તે પહેલાં ભારતમાં કેરળના ગણિતશાસ્ત્રીઓએ કર્યું હતું.

દશાંકી પદ્ધતિ અને ત્રિકોણમિતિ પછી ભારતનું સૌથી મહત્વનું પ્રદાન બીજગણિતમાં હતું.

જેમના ઉકેલમાં દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલવાં પડે તેવા કોયડા ઈ. પૂ. આશરે 500માં રચાયેલાં ‘શુલ્બસૂત્રો’માં જોવા મળે છે. બ્રહ્મગુપ્તે (ઈ. સ. 628) સમીકરણ ax² + bx = cનું બીજ શોધવા માટેનો વ્યાપક નિયમ આપ્યો, પણ ત્યારપછી લગભગ સો વર્ષે શ્રીધરે આપેલો નીચેનો નિયમ વધુ લોકપ્રિય નીવડ્યો :

चतुराहतवर्गसमैः रूपैः पक्षद्वयं गुणयेत् ।

अव्यक्तवर्गरूपैर्युक्तौ पक्षौ ततो मूलम् ।।

એટલે કે સમીકરણ(ax²+ bx = c)ના બંને પક્ષોને 4a વડે ગુણવા જોઈએ અને બંને બાજુ b² ઉમેરવા જોઈએ; અને પછી વર્ગમૂળ લેવાં જોઈએ. આમ કરવાથી

4a²x² + 4abx + b² = 4ac + b²

અને (2ax + b)² = 4ac + b² મળે, જેમાંથી વર્ગમૂળ લેતાં xનું મૂલ્ય મળશે. વ્યાપક દ્વિઘાત સમીકરણનો ઉકેલ સૌપ્રથમ ભારતમાંથી જ અપાયો હતો.

ક્રમચય અને સંચય વિશે ભારતના જૈન ગણિતશાસ્ત્રીઓએ ઘણું કામ કર્યું હતું. લગભગ ઈ. પૂ. 300ના તેમના સાહિત્યમાં તથા ભગવતીસૂત્રમાં આ કામ જોવા મળે છે. લગભગ ઈ. પૂ. 200ના પિંગળના છંદ-સૂત્રમાં પણ આ વિષયનો ઉલ્લેખ છે. કાવ્યમાં દરેક અક્ષર કાં તો ગુરુ (-) હોય ને કાં તો લઘુ () હોય. લઘુની એક માત્રા અને દીર્ઘની બે માત્રા હોય છે. ત્રણ અક્ષર માટે જુદી જુદી શક્યતાઓ , – , – , -, – – , – -, – -, – – – છે. આ શક્યતાઓની કુલ સંખ્યા 8 = 2³ છે. આ રીતે ચાર અક્ષરો માટે શક્યતાઓની સંખ્યા 2⁴ = 16 થશે વગેરે. દસમી સદીમાં હલાયુધના મેરુપ્રસ્તાર તથા સૂચિપ્રસ્તારમાં n અને r માટેનાં વિવિધ મૂલ્યો માટે nC_rનાં મૂલ્યો આપેલાં છે. ચૌદમી સદીમાં નારાયણ પંડિતે આંકડા પરની જુદી જુદી શરતોને આધીન રહીને અમુક પ્રકારની કેટલી સંખ્યાઓ મળે તેની ચર્ચા કરી હતી.

શ્રેણીઓ અને શ્રેઢીઓના વિષયમાં પણ પ્રાચીન ભારતમાં મહત્વનાં પરિણામો જાણીતાં હતાં. લગભગ ઈ. પૂ. 400માં રચાયેલ સંસ્કૃત ગ્રંથ બૃહદદેવતામાં

2 + 3 + 4 + … + 1000 = 500499

એ પરિણામ દેખાય છે. ભદ્રબાહુના જૈન ગ્રંથ કલ્પસૂત્ર(લગભગ ઈ. પૂ. 300)માં 1 + 2 + 3 + … + 8192 = 16383 એ પરિણામ જોવા મળે છે. આ વિષયનો એક જૈન ગ્રંથ ‘બૃહદદેવતા પરિકર્મ’ અપ્રાપ્ય હોવાથી તેમાં જૈન ગણિતજ્ઞોએ કેટલી પ્રગતિ કરી હશે તે કહેવું મુશ્કેલ છે. પ્રથમ આર્યભટ્ટે પ્રથમ n પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના સરવાળા તેમના વર્ગો તથા ઘનોના સરવાળા માટેનાં સૂત્રો આપ્યાં હતાં. આઠમી સદીમાં શ્રીધરે જે શ્રેણીનાં પદો સમાંતર શ્રેણીનાં પદોના વર્ગ કે ઘન હોય તેના સરવાળાનાં સૂત્રો આપ્યાં હતાં.

શ્રેણી 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …..જેમાં પહેલાં બે પદો 1, 1 છે અને ત્યારપછીનું દરેક પદ તેનાથી આગળ આવતાં બે પદોના સરવાળા જેટલું છે, તેને ઇટાલિયન ગણિતશાસ્ત્રી ફિબૉનાકી (1170-1250) પરથી ફિબૉનાકી શ્રેણી કહે છે; પરંતુ ફિબૉનાકીની પહેલાં સેંકડો વર્ષ અગાઉ છંદ:શાસ્ત્રના સંદર્ભમાં એ શ્રેણી ભારતમાં જાણીતી હતી. આપણે ઉપર જોઈ ગયા તેમ છંદમાં દરેક અક્ષરને લઘુ અથવા ગુરુ ગણાય છે. લઘુની 1 અને ગુરુની 2 માત્રા ગણીએ તો આપેલ સંખ્યા n માટે n માત્રાવાળા કેટલા જુદા જુદા છંદ હોય એવો પ્રશ્ન પૂછી શકાય. nનાં 5 સુધીનાં મૂલ્યો માટે નીચેના કોષ્ટકથી આ પ્રશ્નનો જવાબ મળશે :

જુઓ કે છંદની સંખ્યાની શ્રેણી એ ફિબૉનાકી શ્રેણી જ થાય છે. ઈ. પૂ. 200માં રચાયેલ પિંગળશાસ્ત્રમાં આ સંખ્યાઓની જાણકારીનો આભાસ મળે છે. લગભગ ઈ. સ. 600થી 800 સુધીમાં થઈ ગયેલા વિરહંકે, ઈ. સ. 1135 પહેલાં ગોપાલે અને લગભગ ઈ. સ. 1150માં હેમચંદ્રે આ સંખ્યાઓ અને શ્રેણીની રચનાના નિયમનો સ્પષ્ટ ઉલ્લેખ કર્યો છે.

ભૂમિતિમાં પણ ભારતની સિદ્ધિઓ મહત્વની હતી, પણ ગ્રીકોના જેટલો વ્યવસ્થિત અને પૂર્વધારણાયુક્ત તાર્કિક અભ્યાસ ભારતમાં થયો ન હતો. પાયથાગોરાસથી સેંકડો વર્ષ પહેલાં ભારતમાં બૌધાયને પાયથાગોરાસના પ્રમેય તરીકે ઓળખાતા પ્રમેયની શોધ કરી હતી. ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળ માટેના જાણીતા સૂત્ર ની શોધ તો કદાચ આર્કિમીડીઝે કરી હતી – જોકે તે ઓળખાય છે હિરાનના સૂત્ર તરીકે, પણ a, b, c, d બાજુઓ અને અર્ધપરિમિતિ sવાળા ચક્રીય ચતુષ્કોણના ક્ષેત્રફળ માટેનું સૂત્ર  ભારતમાં બ્રહ્મગુપ્તે શોધ્યું હતું (ઈ. સ. 628). જુઓ કે d = 0 મૂકવાથી આમાંથી હિરાનનું સૂત્ર મળે છે.

વીસમી સદીના પ્રથમ અને સૌથી વધુ મેધાવી ભારતીય ગણિતશાસ્ત્રી શ્રીનિવાસ રામાનુજન્ હતા. કેવળ સાડા બત્રીસ વર્ષના આયુષ્યમાં (1887-1920), રામાનુજને ગરીબી તથા જીવલેણ બીમારી સામે સંઘર્ષ કરીને તથા અન્ય અનેક કષ્ટો વેઠીને પણ સંખ્યાગણિત, પરંપરિત અપૂર્ણાંકો અને મૉડ્યુલર વિધેયોનાં ક્ષેત્રોમાં ચિરંજીવ પ્રદાન કર્યું. તેના ઉદાહરણથી અનેક ભારતીય યુવાનો ગણિત પ્રત્યે આકર્ષાયા અને ભારતને વૈદ્યનાથસ્વામી, એસ. એસ. પિલ્લાઈ, વિજયરાઘવન્, હંસરાજ ગુપ્તા, સર્વદમન ચાવલા, બી. એન. પ્રસાદ, પી. એલ., ભટનાગર, કે. જી. રામનાથન્, ચંદ્રશેખરન્ વગેરે ગણિતજ્ઞો મળ્યા.

હાલ ભારતમાં ગણિતનું ઉત્તમ કક્ષાનું સંશોધન આઇ.આઇ.ટી. જેવી વિશિષ્ટ સંસ્થાઓ અને યુનિવર્સિટીઓમાં ચાલે છે. ગણિતસંશોધન માટેની આગળ પડતી સંસ્થાઓમાં તાતા ઇન્સ્ટિટ્યૂટ ઑવ્ ફન્ડામેન્ટલ રિસર્ચ (મુંબઈ), ઇન્સ્ટિટ્યૂટ ફૉર મૅથેમૅટિકલ સાયન્સીઝ (ચેન્નાઈ), હરિશ્ર્ચંદ્ર રિસર્ચ ઇન્સ્ટિટ્યૂટ (અલ્લાહાબાદ), ઇન્ડિયન ઇન્સ્ટિટ્યૂટ ઑવ્ સાયન્સ (બેંગલોર – હવે બેંગાલૂરુ) તથા કોલકાતા, દિલ્હી અને બેંગાલૂરુ ખાતેની ઇન્ડિયન સ્ટૅટિસ્ટિકલ ઇન્સ્ટિટ્યૂટને ગણાવી શકાય.

ભારતના ગણિતજ્ઞોનું મંડળ ઇન્ડિયન મૅથેમૅટિકલ સોસાયટી 1907માં સ્થપાયું હતું અને તે પોતાની પરિષદો, સામયિક પ્રકાશનો અને અન્ય પ્રવૃત્તિઓ દ્વારા ભારતમાં ગણિતના સંશોધનને પ્રોત્સાહન આપી રહ્યું છે. ભારત સરકાર દ્વારા 1983માં સ્થપાયેલ નૅશનલ બોર્ડ ફૉર હાયર મૅથેમૅટિક્સ પણ અનેક પ્રવૃત્તિઓ દ્વારા ગણિતના અભ્યાસ અને સંશોધનને વેગ આપવાનો પ્રયત્ન કરે છે.

અરુણ વૈદ્ય

ગણિત – ગુજરાતમાં

મુંબઈ યુનિવર્સિટીની સ્થાપના (1857) પછી બાવીસ વર્ષ બાદ અમદાવાદમાં ગુજરાત કૉલેજની સ્થાપના 1879માં થઈ, ત્યારબાદ વડોદરા, ભાવનગર અને જૂનાગઢમાં કૉલેજો શરૂ થઈ. 1915ના અરસામાં અમદાવાદની ગુજરાત કૉલેજમાં સ્નાતક કક્ષા સુધી ગણિતના અભ્યાસની સુવિધા પ્રથમ વાર શરૂ થઈ. ગણિતના અભ્યાસક્રમમાં બ્રિટિશ શિક્ષણપદ્ધતિ અનુસાર બીજગણિત, યામભૂમિતિ, ત્રિકોણમિતિ, કલનશાસ્ત્ર અને યંત્રવિદ્યા શીખવાતાં હતાં. પ્રો. જે. સી. સ્વામિનારાયણ, પ્રો. ગાયતોંડે તથા આચાર્ય સંજાણા વગેરે ગણિતની પ્રથમ પેઢીના વિખ્યાત અધ્યાપકો હતા. રૅંગલર પ્રો. એન. એમ. શાહ પુણેથી 1930માં સૂરતની એમ.ટી.બી. કૉલેજમાં આચાર્ય તરીકે નિયુક્ત થયા. ગણિતના અભ્યાસક્રમમાં ગાણિતિક વિશ્લેષણને સ્થાન મળ્યું. તત્કાલીન જરૂરિયાતને લક્ષમાં લઈને પ્રિ. શાહ અને પ્રો. દેસાઈએ ઇન્ટરમીજિયેટ કક્ષા સુધીનાં પાઠ્યપુસ્તકો લખ્યાં, જે લગભગ પચીસ વર્ષ સુધી પાઠ્યપુસ્તકો તરીકે રહ્યાં. ગુજરાતમાં ઉચ્ચગણિત શિક્ષણનો આ બીજો તબક્કો ગણી શકાય. પ્રો. પેંડસે, પ્રો. એન. આર. ત્રિવેદી, પ્રો. ડી. એમ. પટેલ, પ્રો. કે. સી. શાહ તથા પ્રો. એ. આર. રાવ વગેરે આ સમયના ખ્યાતનામ અધ્યાપકો હતા. પ્રો. ધનવંતરાય મહેતા (પીએચ.ડી., જર્મની) જૂનાગઢ કૉલેજમાં અધ્યાપક હતા. કૉલેજમાં ગણિતના અધ્યાપનકાર્ય ઉપરાંત પ્રો. જે. સી. સ્વામિનારાયણ, પ્રો. પેંડસે, આચાર્ય સંજાણા, પ્રો. કેકોબાદ વકીલ વગેરે ‘ઇન્ડિયન મૅથેમૅટિકલ જર્નલ’માં રજૂ કરવામાં આવેલા કોયડા ઉકેલી તેના ઉકેલ જર્નલમાં છાપવા મોકલતા અને નવા પ્રૉબ્લેમ પણ મોકલતા. આ પ્રણાલી પ્રો. એ. આર. રાવે પાછળથી ચાલુ રાખી હતી. ગણિતના અધ્યયન, અધ્યાપન અને સંશોધનના ક્ષેત્રમાં સ્વામિનારાયણ પરિવારનો ફાળો ઉલ્લેખનીય છે. પ્રો. જે. સી. સ્વામિનારાયણ ગુજરાત કૉલેજમાં ગણિતના ખૂબ ખ્યાતનામ અધ્યાપક હતા. તેમણે રાષ્ટ્રીય ચળવળમાં જોડાવા 1920માં પોતાના હોદ્દાનું રાજીનામું આપેલું. તેમના પુત્ર એસ. જે. સ્વામિનારાયણ પણ ગુજરાત કૉલેજમાં ગણિતના વ્યાખ્યાતા હતા. વળી ડૉ. નવીનચંદ્ર એસ. સ્વામિનારાયણ લંડનની કિંગ્ઝ કૉલેજમાં 1984થી ગણિતના વ્યાખ્યાતા છે. તેમણે જનરલ થિયરી ઑવ્ રિલેટિવિટીમાં પ્રો. ડબ્લ્યૂ. બી. બોનર સાથે સંશોધનકાર્ય કરેલું છે. એન. એસ. સ્વામિનારાયણના પુત્ર સુહૃદ સ્વામિનારાયણ લંડનની ઇમ્પીરિયલ કૉલેજમાંથી પ્રથમ વર્ગમાં સ્નાતકની ઉપાધિ મેળવી, કેમ્બ્રિજમાં અનુસ્નાતક ઍક્ચ્યુઅરી કન્સલ્ટન્ટની તાલીમ લઈ રહ્યા છે.

1947માં આઝાદી મળી તે અરસામાં ગુજરાતમાં કૉલેજોની સંખ્યા વીશેક હતી. ઘણીખરી કૉલેજોમાં સ્નાતક-કક્ષા સુધી ગણિતના શિક્ષણની સુવિધા હતી. થોડા અધ્યાપકોને અનુસ્નાતક-શિક્ષણની માન્યતા મળતાં યુનિવર્સિટી સંલગ્ન કૉલેજોમાં ગણિતના અનુસ્નાતક શિક્ષણની સુવિધા થઈ. ગ્રૂપ ‘એ’માં શુદ્ધ ગણિત અને ગ્રૂપ ‘બી’માં પ્રયુક્ત ગણિત શીખવવામાં આવતું. પસંદગીના બે વિષયમાં આંકડાશાસ્ત્ર પસંદ થઈ શકતું. 1948 સુધી મુંબઈ ઇલાકાની બધી કૉલેજો મુંબઈ યુનિવર્સિટી સાથે સંલગ્ન હતી. 1949માં વડોદરામાં મહારાજા સયાજીરાવ યુનિવર્સિટી સ્થપાઈ અને 1950માં અમદાવાદમાં ગુજરાત યુનિવર્સિટીની સ્થાપના થઈ. ગુજરાત યુનિવર્સિટીના ગણિતના અનુસ્નાતક ભવનમાં ડૉ. પી. સી. વૈદ્ય 1959માં જોડાયા. તે સાથે પ્રથમ વર્ષ વિજ્ઞાનથી અનુસ્નાતક-કક્ષા સુધીના ગણિતના અભ્યાસક્રમો તબક્કાવાર સુધારવા માટે ઘનિષ્ઠ કાર્યક્રમ તૈયાર કરવામાં આવ્યો. યુનિવર્સિટી ગ્રાન્ટ્સ કમિશનની મદદથી વિજ્ઞાન-કૉલેજોમાં વિજ્ઞાનસુધારણા કાર્યક્રમ અને સેવાકાલીન શિક્ષણ-સંસ્થા(inservice institute)નું આયોજન કરવામાં આવ્યું. 1960થી 1975 દરમિયાન વડોદરા, અમદાવાદ અને વિદ્યાનગરમાં ગ્રીષ્મશિબિરો યોજી શિક્ષકોને નવા અભ્યાસક્રમોની ઘનિષ્ઠ તાલીમ આપવામાં આવી.

ગણિતમાં સંશોધન–પ્રવૃત્તિ : ડૉ. પી. સી. વૈદ્ય ગુજરાત યુનિવર્સિટીમાં જોડાતાં ગુ. યુ.માં ગણિતમાં સાપેક્ષવાદ પર સંશોધન-કેન્દ્ર શરૂ થયું. વળી, પ્રો. યુ. એન. સિંઘ વડોદરામાં જોડાયા તે સાથે મ. સ. યુનિ. વડોદરામાં ફૂરિયે શ્રેઢી (Fourier series) તથા સંકારક સિદ્ધાંત(operator theory)માં પણ સંશોધનકેન્દ્ર શરૂ થયું. આમ 1955થી 1960ના ગાળામાં પ્રયુક્ત ગણિત અને શુદ્ધ ગણિત જેવી ગણિતની બે વિદ્યાશાખાઓમાં સંશોધનકેન્દ્રો સ્થપાયાં. આ કેન્દ્રોમાંથી સંશોધન કરી પીએચ.ડી. થયેલા તેમજ વિદેશની યુનિવર્સિટીઓમાં સંશોધન કરી આવેલા અધ્યાપકો ગુજરાતની વિવિધ યુનિવર્સિટીમાં ફૂરિયે શ્રેઢી, વિશિષ્ટ વિધેયો (special functions), બનાખ (Banach) બીજગણિત, સાપેક્ષવાદ, દ્રવગતિશાસ્ત્ર (hydro-dynamics), સંસ્થિતિવિજ્ઞાન (topology) વગેરે ગણિતની વિવિધ શાખાઓમાં સંશોધનકાર્ય કરે છે અને સંશોધનમાં માર્ગદર્શન આપે છે.

ગુજરાતમાં ગણિતના વિકાસમાં પ્રો. પી. સી. વૈદ્યનો ફાળો અનન્ય અને અવિસ્મરણીય છે. દર વર્ષે વિજ્ઞાનક્ષેત્રે શ્રેષ્ઠ પ્રદાન માટે ગુજરાત રાજ્ય તરફથી આપવામાં આવતો વિક્રમ સારાભાઈ ઍવૉર્ડ 1993માં ડૉ. વૈદ્યને એનાયત થયો છે. ‘વૈદ્યસાહેબ’ તરીકે ગુજરાતભરમાં જાણીતા ડૉ. પ્ર. ચુ. વૈદ્ય ગુજરાત ગણિતમંડળના આદ્યસ્થાપક અને ગણિતના સામયિક ‘સુગણિતમ્’ના આદ્યતંત્રી, સુપ્રસિદ્ધ સંશોધક અને ગણિતના યશસ્વી શિક્ષક તરીકે ખ્યાતનામ છે. ગુજરાતમાં ગણિતના અભ્યાસક્રમોને આધુનિક બનાવવામાં તેમણે ભારે જહેમત ઉઠાવી છે. તેમના પીએચ.ડી.ના મહાનિબંધમાં ‘પ્રકાશિત તારકના ગુરુત્વાકર્ષણ’ વિશે કરેલું વર્ણન પૃથ્વી પરના અવલોકનકારની નજરે કરેલું હતું. પૃથ્વી પરથી કરેલા અવલોકનને બદલે તારકમાંથી નીકળતા પ્રકાશના કિરણ ઉપર સવાર થયેલા કોઈ અવલોકનકારની ર્દષ્ટિએ ‘ગુરુત્વાકર્ષણનું વર્ણન અને તેની ગણતરી’ અંગેની તેમની નોંધ 1953માં લંડનના સામયિક ‘Nature’માં પ્રગટ થયેલી. 1965માં કિંગ્ઝ કૉલેજના પ્રો. બોંડીએ ગુરુત્વીય આંદોલનના વર્ણન માટે આવા કિરણ પર સવાર થયેલા અવલોકનકારનું ર્દષ્ટિબિંદુ રજૂ કર્યું ત્યારે એક દાયકા અગાઉની ડૉ. વૈદ્યની નોંધ વિજ્ઞાનીઓની નજરે ચડી તેમજ 1943, 1951 અને 1953માં પ્રસિદ્ધ થયેલા પ્રકાશિત તારકના ગુરુત્વાકર્ષણક્ષેત્ર વિશેના તેમના સંશોધનલેખો જાણીતા થયા. ગણિતમાં પ્રણાલિકાગત અભ્યાસ ઓછો કર્યો હોય તેવા પ્રાથમિક શાળાના શિક્ષક એમ. એન. ખત્રીએ સ્વપ્રયત્ને અંગ્રેજી શીખી, સંખ્યાશાસ્ત્ર ઉપર પુસ્તકોનું વાચન કરી સંખ્યાશાસ્ત્ર પર સંશોધનલેખો લખ્યા છે. આ લેખો ‘સુગણિતમ્’ ઉપરાંત ભારત, બ્રિટન અને અમેરિકાનાં સામયિકોમાં પ્રગટ થયેલા છે.

ગુજરાત ગણિતમંડળના ઉપક્રમે ગણિતનાં વાર્ષિક અધિવેશનો, ગણિતપ્રતિભા-શોધ યોજનાઓ, સંશોધન શિબિરો, પ્રતિભાશાળી વિદ્યાર્થીઓ માટેની શિબિરો, ગણિતનિબંધ-સ્પર્ધાઓ જેવી વિવિધ પ્રવૃત્તિઓ ચાલે છે. વિક્રમ સારાભાઈ કૉમ્યુનિટી સાયન્સ સેન્ટરમાં પ્રો. એ. આર. રાવે ગણિતની રમતો અને મૉડલોનું અનોખું સ્થાયી પ્રદર્શન ઊભું કર્યું છે જેથી પ્રતિભાશાળી વિદ્યાર્થીઓને લાભ થાય છે.

આંકડાશાસ્ત્ર : 1953 પહેલાં વિજ્ઞાન કૉલેજોમાં સ્નાતક અને અનુસ્નાતક-કક્ષાએ આંકડાશાસ્ત્ર સ્વૈચ્છિક વિષય તરીકે શીખવાતો. મ. સ. યુનિ.માં 1953માં સ્નાતક અને અનુસ્નાતક-કક્ષાએ ખાસ વિષય તરીકે ડૉ. એમ. એન. ભટ્ટના માર્ગદર્શન નીચે શિક્ષણકાર્ય શરૂ થયું. 1955માં ગુજરાત યુનિવર્સિટીમાં અનુસ્નાતક-કક્ષાએ આંકડાશાસ્ત્ર વિભાગ શરૂ થયો. 1962માં પ્રા. સી. જી. ખત્રી આ વિભાગમાં જોડાતાં આંકડાશાસ્ત્રની શૈક્ષણિક અને સંશોધનપ્રવૃત્તિને વેગ મળ્યો. હવે ગુજરાતની બધી યુનિવર્સિટીઓમાં અનુસ્નાતક કક્ષાએ આ વિષયમાં અધ્યયન, અધ્યાપન અને સંશોધનની સુવિધા છે. વળી અમદાવાદમાં સરદાર પટેલ ઇન્સ્ટિટ્યૂટ તથા ઇન્ડિયન ઇન્સ્ટિટ્યૂટ ઑવ્ મૅનેજમેન્ટ અને વડોદરામાં સારાભાઈ ઉદ્યોગનું ઑપરેશન રિસર્ચ ગ્રૂપ વગેરે સંસ્થાઓમાં આંકડાશાસ્ત્રમાં સંશોધનપ્રવૃત્તિ ચાલે છે.

શાળાગણિત : સાઠના દાયકામાં પી.આર.એલ.માં સંશોધનકાર્ય કરતા સુપ્રસિદ્ધ વૈજ્ઞાનિક ડૉ. વિક્રમ સારાભાઈએ ગણિત તથા વિજ્ઞાનનું શિક્ષણ શાળા-કક્ષાએ સઘન બનાવવા GISE (Group for Improvement of Science & Education) નામના જૂથની રચના કરી, જે પાછળથી કૉમ્યુનિટી સાયન્સ સેન્ટર સંસ્થામાં ફેરવાયું. અમદાવાદના સી. એન. વિદ્યાલયના આચાર્ય ગોવિંદભાઈ દલાલ તેના સભ્ય બન્યા. અમદાવાદની શાળાઓમાં આઠમા ધોરણમાં ગણિત શીખવતા શિક્ષકો માટે 1963માં પરિસંવાદ યોજવામાં આવ્યો. જૂના અભ્યાસક્રમને સુધારી આધુનિક વિચારધારા સાથે ગણિતના અભ્યાસક્રમને સુસંગત કરવા માટે કૉમ્યુનિટી સાયન્સ સેન્ટરમાં બીજગણિત અને ભૂમિતિનાં બે અભ્યાસજૂથો રચવામાં આવ્યાં. ધોરણ આઠથી અગિયાર સુધીના અભ્યાસક્રમમાં આવતા બીજગણિત અને ભૂમિતિના બધા મુદ્દાઓને સમાવતો નવો અભ્યાસક્રમ તૈયાર કરવામાં આવ્યો. તેનો એક પ્રૉજેક્ટ 1969ના જૂનથી શરૂ કરવામાં આવ્યો. શિક્ષકોની તાલીમ અને પાઠ્યપુસ્તકોના પ્રકાશનની વ્યવસ્થા કરવામાં આવી. તે અંગે બધી કાર્યવાહી કૉમ્યુનિટી સાયન્સ સેન્ટરે સ્વીકારી. સમગ્ર ભારતમાં માધ્યમિક શિક્ષણમાં એકસૂત્રતા લાવવા ભારત સરકારની યોજના અનુસાર ગુજરાતમાં 1973થી માધ્યમિક વિભાગ અને 1976થી ઉચ્ચતર માધ્યમિક વિભાગ શરૂ થયા. તે અંગે શિક્ષકો માટે તાલીમની વ્યવસ્થા પણ સરકારે કરી. 1982થી ઉચ્ચતર માધ્યમિક કક્ષાએ અમલમાં આવેલા નવા અભ્યાસક્રમમાં ત્રિકોણમિતિ, યામભૂમિતિ, ઘનભૂમિતિ, બીજગણિત, સદિશ અવકાશ(vector space), વાસ્તવિક (real) અને સંકર સંખ્યાસંહતિ (complex number system), કલનશાસ્ત્ર અને આંકડાશાસ્ત્રના મૂળભૂત ખ્યાલોને સમાવી લેવામાં આવ્યા.

ઈચ્છાલાલ હરિલાલ શેઠ

પ્રાથમિક વિભાગમાં પ્રથમ ચાર વર્ષમાં ગણિતમાં ઘડિયા દ્વારા ગુણાકારનો ખ્યાલ, -ના કરતાં વધારે (>), -ના કરતાં ઓછું (<), ચલણી નાણાં તેના વ્યાવહારિક ઉપયોગ સાથે, સરવાળા, બાદબાકી, અપૂર્ણાંક, સમયમાપન સાથે રોમન આંકડાનો ખ્યાલ આપવામાં આવે છે. આકારો અને ઘનાકારોની ઓળખથી શરૂ કરી બિંદુ, રેખા, રેખાખંડ, કિરણ, ખૂણો, સમચોરસ, લંબચોરસ, પરિમિતિ વગેરે ભૂમિતિમાં શીખવાય છે. ધોરણ પાંચ પછીના વર્ગોમાં અભ્યાસક્રમને અંકગણિત, બીજગણિત અને ભૂમિતિમાં વહેંચ્યો છે. સંખ્યાઓ, તેનું સંખ્યારેખા ઉપર નિરૂપણ, વર્ગ, વર્ગમૂળ, નફોતોટો, ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ, આલેખ વગેરે અંકગણિતમાં; પદ, બહુપદી (polynomial), ઘાત અને ઘાતાંક (indices), સમીકરણ, કૂટપ્રશ્નો, નિર્બંધ વિધાનો (open statements) વગેરેનો બીજગણિતમાં અને ત્રિકોણ, વર્તુળ, ક્ષેત્રફળ, ઘનફળ, ખૂણાઓના સંબંધો વગેરેનો ભૂમિતિમાં સમાવેશ કરવામાં આવ્યો છે, જેથી પ્રાથમિક કક્ષાએ ગણિતનો અભ્યાસક્રમ, માધ્યમિક અને ઉચ્ચતર માધ્યમિક કક્ષાએ શીખવાતા ગણિત સાથે સુસંગત બન્યો છે.

જયપ્રકાશ પંડ્યા

ગણિતના પાયા

ગણ, ગણ પરનાં માળખાં અને ગણો વચ્ચેના સંબંધો એ ગણિતના પાયાના ખ્યાલો છે. ગણશાસ્ત્રનો પદ્ધતિસરનો અભ્યાસ કૅન્ટૉર તથા તેના અનુયાયીઓએ કર્યો અને ગણિતના વિકાસમાં ગણશાસ્ત્રના મહત્વને તેમણે પ્રસ્થાપિત કર્યું.

ગણ પર અનેક પ્રકારે માળખાં રચી શકાય. ગણના સભ્યો પર (સરવાળા કે ગુણાકાર જેવી) ક્રિયાઓ (operation) કરવાથી જે માળખું મળે તેને બૈજિક માળખું કહેવાય. આ રીતે બીજગણિત મળે. ગણના સભ્યો વચ્ચે અંતરનો કે એકબીજાની નજીક હોવાનો કે તેના ઉપગણની અંદર કે બહાર હોવાના ખ્યાલો દાખલ કરીએ તો સ્થૈતિક માળખું થાય. આ રીતે ટોપોલૉજી મળે. બે ગણ વચ્ચેના અમુક સંબંધને વિધેય કહેવાય. વિધેયોના અભ્યાસમાંથી જ કલનશાસ્ત્ર, વિશ્લેષણ વગેરે ગણિતની શાખાઓ ઊભી થઈ છે. કેટલીક વાર ગણના સભ્યો અને કેટલાક ઉપગણો વચ્ચેના આંતરસંબંધો લઈને અભ્યાસ કરવામાં આવે છે. યુક્લિડીય ભૂમિતિ એ સમતલનાં બિંદુઓ અને કેટલાક વિશેષ ઉપગણો (રેખાઓ) વચ્ચેના સંબંધોનો અભ્યાસ છે. ગણમાંના સભ્યોની ‘સંખ્યા’ એ પણ એક પાયાનો ખ્યાલ છે. બે ગણો વચ્ચે એક-એક સંગતતા સ્થાપી શકાય તો એ બે ગણો ‘સામ્યગણો’ કહેવાય અને સામાન્ય ભાષામાં એમ કહી શકાય કે એ બે ગણોની સભ્યસંખ્યા સરખી છે. આ વ્યાખ્યાનાં કેટલાંક વિચિત્ર લાગતાં પરિણામો પણ છે. ધન પૂર્ણાંકોનો ગણ N તે બધા જ પૂર્ણાંકોના ગણ Z કરતાં ઘણો નાનો છે તેમ આપણે સમજીએ છીએ પણ ઉપરની વ્યાખ્યા પ્રમાણે N  અને Z સામ્યગણો છે,

દા. ત., f : N → Z જ્યાં n ∈ N માટે

f(n) =

એ Nથી Zની એક-એક (અને વ્યાપ્ત) સંગતતા છે. કદાચ વધુ આશ્ચર્યની વાત એ છે કે તમામ પૂર્ણાંકો અને સઘળા અપૂર્ણાંકોનો ગણ Q લઈએ તો N અને Q પણ સામ્યગણો છે, પણ Q તથા વાસ્તવિક સંખ્યાગણ R સામ્યગણો નથી.

ગણિતના પાયાના ખ્યાલોની આપણે વાત કરી. આ ઉપરાંત આ બધા ખ્યાલો વિશે સ્પષ્ટતા કરતા કેટલાક પાયાના સિદ્ધાંતો છે (જેમને સામાન્ય રીતે પૂર્વધારણાઓ કહેવાય છે.) તે પણ મૂળભૂત મહત્ત્વના છે. કોઈ પણ વિષયાંગની પૂર્વધારણાઓ પરસ્પર સ્વતંત્ર હોવી જોઈએ (એટલે કે કોઈ એક પૂર્વધારણાની મદદથી બીજી કોઈ પૂર્વધારણા સાચી છે કે ખોટી છે તેમ સાબિત ન થવું જોઈએ.) અને શક્ય હોય તો એ બધી પૂર્વધારણાઓની સંહતિ સંપૂર્ણ હોવી જોઈએ. એટલે કે તે વિષયાંગનું કોઈ પણ વિધાન આ પૂર્વધારણાઓની મદદથી કાં તો સાચું સાબિત થઈ શકવું જોઈએ અથવા ખોટું સાબિત થઈ શકવું જોઈએ. કોઈ પૂર્વધારણાની સંહતિ કદી સંપૂર્ણ હોઈ શકે જ નહિ તેમ ગડલે સાબિત કર્યું ત્યારે ગણિતની આલમમાં સનસનાટી ફેલાઈ ગઈ. આનો અર્થ એવો થાય છે કે ગણિતની દરેક શાખામાં એવાં પરિણામો મળવાનાં જ કે જેને ન તો સાચાં સાબિત કરી શકાય કે ન તો ખોટાં સાબિત કરી શકાય; દા. ત., યુક્લિડીય ભૂમિતિમાં સમાંતરની પૂર્વધારણા આવું જ એક પરિણામ હતું. તેની પહેલાં આવતી ભૂમિતિની પૂર્વધારણાઓથી સમાંતરની પૂર્વધારણાનું વિધાન સ્વતંત્ર જ હતું. તમે ઇચ્છો તો તેને નવી પૂર્વધારણા તરીકે લઈ શકો (અને તો યુક્લિડીય ભૂમિતિ મળે) અથવા ઇચ્છો તો તે વિધાન ખોટું છે એવી પણ પૂર્વધારણા લઈ શકો (અને તો યુક્લિડીયેતર ભૂમિતિ મળે). આવી જ પરિસ્થિતિ ગણશાસ્ત્રમાં પણ ઊભી થઈ છે. ઉપર જણાવ્યા પ્રમાણે ગણો Q અને R સામ્યગણો નથી – એટલે કે R ‘ખરેખર’ Q કરતાં મોટો છે. પ્રશ્ન એ થાય કે Q અને R વચ્ચે કોઈ ગણ A હશે ખરો ? એટલે કે જે Q કરતાં ‘ખરેખર મોટો’ હોય અને R જેના કરતાં ‘ખરેખર મોટો’ હોય એવો કોઈ ગણ A હશે ? આ પ્રશ્નનો જવાબ મળતો નહોતો અને કૅન્ટૉરે સ્વીકારી લીધું હતું કે આવો ગણ ન જ મળે. આને કન્ટિન્યુયમ હાઇપૉથિસિસ કહેવાય છે. કૅન્ટૉરના મૃત્યુ પછી લગભગ પિસ્તાળીસ વર્ષે 1963માં કોહેને સાબિત કર્યું કે કન્ટિન્યુયમ હાઇપૉથિસિસની પરિસ્થિતિ બરાબર સમાંતરની પૂર્વધારણા જેવી જ હતી. ગણશાસ્ત્રની અન્ય પૂર્વધારણાઓને આધારે કન્ટિન્યુયમ હાઇપૉથિસિસ સાચી છે કે ખોટી છે તે સાબિત થઈ શકે જ નહિ પરિણામે કન્ટિન્યુયમ હાઇપૉથિસિસને (કૅન્ટૉરની જેમ) નવી પૂર્વધારણા તરીકે સ્વીકારો તો એક ગણશાસ્ત્ર મળે (કૅન્ટૉરીય ગણશાસ્ત્ર) અને નહિ તો કૅન્ટૉરેતર ગણશાસ્ત્ર મળે.

ગણિતના પાયાની પૂર્વધારણાઓમાંની એક વિવાદાસ્પદ પૂર્વધારણા પસંદગીની પૂર્વધારણા (axiom of choice) છે. આ પૂર્વધારણા એમ કહે છે કે આપણી પાસે ગણોની એક સંહતિ હોય તો તેમાંના દરેક ગણમાંથી બરાબર અક્કેક સભ્ય પસંદ કરીને એક નવો ગણ રચી શકાય. આમ તો આ પૂર્વધારણા તદ્દન સ્વાભાવિક રીતે સાચી લાગે છે, પણ દરેક ગણમાંથી ખરેખર કયો સભ્ય પસંદ કર્યો છે તે જ્યાં સુધી ન કહી શકીએ ત્યાં સુધી નવો રચાયેલો ગણ સુનિશ્ચિત ન થાય. માટે આ પૂર્વધારણા બરાબર નથી તેમ ઘણાનું માનવું છે, પણ ગણિતનાં અનેક મહત્વનાં પરિણામો પસંદગીની પૂર્વધારણા વડે જ સાબિત થઈ શકે છે એ પણ હકીકત છે.

ગણિતના પાયા વિશે વિચારનાર વિદ્વાનોમાં કૅન્ટૉર અને ગડલ ઉપરાંત બર્ટ્રાન્ડ રસેલ અને વ્હાઇટહેડનાં નામો પણ ઉલ્લેખનીય છે. ગણનો ખ્યાલ સ્પષ્ટ કરવામાં વીસમી સદીની શરૂઆતમાં રસેલે રજૂ કરેલ રસિક કોયડાઓએ મહત્વનો ભાગ ભજવ્યો હતો. એમાંના એક કોયડાની વાત કરીએ.

જે ગણ પોતે પોતાનો સભ્ય ન હોય તેને સામાન્ય ગણ કહીએ અને જે ગણ પોતે પોતાનો સભ્ય હોય તેને અસામાન્ય ગણ કહીએ, તો દેખીતું છે કે દરેક ગણ સામાન્ય હોય કે અસામાન્ય હોય પણ બંને તો ન જ હોય. હવે બધા જ સામાન્ય ગણોનો ગણ A લઈએ તો આ ગણ A  સામાન્ય છે કે અસામાન્ય ? જો A સામાન્ય હોય તો Aમાં બધા જ સામાન્ય ગણો હોવાથી A ∈ A માટે A અસામાન્ય છે. જો A અસામાન્ય હોય તો અસામાન્યની વ્યાખ્યા પ્રમાણે A ∈ A પણ Aના સભ્યો તો બધા સામાન્ય હોવાથી A સામાન્ય છે. આમ A સામાન્ય પણ છે અને અસામાન્ય પણ છે.

રસેલના આ વદતોવ્યાઘાતે બતાવ્યું કે અસામાન્ય ગણ ગણના સામાન્ય ખ્યાલોને અનુસરતો નથી માટે ગણની સંકલ્પનામાં માત્ર સામાન્ય ગણોનો જ સમાવેશ કરવો જોઈએ.

અરુણ વૈદ્ય