ગણિતીય અનુમાનનો સિદ્ધાંત : પ્રાકૃતિક ચલનું વિધાન P(n), n = 1 માટે સત્ય હોય તથા nની કોઈ ધન પૂર્ણાંક કિંમત k માટે સત્ય છે તેમ સ્વીકારીને તે વિધાન n = k + 1 માટે સાબિત થઈ શકતું હોય તો P(n) પ્રત્યેક ધન પૂર્ણાંક n માટે સત્ય છે. આ ગણિતીય અનુમાનનો સિદ્ધાંત છે.
પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ 1, 2, 3….ના ચલનું કોઈ પણ વિધાન, P(n) સંકેતથી દર્શાવાય છે P(n) : 1 + n = n + 1 હોઈ શકે.
P(n) = 1 + 2 + 3 + . . . . . . + n = 
હોઈ શકે. આવાં વિધાનો સાબિત કરવામાં ગણિતીય અનુમાનનો સિદ્ધાંત વાપરવામાં આવે છે. આ સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ ગણિતની વિવિધ શાખાઓમાં થાય છે. થોડાં ઉદાહરણ જોઈએ :
(1) શ્રેઢીમાં ગણિતીય અનુમાન : એક જાણીતું પરિણામ
1 + 2 + 3 + …. …. + n = સાબિત કરીએ. n = 1 માટે ડાબી બાજુની સંખ્યા 1 છે. જમણી બાજુ = 
= 1 છે. હવે ધારો કે P(k) સત્ય છે એટલે કે
1 + 2 + 3 . . . . . . . . + k = 
n = k + 1 લેતાં
ડાબી બાજુ = (1 + 2 + 3 + …… + k) + (k + 1)
= + (k + 1)
જ.બા.માં n = k + 1 લેતાં
P (k + 1) સત્ય છે.
આમ, ગણિતીય અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા P(n) પ્રત્યેક ધન પૂર્ણાંક માટે સત્ય છે.
(2) પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના ગુણધર્મો સાબિત કરવામાં ઉપયોગ :
ધારો કે વિધાન P(n) : 1 + n = n + 1 છે.
n = 1 માટે 1 + 1 = 1 + 1 તો છે જ. આમ P (1) સત્ય છે.
(ખરેખર 1 + 1ને 1નો અનુગામી (successor) 1’ કહે છે. પેઆનોની પૂર્વધારણા P(k) સત્ય છે એમ સ્વીકારતાં 1 + k = k + 1 છે.
n = k + 1 લેતાં 1 + (k + 1) = (1 + k) + 1
(સંગઠનના નિયમથી)
1 + (k + 1) = (k + 1) + 1
P (k + 1) સત્ય છે.
(3) ઘાતાંકમાં ઉપયોગ : (a b)n = an bn
n = 1 માટે ડા.બા. (a b)1 = ab, જ.બા. a1b1 = ab
ધારો કે P(k) = (ab)k = akbk સત્ય છે.
n = k + 1 લેતાં ડા.બા. = (ab)K+1 = (ab)k (ab)
[ઘાતાંકની વ્યાખ્યા]
= (akbk) (ab) [P(k)]
= (aka) (bkb) [સંગઠનનો નિયમ]
= ak+1 bk+1
= જ.બા.
∴ P(k + 1) સત્ય છે.
આમ P(k) ⇒ P(k + 1)
(4) અસમતામાં ઉપયોગ : (1 + x)n > 1 + nx (x > – 1)
n = 1 માટે (1 + x)1 = 1 + x ≥1 + 1 × x P(1) સત્ય છે.
ધારો કે P(k) : (1 + x)k ≥1 + kx સત્ય છે.
n = k + 1 લેતાં (1 + x)k + 1
= (1 + x)k (1 + x)
≥ (1 + kx) (1 + x) [
1 + x > 0]
≥ 1 + kx + x + kx2
≥ 1 + kx + x [ k ∈ N, x2 ≥ 0]
≥ 1 + (k + 1) x
આમ P(k + 1) સત્ય છે.
(5) કલનમાં ઉપયોગ :
(i) 
(xn) = nxn-1, x1 = 
1 = 1
x0
P(1) સત્ય છે.
ધારો કે P(k) સત્ય છે. (xk) = kxk-1
(xk+1) = (xk×x)
= xk (x) + x (xk)
= xk 1 + x(kxk-1)
= xk + kxk
= (k + 1) xk
P(k + 1) સત્ય છે.
(ii) 
xn = an, n = 1 માટે x = a સાબિત કરવું પડે.
δ = ε લેતાં
0 < | x – a | < δ ⇒ | x – a | < ε સ્પષ્ટ છે.
આમ, પ્રત્યેક ε > 0 માટે δ > 0 મળે છે જે લક્ષની શરતનું પાલન કરે છે.
x = a
ધારો કે xk = ak
n = k + 1 લેતાં
xk + 1 = xk × x
= xx x…. [લક્ષના કાર્યનિયમો અનુસાર]
= ak × a
= ak + 1
P(k + 1) સત્ય છે.
(6) સંખ્યાગણમાં વિભાજ્યતા સાબિત કરવામાં ઉપયોગ :
(i) P(n) : xn – yn, x – y વડે વિભાજ્ય છે.
n = 1 માટે x – y = (x – y) • 1 છે. ∴ P(1) સત્ય છે.
ધારો કે P(k) સત્ય છે એટલે કે xk-yk, x-y વડે વિભાજ્ય છે.
n = k + 1 લેતાં xk + 1 – yk + 1= xk + 1 – xky + xky – yk + 1 = xk(x-y) + y (xk-yk)
જમણી બાજુનાં બંને પદો xk(x – y) અને y(xk – yk) (P(k) સત્ય હોવાથી) x – y વડે વિભાજ્ય છે.
xk + 1 – yk + 1, x – y વડે વિભાજ્ય છે.
P(k + 1) સત્ય છે.
(ii) આવી જ રીતે 10n-1, 9 વડે વિભાજ્ય છે એમ સાબિત કરી શકાય.
(7) ગણિતીય અનુમાનનો સિદ્ધાંત કેટલીક વાર પરિવર્તિત સ્વરૂપે પણ વપરાય છે :
નિશ્ચિત પૂર્ણાંક m માટે P(m) સત્ય હોય તથા k ≥ m માટે P(k) પરથી p(k + 1)ની સત્યાર્થતા ફલિત થતી હોય તોપણ P(n) પ્રત્યેક n ≥ m માટે સત્ય છે.
આનું ઉદાહરણ જોઈએ. P(n) : 2n > n2, n ≥ 5 છે.
અહીં n = 1, 2, 3, 4 માટે અનુક્રમે 22 > 22, 23 = 8 > 32, 24 = 16 > 42 = 16 અને સત્ય નથી. n = 5 માટે 25 = 32 > 52 = 25
ધારો કે 2k > k2 (P(k) સત્ય છે.)
2k 2 > 2k2
2k + 1 > 2k2 ………………………………(1)
હવે k ≥ 5 હોવાથી
k – 1 ≥ 4, (k-1)2 ≥ 16 > 2
k2 – 2k + 1 > 2
k2 > 2k + 1
k2 + k2 > k2 + 2k + 1
2k2 > (k + 1) 2 …………………………(2)
પરિણામ (1) અને (2) પરથી
2k + 1 > 2k2 > (k + 1)2
2k + 1 > (k + 1)2
P(k + 1) સત્ય છે.
(8) ગણિતીય અનુમાનનો બીજો સિદ્ધાંત આ પ્રમાણે છે : પ્રાકૃતિક ચલનું વિધાન P(n), પ્રત્યેક n < k માટે સત્ય હોય ત્યારે n = k માટે પણ સત્ય હોય તો P(n) પ્રત્યેક n ∈ N માટે સત્ય છે.
સાબિત કરીએ.
ધારો કે ઉપર્યુક્ત વિધાન nની કોઈ નિશ્ચિત કિંમત k માટે પ્રત્યેક 0 ≤ r ≤ k માટે સત્ય છે.
n = k + 1 લેતાં
પ્રત્યેક 0 ≤ r ≤ k માટે સાબિત થયું.
r = k 1 માટે ડા.બા. = 1, જ.બા. 
= 1
0 ≤ r ≤ k + 1 માટે P(n) સત્ય છે.
ગણિતીય અનુમાનના સિદ્ધાંતને સમકક્ષ મહત્વનો સિદ્ધાંત : ધન પૂર્ણાંકોના કોઈ પણ અરિક્ત ઉપગણમાં સૌથી નાનો ધન પૂર્ણાંક હોય છે. આ ગુણધર્મને ‘સુવ્યવસ્થાનો સિદ્ધાંત’ કહે છે, જે ગણિતીય અનુમાનના સિદ્ધાંતને સમકક્ષ છે. ગણિતીય અનુમાનના સિદ્ધાંત પરથી ‘ક્રમની સુવ્યવસ્થાનો સિદ્ધાંત’ સાબિત કરી શકાય. વળી આથી ઊલટું પણ સાબિત થઈ શકે.
ગણિતીય અનુમાનની મર્યાદાઓ : ગણિતીય અનુમાનના સિદ્ધાંતની કેટલીક મર્યાદાઓ પણ છે. સૌપ્રથમ તો તે ધન પૂર્ણાંકો માટે જ સત્ય છે. વળી, 1 + 2 + 3 + ….. + n = સાબિત કરી શકાય, પરંતુ તેનું સૂત્ર ન મેળવી શકાય. સામાન્ય રીતે ‘અનુમાન અને સમાનતા’નો નિયમ વાપરવાથી સરળતા રહે છે. આમ 1 + 2, 1 + 2 + 3, 1 + 2 + 3 + 4 … મેળવી સૂત્રની કલ્પના કરવાનો પ્રયાસ કરીએ પછી સૂત્ર સાબિત કરી શકાય. ‘G-Polya’ નામના ગણિતશાસ્ત્રીનું પુસ્તક ‘Induction and Analogy’ આ માટે આધારભૂત ગ્રંથ છે. આ પુસ્તકમાં E + 2 = F + V સૂત્રની (જ્યાં E = બહુફલકની ધારની સંખ્યા, F = પૃષ્ઠોની સંખ્યા, V = શિરોબિંદુની સંખ્યા) નજીક કેવી રીતે જઈ શકાય અને 1 + 2 + 3 + …… + n = કેવી રીતે સાબિત થાય છે તે પણ જાણવા મળે છે.
n ઘટકવાળા ગણને 2n ઉપગણો હોય છે, તેના જેવા વિવરણાત્મક પ્રશ્નો ગણિતીય અનુમાનથી સાબિત થઈ શકે છે; પરંતુ એ ધ્યાન રાખવું જરૂરી છે કે ગણિતીય અનુમાનનો દુરુપયોગ વિષમ પરિણામો આપી શકે છે; દા. ત., આપણે સાબિત કરીએ 2n = 0 છે. ધારો કે 2k = 0 છે. હવે 2k + 1 = 2k2 = 02 = 0. આમ, 2k = 0 ⇒ 2k + 1 = 0 એટલે કે P(k) ⇒ P(k + 1) 2n = 0, 
. પરંતુ વાસ્તવમાં P(1) જ સત્ય નથી. 21 ≠ 0. આમ P(1) હંમેશાં દેખીતી રીતે સત્ય છે એમ માની આગળ વધીએ તો 2નો કોઈ પણ ઘાત શૂન્ય છે તેવું દુષ્પરિણામ મળે, વળી P(k) ⇒ P(k + 1) સાબિત કરવું પડે. બહુપદી P(x) = x2 – x + 41માં xની કેટલીક કિંમતો લઈએ.
P(1) = 41, P(2) = 43, P(3) = 47, P(4) = 53, P(5) = 61 વગેરે અવિભાજ્ય પૂર્ણાંકો છે, પરંતુ આ પરથી એવું અનુમાન ન થઈ શકે કે માટે P(n) = n2 – n + 1 અવિભાજ્ય પૂર્ણાંક છે. ખરેખર તો P(41) = 412 જે અવિભાજ્ય નથી; આમ માત્ર પર્યાપ્ત અને મોટાં અવલોક્ધાો પરથી સૂત્રની કલ્પના કરી શકાય; પરંતુ સાબિતી માટે ગણિતીય અનુમાનનું કૌશલ આવશ્યક છે.
અજિત શાહ