વક્રો (curves)

વક્રો (curves)

અવકાશમાં ગતિ કરતા બિંદુનો માર્ગ તે વક્ર. સામાન્ય અર્થમાં પેન્સિલ ઉપાડ્યા સિવાય કાગળ ઉપર લસરકો મારવાથી આલેખાયેલી આકૃતિ તે વક્ર છે. વૈકલ્પિક રીતે વક્રને સંવૃત અંતરીત(internal)ના સતત રૂપાંતરણને પરિણામે ઉદભવેલાં બિંદુઓના ગણ તરીકે ગણવામાં આવે છે. યામપદ્ધતિનો ઉપયોગ કરી યામો દ્વારા વક્રને સમીકરણના સ્વરૂપમાં વ્યક્ત કરવામાં આવે છે. તે પરથી આલેખની મદદથી વક્રનું અધ્યયન કરવામાં આવે છે. બૈજિક સમીકરણના સ્વરૂપમાં રજૂ કરેલા વક્રને બૈજિક વક્ર (algebraic curve) કહેવામાં આવે છે. બીજાતીત વિધેયથી સમીકરણના સ્વરૂપમાં વ્યક્ત કરેલા વક્રને બીજાતીત (transcedental) વક્ર કહેવામાં આવે છે. અંત્યબિંદુઓ હોય તેવા વક્રને આવૃત વક્ર (open curve) કહેવામાં આવે છે. સંવૃત (closed) અંતરીત [a, b]નાં અંત્યબિંદુઓ a, bનાં સંપાતી (co-incident) હોય એવા રૂપાંતરણને સંવૃત વક્ર કહેવામાં આવે છે. સમગ્રપણે સમતલમાં સમાયેલા વક્રને સમતલીય (plane) વક્ર કહેવામાં આવે છે. વક્રનાં બધાં બિંદુઓ એક જ સમતલમાં આવેલાં ન હોય તેવા વક્રને આમળેલો (twisted) કે વિષમતલીય (skew) વક્ર કહેવામાં આવે છે; દા. ત., સર્પિલ (helix) આકૃતિ.

ત્રિપરિમાણી અવકાશમાં રચેલા વક્રને અવકાશી વક્ર (space curve) કહેવામાં આવે છે. x, y ચલરાશિ સંદર્ભે f(x, y) = 0 સ્વરૂપના સમીકરણનું સમાધાન કરે તેવાં બિંદુઓના ગણને વક્ર કહેવામાં આવે છે. આવા વક્રનું પ્રાચલ (parametric) સ્વરૂપનું સમીકરણ x = f(t), y = g(t) છે. x, y, z ચલરાશિ સંદર્ભે અવકાશી વક્રનું સમીકરણ f(x, y, z) = 0 છે. આવા વક્રનું x = f(t), y = g(t), z = h(t) પ્રાચલ સ્વરૂપનું સમીકરણ છે. ત્રિકોણમિતીય, લઘુગણકીય અને ઘાતાંકીય વિધેય એ બીજાતીત વિધેયો છે અને તેમના વક્રો બીજાતીત વક્રો છે.

સમતલ પરના જાણીતા વક્રોમાં વર્તુળ, પરવલય, ઉપવલય અને અતિવલયનો સમાવેશ થાય છે. અહીં વક્રનું સ્વરૂપ, ગુણધર્મો, વક્રની રચના, વક્રની કાર્તેઝીય (cartesian) કે ધ્રુવીય સ્વરૂપમાં રજૂઆત વગેરે અનેક પાસાંઓનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે. પ્રાચીન કાળથી જુદા જુદા ગણિતીઓએ અનેક વક્રોનો અભ્યાસ કર્યો છે. વક્રોનાં ગાણિતિક સમીકરણનું નિરીક્ષણ કરીને વક્રના સ્વરૂપ અંગે અને વક્રના વિવિધ ગુણધર્મો અને વિશિષ્ટતા અંગે સમાલોચના કરી શકાય છે; જેમ કે, વક્રની યામાક્ષો કે બીજા કોઈ અક્ષો સાપેક્ષે સંમિતતા (symmetry), વક્રનાં યામાક્ષો સાથેેનાં છેદબિંદુઓ, વક્ર પરનાં બિંદુઓ આગળના સ્પર્શકો (tangents) કે અભિલંબો (normals), વક્રની વક્રતા-ત્રિજ્યા (radius of curvature), વક્રના કેન્દ્રજ (evolute) અને પ્રતિકેન્દ્રજ (involute) અને પરિસ્પર્શક  (envelope) અંગેના ખ્યાલ મેળવી શકાય છે.

અમુક અંશે ગ્રીક લોકોના શુદ્ધ ભૂમિતિના અભ્યાસને કારણે અને મહદ્અંશે વૈશ્લેષિક ભૂમિતિ અને કલનશાસ્ત્રની અસરને પરિણામે મોટી સંખ્યામાં વિવિધ વિશિષ્ટ વક્રો વિકસ્યા અને તેમને ખાસ નામ પણ આપવામાં આવ્યાં. અહીં વક્રોને ખાસ કરીને સરળ બૈજિક વક્રો, સરળ બીજાતીત કે અબીજીય વક્રો, સર્વસાધારણ (common) વક્રો અને દ્વિ-વક્રતાવાળા વક્રો એ રીતે વર્ગીકૃત કરી વક્રો અંગે માહિતી આપવામાં આવી છે. પ્રથમ કેટલાક સાધારણ વક્રોથી શરૂઆત કરીએ :

વર્તુળ (circle) : આપેલા બિંદુ Oથી સરખે અંતરે રહી ફરતા બિંદુ Pનો બિંદુપથ કે એવાં બિંદુઓનો ગણ તે વર્તુળ છે. વર્તુળના કેન્દ્ર Oથી બિંદુ P સુધીના અંતર rને વર્તુળની ત્રિજ્યા કહેવામાં આવે છે. (આકૃતિ 2). વર્તુળના કેન્દ્ર Oમાંથી પસાર થતી જીવાને વ્યાસ (d) કહેવામાં આવે છે. વ્યાસ ત્રિજ્યા કરતાં બમણો હોય છે એટલે કે d = 2r છે. વર્તુળની પરિમિતિને વર્તુળનો પરિઘ (circumference) કહેવામાં આવે છે. વર્તુળમાં પરિઘ અને વ્યાસનો ગુણોત્તર હમેશાં અચળ રહે છે અને તેને π સંકેતથી દર્શાવવામાં આવે છે (જે અબૈજિક સંખ્યા છે.). આમ   આમ પરિઘ = 2πr છે. શંકુની અક્ષને લંબ રૂપે છેદ લેવાથી વર્તુળ મળે છે, વર્તુળ એ ઉપવલયનો વિશિષ્ટ વિકલ્પ છે. જેની અર્ધપ્રધાન અક્ષ અને અર્ધગૌણ અક્ષ સરખી હોય તેવો ઉપવલય તે વર્તુળ છે. વર્તુળના અંતર્ગત ભાગને ચકતી (disc) કહેવામાં આવે છે. બે વર્તુળના છેદનથી મળતા પ્રદેશને લેન્સ કહેવામાં આવે છે. ત્રણ વર્તુળ પરસ્પરને છેદતાં હોય અને પ્રત્યેક વર્તુળનું કેન્દ્ર બાકીના બે વર્તુળના છેદબિંદુ આગળ હોય ત્યારે ત્રણ સમમિત વર્તુળના છેદનથી બનતા ત્રિકોણને રુલો (reuleaux) ત્રિકોણ કહેવામાં આવે છે (આકૃતિ 3).

ઊગમબિંદુ કેન્દ્ર અને a ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળનું પ્રાચલ સમીકરણ x = a cos t, y = a sin t છે. x´ =  a sin t, y´ = a cos t; x´´ = a cos t, y´´ =  − a sin t છે વર્તુળના ચાપની લંબાઈ

ધ્રુવીય સ્વરૂપમાં વર્તુળનું સમીકરણ r = a છે. આ વર્તુળની ત્રિજ્યા a અને કેન્દ્ર તેનું ઊગમબિંદુ છે (a, 0). કેન્દ્ર અને a ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળનું ધ્રુવીય સમીકરણ r = 2a cos θ છે. (0, a) કેન્દ્ર અને a ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળનું સમીકરણ r = 2a sin θ છે. કાર્તેઝીય સ્વરૂપમાં (x₀, y₀) કેન્દ્ર અને a ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળનું સમીકરણ (x −  x₀)² + (y − y₀)² = a² છે.

P(x₁, y₁), Q(x₂, y₂) વ્યાસવાળા વર્તુળનું સમીકરણ (x − x₁) (x − x₂) + (y − y₁) (y − y₂) = 0 છે.

વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ ભૌમિતિક રીતે કે કલનશાસ્ત્રની મદદથી મેળવી શકાય છે. ભૂમિતિની રીતે વિચારીએ તો વર્તુળને આકૃતિ 4માં બતાવ્યા પ્રમાણે સમકેન્દ્રી વર્તુળાકાર પટ્ટીઓના સરવાળા તરીકે જોઈ શકાય. સૂક્ષ્મતમ વિભાજન કરતાં પટ્ટીઓની સંખ્યા અપરિમિત થવા જાય છે અને પટ્ટીઓને પહોળી કરી એકબીજી પર ગોઠવવામાં આવે તો જમણી બાજુએ બતાવ્યા મુજબ કાટખૂણ ત્રિકોણ મળે, જેનું

વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે લગભગ ઈ. પૂ. 225માં આર્કિમિડિઝે વર્તુળને આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ વૃત્તખંડોના ફાચર જેવા આકારોમાં કાપી [આકૃતિ 5(અ)], ફાચરોને ઊલટાસૂલટી ગોઠવી. જો ફાચરોની સંખ્યા અમર્યાદિત રીતે વધારવામાં આવે તો તેમાંથી આકૃતિ 5(આ)માં બતાવ્યા મુજબનો pr લંબાઈ અને r પહોળાઈવાળો લંબચોરસ મળે છે. આમ,

વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ = લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ

                          = લંબાઈ × પહોળાઈ

                          = πr × r

                          = πr²

વળી કલનશાસ્ત્રનો ઉપયોગ કરતાં

પરવલય (parabola) : સમતલમાં આવેલાં એવાં બિંદુઓનો ગણ કે જે આપેલી સુરેખા(નિયામિકા – directrix)થી અને સુરેખા પર ન હોય તેવા બિંદુ F(નાભિ  focus)થી સરખે અંતરે હોય. આ વક્રની ઉત્કેન્દ્રતા e = 1 છે. બમણા ઘનફળના સમઘનની રચનાના પ્રયાસ દરમિયાન મેનાકમસે પરવલયનો અભ્યાસ કર્યો. x² = y અને y² = ²x એવા બે પરવલયનું છેદનબિંદુ શોધી તેની મદદથી આ સમસ્યા ઉકેલી. યુક્લિડે પરવલય વિશે લખ્યું, પરંતુ તેને ‘પરવલય’ એવું અભિધાન ઍપોલોનિયસે આપ્યું. પાસ્કલે વર્તુળના પ્રક્ષેપ તરીકે પરવલયની ગણના કરી. ગેલિલિયોએ દર્શાવ્યું કે એકધારા ગુરુત્વાકર્ષી બળની અસર નીચે પડતા પદાર્થો પરવલયાકાર પથ બનાવે છે. ગ્રેગરી અને ન્યૂટને પરવલયના પરાવર્તી કિરણ અંગેના ગુણધર્મોની ગણના કરી, જે સમાંતર કિરણને નાભિમાં કેન્દ્રિત કરે છે. પરવલયનું સમીકરણ y = x² છે. તેનું પ્રાચલ સમીકરણ x = t, y = t² છે. x´ = 1, x´´ = 0; y´ = ²t, y´´ = 2 છે. આથી પરવલયાકાર વક્રની વક્રતા

પરવલય જે બિંદુ આગળ અક્ષને છેદે છે તે પરવલયનું શીર્ષ (vertex) છે. પરવલયનું કાર્તેઝીય યામમાં પ્રમાણિત સમીકરણ

y² = 4ax છે. (આકૃતિ 6). x અક્ષ પરવલયની અક્ષ છે અને

x  =− a તેની નિયામિકા છે. (a, 0) નાભિ છે. અક્ષને લંબ રૂપે, નાભિમાંથી પસાર થતી જીવા તે નાભિલંબ (lafus rectum) છે. પરવલય તેના અક્ષ પરત્વે સમમિત છે.

નાભિકીય ગુણધર્મ : વક્ર પરના કોઈ પણ (P) બિંદુ માટે તે બિંદુ આગળનો સ્પર્શક, નાભિ (F)ને P બિંદુ સાથે જોડતી રેખા અને Pમાંથી પરવલયની અક્ષને સમાંતર દોરેલી રેખા સાથે સરખા ખૂણા રચે છે એટલે કે ∠ FPA = ∠ BPC = α છે. તેને પરાવર્તી (આકૃતિ 6) ગુણધર્મ, પ્રકાશિકી (optical) ગુણધર્મ કે ધ્વનિક (accoustical) ગુણધર્મ કહેવામાં આવે છે.

ઉપવલય : સમતલમાં આવેલાં એવાં સઘળાં બિંદુઓ કે જેમનાં બે નિશ્ચિત બિંદુ F₁, F₂ (એકબીજાથી 2C અંતરે આવેલાં)થી મળતાં અંતર r₁, r₂નો સરવાળો અચળ (2a) જેટલો હોય તેવાં બિંદુઓનો બિંદુપથ (આકૃતિ 7) તે ઉપવલય છે. આ વક્રની ઉત્કેન્દ્રતા e < 1 છે.

ઉપવલય (ellipse) : વક્ર પરનાં જે બિંદુઓનું વક્રનાં નાભિઓથી અંતર, ઊર્ધ્વરેખા(નિયામિકા)થી તે બિંદુઓના સમક્ષિતિજ અંતરના સમપ્રમાણમાં હોય (આકૃતિ 7) તેવાં બિંદુઓનો ગણ તે ઉપવલય (આકૃતિ 8).

ઉપવલયનો પ્રથમ અભ્યાસ મેનેક્મસે કર્યો, તેનું પરિશીલન યુક્લિડે કર્યું અને ઍપોલોનિયસે તેને ‘ઉપવલય’ એવું નામ આપ્યું. તેની નાભિ અને નિયામિકા અંગે પાપુસે વિચારણા કરેલી. મંગળની ભ્રમણકક્ષા અંડાકાર છે એમ કૅપ્લર માનતો, પરંતુ પાછળથી તેણે શોધી કાઢ્યું કે તે ઉપવલયાકાર છે અને તેની નાભિ આગળ સૂર્ય છે. વાસ્તવમાં કૅપ્લરે ‘નાભિ’ શબ્દ પ્રયોજ્યો અને પ્રચલિત બનાવેલો. હેલીએ બતાવ્યું કે ધૂમકેતુ સૂર્યની આસપાસ પરવલયાકાર કક્ષામાં ભ્રમણ કરે છે.

ઊગમબિંદુ કેન્દ્ર હોય અને યામાક્ષો ઉપવલયની અક્ષો હોય તેવા ઉપવલયનું કાર્તેઝીય સ્વરૂપમાં સમીકરણ  છે. અહીં a અને b અનુક્રમે ઉપવલયની અર્ધપ્રધાન અક્ષ અને અર્ધગૌણ અક્ષ છે. (આકૃતિ 8). ઉપવલયનું પ્રાચલ સમીકરણ x = a cos t, y = b sin t છે. પદિક બિંદુ નાભિ આગળ હોય ત્યારે પદિક (pedal) યામોમાં ઉપવલયનું પદિક સમીકરણ છે. ઉપવલય માટે વક્રતા-ત્રિજ્યા

ઉપવલયનું ક્ષેત્રફળ = pab છે. ઉપવલય સંહતિનો પરિસ્પર્શક છે. ઉપવલયના કેન્દ્રજનું સમીકરણ  છે, જે ઍસ્ટ્રૉઇડ છે.

અતિવલય (hyperbola) : બંને તરફ સંમિત શાખાઓવાળો આવૃત (open) વક્ર છે. આ વક્રની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) e > 1 છે. કાર્તેઝીય સ્વરૂપમાં આ વક્રનું પ્રમાણિત સમીકરણ  છે. આ વક્રને બે શાખા છે. એક શાખા ઊગમબિંદુની એક તરફ અને બીજી શાખા બીજી તરફ છે. બંને શાખા x અક્ષને છેદે છે. આ વક્ર x અક્ષ અને y અક્ષ બંને સાપેક્ષે સંમિત છે. સંમિતતાના આ અક્ષોને અનુક્રમે અનુપ્રસ્થ કે આડી (transverse) અને અનુબદ્ધ (conjugate) અક્ષ કહેવામાં આવે છે. અતિવલયના કેન્દ્રની એક તરફ અને બીજી તરફ બીજી એમ બે નિયામિકા (directrix) અને બે નાભિ હોય છે. (આકૃતિ 9). અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા  છે. બે નાભિ વચ્ચેનું અંતર  F₁F₂ = C છે એટલે કે  છે. 2a અનુપ્રસ્થ અક્ષની લંબાઈ અને 2b અનુબદ્ધ અક્ષની પહોળાઈ છે. એ બે અનંત સ્પર્શકો છે. અનુપ્રસ્થ અને અનુબદ્ધ અક્ષો સરખી હોય ત્યારે એટલે કે a = b હોય ત્યારે y = x અને y =  x અનંત સ્પર્શકો થાય છે, જે પરસ્પરને લંબ રૂપે હોય છે. અનંત સ્પર્શકો પરસ્પરને લંબ રૂપે હોય તેવા અતિવલયને લંબાતિવલય  (rectangular hyperbola) કહેવામાં આવે છે. તેનું સમીકરણ x² − y² = a² છે. તેને સમભુજ (equilateral) કે સમકોણી (equiangular) અતિવલય પણ કહેવામાં આવે છે. અતિવલયની બે શાખાના શીર્ષમાંથી પસાર થતા અને જેનું કેન્દ્ર અતિવલયનું કેન્દ્ર હોય તેવા વર્તુળને ઉત્કેન્દ્રતા(eccentric)-વર્તુળ કહેવામાં આવે છે. આ વર્તુળની ત્રિજ્યા a છે. આ વર્તુળને સહાયક વર્તુળ (auxiliary circle) (આકૃતિ 10) પણ કહેવામાં આવે છે. b જેટલી ત્રિજ્યા લઈને પણ ઉત્કેન્દ્રતા-વર્તુળ દોરી શકાય. અતિવલય પર P બિંદુ લઈ તેમાં xઅક્ષ પર દોરેલો લંબ જે બિંદુ આગળ xઅક્ષને મળે (N) તે બિંદુમાંથી સહાયક વર્તુળને દોરેલા સ્પર્શકનું સ્પર્શબિંદુ P´ છે. OP´ અને xઅક્ષ વચ્ચેના ખૂણા P´OX ને ઉત્કેન્દ્રતા-કોણ α કહેવામાં આવે છે. (આકૃતિ 10). અતિવલયના નાભિ F1, F2 સાથે બે ગુણધર્મ સંકળાયેલા છે : (1) અતિવલય પરના કોઈ બિંદુ P માટે PF₁, PF₂ વચ્ચેનો નિરપેક્ષ તફાવત | PF₁  PF₂ | = 2a અચળ છે.

અતિવલયનો નાભિકીય ગુણધર્મ : અતિવલય પરના P બિંદુ આગળનો સ્પર્શક APB, નાભિને P બિંદુ સાથે જોડતી રેખાઓ સાથે સરખા ખૂણા બનાવે છે. જેમ કે, ∠ F₁PA = ∠ F₂PA (આકૃતિ 11). આ ગુણધર્મને પરાવર્તનનો ગુણધર્મ કહેવામાં આવે છે. અતિવલયની એક નાભિમાંથી આવતા પ્રકાશના કિરણનું અતિવલયાકાર પરાવર્તકથી પરાવર્તન થતાં તે બીજી નાભિમાંથી આવતું હોય તેમ જણાય છે. આ પ્રકાશિક (optical) ગુણધર્મ છે. આ જ રીતે ધ્વનિનું પણ પરાવર્તન થતું હોવાથી આ ગુણધર્મને ધ્વાનિક (accoustical) ગુણધર્મ પણ કહેવામાં આવે છે. (આકૃતિ 11). ધ્રુવીય યામોમાં ઊગમબિંદુ હોય એવા અતિવલયનું સમીકરણ  છે અતિવલયનું પ્રાચલ સમીકરણ  છે.

યુક્લિડ અને એરિસ્ટાયસે સામાન્ય (general) અતિવલય વિશે અને તેની એક જ શાખા વિશે લખ્યું હતું. લંબાતિવલય વિશે મેનેક્મસે સર્વપ્રથમ અભ્યાસ કર્યો. ઍપોલોનિયસે વક્રનું ‘અતિવલય’ એવું નામ આપ્યું તેમજ વક્રની બંને શાખાઓનો અભ્યાસ કર્યો. અતિવલયની નાભિ અને નિયામિકા અંગે પાપુસે વિચારણા કરી.

કેસિની(Cassinni)ના અંડાકાર વક્રો : સૂર્ય અને પૃથ્વીની સાપેક્ષ ગતિના અભ્યાસ દરમિયાન ફ્રેંચ ખગોળશાસ્ત્રી જિયોવાની ડૉમેનિકો કેસિની(1625-1712)ને થયું કે વક્રનું સ્વરૂપ k અને aના ગુણોત્તર ઉપર આધાર રાખે છે. બે નિશ્ચિત બિંદુ A અને Bથી જેના અંતરનો ગુણાકાર અચળ (k²) હોય તેવા ગતિ કરતા બિંદુનો બિંદુપથ તે કેસિની વક્ર છે. કેસિની વક્રનું કાર્તેઝીય સમીકરણ [(x + a)² + y²]

[(x − a)² + y²] = k⁴ છે. અહીં a, નિશ્ચિત બિંદુ A, B વચ્ચેનાં અંતરથી અડધું કે નિશ્ચિત રેખા SS´ થી અડધું અંતર છે. આમ

a = SS’/2 અને k² અચળ છે.

k² > a² હોય ત્યારે સળંગ એક જ વક્ર મળે છે; k² < a² હોય ત્યારે વક્ર બે અંડાકારનો બનેલો હોય છે, પરંતુ k² = a² હોય ત્યારે વક્ર બર્નુલીની દ્વિપાશી (લેમ્નિસ્કેટ) આકારનો હોય છે. જેનું સમીકરણ (x² + y²)² = a² (x² − y²) કે r² = a² cos 2θ છે. (આકૃતિ 12).

ત્રિઘાતી પરવલય (cubical parabola) : ત્રિઘાતી વક્રનો અભ્યાસ સર આઇઝેક ન્યૂટને કર્યો હતો. y = ax³ + bx² + cx + d ત્રિઘાતી સમીકરણનું એક પ્રમાણિત સ્વરૂપ છે. આકૃતિ 13 દ્વારા દર્શાવેલ વક્ર y = ax³નો ઉપયોગ જી. ડબ્લ્યૂ. લાઇબ્નિત્ઝે કર્યો હતો (1675). તેમાં a = 1 મૂકતાં y = x³ મળે છે. તેનો ઉપયોગ ગૅસ્પાર્ડ મૉન્ગેએ કર્યો (1815). અર્ધઘન પરવલય x³ = ay² પણ લાઇબ્નિત્ઝે મેળવેલો. ઈ. સ. 1748માં મારિયા એગ્નેસીએ xy² = 4a² (2a − x), a = વર્તુળની ત્રિજ્યા. આ વક્રની ‘વિચ-ઑવ્-એગ્નેસી’ કે ‘વર્સિયેરા’ સમાલોચના કરી. 1692માં જી. એફ. લાપીટલ અને હ્યુગન્સ અને ત્યારબાદ 1701માં ન્યૂટને વક્ર x²y + aby  a²x = 0, ab > 0નો અભ્યાસ કર્યો અને તેને ‘સર્પિલ’ (spiral) એવું નામ આપ્યું.

આ વક્રનું ધ્રુવીય સમીકરણ r = f(θ) સ્વરૂપનું છે. અહીં q સાથે r વધે છે અને ઘટવાની સાથે ઘટે છે. r = aθ આર્કિમિડીઝ સર્પિલ અને rθ = a અતિવલીય કે વ્યસ્ત સર્પિલનું સમીકરણ છે.   લઘુગણકીય સર્પિલનું સમીકરણ છે. આ વક્રના કોઈ પણ બિંદુ આગળનો સ્પર્શક સદિશ ત્રિજ્યા સાથે ‘b’ ખૂણો બનાવે છે, આથી એને સમકોણી (equilangular) સર્પિલ (આકૃતિ 14-અ) પણ કહેવામાં આવે છે. ક્લોથૉઇડ કે કોર્નુ (cornu) સર્પિલનું સ્વાયત્ત (intrinsic) સમીકરણ a²k = S છે, જેના કોઈ પણ બિંદુ P આગળ વક્રની વક્રતા, ધ્રુવથી તે બિંદુ સુધીના ચાપની લંબાઈ(arc length)ના સમપ્રમાણમાં હોય છે. વક્રનું પ્રાચલ સમીકરણ   છે. અહીં C અને S ફ્રેનલ સંકલ છે. (આકૃતિ 14-આ). તેનો ઉપયોગ ભૌતિકશાસ્ત્રમાં વિવર્તન ભાત(diffraction pattern)નું પૃથક્કરણ કરવામાં થાય છે.

r²θ = a² વિશિષ્ટ સર્પિલ છે, જે ધ્રુવ અક્ષને અનંતસ્પર્શી છે.

ચક્રજ (cycloid) : આકર્ષક સ્વરૂપ અને સુંદર ગુણધર્મો ધરાવતો હોવાથી તેમજ બ્રેકિસ્ટોક્રોન અને ટોટોક્રોન સમસ્યાઓનો ઉકેલ ચક્રજ હોવા અંગે સત્તરમી સદીના ગણિતીઓમાં વાદવિવાદ થયેલો તેથી આ વક્ર ‘ભૂમિતિવિદોની હેલન’ નામથી ઓળખાવા લાગ્યો.

નિશ્ચિત સુરેખા પર લપસ્યા સિવાય ગબડતા વર્તુળના પરિઘ પરના કોઈ બિંદુ દ્વારા અંકિત થયેલા બિંદુપથને ચક્રજ કહેવામાં આવે છે. (આકૃતિ 15). ગબડતા વર્તુળને સર્જક વર્તુળ (generating circle) કહે છે. વક્રમાં એકસરખા સ્વરૂપના ખંડોનું પુનરાવર્તન થાય છે. આકૃતિ O અને Q બિંદુ આગળ નિશિત (Cusp) છે. બે નિશિત વચ્ચેના વક્ર OPQને ચક્રજ કહેવામાં આવે છે.

ચક્રજનું પ્રાચલ સમીકરણ છે. બે નિશિત વચ્ચેના ચક્રજ ચાપની લંબાઈ 8a છે. અહીં સર્જક વર્તુળની ત્રિજ્યા a છે. ચક્રજનું ક્ષેત્રફળ સર્જક વર્તુળના ક્ષેત્રફળ કરતાં ત્રણગણું હોય છે. બિંદુપથ કંડારતું બિંદુ પરિઘને બદલે સર્જકવર્તુળના કેન્દ્રથી અમુક અંતરે અને વર્તુળની ત્રિજ્યા પર હોય ત્યારે મળતા બિંદુપથને ટ્રોકોઇડ કહેવામાં આવે છે. વક્રને ‘ચક્રજ’ નામ ગેલિલિયોએ આપ્યું હતું. વળી ગેલિલિયોએ ચક્રજ આકારના ધાતુના કકડાઓનું વજન કરી તેનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનો પ્રયાસ કર્યો હતો. નિશ્ચિત સ્થિર વર્તુળના પરિઘ પર લપસ્યા સિવાય ગબડતા બીજા વર્તુળના પરિઘ પરના બિંદુએ અંકિત કરેલા વક્રને સ્થિર વર્તુળની બહારની તરફ રહીને સર્જક વર્તુળ ગબડતું હોય ત્યારે બિંદુપથને અધિચક્રજ (epicycloid) (આકૃતિ 16-અ) અને અંદર રહીને ગબડતું હોય ત્યારે બિંદુપથને પરાચક્રજ (hypocycloid) કહેવામાં આવે છે.

સર્જક વર્તુળની ત્રિજ્યા, સ્થિર વર્તુળની ત્રિજ્યાથી ચોથા ભાગની હોય ત્યારે પરાચક્રજનું સમીકરણ

છે. આ વક્રને ચાર નિશિત(cusp)વાળો ઍસ્ટ્રૉઇડ કહે છે. એપિસાઇક્લોઇડમાં સર્જક વર્તુળની ત્રિજ્યા અને સ્થિર વર્તુળની ત્રિજ્યા બરાબર હોય (b = a) ત્યારે વક્રને કાર્ડિયોઇડ (cardioide) કહેવામાં આવે છે. તેનું ધ્રુવીય સમીકરણ r = 2a (1+ cos θ) છે. આ વક્રના એપિટ્રોકોઇડને લીઝેકોન કહેવામાં આવે છે.

રજ્જુવક્ર (catenary) : ગુરુત્વાકર્ષણના બળની અસર નીચે મુક્તપણે લટકતી એકસરખીસંપૂર્ણસુનમ્ય, સખત દોરીથી બનતો વક્ર તે રજ્જુવક્ર છે. ઝીણી ઝીણી કડીઓવાળી લીસી સાંકળી પણ રજ્જુવક્ર રચે છે. આને કારણે વક્રને ‘ચેઇનેટ’ કહેવામાં આવે છે.

રજ્જુવક્રનું કાર્તેઝીય સમીકરણ   છે, જેને સ્વરૂપમાં જેકબ બર્નુલીએ દર્શાવ્યો હતો. આ બીજાતીત (non-algebraic) વક્ર છે અને y અક્ષ સાપેક્ષે સંમિત છે. x = 0 હોય ત્યારે y = c છે અને બિંદુ C(0, c)ને વક્રનું શીર્ષ કહેવામાં આવે છે. | x | → ∝ ત્યારે y → ∝ છે. આથી વક્રની બંને શાખાઓ CP અને CP´ અનંતને અનુલક્ષે છે. વક્ર માટે ચાપની લંબાઈ

એગ્નેસીનો વક્ર : આપેલા વર્તુળ પર પ્રથમ એક બિંદુ P લઈ, વર્તુળના વ્યાસ PQના Q બિંદુએ સ્પર્શક દોરીએ. P બિંદુમાંથી વર્તુળને R બિંદુ આગળ છેદતી રેખા દોરવામાં આવે છે, જે સ્પર્શ- રેખાને S બિંદુ આગળ છેદે છે. Rમાંથી QSને સમાંતર રેખા દોરવામાં આવે છે અને Sમાંથી QPને સમાંતર રેખા દોરવામાં આવે છે. આ બે રેખાઓ પરસ્પરને P´ આગળ છેદે છે. એગ્નેસીનો વક્ર એ સર્જક વર્તુળ (generating circle) પરનાં R જેવાં સઘળાં બિંદુઓ માટે P´ જેવાં  બિંદુઓનો (બિંદુ)પથ (locus) છે.  P બિંદુ ઊગમબિંદુ (0, 0) અને Q બિંદુને (2a, 0) છે :

વક્રનું સમીકરણ xy² = 4a² (2a − x) છે.

અઢારમી સદીમાં 1748માં મારિયા એગ્નેસીએ આ વક્રનો અભ્યાસ કરી તેમના પુસ્તક ‘મેક-ટ્યૂટર આર્કાઇવ્ઝ’માં રજૂ કર્યો. ઇટાલિયન ગણિતી ગીડો-ગ્રાન્ડી(Guido-Grandi)એ અગાઉ આ વક્રનું નામ લૅટિન શબ્દ ‘વર્ટીરો’ (વળાંક લેવો) પરથી ‘વર્સોરિયો’ આપ્યું હતું. એગ્નેસીએ નામમાં ગૂંચવાડો કર્યો. તેમણે તેને ‘વર્સિયેરા’ નામ આપ્યું; જેનો એક તળપદો અર્થ ‘ડાકણ’ એવો થાય છે. આમ આ વક્ર સાથે ‘એગ્નેસીની ડાકણ’ શબ્દપ્રયોગ રૂઢ થઈ ગયો.

એ. આર. રાવ, શિવપ્રસાદ મ. જાની