લૅટિસ ગતિશાસ્ત્ર (Lattice Dynamics) અથવા લૅટિસ કંપનો (Lattice Vibrations)

લૅટિસ ગતિશાસ્ત્ર (Lattice Dynamics) અથવા લૅટિસ કંપનો (Lattice Vibrations) : સમતોલ અવસ્થામાં લૅટિસ તત્વો n, n + 1 નાં દોલનો. લૅટિસ ગતિશાસ્ત્ર અથવા લૅટિસ કંપનો સમજવા માટે એક સરળ પ્રયાસના ભાગ રૂપે અનંત લંબાઈ ધરાવતી એક સમાન દળ ધરાવતા પરમાણુઓની એક-પરિમાણીય સુરેખ લૅટિસની કલ્પના કરવામાં આવે છે. આ લૅટિસમાં ઉત્પન્ન થતાં કંપનોને સળંગ દોરીમાં ઉત્પન્ન થતાં કંપનો (જેમ કે મેલ્ડેના પ્રયોગમાં મળતાં કંપનો, સિતારના તારમાં મળતાં કંપનો, તેના વચ્ચેના ગાળાઓ અને પ્રકારો) સાથે સરખાવવામાં આવે છે. સુરેખ એક-પરિમાણીય લૅટિસમાં પરસ્પર બે પરમાણુઓ વચ્ચેનું અંતર a છે અને બે પરમાણુઓ હુકના નિયમ (Hooke’s law) અનુસાર નજીકના પરમાણુઓ સાથે આંતરપ્રક્રિયા કરે છે. કંપનના કારણે તેમની સમતોલ અવસ્થા(equilibrium position)માં થતો ફેરફાર x₀, x₁, x₂, …….. x_n-1, x_n, x_n+1 વડે દર્શાવવામાં આવે છે. આકૃતિ 1માં અનંત લંબાઈની સુરેખ, એક-પરિમાણીય, લૅટિસ દર્શાવેલ છે. કાળાં બિંદુઓ પરમાણુઓનાં સમતોલ સ્થાનો (equilibrium positions) દર્શાવે છે અને આછાં બિંદુઓ સ્થાનાંતરિત સ્થાનો દર્શાવે છે :

n-મા ક્રમના કણ માટે ગતિનું સમીકરણ નીચે પ્રમાણે છે :

અહીં f બળ-અચળાંક (force constant) છે, જે બે કણો વચ્ચે આંતરપ્રક્રિયા કરે છે. આ વિકલન સમીકરણ નીચે પ્રમાણેના ચલિત તરંગ (running wave) વડે ઉકેલી શકાય છે :

જ્યાં C_s એ ગતિ કરતા તરંગનો વેગ છે,  તરંગ-સદિશ (wave vector) દર્શાવે છે, na એ nમા ક્રમના કણના ઉદગમસ્થાન(origin)ને સાપેક્ષ સમતોલ અવસ્થાથી અંતર દર્શાવે છે. આ સમીકરણનો વિકલન સમીકરણ(differential equation)માં ઉપયોગ કરતાં અને x_n વડે ભાગતાં નીચેનું પરિણામ મળે છે :

અહીં પ્રાપ્ત થયેલી તરંગોની આવૃત્તિ તરંગ-સદિશ qના રૂપમાં પ્રાપ્ત થાય છે, અને q આવૃત્તિ w_oને અનુરૂપ છે.

એક-પરિમાણીય સુરેખ લૅટિસમાં સ્થિતિસ્થાપક તરંગોની આવૃત્તિ તરંગ-સદિશના વિધેય તરીકે આકૃતિ 2માં દર્શાવેલ છે. તૂટક રેખાઓ સળંગ દોરી(continuous string)ની સ્થિતિ દર્શાવે છે. આકૃતિમાં પ્રથમ અને દ્વિતીય બ્રિલિયન (અથવા બ્રિલાં-Brillouin) વિસ્તાર (zone) દર્શાવેલ છે. સળંગ દોરીવાળા કિસ્સામાં આવૃત્તિ છે અને υ તરંગ-સદિશ q ના સપ્રમાણમાં છે, જે આકૃતિમાં b વક્ર વડે દર્શાવેલ છે. સળંગ દોરીવાળો કિસ્સો અને સુરેખ લૅટિસમાં ગોઠવાયેલા પરમાણુઓની એક-પરિમાણીય લૅટિસ, એકસમાન પ્રકારના કંપનનાં પરિણામો આપે છે જ્યારે q a << 1 હોય છે, એટલે કે તરંગ બંને પરમાણુઓ વચ્ચેના અંતર કરતાં મોટું હોય છે. પરંતુ, સળંગ દોરી અને પારમાણ્વિક દળોની સુરેખ ગોઠવણીવાળી એક-પરિમાણીય લૅટિસના કિસ્સાઓ વચ્ચે મૂળભૂત તફાવત છે. સળંગ દોરી ધરાવતા કિસ્સામાં તરંગની ગતિનો વેગ તરંગલંબાઈથી સ્વતંત્ર છે; પરંતુ પરમાણુઓની સુરેખ લૅટિસની ગોઠવણીમાં તરંગનો પ્રસરણ-વેગ (propagation velocity) તરંગલંબાઈ ઘટતાં ઘટે છે. અન્ય એક અગત્યના પરિણામમાં સમીકરણ (2)માં qને બદલે મૂકીને સમીકરણ (3) ઉપરથી જાણી શકાય છે કે q અને 1_m કંપનરીતિ (vibration modes) માટે આવૃત્તિઓ એક-સમાન છે, બીજા શબ્દોમાં તરંગ-સદિશ qને અનુરૂપ અને અન્ય તરંગ-સદિશ ને અનુરૂપ પરમાણુઓની ગોઠવણીઓ એક જ પ્રકારનાં કંપનોની અવસ્થા આપે છે. તરંગ-સદિશ qની તે માટેની અવધિ (range)  છે. q ની ધનકિંમત તરંગની એક દિશામાં ગતિ દર્શાવે છે અને ઋણ (negative) કિંમત વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ દર્શાવે છે. આકૃતિ 2માં દર્શાવ્યા મુજબ, આવૃત્તિ, qનું આવૃત્તીય વિધેય (periodic function) છે. અહીં  પ્રથમ બ્રિલિયન વિસ્તાર (ઝોન) છે. બીજો બ્રિલિયન વિસ્તાર બે ભાગમાં વહેંચાયેલ છે. તેનો પ્રત્યેક ભાગ અડધા આવર્તકાળનો બનેલ છે.

અનંત પ્રકારની સુરેખ લૅટિસનાં કંપનોને સીમિત પ્રકારની લૅટિસનાં કંપનોમાં યોગ્ય સીમા-શરતો (boundary conditions) ઉમેરીને રૂપાંતરિત કરી શકાય છે. આ કારણે મળતા તેના કુદરતી કંપનના પ્રકારો(modes of vibrations)ની સંખ્યા જાણી શકાય છે. બે પ્રકારે સીમા-શરતો લાદી શકાય છે : (1) સીમા-શરતો કે જે સ્થિત તરંગ (standing wave) આપે છે અને (2) બૉર્ન (Born) અને કાર્મેન(Karman)ની આવર્તી સીમાશરતો (periodic boundary conditions).

ઘન પદાર્થોની કંપનઊર્જા(vibrational energy)ની ગણતરી કરવા માટે હાર્મોનિક દોલક(harmonic oscillator)નો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. કોઈ એક કંપનપ્રકાર(vibrational mode)ની શક્તિ તેટલી જ આવૃત્તિના હાર્મોનિક દોલકના દોલનની શક્તિ (ઊર્જા) જેટલી જ હોય છે. આ સિદ્ધાંતની મદદથી એક-પરિમાણીય એકસમાન પ્રકારના પરમાણુઓની લૅટિસ માટે વિશિષ્ટ ઉષ્મા (specific heat) પ્રાપ્ત કરી શકાય છે.

જુદા જુદા પ્રકારના બે દળ m અને M ધરાવતા દ્વિ-પારમાણ્વિક (diatomic) લૅટિસ, સમીકરણના ઉકેલ બાદ બે શક્યતાઓ સુરેખ લૅટિસનાં કંપનો માટે આપે છે. આ પ્રકારની સુરેખ લૅટિસ આકૃતિ 3માં દર્શાવેલ છે.

એક જ પ્રકારના પરમાણુઓ ધરાવતી લૅટિસ(mono atomic lattice)ની સરખામણીએ દ્વિ-પ્રકારના પરમાણુઓ ધરાવતી લૅટિસ (diatomic lattice), બે-કોણીય આવૃત્તિઓ w₊ અને w_– આપે છે, જે એક જ તરંગ-સદિશ q માટે મળે છે.

આકૃતિ 4માં દર્શાવેલ આલેખમાં બે શાખાઓ દર્શાવેલ છે : (1) ω_– ને અનુરૂપ ધ્વનિ શાખા (Acoustic branch) અને (2) ω₊ ને અનુરૂપ પ્રકાશ શાખા (optical branch). જો M > m અને q = 0 હોય તો માટે મળે છે. જેમ કિંમત વધારે તેમ બે પટ્ટ (bands) વચ્ચે પ્રતિબંધિત વિસ્તાર (forbidden gap) વધારે હોય છે. આ કારણે આયનિક સ્ફટિકો પારરક્ત (infrared) વિસ્તારમાં વધારે શોષણ કરે છે. આ શોષણ દરમિયાન લૅટિસનો ધન આયન ઋણ આયનને સાપેક્ષ એવી રીતે કંપન કરે છે કે જેથી તેનું ગુરુત્વકેન્દ્ર (centre of gravity) અચળ રહે. આ લૅટિસ કંપનો ત્રિ-પરિમાણીય લૅટિસ માટે પણ ગણી શકાય છે. લૅટિસ કંપનોના જુદા જુદા પ્રકારો ગણવા માટે બૉર્ન (Born), ફોન કાર્મેન (Von Karman) અને બ્લૅકમૅન (Blackman) નામના વૈજ્ઞાનિકોએ પ્રયાસો કર્યા હતા. આ પદ્ધતિ વડે પદાર્થની વિશિષ્ટ ઉષ્મા પ્રાપ્ત કરી શકાય છે, જે રીતે ડીબાય(Debye)ના મૉડલમાં મેળવવામાં આવેલ છે.

મિહિર જોશી