યાદૃચ્છિક પ્રક્રિયાઓ (stochastic random processes)
ભૌતિક ર્દષ્ટિએ યાદૃચ્છિક પ્રક્રિયા અમુક રાશિની કિંમતમાં સમય અથવા સ્થળ અનુસાર યાદૃચ્છિક રીતે થતી વધઘટનો સંભાવના સિદ્ધાંત દ્વારા થતા અભ્યાસનો નિર્દેશ કરે છે.
સૌપ્રથમ યાદૃચ્છિક પ્રક્રિયા અને તેની સાથે સંબંધિત પદોની વ્યાખ્યા જોવી જરૂરી છે.
ધારો કે X સંભાવના અવકાશ (Ω, ℑ, P) પર વ્યાખ્યાયિત એક યાદૃચ્છિક ચલ છે. અહીં સંકેત Ω નિદર્શાવકાશ, સંકેત ℑ નિદર્શાવકાશ Ωના ઉપગણોનું સિગ્મા-ક્ષેત્ર (σ-field) અને સંકેત P સિગ્મા-ક્ષેત્ર ℑ પર વ્યાખ્યાયિત સંભાવના-માપ (Probability measure) દર્શાવે છે. ધારો કે I એક સૂચક અથવા પ્રાચલ ગણ (index or parameter set) છે.
1. યાદૃચ્છિક પ્રક્રિયાની વ્યાખ્યા : યાદૃચ્છિક ચલોના સમુદાય {X(t) : t∈I}ને યાદૃચ્છિક પ્રક્રિયા કહે છે.
સામાન્ય રીતે પ્રાચલ ગણ Iનો ઘટક t સમયનો નિર્દેશ કરે છે. સમય tનો એકમ મિનિટ, કલાક, દિવસ, સપ્તાહ, મહિનો અથવા વર્ષ હોઈ શકે. પ્રચલ ગણ I અસતત (સાન્ત અથવા ગણ્ય) અથવા સતત (અગણ્ય) હોઈ શકે. પ્રાચલ ગણ Iના ભિન્ન ઘટકો t માટે યાદૃચ્છિક ચલ X(t)એ ધારણ કરેલ કિંમતોના ગણ Aને પ્રક્રિયાનો અવસ્થા- અવકાશ કે અવસ્થાગણ (state space or set) કહે છે. જો t∈I અને a∈A માટે X(t) = a હોય તો aને યાદૃચ્છિક પ્રક્રિયાની t સમયની અવસ્થા કહેવાય. અવસ્થા-અવકાશ A પણ અસતત (સાન્ત અથવા ગણ્ય) કે સતત (અગણ્ય) હોઈ શકે.
આકૃતિ 1 : યાદૃચ્છિક પ્રક્રિયાઓ
જ્યારે પ્રાચલ ગણ I અસતત હોય ત્યારે યાદૃચ્છિક પ્રક્રિયાને સંકેત {X(t) : t∈I}ને બદલે સંકેત {Xt : t∈I} વડે દર્શાવવાની પ્રણાલિકાને અનુસરવું ઇષ્ટ છે.
જો પ્રાચલ ગણ I અસતત હોય તો યાદૃચ્છિક પ્રક્રિયા {Xt : t∈I}ને અસતત પ્રાચલ (discrete parameter) યાદૃચ્છિક પ્રક્રિયા કહે છે. જો પ્રાચલ ગણ I સતત હોય એટલે કે I વાસ્તવિક રેખા R પરનો અંતરાલ હોય તો યાદૃચ્છિક પ્રક્રિયા {Xt : t∈I}ને સતત પ્રાચલ (continuous parameter) યાદૃચ્છિક પ્રક્રિયા કહેવાય છે. આમ યાદૃચ્છિક પ્રક્રિયાઓને તેમના પ્રાચલ ગણ I અને અવસ્થા-અવકાશ Aના સ્વરૂપ અને પ્રકારો અનુસાર નીચેના ચાર વર્ગોમાં વહેંચાય છે :
વર્ગ 1 : જો I અને A બંને અસતત ગણો હોય તો યાદૃચ્છિક પ્રક્રિયાને અસતત પ્રાચલ અને અસતત અવસ્થા-અવકાશ-યુક્ત યાદૃચ્છિક પ્રક્રિયા કહેવાય.
વર્ગ 2 : જો I અસતત હોય અને A સતત હોય તો યાદૃચ્છિક પ્રક્રિયાને અસતત પ્રાચલ અને સતત અવસ્થા અવકાશ-યુક્ત-યાદૃચ્છિક પ્રક્રિયા કહેવાય.
વર્ગ 3 : જો I સતત અને A અસતત હોય તો યાદૃચ્છિક પ્રક્રિયાને સતત પ્રાચલ અને અસતત અવસ્થા-અવકાશ-યુક્ત યાદૃચ્છિક પ્રક્રિયા કહેવાય.
વર્ગ 4 : જો I અને A બન્ને સતત હોય તો યાદૃચ્છિક પ્રક્રિયાને સતત પ્રાચલ અને સતત અવસ્થા-અવકાશ-યુક્ત યાદૃચ્છિક પ્રક્રિયા કહેવાય.
ઉદાહરણ 1 : ધારો કે એક સિક્કાને n વખત ઉછાળવામાં આવે છે અને સિક્કાને t-મા પ્રયત્ને ઉછાળવાથી મળતા પરિણામ સાથે સંકળાયેલ યાદૃચ્છિક ચલ Xt છે. t-મા પ્રયત્ને છાપ (કાંટો) મળે તો Xt = 1(0) છે એમ ધારો. આમ યાદૃચ્છિક ચલ Xt દ્વિઅંકી (binary) અથવા બર્નુલી ચલ થશે. જો Y1 = X1, Y2 = X1 + X2, Yt = X1 + X2 + …. + Xt લઈએ તો {Yt : t∈I} યાદૃચ્છિક પ્રક્રિયા થશે. અહીં I = {1, 2, …, n} અને A = {0, 1, 2, …, n} થશે. ગણો I અને A બંને અસતત હોવાથી પ્રક્રિયા {Yt : t∈I} વર્ગ 1 પ્રકારની યાદૃચ્છિક પ્રક્રિયા થશે.
ઉદાહરણ 2 : ધારો કે Xt મા દિવસે પડેલ વરસાદનું માપ દર્શાવે છે. અહીં t = 0, 1, 2, …, તો સમુદાય {Xt : t = 0, 1, 2,…} એક યાદૃચ્છિક પ્રક્રિયા કહેવાય. હવે કોઈ પણ t માટે વરસાદનું માપ Xt ≥ 0 હોવાથી યાદૃચ્છિક પ્રક્રિયાનો અવસ્થા-અવકાશ A = [0, α] થશે. વધુમાં I = {0, 1, 2, …} અહીં પ્રચલ ગણ I અસતત અને અવસ્થા-અવકાશ A સતત હોવાથી પ્રક્રિયા {Xt : t∈I} વર્ગ 2 પ્રક્રારની પ્રક્રિયા થશે.
ઉદાહરણ 3 : ધારો કે સમય t ≥ 0 માટે X(t) t સમયે કોઈ એક ધોરી માર્ગ પર વાહનોની સંખ્યા દર્શાવે છે. અહીં I = [0, α] થશે. તેથી યાદૃચ્છિક ચલોનો સમુદાય {X(t) : t∈I} એક યાદૃચ્છિક પ્રક્રિયા થશે. યાદૃચ્છિક ચલ X(t) t સમયે વાહનોની સંખ્યા દર્શાવતો હોવાથી અવસ્થા-અવકાશ A = {0, 1, 2, …, N} થશે, જ્યાં N ધોરી માર્ગ પરનાં વાહનોની મહત્તમ સંખ્યા દર્શાવે છે. અહીં પ્રાચલ ગણ I સતત અને અવસ્થા-અવકાશ A અસતત હોવાથી યાદૃચ્છિક પ્રક્રિયા {X(t) : t∈I} વર્ગ 3 પ્રકારની પ્રક્રિયા થશે.
ઉદાહરણ 4 : ધારો કે સમય t ≥ 0 માટે X(t) t સમયે કોઈ એક સ્થળનું ઉષ્ણતામાન સેન્ટિગ્રેડમાં દર્શાવે છે. અહીં I = {0, α} અને A = (–α, α) થશે તે જોઈ શકાશે. અહીં પ્રાચલ ગણ AI અને અવસ્થા-અવકાશ A બંને સતત હોવાથી યાદૃચ્છિક પ્રક્રિયા {X(t) : t∈I} વર્ગ 4 પ્રકારની પ્રક્રિયા થશે.
2. યાદૃચ્છિક પ્રક્રિયાનો નિદર્શ-પથ :
યાદૃચ્છિક પ્રક્રિયાના યાદૃચ્છિક ચલોની વધતા જતા સમય અનુસાર મળેલ કિંમતોની શ્રેણીઓને નિદર્શ-પથ (sample paths) અથવા પ્રક્ષેપ-પથ (trajectories) અથવા અનુભૂતિ (પ્રાપણ) (realisations) કહે છે. વિવિધ વર્ગોની યાદૃચ્છિક પ્રક્રિયાઓ માટે મળતા નિદર્શ-પથો પરથી આલેખ દોરી શકાય. આ આલેખ પરથી યાદૃચ્છિક પ્રક્રિયાની ચલ રાશિ Xt કે X(t)માં સમય અનુસાર થતી વધઘટનો ખ્યાલ મેળવી શકાય. ઉદાહરણ 4માં જણાવેલ યાદૃચ્છિક પ્રક્રિયા માટે મેળવેલ નિદર્શ-પથ પરથી મળતો સંભવિત આલેખ નીચેની આકૃતિમાં દર્શાવ્યો છે. પ્રાચલ ગણ I અને અવસ્થા-અવકાશ A બંને સતત હોવાથી નિદર્શ-પથનો આલેખ સતત છે તે જોઈ શકાશે :
યાદૃચ્છિક પ્રક્રિયાઓ અનેક પ્રકારની હોઈ શકે. એમાંની કેટલીક અત્રે નોંધવામાં આવી છે :
3. માર્કોવ–પ્રક્રિયા અને માર્કોવ–સાંકળ :
ધારો કે {X(t) : t ≥ 0} એક યાદૃચ્છિક પ્રક્રિયા છે. ધારો કે t1 <t2 <… < tn પ્રચલ ગણ I = [0, a] નાં સમયબિન્દુઓ છે અને X1, X2, …, Xn આપેલ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે. X(t1), X(t2), …, X(tn-1)ની આપેલ કિંમતો માટે જો X(tn)નું શરતી સંભાવના-વિતરણ માત્ર X(tn–1) પર આધારિત હોય તો યાદૃચ્છિક પ્રક્રિયા {X(t) : t ≥ 0}ને માર્કોવ-પ્રક્રિયા કહે છે.
સંભાવનાની પરિભાષામાં જો
P[(X(tn) ≤ Xn|X(t1) = X1, ….., X(tn–1) = Xn–1]
= P (X(tn) ≤ Xn X(tn–1) Xn–1)…………………………………….(3.1)
હોય તો {X(t) : t ≥ 0}ને માર્કોવ-પ્રક્રિયા કહેવાય. આમ માર્કોવ-પ્રક્રિયાનો વર્તમાન આપેલ હોય તો તેનું ભવિષ્ય તેના ભૂતકાળથી નિરપેક્ષ છે એમ માર્કોવ-પ્રક્રિયા માટે કહી શકાય.
માર્કોવ-પ્રક્રિયાની સંક્રમણ-સંભાવનાને સંકેત P (A, t n, to) વડે દર્શાવવામાં આવે છે. અહીં A અવસ્થા-અવકાશ દર્શાવે છે અને to સમયબિન્દુ અને X Aનો એક આપેલ ઘટક છે. સમય to < t માટે યાદૃચ્છિક પ્રક્રિયાની અવસ્થા X છે એમ આપેલ હોય તો. સંકેત P(A, t x, to) પ્રક્રિયાની અવસ્થા t સમયે ગણ Aનો ઘટક છે તે ઘટનાની શરતી સંભાવના દર્શાવે છે. જો માર્કોવ-પ્રક્રિયાની સંક્રમણ-સંભાવના P(A, t | n, to) માત્ર તફાવત t–to દ્વારા સમયબિન્દુઓ to અને t પર આધારિત હોય તો માર્કોવ-પ્રક્રિયાને સમાંગ (homogeneous) માર્કોવ-પ્રક્રિયા કહેવાય.
અસતત (સાન્ત અથવા ગણ્ય) અવસ્થા-અવકાશ ધરાવતી માર્કોવ-પ્રક્રિયાને માર્કોવ-સાંકળ કહે છે. જો માર્કોવ-સાંકળનો પ્રાચલ ગણ I સાન્ત અથવા ગણ્ય ગણ હોય તો માર્કોવ-સાંકળને અસતત ચલ માર્કોવ-સાંકળ (discrete parameter Markov chain) કહે છે. સામાન્ય રીતે અસતત માર્કોવ-સાંકળનો પ્રાચલ ગણ I અઋણ પૂર્ણાંકોનો ગણ હોય છે અને તેનો અવસ્થા-ગણ (અવકાશ) બધા પૂર્ણાંકોનો ગણ Z અથવા ધન પૂર્ણાંકોનો ગણ N અથવા N∪{0} હોય છે.
અસતત માર્કોવ-સાંકળને {Xt : t = 0, 1, 2, ….} અથવા {Xt : t∈I} વડે દર્શાવાય છે. અહીં I = {0, 1, 2, …}.
માર્કોવ-પ્રક્રિયાની સંક્રમણ-સંભાવના (3–1)ની જેમ માર્કોવ-સાંકળ માટે સંક્રમણ-સંભાવના નીચે પ્રમાણે દર્શાવી શકાય :
ધારો કે અસતત સમય n ≥1 માટે aio, ai1, …, ain અવસ્થા-અવકાશ Aના ઘટકો છે. ધારો કે આપેલ X0 = aio, Xn-1 = ain-1, ….. Xn-1 = ain માટે xn = aInની શરતી સંભાવના માત્ર Xn-1 = ain-1 પર આધારિત છે. શરતી સંભાવનાનો આ ગુણધર્મ માર્કોવ-સાંકળની અભિજ્ઞતા(identification)નો લાક્ષણિક ગુણધર્મ છે. સંભાવનાની પરિભાષામાં માર્કોવ-સાંકળની વ્યાખ્યા નીચે પ્રમાણે આપી શકાય :
P{Xn = ain | Xn-1 = ain-1, …, Xi = ai1, X0 = ai0)
= P {Xn = ain | Xn-1 = ain-1)……………………………………(3.2)
હોય તો યાદૃચ્છિક પ્રક્રિયા {Xt : t∈I}ને માર્કોવ-સાંકળ કહે છે. પરિણામ (3.2) પરથી કહી શકાય કે માર્કોવ-સાંકળના યાદૃચ્છિક ચલો X0, X1, …, Xn-1ની કિંમતો આપેલ હોય તો ભવિષ્યના સમયબિન્દુ n માટે Xnની કિંમત માત્ર Xn-1ની કિંમત પર આધારિત હોય છે.
n, ain અને ain-1ની ભિન્ન શક્ય કિંમતો માટે (3.2)ની શરતી સંભાવના
P{Xn = ain | Xn-1 = ain-1}……………………………..(3.3)
ને માર્કોવ-સાંકળની એક-સમય-સોપાન સંક્રમણ-સંભાવના (one-time-step transition probability) કહેવામાં આવે છે અને આ સંભાવના અસતત સમય n પર આધાર રાખે છે. (3.3)માં વ્યાખ્યાયિત સંક્રમણ-સંભાવનાને સંકેત Pin-1, in(n) વડે દર્શાવવામાં આવે છે. જો Pin-1, in(n) n પર આધારિત ન હોય તો માર્કોવ-સાંકળને સમાંગ માર્કોવ-સાંકળ કહે છે. Pn-1, ain (n)ના ઘટકો ધરાવતા શ્રેણિક્ધો એક-સમય-સોપાન સંક્રમણ શ્રેણિક કહે છે. અહીં પ્રક્રિયાની અવસ્થાઓ Xn અને Xn-1 વચ્ચેના સમયનો તફાવત n-(n-1) = 1 હોવાથી આ શ્રેણિક્ધો એક-સમય-સોપાન શ્રેણિક કહે છે.
જો માર્કોવ-સાંકળના પ્રારંભિક ચલ X0નું સંભાવના-વિતરણ આપેલ હોય તો પરિણામ (3.3)માં વ્યાખ્યાયિત એક-સમય-સોપાન સંક્રમણ-સંભાવના દ્વારા કોઈ પણ n ≥1 માટે ચલો {X0, X1, …, Xn} કે તેના ઉપગણનું સંયુક્ત સંભાવના-વિતરણ મેળવી શકાય.
માર્કોવ-સાંકળ માર્કોવ-પ્રક્રિયાનો એક વિશિષ્ટ પ્રકાર છે. તેથી માર્કોવ-સાંકળને પણ માર્કોવ-પ્રક્રિયા કહી શકાય. વ્યવહારમાં ઉપયોગી એવી મોટાભાગની યાદૃચ્છિક પ્રક્રિયાઓ માર્કોવ-પ્રક્રિયાઓ કે માર્કોવ-સાંકળો હોય છે.
4. યાદૃચ્છિક ચાલન-પ્રક્રિયાઓ (random walk processes) :
4.1 અપ્રતિબંધિત સરળ યાદૃચ્છિક ચાલન-પ્રક્રિયા :
ધારો કે એક કણ Xઅક્ષ પર આરંભમાં X = 0 બિન્દુ પર સ્થિત છે. ધારો કે દરેક એકમ-સમયે કણ એકમ-અંતરે તેના આરંભના સ્થાન પરથી જમણી તરફ ખસે તેની સંભાવના p છે અને એકમ-અંતરે ડાબી બાજુ ખસે તેની સંભાવના q = 1p છે. ધારો કે અસતત સમયના n (≥, 0) એકમો બાદ કણની અવસ્થા Xn છે. તો કરેલી ધારણાઓ અનુસાર
X0 = 0, Xn = ઁXn-1 + Zn, n = 1, 2, 3,……………………………..(4.1)
અહીં K = 1, 2, … માટે ±1 કિંમત ધારણ કરતાં યાદૃચ્છિક ચલો (સોપાન વિધેયો) Zkનું સંભાવના-વિતરણ
P (Zk = +1) = p, P (Zk = 1) = q……………………………………(4.2)
છે. વધુમાં એવું પણ ધારી લેવાય કે યાદૃચ્છિક ચલો (સોપાન-વિધેયો) Zk પરસ્પર નિરપેક્ષ છે.
પરિણામ (4.1) દ્વારા મળતી યાદૃચ્છિક પ્રક્રિયા {Xt : t∈I}ને એક-પરિમાણી સરળ યાદૃચ્છિક ચાલન-પ્રક્રિયા કહે છે. અહીં I = {0, 1, 2, 3, ….}. આ પ્રક્રિયા સરળ એટલા માટે છે કે સોપાન-વિધેયો Zk ±1 કિંમતો ધારણ કરે છે. આ પ્રક્રિયાનો અવસ્થા-અવકાશ A = {0, ±1, ±2, ±3, …} છે. યાદૃચ્છિક ચલ Xt અવસ્થા-અવકાશ Aની કોઈ પણ કિંમત ધારણ કરતો હોવાથી આ પ્રક્રિયાને અપ્રતિબંધિત સરળ યાદૃચ્છિક ચાલન-પ્રક્રિયા કહેવામાં આવે છે. આ પ્રક્રિયાના પ્રાચલ ગણ I અને અવસ્થા-અવકાશ A ગણ્ય (અસતત) હોવાથી આ પ્રક્રિયા-અસતત પ્રાચલ અને અસતત અવસ્થા અવકાશયુક્ત યાદૃચ્છિક પ્રક્રિયા છે તે સ્પષ્ટ છે.
ધારો કે અનિયંત્રિત સરળ યાદૃચ્છિક ચાલન-પ્રક્રિયા {Xt : t∈I} માટે અવલોકિત શ્રેણી (એટલે કે નિદર્શ પથ) નીચે મુજબ છે :
{0, 1, 2, 1, 0, 1, 0, 1, 2, 3, …},
આ નિદર્શ પથનો આલેખ નીચેની આકૃતિમાં દર્શાવ્યો છે :
જો આ પ્રક્રિયાનાં અસતત બિન્દુઓ t = 0, 1, 2, 3, 4 માટે ધારો કે X0 = 0, X1 = 1, X2 = 2, X3 = 3 અને X4 = 2 છે. તો સરળ યાદૃચ્છિક ચાલન-પ્રક્રિયાની વ્યાખ્યા અનુસાર t = 4 માટે અવસ્થા X4 = 2 માત્ર t = 3 માટેની અવસ્થા X3 = 3 પર આધાર રાખે છે અને t = 3થી અગાઉની અવસ્થાઓથી નિરપેક્ષ છે. આમ (3.1) અનુસાર X4 = X3 + Z4 = 3 1 = 2; તેથી P (X4 = 2 X3 = 3, X2 = 2, X1 = 1, X0 = 0) = P (X4 = 2 | X3 = 3) = q. આમ અપ્રતિબંધિત સરળ યાદૃચ્છિક ચાલન-પ્રક્રિયા માર્કોવ-સાંકળ છે અને તેની એક-સમય-સોપાન સંક્રમણ-સંભાવના
Pjk (n) = P (Xn = k Xn-1 = d) = p , k = j +1…(4.3)
q , k = j 1
0, અન્યત્ર
અહીં સંક્રમણ-સંભાવના Pjk (n), j = k = 0, ±1, ±2, … માટે સમય n પર આધારિત ન હોવાથી બધા n ≥ 0 માટે Pjk (n) = Pjk લખી શકાય. તેથી અપ્રતિબંધિત સરળ યાદૃચ્છિક ચાલન-પ્રક્રિયા એક સમાંગ માર્કોવ-સાંકળ (homogenous Markov chain) છે.
(4.2)માં દર્શાવેલ નિરપેક્ષ યાદૃચ્છિક સોપાન-વિધેયોના સંભાવના-વિતરણ પરથી જોઈ શકાશે કે
E(Zk) = pq, Var (Zk) = 1 (pq)² = 4pq………………….(4.4)
પરિણામ (4.1) પરથી સ્પષ્ટ છે કે
પરિણામ (4.4)નો ઉપયોગ કરતાં
………………(4.5)
અને
…………….(4.6)
મળે છે. આમ અપ્રતિબંધિત સરળ યાદૃચ્છિક ચાલન-પ્રક્રિયાના મધ્યક અને વિચરણ અનુક્રમે n (p-q) અને 4npq છે.
જો K = 0, ±1, ±2, … છે. માટે Xn = k ની સંભાવનાનું (અથવા Xnનું સંભાવના-વિતરણ) સૂત્ર નીચે મુજબ થશે તેમ બતાવી શકાય :
………………. (4.7)
સૂત્ર(4.7)માં |k| ≤ n અને k અને n બંને યુગ્મ અથવા અયુગ્મ પૂર્ણાંકો છે. (4.7) પરથી જોઈ શકાશે કે n = 2 માટે X2નું સંભાવના-વિતરણ નીચે પ્રમાણે મળશે.
સ્પષ્ટ છે કે E(X2) = 2 (p-q) અને Var (X2) = 8 pq
આ ઉપરાંત અવશોષી અવરોધ અવસ્થામુક્ત યાદૃચ્છિક ચાલન-પ્રક્રિયા, વીનર અને બ્રાઉનની ગતિ-પ્રક્રિયા, ગાલ્ટન-વૉટ્સન શાખા-પ્રક્રિયા, પૉયઝાં-પ્રક્રિયા, જન્મ-મરણ-પ્રક્રિયા વગેરે અનેક યાદૃચ્છિક પ્રક્રિયાઓ ઉપયોગી નીવડી છે.
વિશિષ્ટ નોંધ :
સમય-શ્રેણી વિશ્લેષણ અને આંકડાશાસ્ત્રીય સંચાર (statistical communications)-સિદ્ધાંતમાં યાદૃચ્છિક પ્રક્રિયાના માનાવલી-વિધેય (spectral function) ચાવીરૂપ ભાગ ભજવે છે. સમય શ્રેણી-વિશ્લેષણમાં માનાવલી-વિધેયની મદદથી અવલોકિત સમય શ્રેણીનું સર્જન કરતી તાંત્રિકતા (mechanism) નક્કી કરી શકાય છે. સંચાર-સિદ્ધાંતમાં અતિસૂક્ષ્મ યંત્રો પર યાદૃચ્છિક રીતે મળતા રેડિયો-સંકેત (signal) અથવા રવ(noise)નું સ્વરૂપ સમજવા માનાવલી-વિધેય ઉપકારક નીવડે છે. આમ યાદૃચ્છિક પ્રક્રિયાઓનો અભ્યાસ આધુનિક વિજ્ઞાનમાં ઘણાં ક્ષેત્રોમાં મહત્વનો ભાગ ભજવે છે. તેથી યાદૃચ્છિક પ્રક્રિયાઓના સિદ્ધાંતને સંભાવના-સિદ્ધાંતના એક ગતિશીલ અંશ તરીકે ગણવામાં આવે છે. વાસ્તવિક જગતની જે વિવિધ પ્રક્રિયાઓનું સ્વરૂપ નિશ્ચયાત્મક ગાણિતિક નમૂના દ્ધારા સમજાવી ન શકાય તેવી પ્રક્રિયાઓનું સ્વરૂપ યાદૃચ્છિક પ્રક્રિયાઓના સંભાવનાત્મક નમૂના દ્વારા સમજાવી શકાય.
અમૃતભાઈ વલ્લભભાઈ ગજ્જર