મંડળ (ગણિત) : પૂર્ણાંકોની જેમ જેમાં સરવાળા, બાદબાકી અને ગુણાકારની ક્રિયાઓ છૂટથી થઈ શકે તે ગણ.
મંડળમાં સંખ્યાઓ જ હોય તે જરૂરી નથી. મંડળો શ્રેણિકોથી પણ બની શકે, સતત વિધેયો પણ મંડળ રચી શકે અને મંડળના સભ્યો બહુપદીઓ પણ હોઈ શકે. આ કારણે ઉપર સરવાળા, બાદબાકી અને ગુણાકારનો ઉલ્લેખ છે તે કેવળ સંખ્યાઓ માટેની ક્રિયાઓ જ નહિ, પણ એમના જેવી વ્યાપક ક્રિયાઓ દર્શાવે છે.
ટૂંકો ઇતિહાસ : ઓગણીસમી સદીમાં કેટલાક જર્મન ગણિતજ્ઞોએ ફરમાના અંતિમ પ્રમેયને સાબિત કરવાના પ્રયત્નોમાં કેટલીક સંકર સંખ્યાઓ(ખાસ તો બૈજિક પૂર્ણાંકો)ના એવા ગણોનો અભ્યાસ કર્યો કે જે મંડળ હતા.
ઓગણીસમી સદીના જ અંતભાગમાં બૈજિક ભૂમિતિના વિકાસમાંથી મંડળોના અભ્યાસને પ્રોત્સાહન મળ્યું. યામસમતલના કોઈ બિંદુગણને બૈજિક ગણ કહીએ અને x, yની જે બહુપદીઓ બૈજિક ગણ Sનાં તમામ બિંદુઓએ શૂન્ય મૂલ્ય ધારણ કરે તેમના ગણને Sનું યામમંડળ કહીએ તો (તેનું નામ સૂચવે છે તેમ) દરેક યામમંડળ એક મંડળ છે. 1882માં ડેડિકિન્ડ અને વેબરે જોયું કે જો બૈજિક ગણ S એક વક્ર હોય (એટલે કે તેનું પરિમાણ 1 હોય) તો તેના યામમંડળમાં (આ યામમંડળ એટલે ખરેખર તો તે વક્ર જેમનું સમાધાન કરે છે તે તમામ સમીકરણોનો ગણ જ છે) સંખ્યાગણિતજ્ઞોએ મેળવેલા બૈજિક પૂર્ણાંકોનાં મંડળો જેવા જ ગુણધર્મો હોય છે. 1893માં હિલ્બર્ટે ઇષ્ટમંડળ-આધારિત શક્તિશાળી રીતો શોધી કાઢી અને ખૂબ મહત્વનાં સાંત આધાર પ્રમેય (finite basis theorem) અને શૂન્યોનાં પ્રમેય (zeroes theorem) સાબિત કર્યાં. સંકર-સંખ્યાઓના ઉપગણો તરીકે મેળવાયેલાં આ બધાં જ મંડળો સમક્રમી હતાં.
અસમક્રમી મંડળોનાં પ્રથમ ર્દષ્ટાંતો ભૂમિતિમાંથી મળ્યાં. ત્રિપરિમાણી અવકાશમાં પરિભ્રમણોનો અભ્યાસ કરતાં હૅમિલ્ટનને 1843માં ક્વાટરનિયનનું અસમક્રમી મંડળ (જે ખરેખર તો ભાગાકાર મંડળ છે) મળી આવ્યું. સુરેખ અવકાશોનો અભ્યાસ કરતાં કૅલીએ 1850માં સુરેખ રૂપાંતરોની રજૂઆત માટે શ્રેણિકોની શોધ કરી. શ્રેણિકો પણ અસમક્રમી મંડળ રચે છે.
સંકર સંખ્યાગણના ઉપગણો ન હોય તેવાં વ્યાપક સમક્રમી મંડળોનો પદ્ધતિસરનો અભ્યાસ જર્મનીનાં મહિલા ગણિતજ્ઞ એમી નૉટરે 1925માં શરૂ કર્યો. તેમણે સમક્રમી મંડળમાંનાં એક વિશેષ પ્રકારનાં મંડળોનો વિગતે અભ્યાસ કર્યો, જે નૉટેરિયન મંડળો કહેવાયાં.
વ્યાખ્યા અને ર્દષ્ટાંતો : ત્રણ Rમાં બે દ્વિક્રિયાઓ સરવાળો (સંકેત +) અને ગુણાકાર (સંકેત •) એવી દાખલ કરીએ કે તેમાં નીચેના છ ગુણધર્મો હોય તો તેવા Rને મંડળ કહેવાય :
Rમાંના પ્રત્યેક x, y, z માટે
(1) (x + y) + z = x + (y + z)
(2) x + y = y + x
(3) કોઈ નિશ્ચિત 0 ∈ R માટે x + 0 = x
(4) કોઈ – x ∈ R માટે x + (-x) = 0
(5) (xy) z = x (yz)
(6) x (y + z) = xy + xz; (x + y) z = xz + yz
આ છ ઉપરાંત જો ગુણાકાર સમક્રમી હોય એટલે કે
(7) xy = yx (દરેક x, y ∈ R માટે)
તો મંડળ Rને સમક્રમી મંડળ કહેવાય.
જો મંડળ Rમાં એક સભ્ય 1 એવો હોય કે દરેક x ∈ R માટે
(8) 1. x = x.1 = x
તો Rને એકમસંપન્ન મંડળ કહેવાય. જો R એકમસંપન્ન હોય અને Rમાંના પ્રત્યેક શૂન્યેતર x માટે xx–1 = 1 = x–1 x થાય તેવો x–1 Rમાં મળે, તો Rને ભાગાકાર મંડળ કહેવાય. જો ભાગાકાર મંડળ સમક્રમી હોય તો તેને ક્ષેત્ર કહેવાય. જો મંડળ Rમાં કોઈ શૂન્યેતર સભ્યો x, y માટે xy = 0 હોય તો x તેમજ y શૂન્યના અવયવો કહેવાય. Rમાં શૂન્યના અવયવો ન હોય તો તે શૂન્યાવયવરહિત મંડળ કહેવાય. જો શૂન્યાવયવરહિત મંડળ સમક્રમી તેમજ એકમસંપન્ન હોય તો તેને પૂર્ણાંક પ્રદેશ કહેવાય. એક સુંદર પરિણામ એવું છે કે પ્રત્યેક સાંત પૂર્ણાંક પ્રદેશ ક્ષેત્ર હોય છે.
મંડળનાં ર્દષ્ટાંતો : (1) મંડળનું અતિપરિચિત ર્દષ્ટાંત પૂર્ણાંકોનો ગણ Z છે. ખરેખર તો Z પૂર્ણાંક પ્રદેશ છે. (2) યુગ્મપૂર્ણાંકોનો ગણ E = {0, ± 2, ± 4, ± 6, …} પણ મંડળ છે. આ મંડળ સમક્રમી અને શૂન્યાવયવરહિત છે, પણ એકમસંપન્ન નથી. (3) Zn = {0, 1, 2, .., n–1} તેમાં સરવાળો અને ગુણાકાર nને સાપેક્ષ (mod n) લેવાના છે. n = 4 માટે Znમાં શૂન્યાવયવ છે, કારણ કે Z4માં 2 ≠ 0 છતાં 2.2 = 0. અવિભાજ્ય n માટે Zn ક્ષેત્ર બને છે. (4) F = {0, 1, a, a2}. તેમાં સરવાળા તથા ગુણાકારની ક્રિયાઓ નીચેનાં કોષ્ટકો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે :
F એક ક્ષેત્ર છે અને (5) સંમેય ઘટકોવાળા 2 x 2 શ્રેણિકોનો ગણ. આ મંડળ અસમક્રમી છે, એકમસંપન્ન છે અને શૂન્યાવયવવાળું છે. (6) વાસ્તવિક સહગુણકોવાળી તમામ બહુપદીઓનો ગણ R [x]; (7) વાસ્તવિક સહગુણકોવાળી ઘાતશ્રેઢીઓનો ગણ R [(x)].
મંડળો વચ્ચેના આંતરસંબંધો : બીજગણિતમાં બૈજિક રચનાઓ વચ્ચેના સંબંધો (સમરૂપતા, એકરૂપતા વગેરે) મહત્વના છે. બે મંડળ વચ્ચેનું કોઈ વિધેય જો સરવાળા તેમજ ગુણાકારને જાળવી રાખે, એટલે કે જો
f (a + b) = f(a) + f(b) તથા f(ab) = f(a) f(b) હોય તો તેને સમરૂપતા (homomorphism) કહેવાય. જો કોઈ સમરૂપતા એક-એક હોય તો તેને એકરૂપતા કહેવાય. જો મંડળ R1 થી R2ની કોઈ વ્યાપ્ત એકરૂપતા મળે તો R1 અને R2 એકરૂપ મંડળો કહેવાય. એકરૂપ મંડળોમાં એકસરખા બૈજિક ગુણધર્મો હોય.
જો f તે R1 થી R2ની સમરૂપતા હોય તો તેના વિશેની લગભગ બધી જ માહિતી R1ના જે ઘટકો x માટે f(x) = 0 હોય તેમના ગણ Kમાંથી જ મળી જાય છે. આ કારણે Kને fનો ગર્ભ (kernel) કહેવાય છે. K તે R1નું એક વિશેષ ઉપમંડળ છે. વિશેષ એ માટે કે Kમાંના પ્રત્યેક x, y માટે xy Kમાં છે જ; પણ એથી આગળ r ∈ R1 અને x ∈ K માટે પણ rx ∈ K હોય છે. આવા ઉપમંડળને ઇષ્ટમંડળ (ideal) કહે છે. સમરૂપતાના ગર્ભ Kની રચના જોવાથી ઘણી વાર R2 પૂર્ણાંક-પ્રદેશ છે કે ક્ષેત્ર છે તે કહી શકાય છે.
મંડળના કેટલાક વિશેષ પ્રકારો : આગળ જણાવાયું છે તેમ પૂર્ણાંકોનો ગણ Z તે મંડળનું એક અતિપરિચિત મંડળ છે. Zમાં જે પ્રકારનું અંકગણિત વિકસાવવામાં આવ્યું છે તેવું જ અંકગણિત અન્ય પૂર્ણાંક-પ્રદેશમાં પણ વિકસાવવાના પ્રયત્નો થયા છે. દરેક પૂર્ણાંક-પ્રદેશમાં અવિભાજ્ય ઘટકોની વ્યાખ્યા આપી શકાય છે તથા અન્ય (વિભાજ્ય) ઘટકોને અવિભાજ્ય ઘટકોના ગુણાકાર રૂપે વ્યક્ત કરી શકાય છે; પરંતુ Zમાં આ અભિવ્યક્તિ અનન્ય હોય છે એવું બધા જ પૂર્ણાંક-પ્રદેશોમાં બનતું નથી. જે પૂર્ણાંક-પ્રદેશમાં તમામ વિભાજ્ય ઘટકોને અનન્ય રીતે અવિભાજ્ય ઘટકોના ગુણાકારરૂપે લખી શકાય તેને અનન્ય અવયવીકરણ-પ્રદેશ (unique factorisation domain, UFD) કહેવાય છે. Z તેમજ R [x] UFDનાં ઉદાહરણો છે. સંકર સંખ્યાઓનો ઉપગણ
એક પૂર્ણાંક-પ્રદેશ છે, પણ એ UFD નથી. એમ સાબિત કરી શકાય છે કે 2, 3, 1 
માં અવિભાજ્ય છે, 6 વિભાજ્ય છે તથા 6ને બે જુદી જુદી રીતે અવિભાજ્યોના ગુણાકારરૂપે લખી શકાય છે, કારણ કે
Zમાં એક મહત્વનો ગુણ સશેષ ભાગાકારનો છે. જો 
તો Zમાં q અને r એવા મળે જ કે a = bq + r તથા 0 r < IbI થાય. આ ગુણધર્મ પરથી યૂક્લિડીય પ્રદેશોની વ્યાખ્યા આપવામાં આવે છે. ધારો કે R એક પૂર્ણાંક-પ્રદેશ છે અને Rથી INU {0}નું એક વિધેય f એવું મળે છે કે (i) Rના શૂન્યેતર ઘટકો a અને b માટે f (a) < f(ab) અને (ii) a, b R, b ≠ 0 માટે Rમાં q અને r એવા મળે કે a = bq + r, r = 0 અથવા f(r) < f(b). તો Rને યૂક્લિડીય પ્રદેશ કહેવાય. Z તેમજ R[x] યૂક્લિડીય પ્રદેશ પણ છે.
એમી નૉટરે જે પ્રકારનાં મંડળોનો અભ્યાસ કર્યો હતો તે મંડળોનાં ઇષ્ટમંડળોમાં વિશેષ ગુણધર્મો હતા. જો મંડળમાં (1) ઇષ્ટમંડળોની દરેક ચુસ્ત રીતે વધતી સાંકળ (chain) સાંત હોય, (2) ઇષ્ટમંડળોના પ્રત્યેક અરિક્ત ગણમાં એક મહત્તમ (maximal) ઇષ્ટમંડળ હોય, અને (3) દરેક ઇષ્ટમંડળને સાંત પાયો હોય (finitely generated) તો તેવા મંડળને નૉટેરિયન મંડળ કહેવાય છે.
ઈચ્છાલાલ હરિલાલ શેઠ
અરુણ વૈદ્ય