ગાણિતિક તર્ક

ગાણિતિક તર્ક : ગણિતમાં પૂર્વધારણાઓથી શરૂ કરી તર્કને આધારે ગાણિતિક પરિણામો મેળવવાની પદ્ધતિ. ઉપલબ્ધ માહિતી પરથી વિચારપૂર્વકના વિશ્લેષણ બાદ નિષ્કર્ષ પર આવવું તે તર્ક છે. વિચારોની પ્રક્રિયા અને દલીલોને નિયમબદ્ધ કરી નિષ્કર્ષ પર પહોંચવા માટેનું ચોક્કસ સ્વરૂપ ગ્રીક ફિલસૂફ એરિસ્ટોટલે આપ્યું. જ્ઞાનની આ શાખા તર્કશાસ્ત્ર તરીકે જાણીતી છે. ગાણિતિક પૂર્વધારણાઓથી શરૂ કરી તર્કને આધારે ગાણિતિક પરિણામો મેળવવાની પદ્ધતિનું સુંદર ર્દષ્ટાંત યુક્લિડની ભૂમિતિ છે. એક પરિણામ પરથી બીજું પરિણામ તારવી યુક્લિડે ક્રમબદ્ધ રીતે ભૂમિતિનો વિકાસ કર્યો.

તર્ક વૈચારિક પ્રક્રિયા છે. વિચારો વ્યક્ત કરવા ભાષાનું માધ્યમ આવશ્યક છે. સામાન્ય વ્યવહારની ભાષા તેની અનેકાર્થતા અને અનિશ્ચિતતાને કારણે વિચારોની અભિવ્યક્તિ માટે અધૂરી પડે છે. આથી વિચારો સ્પષ્ટ અને અસરકારક રીતે વ્યક્ત થઈ શકતા નથી. સામાન્ય વ્યવહારમાં પુનરાવર્તન દ્વારા કે જુદી જુદી રીતે અભિવ્યક્તિ દ્વારા રસ્તો કાઢવામાં આવે છે; પરંતુ ગણિત અને તર્કશાસ્ત્રમાં ચોકસાઈ અને સ્પષ્ટતા મહત્વની બાબત છે, તેથી આ વિષયોમાં વિકાસ માટે સામાન્ય ભાષા અપૂરતી અને બાધારૂપ બને છે. આ મુશ્કેલીના નિવારણ માટે ગણિતમાં સંકેતોનો ઉપયોગ ગણિતજ્ઞોએ આજથી ચૌદસો વર્ષ પૂર્વે શરૂ કરી દીધો હતો. બીજગણિતમાં સંકેતોનો ઉપયોગ શરૂ કરવાનો યશ ભારતીય ગણિતજ્ઞ બ્રહ્મગુપ્તને ફાળે જાય છે. આજે તો શાળાનો વિદ્યાર્થી પણ ગાણિતિક સંકેતોથી સુપરિચિત હોય છે. સંકેતીકરણ(symbolization)ને લીધે ગણિત સુસ્પષ્ટ અને સરળ બન્યું છે અને તેના ખ્યાલો સંક્ષેપમાં રજૂ કરવાનું શક્ય બન્યું છે.

ગણિતની માફક તર્કશાસ્ત્રને પણ પ્રતીકાત્મક (symbolic) સ્વરૂપ આપવું આવશ્યક છે તેમ કેટલાક તર્કવિદ્ ગણિતશાસ્ત્રીઓને લાગ્યું. છેલ્લાં સાડા ત્રણસો વર્ષ દરમિયાન આ દિશામાં ઘનિષ્ઠ પ્રયત્નો થયા. તેના ફલસ્વરૂપે પ્રતીકાત્મક તર્કશાસ્ત્ર(symbolic logic)નો વિકાસ થયો અને તર્કશાસ્ત્રની એક પ્રતિષ્ઠિત શાખા તરીકે તે સ્થાન પામ્યું. તર્કનું આ ગાણિતિક સ્વરૂપ હોઈ તેને ગાણિતિક તર્કશાસ્ત્ર પણ કહેવામાં આવે છે. ગણિતના પાયાના પ્રશ્નોના ઉકેલમાં આ તર્કશાસ્ત્ર ઉપયોગી છે. પરિણામે તર્કશાસ્ત્રનો વિકાસ પણ થયો છે. ભાષાશાસ્ત્ર, દર્શનશાસ્ત્ર, કાયદાશાસ્ત્ર, માહિતી પૃથક્કરણ અને પ્રાકૃતિક વિજ્ઞાનોના અભ્યાસમાં ગાણિતિક તર્કશાસ્ત્ર ઉપયોગી સિદ્ધ થયું છે.

વિચારો વ્યક્ત કરવા માટે એક સર્વગ્રાહી ભાષા રચવાનો ખ્યાલ સૌપ્રથમ ફ્રેંચ ગણિતશાસ્ત્રી લાઇબ્નિત્સને સત્તરમી સદીમાં આવ્યો હતો. આ દિશામાં તેણે કેટલુંક કાર્ય કર્યું. ત્યાર બાદ ગાણિતિક તર્કના સર્જન અને વિકાસમાં દ´ મૉર્ગન (18૦6–1871), જ્યૉર્જ બૂલ (1815–­1864), ચાર્લ્સ સૉન્ડર્સપાયર્સ (1839–­1914), ગૉટલૉપ ફ્રેગ (1848­–1925), એ. એન. વ્હાઇટહેડ (1861­–1947) અને બર્ટ્રાન્ડ રસેલ (1872–­197૦) વગેરે મુખ્ય છે.

દ´ મૉર્ગન અને બૂલે તર્કના ખ્યાલોનો ગાણિતિક ર્દષ્ટિએ ઊંડો અભ્યાસ કર્યો. બૂલે પૂર્વધારણાઓની મદદથી વ્યાખ્યાયિત કરેલું માળખું બૂલીય બીજગણિત(Boolean algebra)ના નામથી ઓળખાય છે. કોઈ અરિક્ત ગણ પર બે દ્વિકક્રિયાઓ (binary operations) અને એક એકાંગી ક્રિયા (unary operation) કેટલીક પૂર્વધારણાઓ સંતોષે ત્યારે બૂલીય બીજગણિત રચાય છે. તાર્કિક વિધાન માટે બે જ શક્યતાઓ સ્વીકારવામાં આવે છે : વિધાન કાં તો સત્ય હોય અથવા અસત્ય હોય; પરંતુ વિધાન એકસાથે સત્ય અને અસત્ય બંને ન હોઈ શકે. વિધાન માટે p, q, r જેવા સંકેતનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. દરેક વિધાનને કોઈ એક મૂલ્ય હોઈ શકે, સત્ય કે અસત્ય. સત્ય મૂલ્ય માટે T અને અસત્ય માટે F સંકેત વપરાય છે. જેમ બે સંખ્યાઓનો સરવાળો કે ગુણાકાર કરવાથી નવી સંખ્યા મળે છે તેમ વિધાનોને જુદી જુદી રીતે જોડવાથી નવાં વિધાનો મળે છે. વિધાનો p અને q માટે સંયુક્ત વિધાનો (1) p અને q (સંયોજન : p ∧ q), (2) p અથવા q (વિયોજન : p ∨ q), (3) જો p તો q (પ્રેરણ : p → q) અને (4) જો p તો અને તો જ q (દ્વિમુખી પ્રેરણ : p ↔ q) મળે છે. ઉપરાંત વિધાન p પરથી તેનાથી ઊલટું વિધાન ‘p નહિ’ (નિષેધ : ~p) મળે છે. ઘટક વિધાનોનાં અને સંયુક્ત વિધાનોનાં મૂલ્ય વચ્ચેના સંબંધ સત્યાર્થતા સારણી (truth tables) દ્વારા રજૂ કરી શકાય છે. વિધાનો p ∧ q અને p → qની સત્યાર્થતા સારણીઓ નીચે આપેલી છે :

જો બે વિધાનોનાં મૂલ્ય હંમેશાં સમાન હોય તો તે વિધાનો તાર્કિક રીતે સમાન (logically equivalent) કહેવાય છે. સંયુક્ત વિધાનનું મૂલ્ય તેનાં ઘટક વિધાનોનાં યથેચ્છ મૂલ્યો માટે હંમેશાં સત્ય જ હોય, તો તે વિધાન પુનરુક્તિ (tautology) કહેવાય છે. (p ∨ q) અને ~((~p) ∧ (~q)) તાર્કિક રીતે સમાન વિધેયો છે. (p → q) ↔ ((~q) → (~p)) એ પુનરુક્તિ છે. વિધાનોના ગણ પર સંયોજન, વિયોજન અને નિષેધની ક્રિયાઓ બૂલીય બીજગણિતની બધી જ પૂર્વધારણાઓ સંતોષતી હોઈ આ ક્રિયાઓ સાથે વિધાનોનો ગણ બૂલીય બીજગણિત બને છે. આને કારણે બૂલીય બીજગણિતનાં પરિણામોનો ઉપયોગ કરીને ગૂંચવાડાભરેલાં સંયુક્ત વિધાનોને અનુરૂપ સાદાં વિધાન મેળવી શકાય છે.

વિધાનોના કલનમાં આણ્વિક (સાદાં) વિધાનોની સત્યાર્થતાની મદદથી સંયુક્ત વિધાનોની સત્યાર્થતા ચકાસવામાં આવે છે, એટલે કે તાર્કિક વિશ્લેષણ સાદાં વિધાનો સુધી લઈ જવામાં આવે છે. વાક્યોના તાર્કિક વિશ્લેષણના અભ્યાસમાં જ્યારે વાક્યના ભાગનો પણ અભ્યાસ કરવામાં આવે છે, ત્યારે વિધેયકલન (predicate calculus) બને છે. ‘માણસ મર્ત્ય છે’ – આ વાક્યમાં ‘મર્ત્ય છે’ એ માણસનો ગુણધર્મ સૂચવે છે અને તેથી વિધેય છે. ‘દરેક માણસ મર્ત્ય છે’, ‘કેટલાક માણસો સજ્જન છે’, ‘ઓછામાં ઓછું એક ફૂલ રાતું છે’ – એ વાક્યોમાં દરેક, કેટલાક, ઓછામાં ઓછું એક એ શબ્દો પરિમાણ સૂચવે છે. વિધેય કલનમાં પરિમાણકો મહત્વનો ભાગ ભજવે છે. પરિમાણકો માટે સંજ્ઞાઓ યોજી વિધેય તર્કના પ્રતીકાત્મક સ્વરૂપના અભ્યાસનો પ્રારંભ ફ્રેગે કર્યો. પરિમાણકો બે પ્રકારના છે : અસ્તિત્વલક્ષી પરિમાણક (existential quantifier) અને સાર્વત્રિક પરિમાણક (universal quantifier). પ્રથમ પારિમાણક માટે અને બીજા માટેસંજ્ઞાઓ અનુક્રમે વપરાય છે. નો અર્થ ‘ઓછામાં ઓછું એક’ અને નો અર્થ ‘દરેક માટે’ થાય છે. આમ જો IR વાસ્તવિક સંખ્યાનો ગણ સૂચવે તોનો અર્થ ‘x² = 2 હોય એવી ઓછામાં ઓછી એક વાસ્તવિક સંખ્યાનું અસ્તિત્વ છે’ એમ થાય.

નો અર્થ દરેક વાસ્તવિક સંખ્યા x માટે x² ≥ 0એવો થાય. વિધાનોનાં કલનમાં ∧, ∨, →, ↔ અને ~ એ પાંચ સંજ્ઞાઓનો ઉપયોગ થાય છે. વિધેયના કલનમાં આ પાંચ ઉપરાંત અને એ બે સંજ્ઞાઓ પણ વપરાય છે.

રસેલે ફ્રેગના અભ્યાસને આગળ વધાર્યો અને પૂર્ણ કળાએ પહોંચાડ્યો. ગાણિતિક તર્કના માળખાને વ્યવસ્થિત રૂપ આપવા ઉપરાંત રસેલ અને વ્હાઇટહેડે સમસ્ત ગણિતને તર્કના ખ્યાલોમાંથી નિષ્પન્ન કરવાનો ભગીરથ પ્રયત્ન કર્યો. ગણિત વિશેનો આ અભિગમ ‘તર્કવાદ’ (logicism) તરીકે જાણીતો છે. જેમ ભૂમિતિમાં અને ગણિતની અન્ય શાખાઓમાં અવ્યાખ્યાયિત પદો અને પૂર્વધારણાઓ પર આધારિત માળખું રચી અભ્યાસ કરવામાં આવે છે, તેમ રસેલ અને વ્હાઇટહેડે તેમના મહાગ્રંથ ‘Principia Mathematica’માં મૂળભૂત ખ્યાલો (primitive ideas) અને ‘મૂળભૂત વિધાનો’ (primitive propositions)થી શરૂ કરી ક્રમશ: વિધાનોનું કલન, ગણ અને સંબંધનું શાસ્ત્ર, પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓની રચના અને ત્યાર બાદ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓમાંથી ફલિત થતું સઘળું ગણિત મેળવ્યું છે. સમસ્ત ગણિતને તાર્કિક ખ્યાલોમાંથી મેળવવાના આ પ્રયાસના મૂળમાં ગણિતના જ પુનરાવર્તન (iteration) જેવા ખ્યાલો વપરાયા છે. અનંત ગણનું અસ્તિત્વ આ અભિગમથી સિદ્ધ થઈ શક્યું નથી, એ આ કાર્યક્રમની ત્રુટી હોવા છતાં રસેલ અને વ્હાઇટહેડનું કાર્ય એ ગાણિતિક તર્કના વિકાસમાં અત્યંત મહત્વનું પ્રદાન છે એ એક નિર્વિવાદ હકીકત છે.

19૦2માં બર્ટ્રાન્ડ રસેલે કૅન્ટૉરના ગણસિદ્ધાંતમાં વિરોધાભાસ દર્શાવતું ઉદાહરણ આપ્યું. પોતાનો ઘટક ન હોય તેવો દરેક ગણ લો અને આવા ગણોથી બનતા ગણને E કહો. જો E પોતાનો ઘટક હોય તો તે (Eમાં હોવાથી) પોતાનો ઘટક ન હોય તેવો ગણ છે અને જો E પોતાનો ઘટક ન હોય તો તે Eમાં છે અને તેથી પોતાનો ઘટક છે. આમ વિરોધાભાસી પરિસ્થિતિ મળે છે. આ અને આવાં ઉદાહરણોને લીધે ગણિતના પાયાના ખ્યાલોમાં એક પ્રકારની કટોકટી સર્જાઈ. એ દૂર કરવા ઘણા જુદા જુદા પ્રયત્નો થયા. 19૦8માં ઝર્મેલોએ પૂર્વધારણાઓ પર આધારિત મર્યાદિત ગણસિદ્ધાંત સૂચવ્યો. રસેલે પોતે આપેલા ઉદાહરણથી ઊભી થયેલી વિરોધાભાસની સ્થિતિને ટાળવા તેના તર્કશાસ્ત્રમાં મૂળભૂત ખ્યાલોની જુદી જુદી કક્ષાઓ દ્વારા પ્રકારોનું શાસ્ત્ર (theory of types) આપ્યું. એલ. ઈ. જે. બ્રાઉરના મતે તર્કના ખ્યાલો માનવીના વ્યવહાર અને ભાષામાંથી ઉદભવ્યા હોઈ તેનો ઉપયોગ સાન્ત ગણોમાંથી ઉદભવતી પરિસ્થિતિ પૂરતો મર્યાદિત રાખવો જરૂરી હતો.

અનંત ગણો માટે આ ખ્યાલો સર્જાયા ન હતા. બ્રાઉરે સ્ફુરણાવાદ (intuitionism) આપ્યો. તે મુજબ ગણિતમાં એવા ગણોની જ વાત થઈ શકે જેનો પ્રત્યેક ઘટક સાન્ત પગલાંમાં રચી શકાય. સ્ફુરણાવાદ મુજબ કોઈ પરિણામની સાબિતી પણ સાન્ત પગલાંમાં મળવી જોઈએ. આ મત મુજબ કૅન્ટૉરની અબૈજિક સંખ્યાના અસ્તિત્વની સાબિતી સ્વીકાર્ય ન બને. રસેલનો તર્ક એરિસ્ટોટલના તર્કથી થોડો જુદો પડતો હોવા છતાં મુખ્યત્વે તેનો આધાર એરિસ્ટોટલનો તર્ક જ છે. એરિસ્ટોટલનો તર્ક દ્વિમૂલ્ય તર્ક છે અને વર્જિત મધ્યનો નિયમ (law of excluded middle) તેનો પાયાનો નિયમ છે. આ નિયમ મુજબ વિધાન સત્ય હોય કે અસત્ય. બ્રાઉરનો સ્ફુરણાવાદ આ નિયમને નકારે છે. આ વાદ મુજબ વિધાનનું મૂલ્ય સત્ય કે અસત્ય એ બેમાંથી એકેય ન હોય તેવું બને. વિધાનોનાં બેથી વધુ મૂલ્ય સ્વીકારીને બહુમૂલ્ય તર્કશાસ્ત્ર રચવામાં આવ્યાં છે.

ગણિતના પાયામાં ઊભી થયેલી કટોકટીના જવાબરૂપે જર્મન ગણિતશાસ્ત્રી ડેવિડ હિલ્બર્ટે કેવળ સંકેતો પર આધારિત પૂર્વધારણાયુક્ત અભિગમ અપનાવ્યો, જેને રીતિવાદ (formalism) કહેવામાં આવે છે. આ અભિગમમાં તંત્ર(system)ની સુસંગતતા (consistency) સિદ્ધ કરવી બહુ જરૂરી હતી. હિલ્બર્ટે તેના તંત્રમાં પરિણામો મેળવવાની રીતને કારણે કોઈ વિરોધાભાસી પરિણામો ન મળે તેમ બતાવી સુસંગતતા સિદ્ધ કરવાની પ્રત્યક્ષ (direct) રીત અપનાવી. આ વિષયમાં હિલ્બર્ટ અને બર્નેઝનો ગ્રંથ Grundlagen der Mathemetik (basic principles of mathematics) 1934 અને 1939માં બે ભાગમાં પ્રસિદ્ધ થયો; પરંતુ એક યા બીજા કારણે હિલ્બર્ટનો ગણિતના વિકાસનો રીતિવાદનો કાર્યક્રમ પૂરો ન થઈ શક્યો. આમ તો 1931માં કુર્ત ગડેલે સિદ્ધ કરેલા પરિણામ પરથી ફલિત થયું હતું કે હિલ્બર્ટનો પૂર્વધારણાયુક્ત કાર્યક્રમ સફળ થઈ શકે નહિ. ગડેલે સાબિત કર્યું હતું કે જો તંત્ર સુસંગત હોય તો પૂર્ણ ન હોય, એટલે કે એ તંત્રમાં જ એવું વિધાન મળે જે પોતે કે જેનું વિરોધી વિધાન એ તંત્રમાં જ રહીને સાબિત ન થઈ શકે.

મહાવીરેન્દ્ર હરિપ્રસાદ વસાવડા