ઔદ્યોગિક આંકડાશાસ્ત્ર

(Industrial statistics)

મોટા પાયા પર વસ્તુઓના ઉત્પાદન, સંગ્રહ અને વેચાણ વખતે ગુણવત્તાની જાળવણી અને સુધારણા માટે આંકડાશાસ્ત્રીય પદ્ધતિઓના વિકાસને પરિણામે અસ્તિત્વમાં આવેલી આંકડાશાસ્ત્રની એક નવી શાખા. સી. એન. ફ્રેઝીએ ગુણવત્તા-નિયંત્રણ (quality control) માટે આંકડાશાસ્ત્રીય પદ્ધતિઓના ઉપયોગનું 1916માં સમર્થન કર્યું. અલબત્ત, આધુનિક આંકડાશાસ્ત્રીય ગુણવત્તા નિયંત્રણનો વિકાસ અમેરિકાની બેલ ટેલિફોન પ્રયોગશાળાના ડૉ. વૉલ્ટર શ્યુહાર્ટ અને તેના સાથીદારો જ્યૉર્જ એડ્વર્ડ, હેરોલ્ડ ડૉજ અને હેરી રૉમિગે 1924માં કરેલા સંશોધનને આભારી છે. ઉપરાંત બીજા વિશ્વયુદ્ધમાં શસ્ત્રસરંજામની ગુણવત્તાની જાળવણીના અભાવને કારણે સર્જાયેલ કટોકટીએ ગુણવત્તા-નિયંત્રણના સંશોધનક્ષેત્રને ઔદ્યોગિક પ્રગતિ અને વિકાસના મહત્વના અને અનિવાર્ય અંગ તરીકેની અગ્રતા બક્ષી; આજના અવકાશયુગમાં વિવિધ પ્રયોગો માટે વપરાતાં સૂક્ષ્મ યાંત્રિક સાધનોની રચનામાં ઉપયોગમાં લેવાતા જુદા જુદા ભાગોની ઉચ્ચતમ ગુણવત્તા યાંત્રિક સાધનોની નિયત સમય માટેની સફળ કામગીરી માટે પારાશીશીનું કામ કરે છે. સૂક્ષ્મ યાંત્રિક સાધનોની વિશ્વસનીયતાનાં ધોરણો નિર્ધારિત કરવા માટે ઉપયોગમાં લેવાતી આંકડાશાસ્ત્રીય પદ્ધતિઓ પરથી વિશ્વસનીયતા સિદ્ધાંત(reliability theory)ની નવી શાખા અસ્તિત્વમાં આવી, જે ઇજનેરી ઉદ્યોગોના વિકાસમાં ચાવીરૂપ કામગીરી કરે છે. આમ, ઔદ્યોગિક આંકડાશાસ્ત્ર આધુનિક યુગમાં ઔદ્યોગિક વિકાસ માટેનું અગત્યનું અંગ ગણાય છે.

ગુણવત્તા–નિયંત્રણ : વૈજ્ઞાનિક ર્દષ્ટિએ ‘ગુણવત્તા’ શબ્દનો અર્થ, કોઈ પણ વસ્તુને માપી શકાય અથવા ગણતરી કરી શકાય તેવો ગુણધર્મ એમ ઘટાવી શકાય; દા. ત., યંત્રોમાં વપરાતા છરા(ball bearings)ની બાહ્ય ગોળાઈના વ્યાસનું માપ, કુદરતી કે કૃત્રિમ રેસાની મજબૂતાઈનું માપ, કાપડના તાકામાં અપૂર્ણતા કે નુકસાનીનાં સ્થાનોની સંખ્યા, દવાની અસરકારકતાનું માપ વગેરે. ઉત્પાદિત વસ્તુઓનું ગુણવત્તા-નિયંત્રણ બે તબક્કે કરવામાં આવે છે. પ્રક્રિયા-નિયંત્રણ (process control) અને વસ્તુ-નિયંત્રણ (product control). વસ્તુની આંકડાશાસ્ત્રીય ગુણવત્તા હેઠળ સામાન્ય રીતે ગુણવત્તા-નિયંત્રણ, સ્વીકૃતિનિદર્શન અને સહ્યતાની સીમાઓ (tolerance limits) એમ ત્રણ પદ્ધતિઓનો નિર્દેશ અભિપ્રેત છે.

પ્રક્રિયા–નિયંત્રણ : નિયંત્રિત પરિબળો હેઠળ એકસરખા કાચા માલમાંથી એક જ યંત્ર દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલ કોઈ પણ બે વસ્તુઓ સમગ્ર રીતે સરખી હોતી નથી. આમ બનવાનું કારણ નિવારી ન શકાય તેવા યર્દચ્છ ચલન(random variation)ને આભારી છે. અર્થાત્ સંપૂર્ણ રીતે નિયંત્રણ ઉત્પાદન-પ્રક્રિયા માત્ર યર્દચ્છ ચલનને અધીન હોય છે. જો કોઈ પણ ઉત્પાદન-પ્રક્રિયા માત્ર યર્દચ્છ ચલનને અધીન હોય તો તે પ્રક્રિયા આંકડાશાસ્ત્રીય નિયંત્રણની સ્થિતિ ધારણ કરે છે તેમ કહેવાય. અપૂર્ણ તાલીમ પામેલા કારીગરો, કાચા માલની હલકી ગુણવત્તા, યંત્રોની દોષયુક્ત ગોઠવણી કે તેના ઘસાઈ ગયેલા ભાગો જેવા આકસ્મિક કે બાહ્ય ચલનોને કારણે ઉપસ્થિત થતી મુશ્કેલી શોધી તેને દૂર કરવાથી ઉત્પાદન-પ્રક્રિયાની આંકડાશાસ્ત્રીય નિયંત્રણની સ્થિતિ પ્રાપ્ત કરી શકાય. સામાન્ય રીતે કોઈ પણ ઉત્પાદન-પ્રક્રિયા ઉપર્યુક્ત આકસ્મિક ચલનોથી ભાગ્યે જ મુક્ત હોય છે, અને તેથી ગંભીર કહી શકાય તેવાં આકસ્મિક ચલનો પ્રક્રિયામાં પ્રવેશી તેની આંકડાશાસ્ત્રીય નિયંત્રણની સ્થિતિને અવરોધે કે ચલિત કરે તે પહેલાં આવાં ચલનોને શોધવાની વ્યવસ્થિત આંકડાશાસ્ત્રીય પદ્ધતિ વિકસાવવાનું જરૂરી બન્યું છે. પ્રક્રિયા આંકડાશાસ્ત્રીય નિયંત્રણમાં છે કે તેના પર આકસ્મિક અથવા બાહ્ય પરિબળો કાર્ય કરી રહ્યાં છે તે આંકડાશાસ્ત્રીય નિયંત્રણ-નકશા દ્વારા જાણી શકાય.

આંકડાશાસ્ત્રીય નિયંત્રણ–નકશાનો સિદ્ધાંત : આપણે આંકડાશાસ્ત્રીય નિયંત્રણમાં હોય તેવી અમુક ચલ-લક્ષણ ધરાવતી ઉત્પાદન-પ્રક્રિયાનો વિચાર કરીએ. ઉત્પાદિત ચલ-લક્ષણ Xના પ્રકાર મુજબ તેની ગુણવત્તા બે રીતે નક્કી કરી શકાય : (i) વસ્તુના ચલ-લક્ષણ Xનું ઇચ્છિત માપ લઈ તે માપ નિર્દિષ્ટ ધોરણ કે ધોરણો અનુસાર સુસંગત છે કે કેમ તે નક્કી કરવામાં આવે છે. જ્યારે ઉત્પાદિત વસ્તુની ગુણવત્તા માપ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે ત્યારે પ્રક્રિયા નિયંત્રણમાં છે કે કેમ તે જાણવા માટે વપરાતા નિયંત્રણ-નકશાને ચલ નિયંત્રણ નકશા (variable control charts) કહે છે. (ii) વસ્તુનું ચલ-લક્ષણ X તે વસ્તુમાં રહેલી ખામીની સંખ્યા કે પ્રમાણ દર્શાવે અને ખામીની સંખ્યા કે પ્રમાણ નિર્દિષ્ટ ધોરણ કે ધોરણો અનુસાર સુસંગત છે કે કેમ તે નક્કી કરવામાં આવે છે. જ્યારે ઉત્પાદિત વસ્તુની ગુણવત્તા માપને બદલે માત્ર તેના ગુણ (જેમ કે ખામીયુક્ત કે ખામીરહિત) દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે ત્યારે પ્રક્રિયા-નિયંત્રણ માટે વપરાતા નિયંત્રણ-નકશાને ગુણ નિયંત્રણ-નકશા (attribute control charts) કહે છે. ઉત્પાદન-પ્રક્રિયામાંથી ઉત્પાદિત વસ્તુઓના એક એવા m નિદર્શ (sample) નિયત સમયના અંતરે લેવામાં આવે છે. પ્રત્યેક નિદર્શ માટે ચલ-લક્ષણ Xની કિંમતો X₁, X₂,…., X_n મેળવવામાં આવે છે. આ અવલોકનો પરથી આગણનકાર (estimator) T = T (X₁, X₂, …,, X_n) મેળવવામાં આવે છે. સામાન્ય રીતે T અવલોકનોના સરવાળા, મધ્યક (mean), પ્રમાણિત વિચલન (s.d.), વિસ્તાર વગેરે દર્શાવે છે. સ્પષ્ટ છે કે m નિદર્શો માટે આગણનકાર Tની કિંમતો ભિન્ન હશે. હવે જો ઉત્પાદન પ્રક્રિયા કેવળ યચ્છ ચલનને અધીન હોય તો Tની કિંમતમાં થતાં નિદર્શનીય ચલનો કોઈ નિશ્ચિત નિદર્શન (sampling) વિતરણ-(distribution)ને અનુસરશે. mની પર્યાપ્ત રીતે મોટી સંખ્યા માટે Tનું અનંતલક્ષી વિતરણ મેળવી શકાય. Tના અનંતલક્ષી વિતરણ પરથી Tα₁ અને Tα₂ (Tα₁ < Tα₂) એવા શોધી શકાય કે જેથી P (T ≤ Tα₁) = α₁ અને P (T ≥ Tα₂) = α₂ અથવા P (Tα₁ < T < Tα₂) = 1-α, α = α₁ + α₂ થાય. (અહીં P = સંભાવના). અર્થાત્ વિવૃત અંતરીક્ષ (Tα₁, Tα₂) યર્દચ્છ ચલન હેઠળ આગણનકાર Tની કિંમતોમાં થતા ફેરફારનો વિસ્તાર નિશ્ચિત કરે છે. અચલ αની પર્યાપ્ત રીતે નાની કિંમત માટે Tની કિંમત વિવૃત અંતરાલ(Tα₁, Tα₂)ની બહાર હોય તે ઘટનાની સંભાવના α કે તેથી નાની હોઈ શકે. જો ઉત્પાદન-પ્રક્રિયા નિયંત્રણ હેઠળ હોય તો કેન્દ્રીય લક્ષ્ય પ્રમેય (central limit theorem) અનુસાર આગણનકાર Tનું અનંતલક્ષી વિતરણ, μ મધ્યક અને σ² વિચરણ (variation) ધરાવતું પ્રમાણ્યવિતરણ N (μ σ²) થશે, એમ કેટલીક ધારણાઓ હેઠળ સાબિત કરી શકાય. તો P (μ – 3σ < T < μ + 3σ) = 0.9973 થશે, અર્થાત્ T વિવૃત અંતરાલ(μ-3σ, μ + 3σ)ની બહાર કિંમત ધારણ કરે તે ઘટનાની સંભાવના 1−0.9973 = 0.0027 થશે. અહીં σ વિચરણ σ²નું ધન વર્ગમૂળ દર્શાવે છે.

જો ઉત્પાદન-પ્રક્રિયા દ્વારા ઉત્પાદિત વસ્તુના ચલ-લક્ષણ X પરનાં n અવલોકનોને આધારે મેળવેલ આગણનકાર T = T(X₁, X₂, …, X_n)ની કિંમત અંતરાલ (Tα₁, Tα₂) અથવા ગુરુનિદર્શો માટે અંતરાલ(μ−3σ, μ+3σ)નું અંતર્ગત બિન્દુ હોય તો પ્રક્રિયા આંકડાશાસ્ત્રીય નિયંત્રણ હેઠળ છે તેમ કહેવાય. જો Tની કિંમત આ અંતરાલની બહાર હોય તો ઉત્પાદન-પ્રક્રિયા પર બાહ્ય અથવા આકસ્મિક પરિબળો કામ કરી રહ્યાં છે તેમ કહેવાય. આ સિદ્ધાંત સૌપ્રથમ ડૉ. શ્યુહાર્ટે 1924માં રજૂ કર્યો અને તેથી આ સિદ્ધાંત અનુસાર રચવામાં આવતા નિયંત્રણ-નકશા શ્યુહાર્ટ નિયંત્રણ-નકશા (Shewhart-control charts) તરીકે પ્રચલિત થયા. શ્યુહાર્ટ નિયંત્રણ-નકશાનો મૂળભૂત હેતુ નિયત સમયે લીધેલ નિદર્શનાં અવલોકનોમાંથી બાહ્ય પરિબળોની અસર સંભવત: નિયંત્રિત કરવાનો છે અને ત્યારબાદ અવલોકનો પરથી મેળવેલ વિચરણના આગણનકારની મદદથી લાંબા ગાળાની નિયંત્રણ-સીમાઓ નિશ્ચિત કરવાનો છે. આ હેતુ સિદ્ધ કરવા માટે શ્યુહાર્ટે બુદ્ધિયુક્ત ઉપસમૂહભાવ(rational subgrouping)નો ખ્યાલ રજૂ કર્યો. શ્યુહાર્ટના બુદ્ધિયુક્ત ઉપસમૂહના ખ્યાલ અનુસાર ઉપસમૂહ ઉત્પાદન-પ્રક્રિયાના સંદર્ભમાં મશીન પર કામ કરતો કારીગર હોય અથવા અલ્પસમયના ગાળા માટે ઉત્પાદિત વસ્તુના ચલ-લક્ષણ પરનાં અવલોકનો હોય. ઉપસમૂહ કે ઉપસમૂહો સમાંગ (homogeneous) જોઈએ, જેથી પ્રત્યેક ઉપસમૂહનું અંતર્ગત ચલન જાણી શકાય અને પરિણામે બાહ્ય પરિબળોનાં ચલનો સહેલાઈથી નિર્દેશી શકાય.

નિયંત્રણ–સીમાઓ : ઉપર નિર્દેશેલ આગણનકાર T = T (X₁, X₂, …, X_n)ના વિતરણ-વિધેયનું સંભાવના ઘટત્વ કે સંભાવના-વિધેય fT(t) છે. જો પ્રક્રિયા આંકડાશાસ્ત્રીય નિયંત્રણ હેઠળ હોય તો મધ્યક E(T)ને કેન્દ્રીય સીમા (central limit), Tα₁ને અધ:નિયંત્રણ-સીમા (lower control limit) અને Tα₂ને ઊર્ધ્વ નિયંત્રણ-સીમા (upper control limit) કહે છે. આ નિયંત્રણ-સીમાઓને આપણે અનુક્રમે CL, LCL અને UCL એવા મિતાક્ષરી સંકેતો દ્વારા દર્શાવીશું. જો Tનું વિતરણ પ્રમાણ્યવિતરણ N(μ, σ²) હોય તો સ્પષ્ટ છે કે CL = μ, LCL = μ-3σ અને UCL = μ + 3σ થશે. વ્યવહારમાં μ અને σ અજ્ઞાત હોવાથી μ અને σને બદલે તેમના યોગ્ય આગણકો લઈ નિયંત્રણ-સીમાઓ રચવામાં આવે છે. આવી નિયંત્રણ-સીમાઓને આનુભવિક (empirical) સીમાઓ કહે છે. આ સૈદ્ધાંતિક અથવા આનુભવિક નિયંત્રણ-સીમાઓને ત્રણગણી પ્રમાણિત (three σ) વિચલન સીમાઓ કહે છે. શ્યુહાર્ટે પ્રમાણિત વિચલન σના ગુણક તરીકે પસંદ કરેલ પૂર્ણાંક 3નું સમર્થન શેબીશેવની સંભાવના અસમતા (inequality) દ્વારા મળે છે. જો આગણનકાર Tનું વિતરણ પ્રમાણ્ય ન હોય તો શેબીશેવ અસમતા અનુસાર ચલ Tની કિંમત   સીમામાં હોય તે ઘટનાની સંભાવના 0.89થી વધુ હશે; જો Tનું વિતરણ પ્રમાણ્ય હોય તો આ ઘટનાની સંભાવના 0.9973થી વધુ હશે. ધારો કે એક ઉત્પાદન-પ્રક્રિયામાંથી નિયત સમયના અંતરે n કદના એક એવા m નિદર્શો લેવામાં આવે છે, ધારો કે i = 1, 2, …. m માટે i-માં નિદર્શનાં અવલોકનો Xi₁, Xi₂, … Xi_n છે. આ અવલોકનો પરથી Ti = Ti (Xi₁, Xi₂, Xi_n) Xi₂ ….. Xi_n i = 1, 2,….mની ગણતરી કરવામાં આવે છે. હવે આપેલ α = α₁ + α₂ માટે Tના સંભાવના-વિતરણ f_T(t) પરથી E(T), Tα₁, Tα₂ નક્કી કરવામાં આવે છે. હવે X અક્ષ પર નિદર્શ ક્રમાંકો અને Y અક્ષ પર નિદર્શ ક્રમાંકને અનુરૂપ Tની કિંમત લો. X અક્ષને સમાંતર નિયંત્રણ-સીમાઓ E(T), Tα₁ અને Tα₂ રેખાઓ દોરો. X-Y સમતલ પર બિન્દુઓ (i, T_i), i = 1, 2, …, mનો આલેખ દોરો. આ આલેખ આકૃતિ 1માં દર્શાવ્યા પ્રમાણેનો થશે.

જો T₁, T₂, …, T_mની બધી જ કિંમતો LCL અને UCL રેખાઓ વચ્ચેના પ્રદેશમાં હોય અને યાર્દચ્છિક રીતે વિતરિત હોય (એટલે કે ઊર્ધ્વગામી અથવા અધ:ગામી વલણથી મુક્ત હોય) તો Tની કિંમતમાં થતું ચલન યાર્દચ્છિક છે અને તેથી આપેલ ઉત્પાદન-પ્રક્રિયા જે સમયગાળા દરમિયાન m નિદર્શો લેવામાં આવ્યા તે સમયગાળા દરમિયાન આંકડાશાસ્ત્રીય નિયંત્રણમાં છે તેમ કહેવાય; પરંતુ Tની કોઈક કિંમત કે કિંમતો ઊર્ધ્વ કે અધ:સીમાની બહાર હોય તો આપેલી ઉત્પાદન-પ્રક્રિયા પર બાહ્ય અથવા આકસ્મિક પરિબળો કાર્ય કરે છે તેવો સંદેહ થઈ શકે. Tની આવી કિંમતોને અવગણીને નિયંત્રણ-નકશા માટે સુધારેલ નિયંત્રણ-સીમાઓ મેળવવામાં આવે છે. આકૃતિ 1માં Tની એક કિંમત T₅ ઊર્ધ્વસીમાની બહાર છે.

આકૃતિ 2માં Tની બધી કિંમતો નિયંત્રણ-સીમાની અંદર છે પરંતુ આ કિંમતો યાર્દચ્છિક રીતે વિતરિત નથી, શરૂઆતની કિંમતો અધ:નિયંત્રણ-સીમા પરત્વેનું વલણ દર્શાવે છે, જ્યારે અંતિમ કિંમતો ઊર્ધ્વ નિયંત્રણ-સીમા પરત્વેનું વલણ દર્શાવે છે. અર્થાત્, આકૃતિ 2ના આલેખ પરથી કહી શકાય કે પ્રક્રિયા આંકડાશાસ્ત્રીય નિયંત્રણમાં છે પરંતુ પ્રક્રિયા પર બાહ્ય યા આકસ્મિક પરિબળો ગર્ભિત રીતે કામ કહી રહ્યાં છે તેના સંકેત મળે છે.

અને R નિયંત્રણ-નકશા – ઉપર વ્યાખ્યાયિત આગણનકાર T_i = T_i (X_i1, X_i2 , ……, X_im) = X_i, i = 1, 2, …, m લઈએ તો આપણને નિયંત્રણ-નકશા મળશે. સરેરાશ માટેના નિયંત્રણ-નકશામાં પ્રક્રિયાનું વિચરણ નિદર્શ વિચરણ કે વિસ્તાર-નકશા દ્વારા નિયંત્રિત થશે. સામાન્ય રીતે નિયંત્રણ-નકશાની નિયંત્રણ-સીમાઓ નિર્દિષ્ટ કરતાં પ્રચલો μ અને σ અજ્ઞાત હોવાથી આ પ્રચલોનું આગણન ઉત્પાદન-પ્રક્રિયામાંથી નિયત સમયના અંતરે n કદના એક એવા m નિદર્શોનાં અવલોકનોને આધારે કરી શકાય. સામાન્ય રીતે mની કિંમત 20થી 25 વચ્ચે અને નિદર્શ nની કિંમત 2થી 6ની વચ્ચે હોય છે. હવે ધારો કે R_i i-મા નિદર્શનાં અવલોકનોનો વિસ્તાર દર્શાવે છે તો  અને  નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય :

ને μના અનભિનત આગણક તરીકે અને  ને σના આગણક તરીકે લઈ શકાય. હકીકતમાં પ્રમાણિત વિચલન σનો આગણક નિદર્શોનાં પ્રમાણિત વિચલનો પર આધારિત હોવો જોઈએ. પરંતુ નિદર્શ કદ nની કિંમત નાની હોવાના કારણે નિદર્શોનાં પ્રમાણિત વિચલનોને બદલે વિસ્તારના આધારે σનું આગણન કરવાથી તેની દક્ષતામાં ઉદભવતી ક્ષતિ નગણ્ય હોય છે તેમ સાબિત થઈ શકે. આમ -નિયંત્રણ-નકશાની નિયંત્રણ-સીમાઓ નીચે મુજબ મળશે :

કેન્દ્રીય રેખા CL = , અધ:નિયંત્રણ રેખા LCL = − A₂R

ઊર્ધ્વ નિયંત્રણરેખા UCL =  + A₂R.

અહીં A₂, n પર આધારિત અચલાંક છે. ઉત્પાદન-પ્રક્રિયાના સમગ્ર નિયંત્રણ-નકશા દ્વારા પ્રક્રિયાના માત્ર મધ્યક કે સરેરાશનું વિનિમયન કરવું પૂરતું નથી, કારણ કે સરેરાશના વધતા ચલન સાથે પ્રક્રિયાનું વિચરણ વધે તે સ્પષ્ટ છે. તેથી પ્રક્રિયાના વિચરણનું વિનિમયન કરવા માટે R-નકશા અથવા S-નકશાની રચના જરૂરી બને છે. R-નકશા અને S-નકશાની નિયંત્રણ-સીમાઓ નીચે પ્રમાણે છે :

D₃, D₄, B₂, B₄, n પર આધારિત અચલાંકો છે. ધનપૂર્ણાંક nની વિવિધ કિંમતો માટે અચલાંકો A₂, B₂, B₄, D₃, D₄નાં કોષ્ટકો તે વિષયનાં પુસ્તકોમાં ઉપલબ્ધ હોય છે.

ગુણ–નિયંત્રણ–નકશા : ઉત્પાદિત વસ્તુના ચલ-લક્ષણ Xનું યોગ્ય માપ લેવાથી વધુ સચોટ માહિતી પ્રાપ્ત થાય છે, પરંતુ વસ્તુનું નિરીક્ષણ ઝડપી અને ઓછું ખર્ચાળ બનાવવા વસ્તુ ખામીયુક્ત કે ખામીરહિત છે કે કેમ તે નક્કી કરવામાં આવે છે; દા. ત., છરાની બાહ્ય ગોળાઈનો વ્યાસ માઇક્રોમિટરથી માપવાને બદલે ધાતુની પટ્ટી પર પાડેલા વૃત્તીય વેહમાંથી તે પસાર થાય છે કે કેમ તે જાણવું સહેલું અને સસ્તું છે. ગુણ-નિયંત્રણ-નકશા ત્રણ પ્રકારના હોય છે, p નકશા, np નકશા અને C નકશા. આ પ્રકારના નકશામાં પ્રત્યેક n કદના નિદર્શમાં વસ્તુઓનું ખામીપ્રમાણ અથવા ખામીઓની સંખ્યાની ગણતરી કરવામાં આવે છે. ખામીપ્રમાણ માટેના નિયંત્રણ-નકશાની રચના દ્વિપદી વિતરણ B_n (n, p) પર આધારિત છે, જ્યારે ખામીઓની સંખ્યા માટેના નિયંત્રણ-નકશાની રચના m મધ્યક ધરાવતા પૉયસાં વિતરણ પર આધારિત છે.

p-નકશા : જો n કદના નિદર્શમાં ખામીવાળી વસ્તુઓની સંખ્યા r હોય તો નિદર્શનું ખામીપ્રમાણ  થશે. હવે rનું વિતરણ દ્વિપદી B_n (n, p) હોવાથી થશે. હવે કુલ નિદર્શોની સંખ્યા m હોવાથી આપણને દરેક નિદર્શ માટે p₁, p₂, …, p_m મળશે. P અજ્ઞાત હોવાથી Pનું આગણન

p-નકશાની નિયંત્રણ-સીમાઓ નીચે મુજબ લખી શકાય :

જો LCL < 0 હોય તો LCLની કિંમત શૂન્ય લેવામાં આવે છે. જો m નિદર્શોના કદ n_i, i = 1, 2, …, m હોય અને r_i, i-મા નિદર્શની ખામીવાળી વસ્તુઓની સંખ્યા હોય તો p-નકશાની નિયંત્રણ-સીમાઓમાં આવતી ની કિંમત નીચેના સૂત્ર પરથી મેળવી શકાય :

np-નકશા : જ્યારે p-નકશામાં નિદર્શોના કદ સમાન હોય તો np-નકશાની રચના વધુ સરળ અને સુવિધાજનક બને. np-નકશા માટેની નિયંત્રણ-સીમાઓ નીચે પ્રમાણે છે :

C–નકશા : કેટલીકવાર વસ્તુમાં એક કે તેથી વધુ ખામીઓ હોવાને કારણે તે ખામીયુક્ત હોઈ શકે. નિદર્શમાં ખામીયુક્ત વસ્તુઓની ગણતરી કરવાને બદલે જો નિદર્શની પ્રત્યેક વસ્તુમાં ખામીઓની સંખ્યાની ગણતરી કરીએ તો C-નકશા મળશે. C-નકશાની રચના ઉપર જોયું તે મુજબ પૉયસાંમાં વિતરણ પર આધારિત છે. C-નકશાની નિયંત્રણ-સીમાઓ નીચે પ્રમાણે દર્શાવી શકાય :

(6) અહીં

અને C_i = i-મી વસ્તુમાં ખામીઓની સંખ્યા.

ઉદાહરણ : કાગળની એક મિલમાં નિયત માપના કાગળનાં શીટ બને છે. શીટ અકબંધ છે કે ફાટેલાં છે તેના પરીક્ષણ દ્વારા પ્રક્રિયા નિયંત્રણમાં છે કે નહિ તે નક્કી કરવા માટે p-નકશાનો ઉપયોગ થશે. આ માટે 30 દિવસ સુધી પ્રત્યેક દિવસે યાર્દચ્છિક રીતે પસંદ કરેલ 50 શીટો તપાસવામાં આવે છે અને તેમાં કેટલાં શીટ ખામીવાળાં છે તેની ગણતરી કરવામાં આવે છે. આ ગણતરી નીચેના કોષ્ટકમાં દર્શાવેલ છે :

	ખામીવાળી	ખામીપ્રમાણ		ખામીવાળી	ખામીપ્રમાણ		ખામીવાળી	ખામીપ્રમાણ
કોષ્ટક	વસ્તુઓની		દિવસ	વસ્તુઓની		દિવસ	વસ્તુઓની
	સંખ્યા			સંખ્યા			સંખ્યા
દિવસ	d			d			d
1	1	0.02	11	2	0.04	21	5	0.10
2	0	0.00	12	6	0.12	22	2	0.04
3	3	0.06	13	2	0.04	23	1	0.02
4	2	0.04	14	2	0.04	24	3	0.06
5	0	0.00	15	8	0.16	25	4	0.08
6	1	0.02	16	4	0.08	26	1	0.02
7	2	0.04	17	0	0.00	27	2	0.04
8	3	0.06	18	3	0.06	28	1	0.02
9	5	0.10	19	1	0.02	29	3	0.06
10	2	0.04	20	2	0.04	30	1	0.02
						કુલ	72	1.44

આકૃતિ 3માંના p-નકશા પરથી જોઈ શકાશે કે પંદરમા દિવસે લીધેલ નિદર્શની p-કિંમત ઊર્ધ્વ નિયંત્રણ-સીમાની બહાર છે. આથી આ દિવસે પ્રક્રિયા પર બાહ્ય પરિબળો કામ કરતાં હશે તેવું અનુમાન કરી શકાય. ઉત્પાદન વિભાગના વડાને આની તપાસ કરી બાહ્ય પરિબળો શોધી તેને દૂર કરવાની સૂચના આપવામાં આવે છે. ભવિષ્યના માર્ગદર્શન માટે પંદરમા દિવસની p-કિંમત અવગણીને સુધારેલી નિયંત્રણ-સીમાઓ નીચે પ્રમાણે મેળવી શકાય :

સંચયી (cumulative) સરવાળા નિયંત્રણ–નકશા (sum control charts) : આપણે ચર્ચેલા નિયંત્રણ-નકશા માત્ર પ્રથમ પ્રકારના દોષ(type I error)નું જ નિયંત્રણ કરે છે. આપેલી ઉત્પાદન-ક્રિયા આંકડાશાસ્ત્રીય નિયંત્રણ હેઠળ હોય તોપણ પ્રક્રિયાના મધ્યક mમાં ધન અથવા ઋણ સ્થળાંતર થતું હોય છે. નિયંત્રણ-નકશા આવા પ્રકારના સ્થળાંતરને પારખવામાં પર્યાપ્ત રીતે સક્ષમ કે સંવેદનશીલ હોતા નથી. તેથી પ્રક્રિયાના મધ્યકમાં થતા સ્થળાંતરને કારણે ઉદ્ભવતા દ્વિતીય પ્રકારના દોષ (type II error) સાથે નિયંત્રણ-નકશાઓ રક્ષણ આપવા પૂરતા સમર્થ હોતા નથી. પ્રથમ અને દ્વિતીય પ્રકારના દોષ સામે રક્ષણ મેળવવા સંચયી સરવાળા નિયંત્રણ નકશાનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. આ પ્રકારના નિયંત્રણ-નકશામાં T_iને બદલે

−નો આલેખ દોરવામાં આવે છે. સંચયી સરવાળાના ઊર્ધ્વગામી અને અધોગામી વલણ પરથી પ્રક્રિયાની સરેરાશમાં ક્યારે અને કઈ દિશામાં સ્થળાંતર થયું છે તે સંચયી સરવાળા-નકશા પરથી જાણી શકાય છે. સંચયી સરવાળા નિયંત્રણ-નકશા અબ્રાહમ વૉલ્ડે સૂચવેલ આનુક્રમિક નિર્ણય પદ્ધતિઓનું એક સ્વરૂપ છે. સંચયી સરવાળા નિયંત્રણ-નકશાની રચના ચલ-લક્ષણ Xનું વિચરણ પ્રમાણ્ય છે અને X પરનાં અવલોકનો પરસ્પર નિરપેક્ષ છે તે ધારણાઓ હેઠળ કરવામાં આવે છે. જો આ ધારણાઓનું ઉલ્લંઘન થાય તો સંચયી સરવાળા નિયંત્રણ-નકશા દ્વારા મળતાં પરીક્ષણો સંગીન હોતાં નથી. આંકડાશાસ્ત્રીય ગુણવત્તા-નિયંત્રણ માટે પરંપરિત-મધ્યક નકશા (moving average charts) તથા બહુચલીય નકશા (multivariate charts) પ્રયોજવામાં આવ્યા છે. ઉત્પાદનક્ષેત્રમાં નિયંત્રણ-નકશા, ઉત્પાદન-પ્રક્રિયાની ક્ષમતાના અભ્યાસ માટે અને ઉત્પાદન-પ્રક્રિયાના નિર્ધારિત લક્ષ્યાંકો અને આંકડાશાસ્ત્રીય નિયંત્રણમાં થતા ફેરફારો જેવાં લક્ષણોનું વિનિમયન (regulate) કરવા માટે ગાણિતિક આધાર પૂરો પાડે છે. ઇજનેરી સંશોધનના ક્ષેત્રે ઉત્પાદન-પ્રક્રિયાઓની સ્થિરતાની અને નિયત સમયના અંતરે એકત્ર કરાતી માહિતી સમાંગ છે કે કેમ તેની તપાસ કરવા માટે નિયંત્રણ-નકશા-પદ્ધતિ ઉપયોગી છે. પૂર્વાનુમાન માટે ગાણિતિક મૉડલને સચોટ રીતે સૂત્રિત કરવા માટે નિયંત્રણ-નકશા દ્વારા યાર્દચ્છિક ચલનોનું આંકડાશાસ્ત્રીય વિશ્લેષણ અગત્યની ભૂમિકા પૂરી પાડે છે. શ્યુહાર્ટ નકશા તથા સંચયી સરવાળા નકશાની રચના અને અમલ સાથે સંકળાયેલ ખર્ચ અને અર્થકારણનો અભ્યાસ કરવા માટે વિવિધ મૉડલો પ્રયોજવામાં આવ્યા છે.

સહ્યતા સીમાઓ (tolerance limits) : ઔદ્યોગિક ગુણવત્તા નિયંત્રણના દરેક તબક્કે મોટા પાયા પર વસ્તુના ચલ-લક્ષણના માપની નિર્દિષ્ટ ધોરણો સાથે સરખામણી કરવાનો પ્રશ્ન પ્રત્યક્ષ અને પરોક્ષ રીતે સંકળાયેલ હોય છે. કેટલીક વાર ગ્રાહક અથવા ડિઝાઇન ઇજનરે નિર્દિષ્ટ કરેલાં ધોરણોથી ઉત્પાદિત વસ્તુના ચલ-લક્ષણનું માપ જો સાર્થક રીતે ચલિત હોય તો તે વસ્તુ ઉપયોગ માટે નાકામયાબ બને છે. આમ ઉત્પાદિત વસ્તુના ચલ-લક્ષણનું માપ ગ્રાહક કે ઇજનેરે નિર્દિષ્ટ કરેલાં ધોરણોની મર્યાદામાં રહે તે પ્રશ્ન મહત્વનો છે. જો કોઈ વસ્તુનું ઉત્પાદન પૂર્વ-નિર્દિષ્ટ ધોરણો નક્કી કર્યાં વગર કરવામાં આવ્યું હોય તો ઉત્પાદિત વસ્તુની ગુણવત્તાના ચલ-લક્ષણનું માપ અમુક અધ:સીમા અને ઊર્ધ્વસીમાની અંદર હોય. આ અધ:સીમા અને ઊર્ધ્વસીમાને ઉત્પાદન-પ્રક્રિયાની સહ્યતા સીમાઓ કહે છે. જો ચલ-લક્ષણ Xનું સંભાવના-વિતરણ જ્ઞાત હોય તો સહ્યતા સીમાઓ સહેલાઈથી નક્કી કરી શકાય. ઉદાહરણ તરીકે જો ચલ-લક્ષણ X, પ્રામાણ્ય વિતરણ N (μ, σ²) હોય તો કુલ ઉત્પાદિત વસ્તુઓ પૈકીની 100 p ટકા (0 < p < 1) વસ્તુઓ માટેની સહ્યતા સીમા μ ± છે; અહીં a = 1 − P માટે ની કિંમત પ્રમાણ્ય વિતરણનાં કોષ્ટકમાંથી એવી રીતે શોધવામાં આવે કે જેથી

જો P = 0.90 હોય તો સહ્યતા સીમાઓ μ ± 1.645 σ થશે. વ્યાવહારિક પરિસ્થિતિમાં μ અને σની કિંમતો અજ્ઞાત હોય છે તેથી સહ્યતા સીમા મેળવવા માટે μ અને σને બદલે તેમના આગણકો X અને Sનો ઉપયોગ કરી શકાય, પરંતુ આમ કરતાં સહ્યતા સીમાઓ X ± 1.645 S કુલ ઉત્પાદિત વસ્તુઓની 90 ટકા વસ્તુઓનો સમાવેશ કરે તેમ કહી શકાય નહિ, કારણ કે X અને S પ્રચલો નથી; પરંતુ યર્દચ્છ ચલો છે; તેમ છતાં આપણે એવો એક ચલ k શોધી શકીએ કે જેથી X ± k S સહ્યતા સીમાઓ કુલ ઉત્પાદિત વસ્તુઓ પૈકીની ઓછામાં ઓછી 100 P ટકા વસ્તુઓનો સમાવેશ કરે તેની સંભાવના 1-a હોય; અહીં O અને O < α < l છે. નિદર્શ સંખ્યા n, 1 − α અને pની વિવિધ કિંમતો માટે આઇઝનહાર્ટ, હેસ્ટે અને નૉલિસે kની કિંમતો આપતાં કોષ્ટકો રચ્યાં છે. ઉદાહરણ તરીકે, ધારો કે એક ઉત્પાદકે મોટા પાયા પર ઉત્પાદિત દાબ-કમાનના સમૂહ કે જથ્થામાંથી n = 100 વસ્તુઓનો નિદર્શ લીધો અને કમાનની મુક્ત લંબાઈનું માપ ઇંચમાં મેળવ્યું. ધારો કે X = 1.507 અને S = 0.004 છે. હવે 1 − α = 0.99 અને P = 0.95 લેતાં n = 100ને અનુરૂપ અચલ kની કિંમત 2.355 થશે અર્થાત્ નિરીક્ષણ હેઠળની દાબ-કમાનની સહ્યતા સીમાઓ 1.507 ± (2.355) (0.004) થશે. આમ દાબ-કમાનના જથ્થામાંની 95 ટકા કમાનો 1.497 અને 1.517ની સહ્યતા સીમાઓ વચ્ચે હોય તેની સંભાવના 0.99 થશે.

સ્વીકૃતિ નિદર્શન યોજનાઓ : પ્રક્રિયા નિયંત્રણ હેઠળ ઉત્પન્ન થયેલ વસ્તુઓને વિવિધ કદના જથ્થામાં વહેંચવામાં આવે છે. આદર્શ રીતે તો પ્રત્યેક જથ્થાની વસ્તુઓ ખામીરહિત હોવી જોઈએ, પરંતુ વ્યવહારમાં તેમ બનતું નથી. આથી જ્યારે જથ્થાની વસ્તુઓ ગ્રાહક સુધી પહોંચે ત્યારે આમાંની કેટલીક ખામીયુક્ત હોઈ શકે. જથ્થાઓની વસ્તુઓનું સો ટકા નિરીક્ષણ કરવામાં આવે તોપણ ગ્રાહકને ખામીરહિત વસ્તુ મળે તેની ખાતરી મળતી નથી. અલબત્ત, જથ્થાનું સો ટકા નિરીક્ષણ સમય અને ખર્ચની ર્દષ્ટિએ પણ વ્યવહારુ નથી. તેમ છતાં ગ્રાહકને મળતી વસ્તુઓનું ખામીપ્રમાણ પ્રમાણની નિર્દિષ્ટ કક્ષાથી વધુ ન હોય તેવી ખાતરી તેને ઉત્પાદક તરફથી મળે તેવી અપેક્ષા જરૂર રાખી શકે. ગ્રાહકની અપેક્ષાને સંતોષી શકાય તેવી અસરકારક પદ્ધતિ નિદર્શન નિરીક્ષણની છે. આ પદ્ધતિ અનુસાર જથ્થો ગ્રાહક પાસે પહોંચે તે પહેલાં એ જથ્થામાંથી અમુક કદનો નિદર્શ લઈ આ નિદર્શની વસ્તુઓનું નિરીક્ષણ કરવામાં આવે છે અને તેના આધારે જથ્થાનો સ્વીકાર કરવો કે અસ્વીકાર તે વિશે નિર્ણય લેવામાં આવે છે. જો આ નિદર્શન નિરીક્ષણ પદ્ધતિ અનુસાર જથ્થાનો સ્વીકાર કરવામાં આવે તો તે જથ્થાને ગ્રાહકના વપરાશ માટે બજારમાં મોકલવામાં આવે છે. આ જથ્થામાં ખામીયુક્ત વસ્તુઓ ન હોય તેમ બનવું સંભવિત નથી; પરંતુ જથ્થાની વસ્તુ ખામીવાળી માલૂમ પડે ત્યારે ઉત્પાદક અને ગ્રાહક વચ્ચે થયેલી સમજૂતી અનુસાર ગ્રાહકને રાહત આપવામાં આવે છે. જો નિદર્શન નિરીક્ષણ પદ્ધતિ અનુસાર જથ્થાનો અસ્વીકાર કરવામાં આવે તો તેનો અર્થ એવો નથી કે આ વસ્તુઓને ભંગારમાં લઈ જવાની હોય, પરંતુ આવા અસ્વીકૃત જથ્થાની વસ્તુઓનું ઝીણવટથી નિરીક્ષણ કરી ખામીયુક્ત વસ્તુઓ દૂર કરવામાં આવે છે. જથ્થાના નિરીક્ષણનું ખર્ચ અવગણી શકાય તેવું ન હોવાથી જથ્થાની દરેક વસ્તુનું નિરીક્ષણ કરવામાં આવતું નથી. આમ જથ્થાની સ્વીકૃતિ નિદર્શન નિરીક્ષણના આધારે કરવામાં આવે છે. દરેક જથ્થામાંથી n કદનો નિદર્શ લેવામાં આવે છે અને જો નિદર્શમાં મળતી ખામીયુક્ત વસ્તુઓની સંખ્યા આપેલ સ્વીકૃતિ સંખ્યાથી ઓછી હોય તો જથ્થાનો સ્વીકાર કરવામાં આવે છે. આ રીત નિરાકરણીય પરિકલ્પના (null hypothesis) Ho : p = p₀ વિરુદ્ધ H₁ : p = p₁ના પરીક્ષણ સાથે સરખાવી શકાય તેવી છે. અહીં p જથ્થાની વસ્તુઓનું ખામીપ્રમાણ દર્શાવે છે. સ્વીકૃતિ નિદર્શનમાં p₀ને સ્વીકાર્ય ગુણવત્તાકક્ષા (acceptable quality level અથવા AQL) અને p₁ને જથ્થાનું સહ્યતા ખામીપ્રમાણ (lot tolerance percent defective અથવા LTPD) કહે છે. અહીં p₀ અને p₁ની કિંમત ઉત્પાદક અને ગ્રાહકનાં જોખમો દ્વારા નિશ્ચિત કરવામાં આવે છે. પ્રથમ પ્રકારના દોષની સંભાવના α એટલે p ≤ P₀ ખામીપ્રમાણ ધરાવતા સારા પરંતુ અસ્વીકૃત થતા જથ્થાઓના પ્રમાણની ઊર્ધ્વસીમા. પ્રથમ પ્રકારના દોષની સંભાવના αને ઉત્પાદકનું જોખમ (producer’s risk) કહેવામાં આવે છે. દ્વિતીય પ્રકારના દોષની સંભાવના β એટલે p ≤ P₁ ખામીપ્રમાણ ધરાવતા ખરાબ પરંતુ સ્વીકૃત થતા જથ્થાઓના પ્રમાણની ઊર્ધ્વસીમા. દ્વિતીય પ્રકારના દોષની સંભાવના βને ગ્રાહકનું જોખમ (consumer’s risk) કહેવામાં આવે છે.

એક–નિદર્શન સ્વીકૃતિ નિદર્શન યોજના : ધારો કે N વસ્તુઓના જથ્થામાંથી n (1 ≤ n ≤ N) વસ્તુઓનો એક યર્દચ્છ નિદર્શ પસંદ કરવામાં આવે છે. ધારો કે n વસ્તુઓનું નિરીક્ષણ કરવાથી મળતી ખામીયુક્ત વસ્તુઓની સંખ્યા d (o ≤ d ≤ n) છે. c એક પૂર્વ-નિશ્ચિત સંખ્યા છે. એક-નિદર્શન સ્વીકૃતિ નિદર્શન યોજનાની નિર્ણયપદ્ધતિ નીચે પ્રમાણે છે :

જો d ≤ c હોય તો જથ્થાનો સ્વીકાર કરો.

જો d > c હોય તો જથ્થાનો અસ્વીકાર કરો.

એક નિદર્શન યોજનામાં n અને cની પસંદગી AQL, LTPD ઉત્પાદકના જોખમ a અને ગ્રાહકના જોખમ βના આધારે કરવામાં આવે છે. એક નિદર્શન યોજનાનું સચોટ વર્ણન તેના ક્રિયાલક્ષણ વિધેય (operating characteristic function અથવા OC function) દ્વારા મળે છે. OC વિધેય એટલે p ખામીપ્રમાણ ધરાવતા જથ્થાનો સ્વીકૃતિ નિદર્શન યોજના દ્વારા સ્વીકાર થાય તેવી સંભાવના. આ OC વિધેયને આપણે L (p) વડે દર્શાવીશું. ઉપર દર્શાવેલ એક નિદર્શન સ્વીકૃતિ યોજના માટે OC વિધેયનું સૂત્ર

અતિગુણોત્તર (…) વિતરણનું સંભાવનાસૂત્ર દર્શાવે છે. જ્યારે H અને N ગુરુ સંખ્યાઓ હોય ત્યારે અતિગુણોત્તર વિતરણ પરથી સંભાવનાની ગણતરી કરવાનું મુશ્કેલ બને છે.

જો N £ 10n હોય તો અતિગુણોત્તર વિતરણનું દ્વિપદી વિતરણ b (d; n, p) દ્વારા આસાદન (approximation) થઈ શકે. અહીં b (d; n, p)નું સંભાવનાસૂત્ર

થશે. જો n ≥ 20 અને p ≤ 0.05 હોય તો દ્વિપદી વિતરણનું પૉયસાં વિતરણ f (x, λ) દ્વારા આસાદન થઈ શકે. અહીં λ = np

આમ OC વિધેય L(Φ)ની ગણતરી અતિગુણોત્તર કે દ્વિપદી અથવા પૉયસાં વિતરણના સંભાવનાસૂત્ર h (d; n, Np, N), b (d; n, p) અથવા f (d; λ) પરથી થઈ શકે. N = 100, n = 10 અને C = 1 દ્વારા વ્યાખ્યાયિત એક-નિદર્શન સ્વીકૃતિ યોજનાના OC વિધેયનો આલેખ નીચેની આકૃતિ 4માં દર્શાવ્યો છે :

કેટલીક વાર નિદર્શન યોજના તેના સરેરાશ નિર્ગમન ગુણવત્તા વક્ર (average outgoing quality curve અથવા AOQ curve) દ્વારા વર્ણવી શકાય. જો જથ્થાની ગુણવત્તા સારી હોય અથવા જથ્થાનું ખામીપ્રમાણ p, AQL કરતાં ઓછું હોય તો નિદર્શન યોજના દ્વારા અસ્વીકૃત થતા જથ્થાની સંખ્યા ઘણી ઓછી રહેશે. જો જથ્થાની ગુણવત્તા નબળી હોય અથવા જથ્થાનું ખામીપ્રમાણ LTPDથી વધુ હોય તો નિદર્શન યોજના દ્વારા અસ્વીકૃત થતા જથ્થાની સંખ્યા ઘણી મોટી હશે. જો અસ્વીકૃત થતા જથ્થાનું સો ટકા નિરીક્ષણ કરી ખામીયુક્ત વસ્તુઓને દૂર કરીને તેમના સ્થાને ખામીરહિત વસ્તુઓની પુરવણી કરવામાં આવે તો જથ્થાની સરેરાશ નિર્ગમન ગુણવત્તા ઘણી સારી રહેશે. જ્યારે જથ્થાના ખામીપ્રમાણ pની કિંમત AQL અને LTPD વચ્ચે હોય ત્યારે નિદર્શન યોજના દ્વારા નબળી ગુણવત્તા ધરાવતા જથ્થાની સ્વીકૃતિ થવાની શક્યતા રહે છે.

pની વિવિધ કિંમત માટે AOQની મહત્તમ કિંમતને સરેરાશ નિર્ગમન ગુણવત્તા સીમા (average outgoing quality limit અથવા AOQL) કહે છે. અસ્વીકૃત જથ્થાની સંપૂર્ણ તપાસ કરી ખામીયુક્ત વસ્તુઓની ખામીરહિત વસ્તુઓ દ્વારા પુરવણી કરવાની ધારણા હેઠળ AOQ વક્રનું સૂત્ર મળી શકે. જથ્થાનું ખામીપ્રમાણ p હોય ત્યારે તે જથ્થાનો સ્વીકાર થાય તેની સંભાવના L(p) થશે. હવે કુલ જથ્થા પૈકી અસ્વીકૃત થતા જથ્થાની સંભાવના l-L(p) થશે અને આ જથ્થાની વસ્તુઓ ધારણા હેઠળ ખામીરહિત હોવાના કારણે ખામીપ્રમાણ p = 0 થશે. આમ AOQનું સૂત્ર

AOQ = pL(p) + 0 [1 − L(p)]

= pL(p) થશે.

N = 100, n = 10 અને c = 1 દ્વારા વ્યાખ્યાયિત એક-નિદર્શન યોજના માટે AOQ વક્રનો આલેખ નીચેની આકૃતિ 5માં દર્શાવ્યો છે અને તેના પરથી AOQLની કિંમત મેળવી છે. નિદર્શન યોજના દ્વારા સ્વીકૃત થતા જથ્થાના ખામીપ્રમાણની ઊર્ધ્વસીમા AOQL દ્વારા નિશ્ચિત થાય છે.

AOQ વક્રનું સૂત્ર મેળવવા માટે કેટલી ધારણા હેઠળ સ્વીકૃત કે અસ્વીકૃત થયેલા જથ્થામાં સરેરાશ રીતે કેટલી વસ્તુઓનું નિરીક્ષણ કરવું પડશે તે જાણવું ખર્ચની ર્દષ્ટિએ ઉપયોગી થઈ પડે છે. આ પ્રકારના વિધેયને સરેરાશ કુલ નિરીક્ષણ (average total inspection અથવા ATI) વિધેય કહે છે. સ્પષ્ટ છે કે એક-નિદર્શન યોજના માટે ATIનું સૂત્ર

ATI = n + (N − n) (1 − L(p)) થશે.

એક-નિદર્શન યોજનામાં આપેલ n અને cની પસંદગી કેવી રીતે થઈ શકે તે વિશે વિચારીએ. આ યોજનાના OC વિધેય L(p)ના આલેખ પર બે બિન્દુઓ (AQL = P_a, 1 − α) અને (LTPD = P₁, β) નિયત કરવામાં આવે છે.  હવે,

-નો ઉપયોગ કરવાથી બે સમીકરણો

હવે આપેલ N, α, β, Pa અને Pt માટે બે સમીકરણોનો આસાદન પદ્ધતિથી ઉકેલ કરી n અને cની કિંમત મેળવી શકાય. સ્પષ્ટ છે કે અહીં h (d; n, Np, N) અતિગુણોત્તર વિતરણનું સંભાવનાસૂત્ર છે. Nની ગુરુ કિંમતો માટે h (d; n, Np, N)ને બદલે દ્વિપદી સંભાવના સૂત્ર b (d; n, p) અને Ni અને nની ગુરુ કિંમતો માટે પૉયસાં સંભાવનાસૂત્ર f(d; λ)નો ઉપયોગ કરી ઉપરનાં બે સમીકરણોના ઉકેલની આસાદનપદ્ધતિ સરળ બનાવી શકાય. ડૉજ અને રોમિગે 1959માં, α, β, Pa અને Ptની કેટલીક વિશિષ્ટ કિંમતો માટે નિદર્શન યોજનાઓ માટેના અચલો n અને cની કિંમતો મેળવવાનાં કોષ્ટકો રચ્યાં છે. આ કોષ્ટકો પરથી α, β, Pa અને lની આપેલ કિંમતો n અને cની કિંમતો કોષ્ટક પરથી મેળવી શકાય.

દ્વિ–નિદર્શન યોજના અને બહુ–નિદર્શન યોજના : કેટલીક વાર ગ્રાહકને નબળી ગુણવત્તા ધરાવતી વસ્તુઓ સામે મળતા રક્ષણની માત્રાનો ભોગ આપ્યા સિવાય નિદર્શનનું ખર્ચ ઘટાડી એક કરતાં વધુ તબક્કે નિદર્શન હાથ ધરી નિદર્શ-કદની સંખ્યા નાની બનાવવાનું કાર્ય સિદ્ધ થઈ શકે. આ કાર્ય દ્વિ-નિદર્શન યોજના દ્વારા થઈ શકે. દ્વિ-નિદર્શન યોજના નીચે પ્રમાણે વર્ણવી શકાય :

N વસ્તુઓના જથ્થામાંથી n, વસ્તુઓનો એક યર્દચ્છ નિદર્શ લો અને તેમાં ખામીયુક્ત વસ્તુઓ d₁ શોધો. જો d₁ ≤ c₁ હોય તો જથ્થાનો સ્વીકાર કરો. જો d₁ > c₂ હોય તો જથ્થાનો અસ્વીકાર કરો. પરંતુ જો c₁ < d₁ ≤ c₂ હોય તો તે જથ્થામાંથી n₂ વસ્તુઓનો યર્દચ્છ નિદર્શ પસંદ કરો. ધારો કે આ નિદર્શમાં ખામીયુક્ત વસ્તુઓની સંખ્યા d₂ છે. જો d₁ + d₂ ≤ c₂ હોય તો જથ્થાનો સ્વીકાર કરો. જો d₁ + d₂ > c હોય તો જથ્થાનો અસ્વીકાર કરો. અહીં c₁ અને c₂ (c₁ > c₂) પૂર્વ-નિશ્ચિત સંખ્યાઓ છે. આ યોજના માટેનું OC વિધેય L(p) નીચે પ્રમાણે લખી શકાય :

અહીં n (x; n, Np, N) અતિગુણોત્તર વિતરણનું સંભાવના-વિધેય દર્શાવે છે. તે જ પ્રમાણે આ યોજના માટે AOQ અને ATIનાં સૂત્રો પણ મેળવી શકાય. આ યોજનાનો લાભ એ છે કે સારી ગુણવત્તા ધરાવતા જથ્થાની સ્વીકૃતિ અને ખરાબ કે ઊતરતી કક્ષાની ગુણવત્તા ધરાવતા જથ્થાની અસ્વીકૃતિ પ્રથમ તબક્કાના નિદર્શના આધારે ઓછા નિરીક્ષણખર્ચથી થઈ શકે છે; પરંતુ જો જથ્થાની ગુણવત્તા મધ્યમ કક્ષાની હોય તો એક-નિદર્શન યોજના માટે જરૂરી નિદર્શ-કદ કરતાં દ્વિ-નિદર્શન યોજના માટે જરૂરી બનતા બંને તબક્કાના કુલ નિદર્શનું કદ મોટું હોઈ શકે. જથ્થામાંથી બે કરતાં વધુ તબક્કામાં નિદર્શો લેવામાં આવે તો બહુ-નિદર્શન યોજના મળે. આવી બહુ-નિદર્શન યોજના નીચેના ઉદાહરણ દ્વારા સમજી શકાય :

			સંયુક્ત નિદર્શો
નિદર્શ	નિદર્શ-કદ	કદ	સ્વીકૃતિ- સંખ્યા	અસ્વીકૃતિ- સંખ્યા
પહેલો	20	20	–	3
બીજો	20	40	1	4
ત્રીજો	20	60	3	5
ચોથો	20	80	3	6
પાંચમો	20	100	5	7
છઠ્ઠો	20	120	6	8
સાતમો	20	140	7	8

આ યોજનામાં જો ખામીયુક્ત વસ્તુઓની સંખ્યા 3 કે તેથી વધુ હોય તો જથ્થાનો પ્રથમ તબક્કે અસ્વીકાર થશે. જો તેમ ન હોય તો નિદર્શન ચાલુ રાખવું પડશે. બીજા તબક્કામાં જો સંયુક્ત નિદર્શમાં ખામીયુક્ત વસ્તુઓની સંખ્યા વધુમાં વધુ એક હોય તો જથ્થાનો સ્વીકાર થશે; પરંતુ જો ખામીયુક્ત વસ્તુઓની સંખ્યા 4 કે તેથી વધુ હોય તો જથ્થાનો અસ્વીકાર થશે, અન્યથા નિદર્શન ચાલુ રાખવું પડશે. આમ ત્રીજા તબક્કામાં નિદર્શ લેવાનો રહેશે વગેરે. અંતિમ તબક્કે જો 140ના સંયુક્ત નિદર્શમાં ખામીયુક્ત વસ્તુઓની સંખ્યા વધુમાં વધુ 7 હોય તો જથ્થાનો સ્વીકાર થશે; અન્યથા જથ્થાનો અસ્વીકાર થશે.

નિદર્શ-કદ, સ્વીકૃત અને અસ્વીકૃત સંખ્યાઓની યોગ્ય પસંદગી દ્વારા દ્વિ-નિદર્શન અથવા બહુનિદર્શન યોજનાના OC વિધેયને ગ્રાહકને મળતા રક્ષણના સંદર્ભમાં એક-નિદર્શન યોજનાના OC વિધેયની સમકક્ષ બનાવી શકાય. બહુનિદર્શન યોજનાને બદલે આનુક્રમિક (sequential) નિદર્શન યોજનાનો ઉપયોગ યોજનાના અમલના સંદર્ભમાં વધુ સુવિધાજનક છે. આનુક્રમિક નિદર્શન યોજનાના પ્રત્યેક તબક્કે માત્ર એક અવલોકન લેવામાં આવે છે.

અન્ય નિદર્શન યોજનાઓ : મેકગ્રો-હીલ દ્વારા 1953માં પ્રકાશિત બર(Burr)ના પુસ્તક ‘એન્જિનિયરિંગ સ્ટેટિસ્ટિક્સ ઍન્ડ ક્વૉલિટી કન્ટ્રોલ’માં સ્વીકૃતિનિદર્શન માટે જરૂરી એવી પ્રમાણિત નિદર્શનયોજનાઓ વિશે ચર્ચા કરી છે. આ યોજનાઓ પૈકી સૌથી વધુ પ્રચલિત અને ઉપયોગમાં લેવાતી નિદર્શનયોજનાઓ MLT-STD-105D કોષ્ટકમાં આપેલ છે. આ યોજનાઓ વિશેષત: AQLની જાળવણી પર વધુ ભાર આપે છે અને પરિણામે ગ્રાહકને હંમેશાં સારી ગુણવત્તાવાળી વસ્તુઓ મળે તે માટે ઉત્પાદકને પૂરતું ઉત્તેજન મળે તેવી રીતે રચવામાં આવે છે. આ હેતુ સિદ્ધ કરવા ગ્રાહકને થતાં વિવિધ જોખમો માટે ત્રણ કક્ષાનાં નિરીક્ષણ પ્રયોજવામાં આવે છે. સામાન્ય, ચુસ્ત (tightened) અને હળવાં – એમ ત્રણ પ્રકારનાં નિરીક્ષણો રાખવામાં આવે છે. ચુસ્ત નિરીક્ષણ હેઠળ ઉત્પાદકના જોખમની કક્ષા વધારવામાં આવે છે અને ગ્રાહકના જોખમની કક્ષા થોડીક ઘટાડવામાં આવે છે. હળવા નિરીક્ષણ હેઠળ ગ્રાહકના જોખમની કક્ષા વધારવામાં આવે છે અને ઉત્પાદકના જોખમની કક્ષા થોડીક ઘટાડવામાં આવે છે. MLT-STD-105D કોષ્ટકોની મદદથી એક-નિદર્શન, દ્વિ-નિદર્શન અને બહુ-નિદર્શન યોજનાઓના અચલાંકો નક્કી કરી શકાય.

નિદર્શન યોજનાઓની અહીં જે ચર્ચા કરી તેમાં વસ્તુનું ચલ-લક્ષણ X તે વસ્તુનો ગુણધર્મ દર્શાવે છે તેવી ધારણા કરી છે. તેથી આ નિદર્શન યોજનાઓને ગુણનિદર્શન યોજનાઓ કહે છે. જ્યારે વસ્તુનું ચલ-લક્ષણ X માપી શકાય તેવું હોય તેવા સંજોગોમાં ચલનિદર્શન યોજનાઓનો પણ વિચાર કરી શકાય. વસ્તુના ચલ-લક્ષણનું માપ લેવાનું હોવાથી ચલનિદર્શન યોજનાઓમાં કેટલીક વાર નિરીક્ષણખર્ચ વધુ હોઈ શકે. વળી ચલનિદર્શન યોજનાઓ માટે ચલ-લક્ષણ Xના પ્રત્યેક માપ માટે સ્વીકૃતિનાં જુદાં જુદાં ધોરણો પ્રયોજવાં પડે. ઉદાહરણ તરીકે ધારો કે એક વસ્તુ પર આપણે 5 વિવિધ પ્રકારનાં ચલ-લક્ષણો X₁, X₂, X₃, X₄, ….., X₅ વ્યાખ્યાયિત કરીએ, તો પાંચ ચલ-લક્ષણો માટે ચલનિદર્શન યોજનામાં પાંચ સ્વીકૃતિનાં ધોરણોનો વિચાર કરવો પડે, જ્યારે ગુણનિદર્શન યોજનામાં વસ્તુ ખામીયુક્ત છે કે કેમ તેનો જ વિચાર કરવામાં આવતો હોવાથી જથ્થાની સ્વીકૃતિ માટે એક જ સ્વીકૃતિનું ધોરણ પ્રયોજવું પડે. તેથી અમલના સંદર્ભમાં ગુણનિદર્શન યોજના, ચલનિદર્શન યોજના કરતાં વધુ સરળ છે. આમ છતાં ચલનિદર્શન યોજનાઓ ઔદ્યોગિક ક્ષેત્રે ગુણનિદર્શન યોજનાઓ જેટલું જ મહત્વ ધરાવે છે.

પી. એન. જાની