કલનશાસ્ત્ર – ચલનનું

કલનશાસ્ત્ર – ચલનનું (calculus of variations) : વક્ર સાથે સંકળાયેલી કોઈ રાશિને લઘુતમ કે મહત્તમ બનાવે તેવો વક્ર શોધવાના પ્રશ્નનો અભ્યાસ, થોડાં ઉદાહરણો જોઈએ.

(1) એક સમતલમાં બે બિંદુઓ આવેલાં છે. એ જ સમતલમાં બે બિંદુઓને જોડતા અનેક વક્રો દોરી શકાય. આ બધા વક્રોમાંથી લઘુતમ લંબાઈનો વક્ર શોધવો હોય તો પ્રશ્નને ગાણિતિક સ્વરૂપમાં આ પ્રમાણે મૂકી શકાય. બે બિંદુઓના યામો (x₁, y₁), (x₂, y₂) છે તે બે બિંદુઓને જોડતા વક્રનું સમીકરણ y = y (x) છે એમ લઈએ,

તો y (x₁) = x₁, y (x₂) = x₂ થાય અને સંકલ

 લઘુતમ મળે તેવો વક્ર y = y (x) શોધવાનો રહે છે (અહીં y’ = છે). આ પ્રશ્નમાં બે બિંદુઓને જોડતો લઘુતમ લંબાઈનો વક્ર સુરેખા છે એમ આગળ જોઈ શકાશે.

(2) ઊર્ધ્વ સમતલમાં ઊર્ધ્વરેખા પર ન હોય તેવાં બે બિંદુઓને તાર વડે જોડવામાં આવે, આ તાર પર ઉપરના બિંદુથી નીચેના બિંદુ સુધી એક મોતી માત્ર ગુરુત્વાકર્ષણના બળ હેઠળ સરકે તો મોતી સરકવાનો સમય લઘુતમ થાય તેવા વક્રનો આકાર શોધવાનો રહે છે. આ પ્રશ્ન બ્રેકિસ્ટૉક્રોમ સમસ્યા (brachistochrome problem) તરીકે જાણીતો છે. ફ્રેંચ ગણિતશાસ્ત્રી જોહાન બર્નુલીએ 1696માં યુરોપના ગણિતશાસ્ત્રીઓને આ પ્રશ્ન પૂછ્યો હતો. આ પ્રશ્નને ગાણિતિક સ્વરૂપમાં મૂકીએ. આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ ધન x અક્ષ ઊભી રેખામાં નીચે તરફ અને y અક્ષ ક્ષૈતિજ લઈએ. A બિંદુને ઉગમબિંદુ ગણીએ, B બિંદુના યામ (x₂, y₂) લઈએ. A બિંદુ આગળ મોતીનો વેગ શૂન્ય છે એમ ધારીએ. જો A અને Bને જોડતા વક્ર y = y (x) પરના બિંદુ p(x, y) આગળ મોતીનો વેગ v(x, y) હોય તો છે. તેથી તાર પરના Aથી B બિંદુ સુધી મોતી સરકવાનો સમય

થી મેળવી શકાય.

અહીં g ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક છે. (0) = 0, (x₂) = y₂ છે અને ઉપરનો સંકલ J(y) લઘુતમ થાય તેવો વક્ર મેળવવો છે. જે ચક્રજ (cycloid) છે એમ આગળ જોઈ શકાશે.

ચલન કલનના વિગતવાર અભ્યાસ દ્વારા ઉપરના બે પ્રશ્નનો વિચાર કરીએ.

ચલનનો સરળતમ પ્રશ્ન : ચલનના કલનનો વ્યાપક પરંતુ સરળતમ પ્રશ્ન નીચે પ્રમાણે છે. F એ ત્રણ ચલનું વિધેય છે, દ્વિતીય ક્રમ સુધીનાં તેનાં બધાં આંશિક વિકલિતો (differentials) સતત છે. વિધેય F અંતરાલ [x₁, x₂] પર સતત અને વિકલનીય છે.

(x₁) = y₁ અને (x₂) = y₂ છે અને સંકલ

લઘુતમ અથવા મહત્તમ બને તેવું વિધેય =(x) શોધવાનું છે. અહીં (મહત્તમ)નો અર્થ સ્થાનિક લઘુતમ (મહત્તમ) કરવાનો છે એટલે કે [x₁, x₂] પર સતત વિકલનીય હોય અને y(x₁) = y₁; y(x₂) = y₂ હોય તેવા, yના કોઈ સામીપ્યમાં આવેલા પ્રત્યેક y માટે J () ≤ J (y); J () J (y) ≥ J (y) થવું જોઈએ. વળી સામીપ્યનો આધાર માન (absolute value) પર રહે છે. [x₁, x₂] પર સતત વિકલનીય હોય તેવાં વાસ્તવિક વિધેયોના ગણને D [x₁, x₂] દ્વારા દર્શાવી શકાય. આ ગણ પર બે પ્રકારનાં માન લઈ શકાય. D [x₁, x₂]માંનાં વિધેયો ƒ, g માટે

(ƒ, g) = sup {| f(x) – g(x) | : x ∈ [x₁, x₂]} ………(iv)

d₁ (ƒ, g) =  (ƒ, g) +  (ƒ’, g’)

 માન માટેના લઘુતમને પ્રબળ લઘુતમ અને d₁ માન માટેના લઘુતમને મંદ લઘુતમ કહે છે. પ્રબળ લઘુતમ એ મંદ લઘુતમ પણ છે.

પ્રથમ ચલન, ઑઇલરનું સમીકરણ, આવશ્યક અને પર્યાપ્ત શરતો :

D [x₁, x₂]નું વિધેય h છે જે વિધેય yની વૃદ્ધિ છે તો સંકલ Jની વૃદ્ધિ J(y + h) – J(y) થશે.

પરંતુ J(y + h) – J(y)

=

=

+ (h અને h’ની એકથી વધુ ઘાતવાળાં પદોનો સરવાળો) dx.

આમ D [x₁, x₂]માં h શૂન્ય વિધેયની પૂરતું નજીક હોય તો J (y + h) – J(y) ધન કે ઋણ થવાનો આધાર

δJ = F_y’ (x, y, y’) h + Fx_y’ (x, y, y’) y’] dx પર રહેશે….(v).

δJને Jનું પ્રથમ ચલન કહેવાય છે. વિધેય ƒ(x)ના મહત્તમ-લઘુતમમાં ƒ'(x) જેવો ભાગ ભજવે છે તેવો જ ભાગ δJ એ Jના મહત્તમ-લઘુતમના અભ્યાસમાં ભજવે છે.

વિધેય y + h અંત્યબિંદુઓ પરની શરતનું પાલન કરે તે માટે h (x₁) = h (x₂) = 0 થશે. J(y)નું સ્થાનિક મંદલઘુતમ કે મહત્તમ વક્ર y = y (x) પર મળે તે માટે δ (J) = 0 થવું જરૂરી છે એમ સાબિત કરી શકાય. δ(J)ના સંકલનું ખંડશ: સંકલન કરીએ તો δ(J) = 0 પરથી (h અન્યથા D[x₁, x₂]નું યથેચ્છ વિધેય હોવાથી) સમીકરણ F_y’ – F_y = 0 મળશે —– (vi)

આ સમીકરણને ઑઇલરનું સમીકરણ કહેવામાં આવે છે. બિંદુ (x₁, y₁) અને (x₂, y₂)માંથી પસાર થતો વક્ર y = y (x), (iii)ના સંકલ J(y)નું (સ્થાનિક) મંદ લઘુતમ કે મહત્તમ આપે તે માટે તે સમીકરણ(vi)નું સમાધાન કરે તે આવશ્યક શરત છે. દેખીતી રીતે જ પ્રબળ લઘુતમ (મહત્તમ) માટે પણ આ આવશ્યક શરત છે. મંદ લઘુતમ માટેની પર્યાપ્ત શરતો નીચે પ્રમાણે છે :

(i) y = y (x) સમીકરણ (vi)નું સમાધાન કરે. (ii)  y = y (x) પરના દરેક બિંદુ માટે p(x) = F_y‘y‘ (x, y(x), y’ (x)) > 0 (iii) [x₁, x₂] પર x₁ને અનુબદ્ધ કોઈ બિંદુ ન હોય, પ્રબળ લઘુતમ માટે વાયર્સ્ટ્રાસના E- વિધેય અને સંકલના ક્ષેત્રના ખ્યાલની મદદથી પર્યાપ્ત શરતો આપવામાં આવે છે.

લઘુતમ અંતર અને લઘુતમ સમયના પ્રશ્નોનો ઉકેલ : ઑઇલરના સમીકરણ (vi)ની મદદથી શરૂઆતમાં આપેલા બે પ્રશ્નોના ઉકેલ વિશે વિચારીએ. સમસ્યા(1)ના સંકલ (i)માં દર્શાવ્યા પ્રમાણે F (x, y, y’) = છે તેથી Fy = 0 અને

આથી (vi)માંથી મળે છે. તેથી y’ = c છે. (અહીં c અચળ છે). તેથી y = cx + d મળે છે (અહીં d અચળ છે). y = cx + d સુરેખાનું સમીકરણ છે. આમ બે બિંદુઓને જોડતો લઘુતમ લંબાઈનો સમતલીય વક્ર રેખા જ હોઈ શકે. આથી આ પ્રશ્નનો ખરેખર ઉકેલ રેખા છે એમ સાબિત થયું. સમસ્યા (2)માં સંકલ (iii)માં દર્શાવ્યા મુજબ F(x, y, y’) =  છે તેથી ઑઇલર સમીકરણ  (F_y‘) = 0 થશે. આ ઉપરથી F_y‘ = a છે. (અહીં a અચળ છે.) એટલે કે અથવા = b (અહીં b = અચળ છે.) જો વક્રનો સ્પર્શક x અક્ષ સાથે ખૂણો θ બનાવે તો  = sin θ અને  = tan θ  પરંતુ sin² θ =  = b²x તેથી  અને મૂકતાં x =  (1-cost) અને y =  (t – sint) + c. અહીં c અચળ છે.

આ સમીકરણો ચક્રજનાં પ્રાચલ સમીકરણો છે. ઊર્ધ્વસમતલમાં આવેલાં, ઊર્ધ્વરેખા પર ન હોય તેવાં, બે બિંદુઓને જોડતા બધા જ વક્રોમાં મોતી એક બિંદુએથી બીજા બિંદુ સુધી ઓછામાં ઓછા સમયમાં સરકે તેવો વક્ર ચક્રજ છે. આ કારણને લીધે ચક્રજને શીઘ્રતમ અવતરણ વક્ર કહે છે.

આ જ રીતે ઊર્ધ્વ સમતલમાં આવેલાં બે બિંદુઓને જોડતા સમતલીય વક્રને ક્ષૈતિજ રેખાની આજુબાજુ પરિભ્રમણ કરાવવાથી મળતી સપાટીનું ક્ષેત્રફળ લઘુતમ મળે તેવો વક્ર માલાવક્ર (catenary) છે. એકથી વધુ ચલને લગતા પ્રશ્નો અને સમપરિમિતીય (isoperimetric) પ્રશ્નો : એક જ ચલના વિધેય પર આધારિત (એટલે કે વક્ર પર આધારિત) સંકલના લઘુતમ કે મહત્તમની ચર્ચા થઈ. બે ચલનું વિધેય સપાટીનું નિરૂપણ કરે છે તેથી આવા વિધેય પર આધારિત સંકલ, સપાટી સંકલ (surface integral) થશે. દ્વિચલના વિધેયને લગતા ચલનના પ્રશ્નને આ રીતે મૂકી શકાય; ધારો કે F(x, y, z, u, v) એ પાંચ ચલનું દરેક ચલમાં બીજા ક્રમ સુધીનાં બધાં આંશિક વિકલિતો સતત હોય તેવું વિધેય છે. R એ (x, y) સમતલનો સંવૃત્ત પ્રદેશ છે અને y દ્વિતીય ક્રમ સુધીના આંશિક વિકલિતો સતત હોય અને Rની સીમા C પર નિર્ધારિત મૂલ્યો લેતાં હોય તેવાં R પર વ્યાખ્યાયિત વાસ્તવિક વિધેયો z = z (x, y)નો ગણ છે. ધારો કે z ∈ y માટે J(z) = F (x, y, z, z_x, z_y) dx dy ——- (vii)નો પ્રશ્ન J(z)નું મૂલ્ય લઘુતમ (મહત્તમ) આપે તેવું વિધેય , τમાં શોધવાનો છે. એટલે કે τમાં એવું વિધેય z જોઈએ છે જેથી ના કોઈ સામીપ્યમાં આવેલા τમાંના દરેક વિધેય z માટે J() ≤ J(z), (J(z) ≥ J(z)) થાય. સંકલ (vii) માટેનું ઑઇલરનું સમીકરણ  છે (જેનું સમાધાન થાય તે લઘુતમ કે મહત્તમ માટેની આવશ્યક શરત છે.) અહીં x અને y સ્વતંત્ર ચલ અને z અવલંબિત ચલ છે. વધુ સ્વતંત્ર અને અવલંબિત ચલના વિધેયની પણ વાત થઈ શકે. દરેક અવલંબિત ચલ માટે એક ઑઇલર સમીકરણ મળશે. આપેલી લંબાઈની દોરીને મહત્તમ ક્ષેત્રફળ આવરે એવા સંવૃત્ત વક્રનો આકાર આપવો હોય તો આ પ્રશ્ન અગાઉના ત્રણ પ્રશ્ન કરતાં જુદો પડે છે. આ પ્રશ્નમાં વક્રની લંબાઈ અચળ રાખીને તેના વડે આવરી લેવાનું ક્ષેત્રફળ મહત્તમ જોઈએ છે. અમુક શરતોને અધીન રહીને સંકલનનું મૂલ્ય લઘુતમ કે મહત્તમ આપનારો વક્ર શોધવાના આ પ્રશ્નને સમપરિમિતીય પ્રશ્ન કહે છે. અમુક શરતોને અધીન રહીને વિધેયનું લઘુતમ કે મહત્તમ મૂલ્ય વિકલનની મદદથી શોધવા માટે લાગ્રાન્જના ગુણકોની રીત વપરાય છે. તેવી જ રીતે ચલનના સમપરિમિતીય પ્રશ્નોના ઉકેલ માટે પણ ગુણકોની રીત વપરાય છે.

પ્રત્યક્ષ રીત : ઑઇલરના (વિકલ) સમીકરણની મદદથી ચલનના પ્રશ્નનો ઉકેલ શોધવાની રીત જોઈ. ઇટાલિયન ગણિતશાસ્ત્રી ટોનેલીએ ચલનના અમુક પ્રકારના પ્રશ્નો ઉકેલવાની બીજી રીત આપી. આ રીતમાં વિકલ સમીકરણનો ઉપયોગ ન થતો હોવાથી તેને પ્રત્યક્ષ રીત કહે છે. ટોનેલીએ સિદ્ધ કર્યું કે કેટલીક શરતો હેઠળ સંકલ J(y) = F(x, y, x’) dxથી મળતો વિધેયક વક્ર, y = y(x)નું નિમ્ન અર્ધસતત વિધેય થાય છે. જો α = inf_y J(y) હોય તો α =  J(y_n) થાય તેવી શ્રેણી {y_n} મળે. હવે જો  y_n = y હોય તો J() = α થશે અને , J(y)નું લઘુતમ મૂલ્ય આપશે. આ રીત ઉપયોગમાં લેવા માટે શ્રેણી {y_n} મેળવવી જરૂરી છે. રેલે-રિટ્ઝની રીત જેવી કેટલીક રીતો આવી શ્રેણી મેળવવા માટે વપરાય છે.

ચલનના સિદ્ધાંતો અને ચલનની રીત : ચલનના કલનશાસ્ત્રનો ઉપયોગ ચલનના કેટલાક પ્રશ્નોના ઉકેલ પૂરતો જ મર્યાદિત નથી. ભૌતિકશાસ્ત્ર અને યંત્રશાસ્ત્રના મૂળભૂત સિદ્ધાંતો ચલનના સિદ્ધાંત તરીકે વ્યક્ત થઈ શકે છે. આવો એક સિદ્ધાંત હેમિલ્ટનનો લઘુતમ કાર્યનો સિદ્ધાંત છે. આ સિદ્ધાંત પ્રમાણે બળના સંરક્ષિત ક્ષેત્રમાં સમય અંતરાલ [t₀, t₁]માં ગતિ કરતા કણના ગતિપથ પર સંકલ

(viii)માં T એ કણની ગતિશક્તિ અને U એ સ્થિતિશક્તિ સૂચવે છે. હેમિલ્ટનનો સિદ્ધાંત અને ન્યૂટનનું ગતિનું સમીકરણ એકબીજામાંથી તારવી શકાય છે. કેટલાંક વિકલ સમીકરણોના ઉકેલ માટે પણ ચલનની રીત ઉપયોગી છે. ઇષ્ટતમ નિયંત્રણ(optimal control)ના પ્રશ્નો અને એ પ્રશ્નો ઉકેલવાની રીતો ચલનના કલનશાસ્ત્ર જોડે નિકટતાપૂર્વક સંકળાયેલી છે.

મહાવીરેન્દ્ર હરિપ્રસાદ વસાવડા