કલનશાસ્ત્ર

કલનશાસ્ત્ર (calculus) : બદલાતી ચલરાશિ અનુસાર સતત વિધેયમાં થતા ફેરફારના દર સાથે સંકળાયેલી ગાણિતિક વિશ્લેષણની એક શાખા. કલનશાસ્ત્ર શોધવાનું બહુમાન સર આઇઝેક ન્યૂટન (ઇંગ્લૅન્ડ) અને જી. લાઇબ્નીત્ઝ(જર્મની)ને ફાળે જાય છે. લગભગ એક શતાબ્દી સુધી ‘આ બે ગણિતશાસ્ત્રીમાં પ્રથમ પ્રણેતા કોણ ?’ એ અંગે બંનેના સમર્થકો વચ્ચે વિવાદ થયો, જેને કારણે આ વિષયનો વિકાસ રૂંધાયો હતો. કલનશાસ્ત્રનો મૂળભૂત ખ્યાલ લક્ષ્ય (limit) છે. પ્રાચીન ગ્રીકોએ ભૂમિતિમાં આ વિચાર પ્રયોજ્યો હતો. આર્કિમિડિઝે સમાન બાજુઓવાળા બહુકોણને વર્તુળમાં અંતર્લિખિત (inscribe) કર્યો. બહુકોણની બાજુઓની સંખ્યા જેમ વધારતા જઈએ, તેમ બહુકોણનું ક્ષેત્રફળ વર્તુળના ક્ષેત્રફળની લગોલગ થવા જાય છે. એટલે કે વર્તુળમાં અંતર્લિખિત બહુકોણના ક્ષેત્રફળનું લક્ષ્ય વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ છે. આવું જ પરિણામ પરિલિખિત બહુભુજ(circumscribed polygon)માં પણ મળતું હતું. r ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ πr² છે અને πનું મૂલ્ય 3.14 (અચલાંક) છે, એમ આર્કિમિડિઝે બતાવ્યું. અનિયમિત આકારની પ્લેટનું ક્ષેત્રફળ સરખી પહોળાઈના લંબચોરસો રૂપે પ્લેટનું વિભાજન કરવાથી મળે છે. જો વિભાજન કરતાં લંબચોરસની સંખ્યા વધારતા જઈએ તો આવા લંબચોરસોનાં ક્ષેત્રફળોના કુલ સરવાળાનું (જે લંબાઈને ઊંચાઈ વડે ગુણવાથી મળે છે.) લક્ષ્ય અનિયમિત આકારની પ્લેટનું ક્ષેત્રફળ આપે છે. આ જ પદ્ધતિનો ઉપયોગ ગોલક (sphere), શંકુ અને બીજા ઘન પદાર્થોનું ઘનફળ શોધવામાં થાય છે.

વિધેયનું લક્ષ્ય : વિધેય y = ƒ(x)માં xની કિંમતમાં વધઘટ થાય તેમ yની કિંમતમાં પણ વધઘટ થાય છે. ચલરાશિ yની કિંમતમાં થયેલો ફેરફાર, ચલરાશિ xમાં થયેલા ફેરફાર ઉપર આધારિત છે. આથી xને નિરપેક્ષ ચલરાશિ (independent variable) અને yને સાપેક્ષ ચલરાશિ (dependent variable) કહે છે. x કોઈ ચોક્કસ સંખ્યા ‘a’ને અનુલક્ષતો હોય ત્યારે y કોઈ ચોક્કસ સંખ્યાlને અનુલક્ષતો હોય તો સંકેતનો ઉપયોગ કરીને x → a ત્યારે ƒ(x) →  અથવા એમ લખાય છે. વળી x → a એટલે કે xની કિંમત aના કોઈ યોગ્ય સામીપ્ય(a – δ, a + δ)માં આવેલી છે (x ≠ a) એટલે કે | x – a | < δ ત્યારે yની કિંમત( – ε, + ε)માં આવેલી છે એટલે કે | ƒ(x)- | < ε હોય તો  છે.

વિકલ ગણિત (defferential calculus) : નિરપેક્ષ ચલરાશિના ફેરફારને અનુલક્ષીને વિધેયમાં થતા ફેરફાર સાથે વિકલ ગણિત સંકળાયેલું છે. વક્રના સ્પર્શકો શોધવાની સમસ્યાઓમાંથી તે ઉત્પન્ન થયું એનું વર્ણન આઇઝેકબરોના ભૂમિતિ પરના સંશોધનલેખ ઉપરથી મળે છે. આ પદ્ધતિ ન્યૂટને શોધી કાઢી હતી. તેના અસલ સિદ્ધાંતમાં ન્યૂટને વિધેયને ફેરફાર પામતી રાશિ ‘a fluent’ નામથી અને વિકલન અથવા ફેરફારના દરને ‘fluxion’ નામથી ઓળખાવી છે.

વિકલન : y = ƒ(x) કોઈ અંતરાલ I માં વ્યાખ્યાયિત વિધેય છે. x તેના પ્રદેશમાં આવેલી સ્થિર કિંમત છે અને x’ ચલ કિંમત છે, y અને y’ તેમને અનુરૂપ કિંમતો છે. xમાં થયેલો ફેરફાર = x’-x, જેને xનો ઉપચય (increament) કહે છે. yમાં થયેલો અનુરૂપ ફેરફાર = y’-y છે, જેને yનો ઉપચય કહે છે. ગુણોત્તર y’-y/x’-xને ઉપચયનો ગુણોત્તર કહે છે. x’, xને અનુલક્ષે ત્યારે આ ઉપચય ગુણોત્તરનું લક્ષ્ય લઈએ. લક્ષ અસ્તિત્વ ધરાવતું હોય, નિશ્ચિત હોય તો ને વિધેય ƒ(x)નું x વિશેનું વિકલનફળ (derivative) કહે છે. તેને સંકેતમાં  અથવા ƒ'(x)થી દર્શાવવામાં આવે છે. વિકલનફળ મેળવવાની ક્રિયાને વિકલન (differentiation) કહે છે. જો x’-x = h લઈએ તો x’ = x + h, x’ → x હોય તો h → 0 થાય.

આમ y = f(x), y’ = f(x’) = f(x + h); આથી

     છે. ઉદાહરણ તરીકે y = ƒ(x) = x²નું

x વિશે વિકલનફળ મેળવીએ. y = x² છે ∴ y’ = (x + h)²

∴ y’-y = (x + h)² – x² અને x’ – x = x + h – x = h છે.

=

આમ  = 2x છે. આ રીતનો ઉપયોગ કરી વિવિધ વિધેયોના વિકલનનાં પ્રમાણિત સૂત્રો(standard formulae) મેળવી શકાય છે.

વિકલનના ક્રિયાનિયમો :

(i) વિધેયોના સરવાળા કે બાદબાકીનું વિકલન :

   જો y = u ± v હોય, જ્યાં u, v એ xનાં વિધેય છે તો =  ±   છે.

(ii) વિધેયોના ગુણાકારનું વિકલન :

   જો y = uv હોય તો  = u  + v  છે.

(iii) વિધેયોના ભાગાકારનું વિકલન :

    જો y = (v ≠ 0) હોય તો   છે.

કલનશાસ્ત્રનો ઉપયોગ રસાયણશાસ્ત્રવિજ્ઞાન અને ઇજનેરી વિદ્યા જેવી વિજ્ઞાનની વિવિધ શાખાઓમાં અને ભૂમિતિ, યંત્રશાસ્ત્ર, વિદ્યુતશાસ્ત્ર જેવી ગણિતની શાખાઓમાં કરવામાં આવ્યો છે. કલનશાસ્ત્ર અને ભૂમિતિ વચ્ચે ગાઢ સંબંધ છે. કલનના મૂળભૂત ખ્યાલો શોધવા અને સ્પષ્ટ કરવા લાઇબ્નીત્ઝ અને ન્યૂટન બંનેએ ભૂમિતિનો આશ્રય લીધો હતો. માટે કલનની ઉત્પત્તિમાં ભૂમિતિનો ફાળો મહત્વનો છે. બીજી તરફ કલનનાં સૂત્રો અને પદ્ધતિઓ ભૂમિતિ પર અજમાવતાં ભૂમિતિનો અણધાર્યો વિકાસ થયો. વિકલ ગણિતની ઉપયુક્તતા (i) ભૂમિતિ, (ii) યંત્રશાસ્ત્ર અને (iii) મહત્તમ-લઘુતમ વગેરેમાં નીચે પ્રમાણે થાય છે :

(i) આકૃતિમાં y = f(x) વિધેયનો આલેખ AB છે. P (x, y) વક્ર પરનું નિશ્ચિત બિંદુ છે. Q (x’, y’) વક્ર પરનું બીજું બિંદુ છે. PQ છેદક રેખા છે.

આકૃતિ 1

યામભૂમિતિના સૂત્ર મુજબ છેદક રેખા PQનો ઢાળ =   છે. હવે ધારો કે વક્ર પરનું Q બિંદુ વક્ર પર રહીને P તરફ ખસતું જાય છે. જો Q, Pની અત્યંત નજીક જાય તો Q, Pને અનુલક્ષે, પરિણામે છેદક PQ, અંતિમ સ્થિતિ PTને અનુલક્ષે જેને વક્રનો P બિંદુ આગળનો સ્પર્શક કહે છે. આમ Q → P ત્યારે છેદક PQ → સ્પર્શક PT.

∴ સ્પર્શક PTનો ઢાળ = છેદક PQના ઢાળનું લક્ષ્ય

નું લક્ષ્ય

∴ સ્પર્શકનો ઢાળ =

∴ સ્પર્શકનો ઢાળ = વિધેય yનું x પ્રત્યેનું વિકલનફળ.

(ii) યંત્રવિદ્યા : કિંવદંતીઓ અનુસાર વૃક્ષ પરથી નીચે પડતા સફરજન પરથી ન્યૂટને કલનશાસ્ત્ર શોધ્યું. સફરજન પડવા લાગે ત્યારે તેની ગતિ વધતી જ જાય છે. તેની ગતિ સાથે વેગ અને પ્રવેગ પણ સંકળાયેલા છે. ગાણિતિક સંકેતોમાં કહીએ તો ગતિના કોઈ એક તબક્કે સફરજન Δt જેટલા સમયમાં Δs જેટલા અંતરની ગતિ કરે તો તેનો વેગ લગભગ, અંતર Δs અને સમય Δtના ગુણોત્તર જેટલો એટલે કે  થાય. તેનો તત્કાલીન (instantaneous) વેગ v, Δt શૂન્યને અનુલક્ષે ત્યારે ગુણોત્તરનું લક્ષ્ય લેવાથી મળે.

આમ ને અંતર sનું સમય t પ્રત્યે વિકલન કહે છે અથવા તેને tના સંદર્ભમાં sના ફેરફારનો દર કહે છે. જેને ds અને dtના ગુણોત્તર તરીકે પણ લઈ શકાય. dsને sનો વિકલ અને dtને tનો વિકલ (differential) કહે છે. વળી પ્રવેગ ‘a’ને   એટલે કે  ને vનું t પ્રત્યેનું વિકલનફળ કહે છે.

અથવા tના સંદર્ભમાં vના ફેરફારનો દર પણ કહે છે તેને dv અને dtના ગુણોત્તર તરીકે પણ લઈ શકાય. જ્યાં dvને vનો વિકલ અને dtને tનો વિકલ કહે છે. ઉપરાંત પ્રવેગ છે. આથી પ્રવેગ ‘a’ને અંતર ‘s’નું t પ્રત્યેનું દ્વિવિકલન પણ કહે છે. આમ કલનશાસ્ત્રનો જે ભાગ વિકલન સાથે વિનિયોગ કરે છે તેને વિકલ ગણિત ‘differential calculus’ કહે છે. sને t ચલરાશિના વિધેય તરીકે આપેલું હોય ત્યારે sનું t પ્રત્યેનું વિકલનફળ શોધી વેગ v શોધી શકાય. આથી ઊલટું v જ્ઞાત હોય ત્યારે ઉપરના કરતાં ઊલટી પ્રક્રિયા કરતાં s મેળવી શકાય, આ પ્રક્રિયાને પ્રતિવિકલનફળ (antiderivative) શોધવું એમ કહે છે.

આમ = v ∴ ds = vdt ∴ ∫ds = ∫vdt એટલે કે s = ∫ndt છે. એટલે કે s એ vનું t પ્રત્યે સંકલન છે. (વેગ vનું સમય t પ્રત્યે સંકલન કરવાથી અંતર s મળે છે.)

(iii) અધિકતમ-ન્યૂનતમ : પ્રારંભિક કલનશાસ્ત્રના મહત્વના વિનિયોગ(application)માંનું એક વિધેયનું અધિકતમ અને ન્યૂનતમ નક્કી કરવું તે છે.

આકૃતિ 2

આકૃતિ 2 (i)માં દર્શાવ્યા અનુસાર જો (a – δ, a + δ) અંતરાલમાં ƒ(x) < ƒ(a) હોય તો ƒ(x)ની x = a આગળની અધિકતમ (maximum) કિંમત ƒ(x) છે. તે જ પ્રમાણે (a – δ, a + δ) અંતરાલમાં આકૃતિ (ii)માં બતાવ્યા પ્રમાણે ƒ(x) > ƒ(a) હોય તો ƒ(x)ની x = a આગળની ન્યૂનતમ કિંમત ƒ(a) છે. અહીં અંતરાલ (a – δ, a + δ), a બિંદુને સમાવે છે અને એટલો નાનો છે કે જેથી δ → 0 છે. અધિકતમ અને ન્યૂનતમ મૂલ્યોને સ્થિરમૂલ્યો (stationary values) પણ કહે છે.

સ્થિરમૂલ્યો માટેની જરૂરી અને પર્યાપ્ત શરત : x = a બિંદુ આગળ f'(a) = 0 એ વિધેય f(x) અધિકતમ કે ન્યૂનતમ હોવા માટેની જરૂરી શરત છે. જો f”(a) < 0 હોય તો f(a) અધિકતમ અને f”(a) > 0 હોય તો f(a) ન્યૂનતમ છે. આ પર્યાપ્ત શરતો છે; દા.ત., એક લંબચોરસ આકારના ગોચરને આવરી લેવા 100 ફૂટની તારની વાડ ઉપલબ્ધ છે. મહત્તમ પ્રમાણમાં ગોચરનું ક્ષેત્રફળ આવરી લેવા માટે ગોચરનો આકાર અને માપ શું રાખવું જોઈએ ? જો લંબચોરસની એક બાજુ x ફૂટ હોય તો બીજી બાજુ (50-x) ફૂટ થશે. આમ, લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ = x’ × (50 – x)’ ક્ષેત્રફળ x ઉપર આધારિત હોવાથી તેને f(x) વડે દર્શાવીએ તો f(x) = x × (50 – x) થાય.

∴ લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ = f(x) = x (50 – x) = 50x – x² ચો. ફૂટ છે. આ ક્ષેત્રફળને મહત્તમ બનાવવું હોય તો f(x)નું x પ્રત્યે વિકલન કરી f'(x) = 0 મૂકવાથી મળતી xની કિંમત ગોચરની બાજુ આપશે.

અહીં f(x) = 50x – x² ∴ f'(x) = 50-2x, f'(x) = 0 મૂકતાં f'(x) = 50-2x = 0 ∴ x = 25 ફૂટ છે, જે લંબચોરસની એક બાજુ છે.

∴ લંબચોરસની બીજી બાજુ = 50 – x = 50 – 25 = 25 ફૂટ છે. એટલે કે લંબચોરસની લંબાઈ = પહોળાઈ = 25 ફૂટ છે. આથી ક્ષેત્રફળને મહત્તમ બનાવવા માટે લંબચોરસની લંબાઈ ને પહોળાઈ સરખી હોવી જોઈએ એટલે કે મહત્તમ ક્ષેત્રફળ આવરી લેવા માટે લંબચોરસને 25 ફૂટ સમચોરસ બનાવવો પડશે.

પ્રતિવિકલન : y = f(x)માંથી  એટલે કે f'(x) મેળવવાની ક્રિયાને આપણે વિકલન કહીએ છીએ, હવે f'(x) આપેલો હોય તો તેમાંથી f(x) મેળવી શકાય ખરું ? અમુક સંજોગોમાં આમ બને છે. ત્યારે f'(x)માંથી f(x) મેળવવાની ક્રિયાને પ્રતિવિકલન (anti-differentiation) કહે છે; દા.ત., y = x² + 2xનું x પ્રત્યેનું વિકલનફળ  = 2x + 2 છે. ∴ 2x + 2નું પ્રતિવિકલ x² + 2x થાય. પ્રતિવિકલને પૂર્વગ પણ કહે છે.

વ્યાખ્યા : જો કોઈ વિધેય f(x)નું x વિશેનું વિકલનફળ F(x) હોય તો f(x)ને F(x)નું x વિશેનું પ્રતિવિકલ કહે છે અને તેને ∫F(x)dx સંકેતથી દર્શાવવામાં આવે છે. સંકેતમાં  (f(x)) = F(x) હોય તો ∫F(x)dx = f(x) છે. પ્રતિવિકલનને સંકલન (integration) પણ કહે છે. જે વિધેયનું સંકલન કરવાનું હોય તેને સંકલ્ય (integrand) કહે છે.

સંકલનનો સ્વૈર અચલ : y = x² અને y = x² + k, (k = અચળ) બંને વિધેયોનું x પ્રત્યે વિકલન કરતાં વિકલનફળ 2x આવે છે. ∴ ∫2xdx = x² અથવા x² + k થાય.

આવી જ રીતે  (f(x)) = F(x) હોય અને k અચલ હોય તો  (f(x) + k) = F(x) થાય. આમ ∫F(x)dx = f(x) અથવા f(x) + k છે. (જ્યાં kની કોઈ પણ કિંમત લઈ શકીએ) આથી kને સંકલનનો સ્વૈર અચલ કહે છે. એમ કહી શકાય કે આપેલા વિધેયનો સંકલ અનન્ય નથી. આથી આવા સંકલને અનિયત સંકલ (indefinite integral) કહે છે. ઐતિહાસિક ર્દષ્ટિએ જોઈએ તો પ્રથમ સંકલનની અને પછી વિકલનની શોધ થઈ હતી એટલે સંકલનની ક્રિયા વિકલનથી સ્વતંત્ર રીતે જ વિકસી હતી એમ કહેવાય. ઈ.પૂ. ત્રીજા સૈકામાં ગ્રીક ગણિતશાસ્ત્રી આર્કિમિડીઝે સરવાળાના લક્ષ્ય તરીકે સંકલન લઈ આકૃતિઓનાં ક્ષેત્રફળો શોધ્યાં હતાં. ત્યારપછી લગભગ બે હજાર વર્ષ સુધી કોઈએ એ દિશામાં વિચાર કર્યો ન હતો. સત્તરમી સદીમાં યુરોપના જુદા જુદા દેશોમાં કેપ્લર, ફર્મા, પાસ્કલ, દકાર્ત, લાઇબ્નીત્ઝ અને ન્યૂટને સરવાળાના લક્ષ્ય તરીકે સંકલનની સંકલ્પના(notion)ને આકાર આપ્યો. લાઇબ્નીત્ઝ અને ન્યૂટને વિકલનની શોધ પણ કરી. તેથી તેઓ કલનશાસ્ત્રના જનક પણ કહેવાયા. અઢારમી સદીમાં બર્નુલી ભાઈઓ, ઑઇલર, લાગ્રાન્જ વગેરે ગણિતશાસ્ત્રીઓએ કલનના અભ્યાસને જબરદસ્ત વેગ આપ્યો. પરંતુ ગણિતની અન્ય શાખાઓની જેમ કલનગણિતમાં પણ પાયાના સિદ્ધાંતોની સ્પષ્ટ અને અસંદિગ્ધ અભિવ્યક્તિ તથા તેમાંથી તર્કબદ્ધ રીતે વિષયનું ચણતર તો ઓગણીસમી સદીમાં જ થયું. વિધેયના સંકલનની સંગીન અને ચોક્કસ વ્યાખ્યા આપવાનું, વિધેય સંકલનીય હોવા માટેની આવશ્યક અને પર્યાપ્ત શરતો શોધવાનું અને એ રીતે સંકલનશાસ્ત્રને વ્યવસ્થિત અને વૈજ્ઞાનિક સ્વરૂપ આપવાનું માન જર્મન ગણિતશાસ્ત્રી બર્નહાર્ડ રીમાન(1826-66)ને ફાળે જાય છે. વિધેયના સંકલનને રીમાન સંકલ કહે છે.

માપન અને સંકલનનું ગણિત (measure and integration) : વક્રની લંબાઈ, વક્રની સપાટીનું પૃષ્ઠફળ, ઘનનું ઘનફળ જેવી ક્ષેત્રમિતિ(mensuration)ની સમસ્યાઓનો ઉકેલ શોધવા જતાં કાળક્રમે કલનશાસ્ત્રમાં માપન(measure)નો ખ્યાલ વિકસ્યો. પરંતુ માપન અંગેનો અમૂર્ત ખ્યાલ વીસમી સદી સુધી વિકસ્યો ન હતો. આના ક્રમશ: વિકાસની માહિતીને નીચે મુજબ જુદા જુદા ગાળામાં વહેંચી શકાય.

બૅબિલૉન ઇજિપ્શિયન કાળ (Empirical period) : પ્રાગ્ ઐતિહાસિકથી શરૂ કરી ઈ. પૂ. છઠ્ઠી સદી સુધીનો આ ગાળો છે. વર્તુળ, ત્રિકોણ,  સમલંબક (trapezium) જેવા નિયમિત ભૌમિતિક આકારો માટે ક્ષેત્રફળ શોધવાના નિશ્ચિત અને સ્પષ્ટ નિયમો હતા. આ નિયમો પ્રયોગથી અથવા અનુભવથી શોધાયા હતા. પિરામિડ, ત્રિપાર્શ્ર્વ, વર્તુલીય નળાકાર જેવા ઘન પદાર્થનાં ઘનફળ શોધવા માટેના પણ નિયમો હતા.

ગ્રીક કાળ : ઈ. પૂ. 200 સુધીનો સમયગાળો. ભૌમિતિક આકારોનું ક્ષેત્રફળ અને ઘનફળ શોધવાના નિયમો ઈ. પૂ. 376ની આસપાસ એક્ઝોડસે (Exodus) આપ્યા. તે પછી એક સદી બાદ સંનિકટન(approximation)ની રીત વિકસાવીને આર્કિમિડીઝે નિયમોને ઉપયોગમાં લીધા. આ રીત પાછળથી સત્તરમી સદીમાં નિર્વાસન(સમાપન)ની રીત (method of exhaustion) તરીકે ઓળખાઈ.

અવિભાજનનો યુગ (period of indivisibles) : આ સમયગાળો 1610થી 1670 સુધી વિસ્તરેલો છે, જેના ઉપર આર્કિમિડીઝનો ભારે પ્રભાવ હતો. તેમાંથી સંકલનનો ખ્યાલ ક્રમશ: વિકસ્યો. ખાસ કરીને ઇંગ્લૅન્ડમાં સંકલનને પ્રાથમિક ક્રિયા તરીકે નહિ પરંતુ પ્રતિ-વિકલ (antiderivative) તરીકે વિકસાવ્યું.

કલનશાસ્ત્રનો ગાળો (calculus period) : કલનશાસ્ત્રનો ઊગમકાળ 1670થી ઓગણીસમી સદીની શરૂઆત સુધીનો છે. ન્યૂટન તેના શિક્ષક બેરો(Barrow)થી પ્રભાવિત હતો અને ગતિવિજ્ઞાન(dynamics)માં સંશોધન કરતો હોવાથી સમય tને નિરપેક્ષ ચલરાશિ તરીકે સ્વીકારે છે. બહુચલ રાશિવિધેય કે આંશિક વિકલનનો તેને ખ્યાલ ન હતો. જે વિધેયોનાં વિકલન જ્ઞાતા હતા તેના પ્રતિવિકલન શોધવામાં આવતાં. જ્યારે પાસ્કલથી પ્રભાવિત લાઇબ્નીત્ઝ વિકલનને વક્રના કોઈ બિંદુ આગળ દોરેલા સ્પર્શક્ધાા ઢાળ (slope) તરીકે લેતો અને સંકલનને બધી રેખાઓના સરવાળા તરીકે ગણતો. લાઇબ્નીત્ઝની પ્રવૃત્તિ ગણિતના જ્ઞાનને વ્યવસ્થિત કરવાની અને તેને માટે સર્વસ્વીકૃત પરિભાષા નિર્માણ કરવાની હતી. કલનશાસ્ત્ર માટે આમ કરવામાં તે સફળ થયો; દા.ત. સંકલનનો સંકેત સરવાળા માટે પ્રયોજાયેલો છે. વિશિષ્ટ આકારનો s (ò) આનું ઉદાહરણ છે. લાઇબ્નીત્ઝે અચલ, ચલરાશિ, પ્રાચલ (parameter) વગેરેનો ઉપયોગ કર્યો. બર્નુલી સાથે તેણે વિધેય અને સંકલ જેવા શબ્દો પ્રયોજ્યા. સત્તરમી સદી પહેલા લાઇબ્નીત્ઝના વિચારોને જે. બર્નુલી અને ઓઇલરે આગળ વધાર્યા. અઢારમી સદીમાં ન્યૂટનના વિચારોને મેકલોરીન અનુસર્યો અને તેને આગળ વિકસાવ્યા.

વિશ્લેષણયુગ (analysis period) : ઑગસ્ટિન લુઈના આગમન સાથે કલનશાસ્ત્રમાં વિશ્લેષણનો આધુનિક યુગ શરૂ થયો. લક્ષ્યના ખ્યાલની મદદથી વિકલનની વ્યાખ્યા આપવામાં આવી. સંકલનને સરવાળાના લક્ષ્ય તરીકે વિકસાવવામાં આવ્યું. આધુનિક ગણ સિદ્ધાંતે માપન અને સંકલનનો ર્દષ્ટિકોણ બદલી નાંખ્યો.

માપનનો સિદ્ધાંત (measure theory) : સંકલનના સિદ્ધાંતને વધુ વ્યાપક સ્વરૂપ આપતી ગાણિતિક વિશ્ર્લેષણની એક શાખા તે માપનનો સિદ્ધાંત છે. રીમાન્નની સંકલનવિધિ અનુસાર અંતરાલ [a, b] પર સીમિત વિધેય ƒના સંકલન માટે[a, b]નું એક વિભાજન π જેવું કે a = x₀ < x₁ < x₂ < ———— < x_n-1 < x_n = b લેવામાં આવે છે. જો અંતરાલ [x_i-1, x_i] પર વિધેયનું લઘુતમ મૂલ્ય m_i અને મહત્તમ મૂલ્ય M_i હોય તો Σm_i(x_i-x_i–1)ને વિભાજન π માટે ƒનો નીચલો  સરવાળો S(π) તથા Σm_i(x_i-x_i–1)ને વિભાજન π માટે ƒનો ઉપલો સરવાળો S(π) કહે છે. જુદાં જુદાં તમામ શક્ય વિભાજનો π માટેના નીચલા સરવાળા ઉપરથી સીમિત છે એમ સાબિત કરી શકાય છે. તેમની લઘુતમ ઊર્ધ્વસીમાને નિમ્ન રીમાન્ન સંકલ કહે છે. એ જ પ્રમાણે ઉપલા સરવાળાઓની મહત્તમ અધ:સીમાને ઉચ્ચ રીમાન્ન સંકલ કહે છે. આ બંને સંકલો સમાન હોય તો વિધેય ƒ, [a, b] પર સંકલનીય કહેવાય અને એ બે સંકલોના મૂલ્યને ƒનો [a, b] પરનો રીમાન્ન સંકલ કહે છે. રીમાન્ન સંકલની આ વ્યાખ્યા પરથી સ્પષ્ટ છે કે ƒ માટે ઉપલા તથા નીચલા સરવાળા એકબીજાની ખૂબ નજીક લાવી શકાય તો ƒ રીમાન્ન સંકલનીય હોવાનો સંભવ વધુ છે. આ માટે m_i અને M_i એકબીજાની નજીક હોવા જોઈએ. આથી ઉપાંતરાલ(sub-interval) [x_i–1, x_i]માં વિધેયનાં મૂલ્યો એકબીજાની નજીક હોય તે જરૂરી છે. એટલે કે xમાં થોડોક ફેર પડે તો ƒ(x)માં પણ થોડોક જ ફેર પડવો જોઈએ. આનો અર્થ એ છે કે વિધેય સતત હોય એ લગભગ જરૂરી છે, કેટલાક સંજોગોમાં અસતત વિધેયો પણ રીમાન્ન સંકલનીય હોઈ તો શકે છે પણ વિધેયોનું અસાતત્ય ‘નિયંત્રિત’ રહે તે જરૂરી છે. આથી સંકલનનો રીમાન્ન સિદ્ધાંત બહુ મર્યાદિત છે કારણ કે કેવળ સતત (કે લગભગ સતત) વિધેયો જ R-સંકલનીય બને છે. આ સિદ્ધાંતને વધુ વ્યાપક બનાવવાનું કામ વીસમી સદીની શરૂઆતમાં ફ્રાન્સના ગણિતશાસ્ત્રી લેબેગે કર્યું. તેણે એવી યુક્તિ કરી કે ƒના પ્રદેશ અંતરાલ [a, b]નું વિભાજન કરવાને બદલે ƒનાં x∈[a, b] માટેનાં મૂલ્યો જે અંતરાલમાં આવેલાં છે તેનું વિભાજન કર્યું. ધારો કે x∈   [a, b] માટે

m ≤ (x) ≤ M છે. હવે [m; M]નું વિભાજન π લઈએ

m = y₀ < y₁ < y₂ < ——– < y_n–1 < y_n = M

હવે ƒ^–1 ([y_i–1, y_i]) લઈએ તો તે [a, b]નો કોઈ ઉપગણ S_i હશે. આ રીતે [a, b]નું એક વિભાજન S₁, S₂, ——–, S_n પણ મળશે. ધારો કે S_iમાં ƒનું લઘુતમ મૂલ્ય m_i અને મહત્તમ મૂલ્ય M_i હોય તો દેખીતું છે કે y_i–1 ≤ m_i ≤ M_i ≤ y_i થશે તેથી હવે m_i અને M_i આપોઆપ એકબીજાની નજીક હશે. આથી વિધેય સતત ન હોવા છતાં પણ તે સંકલનીય થવાનો સંભવ વધુ છે. હવે મુશ્કેલી એ છે કે જેમ રીમાન્ન સંકલન માટે m_i(કે M_i)નો ગુણાકાર ઉપાંતરાલ-[x_i–1, x_i]ની લંબાઈ સાથે કરવામાં આવે છે તેમ હવે m_i(કે M_i)નો ગુણાકાર ઉપગણ S_iની લંબાઈ સાથે કરવાનો આવે, પણ ગણ Si અંતરાલ હોવાની કોઈ ખાતરી નથી. એટલે પ્રશ્ન એ છે કે વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો કોઈ ગણ જો અંતરાલ ન હોય તો તેની લંબાઈ એટલે શું ? આમ લંબાઈના ખ્યાલને વ્યાપક કરવાનો પ્રશ્ન ઊભો થયો. આ છે માપનસિદ્ધાંતની પૂર્વભૂમિકા. લંબાઈ (કે અંતરમાં) જે ગુણધર્મો છે એ ગુણધર્મો જળવાઈ રહે એ રીતે કોઈ પણ ગણનું માપ શી રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવું તે સમસ્યાનો ઉકેલ લેબેગે મેળવ્યો. તેને જણાયું કે વાસ્તવિક સંખ્યાગણના તમામ ઉપગણો સુધી ‘માપ’નો ખ્યાલ વિસ્તરિત કરી શકાતો નથી. છતાં અંતરાલો કરતાં ઘણા વિશાળ સમુદાયને લાગુ પડે એ રીતે તે માપનનો સિદ્ધાંત લાવી શક્યો અને એનો ઉપયોગ સંકલનમાં કરી લેબેગે સંકલનની વિધિની શોધ કરી. જે જે વિધેયો રીમાન્ન પદ્ધતિએ સંકલનીય છે તે તમામ લેબેગની પદ્ધતિએ પણ સંકલનીય છે અને સંકલોનાં મૂલ્યો પણ સરખાં જ છે, પણ એવાં અનેક વિધેયો છે જે કેવળ લેબેગની પદ્ધતિએ જ સંકલનીય છે. આમ લેબેગ સંકલન એ રીમાન્ન સંકલનનું વ્યાપક સ્વરૂપ છે, રીમાન્ન સંકલનીય વિધેયોની શ્રેણીનું લક્ષ્ય ઘણીવાર રીમાન્ન સંકલનીય ન પણ હોય તેવું બને છે પણ લેબેગ સંકલનીય વિધેયોની શ્રેણીનું લક્ષ્ય તો લેબેગ સંકલનીય હોય જ. લેબેગ સંકલનનો આ એક બહુ મહત્વનો ગુણધર્મ છે.

વિકલ સમીકરણ : જે સમીકરણમાં વિકલનફળ આવે તે સમીકરણને વિકલ સમીકરણ કહે છે. વિકલ સમીકરણમાં નિરપેક્ષ ચલરાશિ x, સાપેક્ષ ચલરાશિ y, અને yનું x વિશેનું વિકલનફળ આવે છે. (જ્યાં વિકલનફળ પ્રથમ, દ્વિતીય વગેરે કક્ષાનાં હોઈ શકે છે.) આથી વ્યાપક સ્વરૂપમાં વિકલ સમીકરણ

થી દર્શાવાય છે.

વિકલ સમીકરણની કક્ષા (order) : વિકલ સમીકરણની કક્ષા એના ઉચ્ચતમ વિકલનફળની કક્ષા છે. દા.ત. ની કક્ષા 2 છે.

પરિમાણ (degree) : વિકલ સમીકરણનું પરિમાણ એટલે વિકલનફળને મૂળ (root) અને છેદથી મુક્ત કરતાં, સમીકરણના ઉચ્ચતમ-વિકલનફળનો ઘાતાંક છે.

દા.ત. માં ઉચ્ચતમ વિકલનફળ નો ઘાતાંક 1 છે માટે વિકલનફળનું પરિમાણ 1 છે.

વિકલ સમીકરણનો ઉકેલ : વિકલ સમીકરણમાંથી મેળવવામાં આવેલા અને જેમાં કોઈ પણ વિકલનફળ ન હોય એવા x અને y વચ્ચેના સૂત્રાત્મક સંબંધને વિકલ સમીકરણનો ઉકેલ કહે છે. આમ વિકલ સમીકરણ ઉકેલવું એટલે તેને વિકલનફળથી મુક્ત કરવું.

દા.ત.  = 3x² ——— (1)

∴ dy = 3x²dx ∴ ∫dy = ∫3x²dx ∴ y = x³ + c…….(2)

અહીં c સ્વૈર અચલ છે. (1) માંથી (2) મેળવવામાં આવ્યું છે જેમાં  નથી.

∴ (2) એ સમીકરણ (1)નો ઉકેલ છે.

વિકલ સમીકરણની ઉત્પત્તિ : વિકલ સમીકરણ  = 0 લઈ તેનું x પ્રત્યે સંકલન કરીએ તો  = m મળે (જ્યાં m અચળ છે.) જેનું ફરીથી x પ્રત્યે સંકલન કરતાં y = mx + c મળે જે વિકલ સમીકરણનો ઉકેલ છે. આમ દ્વિતીય કક્ષાના વિકલ સમીકરણનો ઉકેલ મેળવીએ તો ઉકેલમાં બે અચલ મળે છે. આથી ઊલટું y = mx + cનું બે વખત x પ્રત્યે વિકલન કરીએ તો બંને અચલોનો ક્રમશ: લોપ થાય, પરિણામે દ્વિતીય કક્ષાનું વિકલ સમીકરણ મળે.

દા. ત., y = a sin^–1 x + bને અનુરૂપ વિકલ સમીકરણ મેળવવું છે.

∴ x પ્રત્યે વિકલન કરતાં  આ પરિણામની બંને બાજુનું x પ્રત્યે વિકલ કરતાં

 છે, જે દ્વિતીય કક્ષાનું વિકલ સમીકરણ છે.

વિકલ સમીકરણના ઉકેલો : એક વિકલ સમીકરણના અનેક ઉકેલો હોઈ શકે. જેમકે n કક્ષાવાળા વિકલ સમીકરણના પૂર્વ ઉકેલમાં n સ્વૈર અચલાંકો હોય છે. આ અચલાંકોને વિશિષ્ટ કિંમત આપવાથી સમીકરણના જુદા જુદા ઉકેલો મળી શકે છે. તેથી તે પણ સમીકરણનો ઉકેલ ગણાય. n કક્ષાવાળા વિકલ સમીકરણના મુખ્યત્વે ત્રણ જુદા જુદા ઉકેલ મળી શકે છે, જે આ પ્રમાણે છે :

(i) સામાન્ય ઉકેલ (general solution) : n સ્વતંત્ર સ્વૈર અચલાંકોવાળા ઉકેલને સમીકરણનો સામાન્ય ઉકેલ કહે છે.

(ii) વિશિષ્ટ ઉકેલ (particular solution) સ્વૈર અચલાંકોને વિશિષ્ટ કિંમત આપવામાં આવે તો મળતા ઉકેલને વિશિષ્ટ ઉકેલ કહે છે.

(iii) સામાન્ય ઉકેલમાંથી તારવી ન શકાય એવો ઉકેલ અસામાન્ય અથવા અપૂર્વ (singular solution) કહેવાય છે. ભૂમિતિ કે ભૌતિક વિજ્ઞાનના કેટલાક પ્રશ્નોના ઉકેલ વિકલ સમીકરણ ઉપર આધારિત હોય છે. વિજ્ઞાનમાં જ્યારે જ્યારે તરંગગતિનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે (દા. ત., પ્રકાશના તરંગો, ધ્વનિના તરંગો, રેડિયોતરંગો વગેરે) ત્યારે વિકલ સમીકરણનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે.

આધુનિક વિજ્ઞાનના વિકાસમાં કલનશાસ્ત્રનો મહત્વનો ફાળો છે. સમાજવિદ્યાઓ, સંભાવનાશાસ્ત્ર (probability) અને આંકડાશાસ્ત્રમાં પણ તેનું પ્રદાન છે. બીજાં ઘણાં ક્ષેત્રોમાં પણ તેનો ભારે પ્રભાવ છે.

અરુણ વૈદ્ય

શિવપ્રસાદ મ. જાની