સપાટીઓ (surfaces)

સપાટીઓ (surfaces) : યામાવકાશમાં z =  f(x,y) અથવા f(x,y,z) = 0 જેવાં સમીકરણો કે x = x (u, v), y = y(u, v), z = z (u, v) જેવાં પ્રાચલ સમીકરણોનું સમાધાન કરતાં (x, y, z) બિંદુઓ દ્વારા રચાતી ભૌમિતિક રાશિ. ગોલક, નળાકાર, શંકુ, સમતલ વગેરે સપાટીનાં દૃષ્ટાંતો છે. ગોલકનું સમીકરણ x² + y² + z² = a² છે. વળી ગોલકનાં પ્રાચલ સમીકરણો x = a sin u cos v, y = a sin u sin v, z = a cos u છે. સપાટી સમતલ (plane) કે વક્ર (curved) હોઈ શકે. જો સપાટીનાં બિંદુઓની પ્રત્યેક જોડ A, B માટે રેખા AB, તે સપાટી પર જ હોય તો તે સપાટીને સમતલ સપાટી કહેવામાં આવે છે.

વક્રસપાટી : આવી સપાટીના દરેક બિંદુએ જુદી જુદી દિશામાં વક્રતા (curvature) જુદી જુદી હોઈ શકે છે. જે બે દિશાઓમાં વક્રતા ન્યૂનતમ (minimum) અને મહત્તમ (maximum) હોય છે તે બે દિશાઓમાંની વક્રતાઓને તે બિંદુ આગળની પ્રધાન વક્રતાઓ (principal curvatures) કહેવામાં આવે છે. ઓયલરના પ્રમેય અનુસાર આ બે દિશાઓ પરસ્પરને લંબ હોય છે. પ્રધાન વક્રતાઓના ગુણાકારને તે બિંદુ આગળની સપાટીની વક્રતા કહેવામાં આવે છે. આ વ્યાખ્યા ગાઉસે આપેલી હોવાથી આ વક્રતાને ગાઉસીય વક્રતા (Gaussian curvature) પણ કહેવાય છે.

સમતલ એક પ્રકારની સપાટી છે. તેના ઉપર જો બિંદુઓ લેવામાં આવે તો આ બે બિંદુઓને જોડતાં નક્કી થતી રેખા સમતલ સપાટીમાં સમાયેલી હોય છે. આવી સમતલ સપાટી પર રેખા, વર્તુળ, ઉપવલય, પરવલય જેવા વક્રો દોરી શકાય છે. નળાકાર, ગોલક કે શંકુ વગેરેને પૃષ્ઠ કહેવામાં આવે છે. કેટલાક ગુણધર્મોને લક્ષમાં લઈ આવાં પૃષ્ઠોનું વર્ગીકરણ કરવામાં આવે છે; જેમ કે, પરિભ્રમિત સપાટીઓ (surfaces of rervolution), અંકિત સપાટીઓ (ruled surfaces) અને વિકાસક્ષમ સપાટીઓ (developable surfaces).

(1) વક્રના પરિભ્રમણથી મળતી સપાટીઓ કે પરિભ્રમિત પૃષ્ઠો : આકૃતિ 1માં બતાવ્યા પ્રમાણે બિંદુ p, રેખા l આસપાસ પરિભ્રમણ કરે તો એક વર્તુળ બને છે. (આકૃતિ 1) વળી સમતલીય વક્ર c, તેના જ સમતલમાં આવેલી રેખા l આસપાસ પરિભ્રમણ કરે તો આકૃતિ 2માં બતાવ્યા પ્રમાણે વક્ર c પરનું દરેક બિંદુ વર્તુળ રચે અને આવાં

બધાં વર્તુળોના યોગગણથી(આકૃતિ 2)માં દર્શાવ્યા મુજબનું પૃષ્ઠ મળે છે. આવાં પૃષ્ઠને પરિભ્રમણથી મળતાં પૃષ્ઠ કહે છે. અર્ધવર્તુળ કે

વર્તુળને (આકૃતિ 3) તેના વ્યાસની આસપાસ પરિભ્રમિત કરવામાં કે ઘુમાવવામાં આવે તો ગોલક મળે છે. આકૃતિ 4માં l અને p રેખા છે. જો રેખા pને lની આસપાસ કે lને pની આસપાસ ઘુમાવવામાં

આવે તો નળાકારની રચના થાય છે. આકૃતિ 5માં રેખા p અને રેખા

l પરસ્પરને છેદે છે. જો રેખા p ને રેખા lની આસપાસ ઘુમાવવામાં આવે તો બેવડો શંકુ બને છે. (આકૃતિ 5)

કિરણ OP ને કિરણ OQ આસપાસ ઘુમાવવામાં આવે તો શંકુ મળે છે. આકૃતિ (6) જો ઉપવલયને પ્રધાન અક્ષ કે ગૌણ અક્ષ આસપાસ ઘુમાવવામાં આવે તો મળતા ઉપવલયજને ગોલકવત્ (spheroid) કહે છે.

કોઈ વર્તુળ તેના જ સમતલમાં આવેલી અને તેને ન છેદતી રેખા l આસપાસ પરિભ્રમણ કરે તો મોટરના પૈડા આકારનું કે રમવાની રબરની રિંગના આકારનું પૃષ્ઠ મળે છે. (આકૃતિ 7) તેને વલય (torus) કહે છે.

રેખાંકિત પૃષ્ઠો (ruled surfaces) : ચોક્કસ શરત હેઠળની રેખાની ગતિથી મળતાં પૃષ્ઠોને રેખાંકિત પૃષ્ઠો કહેવામાં આવે છે. નળાકાર અને શંકુ રેખાને ઘુમાવવાથી મળે છે. આ રીતે નળાકાર અને શંકુ રેખાંકિત પૃષ્ઠો છે.

એક પૃષ્ઠ અતિવલયજ (hyperboloid of one sheet) અને અતિવલયી પરવલયજ (hyperbolic paraboloid) પણ રેખાંકિત પૃષ્ઠો છે; જે રેખાની ગતિથી રેખાંકિત પૃષ્ઠો બને છે. તે રેખાને રેખાંકિત પૃષ્ઠની સર્જક રેખા (generating line કે generator) કહેવામાં આવે છે. નળાકાર અને શંકુ માટે સર્જક રેખાઓની એક જ સંહતિ મળે છે. એકપૃષ્ઠી અતિવલયજ (hyperboloid of one sheet) અને અતિવલયી પરવલયજ(hyperbolic paraboloid)ને સર્જક રેખાઓની બબ્બે સંહતિઓ (systems) મળે છે. ગોલક રેખાંકિત પૃષ્ઠ નથી. રેખાંકિત પૃષ્ઠનું એક બીજું ઉદાહરણ કુંતલજ (helicoid) છે, જે આકૃતિ દ્વારા દર્શાવ્યો છે. (જુઓ આકૃતિ 8.)

વિકાસક્ષમ સપાટીઓ (developable surfaces) : જે સપાટીને કોઈ એક રેખા આગળ કાપીને સમતલ પર પાથરી શકાય તેવી સપાટીને વિકાસક્ષમ સપાટી કહે છે. શંકુ અને નળાકાર આવી વિકાસક્ષમ સપાટીનાં ઉદાહરણો છે. એક નળાકારને કાગળની સપાટી પર ઊભો રાખવામાં આવે તો તેનો પાયો અને ટોચ વર્તુળો છે, જ્યારે ઊભી લંબક સપાટી વક્ર સપાટી છે. આવી વક્ર સપાટીને કાપવામાં આવે અને કાપ્યા બાદ વક્રાકાર સપાટીને સમતલ પર પાથરવામાં આવે તો નળાકારની ઊંચાઈના માપની પહોળાઈ અને નળાકારના વર્તુળાકાર પાયાના પરિઘની લંબાઈના માપની લંબાઈવાળો લંબચોરસ મળે છે. આમ, નળાકારના પૃષ્ઠને ઊભી લીટીથી કાપવામાં આવે તો તે લંબચોરસના રૂપમાં ફેરવાય છે. (જુઓ આકૃતિ 9.) આવી જ રીતે એક શંકુના પૃષ્ઠને વર્તુળાકાર પાયાથી શંકુની ટોચ સુધી કાપી તેને પહોળો કરવામાં આવે તો આકૃતિમાં બતાવ્યા પ્રમાણે વૃત્તખંડ બને છે, જેની ત્રિજ્યા શંકુની આડી રેખા (slant height) જેટલી અને ચાપની લંબાઈ શંકુના વર્તુળાકાર પૃષ્ઠના પરિઘ જેટલી હોય છે. (જુઓ આકૃતિ 9.)

એક બાજુ અને દ્વિ–બાજુ પૃષ્ઠો : કેટલીક સપાટીને અલગ અલગ બાજુઓ કે પાસાં (faces) હોય છે; દા.ત., નળાકારને અંદરની બાજુ અને બહારની બાજુ હોય છે. બહારની બાજુએથી વચ્ચેની ધાર પર થઈને જ અંદરની બાજુએ જઈ શકાય છે. કેટલીક સપાટીઓને ધાર હોવા છતાં ‘અંદરની’ અને ‘બહારની’ કે ‘ઉપરની’ અને ‘નીચેની’ એમ બે બાજુઓ હોતી નથી; પરંતુ એક બાજુ હોય છે. આવી સપાટી મુબિયસ પટ્ટી છે. કાગળની એક લંબચોરસ પટ્ટીને અડધો આમળો (half twist) આપ્યા પછી, પટ્ટીના છેડાને ચોંટાડવાથી એક પાર્શ્ર્વી (એક પાસાવાળી) પટ્ટી મળે છે, જે તેના શોધક જર્મન ગણિતીના નામ પરથી મુબિયસ પટ્ટી તરીકે ઓળખાય છે. (જુઓ આકૃતિ 10.)

સામાન્ય રીતે સપાટીને આગળનું અને પાછળનું એમ બે પાસાં હોય છે. ગોલક, વૃત્તજ વલય (toroid) જેવી બંધ સપાટીને આવાં બે પાસાં છે. એક જ પાસાવાળી સપાટી પણ હોય છે એવી આશ્ચર્યજનક શોધ મુબિયસે કરી હતી. લંબચોરસ પટ્ટીને અડધો આમળો આપ્યા પછી તેના બે છેડા ચોંટાડી દેવાથી આવી સપાટી બને છે. સપાટી એક જ પાસાવાળી હોવાથી તેને રંગવા એક જ રંગની જરૂર પડે છે.

દિશાયુક્ત અને અદિશાયુક્ત પૃષ્ઠો : ગોલકની સપાટી પર એક વક્ર દોરી વક્ર પરના દરેક બિંદુએ સપાટીને બહારની તરફ અભિલંબ દોરવામાં આવે અને સપાટી પરના કોઈ બિંદુએથી શરૂ કરી આગળ ચાલી પ્રસ્થાન બિંદુએ પાછા ફરવામાં આવે તો વક્ર પરના બધા અભિલંબો, વક્રની સપાટીથી બહારની તરફ હોવાથી સપાટી કે ગોલક દિશાયુક્ત સપાટી કહેવાય છે. (જુઓ આકૃતિ 10.) પરંતુ મુબિયસ પટ્ટી અદિશાયુક્ત પૃષ્ઠ છે.

નરેન્દ્ર પ. ભામોરે