ક્વૉન્ટમ વીજગતિશાસ્ત્ર

ક્વૉન્ટમ વીજગતિશાસ્ત્ર (quantum electrodynamics) : વીજ ચુંબકીય વિકિરણના ગુણધર્મો અને વીજભારિત પરમાણુઓ તથા ઇલેક્ટ્રૉન જેવા કણ સાથે વીજચુંબકીય વિકિરણની આંતરક્રિયાઓનો અભ્યાસ. ક્વૉન્ટમ વીજગતિશાસ્ત્રનાં પાયાનાં સમીકરણો સમગ્ર પરમાણુ ભૌતિકવિજ્ઞાન, રસાયણવિજ્ઞાન, સ્થૂળ દ્રવ્યના ગુણધર્મો અને ચિરસંમત (classical) વીજચુંબકીય સિદ્ધાંતને આવરી લે છે. જ્ઞાનેન્દ્રિયો વડે અનુભવી શકાતી ઘણીખરી ઘટનાઓ અંતે તો ક્વૉન્ટમ વીજગતિશાસ્ત્રના નિયમોને આધારે સમજી શકાય છે. તેના વિનિયોગ (applications), ગર્ભિતાર્થ (implications) અને તેમાં રહેલ પૂર્વધારણાઓ(assumptions)ના સંદર્ભમાં માત્ર ગુરુત્વીય સિદ્ધાંત તેની બરાબરી કરી શકે તેમ છે. ક્વૉન્ટમ વીજગતિશાસ્ત્ર, વીજચુંબકીય વિકિરણની ક્વૉન્ટમ પ્રકૃતિને અનુરૂપ એવી ઘટનાઓનો નિર્દેશ કરે છે. પરમાણુઓ વડે ઉત્સર્જિત થતા કે શોષણ પામતા પ્રકાશ અને ઇલેક્ટ્રૉન તથા બીજા મૂળભૂત કણ સાથે પ્રકાશની પાયાગત આંતરક્રિયાઓનો આમાં સમાવેશ થાય છે.

ક્વૉન્ટમ વીજગતિશાસ્ત્રનો પાયો સૌપ્રથમ 1935માં નંખાયો. થોડા જ સમયમાં પી. એ. એમ. ડિરાક, ડબ્લ્યૂ. હાઇસનબર્ગ અને ડબ્લ્યૂ. પાઉલીએ ક્વૉન્ટમ વીજગતિશાસ્ત્રને સૂત્રબદ્ધ કર્યું. આ સૂત્રણ(formulation)થી પ્રકાશની તરંગ-કણ દ્વૈતપ્રકૃતિનું સંતોષકારક અર્થઘટન થયું. અહીં ક્વૉન્ટમ યાંત્રિકીના પ્રાયોગિક આધાર અનુસાર પ્રકાશ કણ તેમજ તરંગ ઉભય સ્વરૂપે વર્તે છે. પ્રકાશના આ કણને ફોટૉન કહે છે. ડિરાકે ક્વૉન્ટમ સિદ્ધાંત અને સાપેક્ષવાદને જોડતું ઇલેક્ટ્રૉનની ગતિનું સમીકરણ તે અરસામાં તૈયાર કર્યું. ડિરાકના સમીકરણમાં વીજચુંબકીય આંતરક્રિયાને દાખલ કરતાં ઇલેક્ટ્રૉનના ચુંબકીય ગુણધર્મોની સમજૂતી મળી રહે છે. સાથે સાથે ઇલેક્ટ્રૉનના પ્રતિકણ (anti-particle) પૉઝિટ્રૉનનું અસ્તિત્વ પણ સ્થાપિત થાય છે. પૉઝિટ્રૉન એ ઇલેક્ટ્રૉનના જેટલું જ દળ અને ઇલેક્ટ્રૉન જેટલો જ પરંતુ વિરુદ્ધ એટલે કે ધન વીજભાર ધરાવતો મૂળભૂત કણ છે. ઇલેક્ટ્રૉનની ચુંબકીય ચાકમાત્રા(ઇલેક્ટ્રૉન સાથે સંકળાયેલ પ્રારંભિક ચુંબકની તાકાત)ના ચોક્કસ માપનથી ક્વૉન્ટમ વીજગતિશાસ્ત્રના સિદ્ધાંત અને પ્રયોગ વચ્ચેની તુલનાને અનુમોદન મળ્યું. નીચેનાં સમીકરણો (1) અને (2) ઉપરથી પ્રાયોગિક રીતે ચુંબકીય ચાકમાત્રા

મળે છે.

જ્યારે સૈદ્ધાંતિક રીતે ચુંબકીય ચાકમાત્રા

મળે છે.

અહીં e ઇલેક્ટ્રૉનનો વીજભાર; m_e ઇલેક્ટ્રૉનનું દળ; h પ્લાંકનો નિયતાંક અને C પ્રકાશનો વેગ છે.

વ્યાપક વિનિયોગો (general applications) : પરમાણુની સૂક્ષ્મ સંરચના (fine structure) તથા અતિસૂક્ષ્મ સંરચના(hyperfine structure)ની વિગતોના અભ્યાસ માટે ક્વૉન્ટમ વીજગતિશાસ્ત્રનાં સમીકરણો ઘણી વાર પ્રયોજાય છે. ઇલેક્ટ્રૉન અને મ્યુ-મેસૉન(μ-meson, જે ઇલેક્ટ્રૉનના દળ કરતાં વધારે દળ ધરાવતો મૂળભૂત કણ છે)ની ચુંબકીય ચાકમાત્રાની આગાહી ક્વૉન્ટમ વીજગતિશાસ્ત્ર વડે થઈ શકી. આવી બધી બાબતે સૈદ્ધાંતિક અને પ્રાયોગિક પરિણામો મળતાં આવે છે.

ક્વૉન્ટમ વીજગતિશાસ્ત્ર દ્રવ્યની અંદર ઇલેક્ટ્રૉન, પૉઝિટ્રૉન અને ફોટૉનની સંઘાત-પ્રક્રિયાઓ(collision processes)નો હેવાલ આપે છે; જેમ કે, ઇલેક્ટ્રૉનને દ્રવ્યમાંથી પસાર કરવામાં આવે ત્યારે તે પરમાણુના વીજક્ષેત્રમાં થઈને પસાર થાય છે. આથી તે પ્રવેગિત થાય છે. પરિણામે, તે પ્રકાશનું ઉત્સર્જન કરે છે. જો ઊંચી આવૃત્તિવાળો એટલે કે 1.02 MeV કરતાં વધુ ઊર્જા ધરાવતો પ્રકાશનો ફોટૉન દ્રવ્યમાંથી પસાર થાય તો તેનું દ્રવ્યમાં રૂપાંતર થાય છે. ક્વૉન્ટમ વીજગતિશાસ્ત્ર આવી ઘટનાની આગાહી કરી શકે છે. આ રીતે મળતું દ્રવ્ય ઇલેક્ટ્રૉન અને પૉઝિટ્રૉન-સ્વરૂપે હોય છે. પ્રકાશના ફોટૉનમાંથી ઇલેક્ટ્રૉન અને પૉઝિટ્રૉન પેદા થવાની ઘટનાને જોડ-ઉત્પત્તિ (pair production) કહે છે. દ્રવ્યમાંથી પસાર થતા આ કણો પ્રવેગિત થાય છે અને વધારે પ્રકાશનું ઉત્સર્જન કરે છે; જેનાથી ઇલેક્ટ્રૉન, પૉઝિટ્રૉન તથા ફોટૉનનો મોટો સમૂહ સર્જાય છે. આ ઘટનાને સોપાની વર્ષણ (cascade shower) કહે છે. આવા વર્ષણની વિગતવાર ગણતરી ક્વૉન્ટમ વીજગતિશાસ્ત્રનાં સમીકરણો વડે થાય છે.

મુક્ત વીજચુંબકીય ક્ષેત્ર (free electromagnetic field) : મૅક્સવેલનાં સમીકરણો વડે મુક્ત (શૂન્ય) અવકાશમાં વ્યક્ત કરવામાં આવતું વિકિરણ, એ સાદામાં સાદી વીજગતિશાસ્ત્રીય પ્રણાલી છે. ક્વૉન્ટમ સિદ્ધાંત તૈયાર કરવા માટે બંધ પેટી(microwave cavity)માં ઘેરાયેલ વિકિરણનો ખ્યાલ કરવો પડે છે. ચોક્કસ આવૃત્તિથી દોલન કરતા ઘટકો એટલે કે સામાન્ય રીતિ(normal modes)નો અલગ અલગ રીતે ખ્યાલ કરવામાં આવે છે. જો પ્રત્યેક સામાન્ય રીતિ માટે (સંગીતની પરિભાષામાં મૂળ કંપન, પ્રથમ સ્વર, દ્વિતીય સ્વર વગેરે) દોલન કરતા વીજચુંબકીય ક્ષેત્રનો કંપવિસ્તાર (amplitude) આપેલો હોય તો દરેક રીતિમાંથી મળતા ફાળાનો સરવાળો કરવાથી સંપૂર્ણ ક્ષેત્રની રચના કરી શકાય છે. આ રીતે વીજચુંબકીય ક્ષેત્રના ગતિશાસ્ત્રને દરેક સામાન્ય રીતિ કંપવિસ્તારના ગતિશાસ્ત્ર સુધી લઈ જઈ શકાય છે. વીજચુંબકીયક્ષેત્ર, સ્પ્રિંગના છેડે લટકાવેલ પદાર્થનાં દોલનોની જેમ, જ્યાવક્રીય (sinusoidal) દોલનો કરે છે. ક્વૉન્ટમ સિદ્ધાંત અનુસાર દોલક પૃથક (discrete) ક્વૉન્ટમ સ્થિતિઓમાં જ સંભવે છે. આથી ક્વૉન્ટમ સ્થિતિઓની ઊર્જા E_n = hv (n + ½) સૂત્ર વડે મળે છે. અહીં h પ્લાંકનો નિયતાંક; ν દોલકની આવૃત્તિ અને n પૂર્ણાંક સંખ્યા છે. વિકિરણક્ષેત્ર માટે પણ એમ જ વિચારી શકાય છે. ઉપરની પરિસ્થિતિ (સૂત્ર) hν ઊર્જાવાળા n ફોટૉન દર્શાવે છે અને તેમની સાથે ν આવૃત્તિવાળી સામાન્ય રીતિ સંકળાયેલ હોય છે. દોલકની જુદી જુદી સ્થિતિઓને અનુરૂપ સંક્રમણ મુજબ ક્ષેત્રમાં ઊર્જાના ફેરફાર થાય છે. ઊર્જાનો આવો ફેરફાર પૃથક જથ્થામાં થાય છે. વિકિરણક્ષેત્રની સ્થિતિના આવા ફેરફારનું પરિણામ પેટીમાં ફોટૉનનો ઉમેરો કરે છે અથવા ફોટૉન દૂર કરે છે. ફોટૉનની સદંતર ગેરહાજરી (શૂન્યાવકાશ) માટે nનું મૂલ્ય શૂન્ય થાય છે. n = 0 થાય ત્યારે આવી સ્થિતિની ઊર્જા E = Σ ½hv થાય છે. અહીં બધી જ સર્વસામાન્ય રીતિઓ માટે સરવાળો થાય છે અને નોંધપાત્ર બાબત તો એ છે કે આ સરવાળો શૂન્ય થતો નથી.

મુક્ત ઇલેક્ટ્રૉન ક્ષેત્ર (free electron field) : બધા જ વીજભારિત કણોમાં ઇલેક્ટ્રૉન સૌથી હલકો કણ છે. તેથી તેને સરળતાથી પ્રવેગિત કરી શકાય છે અને તે સરળતાથી વિકિરણનું ઉત્સર્જન કરે છે. ક્વૉન્ટમ વીજગતિશાસ્ત્રના ઘણાખરા પ્રયોગો ઇલેક્ટ્રૉનના વીજચુંબકીય ગુણધર્મો પ્રત્યે ધ્યાન દોરે છે. ઇલેક્ટ્રૉનવાદની પ્રથમ જરૂરિયાત તેની ગતિનું સમીકરણ છે, જે વિશિષ્ટ સાપેક્ષવાદ અને ક્વૉન્ટમવાદને એકત્રિત કરે છે. આવું સમીકરણ ડિરાકે શોધી કાઢ્યું. ડિરાકના સમીકરણ અનુસાર બિનસાપેક્ષિકીય (nonrelativistic) ઇલેક્ટ્રૉન માટે તરંગવિધેય અથવા ઇલેક્ટ્રૉનક્ષેત્ર બે ઘટકોને બદલે ચાર ઘટકો ધરાવે છે. બે નવા ઘટકો ઋણ ઊર્જા અવસ્થાઓ સાથે સંકળાયેલા હોય છે. ભૌતિકશાસ્ત્ર મુજબ આ અસ્વીકાર્ય લાગતું હોવા છતાં ડિરાકે તેનો ઉકેલ શોધી કાઢ્યો કે ઋણ અવસ્થાઓ આખરે તો ઇલેક્ટ્રૉનના પ્રતિકણ-પૉઝિટ્રૉન સાથે સંકળાયેલી છે. આ રીતે ડિરાકનું સમીકરણ ઇલેક્ટ્રૉનના કેટલાક અવલોકિત ગુણધર્મોનો સંતોષકારક ખુલાસો આપે છે. તે ઇલેક્ટ્રૉનના પ્રચક્રણ (spin) કોણીય વેગમાન  તથા ઇલેક્ટ્રૉનની પ્રચક્રણ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચે થતી આંતરક્રિયાની સચોટ આગાહી કરે છે. પ્રોટૉનના વીજક્ષેત્રમાંથી ગતિ કરતા ઇલેક્ટ્રૉન માટે ડિરાક સમીકરણનો ઉકેલ હાઇડ્રોજન વર્ણપટ-રેખાની આવૃત્તિઓ સાપેક્ષિકીય સુધારો આપે છે.

વિકિરણ અને ઇલેક્ટ્રૉન વચ્ચે આંતરક્રિયા : મૅક્સવેલના ચિરસંમત સમીકરણો ઉપરથી ફલિત થાય છે કે વીજભારિત કણનો પ્રવાહ વિકિરણનો સ્રોત છે. ઇલેક્ટ્રૉન ક્ષેત્રમાંથી આ પ્રવાહ રચાય છે. વળી તે ઇલેક્ટ્રૉનના વિકિરણક્ષેત્ર સાથેના યુગ્મન(coupling)ની પ્રકૃતિ નિશ્ચિત કરે છે. યુગ્મિત ઇલેક્ટ્રૉન-ફોટૉન પ્રણાલીનું ગતિશાસ્ત્ર સૂક્ષ્મ સંરચના નિયતાંક (fine structure constant) આપે છે. α પરિમાણવિહીન પ્રાચલ છે અને તેનું મૂલ્ય ઓછું છે. તેને ઘાત-શ્રેણી (power series) વિસ્તરણના સંદર્ભમાં નક્કી કરવામાં આવે છે. આ વિસ્તરણના અર્થનું સાહજિક(intuitive) ભૌતિક ચિત્ર ફિનમૅને આપ્યું છે :

ફિનમૅન આકૃતિઓ : ક્વૉન્ટમ વીજગતિશાસ્ત્રમાં મૂળભૂત આંતરક્રિયાઓને ફિનમૅન આકૃતિઓ (અથવા આલેખો) નામે જાણીતી દિક્-કાલ (space-time) આકૃતિઓ વડે વર્ણવી શકાય છે. આ આકૃતિઓને આધારે પ્રક્રિયાને માનસિક રીતે જોઈ (જાણી) શકાય છે અને નિયમોને આધારે પ્રક્રિયા થવાની શક્યતાની ગણતરી કરી શકાય છે. કંપવિસ્તાર તરીકે ઓળખાતી અભિવ્યક્તિ કેવી રીતે દર્શાવવી તેનો આ આલેખો કે આકૃતિઓ નિર્દેશ કરે છે. યોગ્ય કંપવિસ્તારોના સરવાળાનું મૂલ્ય તૈયાર થાય છે ત્યારે તેનો નિરપેક્ષ વર્ગ (absolute square) પ્રક્રિયાની સંભાવ્યતા નક્કી કરે છે. આલેખમાં કેટલીક નક્કર (solid) અથવા તરંગીય (wavy) રેખાઓ હોય છે, જેમનું મૂળ દૂર ભૂતકાળ(distantpast)માં હોય છે. આંતરક્રિયા કરનારા આપાત કણોનાં લક્ષણો આ રેખાઓ વ્યક્ત કરે છે. આંતરક્રિયાના પરિણામે કણો અંદરોઅંદર પ્રકીર્ણન (scattering) પામે છે. આંતરક્રિયા પછી નીકળીને બીજી નક્કર કે તરંગીય રેખાઓ દૂર ભવિષ્ય તરફ જાય છે. નક્કર રેખાઓ ઇલેક્ટ્રૉન કે પૉઝિટ્રૉન જેવા વીજભારિત કણ દર્શાવે છે, જ્યારે તરંગીય રેખાઓ ફોટૉનનું નિરૂપણ કરે છે. ભૂતકાળમાંથી આવી આકૃતિમાં પ્રવેશતા અને આકૃતિમાંથી નીકળી ભવિષ્ય તરફ જતા કણો મુક્ત હોય છે એટલે કે તેમની ઊર્જા અને વેગમાન વચ્ચે અજોડ સંબંધ હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે આકૃતિ 1 જુઓ. તેમાં ઇલેક્ટ્રૉન અને ફોટૉનને તે આકૃતિમાં પ્રવેશતા દેખાડ્યા છે. પ્રચ્છાદિત (shaded) આંતરક્રિયાત્મક વિસ્તારમાં કોઈ એક ક્રિયાવિધિ(mechanism)થી આંતરક્રિયા થાય છે. ત્યાર બાદ ઇલેક્ટ્રૉન અને ફોટૉન નિર્ગમન પામે છે. આવી પ્રક્રિયાને કૉમ્પ્ટન પ્રકીર્ણન કહે છે. ભૂતકાળમાંથી નીકળી ભવિષ્ય તરફ જતી રેખાઓને બાહ્ય રેખાઓ કહે છે. સમયને પૃષ્ઠના તળિયેથી ટોચ તરફ જતો સ્વીકારવાની પ્રથા છે.

ક્વૉન્ટમ વીજગતિશાસ્ત્રમાં ઇલેક્ટ્રૉન અને પૉઝિટ્રૉનને અનુક્રમે e^–ને e⁺ તરીકે જુદા પાડવામાં આવે છે. આકૃતિ (1)માં નક્કર રેખા ઉપર દિશાસૂચક તીર અગ્ર દિશામાં છે અને તે ઇલેક્ટ્રૉનનું સૂચન કરે છે. જો ભૂતકાળમાંથી પૉઝિટ્રૉન આવતો હોય તો દિશાસૂચક તીર અધોદિશામાં દર્શાવવામાં આવે છે. તે જ રીતે નિર્ગમન પામતાં ઇલેક્ટ્રૉન માટે તીર ઊર્ધ્વદિશામાં અને પૉઝિટ્રૉન માટે તીર અધોદિશામાં હોય છે. આ રીતે આકૃતિ 2 ઇલેક્ટ્રૉન-પૉઝિટ્રૉન

પ્રકીર્ણન આંતરક્રિયા સૂચવે છે. આકૃતિ 3માં આપાત ઇલેક્ટ્રૉન અને પૉઝિટ્રોન આંતરક્રિયા બાદ વિલોપન (annihilation) પામે છે. તેના અંતિમ પરિણામ-સ્વરૂપે બે ફોટૉન પ્રાપ્ત થાય છે :

મૂળભૂત આંતરક્રિયા (fundamental interaction) : પ્રકીર્ણન અથવા આવર્તન જેવી રસપ્રદ ઘટના થવા માટે કણો દર્શાવતી નક્કર અને તરંગીય રેખાઓ વચ્ચે કોઈ પણ રીતે આંતરક્રિયા થવી જોઈએ. જેમાંથી બધી જ પ્રક્રિયાઓ રચી શકાય તેવી ક્વૉન્ટમ વીજગતિશાસ્ત્રની પ્રાથમિક આંતરક્રિયાઓ આકૃતિ 4માં દર્શાવી છે. આકૃતિ 4માં બે નક્કર અને એક તરંગીય રેખા મળે છે. એટલે કે એક જ દિક્-કાલ બિંદુ x આગળ આંતરક્રિયા કરે છે. આકૃતિ 4 મુજબની પ્રાથમિક પ્રક્રિયા કંઈ આપમેળે થતી નથી કારણ કે આ પરિસ્થિતિમાં આપાત ઇલેક્ટ્રૉન આપાત ફોટૉનનું શોષણ કરી અંતિમ પરિણામ-સ્વરૂપે ઇલેક્ટ્રૉન ઉત્પન્ન કરે છે. આથી તો ઊર્જા વેગમાનના નિયમનો ભંગ થાય છે. તે છતાં આકૃતિ 4  પાયાની ઈંટનું કાર્ય કરે છે, જેમાંથી માન્ય પ્રક્રિયાઓ રચી શકાય છે :

ક્ષોભ સિદ્ધાંત (perturbation theory) : એક વખત પ્રક્રિયા માટે પ્રારંભિક અને અંતિમ કણ પસંદ કરી લેવામાં આવે ત્યારે મહત્વની અને સંભાવ્ય આકૃતિઓ તે છે જેમાં આકૃતિ 4 પ્રકારની દિક્-કાલ આંતરક્રિયાઓ ઓછામાં ઓછી થાય. ક્વૉન્ટમ વીજગતિશાસ્ત્રનું આ રસપ્રદ અને ઉપયોગી પાસું છે. એટલે કે આકૃતિ 4 મુજબ આંતરક્રિયા થાય તેવું કુદરત ભાગ્યે જ પસંદ કરે છે. સમગ્ર ફિનમૅન આકૃતિ પ્રક્રિયા જટિલ પ્રશ્નોના ઉકેલ માટે સંનિકટ (approximate) પદ્ધતિ છે જેને ક્ષોભ-સિદ્ધાંત કહે છે. જો કોયડાનો ચોક્કસ ઉકેલ શોધી શકાય તો તે ક્ષોભ-સિદ્ધાંત માટે વધુ આવકારલાયક છે. પણ અત્યાર સુધી આ રેખીય ર્દષ્ટિકોણ(diagramatic approach)ની સંનિકટ રીતો સફળ રહી છે. આ ર્દષ્ટિકોણ મુજબ x જેવાં દિક્-કાલ બિંદુઓને શિરોબિંદુ તરીકે લેવામાં આવે છે. દરેક બિંદુ આગળ ઊર્જા અને વેગમાનનું સંરક્ષણ થવું જોઈએ એટલે કે તેનું મૂલ્ય જળવાઈ રહેવું જોઈએ. કંપવિસ્તારની પ્રબળતા કે પ્રાચલની શક્યતા શિરોબિંદુનું લક્ષણ બને છે. ક્વૉન્ટમ વીજગતિશાસ્ત્રમાં આ લક્ષણ ઇલેક્ટ્રૉનનો વીજભાર e છે. જો આલેખને n શિરોબિંદુઓ હોય તો ગણિતીય અભિવ્યક્તિ (mathematical expression) એટલે કે કંપવિસ્તાર eⁿને સમપ્રમાણમાં હોય છે. આવી ગણતરી કરવામાં આવે છે ત્યારે સૂક્ષ્મ સંરચના નિયતાંક α વિસ્તરણ પ્રાચલ (expansion parameter) બને છે. αની લઘુતાને કારણે સાદા આલેખો કરતાં જટિલ આલેખો ઓછા મહત્વના છે. તેમાં જ ક્ષોભ સિદ્ધાંતની સફળતા અને સામર્થ્ય રહેલાં છે.

સાદી આકૃતિઓ (simple diagrams) : આકૃતિ 1 મુજબની પ્રક્રિયા માટે સૌથી સરળ આંતરક્રિયા આકૃતિ 5(અ) અને 5(આ) દ્વારા આપવામાં આવી છે. બંને આકૃતિઓમાં તફાવત માત્ર એટલો છે કે આકૃતિ 5(અ)માં આપાત ફોટૉનનું શોષણ x આગળ થાય છે, જ્યારે આકૃતિ 5(આ)માં આપાત ફોટૉનનું શોષણ y આગળ થાય છે. દરેક આલેખને બે દિક્-કાલ બિંદુઓ હોઈ કંપવિસ્તારની પ્રબળતા e² અથવા αને સમપ્રમાણમાં હોય છે.

આકૃતિ 5માં દિક્-કાલ બિંદુઓ x અને yને જોડતી નક્કર રેખાને આંતરિક રેખા કહે છે અને તેને ઇલેક્ટ્રૉન ગ્રીન વિધેય (Green’s function) અથવા સંચરક (propagator) કહે છે. સંચરક ઇલેક્ટ્રૉન દિક્-કાલ બિંદુ y ઉપર, વચ્ચે આંતરક્રિયા કર્યા સિવાય, પસાર થવાની સંભાવ્યતા આપે છે. આકૃતિમાં આંતરિક તરંગીય રેખાઓ પણ સંભવી શકે છે. જ્યારે તે દેખાય છે ત્યારે ફોટૉન ગ્રીન-વિધેય અથવા સંચરક મળે છે જેમ કે આકૃતિ 5(અ)માં ફોટૉન સંચરક ઉમેરી શકાય

છે. પરિણામે આકૃતિ 6 મળે છે. જે α²ને સમપ્રમાણમાં હોય છે. આકૃતિ 6માં એક ફોટૉન સંચરક અને ત્રણ ઇલેક્ટ્રૉન સંચરકો છે. આ આકૃતિ કૉમ્પટન પ્રકીર્ણનનો વિકિરણીય સુધારો આપે છે. આ સુધારો ખૂબ ઓછા મહત્વનો છે, તેમ છતાં તેની ચોકસાઈપૂર્વક ગણતરી કરવામાં આવે તો તેવી પ્રક્રિયાને મળતો ફાળો પ્રાયોગિક પરિશુદ્ધ (precise) પરિણામો સાથે સરખાવવા માટે મહત્વનો બને છે.

આકૃતિ 6 ફિનમૅન આકૃતિનું બીજું એક લક્ષણ વ્યક્ત કરે છે. અહીં દિક્-કાલ બિંદુઓ x, y અને wને જોડતાં, બંધ માર્ગ મળે છે. જ્યારે આવો બંધ ગાળો મળે ત્યારે ચાર-પરિમાણવાળું જટિલ સંકલન કરવું પડે છે. આથી આવી પદાવલિનું મૂલ્ય મેળવવું અઘરું બને છે.

જ્યારે આવા ગાળા ગુણાંકમાં હોય ત્યારે પરિસ્થિતિ વધુ વિકટ બને છે. છતાં શક્તિશાળી અને સક્ષમ કમ્પ્યૂટરના આગમન બાદ એંશીના દાયકામાં જે સંકલનો દુષ્કર હતાં તેની ગણતરી હવે સરળતાથી થઈ શકે છે.

પુન:પ્રસામાન્યીકરણ (renormalization) : બંધ ગાળા, સંકલનના તકનીકી અમલ ઉપરાંત વધારાના પ્રશ્નો પેદા કરે છે. આવાં સંકલનોને ચાર-વેગમાન (four momentum) સંકલનો રૂપે વ્યક્ત કરવામાં આવે છે. કેટલીક વખત આવાં સંકલનોનું પરિણામ અપસારિત (diverged) થાય છે, એટલે કે અનંત બને છે. આ ઘટનાના ત્રણ પ્રકારો આકૃતિ 7માં દર્શાવ્યા છે. આ આકૃતિઓ કોઈ વિશાળ અને જટિલ આલેખોનો જ એક ભાગ હોય છે; પણ જ્યાં તે દેખા દે છે ત્યાં તે અનંત સંકલન તરીકે હોય છે. આકૃતિ 7-અ અને 7-આને અનુક્રમે ઇલેક્ટ્રૉન અને ફોટૉનની સ્વ-ઊર્જાઓ (self-energies) તરીકે દર્શાવે છે. જ્યારે આકૃતિ 7-ઇ શિરોબિંદુ-સુધારો સૂચવે છે :

ક્વૉન્ટમ વીજગતિશાસ્ત્રના પ્રારંભકાળમાં આ અપસારિત સંકલનો સામે ઘણી મુશ્કેલીઓ હતી. બૌદ્ધિક તારણો મેળવવા માટે આ મુશ્કેલીઓ દૂર કરવી જ રહી. પરિમિત (finite) પરિણામો માટે જરૂરી વિગતવાર પ્રક્રિયાને પુન:પ્રસામાન્યીકરણ કહે છે.

ક્વૉન્ટમ વીજગતિશાસ્ત્ર જેવા સિદ્ધાંતની રચના કરવાની હોય ત્યારે તેની સમજૂતી માટે કેટલાક પાયાગત પ્રાચલો જેવા કે ઇલેક્ટ્રૉનનું દળ (m₀) તથા ઇલેક્ટ્રૉનનો વીજભાર (e₀) જરૂરી છે. જ્યારે કોઈ આંતરક્રિયા થતી ન હોય ત્યારે માત્ર દળ m₀ આવે છે, પણ જ્યારે આંતરક્રિયા થતી હોય ત્યારે આંતરક્રિયા પદ (interaction term) e₀ને સમપ્રમાણમાં હોય છે. અત્રે m₀ સાદું (bare) દળ અને e₀ સાદો વીજભાર છે. કેટલીક વખત તેને બિનપુન:પ્રસામાન્યીકરણ (unrenormalized) દળ અને વીજભાર કહે છે. આંતરક્રિયા શૂન્ય કરી દેવામાં આવે છે ત્યારે આ મૂલ્યોને પ્રાચલોનાં મૂલ્યો ગણી લેવામાં આવે છે. એટલે કે આ મૂલ્યો પ્રયોગકર્તાએ નક્કી કરેલા ઇલેક્ટ્રૉનનું દળ અને ઇલેક્ટ્રૉનનો વીજભાર દર્શાવતાં નથી. ફિનમૅન આકૃતિઓનું મૂલ્યાંકન કરવામાં આવે છે ત્યારે તેમને પ્રાચલો m₀ અને e₀ના સંદર્ભમાં દર્શાવાય છે. અપસારિત સંકલનો મળે તો તે પણ સાદા પ્રાચલો ઉપર આધારિત હોય છે. બધાં જ પરિણામોને પ્રાચલોનાં ભૌતિક અથવા આપેલાં મૂલ્યો તરીકે વ્યક્ત કરવાનાં હોઈ ઉક્ત પ્રાચલોના સંદર્ભમાં રજૂ કરેલાં પરિણામો સંતોષકારક હોતાં નથી. આથી આપેલાં મૂલ્યો m અને eને જ ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે. પણ આવાં માપેલાં મૂલ્યોએ આંતરક્રિયાનો સમાવેશ કરવાનો રહે છે. આથી જ્યાં m₀ અને e₀ આવતાં હોય ત્યાં સુધારાપદ સાથે m અને eનો ઉપયોગ કરવો તે એક સીધોસાદો ઉકેલ છે. આથી કેટલાંક સુધારાપદ જેવાં નવાં પદોની ગણતરી કરવી પડે છે. આ નવાં પદો ક્ષોભ-સિદ્ધાંતમાં અપસારિત છે એમ ધારી લેવામાં આવે છે.

દળ અને વીજભારના પુન:પ્રસામાન્યીકરણની સમગ્ર પ્રક્રિયા ખરેખર નોંધપાત્ર છે. જોકે ચુસ્ત ગણિતીય રીતે તે સાવ સંતોષકારક નથી. તે વિસંગત (inconsistent) ચુંબકીય ચાકમાત્રાઓ, સાદા પરમાણુઓમાં લૅમ્બ-શિફ્ટ અને બીજી કેટલીક પ્રયોગ સાથે ઉત્કૃષ્ટ રીતે બરાબર હોય તેવી અસરો, આગાહી (prediction) તરફ દોરી જાય છે. પરિમિત પરિણામો મેળવવા માટે ક્વૉન્ટમ વીજગતિશાસ્ત્ર અને પુન:પ્રસામાન્યીકરણની પ્રક્રિયાના ઉપયોગને ક્વૉન્ટમ વીજગતિશાસ્ત્રની કાળજીપૂર્વક કરેલી કસોટીઓથી પુષ્ટિ મળે છે.

ક્વૉન્ટમ વીજગતિશાસ્ત્રને નમૂનારૂપ ક્ષેત્ર-સિદ્ધાંત ગણી શકાય. તેની સફળતાને કારણે બીજા સિદ્ધાંતોની રચનામાં તેનો માર્ગદર્શક સિદ્ધાંત તરીકે ઉપયોગ કરી શકાય છે. સિદ્ધાંતવાદીઓએ દ્રવ્યના અસ્થાયીપણા (instability) તથા બીટા-ક્ષય (Beta decay) માટે જવાબદાર નિર્બળ આંતરક્રિયાઓનું સંતોષકારક માળખું તૈયાર કરવાના પ્રયત્નો કર્યા છે. આ સૈદ્ધાંતિક માળખાના ક્વૉન્ટમ વીજગતિશાસ્ત્ર સાથેના જોડાણને અત્યારે સ્વીકારવામાં આવ્યું છે. આવા સંયુક્ત સિદ્ધાંતને વૈદ્યુતમંદ સિદ્ધાંત(electro weak theory) કહે છે. આમાં વિનબર્ગ-સલામ પ્રતિરૂપ સૌથી વધારે સંતોષકારક સિદ્ધાંત છે. આ સિદ્ધાંતને પ્રમાણ (gauge) સિદ્ધાંત પણ કહે છે. આ પ્રમાણ સિદ્ધાંત મુજબ બિંદુવત્ કણો વચ્ચે ચાર પ્રકારના બોઝૉન-કણો મધ્યસ્થી બનીને આંતરક્રિયા કરે છે. દ્રવ્યહીન કણ ફોટૉન વીજચુંબકીય બળોની મધ્યસ્થી કરે છે. 1982 અને 1983માં શોધાયેલા કણો W^± અને Z⁰ના નામે ઓળખાતાં નિર્બળ બળોની મધ્યસ્થી કરે છે. યુકાવાએ પ્રતિપાદિત કરેલ મેસૉન કણો ન્યૂક્લીય બળની મધ્યસ્થી કરે છે.

ક્વૉન્ટમ વીજગતિશાસ્ત્રના ખ્યાલ પર આધારિત બીજો એવો પ્રમાણ સિદ્ધાંત 1970માં વિકસાવવામાં આવ્યો છે. આ સિદ્ધાંતને ક્વૉન્ટમ વર્ણગતિશાસ્ત્ર(chromodynamics) કહે છે. આ સિદ્ધાંત પ્રબળ પ્રક્રિયા કરતા પ્રોટૉન, ન્યૂટ્રૉન, પાઇ-મેસૉનના ઘટકોના પુન: પ્રસામાન્યીકરણ સિદ્ધાંતને આવરી લે છે. પ્રબળ આંતરક્રિયા કરતા કણોને હૅડ્રૉન કહે છે. આ સિદ્ધાંત ક્વાર્ક અને ગ્લુઑન જેવા બિંદુવત્ પ્રાથમિક કણને સમાવિષ્ટ કરે છે. ક્વાર્કનો વીજભાર અપૂર્ણાંકમાં હોય છે. + વીજભારવાળા બે ક્વાર્ક અને – વીજભારવાળા ક્વાર્કથી પ્રોટૉન મળે છે. – વીજભારવાળા બે ક્વાર્ક અને +  વીજભારવાળા એક ક્વાર્કથી ન્યૂટ્રૉન મળે છે. ગ્લુઑન ક્વાર્કને ભેગા જકડી રાખે છે જે આકૃતિ (8)માં દર્શાવ્યું છે.

ક્વાકર્સ વચ્ચે ગ્લુઑનની ફેરબદલી દ્વારા આંતરક્રિયા થાય છે અને ગ્લુઑન પણ એકબીજા સાથે આંતરક્રિયા કરે છે. આ સિદ્ધાંતમાં આંતરક્રિયાની પ્રબળતા ઘણી વખત ખૂબ વધારે હોય છે. આથી ક્ષોભ-સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ મર્યાદિત બને છે અને ફિનમૅન આલેખવાળી ગણતરીઓ અત્યંત જટિલ બને છે. તેને કારણે મુક્ત ક્વાર્ક હજુ કેમ જોઈ કે જાણી શકાયા નથી તે પ્રશ્ન અનુત્તરિત રહ્યો છે. તેમ છતાં આ સિદ્ધાંત તે દિશામાં આગળ વધવાની આશા પ્રેરે તેમ છે.

પ્રહલાદ છ. પટેલ