પરંપરિત અપૂર્ણાંક (continued fraction)

પરંપરિત અપૂર્ણાંક (continued fraction) : યુક્લિડની રીત પ્રમાણે  પગલાં લઈ સંમેય (rational) સંખ્યાનું વિશિષ્ટ અપૂર્ણાંકના સ્વરૂપમાં નિરૂપણ તે પરંપરિત-અપૂર્ણાંક. એક અપૂર્ણાંક કે જેનો છેદ, કોઈ પૂર્ણાંક સંખ્યા અને બીજી કોઈ અપૂર્ણાંકના સરવાળા બરાબર હોય વળી તેનો છેદ બીજી કોઈ પૂર્ણાંક સંખ્યા અને અન્ય કોઈ અપૂર્ણાંકના સરવાળા બરાબર હોય અને આમ ચાલ્યા કરતું હોય તો તેવા સ્વરૂપના અપૂર્ણાંકને પરંપરિત અપૂર્ણાંક કહે છે.

યુક્લિડે બે પૂર્ણાંકનો ગુ.સા.અ. (ગુરુતમ સામાન્ય અવયવ) શોધવાની રીત આપી છે. 861 અને 399નો ગુ.સા.અ. શોધવા માટેની યુક્લિડની રીત જોઈએ :

બાજુમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે રીતનાં અમુક પગલાં કર્યા પછી શેષ શૂન્ય મળે છે તેથી ગુ.સા.અ. 21 મળે છે. હવે આ ઉદાહરણને અપૂર્ણાંક સ્વરૂપમાં મૂકીએ :

છે તેથી આ પરિણામોનો ઉપયોગ કરતાં

(1). પરિણામ(1)ની જમણી બાજુએ દર્શાવેલા અપૂર્ણાંક સ્વરૂપને પરંપરિત અપૂર્ણાંક કહે છે. તેને વડે પણ દર્શાવવામાં આવે છે.

પરિણામ(A)માં પરંપરિત અપૂર્ણાંક દર્શાવ્યો છે તેની કિંમત F લઈએ.

અહીં a અને b ધન અથવા ઋણ પૂર્ણાંકો છે.

(B)ને આવર્તસૂત્રો (periodic formulae) કહે છે અને Fનો nમો  છે.  સમીકરણ (B) સત્ય છે. પરંપરિત અપૂર્ણાંક Fના ઘટકોની સંખ્યા મર્યાદિત હોય તો તેને સાંત (finite) પરંપરિત અપૂર્ણાંક અને અમર્યાદિત હોય તો તેને અનંત (infinite) પરંપરિત અપૂર્ણાંક કહે છે. અનંત પરંપરિત અપૂર્ણાંકના અભિસારકોથી મળતી શ્રેણી તો પરંપરિત અપૂર્ણાંક અભિસારી (converging) છે અને જો શ્રેણીનું લક્ષ્ય ન મળે તો પરંપરિત અપૂર્ણાંક અપસારી (diverging) છે. પરંપરિત અપૂર્ણાંક(A)માં છે અને a₁ પૂર્ણાંક અથવા શૂન્ય હોય તથા a₂, a₃, a₄,….. ધનપૂર્ણાંકો હોય તો

 વડે દર્શાવવામાં આવે છે તેને F =<a₁, a₂, …….., a_n, ……> વડે પણ દર્શાવવામાં આવે છે. (C)ને સરળ પરંપરિત અપૂર્ણાંક કહે છે. દરેક સંમેય સંખ્યાને સાંત પરંપરિત અપૂર્ણાંક સ્વરૂપે દર્શાવી શકાય છે; દા. ત., યુક્લિડની રીત(algorithm)નો ઉપયોગ કરી પરંપરિત અપૂર્ણાંકના સ્વરૂપમાં નીચે મુજબ દર્શાવવામાં આવે છે.

આમ સંમેય અપૂર્ણાંકને અયુગ્મ (odd) કે યુગ્મ (even) સંખ્યાના ઘટકોવાળા સાદા પરંપરિત અપૂર્ણાંક રૂપે દર્શાવી શકાય છે, તેવી જ રીતે અસંમેય (irrational) સંખ્યાને અનંત સરળ પરંપરિત અપૂર્ણાંક રૂપે દર્શાવી શકાય છે; દા. ત., ને પરંપરિત સરળ અપૂર્ણાંક સ્વરૂપમાં દર્શાવવા માટે પ્રથમ નો પૂર્ણાંક ભાગ એટલે કે લઈને અહીં દર્શાવ્યા પ્રમાણે ગણતરી કરવાથી પરંપરિત અપૂર્ણાંક મળે છે.

અપૂર્ણાંકના ઘટકો 1,1,1,4 અનંતરીતે આવૃત્ત થાય છે. તેને થી દર્શાવવામાં આવે છે. સગવડ ખાતર આવૃત્ત ઘટકો ઉપર લીટી મૂકી લખવામાં આવે છે; જેમ કે, સાદા પરંપરિત અપૂર્ણાંક(4)ને આવૃત્ત પરંપરિત અપૂર્ણાંક કહે છે અને તેની આવૃત્તિ 4 છે. ઘટક(1,1,1,4)ને આવૃત્ત ભાગ અને ઘટક 2ને અનાવૃત્ત ભાગ કહે છે. અનંત આવૃત્ત પરંપરિત અપૂર્ણાંકને વિવિધ રીતે દર્શાવી શકાય છે; જેમ કે, આ ઉપરથી બતાવી શકાય કે દરેક વર્ગાત્મક કરણી(quadratic surd)ને આવૃત્ત પરંપરિત અપૂર્ણાંકમાં દર્શાવી શકાય છે અને દરેક આવૃત્ત પરંપરિત અપૂર્ણાંક વર્ગાત્મક કરણી દર્શાવે છે. નાં આસન્ન(approximate) મૂલ્યો છે, આ આસન્ન મૂલ્યો છે જેને પહેલું, બીજું, ત્રીજું, —– અભિસારક કહે છે. આમ આ અપૂર્ણાંકોનું મૂલ્ય એકાંતરે થી ઓછું અને વધુ હોય છે. ની આસન્ન કિંમતો સાદા પરંપરિત અપૂર્ણાંકથી મેળવી શકાય એમ ની આસન્ન કિંમતો પરથી સમજી શકાય છે. સમીકરણ (અહીં K પૂર્ણાંક છે)નો ઉકેલ સાદા-પરંપરિત અપૂર્ણાંકોની મદદથી મેળવી શકાય છે. N=7 અને નાં આસન્ન મૂલ્યોને બિંદુ (x, y) તરીકે (2, 1), (3, 1), (5, 2), (8, 3), (37, 14), (45, 17), (82, 31), (127, 48), (590, 223),…… થી દર્શાવીએ તો આમાંથી દર ચોથું બિંદુ (8, 3), (127, 48),……. તે સમીકરણ નો ઉકેલ આપે છે. સમીકરણ ને યેલનું સમીકરણ કહે છે. x=8 અને x=3 પેલના સમીકરણના ઉકેલ છે. જે અસંમેય સંખ્યાઓ વર્ગાત્મક કરણી નથી તેમને અનાવૃત્ત સાદા પરંપરિત અપૂર્ણાંકમાં દર્શાવી શકાય છે; દા. ત.,

ઉપરના pના પરંપરિત અપૂર્ણાંકના સ્વરૂપ પરથી pનાં ઉત્તરોત્તર વધુ સારાં સન્નિકટ (approximate) મૂલ્યો વગેરે મળે છે. આ રીતે જોઈએ તો જેમ દરેક સંખ્યાને દશાંશપદ્ધતિમાં વ્યક્ત કરી શકાય તેમ જ દરેક વાસ્તવિક સંખ્યાને સાદા પરંપરિત અપૂર્ણાંક તરીકે પણ દર્શાવી શકાય. આ નિરૂપણ સાંત હોય કે અનંત પણ હોય. પરંપરિત અપૂર્ણાંકોનો ઉપયોગ સંખ્યાગણિત, સમીકરણોના ઉકેલ મેળવવા, સંભાવનાશાસ્ત્ર (theory of probability), અનંત શ્રેણિકો, વિદ્યુત-પરિપથ (network) વગેરેમાં થાય છે.

રમેશચંદ્ર ના. દેસાઈ