સ્થિર તરંગ (standing wave) : દોલનો કે કંપનો જે અવકાશમાં ગતિ કરતાં ન હોય તેથી પ્રત્યેક બિંદુ કોઈ પણ ફેરફાર સિવાય દોલન કે ગતિ કરે તેવી તરંગ-ગતિ.
સ્થિર તરંગો મેળવવાની શરત આ પ્રમાણે છે :
સમાન તરંગલંબાઈવાળા બે તરંગોનો કંપવિસ્તાર (amplitude) સમાન હોવો જોઈએ, તેમની આવૃત્તિ (frequency) સમાન હોવી જોઈએ અને પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશામાં સમાન વેગથી ગતિ કરી એક-બીજા સાથે સંપાતીકરણ અનુભવતા હોવા જોઈએ. ત્યારે જે સમાસ તરંગો રચાય છે તે માધ્યમમાં સ્થિર આકાર ઉત્પન્ન કરે છે. આવા તરંગોને સ્થિર તરંગો કહે છે. આવા સ્થિર તરંગો પ્રગામીપણા(progressiveness)નો ગુણધર્મ ગુમાવી દે છે.
આ સ્થિર તરંગોની ઘટનાને ઉપરની આકૃતિની મદદથી સમજી શકાય છે. તેમાં દૃઢ આધારનાં P અને Q બિંદુઓ વચ્ચે PQ = L લંબાઈની એક તણાવવાળી દોરી બાંધવામાં આવે છે. પછી આ દોરીમાં હાર્મોનિક તરંગો ઉત્પન્ન કરવામાં આવે છે, ત્યારે દૃઢ આધારો પરથી વારંવાર પરાવર્તન થતાં દોરી પરના બધા કણો આપાત અને પરાવર્તિત તરંગોની અસર હેઠળ આવે છે.
હવે ધારો કે દોરી પર ધન x દિશામાં પ્રસરતા તરંગને નીચે પ્રમાણે દર્શાવવામાં આવે છે :
Y1 = A Sin (ωt – kx) …………………………………………………………………………………………………………..(1)
અને Q બિંદુએ પરાવર્તન પામેલા ઋણ x દિશામાં પ્રસરતા તરંગને આ પ્રમાણે દર્શાવવામાં આવે છે :
Y2 = –A Sin (ωt + kx) ……………………………………………………………………………………………………….(2)
આ બંને તરંગો એકબીજા પર સંપાત થતાં, સંપાતીકરણના સિદ્ધાંત અનુસાર દોરી પરના કોઈ પણ કણના સ્થાનાંતરને નીચે પ્રમાણે દર્શાવવામાં આવે છે :
Y = Y1 + Y2
∴ Y = A Sin (ωt – kx) – A Sin (ωt + kx)
∴ Y = – 2A Sin kx Cos ωt ………………………………………………………………………………………………(3)
આ સમીકરણ (3) સમાસ તરંગ દર્શાવે છે. આ સમીકરણ (3) (ωt – kx) જેવા પદ પર આધારિત નથી તેથી એ પ્રગામી તરંગ નથી. આમ સમીકરણ (3)ને સ્થિર તરંગનું સમીકરણ કહે છે.
જુદી જુદી તરંગલંબાઈઓ : સમીકરણ (3)માં Sin kx પદ આવે છે. તે પરથી કહી શકાય કે દોરીના P બિંદુ આગળ, x = 0 છેડા માટે બધા જ સમયે સ્થાનાંતર શૂન્ય જ રહે છે અને દોરીના Q છેડા આગળ, x = L અંતરે દોરીને બાંધેલી છે, તેથી Q છેડા આગળ પણ બધા જ સમયે સ્થાનાંતર શૂન્ય રહે છે.
આમ સમીકરણ (4) પ્રમાણે nનાં જુદાં જુદાં મૂલ્યો માટે L લંબાઈની દોરીમાં, નિશ્ચિત તરંગલંબાઈના સ્થિર તરંગો ઉત્પન્ન કરી શકાય છે.
(a) સમીકરણ (4)માં n = 1 લેતાં
λ = 2L = λ1 …………………………………………………………………………………………………………….(5)
∴ આકૃતિ 2 પ્રમાણે, λ1 તરંગલંબાઈવાળા સ્થિર તરંગો PQ = L દોરી પર ઉત્પન્ન કરી શકાય છે.
જુદી જુદી આવૃત્તિઓ : સમીકરણ (5) પરથી દોરીની આવૃત્તિ f1 મળે છે.
…………………………………………………………………………………………………………… (6)
અહીં υ = તરંગનો વેગ દર્શાવે છે.
દોરીની આ આવૃત્તિને મૂળભૂત આવૃત્તિ અથવા પ્રથમ હાર્મોનિક કહે છે.
(b) સમીકરણ (4)માં n = 2 લેતાં,
આમ દોરી પરના સ્થિર તરંગોની બીજી શક્ય તરંગલંબાઈ ƒ2 છે, જે દોરીની લંબાઈ PQ = L જેટલી છે. તેને આકૃતિ 3માં દર્શાવી છે.
હવે આ વખતે દોરીનાં દોલનોની આવૃત્તિ 2 લઈએ, તો
અહીં ƒ2ને સ્થિર તરંગની દ્વિતીય હાર્મોનિક કહે છે.
એવી જ રીતે ત્રીજી હાર્મોનિક સમીકરણ (4)માં n = 3 લઈ આકૃતિ 4 પ્રમાણે અને ચોથી હાર્મોનિક n = 4 લઈ, આકૃતિ 5 પ્રમાણે મેળવી શકાય છે.
આમ આવી જુદી જુદી નિશ્ચિત આવૃત્તિઓવાળાં દોલનોને દોરીના સામાન્ય રીતિ દોલનો (Normal modes of vibrations) કહે છે.
આવૃત્તિઓના સામાન્ય સમીકરણને નીચે મુજબ દર્શાવવામાં આવે છે :
…………………………………………………………………………………………………………… (7)
અહીં n ગાળાઓની સંખ્યા પણ દર્શાવે છે.
સ્થિર તરંગોનાં નિ:સ્પંદ બિંદુઓ (Nodes) : સમીકરણ (3) Y = – 2A Sin kx Cos ωtના Cos wt પદને આધારે કહી શકાય કે દોરીના દરેક કણ સરળ આવર્ત ગતિ કરે છે. તેમના કંપવિસ્તારો 2A Sin kx પ્રમાણે કણના સ્થાન પર આધાર રાખે છે.
જો Sin kx = 0 હોય, તો તેવા કણોના કંપવિસ્તાર શૂન્ય છે. આવા કણોનું સ્થાનાંતર કોઈ પણ સમયે શૂન્ય જ રહે છે. એવાં બિંદુઓને નિ:સ્પંદ બિંદુઓ કહે છે. આમ x = 0થી 
અંતરે નિ:સ્પંદ બિંદુઓ રચાય છે.
∴ બે ક્રમિક નિ:સ્પંદ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર , હોય છે.
સ્થિર તરંગોના પ્રસ્પંદ બિંદુઓ (Antinodes) : જે બિંદુઓ આગળ Sin kx = ± 1 શરત સંતોષાય તે બિંદુઓ મહત્તમ કંપવિસ્તાર સાથે દોલનો કરે છે. તે બિંદુઓને પ્રસ્પંદ બિંદુઓ કહે છે. x = 0 છેડાથી 
અંતરે ક્રમિક પ્રસ્પંદ બિંદુઓ આવે છે.
∴ બે ક્રમિક પ્રસ્પંદ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર 
હોય છે.
∴ અનુક્રમે આવતાં નિ:સ્પંદ અને પ્રસ્પંદ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર 
હોય છે.
સુમંતરાય ભીમભાઈ નાયક