સ્થિત તરલની યાંત્રિકી (mechanics of static fluid)

સ્થિત તરલની યાંત્રિકી (mechanics of static fluid) : વિરામવાળા પ્રવાહી અને વાયુની યાંત્રિકી. પ્રવાહી અને વાયુ તરલ તરીકે ઓળખાય છે. તરલ એવો પદાર્થ છે જે વહી શકે છે. આથી ‘તરલ’ શબ્દમાં પ્રવાહીઓનો અને વાયુઓનો સમાવેશ થાય છે. આવાં વર્ગીકરણ હંમેશાં સ્પષ્ટ હોતાં નથી. કાચ અને ડામર જેવાં કેટલાંક તરલો એટલાં ધીમેથી વહે છે કે સામાન્ય રીતે એમની સાથે કામ પાડવાના સમયગાળામાં તેઓ ઘન જેવા લાગે છે. સામાન્ય દબાણે પ્રવાહી અને વાયુ વચ્ચે ભેદ છતાં તેમની સ્થૈતિક અને ગતિક વર્તણૂક સમાન મૂળભૂત નિયમોને અધીન છે.

ઘન પદાર્થોને નિશ્ચિત આકાર અને કદ હોય છે. અલબત્ત, તેમને સંપૂર્ણપણે દૃઢ ગણી શકાય નહિ. તેમ છતાં તેમને માટે દૃઢ પદાર્થોની યાંત્રિકીના નિયમો ઘડ્યા છે. તરલો તેમનો આકાર સહેલાઈથી બદલે છે અને વાયુઓનું તો જે પાત્રમાં તેમને ભરવામાં આવ્યા હોય તે પાત્રના કદ જેટલું તેમનું કદ હોય છે. ઘન અને તરલ એ બંને અખંડ માધ્યમોની યાંત્રિકી ન્યૂટનના ગતિના નિયમો અને બળના યોગ્ય નિયમોના સંયોજન પર આધારિત છે. તેમ છતાં તરલ માટે ઘનની જેમ વિશિષ્ટ નિયમોની યાંત્રિકી વિકસાવવામાં આવી છે.

સ્થિત તરલ યાંત્રિકીમાં તરલના દબાણ અને ઘનતા વિશે સમજણ જરૂરી છે. પૃષ્ઠબળ ઘન ઉપર અને તરલ ઉપર પણ લાગે છે; પરંતુ તેમાં ભેદ છે. ઘન માટે આવા બળની દિશા ઉપર કોઈ નિયંત્રણ નથી; પરંતુ વિરામ સ્થિતિમાં રહેલ તરલ માટે પૃષ્ઠબળ હંમેશાં પૃષ્ઠને લંબ દિશામાં હોવું જોઈએ. વિરામમાંનું તરલ સ્પર્શરેખીય બળ જીરવી શકે નહિ. આવા બળની અસરથી તરલના સ્તરો એકબીજા પર માત્ર સરકશે જ. ખરેખર તો આવા સ્પર્શરેખીય બળો અવરોધવાની તરલની અશક્તિ જ તેમને તેમનો આકાર બદલવાની અથવા વહેંચવાની લાક્ષણિક ક્ષમતા આપે છે.

આથી દબાણની વ્યાખ્યા કરીને તરલ પર લાગતા બળનું વર્ણન સરળતાથી કરી શકાય છે. અહીં દબાણને એકમ ક્ષેત્રફળના પૃષ્ઠને લંબ દિશામાં લાગતા બળના માપ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. તરલના આડછેદના દરેક બિંદુએ તેમને લંબ દિશામાં દબાણનું સંચરણ થાય છે. દબાણનો SI એકમ એક ન્યૂટન દર મીટર વર્ગ છે. તેને એક પાસ્કલ કહે છે. સંક્ષેપમાં 1 Pa = 1 N/m² લખાય છે. બીજો એકમ બાર છે, જેમાં 1 bar = 10⁵ Pa થાય છે. આ ઉપરાંત એક ‘એટ્મોસ્ફિયર’ પણ એકમ છે, જેમાં 1 atm = 14.7 1b/in² અને mm – Hg પણ એકમ છે જેમાં 760 mm – Hg = 1 atm છે.

વિરામમાંના તરલમાં દબાણનું વિચરણ કેવી રીતે થાય છે તે પણ સમજવું જરૂરી છે. જો તરલ સંતુલનમાં હોય તો તેનો દરેક ભાગ સંતુલનમાં રહેશે. દબાણનું સૂત્ર તારવવા માટે તરલની અંદર તરલના કદનો એક અલ્પ અંશ લો.

આકૃતિ 1

ધારો કે તે તેનો આકાર એક પાતળી વર્તુળાકાર ચકતી જેવો છે. તે નિર્દેશ સમતલ ઉપર Y અંતરે આવેલ છે. તેની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ A છે. તેથી તે અંશનું કદ Ady થશે. જો તરલની ઘનતા P હોય તો તે અંશનું દ્રવ્યમાન PAdy થશે અને તેનું વજન dw = PgAdy થશે. તેની આસપાસના તરલ દ્વારા તેના પર લાગતાં બળ દરેક બિંદુએ તેના પૃષ્ઠને લંબ હશે.

તેના પર લાગતો પ્રવેગ g અધો દિશામાં લાગે છે. સમક્ષિતિજ દિશામાં કોઈ પ્રવેગ લાગતો નથી. પરિણામી સમક્ષિતિજ બળ શૂન્ય થશે. તેથી જે કંઈ સમક્ષિતિજ બળો લાગે છે તે માત્ર તરલના દબાણના લીધે જ છે. સમમિતિ અનુસાર y આગળના સમક્ષિતિજ સમતલમાંના દરેક બિંદુએ દબાણ સમાન હોવું જોઈએ.

ઊર્ધ્વ દિશામાં તરલનો અંશ પ્રવેગિત નથી હોતો. તેના પર પરિણામી બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ. તેમ છતાં ઊર્ધ્વ બળો તરલની સપાટીઓ ઉપરનાં દબાણોને લીધે જ નહિ; પરંતુ તે અંશના વજનના લીધે પણ હોય છે.

ધારો કે અંશની નીચેની સપાટી પર લાગતું દબાણ = p અંશની ઉપરની સપાટી પર લાગતું દબાણ = p + dp અંશની નીચેની સપાટી પર ઉપર તરફ લાગતું બળ = pA અંશની ઉપરની સપાટી પર નીચે તરફ લાગતું બળ = (p + dp) A આથી ઊર્ધ્વ સંતુલન માટે

pA = (p + dp) A + dw

    = (p + dp) A + pgAdy

∴ dp = – pgdy

…………………………………………………………………………………………………………….(1)

સ્થૈતિક સંતુલનમાં તરલમાંના કોઈ નિર્દેશ સમતલમાંથી માપેલી ઊંચાઈ સાથે દબાણનું વિચરણ કેવી રીતે થાય છે તે સમીકરણ જણાવે છે.

સંદર્ભ તલથી માપેલી એક ઊંચાઈ y₁ અને તે માટે દબાણ p₁ છે જ્યારે બીજી ઊંચાઈ y₂ છે અને તે માટે દબાણ p₂ છે. તેથી સમીકરણ (1)નું સંકલન કરતાં

…………………………………………………………………………………………………………….(2)

પ્રવાહી લગભગ અદબનીય હોવાથી વ્યાવહારિક રીતે તેને માટે P અચળ ગણી શકાય. સમાંગ પ્રવાહી માટે

p₂ – p₁ = –pg (y₂ – y₁) ……………………………………………………………………………………………….(3)

જો y₂ ઊંચાઈએ પ્રવાહીની મુક્ત સપાટી હોય જેને સંદર્ભ તલ ગણીએ તો ત્યાં p₂ વાતાવરણનું દબાણ po થાય. y₁ ઊંચાઈએ આવેલ સમતલ કોઈ પણ સમતલ ગણવામાં આવે અને ત્યાં દબાણને p ગણવામાં આવે તો સમીકરણ (3) પરથી

p₂p₀ + pgh

આમ સમાન ઊંચાઈએ બધાં જ બિંદુએ દબાણ સમાન હોય છે.

સ્થિત તરલની યાંત્રિકીના બે સિદ્ધાંતો છે. એક પાસ્કલનો સિદ્ધાંત અને બીજો આર્કિમીડીઝનો સિદ્ધાંત છે. પાસ્કલનો સિદ્ધાંત દબાણ-સંચરણને લગતો છે.

પિસ્ટનવાળા એક નળાકારમાં પ્રવાહી ભરેલ છે. પિસ્ટન પર બાહ્ય દબાણ p_o લગાડવામાં આવે છે. તે ઉપરના પૃષ્ઠથી નીચેના કોઈ એક બિંદુએ દબાણ p = p_o + Pgh થશે.

હવે p_o માં Dpo જેટલો વધારો કરતાં તેનું સંચરણ થાય છે. પ્રવાહી અદબનીય હોવાથી પ્રક્રિયા દરમિયાન ઘનતા P વ્યવહારમાં અચળ રહે છે.

તેથી કોઈ એક બિંદુએ લાગતાં દબાણ pમાં Dpo જેટલો ફેરફાર થાય છે. આ પરિણામ પછી બ્લેઇઝ પાસ્કલે સિદ્ધાંત આપ્યો, તેને પાસ્કલનો સિદ્ધાંત કહે છે. તેનું કથન નીચે મુજબ છે :

આકૃતિ 2

બંધ પાત્રમાં રહેલા તરલ પર લગાડેલ દબાણનું તરલના દરેક બિંદુએ અને વાસણની દીવાલ સુધી (એના મૂલ્યમાં) ઘટાડો થયા વિના સંચરણ થાય છે.

આર્કિમીડીઝનો સિદ્ધાંત પણ સ્થિત તરલની યાંત્રિકીના નિયમોનું પરિણામ છે.

જ્યારે વિરામ સ્થિતિમાં તરલ(પ્રવાહી અથવા વાયુ)માં પિંડને પૂરેપૂરો કે અંશત: ડુબાડવામાં આવે ત્યારે તરલ તેની સાથેના સંપર્કમાંના પિંડના દરેક ભાગ પર દબાણ લગાડે છે. જે ભાગો વધુ ઊંડાણ સુધી ડૂબ્યા હોય તે ભાગો પર દબાણ વધારે હશે. આ બધાં બળોનું પરિણામી બળ એક ઊર્ધ્વ દિશામાંનું બળ છે, તેને ડુબાડેલા પિંડની ઉત્પ્લાવકતા કહે છે. તરલ ડુબાડેલા પિંડ પર ઊર્ધ્વ દિશામાં પરિણામી બળ લગાડે છે.

પિંડના પૃષ્ઠના દરેક ભાગ પરનું દબાણ, પિંડના દ્રવ્ય પર આધાર રાખતું નથી. પિંડ અથવા તેનો જે ભાગ ડૂબેલો છે તે ભાગ, તેની આસપાસ જેવું તરલ છે તેવા જ તરલ દ્વારા પ્રતિસ્થાપિત થયેલ છે. આ તરલ પર એવું દબાણ લાગતું હશે જે ડુબાડેલા પિંડ પર લાગતું હતું અને આ તરલ વિરામમાં રહેશે તેથી તેના ઉપરનું ઊર્ધ્વ દિશામાંનું પરિણામી બળ તેના વજન બરાબર હશે અને તેના ગુરુત્વકેન્દ્રમાંથી ઊર્ધ્વાધર દિશામાં લાગશે. આ પરથી આર્કિમીડીઝનો સિદ્ધાંત નીચે પ્રમાણે લખી શકાય :

તરલમાં અંશત: અથવા પૂરેપૂરા ડુબાડેલા પિંડ પર એવું ઉત્પ્લાવક બળ લાગે છે, જે પિંડે વિસ્થાપિત કરેલા તરલના વજન બરાબર હોય છે.

વિહારી છાયા