સમયશ્રેણી (Time series)

સમયશ્રેણી (Time series) : કોઈ પણ ચલરાશિ Y પર સમયની જુદી જુદી કિંમતો માટે મળતાં ક્રમબદ્ધ અવલોકનોની શ્રેણી. કેટલીક કુદરતી, જૈવિક, ભૌતિક અને અર્થવિષયક પ્રક્રિયાઓનાં અભ્યાસ અને સંશોધન સમયશ્રેણી પર આધારિત હોય છે; જેમ કે, (i) કૃષિઅર્થશાસ્ત્રના સંશોધક દ્વારા એકત્રિત થતાં છેલ્લાં 20 વર્ષના સરકારે જાહેર કરેલા ઘઉંના ટેકારૂપ ભાવની શ્રેણી; (ii) હવામાનશાસ્ત્રી દ્વારા કોઈ એક શહેરમાં ચોમાસાની મોસમ દરમિયાન થયેલા દૈનિક વરસાદના માપની શ્રેણી; (iii) કોઈ પણ દેશની દર દશ વર્ષે થતી વસ્તીગણતરીથી મળતી માનવવસ્તીની શ્રેણી; (iv) એક વ્યાપારી પેઢીના શૅરના સ્ટૉક-ઍક્સ્ચેન્જ પર નોંધાતા દૈનિક ભાવની શ્રેણી વગેરે.

સમયશ્રેણીને ગણિતની પરિભાષામાં નીચે પ્રમાણે રજૂ કરવામાં આવે છે :

જે સમયબિન્દુઓએ ચલરાશિ Y પર અવલોકનો લેવામાં આવે છે તે સમયબિન્દુઓના ગણને સંકેત T વડે દર્શાવાય છે. ઘણી વ્યાવહારિક પરિસ્થિતિઓમાં ગણ Tનાં (સમય)બિન્દુઓ સમાન અંતરે પૂર્ણાંક સંખ્યામાં લેવામાં આવે છે; દા.ત., T = {1, 2, ….., n}, જ્યાં n એક નિયત ધન પૂર્ણાંક છે. અહીં T એક સાન્ત અસતત ગણ છે અને t ીં T માટે ચલરાશિ Y પર મળતા અવલોકનને સંકેત Yt વડે દર્શાવવામાં આવે છે; જ્યારે T એક અસતત ગણ હોય ત્યારે Tના પ્રત્યેક બિંદુને અનુરૂપ મળતી સમયશ્રેણીને {Yt : t = 1, 2, ….., n} વડે દર્શાવાય છે. અહીં સમય t અસતત કિંમત ધારણ કરતો હોવાથી આ સમયશ્રેણીને અસતત સમયશ્રેણી કહેવામાં આવે છે. વ્યવહારમાં જરૂરિયાત અનુસાર અસતત tની કિંમત દિવસ, મહિનો, ત્રણ મહિનાનું ચરણ (quarter), વર્ષ અથવા દશકો વગેરે લઈ શકાય.

કેટલીક કુદરતી અને જૈવિક પ્રક્રિયાઓ સાથે સંકળાયેલ ચલરાશિ Y પર અવલોકન કરવા માટે સમય ગણ Tને અંતરાલ T = [0, L] તરીકે લેવાની જરૂરિયાત ઊભી થાય છે, જ્યાં L અંતરાલની લંબાઈ દર્શાવે છે; જ્યારે T એક અંતરાલ હોય ત્યારે પ્રત્યેક t ીં T = [0, L]ને અનુરૂપ ચલરાશિ Y પર મળતા અવલોકનને સંકેત Y(t) વડે દર્શાવવામાં આવે છે. આ રીતે મળતી સમયશ્રેણીને {Y(t) : 0 જ્ર t જ્ર L} વડે દર્શાવાય છે અને તેને સતત સમયશ્રેણી કહેવામાં આવે છે.

અત્રે નોંધનીય છે કે જો t અસતત હોય તો Ytની કિંમત અસતત અથવા સતત હોઈ શકે અને જો t સતત હોય તો Y(t)ની કિંમત અસતત અથવા સતત હોઈ શકે. સમયશ્રેણીને આંકડાશાસ્ત્રની પરિભાષામાં યાદૃચ્છિક પ્રક્રિયા (stochastic process) પણ કહેવામાં આવે છે.

સમયના વહેણ સાથે વ્યવહારની ઘણી પ્રક્રિયાને સાંકળવામાં આવે છે. જેમ કે, દર વર્ષે થતું ખાદ્યાન્નનું ઉત્પાદન, દર વર્ષે દેશની માથાદીઠ રાષ્ટ્રીય આવક, કોઈ એક વ્યાપારી પેઢીના શૅરના સ્ટૉક ઍક્સ્ચેન્જ પર નોંધાતા ભાવ વગેરે. આ બધી પ્રક્રિયાઓ સાથે સંકળાયેલ ચલ રાશિ Y પર t સમયે મળતું અવલોકન વિધેય Yt અથવા Y(t) tની કિંમત અનુસાર બદલાતું વિધેય છે. tના જુદા જુદા સમયે મળતાં Yt અથવા Y(t) પરનાં અવલોકનોની સમયશ્રેણીના રૂપમાં મળતી માહિતીનું આંકડાશાસ્ત્રીય પૃથક્કરણ કરવાથી જે તે પ્રક્રિયાની ગતિશીલતાનો અભ્યાસ કરી શકાય છે. આમ, સમયશ્રેણીના રૂપમાં મળતી વિવિધ આંકડાશાસ્ત્રીય માહિતીનું પૃથક્કરણ કરવાથી દેશના અર્થતંત્ર અને ઔદ્યોગિક એકમોના આર્થિક વિકાસ અને વૃદ્ધિના દર વગેરે બાબતોનો તર્કબદ્ધ અભ્યાસ કરી શકાય છે અને ખાસ કરીને દેશના અર્થતંત્ર અને ઔદ્યોગિક વિકાસના દરનું ભવિષ્યના દીર્ઘ અને અલ્પ સમય માટે પૂર્વાનુમાન કરવા માટે સમયશ્રેણીના રૂપમાં મળતી માહિતી અને તેના પૃથક્કરણની અનિવાર્યતા અવગણી શકાય નહિ.

સમયશ્રેણીના પૃથક્કરણ માટેનું મૉડલ : સમયશ્રેણીનો આંકડાશાસ્ત્રીય અભ્યાસ માત્ર અસતત શ્રેણી પૂરતો જ અહીં સીમિત રાખ્યો છે અને તેથી સમયશ્રેણીને {Yt : t = 1, 2, ….., n} અથવા {Yt} વડે દર્શાવાઈ છે. અસતત સમયશ્રેણીનો વ્યવસ્થિત અભ્યાસ કરવા તેના ગાણિતિક મૉડલની ધારણા પ્રસ્તુત છે.

સમયશ્રેણી {Yt : t = 1, 2, ….., n}નું મૉડલ દ્વારા પૃથક્કરણ કરતાં પહેલાં સામયિક શ્રેણી {Yt}માં થતા સમયાનુસાર ફેરફાર કયાં પરિબળો કે ઘટકોને આધીન હોય છે તે જાણવું જરૂરી છે. સમયશ્રેણીના મુખ્ય ઘટકો નીચે પ્રમાણે છે :

(i) દીર્ઘકાલીન ઘટક અથવા વલણ

(ii) મોસમી ઘટક

(iii) ચક્રીય ઘટક

(iv) અનિયમિત અથવા યાદૃચ્છિક ઘટક

દીર્ઘકાલીન ઘટકને T વડે, મોસમી ઘટકને S વડે, ચક્રીય ઘટકને C વડે અને અનિયમિત ઘટકને E વડે દર્શાવવામાં આવ્યા છે. સમયશ્રેણીના પૃથક્કરણ માટે બે ગાણિતિક મૉડલો પ્રચલિત છે. આ મૉડલોને અનુક્રમે યોગનીય (additive) અને ગુણાકારીય (multiplicative) મૉડલો કહે છે :

સમયશ્રેણીના યોગનીય મૉડલ અનુસાર, સમયશ્રેણી {Yt}ના t-મા પદ Ytને ઉપર દર્શાવેલ ઘટકોના રૂપમાં

Yt = Tt + St + Ct + Et , t = 1, 2, ….., n    (1)

વડે દર્શાવવામાં આવે છે.

સમયશ્રેણીના ગુણાકારીય મૉડલ અનુસાર સમયશ્રેણીના t-મા પદ Ytને નીચે પ્રમાણે દર્શાવવામાં આવે છે :

Yt = Tt ્ર St ્ર Ct ્ર Et, t = 1, 2, ….., n (2)

(2)માં દર્શાવેલ મૉડલમાં બંને બાજુ લઘુગણક લેતાં

log Yt = log Tt + log St + log Ct + log Et (3)

મળે છે. સ્પષ્ટ છે કે (3)નું ગાણિતિક સ્વરૂપ (1)ના ગાણિતિક સ્વરૂપ જેવું જ છે.

સમયશ્રેણીના યોગનીય મૉડલમાં દર્શાવેલ ઘટકો પૈકી દરેક ઘટકનું વિવિધ પદ્ધતિઓ દ્વારા આગણન કરવાની ક્રિયાને સમયશ્રેણીનું પૃથક્કરણ કહેવાય છે. હવે સમયશ્રેણીના વિવિધ ઘટકોના ગુણધર્મો અને તેમની સમયશ્રેણીના સ્વરૂપ પર થતી અસર વિશે અને દરેક ઘટકનું આગણન કેવી રીતે થાય છે તે વિશેની વિચારણા પ્રસ્તુત છે.

(1) દીર્ઘકાલીન ઘટક અથવા વલણ : સમયશ્રેણી {Yt}ના દીર્ઘકાલીન ઘટકને Tt વડે દર્શાવાય છે અને તેને શ્રેણીનું વલણ પણ કહે છે. વલણ સમયશ્રેણીનો મહત્ત્વનો ઘટક છે અને સમયશ્રેણીનાં બધાં પદો પર તેની અસર પ્રબળ હોય છે. વલણ લાંબા અંતરે સમયશ્રેણીમાં જોવા મળતી સ્થાયી અસરનું માપ દર્શાવે છે. આ સ્થાયી અસર સમય tનું વધતું કે ઘટતું જતું વિધેય હોય છે. જો સમયશ્રેણી સમય tના લાંબાગાળા માટે મેળવેલ હોય તો વલણ, આપેલ સમયશ્રેણીની ચલરાશિ Yમાં રહેલ ચલનની દિશા અને ગાણિતિક સ્વરૂપનું નિરૂપણ કરે છે. દાખલા તરીકે, કોઈ પણ દેશની માનવવસ્તી દર્શાવતી સમયશ્રેણીમાં વલણની અસર બીજા ઘટકો કરતાં મહદ્અંશે ઘણી પ્રબળ હોય છે.

સમયશ્રેણીનું વલણ સુનિશ્ચિત કરવા કેટલા સમયગાળા સુધીની સમયશ્રેણી લેવી તેનો આધાર સમયશ્રેણીના રૂપમાં મળતી માહિતીનો કયા હેતુ માટે ઉપયોગ કરવાનો છે તેના પર રહેલો છે. ધારો કે એક વિસ્તાર માટે, 100 વર્ષના સમયગાળા માટે વરસાદના માપની સમયશ્રેણી ઉપલબ્ધ છે. જો વિસ્તારમાંથી પસાર થતી નદી પર બંધ બાંધવો હોય તો બંધની ઊંચાઈ અને અન્ય આનુષંગિક બાબતો નક્કી કરવા 100 વર્ષના સમયગાળા માટે વરસાદના માપની સમયશ્રેણીના રૂપમાં મળતી માહિતી પણ કદાચ અપૂરતી ગણાય; પરંતુ દેશના ઔદ્યોગિક ઉત્પાદનનું સમયશ્રેણીના આધારે વલણ જાણવું હોય તો છેલ્લાં 10થી 15 વર્ષના ઔદ્યોગિક ઉત્પાદનની સામયિક શ્રેણી પર્યાપ્ત ગણાય.

આમ, સામયિક શ્રેણીના દીર્ઘકાલીન ઘટક એટલે કે વલણનું ગાણિતિક સ્વરૂપ જાણવાથી ભવિષ્યના સમય માટેનું પૂર્વાનુમાન (prediction) અથવા અમુક સમય માટે શ્રેણીનાં ખૂટતાં પદનું અનુમાન કરી શકાય છે. વલણના આધારે દેશની અથવા કોઈ ઔદ્યોગિક પેઢીની આર્થિક નીતિને સ્પર્શતા મહત્ત્વના નિર્ણયો લઈ શકાય છે.

સમયશ્રેણીના વલણનું અન્વાયોજન કરવા વિવિધ ગાણિતિક વક્રોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. આપેલ સમયશ્રેણીનું વલણ નક્કી કરવા કયા ગાણિતિક વક્રનો ઉપયોગ કરવો તેનો આધાર સમયશ્રેણીના સ્વરૂપ પર રહેલો છે. સમયશ્રેણીના વલણનું અન્વાયોજન (fitting) કરવા માટે નીચેના વક્રોનો સામાન્ય રીતે ઉપયોગ કરવામાં આવે છે :

(a) સુરેખ વક્ર : Yt = a + bt

(b) દ્વિઘાત વક્ર : Yt = a + bt + gt2

(c) ઘાતાંકીય વક્ર : ડ્ડ Yt = beat

(d) લૉજિસ્ટિક વક્ર :  = a + bdt

(e) ગમ્પર્ટ વક્ર : Yt = abdt

આપેલ સમયશ્રેણી {Yt : t = 1, 2, ….., n}નાં અવલોકનો Y1, ….., Yn પરથી ન્યૂનતમ વર્ગોની રીત દ્વારા દરેક વક્રના પ્રચલો a, b, g વગેરેનું આગણન કરવામાં આવે છે. જો સમયશ્રેણી {Yt}ના ચલ Y પરનાં અવલોકનો ઉત્પાદન, વેચાણ વગેરે દર્શાવતાં હોય તો આપેલ સમયશ્રેણીના વલણનું સુરેખા, ઘાતાંકીય વક્ર અથવા દ્વિઘાત વક્ર દ્વારા થતું અન્વાયોજન મહદ્અંશે યથાર્થ ગણી શકાય; પરંતુ જો આપેલ સમયશ્રેણી {Yt}નો ચલ y માનવવસ્તી દર્શાવે તો વલણનું અન્વાયોજન લૉજિસ્ટિક વક્ર (Logistic Curve) દ્વારા કરવામાં આવે છે. લૉજિસ્ટિક વક્ર સૌપ્રથમ ગણિતશાસ્ત્રી પી. એફ. વર્હસ્ટે 1818માં પ્રસ્તુત કર્યો. આ વક્રને પર્લ અને રીડ વક્ર કહેવામાં આવે છે. લૉજિસ્ટિક વક્રનો ઉપયોગ માનવવસ્તી ઉપરાંત મધમાખીની વૃદ્ધિ-સંખ્યા તથા દ્રાવણમાં યીસ્ટ(yeast)ની વૃદ્ધિ-સંખ્યાનો અભ્યાસ કરવા માટે થતો હોવાથી આ વક્રને વૃદ્ધિ વક્ર (Growth Curve) કહેવામાં આવે છે.

સમયશ્રેણીના વલણનું અન્વાયોજન કરવા માટે ગાણિતિક વક્રનો ઉપયોગ કર્યા સિવાયની પ્રચલિત પદ્ધતિ ચલિત સરેરાશની પદ્ધતિ (method of moving averages) તરીકે ઓળખાય છે. સમયશ્રેણીનું વલણ શોધવાની આ એક સરળ પદ્ધતિ છે અને તે સમયશ્રેણીનાં ક્રમિક પદોની સરેરાશ પર આધારિત છે. આ પદ્ધતિથી સમયશ્રેણીનાં પદોમાં રહેલી મોસમી અને અન્ય અલ્પકાલીન ઘટકોને આધીન હોય તેવી વધઘટ દૂર થાય છે. સમયશ્રેણીનાં વલણ શોધવા માટે ચલિત સરેરાશ પદ્ધતિનો ઉપયોગ નીચેની ધારણાઓ હેઠળ કરવામાં આવે છે :

(i) સમયશ્રેણીનું વલણ સુરેખ હોવું જોઈએ.

(ii) મોસમી કે ચક્રીય ઘટકમાં થતી વધઘટ તેના પરિવર્તનકાળ અને ઉતાર-ચઢાવની લંબાઈ(amplitude)ના સંદર્ભમાં નિયમિત હોવી જોઈએ.

જો આપેલ સમયશ્રેણીના પ્રત્યેક K-મા પદે Y1ની કિંમતમાં સૂચક ફેરફાર થતો હોય તો સંખ્યા Kને સમયશ્રેણીનો પરિવર્તનકાળ (periodicity) કહે છે. પરિવર્તનકાળ K નક્કી કર્યા પછી સામયિક શ્રેણીનાં K ક્રમિક પદોની સરેરાશ લેવામાં આવે છે. આપેલ સમયશ્રેણીનો t આલેખ દોરી tની કઈ કઈ ક્રમિક કિંમતોને અનુરૂપ Ytની કિંમતોમાં સૂચક ફેરફાર થાય છે તે જાણીને tની બે ક્રમિક કિંમતો વચ્ચેના તફાવતને Kની કિંમત તરીકે લેવામાં આવે છે. આ પદ્ધતિની એક મર્યાદા એ છે કે આલેખપદ્ધતિથી પરિવર્તનકાળ Kની કિંમત નક્કી કરવાની રીત સ્થૂળ અને ક્ષતિયુક્ત છે અને બીજી મર્યાદા એ છે કે આપેલ સમયશ્રેણીમાં ચલિત સરેરાશની ગણતરીમાં લેવામાં આવતાં પદો પૈકી દરેકને સરખો ભાર (એટલે કે  જેટલો) આપવામાં આવે છે. આ મર્યાદાઓ દૂર કરવા કેટલીક વાર ભારિત ચલિત સરેરાશની પદ્ધતિ અને પરંપરિત ચલિત સરેરાશ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરી આપેલ સમયશ્રેણીનું વલણ મેળવવામાં આવે છે.

(2) મોસમી ઘટક : સમયશ્રેણીના વલણના જેટલો જ બીજો મહત્ત્વનો ઘટક મોસમી ઘટક છે. સમયશ્રેણીના રૂપમાં સંકલિત કરેલી માહિતી – મોસમી ઘટકના અંદાજ વિશેની જાણકારી કોઈ પણ વેપાર કે ધંધાના દક્ષતાપૂર્વકના સંચાલન માટે જરૂરી હોય છે. જ્યારે સમયશ્રેણીની ચલરાશિ Y પરનાં અવલોકનો પ્રત્યેક મહિના અનુસાર એકત્ર કરવામાં આવે ત્યારે શ્રેણી પર મોસમી વધઘટની અસર સ્પષ્ટ રીતે જોવા મળે છે. આમ મોસમી ઘટક એ અલ્પકાલીન કે ટૂંકાગાળાનો ઘટક છે અને તેની અસર સમયશ્રેણી પર મોસમ અનુસાર જોવા મળે છે.

કોઈ પણ વિશાળ ડિપાર્ટમેન્ટલ સ્ટોરના વ્યવસ્થાપકે જુદી જુદી વપરાશી વસ્તુઓની માંગ વિવિધ મોસમમાં કેટલી રહેશે તે જાણવું સ્ટોરના દક્ષતાપૂર્વકના સંચાલન માટે જરૂરી હોય છે; જેથી વપરાશી વસ્તુઓનો પર્યાપ્ત જથ્થામાં સંગ્રહ કરી ગ્રાહકોની માંગને સંતોષી શકાય.

શિયાળામાં ગરમ કપડાંની માંગમાં થતો વધારો, ઉનાળામાં ઠંડા પીણાં અને આઇસક્રીમના વેચાણમાં થતો વધારો, ચોમાસામાં રેઇનકોટ, છત્રીની માંગમાં થતો વધારો, ધાર્મિક તહેવારોમાં તૈયાર કપડાં અને પગરખાંના વેચાણમાં થતો વધારો વગેરે વસ્તુઓની માગ કે વેચાણની સમયશ્રેણીમાં મોસમી ઘટકનો નિર્દેશ કરે છે.

આપેલ સમયશ્રેણીમાં મોસમી ઘટકનું આગણન અથવા અંદાજીકરણ કરવા નીચે જણાવેલ પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે :

(ક) ચલિત સરેરાશની પદ્ધતિ, (ખ) મોસમી આંકની પદ્ધતિ, (ગ) પરંપરિત અપેક્ષિતોની પદ્ધતિ.

(3) ચક્રીય ઘટક : સમયશ્રેણીનાં પદોમાં મોસમી વધઘટની મોસમ અનુસાર જે નિયમિતતા જોવા મળે છે તેવી નિયમિતતા ચક્રીય ઘટકમાં જોવા મળતી નથી. લાંબાગાળાની સમયશ્રેણીમાં સામાન્ય રીતે ચક્રીય ઘટકના પુનરાવર્તનની તરાહ (pattern) જોઈ શકાય છે. ચક્રીય ઘટકની અસર તેની તીવ્રતા અને પુનરાવર્તનકાળના સંદર્ભમાં બદલાતી રહે છે. સમયશ્રેણીનાં પદોની કિંમતોમાં જે બે સમયબિન્દુઓએ શિખર (peak) અને ગર્ત(trough)નું પુનરાવર્તન થાય છે તે સમયબિન્દુઓ વચ્ચેના ગાળાને ચક્રીય ઘટકનો પુનરાવર્તનકાળ કહે છે અને સમયશ્રેણીના શિખર અને ગર્ત સુધીની ઊંચાઈને ચક્રીય ઘટકની તીવ્રતા કહે છે.

વેપાર અને વાણિજ્યનાં ક્ષેત્રોમાં જોવા મળતી ચક્રીય વધઘટને ધંધાકીય ચક્રો (business cycles) કહેવામાં આવે છે. મોટરકાર, પ્રવાસ અને ઇલેક્ટ્રૉનિક સાધનોના ઉદ્યોગો ચલાવતી પેઢીઓ ધંધાકીય ચક્રોની અસરથી કેટલીક વાર કાચી પડે છે, કારણ કે લોકો આ વસ્તુઓની ખરીદી કરવાના તેમના ઇરાદા લાંબા સમય સુધી મુલતવી રાખે છે અને તેથી ધંધાકીય ચક્રોમાં આર્થિક મંદી સર્જાય છે.

આપેલ સમયશ્રેણીનાં વલણ અને મોસમી ઘટકોનું આગણન કર્યા પછી ચક્રીય ઘટકને અલગ તારવી શકાય છે. આમ, સમયશ્રેણીનાં પદ Ytમાંથી વલણ, મોસમી અને યાદૃચ્છિક ઘટકોની અસર દૂર કરવાથી મળતા ભાગ  = Yt       એ શ્રેણીમાં રહેલ ચક્રીય ઘટકની અસર દર્શાવે છે. ચક્રીય ઘટકને ગાણિતિક પદ્ધતિથી અલગ તારવવાનું કાર્ય ઘણું જટિલ છે અને આ પદ્ધતિને હકારાત્મક પૃથક્કરણ (harmonic analysis) કહેવામાં આવે છે. ચક્રીય ઘટકનું આગણન કરવાની પ્રક્રિયાનો ખ્યાલ આપતો આલેખ આકૃતિ 5(a), 5(b) અને 5(c)માં દર્શાવ્યો છે.

ચક્રીય ઘટકનું અનુમાન કરવાની આલેખપદ્ધતિ

(4) અનિયમિત ઘટક : આપેલ સમયશ્રેણીના ઘટકો જેવા કે વલણ, મોસમી ઘટક અને ચક્રીય ઘટકોનું આગણન કે અંદાજીકરણ કર્યા પછી સમયશ્રેણીનાં પદોમાંથી તેમની અસર દૂર કરવાથી મળતા ભાગ  = Yt       ને અનિયમિત અથવા યાદૃચ્છિક ઘટકનો અંદાજ કહેવાય છે.

અનિયમિત ઘટક રાજકીય અંધાધૂંધી કે અરાજકતા, અતિવૃદૃષ્ટિ કે અનાવૃદૃષ્ટિના કારણે કૃષિ-ઉત્પાદન પર થતી ગંભીર અસર જેવાં અનિયંત્રિત અને આકસ્મિક પરિબળોને આધીન હોય છે. આમ, અનિયમિત ઘટકનું અગાઉથી અનુમાન થઈ શકતું નથી. ઘણી વાર આ ઘટકની અસર કામચલાઉ અને અત્યંત ટૂંકા ગાળાની હોય છે. ઔદ્યોગિક એકમોમાં જાહેર થતી તાળાબંધી અથવા પડતી હડતાળ, યાંત્રિક ખામીને કારણે વીજપુરવઠો બંધ થઈ જવો વગેરે જે તે ઔદ્યોગિક એકમોમાં તે સમયનાં ઉત્પાદનની સમયશ્રેણીનાં પદોમાં અનિયમિત ઘટકનો નિર્દેશ કરે છે.

સમયશ્રેણીનાં ચાર ઘટકોનું સ્વરૂપ કેવું હોય છે તેનો ખ્યાલ મેળવવા દરેક ઘટકની અસર દર્શાવતા આલેખ આકૃતિ 1થી 4માં આપવામાં આવ્યા છે.

સ્થગિત સમયશ્રેણી : જે સમયશ્રેણી તેના દીર્ઘકાલીન ઘટક(એટલે કે વલણ)ની અસરથી મુક્ત હોય અથવા જે સમયશ્રેણીમાંથી દીર્ઘકાલીન ઘટક(વલણ)ની અસર દૂર કરવામાં આવી હોય તે સમયશ્રેણીને સ્થગિત સમયશ્રેણી (stationary time series) કહેવામાં આવે છે. સ્થગિત સમયશ્રેણીમાં વલણ સિવાયના જે જે અન્ય ઘટકો હોય છે તે પૈકીના બે મુખ્ય ઘટકો અનુક્રમે ચક્રીય ઘટક અથવા દોલનશીલ ઘટક (oscillatory component) છે. સ્થગિત સમયશ્રેણીના ચક્રીય ઘટકને તેના પુનરાવર્તનકાળ w અને સમય tના રૂપમાં નીચે પ્રમાણે દર્શાવાય છે :

(4) અને (5)ને tનાં આવર્તન-વિધેયો (periodic functions) કહેવાય છે.

જે સમયશ્રેણીના t-મા પદનું ગાણિતિક સ્વરૂપ

અથવા

હોય તે સમયશ્રેણીને ચક્રીય સમયશ્રેણી કહેવાય છે. અહીં et ત્રુટિપદ દર્શાવે છે. જે સમયશ્રેણીનું t-મું પદ Yt બે આવર્તન-વિધેયોનું સુરેખ સંયોજન (એટલે કે)

હોય તે સમયશ્રેણીને દોલનશીલ સમયશ્રેણી કહેવાય. અહીં A, B અને C વાસ્તવિક અચલો છે અને સમયશ્રેણીનાં પદોની સંખ્યા n એ wનો ગુણક છે. એટલે કે n = mw, જ્યાં m ચક્રોની સંખ્યા દર્શાવે છે.

દોલનશીલ સમયશ્રેણીનો આવર્તનકાળ એકસરખો હોતો નથી, જ્યારે ચક્રીય શ્રેણીનો આવર્તનકાળ સરખો હોય છે. આ બંને પ્રકારની સમયશ્રેણી દીર્ઘકાલીન વધઘટ કે વલણથી મુક્ત હોય છે. દોલનશીલ સમયશ્રેણીનો ઉદભવ નીચેનાં ત્રણ કારણોને આધીન હોય છે :

(i) અનિયમિત અથવા યાદૃચ્છિક ઘટકની અસરથી પ્રભાવિત હોય તેવી સમયશ્રેણીનાં પદો પર ચલિત સરેરાશની ક્રિયા કરવાથી ભિન્ન પુનરાવર્તનકાળ ધરાવતી દોલનશીલ સમયશ્રેણી ઉદ્ભવે છે.

(ii) બે કે તેથી વધુ ચક્રીય સમયશ્રેણીનું સુરેખ સંયોજન લેવાથી દોલનશીલ સમયશ્રેણી ઉદ્ભવે છે.

(iii) સમયશ્રેણીનાં પદોનાં સ્વનિયતસંબંધ (auto-regressive) સમીકરણ Yt+1 Yt = aYt + b + et+1 પરથી મળતો Ytનો ઉકેલ દોલનશીલ સમયશ્રેણીનું સર્જન કરે છે, જ્યાં et+1 યાદૃચ્છિક ત્રુટિ દર્શાવે છે.

ઉપર (7)મા વ્યાખ્યાયિત દોલનશીલ સમયશ્રેણીમાં પુનરાવર્તન કાળ w જ્ઞાત હોય તો અચલો A, B અને Cનું આગણન ન્યૂનતમ વર્ગોની રીતથી કરી શકાય. જો A, B અને Cના ન્યૂનતમ વર્ગ આગણકો અનુક્રમે , હોય તો

ને દોલનશીલ શ્રેણીની તીવ્રતા (intensity) કહેવામાં આવે છે અને  વિરુદ્ધ wના આલેખને આવર્તિતતા-આલેખ (periodogram analysis) કહેવામાં આવે છે. ચક્રીય અથવા દોલનશીલ સમયશ્રેણીના ગાણિતિક પૃથક્કરણને હકારાત્મક પૃથક્કરણ કહેવામાં આવે છે. સમયશ્રેણીના રૂપમાં મળતી નાણાકીય રોકાણની માહિતીના પૃથક્કરણ માટે હકારાત્મક પૃથક્કરણની પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ ઉપકારક નીવડે છે.

શ્રેણીગત સહસંબંધ : ધારો કે {Yt : t = 1, 2, ….., n} એક સમયશ્રેણી છે અને E(Yt) = m અને V(Yt) = s2, t = 1, 2, ….., n છે તો આપેલ ધનપૂર્ણાંક K માટે Yt અને Yk વચ્ચેના સહસંબંધને શ્રેણીગત સહસંબંધ (serial correlation) કહે છે. Yt અને Yt+k વચ્ચેના સહસંબંધાંકને સંકેત rk વડે દર્શાવાય છે અને તેને સમયશ્રેણીનો K-કક્ષાનો સહસંબંધાંક કહે છે. સ્પષ્ટ છે કે

rkની વ્યાખ્યા પરથી સ્પષ્ટ છે કે r0 = 1.

rk વિરુદ્ધ Kના આલેખને સહસંબંધાલેખ (correlogram) કહે છે. સમયશ્રેણીના રૂપમાં એકત્રિત થતી અર્થવિષયક માહિતીના પૃથક્કરણમાં શ્રેણીગત સહસંબંધનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે.

નોંધ : સમયશ્રેણીના રૂપમાં મળતી માહિતીના વલણનું આગણન કરવાના ગાણિતિક મૉડલો પૈકી નીચેનાં મૉડલોનો વ્યાપક પ્રમાણમાં ઉપયોગ થાય છે :

(i) ઘાતાંકીય સરલન મૉડલ (Exponential smoothing model)

(ii) હૉલ્ટ-વિન્ટર્સ મૉડલ (Holt-Winters model)

(iii) બૉક્સ-જેન્કિન મૉડલ (Box-Jenkin’s model)

આ મૉડલો સામાન્ય રીતે પૂર્વાનુમાન મૉડલો (forecasting model) તરીકે ઓળખાય છે. સમયશ્રેણીના ટૂંકાગાળાના વલણનું અનુમાન કરવા માટે બૉક્સ-જેન્કિન મૉડલનો ઉપયોગ વ્યાપક પ્રમાણમાં થાય છે.

જ્યારે સમય t અંતરાલ T = [0, L]નો ઘટક હોય ત્યારે મળતી સમયશ્રેણી {Y(t) : 0 જ્ર t જ્ર L}નો અભ્યાસ યાદૃચ્છિક પ્રક્રિયાના સંદર્ભમાં કરવામાં આવે છે. અવકાશના ખગોળીય પદાર્થોમાંથી સર્જાતાં રેડિયો-મોજાંના પૃથ્વી પરના પ્રયોગકેન્દ્ર પર નોંધાતા સંકેતોમાં ઘોંઘાટનું પ્રમાણ અને અવકાશમાં તરતા મૂકેલા અવકાશયાનની ગતિશીલતાના વિનિયમનને લગતી બાબતોના પૃથક્કરણ માટે સતત સમયશ્રેણી {Y(t) : 0 જ્ર t જ્ર L}ના રૂપમાં મળતી માહિતી મહત્ત્વની ભૂમિકા પૂરી પાડે છે.

સમયશ્રેણીના સિદ્ધાંત અને પ્રયોજિતતાની સઘન અને વિસ્તૃત છણાવટ Nelson, C. R.ના પુસ્તક ‘Applied Time Series Analysis’ John Wiley & Sons (1973)માં કરવામાં આવી છે

અમૃતભાઈ વલ્લભભાઈ ગજ્જર