શ્રેણિકો

શ્રેણિકો : લંબચોરસ કે ચોરસ આકારમાં ગોઠવેલી સંખ્યાઓની સારણી. શ્રેણિકો ગણિતમાં અને વ્યવહારમાં ખૂબ ઉપયોગી સાબિત થયા છે.

ધારો કે mn સંખ્યાઓ a_ij, 1 < i < m, 1 < j < n m હાર તથા n સ્તંભોવાળા લંબચોરસમાં નીચે પ્રમાણે ગોઠવેલી છે :

આ ગોઠવણી એક m x n શ્રેણિક છે. આ શ્રેણિકને ટૂંકમાં

[a_ij]_{m × n} – એ રીતે લખાય. આવા શ્રેણિક અનેક પ્રકારની માહિતી રજૂ કરી શકે; દા.ત., એક રેસ્ટોરાંની શહેરમાં બે શાખાઓ A અને B છે. Aમાં સરેરાશ દરરોજ 700 કપ ચા અને 250 કપ કૉફી તથા Bમાં સરેરાશ દરરોજ 1,100 કપ ચા અને 300 કપ કૉફી ખપે છે. તો આ માહિતી શ્રેણિક સ્વરૂપે નીચે પ્રમાણે રજૂ કરી શકાય :

        ચા     કૉફી

A       700    250

B       1,100  300

ટૂંકમાં આ માહિતીને આમ શ્રેણિક દ્વારા દર્શાવાય.

શ્રેણિકોના સરવાળા અને ગુણાકારની વ્યાખ્યાઓ પણ આપી શકાય. ધારો કે ઉપર્યુક્ત રેસ્ટોરાંની બે શાખાઓમાં ચા અને કૉફીની ઉપરાઉપરી બે દિવસની ખપત દર્શાવતા શ્રેણિકો તથા છે. આનો અર્થ દા.ત. એવો છે કે A રેસ્ટોરાંમાં પહેલે દિવસે 602 કપ ચા અને 152 કપ કૉફી તથા બીજે દિવસે 578 કપ ચા અને 175 કપ કૉફી પિવાયાં છે. આવું જ વિધાન રેસ્ટોરાં B માટે પણ કરી શકાય. હવે ધારો કે બંને દિવસે મળીને A તથા Bમાં કુલ કેટલા કપ ચા અને કૉફી પિવાયાં તે જાણવું હોય તો તે ખપતનો શ્રેણિક આ રીતે

થાય. એટલે કે બંને દિવસે મળીને Aમાં 1180 કપ ચા અને 327 કપ કૉફી પિવાયાં તથા Bમાં એ આંકડા અનુક્રમે 1595 અને 622ના રહ્યા. આ પરથી શ્રેણિકના સરવાળાનો વ્યાવહારિક નિયમ મળે છે.

વ્યાપક રૂપે બે m x n શ્રેણિકો [a_ij]_{m × n} તથા [b_ij]_{m × n} માટે સરવાળાનો નિયમ [a_ij]_{m × n} + [b_ij]_{m × n} = [a_ij + b_ij] _{m × n} છે.

જો આપેલ બે શ્રેણિકોની હારો તમજ સ્તંભોની સંખ્યાઓ સરખી હોય તો જ તેમનો સરવાળો થઈ શકે તથા સરવાળો પણ તેટલી જ હારો અને સ્તંભવાળો શ્રેણિક થાય.

સરવાળાની આ ક્રિયા માટે m × n શ્રેણિકોના ગણ સમૂહ બને છે. તેનો એકમ શ્રેણિક [0]_{m × n} છે. આ શ્રેણિકનો દરેક ઘટક 0 છે. આવા શ્રેણિકને શૂન્ય શ્રેણિક કહે છે.

હવે શ્રેણિકોના ગુણાકારની વાત કરીએ. ધારો કે એક કપ ચાની કિંમત 4 રૂપિયા છે અને કૉફીના એક કપની કિંમત 6 રૂપિયા છે. તો આ કિંમતો વડે શ્રેણિક બનાવી શકાય. આ શ્રેણિક 2 × 1 છે. હવે જે દિવસની ખપતનો શ્રેણિક છે તે દિવસની બંને રેસ્ટોરાંની ચા-કૉફીમાંથી થતી આવક કેટલી થશે ? સ્પષ્ટ છે કે A માટે આ આવક (602 × 4) + (152 × 6) થશે અને B માટે તે (825 × 4) + (302 × 6) થશે. આ પરથી શ્રેણિકોના ગુણાકાર માટેનો વ્યાવહારિક નિયમ નીચે પ્રમાણે મળે છે :

અહીં જોઈ શકાય છે કે 2 × 2 શ્રેણિકનો ગુણાકાર 2 × 1 શ્રેણિક સાથે કર્યો છે અને ગુણાકાર પોતે 2 × 1 શ્રેણિક છે.

વ્યાપક રૂપે m × n શ્રેણિકનો ગુણાકાર m × p શ્રેણિક સાથે કરી શકાય અને ગુણાકાર m × p શ્રેણિક મળે. જો A = [a_ij]_{m × n} હોય અને B = [b_ij]_{n × p} હોય તો

AB = C

થાય, જ્યાં C = [C_ij]_{m × p} થાય તથા 1 < i < m તથા 1 < j < p માટે

C_ij = a_i1b_1j + a_i2b_2j + a_i3b_3j + ……. + a_inb_nj.

અહીં C_ij શોધવા માટે Aની iમી હાર a_i1, a_i2, a_i3, …., a_in તથા Bના jમા સ્તંભ  ના અનુરૂપ ઘટકોના ગુણાકાર કરી સરવાળો કરવાનો હોય છે.

શ્રેણિકોના સરવાળા તથા ગુણાકારમાં સંખ્યાઓના સરવાળા અને ગુણાકાર જેવા જ ગુણધર્મો છે; પરંતુ ગુણાકાર માટે ક્રમનો નિયમ સાચો નથી; દા.ત.,

ગુણાકાર AB માટે જરૂરી છે કે Aમાંના સ્તંભોની સંખ્યા, Bમાંની હારોની સંખ્યા જેટલી હોવી જોઈએ. જો A અને B બંને n × n ચોરસ શ્રેણિકો હોય તો તેમનો ગુણાકાર થઈ જ શકે અને ગુણાકાર AB પણ n × n શ્રેણિક થાય.

શ્રેણિક [a_ij]_{m × n} માટે જે ઘટકો માટે i = j હોય (એટલે કે a₁₁, a₂₂, a₃₃, …. એ બધા મળીને શ્રેણિકનો (મુખ્ય) વિકર્ણ રચે. શ્રેણિક  નો વિકર્ણ ¹7 છે. જો કોઈ શ્રેણિકના વિકર્ણ સિવાયના ઘટકો શૂન્યો હોય તો તેને વિકર્ણ (diagonal) શ્રેણિક કહેવાય.

n x n કક્ષાના જે વિકર્ણ શ્રેણિકના વિકર્ણ પરનો દરેક ઘટક 1 હોય તેને એકમ (identity) શ્રેણિક I_n કહેવાય. આમ

પ્રત્યેક n × n શ્રેણિક A માટે AI_n = A = I_nA થાય.

જો કોઈ ચોરસ (n × n) શ્રેણિક A માટે એવો n × n શ્રેણિક B મળે કે AB = BA = I_n થાય તો Bને Aનો વ્યસ્ત શ્રેણિક કહેવાય.  = I₂ છે, તેથી B તે Aનો વ્યસ્ત છે. B = A^–1 લખાય. દરેક શ્રેણિકને વ્યસ્ત હોય જ તે જરૂરી નથી; દા.ત.,  ને કોઈ વ્યસ્ત નથી.

પ્રત્યેક n માટે n × n શ્રેણિકોનો ગણ ઉપર પ્રમાણેની સરવાળા અને ગુણાકારની ક્રિયાઓ માટે એક મંડળ (ring) બને છે. સમક્રમી (commutative) ન હોય તેવા મંડળનું આ એક જાણીતું ઉદાહરણ છે.

આપેલ શ્રેણિક Aની હારો અને સ્તંભોની અદલાબદલી કરવામાં આવે તો જે શ્રેણિક મળે તેનો Aનો પરિવર્ત (transpose) શ્રેણિક કહે છે. Aના પરિવર્ત માટેનો સંકેત A’ છે.

જો શ્રેણિક A = [a_ij] તેના વિકર્ણની આસપાસ સંમિત હોય, એટલે કે A = A’ અથવા a_ij = a_ji ∀ i, j, તો Aને સંમિત (symmetric) કહેવાય, પણ જો દરેક i, j માટે a_ij = −a_ji તો Aને વિસંમિત (skew-symmetric) કહેવાય.

જો શ્રેણિક A = [a_ij]ના ઘટકો સંકરસંખ્યાઓ હોય તથા B = [b_ij] માટે જો દરેક i, j માટેહોય તો Bને Aનો અનુબદ્ધ (conjugate) કહેવાય. Aના અનુબદ્ધ શ્રેણિક માટેનો સંકેત છે.

Aના અનુબદ્ધના પરિવર્ત Aનો અનુબદ્ધ પરિવર્ત (Transpose conjugate : સંકેત A*) કહે છે.

જો ચોરસ n × n શ્રેણિક Aનો વ્યસ્ત અસ્તિત્વ ધરાવે તો Aને સામાન્ય (non-singular) અને જો ન હોય તો Aને અસામાન્ય (singular) કહેવાય છે.

દરેક ચોરસ શ્રેણિક A સાથે તેનો નિશ્ચાયક સંકળાયેલો છે. આ નિશ્ચાયક માટે | A | સંકેત વપરાય છે. જો A = [a_ij] તો | A | = | a_ij |.

જો | A | ≠ 0 તો A સામાન્ય હોય તથા | A | = 0 માટે A અસામાન્ય હોય.

કોઈ સંખ્યા અને શ્રેણિકનો ગુણાકાર એક શ્રેણિક તરીકે આપી શકાય. જો A = [a_ij] હોય તથા x કોઈ સંખ્યા હોય તો xA = [xa_ij]. આમ xAનો દરેક ઘટક Aના અનુરૂપ ઘટકને x વડે ગુણવાથી મળે છે.

આમ 1.A = A. (-1) A માટે A લખાય છે. આ ગુણાકારને અદિશ ગુણાકાર કહેવામાં આવે તો n × n શ્રેણિકોનો સમૂહ આ અદિશ ગુણાકાર સાથે એક સદિશાવકાશ પણ બને છે.

શ્રેણિકોનો એક મહત્વનો ઉપયોગ સુરેખ રૂપાંતર(linear transformation)ના નિરૂપણ માટે થાય છે. ધારો કે સદિશ અવકાશો U_m તથા U_nનાં પરિમાણો અનુક્રમે m તથા n છે તથા B₁ = {x₁, x₂, ….., x_m} તથા B₂ = {y₁, y₂, ….., y_n} અનુક્રમે તેમના ક્રમયુક્ત આધાર (ordered bases) છે. T : U_m → U_n કોઈ સુરેખ રૂપાંતર હોય તો Tને સંપૂર્ણપણે નિશ્ચિત કરવા માટે T(x₁), T(x₂), ……, T(x_m)નું જ્ઞાન હોવું પૂરતું છે. T(x_i) U_nમાં હોવાથી T(x_i) તે y₁, y₂, ……, y_nનું સુરેખ સંયોજન છે. આમ

T(x₁) = a₁₁y₁ + a₁₂y₂ + ….. + a_1ny_n

T(x₂) = a₂₁y₁ + a₂₂y₂ + ….. + a_2ny_n

T(x_m) = a_m1y₁ + a_m2y₂ + ….. + a_mny_n.

અન્ય શબ્દોમાં કહીએ તો m x n શ્રેણિક

Tને સંપૂર્ણપણે નિશ્ચિત કરે છે. એટલે કે તે શ્રેણિક સુરેખ સંયોજન Tનું નિરૂપણ (representation) કરે છે.

જો T₁ : U_m → U_n સુરેખ રૂપાંતર હોય, m × n શ્રેણિક

A T₁નું નિરૂપણ કરતો હોય, જો T₂ : U_n → U_t સુરેખ રૂપાંતર હોય તથા n × t શ્રેણિક B એ T₂નું નિરૂપણ કરે, તો T₂ o T₁ એ U_m → U_tનું સુરેખ રૂપાંતર થાય અને m x t શ્રેણિક AB તેનું નિરૂપણ કરે.

સુરેખ રૂપાંતરોનું શ્રેણિક-નિરૂપણ બહુ ઉપયોગી છે. સુરેખ રૂપાંતરના પ્રશ્નોનું રૂપાંતર શ્રેણિકોના ગણિતમાં કરી તે પ્રશ્નો વધુ સરળતાથી થઈ શકે છે. આ રીતે રૂપાંતરનાં લાક્ષણિક મૂલ્યો (eigen values) અને અનુરૂપ લાક્ષણિક સદિશો (eigen vectors) સહેલાઈથી મળે છે.

શ્રેણિકનો કોટ્યાંક : m × n શ્રેણિક Aની m હારોને દરેકને Rⁿનો સદિશ ગણી આ m સદિશો દ્વારા Rnનો જે વિસ્તૃતિ ઉપાવકાશ (subspace of Rⁿ generated by rows) મળે તેના પરિમાણને Aનો હાર-કોટ્યાંક (row rank) કહેવાય.

એ જ પ્રમાણે Aના n સ્તંભો દ્વારા R^mનો જે વિસ્તૃતિ ઉપાવકાશ (subspace of Rm generated by columns) મળે તેના પરિમાણને Aનો સ્તંભ-કોટ્યાંક (column rank) કહેવાય.

દરેક શ્રેણિક માટે હાર-કોટ્યાંક અને સ્તંભ-કોટ્યાંક સરખા જ હોય છે. તેને શ્રેણિકનો કોટ્યાંક કહે છે. Aનો કોટ્યાંક માટેનો સામાન્ય સંકેત ρ(A) છે.

શ્રેણિકોનો એક મહત્વનો ઉપયોગ સુરેખ સમીકરણ-સંહતિને ઉકેલવા માટે થાય છે. જો સંહતિ હોય તો સહગુણકોના શ્રેણિક A = [a_ij]ને સહગુણક શ્રેણિક (coefficient matrix) કહે છે તથા સ્તંભ-શ્રેણિક ને Aમાં આમેજ કરતાં મળતો m x (n + 1) શ્રેણિક  ને સંવર્ધિત (augmented) શ્રેણિક કહે છે. આપેલ સંહતિને ઉકેલ હોવા માટેની જરૂરી અને પર્યાપ્ત શરત એ છે કે

ρ(A) = ρ(A; b).

શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક : n × n (ચોરસ) શ્રેણિક A = [a_ij] માટે નિશ્ચાયક | a_ij |ને Aનો નિશ્ચાયક કહેવાય અને તેને | A | દ્વારા દર્શાવાય.

| AB | = | A | | B |, તથા | I_n | = 1 છે તે જોવું સરળ છે.

નિશ્ચાયકની જેમ જ n × n શ્રેણિક Aના સહાવયવી (adjoint) શ્રેણિકની વ્યાખ્યા અપાય છે.

aij શ્રેણિક Aનો કોઈ ઘટક હોય તથા a_ij જે હાર તથા સ્તંભમાં હોય તે છેકી નાખતાં ધારો કે શ્રેણિક M_ij રહે છે; તો (-1)^i+j Mijને aijનો સહાવયવ કહેવાય. સહાવયવોથી બનતા શ્રેણિકના પરિવર્તને મૂળ શ્રેણિકનો સહાવયવી શ્રેણિક (adjoint) કહેવાય. Aના સહાવયવી શ્રેણિક માટેનો સંકેત (adj. A) છે એવું એક પરિણામ છે કે A (adj. A) = (adj. A) . A = | A | I_n. આ પરિણામની મદદથી જો | A | ≠ 0 તો

આમ Aનો વ્યસ્ત શ્રેણિક છે તેમ મળે છે.

સુરેખ સમીકરણ-સંહતિના ઉકેલ માટે ρ(A) = ρ (A; b) જોઈએ એ આપણે જોયું છે. ઉકેલ હોય ત્યારે એ શોધવા માટે Aનો વ્યસ્ત A⁻¹ શોધવો જરૂરી હોય છે.

કેલે-હૅમિલ્ટન પ્રમેય : ચોરસ શ્રેણિક A માટે A × A = A², A² × A = A³ અને એમ વ્યાપક રૂપે Aⁿની વ્યાખ્યા આપી શકાય. આ ઘાત, ઘાતાંકના સામાન્ય નિયમોને અનુસરે છે તેમ જોઈ શકાય. જો

f(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + ….. + a_kx^k

વાસ્તવિક સહગુણકોવાળી બહુપદી હોય તો xને સ્થાને ચોરસ શ્રેણિક A મૂકતાં

f(A) = a₀ + a₁A + a₂A² + …. + a_kA^k

મળે. f(A) પણ એ જ કક્ષાનો ચોરસ શ્રેણિક થાય.

ધારો કે A, n × n શ્રેણિક છે; તો બહુપદી | A − tI_n |ને Aની લાક્ષણિક બહુપદી (characteristic polynomial) કહે છે, તથા સમીકરણ | A – tI_n | = 0ને Aનું લાક્ષણિક સમીકરણ (characteristic equation) કહે છે. આ સમીકરણના દરેક બીજને Aની લાક્ષણિક કિંમત (characteristic value or eigen value) કહેવાય છે. જો l કોઈ લાક્ષણિક કિંમત હોય તથા સ્તંભ-શ્રેણિક માટે જો Ax = λx થાય તો xને Aનો લાક્ષણિક સદિશ (characteristic vector or eigen vector) કહે છે.

નીચેના પરિણામને કેલી-હૅમિલ્ટન પ્રમેય કહે છે :

પ્રત્યેક શ્રેણિક પોતાના લાક્ષણિક સમીકરણને સંતોષે છે.

ગણિતની વિવિધ શાખાઓ ઉપરાંત શ્રેણિકોનો બહોળો ઉપયોગ આંકડાશાસ્ત્ર, ભૌતિકશાસ્ત્ર, રસાયણશાસ્ત્ર, અર્થશાસ્ત્ર, કમ્પ્યૂટરવિજ્ઞાન, આલેખશાસ્ત્ર વગેરેમાં થાય છે.

યશોધરા શેઠ

ઇચ્છાલાલ હરિભાઈ શેઠ