શ્રેણી અને શ્રેઢી

શ્રેણી અને શ્રેઢી : કોઈ પણ વસ્તુઓની ક્રમાનુસાર ગોઠવણીને શ્રેણી (sequence) કહે છે. ગણિતશાસ્ત્રની ભાષામાં પ્રાકૃતિક સંખ્યાના ગણ સાથે એક-એક સંગતતા ધરાવતા ઘટકોવાળા ગણને શ્રેણી કહે છે. દરેક ઘટક શ્રેણીનું પદ કહેવાય છે. જો ઘટકને a સંકેત વડે દર્શાવીએ તો ધન પૂર્ણાંક nના અનુગવાળો સંકેત an શ્રેણીનું n-મું પદ કહેવાય છે અને એ સંદર્ભમાં શ્રેણીને {a₁, a₂, a₃, ……., a_n………………} વડે અથવા ટૂંકમાં, {a_n} વડે દર્શાવાય છે. બીજા શબ્દોમાં શ્રેણી એ જેનો પ્રદેશગણ પ્રાકૃતિક સંખ્યાગણ હોય એવું વિધેય પણ કહેવાય છે. આ વ્યાખ્યાનુસાર શ્રેણીમાં અસંખ્ય પદો હોય છે; પરંતુ વ્યવહારમાં નિશ્ચિત પદોવાળી શ્રેણી સાથે કામ ચલાવવાનું હોય છે, જે સાન્ત શ્રેણી કહેવાય છે. પ્રથમ n પદોવાળી શ્રેણી {a₁, a₂, a₃, …….., a_n} વડે દર્શાવાય છે. કેટલાક કિસ્સામાં સગવડ માટે શ્રેણીનું પ્રથમ પદ a₁ને બદલે a₀ પણ લેવાય છે. વાસ્તવિક સંખ્યાઓની શ્રેણીને સંખ્યા-શ્રેણી કહે છે. સંખ્યા-શ્રેણીમાં બે શ્રેણીઓનો વ્યાપક ઉપયોગ થાય છે જે સમાંતર-શ્રેણી અને સમગુણોત્તર-શ્રેણી છે.

સમાન્તર(arithmetic)-શ્રેણી : જે સંખ્યા-શ્રેણીમાં પાસપાસેનાં પદોનો તફાવત અચલ હોય તે શ્રેણીને સમાન્તર-શ્રેણી કહેવાય છે; જેમ કે, a_n+1 − an = d (અચલ), જેથી આ શ્રેણી {a, a + d, a + 2d, ……, a + (n-1) d, ………} બને છે.

સમગુણોત્તર(geometric)-શ્રેણી  : જે સંખ્યા-શ્રેણીમાં પાસપાસેનાં પદોનો ગુણોત્તર અચલ હોય તે સમગુણોત્તર-શ્રેણી કહેવાય છે; જેમ કે a_n+1/a_n = r (અચલ), જેથી આ શ્રેણી {a, ar, ar², ar³, …., arⁿ, …….} બને છે. ઉપરાંત કેટલીક પ્રચલિત શ્રેણીઓ છે જેવી કે સ્વરિત (harmonic) શ્રેણી, ફિબોનાકી શ્રેણી.

સ્વરિત (harmonic) શ્રેણી : જે શ્રેણીનાં તમામ પદો સમાંતર શ્રેણીનાં અનુરૂપ પદોનાં વ્યસ્તો હોય તે શ્રેણીને સ્વરિત શ્રેણી કહે છે.

ફિબોનાકી શ્રેણી : આ શ્રેણીમાં પ્રથમ બે પદો 1, 1 છે અને પછીનું દરેક પદ તેની આગળનાં તરતનાં બે પદોનો સરવાળો હોય છે; જેમકે, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ……… n > 2 માટે આ શ્રેણીનું વ્યાપક પદ a_n = a_n−1 + a_n−2 તરીકે મળે છે, જ્યાં a₁ = a₂ = 1.

ઉપશ્રેણી (sub) : જો શ્રેણી {b_n}નાં તમામ પદો શ્રેણી {a_n}માં પણ તે જ ક્રમમાં મળતાં હોય તો {b_n}ને {a_n}ની ઉપશ્રેણી કહે છે. અહીં {b_n}ના k-મા પદ b_kને a_n+k વડે પણ દર્શાવી શકાય અને તે હિસાબે b₁ = a_n+1, b₂ = a_n+2,…… પ્રમાણે ઉપશ્રેણી {a_n+k} વડે દર્શાવાય છે. ઉદા. : શ્રેણી {1, 1/2, 1/2², 1/2³, …….} એ શ્રેણી {1, 1/2, 1/3, 1/4, …….}ની ઉપશ્રેણી છે જ્યાં a_n+k = 1/2^k (k = 1, 2, 3,…….).

એકસૂત્રી શ્રેણી (monotonic sequence) : જે શ્રેણીમાં nના વધારા સાથે પદોની કિંમત ઘટતી માલૂમ ન પડે તો તેવી શ્રેણીને એકસૂત્રી વધતી શ્રેણી કહે છે; જેમ કે, શ્રેણી {a_n} માટે a_n < a_n+1 થાય તો તે એકસૂત્રી વધતી શ્રેણી છે. જે શ્રેણીમાં nના વધારા સાથે પદોની કિંમત વધતી માલૂમ ન પડે તો તેવી શ્રેણીને એકસૂત્રી ઘટતી શ્રેણી કહે છે; જેમ કે, શ્રેણી {a_n} માટે a_n > a_n+1 થાય તો તે એકસૂત્રી ઘટતી શ્રેણી છે. વધતી કે ઘટતી શ્રેણીને એકસૂત્રી શ્રેણી તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. જો શ્રેણી {a_n}માં પ્રત્યેક n માટે a_n < a_n+1 (an > a_n+1) થાય તો તે ચુસ્ત વધતી (ચુસ્ત ઘટતી) શ્રેણી કહેવાય છે.

સીમિત (bounded) શ્રેણી  : જો શ્રેણી {a_n} માટે કોઈ નિશ્ચિત ધન સંખ્યા K મળે કે જેથી દરેક n માટે | a_n | < K થાય તો {a_n}ને સીમિત શ્રેણી કહે છે. જો દરેક n માટે a_n < K થાય તો {a_n}ને ઊર્ધ્વ સીમિત શ્રેણી કહેવાય છે અને K તેની ઊર્ધ્વ સીમા (upper Bound) કહેવાય છે. ઊર્ધ્વ સીમિત શ્રેણીને અસંખ્ય ઊર્ધ્વ સીમા હોય છે જેમાંની નાનામાં નાની તે શ્રેણીની ન્યૂનતમ ઊર્ધ્વ સીમા (least upper bound) છે. જો l શ્રેણી {a_n}ની ન્યૂનતમ ઊર્ધ્વ સીમા હોય તો દરેક n માટે a_n < l તો થાય જ છે, પરંતુ દરેક ε > 0 માટે એવો ધનપૂર્ણાંક N મળે કે જેથી l – ε < aN < l થાય. તે જ પ્રમાણે જો દરેક n માટે K < a_n થાય તો {a_n}ને અધ:સીમિત શ્રેણી કહેવાય છે અને K તેની અધ:સીમા (lower bound) કહેવાય છે. અધ:સીમિત શ્રેણીને પણ અસંખ્ય અધ:સીમા હોય છે, જેમાંની મોટામાં મોટી તે શ્રેણીની અધિકતમ અધ:સીમા (greatest lower bound) છે. જો g શ્રેણી {an}ની અધિકતમ અધ:સીમા હોય તો દરેક n માટે g < a_n થાય છે અને દરેક ε > 0 માટે એવો ધનપૂર્ણાંક N મળે કે જેથી g < a_N < g + ε થાય.

આંદોલિત (oscillatory) શ્રેણી : જે શ્રેણીનાં ઉત્તરોત્તર મળતાં પદોનાં મૂલ્યોમાં વધઘટ થતી હોય તેવી શ્રેણી આંદોલિત શ્રેણી કહેવાય છે. આંદોલિત શ્રેણી સીમિત હોય કે ન પણ હોય.

કૉશી શ્રેણી : જો કોઈ પણ ε > 0 માટે એવો ધન પૂર્ણાંક N મળે કે જેથી દરેક m, n > N માટે | a_m − a_n | < ε થાય તો શ્રેણી {a_n}ને કૉશી શ્રેણી તરીકે ઓળખવામાં આવે છે, અર્થાત્ જેમ n વધતો જાય તેમ કૉશી શ્રેણીના ઘટકો પરસ્પર નજીક આવતા જાય છે. કૉશી શ્રેણી અભિસારી હોય કે ન પણ હોય, પરંતુ દરેક અભિસારી શ્રેણી કૉશી હોય છે. કૉશી શ્રેણીને મૂળભૂત શ્રેણી પણ કહે છે.

શ્રેણીનું લક્ષ્યબિંદુ (limit point or cluster point) : જો કોઈ બિંદુ lના દરેક સામીપ્યમાં શ્રેણી {a_n}નાં અસંખ્ય પદો મળતાં હોય તો lને શ્રેણી {a_n}નું લક્ષ્યબિંદુ કહે છે; દા.ત., શ્રેણી {1, 0, 1/2, 1/2, 1/3, 2/3, 1/4, 3/4, 1/5, 4/5, ………}ને બે લક્ષ્યબિંદુઓ છે, જે 0 અને 1 છે. શ્રેણીને એકથી વધુ લક્ષ્યબિંદુઓ હોઈ શકે છે અને તેમાં મહત્તમ લક્ષ્યબિંદુને ઉચ્ચતમ લક્ષ્યબિંદુ (limit supremum) કહે છે, જેને વડે દર્શાવાય છે અને ન્યૂનતમ લક્ષ્યબિંદુને નિમ્નતમ લક્ષ્યબિંદુ (limit infimum) કહે છે, જેને  a_n વડે દર્શાવાય છે. જો શ્રેણીને એક જ લક્ષ્યબિંદુ હોય તો તે શ્રેણીનું લક્ષ્ય કહેવાય છે, જે  a_n તરીકે લખાય છે.

શ્રેણીનું લક્ષ્ય : જ્યારે nની કિંમત અમર્યાદિત રીતે વધતી જાય ત્યારે એ ક્રિયાને સાંકેતિક ભાષામાંn → ∞ વડે દર્શાવાય છે. હવે n → ∞ ત્યારે શ્રેણી {a_n}નાં પદો કોઈ નિશ્ચિત સંખ્યા lની નજીક અને નજીક જતાં માલૂમ પડે તો lને શ્રેણી {a_n}નું લક્ષ્ય કહે છે. સાંકેતિક રીતે a_n મુજબ લખાય છે.

ગાણિતિક ભાષામાં કોઈ પણ ε > 0 માટે એવો ધન પૂર્ણાંક N મળે કે જેથી n > N માટે | a_n − l | < ε થાય તો કહેવાય કે n → ∞ માટે શ્રેણી {a_n}નું લક્ષ્ય l છે. જે શ્રેણીને નિશ્ચિત લક્ષ્ય મળતું હોય તે શ્રેણીને અભિસારી શ્રેણી કહે છે અને તે સિવાયની શ્રેણીને અપસારી શ્રેણી કહે છે. અપસારી શ્રેણીમાં અનંતને અનુલક્ષતી શ્રેણીનો પણ સમાવેશ થાય છે કારણ તેનું લક્ષ્ય ∞ કે ∞ હોઈ શકે, પરંતુ એ નિશ્ચિત લક્ષ્ય ન કહેવાય.

શ્રેઢી (series) : શ્રેણીનાં પ્રથમ n પદોના સરવાળાથી મળતી શ્રેણીને શ્રેઢી કહેવામાં આવે છે. જો {a_n} કોઈ શ્રેણી હોય તો a₁ + a₂ + a₃ + …. તેને અનુરૂપ શ્રેઢી છે, જેને ટૂંકમાં, a_n વડે દર્શાવવામાં આવે છે. અહીં પણ an એ શ્રેઢી ∑a_nનું n-મું પદ છે.

આંશિક સરવાળા (partial sum) શ્રેણી : જો શ્રેઢી ∑a_nનાં પ્રથમ n પદોનો સરવાળો S_n વડે દર્શાવવામાં આવે તો S₁ = a₁, S₂ = a₁ + a₂, S₃ = a₁ + a₂ + a₃, ….. મુજબ S₁, S₂, S₃, ….., S_n, ……. શ્રેઢીના આંશિક સરવાળા કહેવાય છે અને તેની બનતી શ્રેણી {S_n} આંશિક સરવાળા શ્રેણી કહેવાય છે. શ્રેઢીની અભિસારિતા તેની આંશિક સરવાળા શ્રેણીની અભિસારિતા પર નિર્ભર છે. જો શ્રેઢી ∑a_n અભિસારી હોય તો તેનાં અનંત પદોનો સરવાળો મળે છે જે તેની આંશિક સરવાળા શ્રેણીનું લક્ષ્ય હોય છે. એટલે કે જો શ્રેઢી a_nની આંશિક સરવાળા શ્રેણી {S_n} હોય અને S_n = l હોય તો  ∑a_n = l છે. અપસારી શ્રેઢીને સરવાળો નિશ્ચિત કિંમત તરીકે મળતો નથી. જો શ્રેઢીનાં તમામ પદો ધન સંખ્યા હોય તો તે શ્રેઢીને ધનપદી શ્રેઢી કહેવાય છે.

અતિગુણોત્તર શ્રેઢી (hypergeometric series) : જો શ્રેઢી ∑a_nમાં a₀ = 1 હોય અને n = 1, 2, 3 માટે a_n = [a (a + 1) ….. (a + n  1) b(b + 1) ….. (b + n  1) zⁿ] / [n!c (c + 1) (c + 2) ….. (c + n − 1)] તો તે અતિગુણોત્તર શ્રેઢી કહેવાય છે, જ્યાં c ઋણ પૂર્ણાંક ન હોય. | z | < 1 માટે આ શ્રેઢી સંપૂર્ણપણે અભિસારી બને છે. જ્યારે z = 1 હોય ત્યારે આ શ્રેઢીની અભિસારિતા માટે જરૂરી અને પર્યાપ્ત શરત a + b − c < 0 છે અને જો a + b  c સંકર સંખ્યા હોય તો તેનો વાસ્તવિક ભાગ ઋણ છે. આ શ્રેઢીને ગૉસિયન શ્રેઢી પણ કહે છે.

અતિસ્વરિત શ્રેઢી (hyperharmonic series) : શ્રેઢી ∑ 1/n^pને અતિસ્વરિત શ્રેઢી કહે છે જે p > 1 માટે અભિસારી છે. શ્રેઢીની અભિસારિતા ચકાસવા માટે તુલના કસોટી (comparision test) ઉપયોગમાં લેવામાં આવે ત્યારે તુલના માટે આ શ્રેઢીનો ઉપયોગ થાય છે.

એકાન્તરિત શ્રેઢી (alternating series) : જે વાસ્તવિક શ્રેઢીનાં પદો એક પછી એક ધન અને ઋણ મળતાં હોય તે એકાન્તરિત શ્રેઢી છે. જો એકાન્તરિત શ્રેઢીમાં દરેક પદ તે પછીના પદ કરતાં સંખ્યામાનમાં નાનું ન હોય અને nની વધતી કિંમત સાથે n-મું પદ શૂન્યને અનુલક્ષે તો તે શ્રેઢી અભિસારી છે; દા.ત., 1 − + + + ….. અભિસારી એકાન્તરિત શ્રેઢી છે. એકાન્તરિત શ્રેઢી  1 − 1 + 1 − 1 + 1 …… તથા 1 − 2 + 3 − 4 + …. અપસારી છે.

ઑઇલર શ્રેઢી (Euler series) : જો n = 0, 1, 2, 3, …. માટે a_n = xⁿ / n! હોય તો ∑a_nને ઑઇલર શ્રેઢી કહે છે, જે સળંગ શ્રેઢી છે. x = 1 માટે આ શ્રેઢી ફૅક્ટોરિયલ શ્રેઢી કહેવાય છે, જેનો સરવાળો e છે.

ઘાત શ્રેઢી (power series) : શ્રેઢી a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³ + …… ને ઘાત શ્રેઢી કહે છે, જ્યાં દરેક a_i અચલ હોય છે અને x ચલરાશિ હોય  છે. ઘાત શ્રેઢીની અભિસારિતા xનાં મૂલ્ય પર આધારિત હોય છે. જે ઘાત શ્રેઢી xના દરેક મૂલ્ય માટે અભિસારી હોય છે તેને સળંગ શ્રેઢી (entire series) કહે છે.

દ્વિપદી શ્રેઢી (binomial series) : જો n ધનપૂર્ણાંક કે શૂન્ય ન હોય તો (x + y)ⁿના વિસ્તરણને દ્વિપદી શ્રેઢી કહે છે, જે xⁿ + nC₁ x^n-1y + nC₂ x^n-2y² + ….. + nC_r x^n-ry^r + ………. છે, જ્યાં ⁿC_r = ^n!/r!(n-r)! જો | y | < | x | હોય કે જો x = y ≠ 0 તથા n > −1 હોય કે જો x = y ≠ 0 તથા n > 0 હોય તો શ્રેઢી અભિસારી બને છે અને તેનો સરવાળો (x + y)ⁿ હોય છે.

દ્વિપથ શ્રેઢી :  ……. a_–3 + a_-2 + a_–1 + a₀ + a₁ + a₂ + a₃ ….. દ્વિપથ શ્રેઢી કહેવાય છે.

ફૂરિયેર શ્રેઢી (fourier series) : 1 a₀ + (a₁ cos x + b₁ sin x) + (a₂ cos 2x + b₂ sin 2x) + …… સ્વરૂપની શ્રેઢીને ફૂરિયેર શ્રેઢી કહે છે, જ્યાં n ≥ 0 માટે અને n > 1 માટે આપેલ વિધેય છે. જુદા જુદા અંતરાલમાં અલગ અલગ રીતે વ્યાખ્યાયિત વિધેયને દર્શાવવા માટે ફૂરિયેર શ્રેઢીનો ઉપયોગ થાય છે. આવૃત્ત વિધેયો sine અને cosineનું આવર્તમાન 2π છે એટલે ફૂરિયેર શ્રેઢીનું આવર્તમાન પણ 2π છે.

ત્રિકોણમિતીય શ્રેઢી : a₀ + (a₁ cos x + b₁ sin x) + (a₂ cos 2x + b₂ sin 2x) + ….. સ્વરૂપની શ્રેઢીને ત્રિકોણમિતીય શ્રેઢી કહે છે જ્યાં i = 1, 2, 3, …. માટે a_i અને b_i અચલ સંખ્યા છે.

ટેલિસ્કોપિક શ્રેઢી : k > 0 માટે 1/_k(k+1) + 1/_(k+1)(k+2) + 1_/(k+2)(k+3) + …. સ્વરૂપની શ્રેઢીને ટેલિસ્કોપિક શ્રેઢી કહે છે. આવી શ્રેઢીનાં અનંત પદોનો સરવાળો 1/k થાય છે.

લઘુગણકીય શ્રેઢી (logarithmic series) : શ્રેઢી x − x²/2 + x³/3 − x⁴/4 + …… ને લઘુગણકીય શ્રેઢી કહે છે, જે 1 ≤ x < ∞ માટે અભિસારી છે અને એનો સરવાળો log (1 + x) થાય છે.

લૉરેન્ટ્સ શ્રેઢી : જો સંકર મૂલ્ય વિધેય ƒ કંકણાકૃતિ પ્રદેશ a < | z − z0 | < bમાં વિકલનીય હોય તો તેને તે પ્રદેશમાં દ્વિપથ ઘાત શ્રેઢી વડે મુજબ દર્શાવી શકાય જે z₀ વિશે ƒની લૉરેન્ટ્સ શ્રેઢી છે. સહગુણકો મુજબ દર્શાવવામાં આવે છે, જ્યાં C એ પ્રદેશ a < | z − z₀ | < bમાં આવેલો સાદો પૂર્ણ વક્ર છે.

સમાન્તર શ્રેઢી (arithmetic series) : જે શ્રેઢીનાં પદો સમાન્તર શ્રેણીમાં હોય તે શ્રેઢીને સમાન્તર શ્રેઢી કહે છે. જો શ્રેઢીનું પ્રથમ પદ a હોય અને સામાન્ય તફાવત d હોય તો તેનું n-મું પદ a_n = a + (n − 1) d અને તેના પ્રથમ n પદોનો સરવાળો S_n = ½ n{2a  (n − 1)d} થાય છે.

સમગુણોત્તર શ્રેઢી (geometric series) : જે શ્રેઢીનાં પદો સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં હોય તેને સમગુણોત્તર શ્રેઢી કહે છે. જેનું પ્રથમ પદ a અને સામાન્ય ગુણોત્તર r હોય એવી સમગુણોત્તર શ્રેઢીનું n-મું પદ a_n = arⁿ⁻¹ અને પ્રથમ n પદોનો સરવાળો S_n = a(rⁿ−1)/(r − 1) થાય છે.

સ્વરિત શ્રેઢી (harmonic series) : જે શ્રેઢીનાં પદો સ્વરિત શ્રેણીમાં હોય તે શ્રેઢીને સ્વરિત શ્રેઢી કહે છે. દા.ત., 1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + …… સ્વરિત શ્રેઢી છે.

ધનેશભાઈ ભાવસાર