શાંકવજ (conicoid)

શાંકવજ (conicoid) : જેના સમતલ સાથેના છેદ શાંકવ (conics) હોય તેવું પૃષ્ઠ (surface). દા.ત., ઉપવલયજ, અતિવલયજ, પરવલયજ વગેરે.

Ax² + By² + Cz² = 1 શાંકવજનું સમીકરણ છે. જો P(x₁, y₁, z₁) બિંદુ શાંકવજ પર હોય તો બિંદુ  P´ (x₁, y₁, z₁) પણ શાંકવજ પર હોય છે. P, P´ બિંદુઓને જોડતી જીવાનું મધ્યબિંદુ ઊગમબિંદુ (origin) હોય છે. આ શાંકવજની ઊગમબિંદુમાંથી પસાર થતી પ્રત્યેક જીવા ઊગમબિંદુ આગળ દુભાગાય છે. આથી આ શાંકવજને કેન્દ્રીય (central) શાંકવજ કહેવામાં આવે છે. ઊગમબિંદુ આ શાંકવજનું કેન્દ્ર છે. A, B, C શાંકવજના અચલાંકો છે. A, B, C ત્રણે અચલાંકો (constants) ધન, ત્રણ પૈકી બે ધન અથવા ત્રણ પૈકી એક ધન હોઈ શકે છે. આ શરતોને આધારે શાંકવજના ત્રણ પ્રકાર ગણવામાં આવે છે.

Ax² + By² + Cz² = 1માં જો A, B, C ધન હોય, એટલે કે  હોય તો શાંકવજનું સમીકરણ

મળે છે, જે ઉપવલયજ(ellipsoid)નું સમીકરણ છે. જો (x₁, y₁, z₁) બિંદુ શાંકવજ પર હોય તો (−x₁, y₁, z₁), (x₁, −y₁, z₁), (x₁, y₁, −z₁) બિંદુઓ પણ શાંકવજ ઉપર હોય છે. તેથી શાંકવજનું પૃષ્ઠ યામસમતલોને સાપેક્ષે સંમિત હોય છે. તેનાં યામાક્ષો સાથેનાં છેદબિંદુઓ અનુક્રમે (± a, 0, 0), (0, ± b, 0), (0, 0, ± c) છે. z = k, | k | < c x − y સમતલનો શાંકવજ સાથેનો છેદ  છે. આમ x-y સમતલને સમાંતર સમતલથી થતા શાંકવજના છેદ ઉપવલય હોય છે. આવું જ y-z અને z-x સમતલ માટે પણ બને છે. આથી  સમી.થી દર્શાવેલા શાંકવજને ઉપવલયજ (ellipsoid) કહેવામાં આવે છે. જુઓ આકૃતિ (1). જો a = b = c હોય તો શાંકવજ ગોલક (sphere) બને છે. જો a, b, c પૈકી કોઈ બે સમાન હોય તો શાંકવજને ગોલકજ (spheroid) કહેવામાં આવે છે. મુખ્ય અક્ષો આસપાસ ઉપવલયના પરિભ્રમણથી રચાતાં પૃષ્ઠ ગોલકજ છે.

એકપૃષ્ઠ અતિવલયજ (hyperboloid of one sheet) : જો A > 0, B > 0 તથા C < 0 હોય તો  અને  લેતાં શાંકવજનું સમીકરણ  મળે છે. (જુઓ આકૃતિ 2). જો (x₁, y₁, z₁) બિંદુ શાંકવજ પર હોય તો (x₁, y₁, −z₁), (x₁, −y₁, z₁), (−x₁, y₁, z₁) બિંદુઓ પણ શાંકવજ પર હોય છે અને શાંકવજ યામ સમતલો પ્રત્યે સંમિત હોય છે. શાંકવજનાં x−અક્ષ, y−અક્ષ સાથેનાં છેદબિંદુઓ અનુક્રમે (± a, 0, 0), (0, ± b, 0) છે, પરંતુ શાંકવજ z−અક્ષને છેદતો નથી. શાંકવજ અને z = k એટલે કે x-y સમતલનો છેદ છે જે ઉપવલય છે. આમ x-y સમતલને સમાંતર સમતલથી મળતો શાંકવજનો છેદ ઉપવલય છે. વળી શાંકવજનો x = m, | m | < a y−z સમતલથી મળતો છેદ  અતિવલય છે. તેથી y−z સમતલને સમાંતર સમતલથી થતો છેદ અતિવલય છે. આ જ રીતે z−x સમતલને સમાંતર સમતલથી મળતો શાંકવજનો છેદ પણ અતિવલયજ છે. માટે શાંકવજને એકપૃષ્ઠ અતિવલયજ કહેવામાં આવે છે જે આકૃતિ 2માં દર્શાવ્યો છે.

દ્વિ-પૃષ્ઠ અતિવલયજ (hyperboloid of two sheets) : જો  A > 0, B < 0, C < 0 હોય તથા

લઈએ, તો શાંકવજનું સમીકરણ મળે છે. જો (x1, y1, z1) બિંદુ શાંકવજ પર હોય તો (x₁, y₁, z₁), (x₁, y₁, z₁), (x₁, y₁, z₁) બિંદુઓ પણ શાંકવજ પર હોય છે તેથી શાંકવજ યામ સમતલોને સાપેક્ષે સંમિત છે. આ શાંકવજ x અક્ષને (± a, 0, 0) બિંદુઓમાં છેદે છે; પરંતુ yઅક્ષ અને zઅક્ષને છેદતો નથી. z = k એટલે કે સમતલ x-y અને શાંકવજનો છેદ  = 1 + , z = k અતિવલય છે. વળી y = m z  x સમતલ અને શાંકવજનો છેદ    = 1 + , y = m અતિવલય છે; જ્યારે શાંકવજ અને x = d ( d  > a) y-z સમતલનો છેદ  +  =   1, x = d ઉપવલય છે. તેથી આ શાંકવજને દ્વિ-પૃષ્ઠ અતિવલયજ કહેવામાં આવે છે. (જુઓ આકૃતિ 3).

શાંકવજ અને રેખાનું છેદન : ax² + by² + cz² = 1 ………(1) શાંકવજ છે અને A (α, β, γ) બિંદુમાંથી પસાર થતી રેખા છે. રેખા (2) શાંકવજને P અને Q બિંદુ આગળ છેદે છે. રેખા (2) પર A બિંદુથી r અંતરે આવેલા બિંદુના યામ (lr + α, mr + β, nr + γ) છે. જો આ બિંદુ શાંકવજ પર પણ હોય તો તે (1)નું સમાધાન કરશે, પરિણામે a (lr + α)² + β (mr + b)² + c (nr + γ)² = 1 થાય એટલે કે r² (al² + bm² + cn²) + 2r (alα + bmβ + cnγ) + (aα² + bβ² + cg² − 1) = 0 ………(3) છે. આ સમી. rમાં વર્ગાત્મક સમી. છે, તેથી rની બે કિંમતો AP = r₁ અને AQ = r₂ મળશે.

આથી P બિંદુના યામ (lr₁ + α, mr₁ + β, nr₁ + γ) અને Q બિંદુના યામ (lr₂ + α, mr₂ + β, nr₂ + γ) થશે.

આમ અચલબિંદુ Aમાંથી ગમે તે દિશામાં શાંકવજને P, Q બિંદુ આગળ છેદતા છેદકો દોરવામાં આવે તો AP • AQ અચલ થાય છે. જો P, Q બિંદુઓ સંપાતી હોય તો AP = AQ થાય અને રેખા (2) શાંકવજનો P બિંદુએ સ્પર્શક થાય તેમજ સમીકરણનાં બંને બીજ r₁ અને r₂ શૂન્ય થાય.

∴ r₁ + r₂ = 0 અને r₁r₂ = 0 છે.

આથી (alα + bmβ + cnγ) = 0 ………(4)

અને (aα² + bβ² + cγ² − 1) = 0 થાય ………(5)

સમી. (2) અને (4)માંથી l, m, nનો લોપ કરતાં

aα (x − α) + bβ (y − b) + cγ (z − γ) = 0 મળે

એટલે કે aαx + bβy + cγz = (aα² + bβ² + cγ²)

∴ aαx + bβy + cγz = 1 છે ………(6)

આ સ્પર્શકનો બિંદુપથ છે, એટલે કે શાંકવજ પરના (a, b, g) આગળના સ્પર્શતલનું સમીકરણ aαx + bβy + cγz = 1 છે.

શાંકવજને તેના આપેલા બિંદુએ અનંત સ્પર્શકો હોય છે. આ બધા સ્પર્શકો એક જ સમતલમાં હોય છે અને તે સમતલને તે બિંદુ આગળનું શાંકવજનું સ્પર્શતલ કહે છે.

વળી ઉપવલયજ  પરના (α, β, γ) બિંદુ આગળ સ્પર્શતલનું સમીકરણ  છે એમ જોઈ શકાય.

સમતલ lx + my + nz = p, શાંકવજ ax² + by² + cz² = 1ને સ્પર્શે તે માટેનો પ્રતિબંધ (condition) અને સ્પર્શબિંદુના યામ :

ધારો કે સ્પર્શતલ lx + my + nz = p ………………..  (1)

ax² + by² + cz² = 1 શાંકવજને P (α, β, γ) બિંદુ આગળ સ્પર્શે છે.

∴ શાંકવજ પરના P (α, β, γ) બિંદુએ સ્પર્શતલનું સમીકરણ

aαx + bβy + cγz = 1  ……………….. (2) છે.

પરંતુ સમીકરણ (1) અને (2) બંને એક જ સમતલનાં સમીકરણો છે.

∴ P (α, β, γ) શાંકવજ પરનું બિંદુ હોવાથી aα² + bβ² + cϒ² = 1 થાય.

આ માગેલો પ્રતિબંધ છે. ∴ ax² + by² + cz² = 1 ના સ્પર્શતલનું સમીકરણ છે. આ દિક્કોસાઇનના સ્વરૂપમાં શાંકવજના સ્પર્શતલનું સમીકરણ છે.

આ ઉપરથી એમ કહી શકાય કે સમતલ lx + my + nz = p, ઉપવલયજ  સ્પર્શે તે માટેનો પ્રતિબંધ

છે અને સ્પર્શબિંદુના યામ  છે.

અભિલંબ (normal) શાંકવજ ઉપરના બિંદુએ દોરેલા સ્પર્શતલને લંબ રૂપે હોય અને તે બિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાને શાંકવજનો તે બિંદુ આગળનો અભિલંબ કહેવામાં આવે છે.

શાંકવજ ax² + by² + cz² = 1 પર (α, β, γ) બિંદુએ આવેલા અભિલંબનું સમીકરણ : આપેલા શાંકવજને (α, β, γ) બિંદુએ દોરેલા સ્પર્શતલનું સમીકરણ aαx + bβy + cγz = 1 ………(1) છે.

જો સ્પર્શતલ (1)ને લંબરેખાના દિક્કોસાઇન λ, μ, ν હોય તો

થાય.

અહીં p, ઊગમબિંદુમાંથી સ્પર્શતલ (1) ઉપર દોરેલા લંબની લંબાઈ છે.

∴ શાંકવજને (α, β, γ) બિંદુએ દોરેલા અભિલંબના દિક્કોસાઇન (aαp, bβp, cγp) છે.

∴ અભિલંબનું સમીકરણ :  છે.

આ ઉપરથી  ઉપવલયજ ઉપરના (a, b, g) બિંદુએ અભિલંબનું

સમીકરણ  છે.

હવે શાંકવજનાં કેટલાંક પરિણામો જોઈએ : (i) આપેલા બિંદુમાંથી ઉપવલયજને દોરેલા અભિલંબોની સંખ્યા છ (six) છે. (ii) આપેલા બિંદુમાંથી ઉપવલયજને દોરેલા અભિલંબના પાદ ઉપવલયજ અને ત્રિઘાત વક્રનાં છેદબિંદુઓ છે. (iii) (α, β, γ) બિંદુમાંથી ax² + by² + cz² = 1 શાંકવજને દોરેલા અભિલંબોના લંબપાદ  શંકુ પર છે. (iv) ax² + by² + cz² = 1 શાંકવજને સાપેક્ષ (α, β, γ) બિંદુના ધ્રુવતલનું સમીકરણ aαx + bβy + cγz = 1 વગેરે છે. આ ગુણધર્મોની સાબિતી આપી શકાય છે.

શિવપ્રસાદ મણિશંકર જાની