વિતરણ સિદ્ધાંત (Theory of Distribution)

વિતરણ સિદ્ધાંત (Theory of Distribution)

આંકડાશાસ્ત્રના અભ્યાસમાં વિતરણનો સિદ્ધાંત મહત્વનું સ્થાન ધરાવે છે. અહીં આવૃત્તિ-વિતરણ (frequency distribution), સંભાવના-વિતરણ (probability distribution) તથા વિતરણ-વિધેય(distribution function)ના પ્રાથમિક ખ્યાલોને આધારે વિવિધ પ્રકારનાં સૈદ્ધાન્તિક વિતરણોનો અભ્યાસ થાય છે. આને આધારે આંકડાશાસ્ત્રીય અનુમાનની પદ્ધતિ તેમજ પરિકલ્પના પરીક્ષણની પદ્ધતિઓ વગેરેનું આયોજન કરી શકાય છે. વળી તેના ઉપરથી આંકડાકીય તારતમ્ય (statistical prediction) વિશે સમજી શકાય છે. કોઈ પણ માહિતીનાં અભ્યાસ અને પૃથક્કરણનો એક મહત્વનો હેતુ તેના આધારે ભવિષ્યમાં બનનારી ઘટના માટે પૂર્વાનુમાન કરવાનો છે. આવું પૂર્વાનુમાન જેટલું સચોટ હોય તેટલું વધારે સારું, નહિ તો આંકડાકીય માહિતી પરથી લેવાતો નિર્ણય ખામીયુક્ત બની જશે. આ જ કારણોસર વિતરણોનો અભ્યાસ તેનું આગવું મહત્વ ધરાવે છે. વિતરણો માટેનો અભ્યાસ એક વિશદ ફલક ધરાવે છે. અહીં સૌપ્રથમ ઉપર દર્શાવેલા ત્રણેય મહત્વના ખ્યાલો વિશે સંક્ષેપમાં સમજીને તે દ્વારા વિવિધ પ્રકારનાં સાંખ્યિકીય વિતરણોનો અભ્યાસ સંક્ષેપમાં કરવાનો ઉપક્રમ છે.

1. આવૃત્તિ-વિતરણો (Frequency Distributions) :

આવૃત્તિ (frequency) એટલે ચલની કિંમતોનું પુનરાવર્તન કેટલી વાર થાય તે દર્શાવતી સંખ્યા. ચલની કિંમતો અનુસાર તે માટેની આવૃત્તિઓ કઈ રીતે વિતરિત થઈ છે, તે દર્શાવતા કોષ્ટકને આવૃત્તિ-વિતરણ કહે છે. ચલ રાશિ અસતત કે સતત હોય તો તે અનુસાર અસતત (discrete) આવૃત્તિ-વિતરણ તેમજ સતત (continuous) આવૃત્તિ-વિતરણ મળે છે. નીચે દર્શાવેલાં બે ઉદાહરણો દ્વારા તે સ્પષ્ટ થશે :

ઉદા. (1) અસતત આવૃત્તિ-વિતરણ

સફરજનની વાડીમાં પ્રત્યેક છોડ પર મળતા કીડાઓની સંખ્યા કેટલી છે તેની માહિતી નીચે પ્રમાણેના આવૃત્તિ-વિતરણમાં દર્શાવેલી છે :

અહીં કીડાની સંખ્યા એ અસતત ચલ રાશિ છે અને છોડની સંખ્યા તેની આવૃત્તિ દર્શાવે છે; દા.ત., 8 છોડ એવા છે જેમાં એક પણ કીડો નથી, 12 છોડ 1 કીડાવાળા છે….. વગેરે.

ઉદા. (2) સતત આવૃત્તિ-વિતરણ

એક ફૅક્ટરીમાં કામ કરતા 50 કર્મચારીઓના માસિક પગારની વિગત માટે નીચેનું સતત આવૃત્તિ-વિતરણ પ્રાપ્ત થાય છે :

અહીં 28 કર્મચારીઓનો માસિક પગાર 500 રૂપિયાથી કે તેથી વધુ પરંતુ 1000 રૂપિયાથી ઓછો છે, 10 કર્મચારીઓનો પગાર 1000 કે તેથી વધુ પણ 2000 રૂપિયાથી ઓછો છે….. વગેરે.

2. સંભાવના-વિતરણો (Probability Distributions) :

સંભાવનાની વિવિધ વ્યાખ્યાઓમાં ‘સંભાવનાની આવૃત્તિ વ્યાખ્યા’(frequency definition of probability)ને આધારે સંભાવના-વિતરણોનું નિરૂપણ કરી શકાય છે. ‘સંભાવના એટલે સાપેક્ષ આવૃત્તિ’. આવા કથનને આધારે અસતત તેમજ સતત સ્વરૂપનાં સંભાવના-વિતરણો મળી શકે છે. આ માટે નીચેનાં ઉદાહરણો જોઈએ :

ઉદા. (3) અસતત સંભાવના-વિતરણ

અહીં પ્રત્યેક આવૃત્તિને કુલ આવૃત્તિ વડે ભાગવાથી જે તે ચલ માટેની સંભાવના મળે છે; દા.ત., ચલની કિંમત શૂન્ય થાય તે માટેની સંભાવના 0.24 છે,… વગેરે. આને સંકેતમાં દર્શાવીએ તો f = આવૃત્તિ, N = કુલ આવૃત્તિ, x = ચલની કિંમત, તેથી  ચલની કિંમત x હોય તે માટેની સંભાવના. આમ P(x = 0) = 0.24, P(x = 1) = 0.16, P(x = 2) = 0.20, P(x = 3) = 0.16, P(x = 4) = 0.06 અને P(x = 5) = 0.18 થશે. આ પ્રત્યેક સંભાવના 0 અને 1ની વચ્ચે આવતી ધનસંખ્યા છે અને કુલ સંભાવના 1 થાય છે.

ઉદા. (4) સતત સંભાવના-વિતરણ

અહીં ચલની કિંમત x તે માટેના અંતચલમાં મળે છે. ઉપરના ઉદાહરણ માટે P(0 ≤ x < 20) = 0.35, P(20 ≤ x < 40) = 0.25, P(40 ≤ x < 60) = 0.18, P(60 ≤ x < 80) = 0.10 અને P(80 ≤ x < 100) = 0.12 થાય છે. પ્રત્યેક સંભાવના 0 અને 1ની વચ્ચે થશે અને કુલ સંભાવના 1 થાય છે. ઉપરનાં ઉદાહરણો સંભાવના-વિતરણોના ખ્યાલને માત્ર સંખ્યાત્મક સ્વરૂપમાં જ દર્શાવે છે. જ્યારે વિતરણો માટેના કોઈ પ્રકારનાં સૈદ્ધાંતિક સ્વરૂપ સ્પષ્ટ ના હોય ત્યારે મેળવેલી સંખ્યાત્મક માહિતીને અસતત કે સતત આવૃત્તિ-વિતરણના સ્વરૂપમાં દર્શાવીને તે પરથી જે તે પ્રકારનાં સંભાવના-વિતરણો આ પ્રમાણે મેળવી શકાય છે. આ ઉદાહરણોને આધારે હવે સંભાવના-વિતરણોનાં ગણિતીય સ્વરૂપો વિશેનું નિરૂપણ નીચે પ્રમાણે કરીશું :

3. અસતત ચલ માટેનું સંભાવના-વિતરણ :

X એક યદૃચ્છ ચલ છે, જેની કિંમતો x_i (i = 1, 2, ….. ?) સાન્ત (finite) અથવા ગણ્ય અનંત (countably infinite) હોય અને X ∈ R¹ છે.

જો P (X = x_i) = P(x_i), x_i ∈ R¹ એ ચલની કિંમત xi હોવા માટેની સંભાવના દર્શાવે તો P(x_i)ને અસતત યદૃચ્છ ચલ X માટેનું સંભાવના ઘનત્વ વિધેય (Probability Mass Function) કહે છે. આ પ્રમાણેનું સં. ઘ. વિ. નીચેના ગુણધર્મો ધરાવે છે :

4. સતત ચલ માટેનું સંભાવના-વિતરણ :

યદૃચ્છ ચલ X (X ∈ R¹) નિરપેક્ષ રીતે સતત કિંમતો ધરાવે છે અને  અંતરાલમાં  આ સંકલનની કલનશાસ્ત્રના સરેરાશ કિંમતના પ્રમેય અનુસાર મળતી આશરે કિંમત f(x)dx થાય છે, એટલે કે (અહીં આવો અંતરાલ Xની કિંમત xની તદ્દન નજીકમાં હોય તે રીતે લીધો છે.) f(x)ને સતત ચલ Xનું સંભાવના ઘટત્વ વિધેય (Probability Density Function) કહે છે, જે નીચેના ગુણધર્મો ધરાવે છે :

(1) f(x) ≥ 0 ∀ x_i ∈ R¹

(2) વિધેય f રીમાન્ન ખ્યાલ અનુસાર xના વ્યાપ માટે સંકલનીય છે.

આ ઉપરથી   થશે, જે સતત ચલ Xની કિંમતો અંતરાલ (a, b)માં આવે તે માટેની સંભાવના દર્શાવે છે.

એ નોંધવા જેવું છે કે સંભાવનાની આ કિંમત વક્ર y = f(x), x અક્ષ તથા રેખાઓ x = a અને x = b વડે આવૃત્ત ક્ષેત્રફળ દર્શાવે છે. સતત ચલ માટે તેની કોઈ એક નિયત કિંમતને અનુલક્ષીને મળતી સંભાવના શૂન્ય હોય છે, જ્યારે વ્યાખ્યા પ્રમાણે કોઈ અંતરાલ માટે તેની સંભાવના મળે છે.

5. સંચયી વિતરણ-વિધેયો (Cumulative Distribution Functions) :

(1) અસતત ચલ માટેનું સંચયી વિતરણ-વિધેય : જો યદૃચ્છ ચલ Xનું સંભાવના ઘનત્વ-વિધેય P(x) હોય તો Xનું સંચયી વિતરણ-વિધેય F(x) નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત થશે : (X ∈ R¹)

આમ આ વિતરણવિધેય ચલની કિંમત વધુમાં વધુ x જેટલી થાય તે માટેની સંભાવના દર્શાવે છે. (સામાન્ય અર્થમાં સંચયી વિતરણ-વિધેયને વિતરણ-વિધેય તરીકે પણ લખાય છે.) આવા વિતરણ-વિધેયના નીચેના ગુણધર્મો છે :

(1) 0 < F(x) < 1, ∀ x ∈ R¹

(2) F(x)નો વક્ર પદીય વિધેય (step function) સ્વરૂપનો છે.

(3) F(− ∞) = 0

(4) F(+ ∞) = 1

(5) P{a ≤ X ≤ b} = F(b) − F(a)

અસતત ચલ માટેનાં સં. ઘ. વિ. અને વિતરણ-વિધેયની આકૃતિઓ નીચે પ્રમાણે થશે :

(2) સતત ચલ માટેનું સંચયી વિતરણ-વિધેય : જો X એક સતત ચલ હોય કે જેનું સંભાવના-ઘટત્વ વિધેય f(x) છે, તો Xનું સંચયી વિતરણ-વિધેય નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત થાય છે :

(વ્યાપક અર્થમાં આવા સંચયી વિતરણ-વિધેયને વિતરણ-વિધેય કહેવામાં આવ્યું છે.)

આ વિધેયના ગુણધર્મો નીચે પ્રમાણે છે :

(1) 0 < F(x) < 1, ∀ x ∈ R1

(2) F(x)નો વક્ર સતત છે.

(3) F(− ∞) = 0

(4) F(+ ∞) = 1

(5) P{a < X < b} = F(b) − F(a)

સતત ચલ માટેનાં સં. ઘ. વિ. અને વિતરણ-વિધેયની આકૃતિઓ નીચે પ્રમાણે થશે :

સંચયી વિતરણ-વિધેયના વક્રો ‘થીઓછા વક્ર’ કે ‘ઓજાઇવ વક્ર’ તરીકે પણ ઓળખાય છે.

6. મિશ્ર સંભાવના વિતરણ (Mixed Probability Distribution) :

અસતત અને સતત ચલનાં મિશ્રણથી બનતું સંભાવના-વિતરણ મિશ્ર સંભાવના-વિતરણ કહેવાય છે. ધારો કે ચલ X કેટલીક અસતત કિંમતો x₁, x₂, … x_n તે માટેની અનુવર્તી સંભાવનાઓ p(x_i) (i = 1, 2, …. n) સાથે ધરાવે છે, વળી કોઈ એક અંતરાલ a ≤ X ≤ bમાં આવતી તમામ કિંમતો પણ ધરાવે છે. આમ ચલ X એ Xની કેટલીક કિંમતો માટે અસતત છે, પણ અન્ય કિંમતો માટે તેના અંતરાલમાં સતત છે. આમ ચલ Xનું વિતરણ મિશ્ર સંભાવના-વિતરણ બને છે. આવું વિતરણ ગાણિતિક સ્વરૂપમાં નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરાય છે :

ચલ Xની અસતત કિંમતો x_i (i = 1, 2, ….. n) અને તે માટેની સંભાવનાઓ P(x_i) છે, જ્યાં P(x_i) ≥ 0, i = 1, 2, ……. n અને

વળી f(x) એ અંતરાલ (a, b) માટેનું કોઈ વ્યાખ્યાયિત વિધેય છે કે જેથી f(x) ≥ 0 ∀ x ∈ (a, b), f સંકલનીય વિધેય છે અને થશે. આ પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરાતાં સંભાવના- ઘનત્વ કે ઘટત્વ વિધેય માટે P (−∞ ≤  X ≤ ∞) = 1 શરત સંતોષાય છે, અને તેથી તે મિશ્ર સંભાવના-વિતરણ બને છે.

આવા મિશ્ર સંભાવના-વિધેય માટે તેનું સંચયી વિતરણ-વિધેય નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત થશે :

જો 0 < p < 1 હોય તો વિધેય F જે નીચે પ્રમાણે દર્શાવેલું છે :

F = p G(t) + (1 − p) H(t)

તે મિશ્ર સંભાવના-વિધેય માટેનું વિતરણ-વિધેય દર્શાવે છે.

આ ઉપરથી એક રસપ્રદ પ્રમેય નીચે પ્રમાણે દર્શાવી શકાય :

પ્રમેય : પ્રત્યેક સંચયી વિતરણ-વિધેય Fને બે વિભાગોનાં બહિર્મુખ સંયોજન (convex combination) દ્વારા નીચે પ્રમાણે દર્શાવી શકાય :

F(x) = a F^c(x) + (1 − a) F^d(x) 0 ≤ a ≤ 1

જ્યાં F^c એ સતત ચલનું સંચયી વિતરણ-વિધેય છે અને F^d એ અસતત ચલનું સંચયી વિતરણ-વિધેય છે.

આ સં. ઘ. વિ. ઉપરથી વિતરણ-વિધેય નીચે પ્રમાણે થશે :

આ સંચયી વિતરણ-વિધેય માટેની આકૃતિ નીચે પ્રમાણે છે :

7. પ્રચલિત સાંખ્યિકીય વિતરણો :

અગાઉ આવૃત્તિ-વિતરણો, સંભાવના-વિતરણો અને વિતરણ-વિધેયો વિશેનો ખ્યાલ દર્શાવ્યો છે. તેમનો ઉપયોગ આંકડાશાસ્ત્રમાં પ્રચલિત એવા કેટલાક સાંખ્યિકીય વિતરણોના અભ્યાસ માટે હવે કરવાનો છે. આ બધાં વિતરણોને બે મુખ્ય વિભાગો  સતત વિતરણો અને અસતત વિતરણોમાં વહેંચી શકાય. આ એક વિશદ, જટિલ છતાં રસપ્રદ અભ્યાસ છે અને તેની ઉપયોગિતાઓની ષ્ટિએ અત્યંત અગત્યનો પણ છે. પ્રત્યેક પ્રકારના વિતરણનું સ્વરૂપ, તેના ગુણધર્મો, તથા તેની ઉપયોગિતા  આ સૌ બાબતોનો અભ્યાસ વિતરણ સિદ્ધાન્તમાં કરવામાં આવે છે. વિતરણોના અભ્યાસ માટે કેટલાક મહત્વના પર્યાયો જેમ કે અપેક્ષિત કિંમતો, પ્રઘાત-સર્જક વિધેય (Moment Generating Function) અને પ્રઘાતો (moments), યોગઘાત-સર્જક વિધેય (Cumulant Generating Function) અને યોગઘાતો (cumulants), ક્રમિક પ્રઘાતો (ordered moments), ક્રમિક યોગઘાતો (ordered cumulants), અપૂર્ણ પ્રઘાતો (incomplete moments), નિરપેક્ષ પ્રઘાતો (absolute moments), વ્યસ્ત પ્રઘાતો (inverse moments), સંભાવના-સર્જક વિધેય, લાક્ષણિક વિધેય (characteristic function), ક્રમગુણિત સાંખ્યિકો (ordered statistics), વિષમતા અને વિષમતાંક (skewness and coefficient of skewness), ઘંટાકારતા અને ઘંટાકારતાંક (kurtosis and coefficient of kurtosis) વગેરેનો ઉપયોગ થાય છે, જેનો વિશદ અભ્યાસ ગાણિતિક આંકડાશાસ્ત્ર(Mathematical Statistics)માં કરવામાં આવે છે. આપણા પ્રસ્તુત અભ્યાસમાં પ્રત્યેક વિતરણ માટે આ અને આવા પ્રકારના વિવિધ પર્યાયોનો ઉપયોગ ગુણધર્મો તરીકે લઈને વિતરણ વિશેની સમજૂતી અને ઉપયોગ વિશે હવે શક્ય તેટલા સંક્ષેપમાં ચર્ચા અહીં પ્રસ્તુત છે :

8. પ્રચલિત અસતત સાંખ્યિકીય વિતરણો :

કેટલાંક પ્રચલિત અસતત સાંખ્યિકીય વિતરણોની સંક્ષેપમાં અહીં રજૂઆત કરી છે :

[1] (અસતત) સમધારણ વિતરણ (Discrete Uniform Distribution) :

યદૃચ્છ ચલ Xનું સંભાવના-વિતરણ સમધારણ-વિતરણ તરીકે ઓળખાય છે, જેમાં X તેના વિસ્તાર[1, N]માં નીચેનું સંભાવના ઘનત્વ-વિધેય ધરાવે છે :

અહીં N આ વિતરણનો પ્રાચલ છે અને તે તમામ ઘન પૂર્ણાંક સંખ્યાઓના ગણમાં આવેલો છે. આ વિતરણનું અન્ય નામ અસતત લંબચોરસીય વિતરણ (Discrete Rectangular Distribution) પણ છે.

જો X ∈ [0, N] હોય તો Xનું સં. ઘ. વિ. નીચે પ્રમાણે થશે :

અસતત સમધારણ-વિતરણ કોઈ એક પાસાને યદૃચ્છ રીતે ફેંકીએ અને તેના પર મળતી સંખ્યા માટેની સંભાવના શોધીએ તે ઘટના પરથી ઉદભવે છે.

[2] બર્નાઉલી–વિતરણ (Bernoulli Distribution) :

કોઈ એક યદૃચ્છ પ્રયોગનાં માત્ર બે જ પરિણામો હોય, જેને સફળતા અને નિષ્ફળતા કહી શકાય. યદૃચ્છ ચલ X એવી રીતે વ્યાખ્યાયિત કરીએ કે જો સફળતા મળે તો X = 1 અને નિષ્ફળતા મળે તો X = 0 થાય. સફળતાની સંભાવનાને p હોય તો નિષ્ફળતાની સંભાવના q = 1 − p થશે. યદૃચ્છ ચલ X માટેનું નીચેનું સં. ઘ. વિ. બર્નાઉલી-વિતરણ તરીકે ઓળખાય છે :

P(x) = p^x · (1 − p)^1−x જ્યાં x = 0, 1

         = 0                   અન્યથા

આ વિતરણનો પ્રાચલ p છે. (0 ≤ p ≤ 1)

ગુણધર્મો :      (1) E(X) = મધ્યક = p

                (2) V(X) = વિચરણ = p q

                (3) સંભાવના-સર્જક વિધેય = pt + q

                (4) પ્રઘાત-સર્જક વિધેય = q + pet

માત્ર બે જ કિંમતોને કારણે આ વિતરણ ઘણી વાર બિંદુ દ્વિપદી વિતરણ (Point Binomial Distribution) તરીકે ઓળખાય છે.

[3] દ્વિપદી વિતરણ (Binomial Distribution) :

એક યદૃચ્છ પ્રયોગનાં નિશ્ચિત n પુનરાવર્તનો કરવામાં આવે છે. પ્રત્યેક પ્રયત્નનાં બે પરિણામો છે – સફળતા અને નિષ્ફળતા. આ બધા પ્રયત્નો નિરપેક્ષ છે અને પ્રત્યેક પ્રયત્નમાં સફળતાની સંભાવના p પણ નિશ્ચિત કરેલી છે. આવા n પ્રયત્નોમાંથી કુલ x વખત સફળતા અને (n – x) વખત નિષ્ફળતા મળે તે માટેની સંભાવના કેટલી થશે ? જો આ સંભાવનાને P(x) વડે દર્શાવીએ તો

P(x) = nc_x · p^x · q^n−x       x = 0, 1, 2, ….. n

                                          0 < p < 1, p + q = 1

જે દ્વિપદી વિતરણ તરીકે ઓળખાય છે. અહીં n પ્રયત્નો જે નિરપેક્ષ છે તેમને બર્નાઉલીના પ્રયત્નો (Bernoullie trials) કહે છે. આ વિતરણનાં બે પ્રાચલો n અને p છે, જેમાં nની કિંમત નિયત કરેલી હોય છે.

ગુણધર્મો :      (1) મધ્યક = np

                (2) વિચરણ = npq

                (3) પ્રઘાત-સર્જક વિધેય = (q + pe^t)ⁿ

                (4) સંભાવના-સર્જક વિધેય = (q + pt)ⁿ

                (5) ત્રીજો અને ચોથો યોગઘાત અનુક્રમે

                   npq(q − p) અને npq(1 − 6pq) થાય છે.

(10) જો n → ∞, p → 0 કે જેથી np = λ એક સાન્ત સંખ્યા હોય તો દ્વિપદી વિતરણ પૉયસાં વિતરણ બને છે.

ઉપયોગો : (1) ગુણવત્તા નિયંત્રણમાં p અને np આલેખો દોરવા માટે વપરાય છે.

(2) સ્વીકૃતિ-નિદર્શન યોજનાઓમાં જથ્થાના નિયંત્રણ માટે વપરાય છે.

(3) વિશાળ નિદર્શ-પરીક્ષણમાં વપરાય છે.

(4) સમષ્ટિમાં એકમોનાં પ્રમાણનું આગણન કરવા માટે તેમજ તે માટેની વિશ્વસનીય સીમાઓ મેળવવા માટે વપરાય છે.

(5) BIPP દ્વારા મેળવેલા ડૉજ-રોમીગ કોષ્ટકો ગુણવત્તા-નિયંત્રણમાં વપરાય છે.

નોંધ : દ્વિપદી વિતરણનાં અન્ય વિસ્તૃત ક્ષેત્રોમાં તિર્યગ્ દ્વિપદી વિતરણ (Truncated Binomial Distribution), મિશ્ર દ્વિપદી વિતરણ વગેરેને ગણાવી શકાય.

[4] પૉયસાં–વિતરણ (Poisson Distribution) :

1837માં પૉયસાં નામે ગણિતશાસ્ત્રીએ આ વિતરણ આપ્યું હતું. યદૃચ્છ ચલ Xનું વિતરણ પૉયસાં-વિતરણ તરીકે ઓળખાય છે, જેમાં Xનું સંભાવના ઘનત્વ-વિધેય નીચે પ્રમાણે થશે :

આ વિતરણનો પ્રાચલ λ છે.

ગુણધર્મો : (1) સંભાવના-સર્જક વિધેય = e^-λ(1-t)

(2) મધ્યક = વિચરણ = λ                      t ≤ 1

(3) તમામ યોગઘાતો એકસરખા છે, જેની કિંમત λ થાય છે.

(4) વિષમતાંક

(5) ઘંટાકારતાંક માટે તે પ્રમાણ્ય વિતરણ બને છે.

(6) દ્વિપદી વિતરણના અનંતલક્ષી વિતરણ તરીકે પૉયસાં-વિતરણ મળે છે.

(7) જો X₁ અને X₂ બે નિરપેક્ષ યદૃચ્છ ચલો પૉયસાં-વિતરણ ધરાવે કે જેના પ્રચલો λ₁ અને λ₂ હોય તો (X₁ + X₂) આપેલા હોય ત્યારે ચલ X₁નું શરતી વિતરણ દ્વિપદી વિતરણ બને છે.

(8) પ્રઘાત સર્જક વિધેય

ઉપયોગો : (1) ગુણવત્તા-નિયંત્રણમાં C અને U ચાર્ટ દોરવા માટે

(2) સ્વીકૃતિ નિદર્શન યોજનાઓમાં ઉપયોગી છે.

(3) કોઈક વિરલ ઘટનાની સંભાવના અને તે પરથી પૂર્વાનુમાન કરવા માટે વપરાય છે.

દા.ત. (i) કોઈ વ્યક્તિનો જન્મદિવસ બેસતા વર્ષને દિવસે કે નાતાલના તહેવારમાં આવે તે ઘટના.

(ii) કોઈ વ્યક્તિ સો વર્ષ કે વધુ જીવે તે ઘટના.

(iii) છાપેલા પુસ્તકમાં ભૂલોના વિતરણ તરીકે વગેરે.

(4) હરોળની સમસ્યા(queuing theory)માં (સેવક) સેવા આપનાર તેમજ ગ્રાહકના વિતરણ તરીકે.

(5) રધરફર્ડ અને ગેઇગર જેવા વૈજ્ઞાનિકોએ કરેલા પ્રયોગોમાં કોઈ એક પદાર્થમાંથી છૂટા પડેલા ઘટકોના વિતરણ સ્વરૂપે વગેરે.

નોંધ : પૉયસાં-વિતરણના વિસ્તૃતીકરણ માટે તિર્યગ્ (truncated) પૉયસાં-વિતરણ, વ્યાપક (generalised) પૉયસાં-વિતરણ, મિશ્ર પૉયસાં-વિતરણ, સ્થાનાંતર થયેલ (displaced) પૉયસાં-વિતરણ વગેરેને ગણી શકાય.

[5] અતિગુણોત્તર વિતરણ (Hypergeometric Distribution) :

યદૃચ્છ ચલ Xનું નીચેનું સંભાવના ઘનત્વ-વિધેય અતિગુણોત્તર વિતરણ કહેવાય છે :

જ્યાં max (0, n − N + M) ≤ x ≤ min (M, n)

અહીં x પૂર્ણાંક કિંમતો ધારણ કરે છે અને આ વિતરણના પ્રાચલો N, M અને n છે.

Mની કિંમત Nથી વધુ ન હોય તેવી ધન પૂર્ણાંક કિંમત છે, Nની ધન પૂર્ણાંક કિંમતો છે અને nની પણ Nથી વધે નહિ તેવી ધનપૂર્ણાંક કિંમતો છે.

ગુણધર્મો : (1) જો n અને Mની કિંમતો અદલબદલ કરવામાં આવે તો વિતરણ બદલાતું નથી.

(2) ઉપર મળતું વિધેય P(x) એ અતિગુણોત્તર વિધેયના સ્વરૂપનું હોવાથી તેને અતિગુણોત્તર વિતરણ કહે છે.

(3) આ વિતરણનો ઉદભવ બે ગુણધર્મોવાળી સમષ્ટિમાંથી પુન:સ્થાપન કર્યા વગર લેવામાં આવતા નિદર્શનને આધારે થાય છે; દા.ત., એક પાત્રમાં M સફેદ અને N−M કાળા દડાઓ છે. આમાંથી પુન:સ્થાપન કર્યા વગર n દડાઓને પસંદ કરવામાં આવે છે. આવા નિદર્શમાં x સફેદ અને nx કાળા દડાઓ હોય તે માટેની સંભાવના થશે :

આ સ્વરૂપમાં આ વિતરણ માટે,

(6) જો  ની કિંમત ઘણી નાની હોય તો તેને અવગણતાં અતિગુણોત્તર વિતરણ, દ્વિપદી વિતરણને અનુસરે છે.

(7) જો ની કિંમત નાની હોય પરંતુ nની કિંમત ઘણી મોટી હોય તો આ વિતરણ પૉયસાં-વિતરણને અનુસરે છે.

ઉપયોગ : (1) ગુણવત્તા-નિયંત્રણમાં સ્વીકૃતિ નિદર્શન યોજનાઓ માટે વપરાય છે.

(2) તળાવમાં માછલીઓની સંખ્યાનું આગણન કરવા માટે વપરાય છે.

(3) ભાષાશાસ્ત્રની કેટલીક અભિવ્યક્તિઓ, જેવી કે બે ભાષાઓ વચ્ચેનો સંબંધ નિયત કરવા માટે આ વિતરણનો ઉપયોગ થાય છે, વગેરે.

નોંધ : આ વિતરણના વિસ્તૃતીકરણમાં ધન અતિગુણોત્તર વિતરણ, તિર્યગ્ અતિગુણોત્તર વિતરણ, ઋણ અતિગુણોત્તર વિતરણ, અકેન્દ્રીય અતિગુણોત્તર વિતરણ, વિસ્તૃત અતિગુણોત્તર વિતરણ વગેરેનો સમાવેશ થાય છે.

[6] ઋણ દ્વિપદી વિતરણ (Negative Binomial Distribution) :

યદૃચ્છ ચલ Xનું નીચેનું સંભાવના ઘનત્વ વિધેય પ્રાચલો K અને pવાળું ઋણ દ્વિપદી વિતરણ કહેવાય છે :

આ વિતરણ માટે એક સરળ સ્વરૂપ નીચે પ્રમાણે છે :

તેથી જ્યાં x = 0, 1, 2, ….

આ સ્વરૂપ (Q − P)^-kનું વિસ્તરણ છે, તેથી તેનું નામ ઋણ દ્વિપદી વિતરણ છે.

(5) જો K → ∞, તો વિતરણ પ્રમાણ્ય વિતરણને અનુસરે છે.

(6) જો K → ∞, P → 0, જેથી KP સાન્ત હોય તો તે પૉયસાં-વિતરણ બને છે.

(7) જો Kની કિંમતો પૂર્ણાંક હોય તો ક્યારેક આ વિતરણને પાસ્કલનું વિતરણ પણ કહે છે.

(8) જો K = 1 હોય તો તે ગુણોત્તર વિતરણ બને છે.

ઉપયોગો : (1) એક પાત્રમાં np સફેદ અને nz કાળા દડાઓ છે. પુન:સ્થાપન સાથે દડાઓ ખેંચવામાં આવે છે. K સફેદ દડાઓ મળે તે માટે બરોબર x + K પ્રયત્નો જરૂરી હોય તે માટેની સંભાવના શોધતાં આ વિતરણ મળે છે.

(2) બર્નાઉલીના પ્રયત્નો સતત ચાલુ રાખવા જોઈએ કે જ્યાં સુધી કુલ K સફળતા મળે. આ માટેનું આ વિતરણ છે. કોઈ દંપતી માટે છેલ્લું બાળક પુત્ર જ આવે (કે પુત્રી જ આવે) તે રીતે બાળક મેળવવાના પ્રયત્નો ચાલુ રાખવાની સંભાવના આ વિતરણનું સર્જન કરે છે.

(3) ગુણવત્તા-નિયંત્રણમાં સ્વીકૃતિ-નિદર્શનમાં વપરાય છે.

(4) સ્પર્શજન્ય (Contagious) વિતરણમાં ઉપયોગી છે.

નોંધ : આના વિસ્તૃતીકરણમાં તિર્યગ્ ઋણ દ્વિપદી વિતરણ, મિશ્ર વિતરણ, પૉલીયા-એગેનબર્ગર વિતરણ વગેરે ઉદભવે છે.

[7] ગુણોત્તર વિતરણ (Geometric Distribution) :

P(x) = q^x · p           x = 0, 1, 2, …….

0                               અન્યથા

જ્યાં 0 < p < 1, p + 2 = 1

યદૃચ્છ ચલનું આ સં. ઘ. વિ. પ્રાચલ p સાથેનું ગુણોત્તર વિતરણ કહેવાય છે.

આ વિતરણનો ઉદભવ બર્નાઉલીના પ્રયત્નોમાં સતત x વખત નિષ્ફળતા મળ્યા બાદ પ્રથમ વખત સફળતા મળે તે માટેની સંભાવના શોધતાં થાય છે.

ઉપયોગ : આ વિતરણ માટેના એક જાણીતા ગુણધર્મ ‘સ્મૃતિના અભાવ’(Lack of memory)ને કારણે તે વ્યવહારમાં ઉપયોગી બને છે.

[8] લઘુગણકીય શ્રેણી વિતરણ (Logarithmic Series Distribution) :

આ વિતરણ લઘુગણકીય શ્રેણી-વિતરણ કહેવાય છે.  − α log (1 − θ)ના વિસ્તરણ પરથી આ વિતરણની સંભાવનાઓ મેળવી શકાય છે, તેથી તેનું નામ આ પ્રમાણે છે.

જ્યાં β₁ વિષમતા અને β₂ ઘંટાકારતા છે.

ઉપયોગ : (1) પ્રાણીઓની જાતિના વર્ગીકરણ અને પૃથક્કરણના વિતરણ માટે વપરાય છે.

(2) વસ્તીના વધારા માટેની અસતત માર્કોવ પદ્ધતિના સ્વરૂપે મળતા ઋણ દ્વિપદી વિતરણના લક્ષ્યવર્તી વિતરણ તરીકે આ વિતરણ પ્રાપ્ત થાય છે.

(3) આર્થિક પૃથક્કરણમાં તે માટેનાં અનુવર્તી વિતરણોના અભ્યાસમાં વપરાય છે.

નોંધ : આ વિતરણના વિસ્તૃતીકરણમાં તિર્યગ્ વિતરણ, પ્રથમ પ્રકારનું સ્ટર્લિગ વિતરણ વગેરેને ગણાવી શકાય.

[9] બહુપદી વિતરણ (Multinomial Distribution) :

એક કરતાં વધુ ચલ ધરાવતાં વિતરણોમાંનું એક પ્રચલિત અસતત વિતરણ બહુપદી વિતરણ છે. ધારો કે એક પ્રયોગનાં K શક્ય પરિણામો O₁, O₂, ……. O_k છે અને તેમને માટેની સંભાવનાઓ અનુક્રમે p₁, p₂, …….. p_k છે, જ્યાં આવા પ્રયોગનાં N પુરાવર્તનો કરવામાં આવે છે, અને X_i પ્રયોગોની એવી સંખ્યા દર્શાવે છે કે જેમાં પરિણામ O_i પ્રાપ્ત થાય (i = 1, 2, …… K), જ્યાં છે. આ માટેની સંભાવનાનું સૂત્ર નીચે પ્રમાણે છે :

વિતરણનું આ સ્વરૂપ બહુપદી વિતરણ તરીકે ઓળખાય છે, જેનાં પ્રાચલો N, p₁, p₂, ……. p_k છે.

ગુણધર્મો : (1) ઉપરનું સં. ઘ. વિ. એ નીચેના પદ (t₁p₁ + t₂p₂ + ….. + t_Np_N)^Nના વિસ્તરણમાં નો સહગુણક દર્શાવે છે.

(2) પ્રઘાત-સર્જક વિધેય

(3) આ વિતરણ પરથી X_i (i = 1, 2, ….. K)નાં સીમાન્ત વિતરણ (Marginal Distribution)નું પ્રઘાત-સર્જક વિધેય થશે, જ્યાં q_i = 1 − p_i (i = 1, 2, …. K) જે દર્શાવે છે કે આ સીમાન્ત વિતરણ દ્વિપદી વિતરણ છે.

(9)  જે દર્શાવે છે કે X_j નિયત કરેલ હોય ત્યારે X_iનો X_j પરનો નિયત સંબંધ (regression relation) રેખીય સ્વરૂપનો છે.

ઉપયોગો : (1) જ્યાં કોઈ ઘટનાના અનેક (નિશ્ચિત) વિભાગો મળતા હોય તેવા પ્રયોગોના પુનરાવર્તન માટે આ વિતરણનો ઉપયોગ થાય છે.

(2) સૈદ્ધાન્તિક ભૌતિકશાસ્ત્રમાં ગતિશીલતાના સિદ્ધાન્તમાં પરમાણુઓની ગતિના સંદર્ભમાં વપરાતા વિતરણ તરીકે આનો ઉપયોગ કરાય છે.

(3) ઉષ્ણતાગતિશાસ્ત્ર(Thermodynamics)માં મૅક્સવેલ-બોલ્ટ્ઝમૅનના સાંખ્યિકીય વિતરણના સ્વરૂપે વપરાય છે.

(4) અનેક વિભાગો ધરાવતા કન્ટિજન્સી કોષ્ટકના પૃથક્કરણ તરીકે આ વિતરણનો ઉપયોગ થાય છે.

નોંધ : આ વિતરણના વિસ્તૃતીકરણમાં તિર્યગ્ બહુપદી વિતરણ, ઋણ બહુપદી વિતરણ, તિર્યગ્ ઋણ બહુપદી વિતરણ વગેરેનો સમાવેશ થાય છે.

[10] ઘાતશ્રેણી–વિતરણ (Powerseries Distribution) :

જો યદૃચ્છ ચલ Xનું સંભાવના ઘનત્વ વિધેય નીચે પ્રમાણે દર્શાવાય : જ્યાં a_x ધન વાસ્તવિક અચળાંકો છે, 0 < q < r (જ્યાં r એ f(q)ના અભિસાર(convergence)ની ત્રિજ્યા છે), સાન્ત કિંમત ધરાવતું બૈજિક વિધેય છે, તો અસતત યદૃચ્છ ચલ Xનું આ સં. ઘ. વિ. ઘાતશ્રેણી વિતરણ કહેવાય છે. આ વિતરણનો અનેક અસતત વિતરણોના વ્યાપક સ્વરૂપ તરીકે અભ્યાસ થાય છે, એટલે કે આ વિતરણના વિશિષ્ટ સ્વરૂપે θ અને f(θ) યોગ્ય રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવાથી દ્વિપદી, પૉયસાં, ઋણ દ્વિપદી, લઘુગણકીય શ્રેણી, સમધારણ, ગુણોત્તર વગેરે વિતરણો મેળવી શકાય છે. આમ ઘાતશ્રેણી વિતરણ તેના સૈદ્ધાન્તિક મહત્વ માટે પ્રચલિત છે.

[11] સંકીર્ણ વિતરણ (Contagious Distribution) :

જો યદૃચ્છ ચલ X અને N બે નિરપેક્ષ અસતત યદૃચ્છ ચલ- રાશિઓ હોય તો X = X₁ + X₂ + ….. + X_nના વિતરણને યદૃચ્છ ચલ Xનું સંકીર્ણ વિતરણ કહે છે.

જો Nનું સંભાવના-સર્જક વિધેય G₁(Z) હોય અને Xનું સં. સ. વિ. G₂(Z) હોય તો યદૃચ્છ ચલ Yનું સં. સ. વિ. G₃(Z) = G₁{G₂(Z)} થાય છે. સં. સ. વિ.એ વિધેયનું વિધેય થવાને કારણે તેવું સ્વરૂપ જટિલ હોય છે. તેના વિસ્તરણથી જે તે પ્રકારનાં સંકીર્ણ વિતરણો મેળવી શકાય છે. આ પ્રકારનાં વિતરણોમાં તેનાં મુખ્ય સ્વરૂપો નીચે પ્રમાણે છે :

(1) જો X પૉયસાં-ચલ અને N પણ પૉયસાં-ચલ હોય તો Yનું વિતરણ નીચેના પ્રકાર : A અથવા પૉયસાં પૉયસાં-વિતરણ તરીકે ઓળખાય છે.

(2) જો X પૉયસાં-ચલ હોય અને N દ્વિપદી ચલ હોય તો Yનું વિતરણ નીચેના પ્રકાર : B અથવા પૉયસાં દ્વિપદી વિતરણ તરીકે ઓળખાય છે.

(3) જો X પૉયસાં-ચલ હોય અને N ઋણ દ્વિપદી (પાસ્કલ) ચલ હોય તો Yનું વિતરણ નીચેના પ્રકાર : C અથવા પૉયસાં પાસ્કલ વિતરણ તરીકે ઓળખાય છે.

(4) જો X પૉયસાં-ચલ હોય અને N ઘાતશ્રેણી ચલ હોય તો Yનું વિતરણ પૉયસાં ઘાતશ્રેણી વિતરણ કહેવાય છે.

આવા બધા અસતત ચલનાં વિતરણોના ઘણા પ્રકાર છે. તેમાંનાં કેટલાંકનાં નામ આ પ્રમાણે છે : પોલીયા-એજેનબર્ગર વિતરણ, દ્વિપદી બીટા વિતરણ, વુડબરી વિતરણ, થૉમસ વિતરણ વગેરે.

પ્રત્યેક વિતરણ માટેના ગુણધર્મો તે વિતરણના જે તે સ્વરૂપને અનુલક્ષીને કરી શકાય છે.

આ પ્રકારનાં વિતરણોની ઉપયોગિતા ઘણાં ક્ષેત્રોમાં છે. જ્યારે જાતિઓનાં નવસર્જનમાં જૂથો સર્જાય છે ત્યારે છોડવાઓનાં વિતરણોના અભ્યાસ માટે નીમેન પ્રકારનાં વિતરણો વપરાય છે. જો કોઈ એક આપેલા વિસ્તારમાં જંતુનાશક દવાઓનો ઉપયોગ કર્યા પછી જુદા જુદા સમૂહોમાં રહેલા જંતુઓનાં ઈંડાંની સંખ્યા અને તે સમૂહોની સંખ્યા બંને યદૃચ્છ ચલ થશે. આથી ઈંડાંમાંથી નીકળતા કીડાઓની કુલ સંખ્યાનું વિતરણ સંકીર્ણ વિતરણ થાય છે.

9. પ્રચલિત સતત સાંખ્યિકીય વિતરણો :

હવે કેટલાંક પ્રચલિત સતત સાંખ્યિકીય વિતરણો વિશે સંક્ષેપમાં ચર્ચા પ્રસ્તુત છે :

[1] સતત સમધારણ વિતરણ (Continuous Uniform Distribution)

યદૃચ્છ ચલ Xનું વિતરણ સતત સમધારણ વિતરણ ત્યારે કહેવાય છે કે જ્યારે અંતરાલ(a, b)માં (− ∞ < a < b < ∞) ચલ Xનું સંભાવના ઘટત્વ-વિધેય નીચે પ્રમાણેનું થાય :

અહીં a અને b ચલના વિતરણના પ્રાચલો છે. આ વિતરણને સતત લંબચોરસીય (rectangular) વિતરણ પણ કહે છે. આ સં. ઘ. વિ.નો અર્થ એવો થાય છે કે આપેલા અંતરાલમાં યદૃચ્છ ચલ Xની ગમે તે કિંમત માટેની સંભાવના સમાન થાય છે.

(5) જો યદૃચ્છ ચલ Xનું સં. ઘ. વિ. નીચે પ્રમાણેનું = (a − h ≤ x ≤ a + h, h > 0) હોય તો જ્યારે હોય ત્યારે Z = −2 log Xનું વિતરણ ઘાતાંકીય વિતરણ (exponential distribution) બને છે. એટલે કે Zનું વિતરણ બે સ્વાતંત્ર્યની માત્રાવાળું x² વિતરણ થાય છે.

ઉપયોગો : (1) યદૃચ્છ સંખ્યાઓનાં કોષ્ટકો તૈયાર કરવા માટે આ વિતરણ વપરાય છે.

(2) સમૂહીકરણમાં કરવા પડતા સુધારા માટે વપરાય છે.

(3) આયુષ્ય પરીક્ષણ (life testing) માટેની કેટલીક પદ્ધતિઓમાં વપરાય છે.

(4) વાહનવ્યવહાર(traffic flow)ના પ્રશ્ર્નોમાં ઉપયોગી છે……. વગેરે.

નોંધ : આના વિસ્તૃતીકરણમાં ત્રિકોણીય વિતરણ, સ્મિડ્ટનું વિતરણ વગેરેનો સમાવેશ થાય છે.

[2] ઘાતાંકીય વિતરણ (Exponential Distribution)

θ પ્રચલવાળા યદૃચ્છ ચલ Xનું સં. ઘ. વિ. ઘાતાંકીય વિતરણ કહેવાય છે, જો તે નીચે પ્રમાણેના સ્વરૂપનું હોય.

f(x/θ) = θe^-θx 0 < x < ∞, θ > 0

        = 0    અન્યથા

ગુણધર્મો : (1) સંચયી વિતરણ વિધેય F(x) નીચે પ્રમાણે થશે : F(x) = 0 (x < 0)

ઉપયોગ : (1) આયુષ્ય-પરીક્ષણની સમસ્યાઓમાં વપરાય છે.

(2) ક્રમિક સાંખ્યિકોના અભ્યાસમાં ઉપયોગી છે.

(3) સ્મૃતિના અભાવ(lack of memory)ના ગુણધર્મ તરીકે જાણીતું હોવાથી તે ઉપયોગી બને છે.

(4) શ્રેણીબદ્ધ પદ્ધતિ (sequential procedure) માટેની કેટલીક સમસ્યાઓમાં વપરાય છે.

(5) માર્કોવિયન સિદ્ધાંતોમાં તેનો વ્યાપક ઉપયોગ થાય છે.

[3] ગૅમા અને કાઈ વર્ગ-વિતરણો (Gamma Distribution and Chi-Square Distribution)

બે પ્રાચલો λ અને p(λ > 0, p > 0)વાળું યદૃચ્છ ચલ X માટેનું ગૅમા વિતરણ નીચે પ્રમાણે છે :

(6) જો p → ∞, આ વિતરણ પ્રમાણ્ય વિતરણને અનુસરે છે.

(7) સંચયી વિતરણ-વિધેય F(x) અપૂર્ણ ગૅમા-વિધેયનો ગુણોત્તર કહેવાય છે, જે નીચે પ્રમાણે છે :

(8) આ વિતરણનો બહુલક થાય છે.

(9) જો p = 1 હોય તો આ વિતરણ ઘાતાંકીય વિતરણ બને છે.

(10) એક પ્રાચલ pવાળા ગૅમા-વિતરણનું સ્વરૂપ નીચે પ્રમાણે છે :

જેના માટે મધ્યક = વિચરણ = p

કાઈ વર્ગ વિતરણ (Chi-Square distribution) :

સતત યદૃચ્છ ચલ Xનું વિતરણ n સ્વાતંત્ર્યની માત્રાવાળું કાઈ વર્ગ વિતરણ કહેવાય છે, જો તેનું સંભાવના ઘનત્વ વિધેય નીચે પ્રમાણે હોય :

(ઘણી વાર xને ગ્રીક સંકેત ℵ² (કાઇ વર્ગ) વડે પણ દર્શાવાય છે.) આ સ્વરૂપ પરથી સ્પષ્ટ થશે કે આ વિતરણ ગૅમા-વિતરણનું એક વિશિષ્ટ સ્વરૂપ જ છે; કેમ કે,   પ્રચલિત ગૅમા-વિતરણ બને છે.

ગુણધર્મો : (1) જો n → ∞, ત્યારે આ વિતરણ પ્રમાણ્ય વિતરણને અનુસરે છે.

(2) મધ્યક = n

(3) વિચરણ = 2n

(4) જો X₁ અને X₂ બે નિરપેક્ષ કાઈ વર્ગ વિતરણો હોય કે જેમની સ્વાતંત્ર્યની માત્રાઓ અનુક્રમે n₁ અને n₂ થાય તો

(i) U₁ = X₁ + X₂નું વિતરણ (n1 + n2) સ્વાતંત્ર્યની માત્રાવાળું કાઈ વર્ગ વિતરણ થાય છે.

(5) જો યદૃચ્છ ચલ Xનું વિતરણ (0, 1) અંતરાલમાં સતત સમધારણ વિતરણ હોય તો Y = −2 loge Xનું વિતરણ 2 સ્વાતંત્ર્યની માત્રાવાળું કાઈ વર્ગ વિતરણ થાય છે.

(7) કાઈ વર્ગ વિતરણનાં કોષ્ટકો પરીક્ષણો માટે ઉપયોગી છે.

ઉપયોગો : (1) આયુષ્ય-પરીક્ષણની સમસ્યાઓમાં વપરાય છે.

(2) પરિકલ્પના-પરીક્ષણમાં પ્રમાણ્ય-વિતરણના વિચરણની સાર્થકતાની કસોટીઓમાં વપરાય છે.

(3) એરલાન્ગ (Erlang) પ્રકારની હરોળસંહતિના પૃથક્કરણમાં વપરાય છે.

(4) કન્ટિજન્સી-કોષ્ટકોમાં પરિકલ્પનાના પરીક્ષણ માટે વપરાય છે.

(5) વિતરણના અન્વાયોજનની યોગ્યતાના પરીક્ષણ માટે વપરાય છે.

(6) પ્રાયોગિક રચનાઓના પૃથક્કરણમાં વપરાય છે….. વગેરે.

નોંધ : આ બંને વિતરણોનાં વિસ્તૃતીકરણમાં તિર્યગ્ વિતરણો, વ્યાપક ગૅમા-વિતરણ, સંયુક્ત વિતરણો, મિશ્ર વિતરણો, અકેન્દ્રીય કાઈ વર્ગ-વિતરણ (non-central ℵ² વિતરણ) વગેરેનો સમાવેશ થાય છે.

[4] બીટા-વિતરણો (Beta Distributions) :

બે સ્વરૂપમાં બીટા-વિતરણો મળે છે જે નીચે મુજબ છે :

(1) પ્રથમ પ્રકારનું બીટા-વિતરણ

સતત યદૃચ્છ ચલ Xનું સં. ઘ. વિ. જો નીચેના સ્વરૂપનું હોય તો તેને પ્રાચલો p અને q વાળું પ્રથમ પ્રકારનું બીટા-વિતરણ કહે છે :

(2) બીજા પ્રકારનું બીટા-વિતરણ

પ્રાચલો p અને qવાળું બીજા પ્રકારનું બીટા-વિતરણ નીચે પ્રમાણે છે :

જો મૂકીએ તો બીજા પ્રકારનું વિતરણ પ્રથમ પ્રકારના વિતરણનું સ્વરૂપ લે છે.

ઉપયોગ : (1) માકૉર્વ પદ્ધતિઓના પૃથક્કરણમાં વપરાય છે.

(2) નિર્ણાયકતાના સિદ્ધાન્તમાં દ્વિપદીના પ્રાચલ પ્રમાણ pના પૂર્વજ્ઞાત (a priorie) વિતરણ તરીકે બીટા-વિતરણ વપરાય છે.

(3) અતિસંભાવના ગુણોત્તર (likelihood ratio) L

જો n નિરપેક્ષ સમાન વિતરીત ચલોને આધારિત હોય તો વિતરણ p = 0, q = 1 માટેનું બીટા-વિતરણ બને છે. આનો ઉપયોગ પરિકલ્પનાના પરીક્ષણમાં થાય છે.

નોંધ : બીટા-વિતરણોના વિસ્તૃતીકરણમાં કીપિંગનું બીટા પ્રાઇમ વિતરણ, વેબુલીકરણયુક્ત બીટા-વિતરણ, સંયુક્ત બીટા-વિતરણ, અકેન્દ્રીય બીટા-વિતરણ વગેરેનો સમાવેશ થાય છે.

[5] કોશી-વિતરણ (Cauchy Distribution) :

સતત યદૃચ્છ ચલ Xનું બે પ્રાચલો θ અને λવાળું કોશી-વિતરણ નીચેનું સ્વરૂપ ધરાવે છે :

અહીં q સ્થિતિમાનનો અને l માપનો ( ઝ્ < x < ઝ્), l > 0 પ્રાચલ છે.

જો θ = 0, λ = 1 હોય તો પ્રચલિત સ્વરૂપમાં આ વિતરણ નીચે પ્રમાણેનું થશે :

ગુણધર્મો : (1) બે પ્રાચલવાળા કોશી-વિતરણ માટે સંચયી વિતરણ-વિધેય

(2) આ વિતરણ x = θ આગળ સંમિત છે, તેથી તેનો મધ્યસ્થ x = θ આગળ છે.

(3) સંભાવના વક્ર માટેનાં અંતિમ બિંદુઓ (points of inflexion)  આગળ છે.

(4) વિતરણનો બહુલક x = θ આગળ છે.

(5) આ વિતરણનો વિશિષ્ટ ગુણધર્મ એ છે કે તેના કોઈ પ્રઘાતો અસ્તિત્વ ધરાવતા નથી, તેથી તેનો મધ્યક કે પ્રમાણિત વિચલન અસ્તિત્વ ધરાવતાં નથી.

(6) કોશી-વિતરણવાળા ચલનાં વ્યસ્ત ચલનું વિતરણ પણ કોશી છે.

(7) લાક્ષણિક વિધેય = E(e^itx) = e^itθ−λ|t|

(8) જો X₁, X₂, ….., X_n n નિરપેક્ષ કોશી ચલ હોય તો Xનું વિતરણ પણ સમાન કોશી-વિતરણ થાય છે.

ઉપયોગ : (1) બ્રાઉનિયન ગતિવિધિને લગતી સમસ્યાઓમાં વપરાય છે.

(2) ક્રમિકતા સાંખ્યના અભ્યાસમાં વપરાય છે.

(3) કોઈ એક નિશ્ચિત બિંદુથી નિશ્ચિત રેખા પર અથડાતા પદાર્થોના વિતરણ તરીકે આ વિતરણનો ઉપયોગ થાય છે.

નોંધ : વ્યાપક કોશી-વિતરણ, તિર્યગ્ કોશી-વિતરણો, અર્ધ કોશી-વિતરણ (Half Cauchy Distribution), વગેરે પ્રકારનાં વિતરણો આના વિસ્તૃતીકરણમાં આવે છે.

[6] પ્રમાણ્ય-વિતરણ (Normal Distribution)

આંકડાશાસ્ત્રનું એક પ્રસિદ્ધ વિતરણ પ્રમાણ્ય-વિતરણ છે. સતત યદૃચ્છ ચલ X ∈ R₁ માટે જો તેનું સં. ઘ. વિ. f(x) નીચે પ્રમાણે દર્શાવેલું હોય તો તે બે પ્રાચલો μ અને σ²વાળું પ્રમાણ્ય-વિતરણ કહેવાય છે, જેને N(μ, σ²) વડે પણ દર્શાવાય છે. આ વિતરણને ગોશિયન (Gaussian) વિતરણ પણ કહે છે.

ગુણધર્મો : (1) મધ્યક = મધ્યસ્થ = બહુલક = μ

(2) આ સંમિત વિતરણ છે. પ્રમાણ્ય વક્ર ઘંટાકારની આકૃતિ દર્શાવે છે.

(3) વિચરણ = σ, પ્ર. વિ. = σ

(4) જો  હોય તો Zનું વિતરણ પ્રમાણિત પ્રમાણ્ય-વિતરણ બને છે જે નીચે પ્રમાણે છે :

આ વિતરણને N(0, 1) સંકેત વડે દર્શાવાય છે.

(5) β₁ = 0, β₂ = 3

(6) વિષમતાંક અને ઘંટાકારતાંક બેઉ શૂન્ય થાય છે.

(8) તમામ એકી સંખ્યાના પ્રઘાતો શૂન્ય થાય છે.

(9) ત્રણ અને તેથી વધુ ઘાતવાળા તમામ યોગઘાતો શૂન્ય થાય છે.

(10) સંચયી વિતરણ-વિધેય જ્યાં tનું વિતરણ N (μ, σ²) છે.

                                 = Φ (x)

આમ P[a ≤ x ≤ b] = Φ (b) − Φ (a) થશે.

(11) જો Xi (i = 1, 2, … n) એ n નિરપેક્ષ N (μ, σ²) ચલ રાશિઓ હોય અને અતભિનત આગણક હોય તો નું વિતરણ (n − 1) માત્રાવાળું સ્ટુડન્ટ t વિતરણ કહેવાય છે.

(12) અંતિમ બિંદુ (point of inflexion) x = μ ± σ આગળ છે.

(13) સરેરાશ વિચલન

(14) p[μ − σ ≤ X ≤ μ + σ] = 0.67

    P[μ − 2σ ≤ X ≤ μ + 2σ] = 0.9545

    P[μ − 3σ ≤ X ≤ μ + 3σ] = 0.9973

(15) (i) (μ ± 1.96σ) સીમાઓ વચ્ચે 95 % કિંમતો આવૃત્ત છે.

     (ii) (μ ± 2.58σ) સીમાઓ વચ્ચે 99 % કિંમતો આવૃત્ત છે.

(16) જો X − N (μ, σ²) હોય તો મધ્યક  ~ N (m, s2/n) છે.

(17) જો X₁, X₂, …., X_n n યદૃચ્છ ચલોનું વિતરણ પ્રમાણ્ય હોય કે જેમાં Xi − N (μ, σ²) (i = 1, 2, …. n) અને આ બધા n ચલો નિરપેક્ષ હોય તો વિતરણ n સ્વાતંત્ર્યની માત્રાવાળું કાઈ વર્ગ-વિતરણ થાય છે. જો  મૂકીએ તો નું વિતરણ (n − 1) સ્વાતંત્ર્યની માત્રાવાળું કાઈ વર્ગ-વિતરણ થાય છે.

(18) આંકડાશાસ્ત્રમાં લગભગ તમામ વિતરણો લાંબા ગાળે પ્રમાણ્ય-વિતરણને અનુસરે છે.

(19) પ્રમાણ્ય-વિતરણનાં કોષ્ટકો પરીક્ષણો માટે ઉપયોગી છે.

ઉપયોગ : (1) ગુણવત્તા-નિયંત્રણમાં વપરાય છે.

(2) પરિકલ્પના-પરીક્ષણમાં વિશાળ નિદર્શનાં પરીક્ષણો માટે વપરાય છે.

(3) વિશ્વસનીય સીમાઓના અભ્યાસમાં ઉપયોગી છે.

(4) ક્ષતિ માટેના નિયમ (Law of error) તરીકે આ વિતરણ ઉપયોગી છે.

(5) પ્રમાણ્યતાની કસોટી તરીકે ઉપયોગી છે.

(6) તમામ પ્રકારનાં વિતરણોનું લગભગીકરણ પ્રમાણ્ય-વિતરણ પરથી થતું હોવાથી તેના ઉપયોગો સર્વવ્યાપી છે.

નોંધ : આના વિસ્તૃતીકરણમાં તિર્યગ્ વિતરણો, લઘુગણકીય વિતરણ, મિશ્ર વિતરણો, પિયર્સન સંહતિનાં વિતરણો, ક્રમિકતા-સાંખ્યોનો અભ્યાસ વગેરેનો સમાવેશ થઈ શકે છે. પ્રમાણ્ય-વિતરણની વિશિષ્ટતા તેમજ તેના અસંખ્ય ગુણધર્મોને કારણે તેનો વ્યવહારમાં અને સંશોધનમાં એટલો વ્યાપક ઉપયોગ થાય છે કે તે બધાંનો ઉલ્લેખ કરવો શક્ય નથી, તેથી માત્ર ઉપર દર્શાવેલ ક્ષેત્રો વિશે સંક્ષેપમાં જણાવેલ છે.

[7] લઘુગણકીય પ્રમાણ્ય-વિતરણ (Log normal Distribution)

જો સતત યદૃચ્છ ચલ X એવો હોય કે log Xનું વિતરણ મધ્યક μ અને વિચરણ σ²વાળું પ્રમાણ્ય-વિતરણ હોય તો Xના સંભાવના વિતરણને લઘુગણકીય પ્રમાણ્ય-વિતરણ કહે છે. આનું સં. ઘ. વિ. નીચે પ્રમાણે છે :

તેથી જો σ → 0 થાય તો તે પ્રમાણ્ય ચલને અનુસરે છે.

ઉપયોગ : (1) જેના માટે વિચલનાંકની કિંમત નાની હોય તેવા વિતરણ માટે પ્રમાણ્યને બદલે લઘુગણકીય વિતરણ ઉપયોગી બને છે.

(2) આવકના વિતરણ તરીકે વપરાય છે.

(3) બ્લડપ્રેશરની માહિતી માટેના વિતરણ તરીકે વપરાય છે.

(4) વજનની માહિતી માટે પ્રમાણ્યને બદલે આ વિતરણ વધુ ઉપયોગી છે.

(5) ઔદ્યોગિક વાતાવરણમાં રજકણોના એકત્રીકરણના વિતરણ તરીકે વપરાય છે વગેરે.

નોંધ : આ વિતરણના વિસ્તૃતીકરણમાં તિર્યગ્ વિતરણો, મિશ્ર વિતરણો, લઘુગણકીય ગ્રામ ચાર્લિયર વિતરણ વગેરેને ગણાવી શકાય.

[8] લાપ્લાસે-વિતરણ (દ્વિઘાતાંકીય વિતરણ) (Laplace Distribution or Double Exponential Distribution) :

જો યદૃચ્છ ચલ Xનું સં. ઘ. વિ. નીચે પ્રમાણેનું હોય તો તેને બે પ્રાચલો μ અને σવાળું લાપ્લાસ-વિતરણ કહે છે :

ગુણધર્મો : (1) આ વિતરણ x = m આગળ સંમિત છે.

(2) વિષમતાંક = 0, ઘંટાકારતાંક = 3

(3) બહુલક x = μ આગળ છે.

(4) સંચયી વિતરણ વિધેય

(5) નીચલા અને ઉપલા ચતુર્થકોની કિંમતો μ ± σ log² થાય છે.

(6) આ વિતરણનું વિશિષ્ટ સ્વરૂપ μ = 0, σ = 1 માટે નીચે પ્રમાણે છે :

આ સ્વરૂપ માટે નીચેના ગુણધર્મો છે :

કેન્દ્રીય પ્રઘાતો μ_r = 0 જો r એકી હોય તો.

અને μ_r = r ! જો r બેકી હોય તો.

તેથી rમો યોગઘાત K_r = 0 જો r એકી હોય તો.

                           = 2(r − 1) ! જો r બેકી હોય તો.

ઉપયોગ : (1) બેઇઝના સિદ્ધાંતમાં વપરાતા વિતરણ તરીકે.

(2) ક્રમિકતા સાંખ્યના અભ્યાસમાં વપરાય છે.

નોંધ : આ વિતરણના વિસ્તૃતીકરણમાં તિર્યગ્ વિતરણો, મિશ્ર વિતરણો, નિકોલ્સનનાં વિતરણો, અનંતસ્પર્શી લાપ્લાસ-વિતરણ, સંયુક્ત લાપ્લાસ-વિતરણ વગેરે ગણાવી શકાય.

[9] પૅરેટો-વિતરણ (Pareto Distribution)

સતત યદૃચ્છ ચલ Xનું વિતરણ પૅરેટો-વિતરણ કહેવાય છે, જેના પ્રાચલો α, β છે, જો તેનું સં. ઘ. વિ. નીચે પ્રમાણેનું હોય :

ઉપયોગ : (1) આ વિતરણ પરથી મળતો પૅરેટોવક્ર આવકના વક્ર તરીકે આર્થિક સંશોધનમાં મહત્વનું સ્થાન ધરાવે છે.

(2) ઝીફના વિતરણના લગભગીકરણ તરીકે આ વિતરણ તેના ઉપયોગ માટે પ્રચલિત છે.

નોંધ : આના વિસ્તૃતીકરણમાં તિર્યગ્ વિતરણો, ચેમ્પરનાઉન વિતરણ, ક્રમિકતા-સાંખ્યોનાં વિતરણો, મિશ્ર વિતરણો વગેરે ગણાવી શકાય.

[10] વેબુલ-વિતરણ (Weibull Distribtuion)

પ્રાચલો μ, α અને β માટે જો ચલ નું વિતરણ ઘાતાંકીય વિતરણ થતું હોય તો Xના વિતરણને વેબુલ-વિતરણ કહે છે.

આ વિતરણ માટેનું સં. ઘ. વિ. નીચે પ્રમાણે છે :

ગુણધર્મો : (1) આ વિતરણ માટે સંચયી વિતરણ વિધેય

(2) β > 1 માટે જ્યારે x → 0 હોય ત્યારે સં. ઘ. વિ. શૂન્યને અનુલક્ષે છે, તેથી આ વિતરણ માટે બહુલક = x = α[(β − 1)/β]^1/β + μ આગળ થશે.

(3) જો μ = 0 અને α = 1 હોય તો આ વિતરણનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ નીચે પ્રમાણે છે :

f(x) = βx^β−1 exp(−x^β) x > 0, β > 0

ઉપયોગ : (1) આયુષ્ય-પરીક્ષણમાં વપરાય છે.

(2) વિશ્વસનીયતા(reliability)ના માપ માટે વપરાય છે.

(3) ક્વૉન્ટમ સિદ્ધાન્તમાં માહિતીના પ્રતિભાવના પૃથક્કરણમાં ક્ષમતા-વિતરણ તરીકે વપરાય છે.

[11] લૉજિસ્ટિક વિતરણ (Logistic Distribution)

જો સતત યદૃચ્છ ચલ X માટેનું સંચયી વિતરણ-વિધેય નીચે પ્રમાણેનું હોય :

તો ચલ Xનું સં. ઘ. વિ. નીચે પ્રમાણે થશે :

આ વિતરણ લૉજિસ્ટિક વિતરણ છે.

ગુણધર્મો : (1) મધ્યક = μ

(3) આ વિતરણ xની નાની કિંમત માટે પૅરેટો-વિતરણને અનુસરે છે.

(4) લૉજિસ્ટિક વક્ર તરીકે આ વિતરણનો વક્ર પ્રચલિત છે.

ઉપયોગ : જો ચલ Xને સમય t અનુસાર દર્શાવવામાં આવે તો લૉજિસ્ટિક વક્ર વસ્તીવિકાસ માટેની સમસ્યાઓ માટે ઉપયોગી બને છે. તેના આધારે વસ્તીના પ્રક્ષેપો અને અંદાજો વગેરે મળી શકે છે.

નોંધ : આના વિસ્તૃતીકરણમાં તિર્યગ્ વિતરણો, મિશ્ર વિતરણો, વ્યાપક વિતરણો વગેરે આવે છે.

[12] અંતિમ મૂલ્ય વિતરણો (Extreme Value Distributions)

નીચેની ત્રણ પ્રકારની સંહતિ અંતિમ મૂલ્ય વિતરણોની સંહતિ તરીકે ઓળખાય છે, જેમને તેનાં સંચયી વિતરણ-વિધેય દ્વારા દર્શાવવામાં આવ્યા છે :

ઉપરની સંહતિઓ માટે યદૃચ્છ ચલ Y = Xનાં વિતરણોને અંતિમ મૂલ્ય વિતરણો કહે છે.

અહીં ત્રીજા પ્રકારની સંહતિ માટે Y = Xનું વિતરણ વેબુલ પ્રકારનું થાય છે, જ્યારે પ્રથમ અને બીજા પ્રકારની સંહતિઓ માટે Y = Xનું વિતરણ વેબુલ-વિતરણની નજીકનું વિતરણ થાય છે. આ વિતરણોનાં સ્વરૂપો મેળવીને તેમના ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કરી શકાય છે. આના વિસ્તૃતીકરણમાં વ્યાપક વિતરણો, તિર્યગ્ વિતરણો અને મિશ્ર વિતરણો ઉદભવે છે.

[13] પ્રતીપ ગોશી(અથવા વાલ્ડ)નું વિતરણ (Inverse Gaussian or Wald Distribution)

યદૃચ્છ ચલ Xનું નીચેનું વિતરણ વાલ્ડના વિતરણ તરીકે ઓળખાય છે :

ગુણધર્મો : (1) યોગઘાત સર્જક વિધેયના વિસ્તરણ પરથી મધ્યક = μ, વિચરણ = μ³/λ, μ₃ = 3μ⁵/λ², μ₄ = 15μ⁷/λ² વગેરે.

(2) લાંબે ગાળે તે પ્રમાણ્ય વિતરણને અનુસરે છે.

ઉપયોગ : બ્રાઉનિયન ગતિની સમજૂતીમાં વપરાય છે.

[14] નિદર્શન-વિતરણો (Sampling Distribution)

સમષ્ટિમાંથી લીધેલા નિદર્શના પ્રાપ્તાંકોથી બનતા વિધેય માટેનાં વિતરણો નિદર્શન-વિતરણો બને છે; જેમ કે, નિદર્શ-મધ્યક, નિદર્શ-પ્ર. વિ., નિદર્શ-વિચલનાંક વગેરેનાં વિતરણો. આવા નિદર્શો પ્રમાણ્ય સમષ્ટિમાંથી લીધા હોય ત્યારે તે વિતરણની અગત્યને કારણે આવાં નિદર્શન-વિતરણો પણ ઉપયોગિતાની ષ્ટિએ મહત્વનાં બને છે. આ બધાં વિતરણોનો વિસ્તૃત અભ્યાસ અહીં કરવો શક્ય ન હોવાથી કેટલાંક ખૂબ જ પ્રચલિત નિદર્શન-વિતરણો વિશે અહીં રજૂઆત કરી છે. અગાઉ આવું એક કાઈ વર્ગ-વિતરણ આપવામાં આવેલું, જેનો ગૅમા વિતરણની સાથે અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો હતો. અહીં બીજાં ત્રણ વિતરણો t વિતરણ, F વિતરણ અને Z વિતરણ વિશે સંક્ષેપમાં રજૂઆત કરી છે :

(14.1)  સ્ટુડન્ટનું t વિતરણ (Student’s t distribution)

પ્રમાણ્ય ચલ વિશે સમજતી વખતે તેના એક ગુણધર્મ તરીકે સાંખ્ય t ની વ્યાખ્યા આપી હતી. 1908માં ગૉસેટે સ્ટુડન્ટના ઉપનામથી આ વિતરણ મેળવ્યું તે પરથી તેનું નામ સ્ટુડન્ટનું t વિતરણ કહેવાય છે. u સ્વાતંત્ર્યની માત્રાવાળા સાંખ્ય tનું સં. ઘ. વિ. નીચે પ્રમાણે થશે :

ગુણધર્મો : (1) t = 0 આગળ આ સંમિત વિતરણ છે; તેથી મધ્યક = મધ્યસ્થ = બહુલક થશે.

(2) આ વિતરણના સંચયી વિતરણ-વિધેયને અતિગુણોત્તર વિધેયના સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય છે.

(3) જ્યારે υ → ∞ ત્યારે તે પ્રમાણ્ય વિતરણને અનુસરે છે.

(4) પિયર્સન સંહતિમાં પ્રકાર(7)નું આ એક વિશિષ્ટ સ્વરૂપ છે.

(8) t વિતરણનાં કોષ્ટકો પરીક્ષણ માટે ઉપયોગી છે.

ઉપયોગ : (1) પરિકલ્પના-પરીક્ષણમાં લઘુનિદર્શ-પરીક્ષણોમાં વપરાય છે.

(2) સમષ્ટિના મધ્યક માટેની વિશ્વસનીય સીમાઓ લઘુનિદર્શને અનુલક્ષીને મેળવવા માટે વપરાય છે.

(3) સહસંબંધાંકની સાર્થકતાના પરીક્ષણમાં વપરાય છે.

(4) બહુચલ સુરેખ પરિરૂપમાં નિયતસંબંધાંકો અને સહસંબંધાંકોના પરીક્ષણમાં વપરાય છે.

(5) પ્રયોગની રચનામાં વપરાતી કસોટીઓ માટે ઉપયોગી છે.

(6) આંશિક સહસંબંધાંકોની સાર્થકતાનાં પરીક્ષણોમાં વપરાય છે.

નોંધ : આના વિસ્તૃતીકરણમાં અકેન્દ્રીય t વિતરણ, તિર્યગ્ વિતરણો, કૃત્રિમ t વિતરણ (pseudo t distribution), મિશ્ર વિતરણો વગેરેનો સમાવેશ થાય છે.

(14.2) F વિતરણ (F distribution)

જો બે નિરપેક્ષ ચલો સ્વાતંત્ર્યની માત્રા ધરાવતા હોય તો નું વિતરણ υ₁ અને υ₂ સ્વાતંત્ર્યની માત્રાવાળું F વિતરણ છે. તેનું સં. ઘ. વિ. નીચે પ્રમાણે મળશે :

  જેનું વિતરણ બીજા પ્રકારનું બીટા-વિતરણ છે, જેનાં પ્રાચલો

અહીં સાંખ્ય tનો વર્ગ કરવાથી સાંખ્ય F બને છે.

(4) Fυ₁ , Fυ₂ = Fυ₂ , υ₁ , જે દર્શાવે છે કે υ₁ અને υ₂ અદલાબદલી કરવાથી Fનું વિતરણ બદલાતું નથી.

(5)  જે F અને કાઈ-વર્ગ વિતરણો વચ્ચેનો સંબંધ દર્શાવે છે.

(6) લાંબે ગાળે F વિતરણ પ્રમાણ્ય વિતરણને અનુસરે છે.

(7) આ વિષમ વિતરણ છે.

(8) F વિતરણનાં કોષ્ટકો પરીક્ષણો માટે વપરાય છે.

ઉપયોગ : (1) પરિકલ્પના-પરીક્ષણમાં ઉપયોગી છે.

(2) બહુચલીય નિર્ણાયકતાંકની સાર્થકતાની કસોટી માટે વપરાય છે.

(3) વિચરણના પૃથક્કરણ અને સહવિચરણના પૃથક્કરણમાં ઉપયોગી છે.

(4) પ્રયોગની રચનામાં રજૂ થતાં પરિરૂપોની યથાર્થતાની કસોટીઓ માટે વપરાય છે.

નોંધ : આના વિસ્તૃતીકરણમાં તિર્યગ્ વિતરણો, અકેન્દ્રીય F વિતરણ વગેરેનો સમાવેશ થાય છે.

(14.3) Z વિતરણ (Z distribution)

F = e^2z વડે વ્યાખ્યાયિત વિતરણ z વિતરણ કહેવાય છે, જ્યાં Z ∈ R¹ છે. F ચલના સં. ઘ. વિ.માં આ કિંમત મૂકવાથી Zનું વિતરણ મળે છે. તે જ પ્રમાણે તેના ગુણધર્મો પણ મેળવી શકાય છે.

આ વિતરણના ઉપયોગોમાંના કેટલાક F વિતરણ સાથે સંકલિત છે. ફિશરના Z રૂપાંતર (Fisher’s Z transformation) દ્વારા સહસંબંધાંકની યથાર્થતાનું પરીક્ષણ થઈ શકે છે. તે જ પ્રમાણે સમષ્ટિ માટેના સહસંબંધાંક માટેની વિશ્વસનીય સીમાઓ પણ મેળવી શકાય છે. આના વિસ્તૃતીકરણમાં પણ તિર્યગ્, મિશ્ર વગેરે વિતરણો આવે છે.

[15] ક્રમિક સાંખ્યોનાં વિતરણો (Distributions of Ordered Statistics)

યદૃચ્છ ચલ Xનાં n પ્રાપ્તાંકો X₁, X₂, …. X_n છે. આ પ્રાપ્તાંકોને જો ચડતા (કે ઊતરતા) ક્રમમાં ગોઠવવામાં આવે અને આ પ્રમાણે અપાતો પ્રાપ્તાંકોને નવા ક્રમ X₍₁₎, X₍₂₎, ……. X_(n) વડે દર્શાવાય કે જ્યાં − ∞ < X₍₁₎ ≤ X₍₂₎ ≤ X₍₃₎ ≤ …… ≤  X_(i) ≤ …… ≤ X_(j) ≤ ….. ≤ X_(n) < ∞ તો આ પ્રમાણેની સંખ્યાઓ (પ્રાપ્તાંકો) X₍₁₎, X₍₂₎, …… X_(n) ક્રમિક સાંખ્યો કહેવાય. યદૃચ્છ ચલ Xના વિતરણને અનુસરીને આવા ક્રમિક સાંખ્યોનાં વિતરણો મેળવી શકાય છે. અહીં X(1) = Xmin = ન્યૂનતમ પ્રાપ્તાંક

X_(n) = X_max = મહત્તમ પ્રાપ્તાંક

X_(n) −  X₍₁₎ = R = વિસ્તાર વગેરે થશે.

આ અંગેનાં કેટલાંક વિતરણો નીચે પ્રમાણેનાં છે :

(15.1) X₍₁₎નું વિતરણ (ન્યૂનતમ પ્રાપ્તાંકનું વિતરણ)

યદૃચ્છ ચલ Xનું સંભાવના વિતરણ P(x) છે, તથા સંચયી વિતરણ વિધેય F(x) છે. જો તમામ X₁, X₂, ….. X_nનાં વિતરણ સમાન છે તથા આ બધાં નિરપેક્ષ છે, તે ધારણા પ્રમાણે X₍₁₎નું વિતરણ આ પ્રમાણે થશે :

f(x₍₁₎) = n[F(x₍₁₎)]^n-1 · P(x₍₁₎) x₍₁₎ ∈ R¹

(15.2) X_(n)નું વિતરણ (મહત્તમ પ્રાપ્તાંકનું વિતરણ)

f(x₍₁₎) = n[1 − F(x₍₁₎)]^n-1 · P(x₍₁₎) x₍₁₎ ∈ R¹

(15.3) X₍₁₎, X₍₂₎, …… X_(n)નું સંયુક્ત વિતરણ તમામ ક્રમિક-સાંખ્યો X₍₁₎, X₍₂₎, ….. X_(n)નું સંયુક્ત વિતરણ નીચે પ્રમાણે થશે :

જ્યાં P(x_(i)) એ x_(i)નું સંભાવના વિતરણ છે.

(15.4) X_(r) અને X_(s)નું સંયુક્ત વિતરણ

r < s માટે સાંખ્યિકો X_(r) અને X_(s)નું સંયુક્ત વિતરણ નીચે પ્રમાણે છે :

(15.5) X₍₁₎અને X_(n)નું સંયુક્ત વિતરણ

ઉપરના (15.4) પરિણામમાં r = 1 અને s = n મૂકતાં લઘુતમ પ્રાપ્તાંક X₍₁₎ અને મહત્તમ પ્રાપ્તાંક X_(n)નું સંયુક્ત વિતરણ નીચે પ્રમાણે થશે :

(15.6) X_(r) નું વિતરણ

rમા ક્રમિક સાંખ્ય X_(r) નું સંભાવના-વિતરણ નીચે પ્રમાણે છે :

(15.7) વિસ્તાર R = X_(n) − X₍₁₎ માટેનું વિતરણ

X₍₁₎ અને X_(n)ના સંયુક્ત વિતરણ ઉપરથી નીચે પ્રમાણે ચલોની ફેરબદલી કરી શકાય :

આ એક જટિલ પ્રકારનું સંકલન છે, જેના ઉકેલનો આધાર F(U), F(U + R), f(U), તથા f(R + U)નાં સ્વરૂપ પર છે. સંકલન કર્યા પછી વિસ્તાર Rનું સં. ઘ. વિ. મળે છે, જેનો ઉપયોગ કરીને વિસ્તાર R માટેનો મધ્યક = E(R) અને વિચરણ = V(R) મળી શકે છે. આ પરિણામો ગુણવત્તા-નિયંત્રણ માટે ઘણાં ઉપયોગી છે.

આ જ પ્રમાણે યોગ્ય ફેરબદલી કરીને મધ્યસ્થ, ચતુર્થકો, દશાંશકો, શતાંશકો વગેરેનાં સંભાવના-વિતરણો મેળવી શકાય છે. તેમનાં સ્વરૂપોને આધારે તેમના ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કરી શકાય. અહીં એટલું નોંધીશું કે યદૃચ્છ ચલ Xનું સં. ઘ. વિ. જે પ્રકારનું હોય તે પ્રમાણેના અનુવર્તી ક્રમિક સાંખ્યોનાં વિતરણો મેળવી શકાય છે. વળી જો યદૃચ્છ ચલ X અસતત ચલ હોય તો તેના ક્રમિક સાંખ્યોનાં વિતરણોનો અભ્યાસ થોડોક જટિલ પ્રકારનો બને છે.

[16] બહુચલીય વિતરણો (Multivariate Distributions)

એક કરતાં વધુ ચલરાશિઓ માટેનાં સંયુક્ત વિતરણો, સીમાન્ત વિતરણો (marginal distributions), શરતીય વિતરણો (conditional distributions) વગેરેનો અભ્યાસ બહુચલીય વિતરણોનો અભ્યાસ બને છે. દા.ત., બે પ્રમાણ્ય ચલો માટેનું સંયુક્ત વિતરણ દ્વિચલીય પ્રમાણ્ય વિતરણ (bivariate normal distribution) બને છે, તે જ પ્રમાણે ત્રિચલીય પ્રમાણ્ય-વિતરણ વગેરે માટે સમજી શકાય.

બેથી વધુ ચલો ધરાવતાં વિતરણોનાં કેટલાંક નામો આ પ્રમાણે છે : બહુચલીય પ્રમાણ્ય-વિતરણ (multivariate normal distribution), વિશાર્ટ-વિતરણ (Wishart distribution), હોટેલિંગ T² વિતરણ (Hotelling’s T² distribution), મહાલાનોબિસ D²નું વિતરણ (Mahalanobis D² distribution), બહુચલીય ગૅમા અને બીટા-વિતરણો, બહુચલીય નિર્ણાયકતા અંકનું વિતરણ (multiple coefficient of determination distribution), ગમ્બેલનાં ઘાતાંકીય વિતરણો (Gumbel’s exponential distributions), બહુચલીય બર-વિતરણ (Multivariate Burr distributions), બહુચલીય લૉજિસ્ટિક વિતરણ વગેરે…. વગેરે. આતમામ વિતરણોનો અભ્યાસ જટિલ છે અને ગાણિતિક તેમજ આંકડાશાસ્ત્રીય પદ્ધતિઓનો વિસ્તૃત અભ્યાસ માગી લે છે.

[17] પ્રકીર્ણ

ઉપર મુજબ મૂળ ખ્યાલોની રજૂઆતથી શરૂ કરીને ક્રમશ: વિવિધ પ્રકારનાં વિતરણો વિશે સંક્ષેપમાં અહીં રજૂઆત કરી છે. અસતત અને સતત ચલો માટેનાં કેટલાંક વિતરણોનાં નામ માત્ર અહીં નિર્દેશ્યાં છે : લેટાઇસ વિતરણો (Lattice distributions), અતિ પૉયસાં-વિતરણો (Hyper Poisson distributions), પિયર્સન સંહતિનાં વિતરણો, બેસેલ-વિધેયનાં વિતરણો (Bessel function distributions), વર્ગાત્મક સ્વરૂપ માટેનાં વિતરણો (distributions of quadratic forms), સહસંબંધાંકોનાં વિતરણો, નિયત સંબંધાંકોનાં વિતરણો, કૉલ્મોગૉરૉવ-સ્મિનૉવનાં વિતરણો, ઝીટા-વિતરણ, યુક્ત વિતરણ, રેલે-વિતરણ, હરોળની સમસ્યા સાથે સંકળાયેલાં વિતરણો, સંયુક્ત વિતરણો (compound distributions), અંતર માટેનાં વિતરણો (distance distributions), ચક્રીય પ્રમાણ્ય વિતરણ (circular normal distribution), પ્લાન્ક-વિતરણો (plank distributions), મિલ્સનું વિતરણ (Mills distribution) વગેરે….. વગેરે.

પ્રત્યેકનું સ્વરૂપ સમજ્યા પછી તેના ગુણધર્મો વિશે અભ્યાસ કરી શકાય. ક્યારેક વિતરણનું સ્પષ્ટ સ્વરૂપ મળતું નથી તો તેના સંચયી વિતરણ-વિધેયને આધારે કે સંભાવના-સર્જક વિધેયને આધારે કે અન્ય પદ્ધતિઓ વડે તેનો અભ્યાસ કરી શકાય. વ્યવહારમાં તેના ઉપયોગ વિશેની ચર્ચા કરી શકાય. આવો ઉપયોગ ત્યારે જ શક્ય બને કે જ્યારે વિતરણના પ્રાચલોની કિંમત જાણતા હોઈએ. તે માટે આંકડાશાસ્ત્રીય અનુમાનની પદ્ધતિઓ(statistical methods of estimation)નો અભ્યાસ કરવો પડે. પ્રાચલોનાં આગણકો મળે તે ઉપરથી યોગ્ય ધારણાઓ હેઠળ પરિકલ્પનાના પરીક્ષણ વિશે જે તે પ્રકારની પદ્ધતિઓ વાપરીને રચના કરી શકાય. પ્રાચલીય તારતમ્ય (parametric inference) હોય કે અપ્રાચલીય તારતમ્ય (nonparametric inference) હોય, ગમે તે અભ્યાસ વિસ્તૃત અને રસપ્રદ બને છે.

ભરત જાની, યશવંત શાહ