લૅટિસ : લૅટિસ એટલે અમુક નિશ્ચિત ગુણધર્મોવાળા આંશિક ક્રમસંબંધથી સંપન્ન ગણ. જેમ લૅટિસને ક્રમસંપન્ન માળખા તરીકે જોઈ શકાય તેમ તેને દ્વિક્રિયાસંપન્ન એટલે કે બૈજિક માળખા તરીકે પણ જોઈ શકાય. કોઈ ગણ S પર આંશિક ક્રમ ‘≤’ એટલે નીચેના ગુણધર્મો ધરાવતો દ્વિસંબંધ. Sમાંના તમામ સભ્યો x, y, z માટે
(1) x ≤ x
(2) જો x ≤ y અને y ≤ x તો x = y
(3) જો x ≤ y અને y ≤ z તો x ≤ z.
અહીં ખાસ નોંધવાનું એ છે કે x ≤ y અને y ≤ xમાંથી એક તો સાચું હોવું જ જોઈએ એ જરૂરી નથી (માટે જ આ સંબંધને ‘આંશિક’ ક્રમસંબંધ કહ્યો છે). એ પણ નોંધવાનું છે કે અહીં ‘≤’નો સામાન્ય અર્થ (ના કરતાં ઓછા કે સરખા) લેવાનો નથી. જુદા જુદા સંદર્ભમાં તેનો અર્થ જુદો જુદો હોઈ શકે.
ધારો કે N પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગણ છે. તેમાં ≤ની વ્યાખ્યા આપણે એવી આપી શકીએ કે ‘જો a, bનો અવયવ હોય તો a ≤ b’. આ વ્યાખ્યા પ્રમાણે Z ≤ 4 થાય, પણ 2 ≤ 3 ન થાય તથા 3 ≤ 2 પણ ન થાય.
હવે ધારો કે કોઈ ગણ Sને અનુલક્ષી ઉપર પ્રમાણે આંશિક ક્રમસંબંધ ≤ વ્યાખ્યાયિત કરેલો છે. જો Sમાંના ઘટકોની પ્રત્યેક જોડ (x, y) માટે x અને y બંને કરતાં ‘મોટા’ હોય તેવા તમામ ઘટકોમાં હમેશાં એક નાનામાં નાનો હોય (અને તેને x ∨ yથી દર્શાવાય) તેવો તથા x અને y બંને કરતાં નાના હોય તેવા બધા ઘટકોમાં મોટામાં મોટો હોય તેવો ઘટક હમેશાં મળે જ (અને તેને x ∧ yથી દર્શાવાય) તો આવા ગણ Sને લૅટિસ કહેવાય.
ગણ N પરના ઉપર વર્ણવેલા આંશિક ક્રમસંબંધ ≤ માટે જોઈ શકાશે કે a ∨ b = a અને bનો લઘુતમ સામાન્ય અવયવ તથા a ∧ b = a અને bનો ગુરુતમ સામાન્ય અવયવ છે. તેથી N એક લૅટિસ છે.
વાસ્તવિક સંખ્યા ગણ સામાન્ય ક્રમ ≤ માટે લૅટિસ છે તથા x ∨ y = x અને yમાંથી જે મોટો હોય તે, તેમજ x ∧ y = x અને yમાંથી જે નાનો હોય તે.
કોઈ પણ ગણ Sનો ઘાતગણ S´ લઈએ તો અંતર્વેશન (A ⊂ B) એ આંશિક ક્રમસંબંધ થશે તથા A ∨ B = A ∪ B અને A ∧ B = A ∩ B. આમ S´ પણ લૅટિસ છે.
ઉપર્યુક્ત લૅટિસ S´માં એક વિશેષતા એવી છે કે તેમાં બે ખાસ ઘટકો S તથા Φ એવા છે કે પ્રત્યેક A માટે
(1) A ∨ S = S, A ∧ S = A
(2) A ∧ Φ = Φ, A ∨ Φ = A
(3) S´માં એવો B મળે જ કે જેથી
A ∧ B = S તથા A ∧ B = Φ
આ વિશેષતાવાળી લૅટિસને બૂલીય બીજગણિત કહે છે. આથી કોઈ પણ ગણનો ઘાતગણ બૂલીય બીજગણિત રચે છે, પરંતુ ઉપરની લૅટિસ N બૂલીય બીજગણિત નથી.
જો કોઈ લૅટિસમાંનો ક્રમસંબંધ પૂર્ણ ક્રમસંબંધ હોય, એટલે કે બધા જ ઘટકો x, y માટે x ≤ y કે y ≤ x હોય જ તો તેવી લૅટિસને સંપૂર્ણ લૅટિસ કહે છે. વાસ્તવિક સંખ્યાગણ IR સામાન્ય ક્રમસંબંધ ≤ માટે સંપૂર્ણ લૅટિસ છે.
જો કોઈ લૅટિસમાં નીચેના બંને વિભાજનના નિયમોનું પાલન થતું હોય તો તેને વિભાજનસંપન્ન લૅટિસ કહેવાય.
x ∧ (y ∨ z) = (x ∧ y) ∨ (x∧ z)
x ∨ (y∧ z) = (x ∨ y) ∧ (x ∨ z)
ઉપરની લૅટિસ S´ તથા N વિભાજનસંપન્ન છે, પણ IR વિભાજનસંપન્ન નથી.
જે લૅટિસમાં નીચેેનો ગુણધર્મ હોય-જો x ≤ z તો x ∨ (y ∧ z) = (x ∨ y)∧ z તો તેને મૉડ્યૂલર લૅટિસ કહે છે; દરેક વિભાજન-સંપન્ન લૅટિસ મૉડ્યૂલર હોય છે. વાસ્તવિક લૅટિસ IR મૉડ્યૂલર છે, પણ વિભાજનસંપન્ન નથી.
હવે લૅટિસને એક બૈજિક માળખા તરીકે શી રીતે લઈ શકાય તે બતાવાયું છે. લૅટિસમાંના ક્રમસંબંધની મદદથી x ∨ y તથા x ∧ yની વ્યાખ્યા આપવામાં આવી છે. એ વ્યાખ્યાઓ આ રીતે પણ લઈ શકાય :
x ≤ x ∨ y, y ≤ x ∨ y
તથા જો
x ≤ z, y ≤ z તો z ≤ x ∨ y.
x ∧ y એટલે લૅટિસનો એવો ઘટક કે જેથી
x ∧ y ≤ x, x ∧ y ≤ y તથા
જો z ≤ x અને z ≤ y તો z ≤ x ∧ y.
ધારો કે કોઈ ગણમાં નીચેના ગુણધર્મોવાળી બે દ્વિક્રિયાઓ ∨ અને ∧ દાખલ કરી શકાય છે : દરેક x, y, z માટે
(1) x ∧ x = x ∨ x = x
(2) x ∧ y = y ∧ x તથા x ∨ y = y ∨ x
(3) x ∧ (y ∧ z) = (x ∧ y) ∧ z તથા
x ∨ (y ∨ z) = (x ∨ y) ∨ z
(4) x ∧ (x ∨ y) = x ∨ (x ∧ y) = x
તો આવા ગણને લૅટિસ રૂપે જોઈ શકાય, કારણ કે આવા ગણમાં આંશિક ક્રમ સંબંધ ≤ નીચેની રીતે દાખલ કરી શકાય : કોઈ પણ x અને y માટે જો x ∨ y = y (અથવા x ∧ y = x) તો x ≤ y.
આમ લૅટિસને અમુક ગુણધર્મોવાળી બે દ્વિક્રિયાઓવાળા ગણ તરીકે પણ જોઈ શકાય અને એમ લૅટિસ એ ક્રમયુક્ત માળખું છે તેમ એ એક બૈજિક માળખું પણ છે.
લૅટિસશાસ્ત્રનો બીજગણિત, ભૂમિતિ, ગણશાસ્ત્ર, તર્કશાસ્ત્ર જેવાં અનેક ક્ષેત્રોમાં બહોળો ઉપયોગ છે. IR2ના એક મહત્વના ઉપગણ {(a, b) a, b પૂર્ણાંકો}ને લૅટિસ ગણી શકાય છે. અહીં (a, b) ∨ (c d) તથા (a, b) ∧ (c, d)ની વ્યાખ્યા આવી આપી શકાય :
(a, b) ∨ (c, d) = (a, b) જો a > c અથવા a = c અને b > d
(c, d) જો c > a અથવા a = c અને d > b
(a, b) ∧ (c, d) = (a, b) જો a < c અથવા a = c અને b < d
(c, d) જો c < a અથવા c = a અને d < b
આ લૅટિસના ઘટકો એટલે કે યામ-સમતલનાં બિંદુઓ(m, n) (m અને n પૂર્ણાંકો)ને લૅટિસબિંદુઓ કે જાળબિંદુઓ કહે છે. આ લૅટિસના આધાર રૂપે બે સદિશો υ1 = (1, 0) અને υ2 = (0, 1) છે અને દરેક જાળબિંદુ mυ1 + nυ2 પ્રકારનું છે, જ્યાં m અને n પૂર્ણાંકો છે.
અન્ય આધારો લઈને પણ આવી લૅટિસો રચી શકાય છે, દા.ત., (z, 0) અને 
આધારવાળી લૅટિસ પણ રચી શકાય છે. આ લૅટિસનો વિશેષ ગુણધર્મ એ છે કે તેનાં જાળબિંદુઓ કેન્દ્રો તરીકે લઈ એકમ ત્રિજ્યાવાળાં વર્તુળો દોરવામાં આવે તો સમતલના આપેલ ભાગમાં સૌથી વધુ વર્તુળો સમાવી શકાય છે.
અરુણ વૈદ્ય
શિવપ્રસાદ મ. જાની