યુગ્મન (coupling)

યુગ્મન (coupling) : કોઈ એક પ્રણાલીના બે કે તેનાથી વધારે ગુણધર્મો (properties) વચ્ચેનું અથવા તો બે કે તેનાથી વધારે પ્રણાલીઓ વચ્ચેનું યુગ્મન. આણ્વિક (atomic) તેમજ નાભિકીય (nuclear) કણો માટે યુગ્મનની  ઘટના જોવા મળે છે. યુગ્મનની ઘટના જુદા જુદા વર્ણપટો સમજવામાં તેમજ તેના સૂક્ષ્મ બંધારણ(fine structure)ને જાણવામાં ઉપયોગી છે.

બે પ્રકારનાં યુગ્મનો મુખ્ય છે, જે L–S યુગ્મન અથવા રસેલ-સોન્ડર્સ યુગ્મન (Russell-Saunders coupling) તેમજ j–j યુગ્મન છે.

L–S યુગ્મન :

L–S યુગ્મનમાં કણોના કક્ષીય કોણીય વેગમાનનો પરિણામી ઘટક L અને કણોના સ્પિન-વેગમાનનો પરિણામી ઘટક S પરસ્પર યુગ્મન પામે છે.

સરળતા માટે બે ઇલેક્ટ્રૉનો ધરાવતી પ્રણાલી માટે યોગ્ય સંબંધો મેળવી શકાય છે. બે ઇલેક્ટ્રૉનોનાં કક્ષીય કોણીય વેગમાનો યુગ્મન પામીને પરિણામી કક્ષીય કોણીય વેગમાન L* આપે છે, તેવી જ રીતે બંને ઇલેક્ટ્રૉનોના સ્પિન (spin) યુગ્મન પામીને પરિણામી સ્પિન વેગમાન S* આપે છે, હવે L* અને S* યુગ્મન પામીને સદિશ J* આપે છે. સદિશ વડે દર્શાવાય છે અને તે કુલ કોણીય વેગમાન (total angular momentum) દર્શાવે છે. યુગ્મન માટેની ક્વૉન્ટમ શરત  છે. અહીં J ફક્ત ધન પૂર્ણાંક છે. જો એક ઇલેક્ટ્રૉન p કક્ષામાં હોય અને બીજો ઇલેક્ટ્રૉન d કક્ષામાં હોય તો L = 1, 2, 3 અને S = 0, 1 જેટલી કિંમતો ધરાવી શકે છે. જો S = 0 હોય તો L = 1, 2, 3ની કિંમતો માટે J*ની કિંમતો L*ની કિંમતો જેટલી જ મળે છે, એટલે કે J* = 1, 2, 3 વર્ણપટમાં જોવા મળતી ત્રણ એકાકી રેખાઓ (three singlets) 1P1, 1D2, 1F3ને અનુરૂપ છે. જો S = 1 હોય તો Lની કિંમતો માટે ત્રણ જુદી જુદી સંભાવનાઓ જોવા મળે છે :

³P₀³P₁³P₂ ³D₁³D₂³D₃ ³F₂ ³F₃ ³F₄

L અને Sની આપેલ કિંમતો માટે જો L  S હોય તો Jની બધી પૂર્ણાંક કિંમતો L ≥ S અને L + S કિંમતોની વચ્ચે માન્ય (allowed) હોય છે. જો S ≥ L હોય તો Jની બધી માન્ય કિંમતો S – L અને S + Lની કિંમતોની વચ્ચે માન્ય હોય છે.

વર્ણપટ(spectrum)ની સૂક્ષ્મરેખા(fine structure)ના અભ્યાસ માટે બે વેલેન્સ (valance) ઇલેક્ટ્રૉનોના આદર્શ કિસ્સા માટે ચાર જેટલા આંતરપ્રક્રિયા શક્તિ(ઊર્જા)(interaction energy)ના સંબંધો પ્રસ્થાપિત કરવામાં આવે છે :

s₁* અને s₂* બંને પરિણામી સ્પિન S*ને સાપેક્ષ નિશ્ચિત કોણે (angle of inclination) precession ડોલનગતિ કરે છે, કોજ્યા(cosine)ના નિયમ મુજબ

તેવી જ રીતે L* તે l₁* અને l₂*નું પરિણામી કક્ષીય કોણીય વેગમાન છે.

હવે L* અને S* તેમનાં ક્ષેત્રોની અસર હેઠળ જે રીતે l* અને s* પરિણામી સદિશ j*ની આસપાસ ડોલનગતિ કરે છે, તે રીતે તેમના યાંત્રિક પરિણામી સદિશની આસપાસ ડોલનગતિ કરે છે. કોજ્યાની સરેરાશ કિંમતો આવશ્યક છે, કારણ કે સદિશો વચ્ચેના કોણ સતત બદલાતા હોય છે.

= cos (l1* L*) cos (L* S*) cos (S* s1*)

 = cos (l2* L*) cos (L* S*) cos (S* s2*)

અહીં l₁* સદિશનો L* ઉપર પ્રક્ષેપ (projection), L*નો S* ઉપર પ્રક્ષેપ અને S*નો s₁* ઉપર પ્રક્ષેપ દર્શાવેલ છે. J*ની આસપાસની L* અને S*ની ડોલનગતિ કરતાં Γ₁* અને S₁*ની સ્વતંત્ર ડોલનગતિ વધારે ઝડપી હોય છે.

બંને પદોનો સરવાળો લઈ, cos(L* S*)નો અવયવ (factor) સામાન્ય લઈને કોજ્યાનો નિયમ લગાડતાં નીચેની પ્રક્રિયા-શક્તિ (reaction energy) મળે છે :

કોઈ પણ ત્રિ-રેખા (triplet) માટે s₁*, s₂*, l₁*, l₂*, S*, L*, n₁ અને n₂નાં માનો (magnitudes) નિશ્ચિત છે, એટલે a₃, α₃, a₄ અને α₄ અચળો (constants) છે, માટે

L-S યુગ્મનો હુન્ડના નિયમ(Hund’s Law)ને અનુસરે છે અને તે મુજબ આપેલ ઇલેક્ટ્રૉન-સંરચના માટે Lની એકસમાન કિંમતો માટે વર્ણપટની દૃષ્ટિએ Sની સૌથી મહત્તમ કિંમત ધરાવતું પદ અને Lની મહત્તમ કિંમત ધરાવતું પદ સૌથી ઊંડું (deepest) હશે.

j-j યુગ્મન :

j-j યુગ્મનમાં બે કે તેથી વધારે કણો માટે કક્ષીય કોણીય વેગમાન (orbital angular momentum) અને સ્પિન વેગમાનના સરવાળાથી મળતા પ્રત્યેક કણનાં કુલ વેગમાનો ji યુગ્મન પામે છે.

બે ઇલેક્ટ્રૉન ધરાવતી j-j યુગ્મન-પ્રણાલી માટે L-S યુગ્મનની જેમ સૂત્રો પ્રાપ્ત કરી શકાય છે. પ્રત્યેક ઇલેક્ટ્રૉનની સ્પિન s_i* તેનાં કક્ષીય કોણીય વેગમાનો l_i* સાથે ક્વૉન્ટમ યુગ્મન પામીને j_i* રચે છે; જેથી ji*ની કિંમતો ½ના પૂર્ણાંક(half integrals)માં મળે. બે j_i* ક્વૉન્ટમ યુગ્મન (quantised coupling) પામીને પરિણામી સદિશ J* રચે છે, જે ફક્ત પૂર્ણાંક કિંમતો ધરાવે છે. ઉદાહરણ રૂપે pd સંરચના (configuration) માટે s₁ = ½, l_i = 1 તેમજ s₂ = ½, l₂ = 2 છે; આથી p ઇલેક્ટ્રૉન માટે j₁ = ½ અથવા અને d ઇલેક્ટ્રૉન માટે j₂ = અથવા છે. આ ચાર કિંમતોની જુદી જુદી ગોઠવણીઓ (combinations) વડે j₁ = ½ અને j₂ = માટે J = 1 અને J = 2; j₁ = અને j₂ = માટે J = 0, 1, 2, 3; j₁ = ½ અને j₂ = માટે J = 2, 3 અને j₁ =  અને j₂ = માટે J = 1, 2, 3, 4 મળે છે.

સામાન્ય રીતે jની બે કિંમતો કૌંસમાં અને પરિણામી Jની કિંમત નીચે સબસ્ક્રિપ્ટ (subscript) તરીકે લખવામાં આવે છે; જેમ કે, ()₄. જ્યારે ઇલેક્ટ્રૉન-સંરચના (configuration) જરૂરી હોય ત્યારે તે કૌંસની પહેલાં લખવામાં આવે છે; જેમ કે, 3d 4d ()₄.

LS યુગ્મનની જેમ નીચેના સંબંધો પ્રાપ્ત કરી શકાય છે :

જો A = a₁β₁ + a₂β₂ હોય તો

સદિશ આકૃતિઓ :

આ સંબંધો ઉદાહરણરૂપે ps સંરચના માટે ઉપયોગમાં લેતાં, s₁ = ½, l₁ = 1, s₂ = ½, l₂ = 0 માટે Jની ચાર કિંમતો શક્ય છે, જે સદિશ વડે આકૃતિઓમાં દર્શાવેલ છે. અથવા -a₃, મળે છે. વર્ણપટ-રેખાઓનાં વિભાજન (splitting) દર્શાવેલ છે. જેટલી કિંમતો અનુક્રમે અવસ્થાઓ (states) માટે મળે છે. j-j યુગ્મનમાં સ્પિન-સ્પિન વચ્ચેની પ્રક્રિયા માનની ષ્ટિએ ઘણી ઓછી હોય છે, જ્યારે L-S યુગ્મનમાં વધારે હોય છે. વર્ણપટ-શાસ્ત્રની પાશન-બૅક (Paschen-Back) ઘટના L-S તેમજ j-j યુગ્મનોથી સમજાવી શકાય છે.

મિહિર જોશી