યામ-વિશ્લેષણ (dimensional analysis)

January, 2003

યામ-વિશ્લેષણ (dimensional analysis) : ભૌતિકવિજ્ઞાન તથા ઇજનેરીમાં, ભૌતિક રાશિઓ(physical quantities)નું યામ અથવા પરિમાણના સંદર્ભે વિશ્લેષણ. તેને પારિમાણિક વિશ્લેષણ પણ કહે છે.

ભૌતિક રાશિઓ માટે સૌપ્રથમ યામ અથવા પરિમાણનો અર્થ સમજવો જરૂરી છે. વિજ્ઞાન અને ઇજનેરીમાં પ્રચલિત યાંત્રિક (mechanical) રાશિઓને ત્રણ પ્રાથમિક રાશિઓના સ્વરૂપમાં વ્યક્ત કરી શકાય છે. આ ત્રણ મૂળભૂત રાશિઓ છે : દળ કે દ્રવ્યમાન (mass), અંતર અથવા લંબાઈ (length) અને સમય (time). તે ત્રણેય રાશિઓ એકબીજાથી સ્વતંત્ર છે, તેથી તેમને મૂળભૂત ગણાય છે અને તેમના એકમો મૂળભૂતપણે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. દળના એકમને M, લંબાઈના એકમને L અને સમય(અંતરાલ)ના એકમને T વડે દર્શાવવામાં આવે છે. તે મુજબ દળને ML⁰T⁰ અથવા લંબાઈ કે અંતરને M⁰LT⁰ તરીકે પણ વ્યક્ત કરી શકાય. આમ, પરિમાણ-સૂત્ર (dimensional formula) એટલે એવી સંજ્ઞાત્મક રજૂઆત કે જેમાં કોઈ પણ ભૌતિક રાશિના એકમને મૂળભૂત એકમો M, L અને Tના સ્વરૂપે વ્યક્ત કરવામાં આવે છે; ઉદાહરણ તરીકે,

બળ = દળ × પ્રવેગ = M¹L¹T^–2

અત્રે, એમ કહેવાય છે કે બળના એકમોમાં દળનું પરિમાણ 1, લંબાઈનું પરિમાણ 1 અને સમયનું પરિમાણ –2 છે. તે મુજબનાં ઘનતા માટેનાં પરિમાણો 1, –3 અને 0 છે. આ અર્થમાં, કોઈ રાશિના એકમોમાં M, L અને Tના જે ઘાત (power) રહેલ હોય છે, તેમને તેનાં પરિમાણ કહે છે.

કેટલાક ભૌતિક રાશિઓ બે સમાન રાશિઓના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવતા હોય છે; દા.ત., વક્રીભવનાંક એટલે પ્રકાશના શૂન્યાવકાશમાં વેગ (c) અને કોઈ માધ્યમમાં વેગ vનો ગુણોત્તર છે. માટે વક્રીભવનાંકનું પરિમાણ (0, 0, 0) થશે. આવા રાશિઓને પરિમાણ-રહિત (dimensionless) કહે છે. ગણિતના અચળાંકો (p વગેરે) તથા સંખ્યાઓ પરિમાણ-રહિત છે. સમતલીય ખૂણો અને ઘનકોણ પણ પરિમાણ-રહિત છે.

બે જુદા જુદા ભૌતિક રાશિઓના એકમો સમાન હોય, અને તેથી તેનાં પરિમાણો પણ એકસમાન હોય તેવું બની શકે છે. દા.ત., ટૉર્ક(torque)ના મૂલ્યનાં પરિમાણ એ કાર્ય(work)નાં પરિમાણ જેટલાં જ હોય છે. તે ઉપરાંત કાર્ય અને ઊર્જાનાં પરિમાણ એકસમાન હોય છે.

વિજ્ઞાન અને ટૅકનૉલૉજીમાં સામાન્યપણે વપરાતા ભૌતિક રાશિઓનાં એકમો અને પરિમાણો આ સાથેની સારણીમાં આપેલ છે.

રાશિઓનાં પારિમાણિક સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને ભૌતિક વિજ્ઞાનના કેટલાક પ્રશ્ર્નોના ઉકેલ મેળવી શકાય. યામ-વિશ્લેષણ અથવા પારિમાણિક વિશ્લેષણ તે આ મુજબ પ્રશ્નો ઉકેલવાની પદ્ધતિ છે. તેના ઉદાહરણ તરીકે, ધારો કે, આપણે કેન્દ્રત્યાગી બળનું યામ-વિશ્લેષણ કરવું છે. કોઈ પદાર્થ અચળ ઝડપે નિયત ત્રિજ્યાના વર્તુળ પર ગતિ કરતો હોય ત્યારે તેના પર કોઈ ક્ષણે વર્તુળના કેન્દ્ર તરફ લાગતું બળ એટલે કેન્દ્રગામી બળ. સૌપ્રથમ તો આપણે સવાલ પૂછીએ; આ કેન્દ્રગામી બળ F કયા કયા યાંત્રિક ચલો પર આધારિત હશે ? વર્તુળમય ગતિ કરતા પદાર્થ માટે ત્રણ ગુણધર્મો ધ્યાનમાં આવે છે. તે છે, પદાર્થનું દળ m, તેની ઝડપ v અને તેના વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા r. તેથી ધારો કે

F α m^a· v^b· r^c

જ્યાં, a, b અને c તે સંખ્યાકીય ઘાતાંકો (exponents) છે અને તેનાં મૂલ્યો પરિમાણ-વિશ્લેષણથી મેળવી શકાય છે. આમ કરવા માટે કેન્દ્રત્યાગી બળનું સમીકરણ પરિમાણોના સ્વરૂપમાં લખવાનું રહે છે. અર્થાત્,

[F] = [m^a] [v^b] [r^c].

હવે પારિમાણિક વિશ્લેષણનો મુખ્ય સિદ્ધાંત એ છે કે કોઈ પણ ભૌતિક સમીકરણની બંને બાજુના રાશિઓનાં પરિમાણ એકસમાન હોવાં જોઈએ, એટલે કે સમીકરણ પરિમાણોની ર્દષ્ટિએ સુસંગત હોવું જોઈએ. તેથી ઉપર્યુક્ત સમીકરણની બંને બાજુઓના અનુરૂપ ઘાતાંકો સરખાવી શકાય છે. આમ,

a = 1, b + c = 1 અને b = 2 મળે છે,

જેથી,

a = 1, b = 2 અને c = 1 થશે.

માટે કેન્દ્રત્યાગી બળ, F α

આ પદ્ધતિ દ્વારા કોઈ ભૌતિક સમીકરણ પૂરેપૂરું પ્રાપ્ત થતું નથી. તેમાં સપ્રમાણતાનો અચળાંક દાખલ કરવાનો રહે છે, એટલે કે,

F = (અચળાંક)

જેમાં અચળાંક પરિમાણ-રહિત હોવાથી ઉપર્યુક્ત પદ્ધતિમાં તે અનિર્ણીત રહે છે. જોકે કેન્દ્રત્યાગી બળના કિસ્સામાં ભૌતિકશાસ્ત્રીય દલીલો દ્વારા સ્પષ્ટ સમીકરણ મળી આવે છે, જે નીચે મુજબ છે :

F =

અન્ય એક રસપ્રદ ઉદાહરણ લઈએ. ખગોળશાસ્ત્રીઓ કહે છે કે બ્રહ્માંડની ઉત્પત્તિ એક મહાવિસ્ફોટ (big bang) દ્વારા થઈ. આ ઘટનાની સાથે જ સમય વહેવાનો પ્રારંભ થયો, અને તે સંદર્ભે એક રાશિની વ્યાખ્યા રચાયેલ છે, જેનું નામ છે પ્લાંક સમય (Planck Time). આ રાશિની સંજ્ઞા છે t_p, અને તે ત્રણ મૂળભૂત અચળાંકો (fundamental constants) ગુરુત્વાકર્ષણ અચળાંક ‘G’, પ્રકાશના વેગ ‘C’ અને પ્લાંકના અચળાંક ‘h’ પર આધારિત છે. આ જાણીતા અચળાંકોનાં મૂલ્યો નીચે મુજબ છે :

C = 3·00 × 10⁸ મીટર/સેકન્ડ

G = 6·67 × 10^–11 (મીટર)³/(સેકન્ડ²·કિગ્રા.)

અને h = 6·63 × 10^–34 કિગ્રા.(મીટર)²/સેકન્ડ

ધારો કે પ્લાંક સમય t_p ઉપર્યુક્ત અચળાંકો પર આધારિત છે, તેથી t_p α Cⁱ·G^j·h^k

જ્યાં i, j અને k અજ્ઞાત ઘાતાંકો છે. પારિમાણિક રીતે,

[t_p] = (L¹T^–¹)ⁱ· (L³T^–²M^–¹)^j· (M¹L²T^–¹)^k

∴ T = M^–j+k Lⁱ⁺³^j+²^k T^{–I –}²^j–k

બન્ને બાજુનાં પરિમાણો સરખાવતાં,

–j + k = 0; i + 3j + 2k = 0 અને –i–2j–k = 1.

અત્રેના અચળાંકનું મૂલ્ય 1 ધારવામાં આવે તો C, G, અને hનાં મૂલ્યો પરથી tpનો અંદાજ મળી શકે. એટલે કે

ખગોળશાસ્ત્રની રીતે અત્રે આવવો જોઈએ, પરંતુ આવા પરિમાણ-રહિત અવયવો ઉપર્યુક્ત પદ્ધતિથી મળી શકતા નથી, જે તેની એક ખામી છે. વળી, પરિમાણ(કે યામ)-વિશ્લેષણ દ્વારા ચર ઘાતાંકી (exponential) કે ઘાતાંકીય (logarithmic) વિધેયોની ચર્ચા કરી શકાય નહિ. ભૌતિક સમીકરણમાં પરિમાણ-રહિત ગુણોત્તર સામેલ હોય તો આ પદ્ધતિ તેના વિશે કશું કહી શકે નહિ. અંતે, આ પદ્ધતિ લાગુ પાડવા માટે સમીકરણના તમામ રાશિઓ M, L અને Tના સ્વરૂપમાં વ્યક્ત થઈ શકે તે પણ જરૂરી છે; છતાં પણ કોઈ સમીકરણની અભિવ્યક્તિમાં ભૂલ છે કે કેમ તે પારિમાણિક ર્દષ્ટિએ ચકાસી જોવાનું અનુકૂળ અને ઇચ્છનીય છે.

કમલનયન ન. જોશીપુરા