મુબિયસ પટ્ટી

મુબિયસ પટ્ટી (MÖbius Strip) : કાગળની લંબચોરસ પટ્ટીને અડધો આમળો (half twist) આપ્યા પછી તેના છેડાને ચોંટાડવાથી મળતી એકપાર્શ્વી (one-sided) પટ્ટી.

સામાન્ય રીતે સપાટીને બે પાસાં (sides) હોય છે. એક આગળનું અને બીજું પાછળનું. ગોલક (sphere) કે વૃત્તજ-વલય (toroid) જેવી બંધ સપાટીઓને બહારનું અને અંદરનું એમ બે પાસાં હોય છે. ચક્ર જેવી સીમાવક્ર(boundary curve)વાળી સપાટીને પણ બે પાસાં હોય છે. આવી સપાટીનાં બે પાસાંને જુદાં દેખાડવા માટે તેને બે જુદા રંગથી રંગવામાં આવે છે. બંધ સપાટીમાં બહારની અને અંદરની સપાટીના રંગ પરસ્પરને મળતા નથી. જો સપાટી સીમાવક્ર હોય તો રંગ માત્ર સીમાવક્ર આગળ મળે છે. સીમાવક્ર ન ઓળંગે એવી રીતે એક જીવડાને સપાટી પર ફરવા દેવામાં આવે તો તે સપાટીની એક જ તરફ ફરતું રહેશે.

એકપાર્શ્વીવાળી સપાટીઓ પણ હોય છે એવી આશ્ચર્યજનક શોધ મુબિયસ નામના જર્મન ગણિતી(1790–1868)એ કરી. એવી સપાટી મુબિયસની પટ્ટી તરીકે જાણીતી છે. એ બનાવવા માટે આકૃતિમાં બતાવ્યા પ્રમાણે એક લંબચોરસ પટ્ટીને અડધો-આમળો આપ્યા પછી તેના બે છેડાને ચોંટાડી દેવામાં આવે છે. મુબિયસ સપાટીના મધ્ય ભાગમાં રહે એવી રીતે માંકડ કે એવું કોઈ જંતુ આ સપાટી પર ચાલતું રહે તો તે મૂળસ્થાનની બરાબર નીચેના સ્થાને આવી પહોંચશે. આમ મુબિયસ પટ્ટીને માત્ર એક જ પાસું છે અને તેની સીમા એક બંધ વક્રની બનેલી હોય છે. આથી પીંછી ઉપાડ્યા સિવાય મુબિયસ પટ્ટીને રંગવામાં આવે તો તેની સમગ્ર સપાટીને રંગવામાં એક જ રંગની જરૂર પડે છે. આમ આ સપાટી એકપાર્શ્વી છે.

આમળો આપ્યા વગરની બે પાસાંવાળી અને છેડા ચોંટાડી દીધા હોય તેવી લંબચોરસ પટ્ટી નળાકાર રચે છે. તેને સ્પષ્ટપણે બે ભિન્ન સીમાવક્રો હોય છે. એવી પટ્ટીને મધ્યમાંથી પસાર થતી લીટી આગળથી કાપી નાંખવામાં આવે તો તેમાંથી બે જુદી સ્પષ્ટ પટ્ટીઓ મળે છે, જે બે નળાકાર બનાવે છે.

પરંતુ મુબિયસ પટ્ટીને મધ્યમાંથી પસાર થતી લીટી આગળથી કાપી નાંખવામાં આવે તો તેમાંથી એક સળંગ બંધ પટ્ટી મળે છે. આવી રીતે મળેલી સળંગ બંધ પટ્ટીને ફરીથી મધ્યમાંથી કાપવામાં આવે તો એક-બીજીમાં ગૂંથાયેલી (intertwined) બે પટ્ટીઓ મળે છે. સીમાબદ્ધ વક્રને સમાંતર જુદા જુદા અંતરે રેખાઓ દોરી મુબિયસ પટ્ટીને કાપવાથી અવનવા આકારો મળે છે. મુબિયસ પટ્ટીના સીમાવક્રનું સપાટ વિરૂપણ (deformation) વર્તુળમાં થાય છે.

બી.એફ. ગુડવીચ કંપનીએ મુબિયસ પટ્ટી જેવો ક્ધવેયર પટ્ટો (belt)  મશીનમાં પૈડાંને ગતિ આપવામાં પ્રયોજ્યો, જે ગતિ દરમિયાન બંને તરફથી ઘસાય છે. આથી સામાન્ય રીતે મશીનમાં વપરાતા પટ્ટા કરતાં બમણો સમય કામ આપે છે.

ગાણિતિક સ્વરૂપમાં વિચારીએ તો મુબિયસ પટ્ટીને પ્રાચલ સ્વરૂપમાં

X = [R + S Cos(θ/2)] Cos θ

Y = [R + S Sin(θ/2)] Sin θ

Z = ρ Sin (θ/2) થી દર્શાવવામાં આવે છે. અહીં  છે.

મુબિયસ પટ્ટીને કાપી તેને સવિશેષ વળાંક આપી ફરીથી જોડવાથી પૅરાડ્રૉમિક રિંગ (paradromic ring) તરીકે ઓળખાતી વિવિધ આકૃતિઓ મળે છે.

વૃત્તજ-વલય(toroid)ને કાપતાં યુગ્મ સંખ્યામાં અર્ધ આમળાવાળી મુબિયસ પટ્ટીઓ મળે છે. ચક્રની ધારો સાથે મુબિયસની પટ્ટીને સીવવાથી ત્રણ પ્રકારની સપાટીઓ જેવી કે બોય-સપાટી, ક્રૉસ-કૅપ સપાટી અને રોમન સપાટી મળે છે (જુઓ આકૃતિ). એક વામવર્તી અને બીજી દક્ષિણવર્તી મુબિયસ પટ્ટીને પાસે પાસે લાવી તેની ધારોને ચોંટાડી દેવામાં આવે તો ક્લેઇન-બાટલી (Klein-bottle) મળે છે. મુબિયસ પટ્ટી અન્-અભિવિન્યાસી (un-orientable) સપાટી છે.

કાર્બનિક રસાયણમાં મુબિયસ અભિવિન્યાસ (orientation) સંયોજનની ઍરોમૅટિકતા પર અસર કરે છે; જેમ કે, (4n+2)π ઇલેક્ટ્રૉન ધરાવતી ચક્રીય બહુ-દ્વિબંધી પ્રણાલી હ્યૂકલ (Huckel) પ્રણાલીને અનુસરે છે અને ઍરોમૅટિક પ્રભાવ દર્શાવે છે, જ્યારે (4n)π ઇલેક્ટ્રૉન ધરાવતી પ્રણાલી હ્યૂક્લ પ્રણાલી અનુસાર ઍરોમૅટિક પ્રભાવ દર્શાવતી નથી; પરંતુ 1964માં હેઇલ બ્રોનરે બતાવ્યું કે ચક્રીય  બહુ-દ્વિબંધી પ્રણાલીને મુબિયસ અભિવિન્યાસથી 180° મરડવામાં આવે તો (4n)π ઇલેક્ટ્રૉનવાળી ચક્રીય બહુ-દ્વિબંધી પ્રણાલી ઍરોમૅટિક સ્થિરતા પ્રાપ્ત કરે છે; જ્યારે (4n+2)π ઇલેક્ટ્રૉનવાળી બહુ-દ્વિબંધ પ્રણાલી પ્રતિઍરોમૅટિક બને છે. અહીં પ્રાવસ્થાભ્રંશ (phase dislocation) થાય છે. ખાસ પ્રકારના જાયન્ટ-વ્હીલમાં પણ તેનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે.

એ. આર. રાવ

શિવપ્રસાદ મ. જાની