બીજગણિત

બીજગણિતના આધુનિક ખ્યાલ અનુસાર કોઈ ગણ પર ક્રિયાઓ દાખલ કરી હોય તો તે ક્રિયાઓના સંદર્ભમાં ગણનો અભ્યાસ એટલે બીજગણિત. શાળામાં શીખવાતું બીજગણિત એટલે સંજ્ઞાયુક્ત અંકગણિત. અંકગણિતની ચોક્કસ સંખ્યાને બદલે અહીં x, y, z, a, b, c જેવી સંજ્ઞાઓ દ્વારા સંખ્યા સૂચવાય છે. કેટલીક સમતાઓમાં સંજ્ઞાને સ્થાને કોઈ પણ સંખ્યા મૂકીએ તોપણ તે સમતા સાચી રહે. જેમ કે x² – y² = (x + y) (x – y) કે (a² + b²) (c² + d²) = (ac + bd)² + (ad – bc)² કહેવાય છે. આવી સમતાને બૈજિક તત્સમતા (algebraic identity) કહેવાય છે. બીજા પ્રકારની સમતાઓ તેમાં આવતી સંજ્ઞાઓને સ્થાને અમુક સંખ્યા મૂકીએ તો જ સાચી રહે; જેમ કે x² – x = 6માં x ને સ્થાને 3 અથવા –2 મૂકીએ તો જ એ સમતા સાચી રહે છે. આવી સમતાને બૈજિક સમીકરણ (algebraic equation) કહેવાય છે. બીજગણિતને બૈજિક તત્સમતાઓ અને સમીકરણોનો અભ્યાસ લેખી શકાય. સંખ્યાઓ વચ્ચેના સંબંધોને વ્યાપક સ્વરૂપમાં વ્યક્ત કરવામાં તત્સમતાઓ ઉપયોગી છે તો અમુક શરતોને સંતોષતી સંખ્યાઓ શોધવામાં સમીકરણ ઉપયોગી છે. આને કારણે બીજગણિત ગણિતમાં તો ઉપયોગી જ છે, સાથે સાથે વ્યવહારમાં અને વિજ્ઞાનમાં પણ ઉપયોગી છે.

પ્રાચીન બીજગણિત : આજથી ચાર હજાર વર્ષોથી પણ વધુ સમય પહેલાં બૅબિલોનિયામાં અને ત્યારબાદ ઇજિપ્તમાં બીજગણિતનો અભ્યાસ થયો હતો, પરંતુ એ સંજ્ઞારહિત બીજગણિત હતું, પ્રશ્નો અને તેના ઉકેલો શબ્દોમાં મૂકવામાં આવતા. ‘સમીકરણ x³ + x² = 150 ઉકેલો’ એમ કહેવાને બદલે ‘જેના ઘનનો અને જેના વર્ગનો સરવાળો 150 થાય એવી સંખ્યા શોધો’ એમ પ્રશ્ન પુછાતો. આવા પ્રશ્નના ઉકેલ માટે ધનપૂર્ણાંકોના ઘનના અને વર્ગના કોઠાઓ બનાવવામાં આવતા અને તેને આધારે પ્રશ્નનો ઉકેલ શોધવામાં આવતો. ગ્રીક કાળ(ઈ. પૂ. 600થી ઈ.સ. 400)ના લગભગ અંતસમયમાં થઈ ગયેલા ડાયોફૅન્ટસ નામના ગણિતશાસ્ત્રીએ પહેલી વાર બીજગણિતમાં સંજ્ઞાનો ખ્યાલ દાખલ કર્યો. એ સમયે આ ખ્યાલ ખૂબ પ્રાથમિક અવસ્થામાં હતો. આજના પૂર્ણ સ્વરૂપને પામતાં તો તેને તેરસોથી ચૌદસો વર્ષ લાગ્યાં. ભારતીય ગણિતશાસ્ત્રીઓ આર્યભટ (ઈ.સ. 476), બ્રહ્મગુપ્ત (ઈ.સ. 596) અને ફ્રેંચ ગણિતશાસ્ત્રીઓ વીટા (Vieta, 1540–1603) અને રૅને દ’કાર્ત (1596–1650)નો બીજગણિતને સંજ્ઞાયુક્ત બનાવવામાં મહત્વનો ફાળો રહ્યો છે. ડાયોફૅન્ટસે સમીકરણના પૂર્ણાંક ઉકેલોના અભ્યાસ પર વિશેષ ધ્યાન કેન્દ્રિત કર્યું. આથી જેના પૂર્ણાંક ઉકેલો શોધવાના હોય એવાં સમીકરણોને ડાયોફૅન્ટાઇન સમીકરણો કે અનિશ્ચિત સમીકરણો (indeterminate equations) કહેવામાં આવે છે. પૂર્ણ વર્ગ ન હોય તેવા ધનપૂર્ણાંક Dવાળું દ્વિચલ, દ્વિધાત ડાયોફૅન્ટાઇન સમીકરણ x² – Dy² = 1 અંગ્રેજ ગણિતી જે. પેલ(1601–1685)ના નામ પરથી પેલિયન સમીકરણ તરીકે જાણીતું છે. ખરેખર તો આવા સમીકરણનો અભ્યાસ બ્રહ્મગુપ્ત અને દ્વિતીય ભાસ્કરાચાર્ય (ઈ.સ.ની બારમી સદી) દ્વારા કરવામાં આવ્યો હતો. ભાસ્કરાચાર્યકૃત ગ્રંથ ‘સિદ્ધાંત-શિરોમણિ’ના ચાર ભાગમાંથી એક ભાગ ‘લીલાવતી’ નામે છે. ‘લીલાવતી’માં બીજગણિતના અનેક રસપ્રદ કોયડાઓ છે. ભારતીય ગણિતજ્ઞોની બીજગણિતના પ્રશ્નો ઉકેલવાની સૂઝ અને પ્રયુક્તિઓ આગવી અને બુદ્ધિગત હતી, એ સર્વસ્વીકૃત હકીકત છે. આમ છતાં, પ્રશ્નોના સંપૂર્ણ અને વ્યાપક ઉકેલનો તેમને ખ્યાલ ન હતો એ તેમની મર્યાદા હતી.

બગદાદનિવાસી અરબી ગણિતશાસ્ત્રી અલ-ખ્વારિઝ્મીએ (ઈ.સ. 783–850 ?) ગ્રીક અને હિંદુ ગણિતનો ઊંડો અભ્યાસ કરી ગણિતનાં પુસ્તકો લખ્યાં. પાછળથી આ પુસ્તકોનો લૅટિનમાં અનુવાદ થયો અને આ અનુવાદ દ્વારા પાશ્ચાત્ય જગતને ભારતીય અંકપદ્ધતિ અને બીજગણિતની જાણ થઈ. અલખ્વારિઝ્મીએ લખેલા બીજગણિતના પુસ્તકનું નામ ‘અલ-જબ્ર વ અલ-મુકાબિલ’ હતું. આનો અર્થ પુન:સ્થાપન અને સમાનીકરણ એવો થાય છે. સમીકરણના ઉકેલ માટે એક બાજુથી બીજી બાજુ પદ લઈ જવાં અને સમાન ઘાતાંકવાળાં પદોને એકત્રિત કરી સાદું રૂપ આપવું એ ખ્યાલ આ નામમાં છે. બીજગણિતનું અંગ્રેજી નામ ‘ઍલજિબ્રા’ (algebra), ‘અલ-જિબ્ર’ પરથી આવેલું છે. અલ ખ્વારિઝ્મીના કાર્ય અંગે એક આશ્ચર્યની બાબત એ છે કે ભારતીય ગણિતજ્ઞોએ બીજગણિતને જે સંજ્ઞાયુક્ત સ્વરૂપ આપ્યું તેનો ઉપયોગ ન કરતાં તેણે બધું લખાણ શબ્દોમાં કર્યું. આ બાબત ઘડિયાળને પાછળ મૂકવા જેવી ગણાય, પરંતુ આની સરખામણીમાં તેના અને અન્ય અરબી વિદ્વાનોના ગ્રંથોને કારણે ગ્રીક અને ભારતીય ગણિતની જે જાળવણી થઈ, એથી ગણિતની પાશ્ચાત્ય જગતમાં જે જાણકારી થઈ અને આ જાણકારીને લીધે ગણિતના વિકાસને જે વેગ મળ્યો એ પ્રદાન અનેકગણું મહત્વનું અને ઉપયોગી છે.

ત્રિઘાત અને ચતુર્ઘાત સમીકરણોના ઉકેલ : સમીકરણોના ઉકેલના પ્રશ્ન પ્રત્યે બીજગણિતીઓનું ધ્યાન પહેલેથી જ આકર્ષાયું હતું; પરંતુ લગભગ તેરમી સદીના અંત સુધી બીજગણિતશાસ્ત્રીઓ વિશિષ્ટ સમીકરણોના ઉકેલ શોધવામાં જ વ્યસ્ત હતા. ઋણ અને સંકર-સંખ્યાઓના જ્ઞાનના અભાવે વિશિષ્ટ સમીકરણના તેમના ઉકેલો પણ અધૂરા હતા. ત્યારબાદ યુરોપના ગણિતશાસ્ત્રીઓનું ધ્યાન વ્યાપક સમીકરણના વ્યાપક ઉકેલ શોધવા તરફ ખેંચાયું. જો એક ચલના બહુપદી સમીકરણમાં xની વિવિધ ઘાતના સહગુણક અજ્ઞાતસંખ્યા હોય તો આ સહગુણકોમાં અભિવ્યક્ત થઈ શકે એ રીતે સમીકરણનો ઉકેલ શોધવાનું ગણિતશાસ્ત્રીઓ વિચારવા લાગ્યા. ax + b = 0 (a ≠ 0)એ એક ઘાતનું વ્યાપક સમીકરણ છે. તેનો ઉકેલ છે. ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) એ વ્યાપક દ્વિઘાત સમીકરણના ઉકેલ  x =  અને x = છે. અહીં સહગુણકો સરવાળા, બાદબાકી, ગુણાકાર અને ભાગાકારની ક્રિયાઓ કરીને અને વર્ગમૂળનો વિધિ વાપરીને ઉકેલ મળે છે. સહગુણકોના સરવાળા, બાદબાકી, ગુણાકાર, ભાગાકાર અને વર્ગમૂળ, ઘનમૂળ, ચતુર્થમૂળ કે કોઈ પણ મૂળ લેવાના વિધિ દ્વારા મળતા સમીકરણના ઉકેલને ‘મૂળો દ્વારા ઉકેલ’ (solution by radicals) કહે છે. વ્યાપક ત્રિઘાત સમીકરણ ax³ + bx² + cx + d = 0 (a ≠ 0)નો મૂળો દ્વારા ઉકેલ શોધવાનો પ્રશ્ન લાંબા સમય સુધી વર્ણઊકલ્યો રહ્યો. ઇટાલિયન ગણિતશાસ્ત્રી કાદાએ(1501–1576), રૂપાંતર, y = દ્વારા આ સમીકરણને રૂપાંતર y³ + By + C = 0 માં રૂપાંતરિત કરી શકાય છે એેમ બતાવ્યું. અહીં B = અને C = છે; વળી એ નોંધીએ કે આ બીજા સમીકરણમાં y²નું પદ નથી અને જો આ બીજા સમીકરણનો ઉકેલ મળે તો પહેલા સમીકરણનો પણ ઉકેલ મળી શકે. ઇટાલિયન ગણિતશાસ્ત્રી નાર્તેગ્લિમાએ (1500–1557) સમીકરણ y³ + By + C = 0 નો મૂળો દ્વારા ઉકેલ ઈ.સ. 1545ની આસપાસ આપ્યો. ચતુર્થ ઘાતના વ્યાપક સમીકરણનો ઉકેલ એ જ અરસામાં ઇટાલિયન ગણિતજ્ઞ ફેરારી (1522–1565) દ્વારા આપવામાં આવ્યો. વ્યાપક સમીકરણોના ત્રિઘાત અને ચતુર્ઘાત સમીકરણોનાં મૂળો દ્વારા ઉકેલ 1545ની સાલમાં પ્રસિદ્ધ થયેલ કાદાના આર્સ મૅગ્ના (Ars Magna) નામના ગ્રંથમાં આપવામાં આવેલ છે. આ ગ્રંથ બીજગણિત પરના જગવિખ્યાત ગ્રંથોમાંનો એક છે.

ત્રિઘાત અને ચતુર્ઘાત સમીકરણોના ઉકેલ બાદ પંચઘાત સમીકરણનો પ્રશ્ન સ્વાભાવિક રીતે જ ઉપસ્થિત થયો; પરંતુ આ પ્રશ્ન ત્રિઘાત સમીકરણના પ્રશ્ન કરતાં પણ વિશેષ મુશ્કેલ પુરવાર થયો. ઓગણીસમી સદીની શરૂઆતમાં ડચ ગણિતજ્ઞ આબેલ (1802–1829) અને ફ્રેંચ ગણિતશાસ્ત્રી ગાલ્વાએ (1811–1832) આધુનિક બીજગણિતના સમૂહ અને ક્ષેત્રના ખ્યાલોનો ઉપયોગ કરીને બતાવ્યું કે પાંચ કે વિશેષ ઘાતના વ્યાપક સમીકરણનો મૂળો દ્વારા ઉકેલ શક્ય નથી.

બીજગણિતનું મૂળભૂત પ્રમેય : સમીકરણના ઉકેલને સમીકરણનું બીજ (root) કહે છે. ઉપર સમીકરણનાં બીજ શોધવાની રીતનો વિચાર કર્યો; પણ પ્રશ્ન એ થાય કે દરેક સમીકરણને બીજ હોય જ ? આ પ્રશ્નના જવાબનો આધાર બીજ કયા ગણમાં શોધવામાં આવે છે તેના પર છે. આ બાબત સ્પષ્ટ કરવા માટે કેટલાક સંકેતોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના ગણને N, પૂર્ણાંકોના ગણને Z, સંમેય સંખ્યાઓના ગણને Q, વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ગણને R અને સંમેય સંખ્યાઓના ગણને ⊄ વડે દર્શાવવામાં આવે તો N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ થાય છે. સમીકરણ x – 3 = 0નો ઉકેલ Nમાં છે. સમીકરણ x + 3 = 0નો ઉકેલ Nમાં નથી, પરંતુ Zમાં છે. સમીકરણ 2x – 3 = 0નું બીજ Zમાં નથી, Qમાં છે. સમીકરણ x² – 2 = 0નું એક પણ બીજ Qમાં નથી, પણ R માં આ સમીકરણનો ઉકેલ છે. સમીકરણ x² + 1 = 0નો ઉકેલ R માં નથી, માં છે. આ રીતે સંખ્યાસંહતિના પ્રાકૃતિક સંખ્યાગણ Nથી માંડીને સંકર સંખ્યાગણ સુધીના વિસ્તરણને બૈજિક સમીકરણોના ઉકેલના અસ્તિત્વ માટેની જરૂરિયાત તરીકે જોઈ શકાય; પણ તો પ્રશ્ન એ ઊભો થાય કે થી આગળ જવાની જરૂર નહિ ? એવું સમીકરણ ન મળે જેનું કોઈ બીજ માં ન હોય, પણ તેનો ઉકેલ થી મોટા એવા કોઈ સંખ્યાગણમાં હોય ? આ પ્રશ્નનો જવાબ નકારમાં છે. મહાન જર્મન ગણિતશાસ્ત્રી ગાઉસે (1777–1855) સાબિત કરેલ ‘બીજગણિતનું મૂળભૂત પ્રમેય’ આ પ્રશ્નનો જવાબ આપે છે. આ પ્રમેય આ પ્રમાણે છે :

ધારો કે n પ્રાકૃતિક સંખ્યા અને a₀, a_1, a₂,….., an સંકર સંખ્યાઓ છે, જ્યાં a₀ ≠ 0 તો n ઘાતના બહુપદી સમીકરણ a₀xⁿ + a₁x^n-1 + a₂x^n-2 + ….. + a_n = 0નું બીજ હોય તેવી એક સંખ્યા મળે જ. બીજી રીતે કહીએ તો સંકર સંખ્યાના સહગુણકોવાળા એક કે વધુ ઘાતના દરેક બહુપદી સમીકરણને ઓછામાં ઓછું એક સંકરબીજ (complex roots) હોય જ.

મૂળભૂત પ્રમેય દ્વારા એક બીજની ખાતરી મળ્યા પછી શેષ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને નીચેનું પરિણામ પણ મળે છે.

સંકર સહગુણકોવાળા n ઘાતના ( n ≥ 1) પ્રત્યેક બહુપદી સમીકરણને બરાબર n બીજ હોય અને બધાં બીજ સંકર સંખ્યાઓ હોય.

સમીકરણનો આસાદિત (approximate) ઉકેલ : સમીકરણનો ઉકેલ હોવો એ એક બાબત છે અને ઉકેલ શોધવો એ બીજી બાબત છે. ચારથી વધુ ઘાતના બહુપદી સમીકરણનો ઉકેલ શોધવા માટે કોઈ ચોક્કસ રીત નથી એ જોયું. વિજ્ઞાન અને એન્જિનિયરિંગમાં સમીકરણનો ચોક્કસ રીતથી મળતો ચોક્કસ ઉકેલ ઘણી વાર ઉપયોગી થતો નથી, કારણ કે અહીં સંખ્યાનું મહત્વ માપની ર્દષ્ટિએ હોય છે અને માપ માટે સાત દશાંશ સ્થળવાળી સંખ્યાઓ જ ઉપયોગી હોય છે, જ્યારે સમીકરણનો ચોક્કસ ઉકેલ આવી સંખ્યા ન પણ હોય. (જો ઉકેલ અસંમેય સંખ્યા હોય તો એ આવી સંખ્યા ન જ હોય.) આ સંજોગોમાં બૈજિક સમીકરણના ઉકેલનું આસાદિત મૂલ્ય શોધવાની જરૂર રહે છે. સમીકરણના ઉકેલનું આસાદિત મૂલ્ય શોધવાની રીતોમાં હૉર્નરની દ્વિભાજનની, ન્યૂટન-રાફસનની રીત, ભ્રાંત સ્થાન (method of false position) અને પુનરાવર્તન વગેરેની રીતો છે. બહુપદી સમીકરણના વાસ્તવિક બીજનું સ્થાન જાણવા માટે વિશ્લેષણનું નીચેનું પરિણામ ઉપયોગી છે :

સતત વિધેય માટેનું અંત:મૂલ્ય પ્રમેય : જો f એ વાસ્તવિક રેખાના સંવૃત અને સીમિત અંતરાળ (a, b) પર વ્યાખ્યાયિત વાસ્તવિક સતત વિધેય હોય અને f(a) અને f(a)માંથી એક ધન અને બીજું ઋણ હોય તો સમીકરણ f(x) = 0નું એક બીજ a અને bની વચ્ચે મળે.

ઉદાહરણ તરીકે, સમીકરણ f(x) = x³ – x – 1 = 0 લઈએ. f(1) = –1 < 0 અને f(2) = 5 > 0 તેથી x³ – x – 1 = 0નું એક બીજ 1 અને 2ની વચ્ચે છે. વળી f(1.5) = 7/8 > 0. તેથી એક બીજ 1 અને 1.5ની વચ્ચે છે. આ રીતે સમીકરણના બીજનું સ્થાન વધુ અને વધુ સારી રીતે જાણી શકાય.

બીજગણિત અને ભૂમિતિ : દ્વિઘાત સમીકરણનો ભૂમિતિની રીતથી ઉકેલ શોધવાનું યુક્લિડના સમયથી જાણીતું હતું. આમ બીજગણિત અને ભૂમિતિ વચ્ચેના સંબંધ વિશે ગણિતજ્ઞોને જાણકારી હતી જ. પરંતુ સત્તરમી સદીમાં ફ્રેંચ ગણિતશાસ્ત્રી રેને દ’કાર્તે (1596–1650) બીજગણિત અને ભૂમિતિનો અદભુત સમન્વય સાધી બીજગણિતની મદદથી ભૂમિતિના પ્રશ્નો ઉકેલવાની નવી રીત આપી. ભૂમિતિનો આ પ્રકારનો અભિગમ યામભૂમિતિ કહેવાયો. યામભૂમિતિનો પાયાનો ખ્યાલ એ છે કે સમતલના પ્રત્યેક બિંદુ p માટે વાસ્તવિક સંખ્યાઓની અનન્ય ક્રમયુક્ત જોડ (x, y) મળે અને આવી દરેક જોડ માટે સમતલનું અનન્ય બિંદુ મળે. આ સંગતતાને લીધે સમતલમાંના વક્રને અનુરૂપ અજ્ઞાત x અને yનું સમીકરણ મળે અને x અને yના સમીકરણને અનુરૂપ વક્ર મળે. આમ ભૂમિતિના વક્રોનો અભ્યાસ બીજગણિતનાં સમીકરણોની મદદથી થઈ શકે. આ જ રીત ત્રિપરિમાણીય ભૂમિતિને લાગુ પડી શકે. માત્ર બે અજ્ઞાત x, yને બદલે અહીં ત્રણ અજ્ઞાત x, y, zનાં સમીકરણો લેવાનાં રહે. આપણું વિશ્વ ત્રિપરિમાણીય હોવાને લીધે ત્રણથી વિશેષ પરિમાણની ભૂમિતિનો ભૂમિતિ તરીકે અભ્યાસ કરવો શક્ય નથી, પરંતુ બીજગણિતનાં ત્રણથી વિશેષ અજ્ઞાતનાં સમીકરણો તો લખી શકાય. આ સમીકરણોનું વક્રો તરીકે અર્થઘટન કરીને બીજગણિત દ્વારા ગમે તેટલા સાંત પરિમાણની ભૂમિતિનો અભ્યાસ થઈ શકે. ભૂમિતિના વ્યાપક સ્વરૂપનો અભ્યાસ શક્ય બનાવવામાં આ રીતે બીજગણિતનું મહત્વનું પ્રદાન છે.

આધુનિક બીજગણિત (modern algebra) : પંચ ઘાત સમીકરણનાં મૂળો દ્વારા ઉકેલના પ્રશ્નના નિરાકરણમાં આધુનિક બીજગણિતના ખ્યાલોએ જે ભાગ ભજવ્યો તેની નોંધ આપણે ઉપર લીધી છે. પુરાણા બીજગણિતમાં x, y, z જેવી સંજ્ઞાઓ સંખ્યાઓ સૂચવે છે. આધુનિક બીજગણિતમાં આવી સંજ્ઞાઓ કોઈ એક ગણના ઘટકો સૂચવે છે. જેમ સંખ્યાઓને જોડતી સરવાળા કે ગુણાકારની કિંમત છે તેમ ગણના ઘટકોને જોડતી કોઈ ક્રિયા હોય, જેને +, ×, o, કે * જેવી નિશાની વડે દર્શાવી શકાય. ગણ પર ક્રિયા એક કે વધુ હોય અને આ ક્રિયા કે ક્રિયાઓ કેટલીક શરતોનું પાલન કરે. આવી શરતોને નિયમો કે પૂર્વધારણા કહેવામાં આવે છે. ગણ, તેના પરની ક્રિયા કે ક્રિયાઓ અને ક્રિયા માટેના નિયમો મળીને જે બને તેને બૈજિક બંધારણ (algebraic structure) કહેવાય છે. આધુનિક બીજગણિત એ બૈજિક બંધારણોનો અભ્યાસ છે. સમૂહ, ક્ષેત્ર, મંડળ એ બંધારણોનાં ઉદાહરણ છે.

સમૂહ (group) એ સાદામાં સાદું બંધારણ છે. અહીં ગણ પર એક જ ક્રિયા હોય છે. જો ગણ G પરની ક્રિયાને o વડે દર્શાવીએ તો ગણ G ના ઘટકો a અને bને b ક્રિયા o વડે જોડવાથી મળતી નીપજને aob વડે દશાર્ર્વીશું. હવે સમૂહની વ્યાખ્યા આપીએ.

G અરિક્ત ગણ છે અને o તેના ઘટકોને જોડતી ક્રિયા છે, જે નીચેના નિયમોનું પાલન કરે છે.

(1) જો a અન b Gના ઘટકો હોય તો aob પણ G નો 1 ઘટક હોય. (સંવૃતતાનો નિયમ)

(2) Gના ઘટકો a, b, c માટે ao(boc) = (aob) oc (જૂથનો નિયમ).

(3) Gમાં એક ઘટક e એવો મળે, જેથી Gના પ્રત્યેક ઘટક a માટે aoe = eoa = a થાય. (એકમનું અસ્તિત્વ)

(4) Gના પ્રત્યેક ઘટક a માટે Gમાં ઘટક b મળે, જેથી aob = boa = e થાય. (વ્યસ્તનું અસ્તિત્વ)

તો ગણ G ક્રિયા o સાથે સમૂહ કહેવાય છે. ટૂંકમાં, જોડ (G, o)ને સમૂહ કહે છે.

વિશેષમાં જો

(5) Gના ઘટકોની પ્રત્યેક જોડ a, b માટે aob = boa (ક્રમનો નિયમ)

સાચું હોય તો (G, o) સમક્રમી સમૂહ કહેવાય છે.

કેટલાંક ઉદાહરણો લઈએ. પ્રાકૃતિક સંખ્યા ગણ N પર સરવાળાની ક્રિયા સંવૃતતા અને જૂથના નિયમો સાચવે છે, પરંતુ આ ક્રિયા માટે Nમાં એકમ નથી. (અને એકમ વગર વ્યસ્તની તો વાત જ ન થઈ શકે.) તેથી સરવાળાની ક્રિયા સાથે N સમૂહ નથી. ગુણાકારની ક્રિયા N પર સંવૃતતા અને જૂથના ગુણધર્મો ધરાવે છે અને આ ક્રિયા માટે Nમાં એકમ પણ છે. (1 એ એકમ છે.); પરંતુ વ્યસ્તના નિયમનું પાલન ન થતું હોઈ N ગુણાકારની ક્રિયા સાથે સમૂહ નથી. Z (પૂર્ણાંકોનો ગણ) સરવાળાની ક્રિયા સાથે સમૂહ છે, ગુણાકારની ક્રિયા સાથે સમૂહ નથી. Q, અને માટે પણ આવું જ છે. એટલે કે સરવાળાની ક્રિયા સાથે આ દરેક ગણ સમૂહ છે. પરંતુ ગુણાકારની ક્રિયા માટે આમાંથી એક પણ ગણ સમૂહ નથી. 0(શૂન્ય)નો ગુણાકાર માટેનો વ્યસ્ત આમાંથી કોઈ ગણમાં નથી. બીજી બાજુ Q – {o}, – {0} અને ⊄ – {0} એ દરેક ગણ ગુણાકારની ક્રિયા સાથે સમૂહ છે. ઉપરાંત સરવાળા અને ગુણાકારની ક્રિયાઓ સંખ્યાઓ માટે ક્રમનો નિયમ ધરાવતી હોઈ આ બધા જ સમૂહો (Z, +), (Q, +), (, +), (¢, +), (Q – {0}, X), ( – {0}, X), (⊄ – {0}, X) સમક્રમી છે.

સમક્રમી ન હોય તેવા સમૂહના ઉદાહરણ માટે ક્રમચયનો સમૂહ લઈએ. ત્રણ અક્ષરો A, B, C ના છ ક્રમચયો મળે :

અહીં eમાં A, B, C પોતાને સ્થાને રહે છે. a માં A પોતાને સ્થાને રહે છે, પણ Bનું સ્થાન C અને Cનું સ્થાન B લે છે. dમાં A, B, Cનાં સ્થાન અનુક્રમે B, C, A લે છે. આ છ ક્રમચયોના ગણ G પર સંયોજનની ક્રિયા લઈશું. સંયોજનની ક્રિયાને o દ્વારા દર્શાવીશું. aમાં Aનું સ્થાન બદલાતું નથી, જ્યારે bમાં Aનું સ્થાન C લે છે. માટે a o bમાં Aનું સ્થાન C લે છે. aમાં Bનું સ્થાન C લે છે અને bમાં Cનું સ્થાન A લે છે. માટે aob માં Bનું સ્થાન A લે છે. છેલ્લે aમાં Cનું સ્થાન B લે છે અને B પોતાને સ્થાને ચાલુ રહે છે. તેથી aobમાં Cનું સ્થાન B લે છે. આમ aob = = f. તેથી aob = f. આ જ રીતે દરેક ક્રમચયનું અન્ય ક્રમચય જોડે સંયોજન શોધી શકાય. બે ક્રમચયના સંયોજનને તેનો ગુણાકાર પણ કહે છે અને aob ને ab તરીકે લખાય છે.

G = {e, a, b, c, d, f} પરના આ ગુણાકારની ક્રિયા માટેનું ગુણન કોષ્ટક નીચે પ્રમાણે મળે છે.

આ કોષ્ટક પરથી જોઈ શકાય છે કે G પર ગુણાકારની આ ક્રિયા સંવૃતતાનો નિયમ ધરાવે છે. જૂથનો નિયમ ચકાસવા માટે થોડું કામ કરવું પડે, પણ એ કામ અઘરું નથી. ઉપરનું કોષ્ટક આ નિયમ ચકાસવામાં ઉપયોગી થશે. જૂથનો નિયમ સીધેસીધો પણ ચકાસી શકાય. ધારો કે x, y, z એ Gના ઘટકો છે (એટલે કે ક્રમચયો છે). આપણે બતાવવું છે કે (x y) z = x (yz). એ માટે એવું બતાવવું જોઈએ કે અક્ષરો A, B, C પર ક્રમચય (x y)zની જે અસર થાય એ જ અસર ક્રમચય x(yz)ની થાય. ધારો કે X એ A, B, Cમાંનો કોઈ પણ અક્ષર છે અને ક્રમચય xમાં Xનું સ્થાન Y લે છે, yમાં Yનું સ્થાન Z લે છે અને zમાં Zનું સ્થાન U લે છે. તો xyમાં Xનું સ્થાન Z લેશે અને (xy) zમાં Xનું સ્થાન U લેશે. બીજી બાજુ xમાં Xનું સ્થાન Y લે છે, અને yz માં Yનું સ્થાન U લે છે. તેથી x(yz)માં Xનું સ્થાન U લે છે. આમ ક્રમચયો (xy)z અને x(yz)ની A, B, Cમાંથી કોઈ પણ અક્ષર X ઉપર સરખી જ અસર થાય છે. આથી બંને ક્રમચય સમાન છે.

કોષ્ટક પરથી જોઈ શકાય છે કે e એ Gમાં ગુણાકાર માટેનો એકમ છે. ઉપરાંત e, a, b, c, d, fના વ્યસ્ત અનુક્રમે e, a, b, c, f અને d છે. આથી (G, o) સમૂહ છે; પરંતુ ab = f, જ્યારે ba = d. આમ ab ≠ ba અને તેથી (G, o) સમક્રમી નથી.

મંડળ (ring) ભાગાકાર મંડળ અને ક્ષેત્ર (field) : આ બંધારણોમાં બે ક્રિયાઓ હોય છે. ધારો કે અરિક્ત ગણ S પર બે ક્રિયાઓ થાય છે, જેને સરવાળો (+) અને ગુણાકાર (×) કહીશું. (આ સરવાળા અને ગુણાકારને સંખ્યાઓના સરવાળા કે ગુણાકાર જોડે કંઈ સંબંધ હોવો જરૂરી નથી. આ ક્રિયાઓને જુદાં જ નામો આપી શકાયાં હોત કે તેને માટે બીજી નિશાનીઓ પણ વાપરી શકાઈ હોત.) જો (S, +) સમક્રમી સમૂહ હોય, જો ગણ S પરની ગુણાકારની ક્રિયા સંવૃતતા (closure) અને જૂથ(associativity)ના ગુણધર્મો ધરાવે અને S પરનો સરવાળો ગુણાકાર પર વિભાજિત (distributive) હોય, એટલે કે S ના ઘટકો a, b, c માટે

(a + b) x c = a x c + b x c અને a x (b + c) = a x b + a x c સાચું હોય, તો (S, +, x) મંડળ કહેવાય છે. જો S પર ગુણાકારની ક્રિયા ક્રમનો ગુણધર્મ ધરાવે તો મંડળ સમક્રમી કહેવાય છે. જો મંડળમાં ગુણાકારની ક્રિયા માટે એકમ હોય અને સરવાળાના એકમ સિવાયના દરેક ઘટક માટે ગુણાકારનો વ્યસ્ત હોય તો મંડળને ભાગાકાર મંડળ (division ring) કહે છે. સમક્રમી ભાગાકાર મંડળને ક્ષેત્ર કહે છે. જો + અને × સંખ્યાઓના જાણીતા સરવાળા અને ગુણાકાર સૂચવે તો (Z, +, x)  ગુણાકારના એકમ સાથેનું સમક્રમી મંડળ છે, પરંતુ ક્ષેત્ર નથી, જ્યારે (Q, +, x), (R, +, x) અને (⊄, +, x) એ ક્ષેત્રો છે. આ બધાં અનંત ક્ષેત્રો છે. સાંત ક્ષેત્ર અંગેનું રસપ્રદ પરિણામ એ છે કે આવા ક્ષેત્રમાં ઘટકોની સંખ્યા pⁿ પ્રકારની જ હોઈ શકે, જ્યાં p કોઈ અવિભાજ્ય સંખ્યા અને n કોઈ પ્રાકૃતિક સંખ્યા હોય, ઊલટી રીતે, આપેલી અવિભાજ્ય સંખ્યા p અને પ્રાકૃતિક સંખ્યા n માટે pⁿ ઘટકોવાળું ક્ષેત્ર મળે જ.

ક્ષેત્ર ન હોય તેવા ભાગાકારમંડળનું ઉદાહરણ ક્વૉટર્નિયન(quaternion)નો ગણ પૂરું પાડે છે. આઇરિશ ગણિતશાસ્ત્રી હૅમિલ્ટને (1805–1865) ક્વૉટર્નિયનનો ખ્યાલ આપ્યો. જેમ સંકર સંખ્યા એ વાસ્તવિક સંખ્યાઓની જોડ (a, b) છે અને તેને a + bi દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, તેમ ક્વૉટર્નિયન એ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનું ચતુષ્ટ્ય (quadruplet) (a, b, c, d) છે અને તેને a + bi + cj + dk દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. સંકેતો i, j, kના ગુણાકાર i² = j² = k² = –1 અને ij = k, jk = i, ki = j, ji = –k, kj = –i, ik = –j એ પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. ક્વૉટર્નિયનો x = a₁ + b₁i + c₁j + d₁k અને y = a₂ + b₂i + c₂j + d₂kનો સરવાળો x + y = (a₁ + a₂) + (b₁ + b₂)i + (c₁ + c₂)j + (d₁ + d₂)k એ રીતે વ્યાખ્યાયિત થાય છે. ગુણાકાર xy જેમ બે બહુપદીનો ગુણાકાર કરીએ તેમ કરવામાં આવે છે. તેમાં પદ જે ક્રમમાં આવે એ ક્રમમાં જ ગુણવામાં આવે છે અને i, j, kના ગુણાકાર ઉપર મુજબ લેવામાં આવે છે. આ સરવાળા અને ગુણાકારની ક્રિયાઓ સાથે ક્વૉટર્નિયનનો ગણ ભાગાકાર મંડળ બને છે. ij ≠ ji હોવાથી ગુણાકાર સમક્રમી નથી. એટલે આ ભાગાકાર મંડળ ક્ષેત્ર નથી. ક્વૉટર્નિયનના ઉદાહરણ દ્વારા હૅમિલ્ટને બીજગણિતના અભ્યાસને સંખ્યાઓની સીમાની મર્યાદામાંથી મુક્ત કર્યો. બીજી બધી રીતે સંખ્યાઓના ગુણાકારની જેમ જ વર્તતી કોઈ ક્રિયા અસમક્રમી હોઈ શકે એ બતાવી તેણે બીજગણિતના અભ્યાસમાં નવો ચીલો પાડ્યો. આ માટે હૅમિલ્ટનને આધુનિક બીજગણિતનો પિતા લેેખવામાં આવે છે.

ઓગણીસમી સદીની પહેલી પચ્ચીસીમાં આબેલ અને ગાલ્વાએ સમક્રમી સમૂહ અને ક્ષેત્રના ખ્યાલ વિકસાવ્યા. સમૂહનો વ્યાપક ખ્યાલ ફ્રેંચ ગણિતશાસ્ત્રી કોશીએ (1789–1857) આપ્યો. ક્વૉટર્નિયનોનો અભ્યાસ હૅમિલ્ટને કર્યો. જર્મન ગણિતજ્ઞ ગ્રાસમાને (1809–1877) સદિશો પરના જુદા જુદા ગુણાકાર દ્વારા વ્યાખ્યાયિત બંધારણોનો ઊંડો અભ્યાસ કર્યો. અંગ્રેજ ગણિતશાસ્ત્રી જ્યૉર્જ બૂલ(1815–1864)નું બૂલીય બીજગણિત તાર્કિક વિધાનોના અભ્યાસમાં ઉપયોગી પુરવાર થયું. શ્રેણિકોનું ગણિત અંગ્રેજ ગણિતશાસ્ત્રીઓ સિલ્વેસ્ટર (1814–1897) અને આર્થર કેલી(1821 –1895)એ વિકસાવ્યું. આમ ઓગણીસમી સદીમાં આધુનિક બીજગણિત ઉદભવ પામ્યું અને ખૂબ સમૃદ્ધ પણ બન્યું. બૈજિક બંધારણની પૂર્વધારણાઓમાંથી એ બંધારણને લગતાં પરિણામો તારવી શકાય અને આ પરિણામો જે કોઈ ગણ અને તેના પરની ક્રિયાઓ આ બંધારણ બનાવે તેને લાગુ પાડી શકાય. આ ગણના ઘટકો પછી સંખ્યાઓ હોય, વિધેયો હોય, શ્રેણિકો હોય, ક્રમચયો હોય, કોઈ રાસાયણિક સંયોજનના અણુની સમમિતિઓ હોય કે વીજ-તારમાંના વીજપ્રવાહને નિયંત્રિત કરતી સ્વિચની બંધ કે ચાલુ સ્થિતિઓ હોય. આમ અમૂર્તમાંથી સાકારમાં જઈ શકાય, એક વ્યાપક ખ્યાલના અભ્યાસનાં તારણો ઘણાં વિશિષ્ટ ઉદાહરણોમાં લાગુ પાડી શકાય – એ આધુનિક બીજગણિતનું મહત્વ છે. આને કારણે ગણિતની અન્ય શાખાઓના અભ્યાસ પર આધુનિક બીજગણિતનો પ્રભાવ પડ્યો છે અને ભૌતિકશાસ્ત્ર અને રસાયણશાસ્ત્રનાં કેટલાંક વિષમાંગોના અભ્યાસમાં પણ તે ઉપયોગી પુરવાર થયું છે.

મહાવીરેન્દ્ર હરિપ્રસાદ વસાવડા

બૂલીય બીજગણિત (Boolean algebras)

બૂલીય બીજગણિત એક બીજગણિતીય સંરચના (structure) છે, જેનો સૌપ્રથમ વ્યવસ્થિત અભ્યાસ અંગ્રેજ ગણિતશાસ્ત્રી જ્યૉર્જ બૂલે(George Boole) ઓગણીસમી સદીના મધ્યભાગમાં શરૂ કરેલો. સાંકેતિક તર્કશાસ્ત્ર(symbolic logic)માં તેમનું સંશોધન ‘માનસપ્રક્રિયાના નિયમો’ (Laws of Thought) શીર્ષકથી ઈ.સ. 1854માં પ્રકાશિત થયું; જેણે ગણિતીય તર્કશાસ્ત્રનો પાયો નાંખ્યો એમ કહી શકાય. છેક સત્તરમી સદીથી સાંકેતિક તર્કશાસ્ત્રમાં સંશોધનો થતાં હતાં અને આ સદીના ચોથા દાયકા સુધીમાં આ વિષયમાં 2,500થી વધુ પ્રદાનો નોંધાયેલાં છે; પરંતુ તેમાંથી ગણિતશાસ્ત્રમાં બહુ થોડાં જ સ્થાન પામ્યાં છે. તેમાં બૂલીય બીજગણિત આગળપડતું સ્થાન ધરાવે છે. આપણે બૂલીય બીજગણિતને જે રીતે જાણીએ છીએ તેવા આધુનિક સ્વરૂપમાં તેને રજૂ કરવાનું શ્રેય વર્નસ્ટાઇન, એમ. એચ. સ્ટોન અને વૉન-ન્યુમાન જેવા ગણિતશાસ્ત્રીઓને ફાળે જાય છે, જે 1924–40 દરમિયાન બન્યું. હાલના સમયમાં માત્ર ગણિતીય તર્કશાસ્ત્રમાં જ નહિ, પરંતુ કમ્પ્યૂટર-વિજ્ઞાન અને ઇલેક્ટ્રિકલ એન્જિનિયરિંગ જેવી વિજ્ઞાન અને ટેક્નૉલોજીની આધુનિક શાખાઓમાં પણ બૂલીય બીજગણિત અત્યંત ઉપયોગી છે.

વ્યાખ્યા : આપેલ ગણ B, તેના પરની બે દ્વિકક્રિયાઓ (binary operations) + અને · સાથે નિમ્નિલિખિત પૂર્વધારણાઓનું પાલન કરે તો તેને બૂલીય બીજગણિત કહેવાય.

1. દ્વિકક્રિયાઓ + અને · સમક્રમી (commutative) છે; એટલે કે Bના કોઈ પણ બે ઘટકો a અને b માટે a + b = b + a અને a · b = b · a થાય.

2. બંને દ્વિકક્રિયાઓ એકબીજીનું વિભાજન કરે છે; એટલે કે Bના કોઈ પણ ત્રણ ઘટકો a, b અને c માટે a · (b + c) = a · b + a · c અને a + b·c = (a + b) · (a + c) થાય.

3. Bમાં દ્વિકક્રિયા + ને સાપેક્ષ એકમ ઘટક 0 છે; એટલે કે Bના પ્રત્યેક ઘટક a માટે a + 0 = a થાય.

4. Bમાં દ્વિકક્રિયા ને સાપેક્ષએકમ ઘટક 1 છે; એટલે કે Bના પ્રત્યેક ઘટક a માટે a · 1 = a થાય.

5. Bના પ્રત્યેક ઘટક aને અનુરૂપ Bમાં એવો ઘટક a´ મળે કે જેથી a + a´ = 1 અને a·a´ = 0 થાય. આ ઘટક a´ને aનો ‘પૂરક ઘટક’ કહે છે.

ઉપર્યુક્ત વ્યાખ્યા પરથી નીચેનાં મહત્વનાં પરિણામો સરળતાથી તારવી શકાય :

(i) દ્વિત્વનો સિદ્ધાંત (the principle of duality) : કોઈ પરિણામ આપેલ બૂલીય બીજગણિતમાં સાચું હોય તો તેના વિધાનમાં + અને · તથા 0 અને 1 નું સ્થાનાંતર કરતાં મળતું પરિણામ પણ સાચું રહે છે; દા.ત., ‘જો a + b = c હોય તો a · c´ = 0 થાય’ નું દ્વૈત પરિણામ ‘જો a · b = c હોય તો a + c´ = 1 થાય’ થશે.

(ii) બૂલીય બીજગણિતના કોઈ પણ ઘટક a માટે a + a = a અને a · a = a થાય.

(iii) બૂલીય બીજગણિતના કોઈ પણ ઘટક a માટે a + 1 = 1 અને a · 0 = 0 થાય.

(iv) સંમિલિતતાનો નિયમ (The absorption theorem) : બૂલીય બીજગણિતના ઘટકો a અને b માટે.

a + (a · b) = a અને a · (a + b) = a થાય.

(આમાંનું બીજું પરિણામ પહેલા પરિણામ પર દ્વિત્વનો સિદ્ધાંત લગાડવાથી મળે છે તે નોંધપાત્ર છે.)

(v) અતિક્રમતાનો નિયમ (the overlap theorem) : બૂલીય બીજગણિતના ઘટકો a અને b માટે a + (a´ · b) = a + b થાય.

(vi) દ્વિકક્રિયાઓ + અને · સંગઠિત છે; એટલે કે બૂલીય બીજગણિતનાં ઘટકો a, b અને c માટે

a + (b + c) = (a + b) + c અને a · (b · c) = (a · b) · c થાય.

(vii) બૂલીય બીજગણિતના પ્રત્યેક ઘટક a માટે (a´)´ = a થાય.

(viii) એકમ ઘટકો 0 અને 1 અનન્ય (unique) છે.

(ix) દ´ મૉર્ગનના નિયમો (De Morgan’s laws) : બૂલીય બીજગણિતના ઘટકો a અને b માટે (a + b)´ = a´ · b´ અને (a · b)´ = a´ + b´ થાય.

બૂલીય બીજગણિતનાં એકાદ બે ઉદાહરણોથી તેને વિશેષ સમજીએ.

ઉદાહરણ 1 : ∪ સાર્વત્રિક ગણ (universal set) છે અને B એ ∪ના બધા ઉપગણોનો ગણ છે. ગણની પ્રચલિત યોગ (∪) અને છેદ () ક્રિયાઓને B પરની બે દ્વિકક્રિયાઓ તરીકે લઈએ તો બૂલીય બીજગણિતની બધી પૂર્વધારણાઓનું પાલન થાય છે, જેમાં 1ના સ્થાને સાર્વત્રિક ગણ ∪, 0ના સ્થાને ખાલી ગણ Φ અને ગણ A નો પૂરક ગણ A´ તેના પૂરક ઘટકના સ્થાને છે.

સ્ટોનના પ્રતિનિધિત્વના પ્રમેય (representation theorem) મુજબ કોઈ પણ બૂલીય બીજગણિત આ પ્રકારના બૂલીય બીજગણિતના કોઈ ઉપબીજગણિત (subalgebra) સાથે એકરૂપ (isomorphic) હોય છે.

ઉદાહરણ 2 : ધારો કે B = {0, 1} છે. જો B ઉપર દ્વિકક્રિયાઓ + અને · નીચેના કોષ્ટક મુજબ વ્યાખ્યાયિત કરીએ તો B એ બૂલીય બીજગણિત થાય છે, તે સરળતાથી ચકાસી શકાય.

બૂલીય બીજગણિતના ઉપયોગો :

(i) તર્કશાસ્ત્ર : કોઈ પણ વિધાનને p, q, r …. થી દર્શાવીશું, જે સાચું અથવા ખોટું હોઈ શકે. આવાં બધાં વિધાનોના ગણ ઉપર બે દ્વિકક્રિયાઓ વિયોગ (disjunction) ν અને યોગ (conjuction) ∧ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત કરીએ.

p∨q એવું વિધાન છે જે p અથવા q અથવા બંને સાચાં હોય તો સાચું છે.

p∧q એવું વિધાન છે જે p અને q બંને સાચાં હોય તો જ સાચું છે.

વળી કોઈ પણ વિધાનના નકાર(negation)ને તેનો ‘પૂરક ઘટક’ લઈએ, તો એક બૂલીય બીજગણિત મળે છે; જેમાં oના સ્થાને ‘હમેશાં મોટું જ હોય’ તેવું વિધાન અને 1ના સ્થાને ‘હંમેશાં સત્ય જ હોય’ તેવું વિધાન લઈ શકાય. હવે બૂલીય બીજગણિતના નિયમો/પરિણામોનો ઉપયોગ કરીને સંયુક્ત-વિધાનની સત્યાર્થતા તથા કોઈ પણ તર્કયુક્ત દલીલની સત્યતા (validity) તપાસી શકાય; તેમજ જટિલ વાક્યમાંથી સાદો અર્થ મેળવી શકાય; જેમ કે ‘મિતાલી કહે છે કે જો દિની આવે અને સચીન આવે અથવા દિની ન આવે પણ જૉલી આવે અથવા દિની, જૉલી ને સચીન આવશે તો જ હું આવીશ.’ આમાં ચાર વિધાનો ‘દિની આવે’, ‘સચીન આવે’, ‘જૉલી આવે’, ‘હું (મિતાલી) આવું’ છે, જેને p, q, r, s થી દર્શાવી અથવા (∨) અને (∧) વાપરી, સાદું રૂપ આપતાં માત્ર r → s (જો r સાચું હોય તો s પણ સાચું છે.) મળે છે, એટલે કે હકીકતમાં માત્ર જૉલી આવશે તો પણ મિતાલી આવશે.

(ii) વીજજોડાણ : ચાંપ (switch) માટે a, b, c…… જેવા સંકેતો વાપરીશું અને કોઈ પણ વીજજોડાણ(electric circuit)માં જો બે ચાંપ એકસાથે જ ખુલ્લી કે બંધ રહેલી હોય તો તે બંને માટે એક જ સંકેત વાપરીશું. જો બે ચાંપ a અને b સમાંતર (parallel) જોડાણમાં હોય તો તેના પરિણામને a + b અને શ્રેણી(series)માં હોય તો a · bથી દર્શાવીશું. આ રીતે આપણને બે દ્વિકક્રિયાઓ મળે છે. વળી a સંકેતથી ખુલ્લી ચાંપ દર્શાવીએ તો a´ તે જ ચાપ બંધ હોય તેવી પરિસ્થિતિ દર્શાવે છે.

જો વીજજોડાણમાં પ્રવાહ વહેતો હોય તે ઘટનાને 1 અને ન વહે તેને 0 વડે દર્શાવીએ તો આપણને વીજજોડાણનું બૂલીય બીજગણિત મળે છે. હવે બૂલીય બીજગણિતના જાણીતા નિયમો વાપરી આ વીજજોડાણોનું કામ સરળ બનાવી શકાય. દાખલા તરીકે, ધારો કે નીચે દર્શાવ્યા મુજબનું વીજજોડાણ આપ્યું છે :

ઉપર્યુક્ત સંકેતો મુજબ આ વીજ-જોડાણને {a · (b + a´)} + {b · (c + b)} + bથી દર્શાવી શકાય, જેનું સાદું રૂપ માત્ર b છે એટલે કે ઉપર દર્શાવેલ જોડાણને બદલે માત્ર – b – જોડાણ પૂરતું છે !

જ્યાં જ્યાં વીજજોડાણો આવતાં હોય, બનાવવાનાં હોય તેવાં સાધનોમાં બૂલીય બીજગણિત ઉપયોગી બને છે. વળી દરેક પ્રકારનાં ગણકયંત્રોમાં પણ તેનો ઉપયોગ થાય છે.

શુદ્ધ ગણિત(pure mathematics)ની રીતે બૂલીય બીજગણિતને ‘પૂરક વિભાજિત જાળ’ (complemented distributive lattice) તરીકે પણ લઈ શકાય છે. જો બૂલીય બીજગણિત B આપેલું હોય તો તેના ઘટકો પર ‘a ≤ b જો a · b = a´ એ શરતથી સંબંધ < વ્યાખ્યાયિત થઈ શકે. આ સંબંધ એ ‘આંશિક ક્રમ સંબંધ’ (partical ordered relation) છે; એટલે કે આ સંબંધ સ્વવાચક (reflexive), વિસંમિત (antisymmetric) અને પરંપરિત (transitive) છે. વળી a + b એ a અને b ની લઘુતમ ઊર્ધ્વસીમા અને a · b એ a અને bની મહત્તમ અધ:સીમા બને છે. આ રીતે એક જાળ મળે છે; જે પૂરક અને વિભાજિત છે. બીજી તરફ જો આવી પૂરક વિભાજિત જાળ આપેલી હોય તો તેમાં યોગ્ય રીતે દ્વિકક્રિયાઓ + અને · વ્યાખ્યાયિત કરતાં બૂલીય બીજગણિત મળે છે.

વળી બૂલીય મંડળ (Boolean ring) તરીકે પણ બૂલીય બીજગણિત વ્યાખ્યાયિત થઈ શકે. બૂલીય મંડળ એટલે એવું મંડળ (ring) જેમાં દરેક ઘટક સ્વયંવર્ગી (idempotent) છે. પ્રત્યેક બૂલીય બીજગણિત એક બૂલીય મંડળ આપે છે અને તેથી ઊલટું પણ સાચું છે.

બૂલીય બીજગણિત એક બીજગાણિતીય સંરચના છે એટલે તેનો માત્ર બીજગણિતીય અભ્યાસ પણ થઈ શકે છે, જેમાં ઉપબીજગણિત (subalgebra), ઇષ્ટમંડળો (ideals), સમરૂપતા (homomorphism), એકરૂપતા ઇત્યાદિનો સમાવેશ થાય છે.

શુદ્ધ ગણિતશાસ્ત્રના માપન-સિદ્ધાંત (measure theory), સંસ્થિતિ-વિદ્યા (topology), વિધેયક-વિશ્લેષણ (functional analysis) જેવી શાખાઓમાં પણ બૂલીય બીજગણિત પ્રાયોજાય છે.

રેખા મહેતા

સુરેખ બીજગણિત (linear algebra)

સુરેખ બીજગણિત એટલે વિશિષ્ટ પ્રકારના ગણો વચ્ચે વિશિષ્ટ ગુણધર્મો ધરાવતાં વિધેયોનો અભ્યાસ. વિશિષ્ટ પ્રકારના ગણોને સદિશ અવકાશ (vector space) અને વિશિષ્ટ ગુણધર્મો ધરાવતાં વિધેયોને સુરેખ-વિધેયો (linear functions) કહેવામાં આવે છે.

ઓગણીસમી તથા વીસમી સદીમાં ગણિતનો સર્વાંગી વિકાસ થયો. આ વિકાસમાં પૂર્વધારણાયુક્ત અરૂપ રચનાઓ (abstract structures)નો મુખ્ય ફાળો છે. ગણિત તથા અન્ય વિષયોના અભ્યાસમાં વિવિધ નક્કર-રચનાઓમાં રહેલ સામાન્ય મૂળભૂત ગુણધર્મોને પૂર્વધારણાઓ (postulates) તરીકે સ્વીકારી મળતી અરૂપ-રચનાઓના તર્કબદ્ધ અભ્યાસને પ્રાધાન્ય મળ્યું, આવી એક અરૂપ રચના સુરેખ-બીજગણિત છે.

સદિશ અવકાશ : V અરિક્ત (non-empty) ગણ છે તથા F ક્ષેત્ર (field) છે તેનો સંકેત * (star) છે. ગણ Vના ઘટકોને સદિશ (vector) કહેવામાં આવે છે. તેને રોમન અક્ષરો x, y, z, ……. વડે દર્શાવવામાં આવે છે. જ્યારે ક્ષેત્ર Fના ઘટકો(elements)ને અદિશ (scalar) કહેવામાં આવે છે અને તેને ગ્રીક અક્ષરો α, β, γ…….. વડે દર્શાવવામાં આવે છે. ગણ V પર સદિશ સરવાળા સંકેત (+ પ્લસ) તરીકે ઓળખાતી દ્વિક્ક્રિયા (binary operation) વ્યાખ્યાયિત છે. તદુપરાંત Vના સદિશ તથા Fના સદિશ αનો અદિશગુણાકાર (scalar product) સદિશ αx પણ વ્યાખ્યાયિત છે. જો આ બે ક્રિયાઓ નીચે દર્શાવેલા ગુણધર્મોનું પાલન કરે તો Vને F પરનો સદિશ અવકાશ (vector space) કહેવામાં આવે છે. :

(i) (V, +) સમક્રમી સમૂહ (commutative group) છે. વળી સદિશ x, y તથા અદિશ α, β માટે

(ii) α (x + y) = αx + αy

(iii) (α + β) x = αx + βx

(iv) α (βx) = αβx

(v) 1x = x (અહીં 1, ક્ષેત્ર Fનો ગુણાકાર માટેનો એકમ ઘટક છે.)

સમૂહ (V, +)ના એકમ ઘટક્ધો શૂન્ય સદિશ (null vector) કહેવામાં આવે છે તેને θ સંકેતથી દર્શાવવામાં આવે છે.

F = વાસ્તવિક (real) સંખ્યાઓના ક્ષેત્ર માટે Vને વાસ્તવિક સદિશ અવકાશ (real vector space) અને F = ⊄ સંકર (complex) સંખ્યાઓના ક્ષેત્ર માટે Vને સંકર સદિશ અવકાશ (complex vector space) કહેવામાં આવે છે.

સદિશ અવકાશનાં બે પ્રચલિત ઉદાહરણો :

(i) ⁿ = {(x₁, x₂, …….., x_n)/x_iε,1 ≤ i ≤ n} વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ક્રમયુક્ત n-ટુપલ(tuples)નો ગણ છે. તેમાં સદિશ સરવાળા (vector sum) તથા અદિશ ગુણાકાર (scalar product) નીચે દર્શાવ્યા મુજબ આપવામાં આવે છે :

x = (x₁, x₂, …….., x_n), y = (y₁, y₂, ……..y_n) εⁿ તથા αε (વાસ્તવિક માટે x + y = (x₁ + y₁, x₂ + y₂, ………,x_n + y_n) અને α_x = α(x₁, x₂, ……, x_n) = (αx₁, αx₂, ……. αx_n).

(ii) ગણ C [0, 1] = {f: [0, 1] →  સતત વિધેય છે} તેમાં સદિશ સરવાળા તથા અધિશ ગુણાકારની વ્યાખ્યા નીચે દર્શાવ્યા મુજબ છે; f, g ε [0, 1] તથા α ε માટે (f + g) (t) = f(t) + g(t), (αf) (t) = αf(t), tε [0, 1] છે. આ બંને વાસ્તવિક અવકાશનાં ઉદાહરણો છે. આ ઉદાહરણોમાં ને બદલે ⊄ મૂકીએ તો અનુરૂપ સંકર અવકાશો મળે છે. સદિશ અવકાશ સાથે સંકળાયેલા અગત્યના ખ્યાલો (notion) : ઉપાવકાશ (subspace) : સદિશ અવકાશ Vનો અરિક્ત ઉપગણ U, Vમાંની સદિશ સરવાળા તથા અદિશ ગુણાકારની વ્યાખ્યા નીચે F પરનો સદિશ અવકાશ બને તો U અને Vનો ઉપાવકાશ કહેવામાં આવે છે.

સુરેખ સંયોજન (linear combination) : ક્ષેત્ર F પરનો સદિશ અવકાશ V છે. Vના સદિશો x₁, x₂, ….., x_n તથા અદિશો α₁, α₂, ….., α_n માટે સદિશ x = α₁x₁ + α₂x₂ + …….. + α_nx_n ને x₁, x₂, ……, x_n સદિશોનું સુરેખ સંયોજન (linear combination) કહેવામાં આવે છે.

સુરેખ વિસ્તૃતિ (span) : સદિશ અવકાશ Vના અરિક્ત ઉપગણ S માટે Sનાં બધાં શક્ય સુરેખ સંયોજનોના ગણને, ગણ Sની સુરેખ વિસ્તૃતિ (સંકેત [S]) કહેવામાં આવે છે. સુરેખ વિસ્તૃતિ [S], ગણ [S]ને સમાવતા સદિશ અવકાશ Vનો સૌથી નાનો ઉપાવકાશ છે.

સુરેખ અવલંબી સદિશો (linearly dependent vectors) : સદિશ અવકાશ Vના આપેલ સાંત સદિશો x₁, x₂, …….., x_n માટે બધા જ શૂન્ય ન હોય તેવા અદિશો α₁, α₂, ……, α_n મેળવી શકાય છે કે જેથી α₁x₁ + α₂x₂ + …… + α_nx_n = θ થાય તો x₁, x₂, ……. x_n સદિશોને સુરેખ અવલંબી કહેવામાં આવે છે, સુરેખ અવલંબી ન હોય તેવા સદિશોને સુરેખ સ્વાયત્ત (linearly independent) કહેવામાં આવે છે. સદિશ x₁, x₂, …….. x_n સુરેખ સ્વાયત્ત થવા માટે જરૂરી અને પર્યાપ્તશરત α₁x₁ + α₂x₂ + ……. + α_nx_n = θ ⇒ α₁ = α₂ = …… = α_n = θ છે. વાસ્તવિક સદિશ અવકાશ ³ માં સદિશો (1, 2, 3), (–2, 0, 1), (1, 1, 0), (0, 5, 8) સુરેખ અવલંબી છે જ્યારે સદિશો (1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1) સુરેખ સ્વાયત્ત છે. જો સદિશ અવકાશ Vના અરિક્ત (non-empty) ઉપગણ Sનો પ્રત્યેક સાંત (finite) ઉપગણ સુરેખ સ્વાયત્ત બને તો Sને સુરેખ સ્વાયત્ત ગણ કહેવામાં આવે છે.

આધાર (basis) જો સદિશ અવકાશ Vના અરિક્ત ઉપગણ B માટે

(i) B સુરેખ સ્વાયત્ત તથા (ii) [B] = V થાય તો Bને સદિશ અવકાશ Vનો આધાર કહેવામાં આવે છે. સદિશ અવકાશ ³નો એક આધાર {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} છે.

પ્રમેય : (i) સદિશ Vના અરિક્ત ઉપગણ B, Vનો આધાર થાય તે માટે જરૂરી અને પર્યાપ્ત શરત એ છે કે Vના પ્રત્યેક ઘટક xને Bના ઘટકોના સુરેખ સંયોજન તરીકે અનન્ય રીતે (uniquely) દર્શાવી શકાય છે. (ii) પ્રત્યેક શૂન્યેતર સદિશ અવકાશ માટે આધાર અસ્તિત્વ ધરાવે છે. (iii) સદિશ અવકાશ Vના કોઈ પણ બે આધાર વચ્ચે એક-એક (one-to-one) સંગતતા (correspondence) અસ્તિત્વ ધરાવે છે.

સદિશ અવકાશનાં પરિમાણ (dimension) : શૂન્યેતર સદિશ અવકાશ Vના કોઈ એક આધારમાં રહેલ ઘટકોની સંખ્યાને તેનું પરિમાણ (સંકેત dim V) કહેવામાં આવે છે. શૂન્ય સદિશ અવકાશનું પરિમાણ શૂન્ય છે તેમ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. શૂન્યેતર સદિશ અવકાશનાં પરિમાણ સાંત સંખ્યા n હોય તો અવકાશને n પરિમાણવાળો (n-dimensional) સાંત સદિશ અવકાશ (finite vector space) કહેવામાં આવે છે. (સંકેત dimV =n). સાંત પરિમાણ ન હોય તેવા સદિશ અવકાશને અનંત પરિમાણવાળો (infinite dimensional) અવકાશ કહેવામાં આવે છે.

સુરેખ વિધેય (linear transforamtion) ક્ષેત્ર F પર વ્યાખ્યાયિત V તથા U સદિશ અવકાશો છે. વિધેય T : V → U

(i) T(x + y) = T(x) + T(y); x, y ε V

(ii) T(αx) = αT(x); xεV, αεFનું પાલન કરે તો સદિશ અવકાશ Vથી સદિશ અવકાશ U પરનું સુરેખ વિધેય કહેવામાં આવે છે. આમ સુરેખ વિધેય એટલે સદિશ સરવાળા તથા અદિશ ગુણાકારની જાળવણી કરતું અને એક સદિશ અવકાશ પરથી બીજા સદિશ અવકાશ પર વ્યાખ્યાયિત વિધેય. સદિશ અવકાશ Vના કોઈ એક આધાર પર પ્રદેશગણ વ્યાખ્યાયિત કરવો પૂરતો છે ને સુરેખ વિધેયનો એક અગત્યનો ગુણધર્મ છે.

વિધેય : T : ³ → R², T (x₁, x₂, x₃) = (x₁ + x₂ – x₃, x₁ + 2x₃) તથા વિધેય S : C [0, 1] → R, S(f) = f(½), fεC [0, 1] સુરેખ વિધેયો છે. સુરેખ વિધેય T : V → U માટે ગણ N(T) = {xεV / T(x) = θ}તથા R(T) = {Tx / xεV}ને અનુક્રમે Tનો શૂન્ય સદિશ અવકાશ (null vector space) તથા વિસ્તાર કહેવામાં આવે છે. dim N(T) તથા dim R(T)ને અનુક્રમે Tના શૂન્યાંક (nullity) [સંકેત (n(T)] તથા કોટવાંક (rank-r(T)] કહેવામાં આવે છે. સાંત પરિમાણવાળા સદિશ અવકાશ પર વ્યાખ્યાયિત સુરેખ વિધેય માટે અગત્યનું પરિણામ છે. પ્રમેય (કોટ્યાંક-શૂન્યાંક પ્રમેય) સુરેખ વિધેય T : V → Uમાં સદિશ અવકાશ Vનાં પરિમાણ સાંત હોય તો r(T) + n(T) = dim V આ પ્રમેય પરથી પરિણામ dim V = dim U < α માટે એક-એક હોય તો અને તો જ T વ્યાપ્ત (onto) ફલિત થાય છે. આપેલ સદિશ અવકાશો V તથા U માટે ગણ L(V,U) = {T/T :  V → U સુરેખ વિધેય છે}.

સદિશ સરવાળા : (T + S) (x) = T(S) + S(x), T, S ε L (V, U), xεV.

અદિશ ગુણાકાર : (αT) (x) = αT(x), TeL (V, U), α અદિશ, xεV આ નિયમો અનુસાર સદિશ અવકાશ બને છે. ઉપરાંત V = U લેતાં T, S ε L (V, U) માટે સુરેખ સંયોજન T O S ε L (V, U), સદિશ અવકાશ L(V, U)માં બે સદિશોનો ગુણાકાર TS = TOS લેતાં નીચેના ગુણધર્મો મળે છે. S, T, R ε L (V, U) માટે S (TR) = (ST) R, S(T + R) = ST + SR (T+S) R = TR + SR, (αT)R = T(αR) = α(TR). અહીં સદિશ અવકાશ L(V, U)ને બીજગણિત કહેવામાં આવે છે. વ્યાપક રીતે ક્ષેત્ર F પર વ્યાખ્યાયિત સદિશ અવકાશ Vમાં બે સદિશોના ગુણાકારની દ્વિકક્રિયા વ્યાખ્યાયિત હોય તથા આ દ્વિકક્રિયા સંગઠનના અને વિભાજનના ગુણધર્મોનું તથા ગુણધર્મ (αx)y = x(αy) = α(x,y), x, y ε V, α ε Fનું પાલન કરે તો તેને બીજગણિત કહેવામાં આવે છે. સદિશ અવકાશ C[0, 1] સદિશોના ગુણાકારની વ્યાખ્યા (fg) (t) = f(t) g(t), fg∈ C [0, 1] t∈ [0, 1] નીચે બીજગણિત બને છે. સદિશ અવકાશનો અભ્યાસ શરૂ થયો તેના ઘણા સમય અગાઉથી શ્રેણિક(matrix)નો અભ્યાસ ગણિતની એક સ્વતંત્ર શાખા તરીકે કરવામાં આવતો હતો. બીજગણિત, સુરેખ સમીકરણ, સંહતિ અને સુરેખ વિકલ સમીકરણોના ઉકેલ મેળવવામાં તેમજ ભૌતિકશાસ્ત્ર, આંકડાશાસ્ત્ર તથા અર્થશાસ્ત્રમાં શ્રેણિકના નિશ્ર્ચાયકનો ઉપયોગ થયો હતો. ખરું જોતાં, 1693માં જર્મન ગણિતશાસ્ત્રી લાઇબ્નિઝે n અજ્ઞાત ચલોવાળાં n સુરેખ સમીકરણોની સંહતિના ઉકેલ માટે નિશ્ચાયક(determinant)ની વ્યાખ્યા આપી હતી. 1750માં ગણિતજ્ઞ ક્રેમરે સુરેખ સમીકરણ સંહતિના ઉકેલ માટે – ‘ક્રેમરના નિયમ’ તરીકે જાણીતો થયેલો નિયમ નિશ્ચાયકોની મદદથી મેળવ્યો. 1850માં ગણિતશાસ્ત્રી સિલ્વેસ્ટરે શ્રેણિકની વ્યાખ્યા આપી અને નિશ્ચાયકને શ્રેણિક સાથે સંકળાયેલી સંખ્યા તરીકે દર્શાવ્યાં. 1855માં ગણિતશાસ્ત્રી સર આર્થિર કેઈલીએ શ્રેણિકોનું બીજગણિત (matrix algebra) રચી વ્યવસ્થિત અભ્યાસ કર્યો.

બે સાંત પરિમાણવાળા સદિશ અવકાશો V તથા U વચ્ચે વ્યાખ્યાયિત સુરેખ વિધેય સાથે એક અનન્ય શ્રેણિકને સહજ રીતે સાંકળી શકાય છે, આથી શ્રેણિકોના અભ્યાસમાં એકસૂત્રતા તથા સરળતા આવી છે.

શ્રેણિક : ક્ષેત્ર F પર વ્યાખ્યાયિત સદિશ અવકાશો V તથા U માટે dim V = n તથા dim U = m તથા B₁ = {V₁, V₂, V₃, ……, V_n} અને B₂ = {U₁, U₂, ………, U_m} અનુક્રમે V તથા Uના આધાર છે. આ બંને આધારમાં સદિશોનો ક્રમ જાળવવામાં આવ્યો છે. આપેલ સુરેખવિધેય T : V → U માટે TV_j = , 1 ≤ j ≤ n થાય તો mn અદિશો (α_ij) ને લંબચોરસ સારણી(array) માં ગોઠવણીને સુરેખ વિધેય Tનો આધાર B₁ તથા B₂ને અનુલક્ષી (corresponding) શ્રેણિક કહેવામાં આવે છે. આ લંબચોરસ સારણીમાં m હાર (row) તથા n સ્તંભ (column) હોવાથી તેને m × n શ્રેણિક કહેવામાં આવે છે તથા તેને સંક્ષેપમાં (α_ij)_m×n સંકેતથી દર્શાવવામાં આવે છે. α_ijને શ્રેણિકનો (i, j)મો ઘટક કહેવામાં આવે છે. અહીં પ્રત્યેક α_ij∈F હોવાથી શ્રેણિક્ધો ક્ષેત્ર F પરનો m × n શ્રેણિક કહેવામાં આવે છે અને [T, B₁, B₂] = (α_ij) એમ લખવામાં આવે છે.

ક્ષેત્ર F પર વ્યાખ્યાયિત બધા m × n શ્રેણિકોના ગણને M_m×n(F)થી દર્શાવીએ તો સુરેખ વિધેયોના સદિશ સરવાળા તથા અદિશ ગુણાકારની વ્યાખ્યા પરથી ગણ M_m×n વચ્ચે અને સુરેખ બીજગણિતો L(V,U) તથા M_m×n વચ્ચે એકરૂપતા (isomorphism) અસ્તિત્વ ધરાવે છે. આ એકરૂપતાની મદદથી સદિશ અવકાશ L (V, U)ના કોઈ પણ પ્રશ્નનું સદિશ અવકાશ M_m×n(F)માં રૂપાંતર કરી શકાય. અવકાશ M_m×n(F)માં તેનો ઉકેલ મેળવી સદિશ અવકાશ L (V, U)માં જોઈતો ઉકેલ મેળવી શકાય. આ એકરૂપતાનો સુંદર ઉપયોગ સુરેખ સમીકરણ-સંહતિના ઉકેલ અસ્તિત્વ ધરાવતા હોય ત્યારે વ્યાપક ઉકેલ મેળવવામાં થાય છે. ઉપરાંત પ્રત્યેક સુરેખ વિધેય સાથે સંકળાયેલ એક અનન્ય સંખ્યા દ્વારા શ્રેણિકના નિશ્ચાયકની વ્યાખ્યા તથા તેના ગુણધર્મો સાહજિક રીતે મેળવી શકાય છે.

સુરેખ વિધેયનો વર્ણપટ (spectrum) : V સંકર સદિશ અવકાશ છે. T∈L (V, V) માટે σ(T) = {λ∈⊄/T-λI સામાન્ય વિધેય છે} [{λ∈⊄/T-λI નું L(V, V) વ્યસ્ત વિધેયનું અસ્તિત્વ નથી}]ને T નો વર્ણપટ (spectrum) કહેવામાં આવે છે.

આપેલ λ∈⊄ માટે Tx = λx થાય તેવો શૂન્યેતર સદિશ x અસ્તિત્વ ધરાવે તો λને Tની લાક્ષણિક કિંમત (characteristic value) તથા xને અનુરૂપ લાક્ષણિક સદિશ કહેવામાં આવે છે.

સદિશ અવકાશો L(V, V)તથા M_m×m વચ્ચેની એકરૂપતાનો ઉપયોગ કરીને લાક્ષણિક કિંમત તેમજ અનુરૂપ લાક્ષણિક સદિશ શોધવાના પ્રશ્નનું રૂપાંતર નીચે દર્શાવ્યા પ્રમાણે શ્રેણિકમાં મળે છે. જો T∈L (V, V) માં Vના આધાર Bને અનુરૂપ શ્રેણિક A=(α_ij)_m×m હોય તો

(i) સંકર સંખ્યા λ,T ની લાક્ષણિક કિંમત થવાની જરૂરી અને પર્યાપ્ત શરત det I A – λI  = 0

(ii) લાક્ષણિક કિંમત λનો અનુરૂપ લાક્ષણિક સદિશ, સુરેખ સમીકરણ સંહતિ Ax = λx નો ઉકેલ છે.

વર્ણપટ માટેનું અગત્યનું પરિણામ : dim V = m, TεL (V, V) માટે

(i) σ(T) અરિક્ત ગણ છે તથા તેમાં વધુમાં વધુ m ઘટકો છે.

(ii) σ(T)નો પ્રત્યેક ઘટક Tની લાક્ષણિક કિંમત છે.

(iii) λ∈σ(T) માટે NT(λ) = {x∈V/Tx = λx}, Vનો ઉપાવકાશ છે.

સુરેખ વિધેય અને સાતત્ય (continuity) : સુરેખ વિધેયના સાતત્ય માટે સદિશ અવકાશ પર માનક (norm) (સંકેત ॥ ॥)ની વ્યાખ્યા નીચે દર્શાવ્યા મુજબ આપવામાં આવે છે.

વ્યાખ્યા : સંકર (complex) સદિશ અવકાશ N માટે

વિધેય ॥ ॥ : N → , (i) ॥ x ॥ ≥ 0, ॥ x ॥ = 0 ⇔ x = θ

(ii) ॥ αx ॥ =  α ॥ x ॥, x∈N, α અદિશ (scalar) છે.

(iii) ॥ x + y ॥ ≤ ॥ x ॥ + ॥ y ॥, x y ε N આ ગુણધર્મો ધરાવે તો તેને માનક (norm) કહેવામાં આવે છે. સદિશ અવકાશ Nને માનકિત (normed) સુરેખ-અવકાશ (linear space) કહેવામાં આવે છે. વિધેય d = N x N → ની વ્યાખ્યા d(x, y) = ॥x–y॥, x, y ∈ N લેતાં (N,d) માનાવકાશ (metric space) બને છે.

સદિશ અવકાશ H માટે વિધેય ( , ) : H x H →

(i) (x, x) ≥ 0, (x, x) = 0 ⇔ x = θ

(ii) (αx, y) = α (x, y), α અદિશ છે અને x, y ε H

(iii) (x, y) = (y, x), x, y ε H

(iv) (x, y + z) = (x, y) + (x, z), x, y, z ∈ H આ ગુણધર્મો ધરાવે તો તેને અંત:ગુણન (dot product) વિધેય કહેવામાં આવે છે. વિધેય ॥ x ॥ = (x, x)^1/2 લેતાં H માનકિત સુરેખ અવકાશ (normed linear space) બને છે. આ માનક નીચે H સંપૂર્ણ બને તો Hને હિલ્બર્ટ અવકાશ કહેવામાં આવે છે.

સદિશ અવકાશ ⁿ માટે અંત:ગુણન વિધેયની વ્યાખ્યા :

x = (x₁, x₂, ……, x_n), y = (y₁, y₂, ……, y_n) ∈ ⁿ માટે (x, y) =   નીચે હિલ્બર્ટ અવકાશ બને છે. જ્યારે સદિશ અવકાશ C [0,1] અંતગુણન વિધેયની વ્યાખ્યા (f, g) = માટે ફક્ત માનકિત (normed) સુરેખ અવકાશ બને છે. હિલ્બર્ટ અવકાશમાં સદિશની લંબાઈ, બે સદિશોનું લંબત્વ અને બે શૂન્યેતર સદિશો વચ્ચેના ખૂણાની તથા લંબચ્છેદી આધારની વ્યાખ્યા આપી શકાય. આ કારણસર હિલ્બર્ટ અવકાશમાં મેળવેલ પરિણામો ભૂમિતિના અભ્યાસમાં ખૂબ ઉપયોગી બને છે.

હિલ્બર્ટ અવકાશ H પર વ્યાખ્યાયિત સતત સુરેખ વિધેય Tને અનુરૂપ તેના સંલગ્ન (adjoint) T* : H → H ની વ્યાખ્યા આપી શકાય છે. T* પણ H પર સતત સુરેખ વિધેય છે. T અને T* વચ્ચેનો અગત્યનો સંબંધ (Tx, y) = (x, T*y) x, y ∈ H છે. Adjoint સુરેખ વિધેય દ્વારા H પર વિવિધ પ્રકારનાં સતત સુરેખ વિધેયો

(i) સંમિત (symmetric) સુરેખ વિધેય (T = T*)

(ii) નૉર્મલ સુરેખ વિધેય (TT* = T*T)

(iii) ઐકિક (unitory) સુરેખ વિધેય (T*T = TT* = I)

તથા (iv) એકરૂપ (isometric) સુરેખ વિધેય (T*T = I) વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે. આ કારણસર હિલ્બર્ટ અવકાશ પર સતત સુરેખ વિધેયોનો અભ્યાસ અર્થપૂર્ણ તથા રસપ્રદ બન્યો છે.

ઉપયોગ : સુરેખ વિધેયનો ઉપયોગ બહુચલીય વિધેયોના કલનશાસ્ત્ર(calculus of functions of several variables)માં થાય છે. સુરેખ વિધેયના વ્યાપક સ્વરૂપ દ્વિરેખ રૂપાંતરણ(bilinear transformation)ની મદદથી પ્રદિશ(tensor)નો ખ્યાલ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. પ્રદિશ, વિકલભૂમિતિ (differential geometry) તથા સાપેક્ષવાદના સિદ્ધાંતના અભ્યાસમાં પણ તે ઉપયોગી છે. યુગપત્ સુરેખ સમીકરણોના અભ્યાસમાં શ્રેણિકોના ઉપયોગથી સરળતા આવે છે. ભૂમિતિના અભ્યાસમાં ઉપયોગી બનતાં વર્ગાત્મક સ્વરૂપો(quadratic forms)માં વિશિષ્ટ પ્રકારનાં સુરેખ વિધેયો કે અનુરૂપ શ્રેણિકો મહત્ત્વનો ભાગ ભજવે છે. આંકડાશાસ્ત્ર, અર્થશાસ્ત્ર, જીવશાસ્ત્ર તેમજ ક્રિયાત્મક સંશોધન(operational research)માં સુરેખ વિધેય કે શ્રેણિકનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. આલેખ સિદ્ધાંત(graph theory)માં આપેલ આલેખનું શ્રેણિકનિરૂપણ આસન્ન આપતન (incidence), પથ શ્રેણિકોની મદદથી કરી શકાય છે. ભૌતિકશાસ્ત્રમાં વેગ, પ્રવેગ, બળ જેવી માન (dimension) તથા દિશા (direction) ધરાવતી રાશિઓનો સદિશ અવકાશ દ્વારા અભ્યાસ કરી શકાય છે. ક્વૉન્ટમ યંત્રવિદ્યામાં મહત્વ ધરાવતા શ્રૉડિંગરકારક, તેમજ તરંગ, હૅમિલ્ટન, વિકલ તેમજ સંકલ કારકો વગેરે હિલ્બર્ટ અવકાશ પર ગુણધર્મો ધરાવતાં સુરેખ વિધેયો છે. સામાન્ય વ્યવહારમાં પણ શ્રેણિકનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે.

ઈચ્છાલાલ હરિલાલ શેઠ