બહુકોણ

બહુકોણ (polygon) : બેથી વધુ સમરેખ ન હોય એવાં n સમતલીય બિંદુઓ P₁, P₂, ………., P_n અને રેખાખંડો  P₂P₃, ……..P_n–1P_n, P_nP₁નો યોગગણ. બિંદુઓને બહુકોણનાં શિરોબિંદુઓ અને રેખાખંડોને તેની બાજુઓ કહેવાય છે. બહુકોણની બાજુઓ એકબીજીને છેદે તો તેમના અંત્યબિંદુમાં જ છેદે છે. 3, 4, 5, 6, 7, 8 વગેરે શિરોબિંદુઓવાળા બહુકોણોને અનુક્રમે ત્રિકોણ, ચતુષ્કોણ, પંચકોણ, ષટ્કોણ, સપ્તકોણ અને અષ્ટકોણ નામો વડે ઓળખવામાં આવે છે. વ્યાપક રીતે n શિરોબિંદુઓ(vertex)વાળા બહુકોણને n-કોણ કહેવાય છે.

બહુકોણ વડે સીમિત થયેલ સમતલીય ભાગને બહુકોણનો અંદરનો ભાગ કહે છે, તથા અંદરનો ભાગ અને બહુકોણ સિવાયના સમતલના ભાગને બહુકોણનો બહારનો ભાગ કહે છે. બહુકોણના અંદરના ભાગમાં પાસપાસેની બાજુઓ વડે બનતો ખૂણો તેનો અંદરનો ખૂણો કહેવાય છે. બહુકોણની પ્રત્યેક બાજુને સમાવતી રેખાના એક જ અર્ધતલમાં બહુકોણનો બાકીનો ભાગ આવતો હોય તો તે બહુકોણને બહિર્મુખ બહુકોણ કહેવામાં આવે છે. બહિર્મુખ ન હોય તેવા બહુકોણને અંતર્મુખ બહુકોણ કહે છે. બહિર્મુખ બહુકોણના અંદરના ભાગમાં આવેલાં કોઈ પણ બે બિંદુઓ વડે બનતો રેખાખંડ તેના અંદરના ભાગમાં જ આવે છે, જ્યારે અંતર્મુખ બહુકોણમાં અંદરના ભાગનાં બિંદુઓની એકાદ જોડ તો એવી મળે કે જેમના વડે બનતો રેખાખંડ સંપૂર્ણ રીતે બહુકોણના અંદરના ભાગમાં ન આવે.

બહિર્મુખ (convex) બહુકોણમાં અંદરના દરેક ખૂણાનું માપ 180° કરતાં ઓછું હોય છે, જ્યારે અંતર્મુખ બહુકોણમાં ઓછામાં ઓછા એક અંદરના ખૂણાનું માપ 180° કરતાં વધુ મળે છે. બહિર્મુખ બહુકોણના સમતલમાંની કોઈ પણ રેખા બહુકોણના અંદરના ભાગમાંથી પસાર થતી હોય તો બહુકોણને બે જ બિંદુઓમાં છેદે છે, જ્યારે અંતર્મુખ બહુકોણના અંદરના ભાગમાંથી પસાર થતી એવી રેખા મળે કે જે બહુકોણને ચાર કે તેથી વધુ બિંદુઓમાં છેદે.

જેના અંદરના ખૂણાઓ એકરૂપ (congruent) હોય તે બહુકોણ સમકોણીય બહુકોણ કહેવાય છે. જેની બાજુઓ એકરૂપ હોય તે બહુકોણને સમબાજુ બહુકોણ કહે છે. ત્રિકોણ જો સમકોણીય હોય તો અને તો જ તે સમબાજુ હોય છે. આ વિધાન -ત્રણથી વધુ શિરોબિંદુઓવાળા બહુકોણ માટે સાચું નથી. જે બહુકોણના અંદરના ખૂણાઓ એકરૂપ હોય અને બાજુઓ પણ એકરૂપ હોય તે બહુકોણને નિયમિત બહુકોણ કહે છે. લંબચોરસ સમકોણીય (equiangular) છે, પણ સમબાજુ નથી એટલે નિયમિત ન પણ બને. સમભુજ ચતુષ્કોણ સમબાજુ છે, પણ સમકોણીય હોવો જરૂરી નથી એટલે નિયમિત ન પણ બને. ચોરસ નિયમિત બહુકોણ છે.

પરિગત (circumscribed) અને અંતર્ગત (inscribed) બહુકોણ : કોઈ પણ સમતલીય આકૃતિ S માટે એવો બહુકોણ મળે કે જેની દરેક બાજુ Sને સ્પર્શતી હોય તો તે બહુકોણ Sનો પરિગત બહુકોણ કહેવાય છે, જ્યારે બહુકોણનાં બધાં શિરોબિંદુઓ S પર આવેલાં હોય તો તે બહુકોણ Sનો અંતર્ગત બહુકોણ કહેવાય છે.

બહુકોણની જીવા (chord) અને વ્યાસ (diameter) : એક જ બાજુનાં અંત્ય બિંદુઓ ન હોય એવાં બહુકોણનાં બે શિરોબિંદુઓ વડે નિશ્ચિત થતો રેખાખંડ તે બહુકોણની જીવા કહેવાય છે અને મહત્તમ લંબાઈની જીવાને વ્યાસ કહે છે.

સમરૂપ બહુકોણો : બે બહુકોણોમાં અનુરૂપ ખૂણાઓ એકરૂપ હોય અને અનુરૂપ બાજુઓનાં માપ પ્રમાણમાં હોય તો તે બહુકોણો સમરૂપ બહુકોણો કહેવાય છે.

ગોલીય બહુકોણ (spherical polygon) : ગોલકનાં ગુરુતમ વર્તુળોના ચાપ (arc) વડે બનતા બહુકોણને ગોલીય બહુકોણ કહે છે.

આકૃતિ 3માં P, Q, R, S ગોલક પરનાં બિંદુઓ છે. P અને Qને જોડતો ચાપ એ P અને Q માંથી પસાર થતા ગુરુવૃત્તનો ચાપ છે. તે જ પ્રમાણે પણ ગુરુવૃત્તના ચાપો છે જેમના યોગથી બનતો બહુકોણ PQRS એ ગોલીય બહુકોણ છે.

બહુકોણીય પ્રદેશ : બહુકોણની કેટલીક કે બધી બાજુ સાથેનો કે બાજુરહિત અંદરનો ભાગ બહુકોણીય પ્રદેશ કહેવાય છે. જો બધી જ બાજુઓનો સમાવેશ થાય તો તેને સંવૃત્ત બહુકોણીય પ્રદેશ કહે છે, જ્યારે બાજુરહિત અંદરના ભાગને વિવૃત્ત બહુકોણીય પ્રદેશ કહે છે. સુરેખ આયોજનના પ્રશ્નોના ઉકેલોમાં કેટલાક બહુકોણીય પ્રદેશો મહત્ત્વનો ભાગ ભજવે છે.

આવૃત્તિ-બહુકોણ : આંકડાશાસ્ત્રમાં આપેલ સમષ્ટિને અનુરૂપ આવૃત્તિ-વિતરણના કોષ્ટકમાંથી અવલોકનની સંખ્યાને X-યામ તરીકે અને અનુરૂપ આવૃત્તિને Y-યામ તરીકે લઈ યામ-સમતલ પર બિંદુઓ દર્શાવી તેમને ક્રમમાં રેખાખંડો વડે જોડતાં રચાતી આકૃતિને આવૃત્તિ-બહુકોણ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.

નિયમિત બહુકોણોની રચના : સીધી પટ્ટી અને પરિકર વડે ભૂમિતિની કઈ કઈ આકૃતિઓની રચના થઈ શકે એ છેલ્લાં બે હજાર વર્ષથી ચર્ચાતો આવેલો પ્રશ્ન છે. n = 3, 4, 5, 6 માટે નિયમિત n-કોણોની રચના થઈ શકે છે તે ગ્રીક ગણિતજ્ઞો જાણતા હતા. પણ નિયમિત સપ્તકોણની રચના થઈ શકે કે નહિ તે પ્રશ્ન સદીઓ સુધી વણઉકેલ્યો રહ્યો હતો. આખરે ગાઉસે 1794માં એવું સાબિત કર્યું કે nનો દરેક એકી અવિભાજ્ય અવયવ ફરમા અવિભાજ્ય હોય (એટલે કે પ્રકારનો હોય), તો અને તો જ નિયમિત n-કોણની રચના થઈ શકે. અત્યાર સુધી પાંચ ફરમા અવિભાજ્યો જાણીતા છે (3, 5, 17, 257 અને 65537). એટલે નિયમિત સપ્તકોણની રચના શક્ય નથી, જ્યારે 17 બાજુઓવાળા નિયમિત બહુકોણની રચના શક્ય છે.

ધનેશ ભાવસાર