બહિર્મુખતા

બહિર્મુખતા (convexity) : અવકાશમાં ઉપગણ B એવો હોય કે જેથી તેની અંદર આવેલાં કોઈ પણ બે બિંદુને જોડતો રેખાખંડ Bમાં જ સમાયેલો હોય તો ગણ Bને બહિર્મુખ ગણ [આકૃતિ 1(a)] અને આવા ગુણધર્મને બહિર્મુખતા કહેવામાં આવે છે. આ ઉપરાંત રેખાખંડ, કિરણ, રેખા, સમતલ, અર્ધતલ, ખૂણાનો અંદરનો ભાગ, ત્રિકોણનો અંદરનો ભાગ, ગોલક, ચતુષ્ફલક, ઘન વગેરે બહિર્મુખ ગણોનાં અન્ય ઉદાહરણો છે. આકૃતિ 1(b) બહિર્મુખ ગણ દર્શાવતી નથી. કંકણાકૃતિ (annulus), ગોલકનું કવચ (spherical shell), તારક વગેરે બહિર્મુખ ગણો નથી. બહિર્મુખ ચતુષ્કોણ બહિર્મુખ ગણ નથી; પરંતુ બહિર્મુખ ચતુષ્કોણ વડે ઘેરાયેલો પ્રદેશ બહિર્મુખ ગણ થશે.

(i) n બાજુઓવાળા બહિર્મુખ બહુકોણ(convex polygon)ના અંત:કોણોનો સરવાળો (n–2)π છે.

(ii) બહિર્મુખ બહુફલક(convex polyhedra)ના સંદર્ભમાં ઑઇલર(Euler)નું પ્રમેય V – E + F = 2 છે. અહીં V = શિરોબિંદુ (vertex), E = ધારો (edges) અને F = પાસાં (faces) છે.

ઉપરનાં બે પરિણામોમાં બહિર્મુખતાની શરત આવે છે, જે માત્ર પર્યાપ્ત (sufficient) શરત છે. પરિણામ(i)માં આપેલી શરત કોઈ પણ બહુકોણ માટે સાચી છે. ભૂમિતિનાં પાઠ્યપુસ્તકોમાં આપવામાં આવતી પરિણામ(i)ની સામાન્ય અને સહજ સાબિતી બહુકોણની બહિર્મુખતાની ગેરહાજરીમાં પડી ભાંગે છે. અગાઉ દર્શાવેલાં બે પરિણામો વ્યાપક, ઊંડાણવાળાં, સરળતાથી મેળવી તેમજ સાબિત કરી શકાય તેવાં છે અને બહિર્મુખતાના ખ્યાલની સરળતા અને વેધકતાને પ્રસ્થાપિત કરે છે.

n-પરિમાણી સંચયી ભૂમિતિ(n–dimensional combinatorial geometry)માં હેલીનું પ્રમેય અને બીજાં પ્રમેયો હેલી-પ્રકારનાં પ્રમેયો તરીકે જાણીતાં છે.

હેલીનું પ્રમેય (Halley’s Theorem) : જો n–પરિમાણીય અવકાશના N(≥n+1) બહિર્મુખ ગણો એવા હોય કે જેથી તેમાંના કોઈ પણ(n+1)નો છેદગણ અરિક્ત (non-void) હોય તો આ બધા N બહિર્મુખ ગણોનો છેદગણ પણ અરિક્ત હોય છે. હેલી-પ્રકારના પરિણામનું એક રસપ્રદ વિધાન આ પ્રમાણે છે : એક મોટા સમતલ થાળમાં આગ્રાનાં પેઠાં (કે લાડુ) છૂટાંછવાયાં એવી રીતે પડ્યાં છે કે તેમાંની દરેક ત્રિપુટી(triplet)ને એક પૂરતો લાંબો અણીદાર સળિયો આરપાર ભોંકીને ઉઠાવી શકાય, તો થાળમાંનાં બધાં જ પેઠાંને એકસાથે આરપાર ભોંકીને આ સળિયાથી ઉઠાવી શકાય.

હેલી-પ્રકારનું બીજું એક પરિણામ આ પ્રમાણે છે. એક ચિત્ર-પ્રદર્શનનું આયોજન એકબીજા સાથે સંકળાયેલા ઘણાબધા ખંડોની સમગ્ર દીવાલો ઉપર ચિત્રો લગાવીને કરવામાં આવ્યું છે. જો કોઈ પણ ત્રણ ચિત્રો માટે એવી એક જગા મળતી હોય કે જ્યાંથી આ ત્રણે ચિત્રો જોઈ શકાય તો પછી એવી એક જગા પણ મળે જ કે જ્યાંથી પ્રદર્શનનાં બધાં ચિત્રો જોઈ શકાય. આમ બહિર્મુખ ગણોનો છેદગણ પણ બહિર્મુખ થાય છે તે સરળતાથી સાબિત કરી શકાય છે. અવકાશનો ઉપગણ A હોય તો Aને સમાવતા નાનામાં નાના બહિર્મુખ ગણને ગણ Aનો બહિર્મુખ સમાવરક (convex hull) કહે છે. આપેલ ગણ Aનો બહિર્મુખ સમાવરક Aને સમાવતા બધા બહિર્મુખ ગણોનો છેદગણ થાય છે.

કૅરેથિયૉડૉરીનું પ્રમેય (Caratheodory’s fundamental theorem) : ધારો કે Rⁿનો ઉપગણ A છે, Aનો બહિર્મુખ સમાવરક B છે. Bના કોઈ પણ આપેલ બિંદુ Q માટે Aમાં એવાં (n+1) બિંદુઓ P₁, P₂, ……, P_n+1 મળે જ છે, જેથી Q બિંદુ આ (n+1) બિંદુઓના બહિર્મુખ સમાવરકમાં જ હોય.

સમપરિમિતીય પ્રશ્ન (Isoperimetric problem) : સમતલમાં સરખી પરિમિતિ(perimeter)વાળા બધા જ વક્રોમાંથી વક્ર મહત્તમ ક્ષેત્રફળવાળા પ્રદેશને આવરી લે છે ? ત્રિપરિમાણી અવકાશમાં સમાન ક્ષેત્રફળ ધરાવતી બધી જ સપાટીઓમાંથી કઈ સપાટી મહત્તમ ઘનફળવાળા પ્રદેશને આવરી લે છે ? આ બે પ્રશ્નો સમપરિમિતીય પ્રશ્નો તરીકે જાણીતા છે. પ્રથમ પશ્નનો જવાબ વર્તુળ છે, બીજા પ્રશ્નનો જવાબ ગોલકીય સપાટી (surface of a sphere) છે. Rⁿના કોઈ પણ સીમિત (bounded), બહિર્મુખ ઉપગણ S માટે

Aⁿ ≥ nⁿ U V^n–1 છે.

અહીં A = ક્ષેત્રફળ અને V = ઘનફળ છે, U એ Rⁿના એકમ ગોલકનું ઘનફળ છે. તેની કિંમત

S ગોલક હોય તો અને તો જ ઉપરની અસમતા સમતા બને છે. આ અસમતા સમપરિમિતીય પ્રશ્નની ચર્ચા સાથે ઘનિષ્ઠ રીતે સંકળાયેલી છે.

સંખ્યાકીય ભૂમિતિ(geometry of numbers)માં Rⁿનો બહિર્મુખ ઉપગણ B છે, જે ઉદગમબિંદુ પ્રતિ સંમિત (symmetrical) છે, ઉપરાંત Bનું ઓછામાં ઓછું ઘનફળ 2ⁿ છે. આ સંજોગોમાં Bમાં ઉદગમબિંદુ સિવાયનું ઓછામાં ઓછું એવું એક બિંદુ મળે, જેના બધા યામો પૂર્ણાંકો હોય.

બહિર્મુખ વિધેય (convex function) : અંતરાલ ઉપર વ્યાખ્યાયિત, વાસ્તવિક ચલનું વિધેય f એવું હોય કે જેથી આ અંતરાલનાં કોઈ પણ બિંદુઓ a અને b માટે (a, f(a)) અને (b, f(b))ને જોડતો રેખાખંડ વિધેયના આલેખની ઉપર હોય, તો વિધેય fને બહિર્મુખ વિધેય કહે છે (જુઓ આકૃતિ 2).

બહિર્મુખ વિધેયની ભૌમિતિક વ્યાખ્યાને વૈશ્લેષિક સ્વરૂપમાં

f (ta + (1–t) b) < t f(a) + (1–t) f(b), t ∈ (0, 1) લખી શકાય છે.

આકૃતિ 2માં c = ta + (1–t)b, t ∈ (0 1) હોય તો

d = t f(a) + (1–t) f(b) થાય અને આમ f(c)<d છે.

બહિર્મુખ વિધેય હંમેશાં સતત હોય છે. જો વિકલનીય વિધેયનું વિકલન વધતું વિધેય હોય તો આપેલ વિધેય બહિર્મુખ હોય છે. જો R ઉપર વ્યાખ્યાયિત વિધેય બહિર્મુખ હોય તો એ વધતું વિધેય હોય અથવા ઘટતું વિધેય હોય અથવા એવો c મળે કે જેથી (-∞, c] ઉપર વિધેય ઘટતું હોય અને [c, ∞) ઉપર વિધેય વધતું હોય. અવકાશના કોઈ પણ બહિર્મુખ ઉપગણ ઉપર વ્યાખ્યાયિત વાસ્તવિક વિધેય માટે જો અગાઉ દર્શાવેલી શરતનું પાલન થાય તો વિધેયને બહિર્મુખ વિધેય કહે છે. આને મળતાં પરિણામોની ચર્ચા આવા બહિર્મુખ વિધેયો માટે પણ કરી શકાય.

સંકુલન પ્રશ્નો (packing problems) : સંકુલનના પ્રશ્નો સરળતાથી ઊભા કરી શકાય છે, પરંતુ તેમનું નિરાકરણ ખૂબ કઠિન હોય છે. બહિર્મુખ ગણોનો એવો સમૂહ કે જેમાંના કોઈ પણ બેના અંદરના ભાગ એકબીજાથી અલગ ગણ હોય તેને સંકુલન કહેવામાં આવે છે. અવકાશનો અથવા તેના કોઈ ઉપગણનો કેટલા ટકા ભાગ સંકુલન દ્વારા આવૃત થયો છે તે સંકુલનની ઘનતા નક્કી કરે છે. એકરૂપ વર્તુળો કે તેમનાં બહિર્મુખ સમાવરકો વડે સમતલનું શ્રેષ્ઠ સંકુલન (best-packing) કે મહત્તમ ઘનતા મેળવવા સમતલને નિયમિત ષટ્કોણો વડે આવરી શકાય. આ નિયમિત ષટ્કોણોની બાજુની યોગ્ય લંબાઈ પસંદ કરીએ તો આપેલ વર્તુળો આ ષટ્કોણને અંતર્ગત કરી શકાય. આ પ્રમાણે શ્રેષ્ઠ સંકુલન મળે છે. અવકાશનું એકરૂપ ગોલકો વડે શ્રેષ્ઠ સંકુલન મેળવવા માટેનો ઉકેલ હજુ સુધી મળ્યો નથી.

અજય કે. દેસાઈ