પ્રમાપ-સિદ્ધાંત (Gauge Theory) : અમુક રૂપાંતરણ (transformation) હેઠળ કોઈ ભૌતિક રાશિના અવિચલન- (invariance)નો તેમજ તે દ્વારા નીપજતા ભૌતિકશાસ્ત્રીય નિષ્કર્ષનો સિદ્ધાંત. આધુનિક ભૌતિકશાસ્ત્રમાં રાશિઓના અવિચલનને તંત્ર કે પ્રણાલી(system)ની કોઈ મૂળભૂત સંમિતિ (symmetry) સાથે સાંકળવામાં આવે છે. તેથી પ્રમાપ-સિદ્ધાંત એક પાયાનો સિદ્ધાંત બની રહે છે. પ્રમાપ-અવિચલન(gauge-invariance)ના એક ઉદાહરણ તરીકે વિદ્યુતક્ષેત્ર 
અને ચુંબકીયક્ષેત્ર 
ને ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે.
ઉક્ત 
તથા 
ને વિભવ-વિધેયો (potential functions) 
તથા 
ના સ્વરૂપમાં વ્યક્ત કરી શકાય છે, હવે અદિશ વિભવ- વિધેય તેમજ સદિશ વિભવ-વિધેય નું ચોક્કસ રૂપાંતરણ કરવાથી પણ ક્ષેત્રો અને અફર રહે છે. જે પ્રમાપ-અવિચલન દર્શાવે છે. વધુ સાદો દાખલો લેવામાં આવે તો કોઈ ભૌતિક કણ કે તંત્ર જો સ્થાનાંતર હેઠળ અફર કે અવિચલ (invariant) રહે તો તેનું નિરપેક્ષ સ્થાન શોધવાનું અશક્ય બને છે તથા તેને આનુષંગિક રેખીય વેગમાન (linear momentum) અચળ રહે છે. તે પ્રમાણે કોઈ તંત્રની શક્તિ (ઊર્જા) અચળ હોય તો તે સમયની સાપેક્ષતાએ એક પ્રકારનું અવિચલન તેમજ સંમિતિ દર્શાવે છે. આમ, પ્રમાપ-સિદ્ધાંત હેઠળ કોઈ ભૌતિકતંત્રમાં રહેલ મૂળભૂત સંમિતિઓ શોધીને તે અનુસાર સંબંધિત ભૌતિક રાશિના સંરક્ષણ(conservation)ના નિયમો તારવવામાં આવે છે. સંમિતિ અને અવિચલન એ આધુનિક ભૌતિકશાસ્ત્રની ખૂબ ઉપયોગી અને વ્યાપક સંકલ્પનાઓ છે. વધુમાં કોઈ કણ કે તંત્રના તરંગ- વિધેય (wave function) Y’(
)ને exp (ia) વડે ગુણતાં જે નવું વિધેય મળે તેને Y’() વડે દર્શાવવામાં આવે છે. અત્રે 
કે જેના આધારે સંકર-સંખ્યાની વ્યાખ્યા આપવામાં આવે છે. ઉપરાંત a એક અચળ છે, જેને તરંગ-વિધેયની કળા (phase) કહેવામાં આવે છે. મૂળ અને નવા વિધેયનો નિરપેક્ષ વર્ગ લેતાં |Y ()|2 અને |Y’ ()|2 મૂલ્યો એકસરખાં માલૂમ પડે છે. આ કારણસર ત્ર્ને યથેચ્છ રીતે પસંદ કરી શકાય છે. વળી તેનું નિરપેક્ષ માપન થઈ શકતું નથી. આમ exp (ia)ને લીધે થતા રૂપાંતરણમાં ભૌતિક ર્દષ્ટિએ મહત્વની રાશિ |Y ()|2 તેમજ અન્ય બાબતો; જેમ કે લાગ્રાન્જિયન વિધેય L, વગેરે અફર રહે છે. વળી જો ઉપર્યુક્ત a અચળ હોય તો તે દ્વારા મળતું રૂપાંતરણ વૈશ્વિક (global) ગણાય છે, જ્યારે સ્થાનિક (local) રૂપાંતરણમાં ઉપર્યુક્ત a એ અવકાશ (યામાક્ષો) અને સમય પર આધારિત હોય છે.
વીસમી સદીના છેલ્લા થોડા દાયકાઓ દરમિયાન દ્રવ્યના મૂળભૂત કણોને મોટી સંખ્યામાં શોધી કાઢવામાં આવ્યા છે. આ જુદા જુદા કણો વચ્ચે થતી આંતરક્રિયાને ચાર મૂળભૂત નૈસર્ગિક બળક્ષેત્રો(force-fields)ના સ્વરૂપે સમજી શકાય છે. નિસર્ગનાં આંતરક્રિયા બળોના સંદર્ભે પ્રમાપ-સિદ્ધાંતની ચર્ચા વધુ મહત્વની બને છે. ઉપર વર્ણવેલ 
કળા-રૂપાંતરણ હેઠળ દ્રવ્યકણનો લાગ્રાન્જિયન L આપમેળે અવિચલ રહેતો નથી. એનું અવિચલન પ્રસ્થાપિત કરવા માટે નવા ગણિતીય પદની જરૂર પડે છે; જેનું ભૌતિક અર્થઘટન નવા બળક્ષેત્ર તરીકે કરવામાં આવે છે. તેથી તેને પ્રમાપ-બળક્ષેત્ર (gauge-field) કહે છે. આમ જોઈ શકાશે કે પ્રમાપ-સિદ્ધાંત કણોનાં બળક્ષેત્રોનાં નવાં તથ્યો બહાર લાવે છે અને તેમના ગતિવિજ્ઞાન(dynamics)ને સમજવામાં સહાય કરે છે.
ઉપર્યુક્ત ચર્ચામાં exp (iα) કે જેમાં α એ નું વિધેય હોઈ શકે છે. તેને એક રૂપાંતરકારક (operator) U (α) કહીએ તો, એમ બતાવી શકાય કે U (α) એક એબેલિયન પ્રકારનું જૂથ રચે છે. આ રીતે રચાતા જૂથને પ્રમાપ-જૂથ પણ કહેવામાં આવે છે. અત્રે જૂથ સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ સંમિતિ-ગુણધર્મોને વધુ સારી રીતે રજૂ કરે છે. પ્રમાપ-સિદ્ધાંતનું ભૌમિતિક નિરૂપણ પણ શક્ય છે. આમ કરવાથી સૂક્ષ્મ સ્તરે, મૂળભૂત બળક્ષેત્રો એટલે કે તીવ્ર (strong) અને મંદ (weak) ન્યૂક્લિયર બળો તથા વિદ્યુતચુંબકીય તેમજ ગુરુત્વાકર્ષણ બળો વચ્ચેના સંબંધો માટેની એક સમાન ભૂમિકા ઊભી થાય છે. છેલ્લે નોંધીએ કે, ગણિતની પૂરતી સહાય વિના આધુનિક ભૌતિક વિજ્ઞાનની આવી સંકુલ વિભાવનાઓ સમજવી મુશ્કેલ બને છે. આ તેનું ગુણાત્મક (qualitative) વર્ણન છે.
કમલનયન ન. જોશીપુરા