પ્રક્ષેપ (projection)

પ્રક્ષેપ (projection) : અમુક નિયમોને આધારે ભૌમિતિક આકૃતિનું સમતલ પરનું આલેખન. દા.ત., જ્યારે કોઈ વસ્તુની તસવીર લેવામાં આવે છે ત્યારે તે વસ્તુના પ્રત્યેક બિંદુમાંથી નીકળતું પ્રકાશનું કિરણ કૅમેરાના લેન્સમાંથી પસાર થઈ કૅમેરાની અંદરની ફિલ્મ પર પડે છે. આથી ફિલ્મ પર તે વસ્તુનું પ્રક્ષેપણ મળે છે. નિશ્ચિત સમતલ α ઉપર p એક બિંદુ છે અને સમતલ α ઉપર ન હોય તેવું એક V બિંદુ છે. બિંદુ Vને ન સમાવતો β સમતલ છે. V અને p બિંદુને જોડતી રેખા β સમતલને p’ બિંદુમાં છેદે છે. અહીં α સમતલ પરના p બિંદુનો β સમતલ પરનો પ્રક્ષેપ બિંદુ p´ છે એમ કહેવાય છે. બિંદુ Vને પ્રક્ષેપશીર્ષ (vertex of projection) કહેવાય છે. p અને p´ એ શિરોબિંદુ Vના સંદર્ભમાં પરસ્પરના પ્રક્ષેપ છે એમ કહેવાય છે વળી જો p બિંદુ સમતલ α પર વક્ર Cનું રેખાંકન કરતું હોય તો બિંદુ p´ સમતલ β પર વક્ર C´નું રેખાંકન કરે છે એમ કહેવાય છે. એટલે કે α સમતલ પરનો વક્ર C, βમાં સમતલ પરના વક્ર C´ પર પ્રક્ષેપિત થાય છે. જો સમતલ α પરના વક્ર Cનો કોઈ ગુણધર્મ પ્રક્ષેપિત વક્ર C´ પણ ધરાવતો હોય તો આવા ગુણધર્મને પ્રક્ષેપી ગુણધર્મ (projective property) કહે છે. જો વક્ર C સુરેખા હોય તો વક્ર C´ પણ સુરેખા હોય છે. સુરેખા પર આવેલા બિંદુ કે બિંદુમાંથી પસાર થતી સુરેખા એ આપતન (incidence) ગુણધર્મ છે. આ ગુણધર્મો પ્રક્ષેપને પરિણામે અવિચલ રહે છે. આપતન અંગેના ગુણધર્મો પ્રક્ષેપી ગુણધર્મ છે. સંરેખસ્થ (collinear) બિંદુઓના ગણનું પ્રક્ષેપન સંરેખસ્થ બિંદુઓમાં જ થાય છે. આમ સંરેખતા(collinearity)નો ગુણધર્મ પ્રક્ષેપી ગુણધર્મ છે.

વળી સંગામી (concurrent) રેખાઓના ગણને પ્રક્ષેપિત કરતાં સંગામી રેખાઓનો ગણ જ મળે છે. આમ સંગામિતા(concurrency)નો ગુણધર્મ પણ પ્રક્ષેપી ગુણધર્મ છે. સંગામી બિંદુઓનો પ્રથમ સમુચ્ચય (set) સંગામી બિંદુના બીજા સમુચ્ચય પર પ્રક્ષેપિત થાય છે. પ્રક્ષેપનને અંતે રેખાખંડની લંબાઈ અવિચલ રહેતી નથી, તેમજ પ્રક્ષેપનને પરિણામે ખૂણાઓનાં માપ પણ યથાવત્ રહેતાં નથી. આમ લંબત્વ(perpendicularity)નો ગુણધર્મ પ્રક્ષેપી ગુણધર્મ નથી. પ્રક્ષેપીય ભૂમિતિમાં આકૃતિઓના પ્રક્ષેપી ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે. ગુણધર્મોમાં અંતર કે માપન અંગેના ગુણધર્મો સંકળાયેલા (involved) હોય તેવા ગુણધર્મો ઘણુંખરું પ્રક્ષેપી ગુણધર્મો ગણાતા નથી.

લોપી રેખા (vanishing line) : પ્રક્ષેપશીર્ષ(vertex of projection)-Vમાંથી β સમતલને સમાંતર દોરેલો સમતલ, α સમતલને υ રેખામાં છેદે તો υ રેખાને લોપી રેખા (vanishing line) કહે છે. υ રેખા પરનું કોઈ બિંદુ p સમતલ β પરના અનંતબિંદુ p´ ઉપર પ્રક્ષેપિત થાય છે, કારણ કે υp રેખા સમતલ βને સમાંતર થશે. રેખા υ પોતે સમતલ β પરની અનંત રેખા તરીકે પ્રક્ષેપિત થશે. સંગામી રેખાઓનો સમુચ્ચય મહદંશે સંગામી રેખાઓમાં પ્રક્ષેપિત થાય છે; પરંતુ α, β સમતલ પરસ્પર સમાંતર નથી એવું સ્વીકારતાં જો પ્રથમ સમુચ્ચયનું સંગામી બિંદુ લોપી રેખા પર પડેલું હોય તો પ્રક્ષેપિત રેખાઓ સમાંતર થશે. આમ α સમતલમાંની સમાંતરરેખાઓ પ્રક્ષેપનને કારણે સમાંતર રેખાઓમાં પ્રક્ષેપિત થતી નથી. આમ સમાંતરતા (parallelism) અંગેનો ગુણધર્મ પ્રક્ષેપિત ગુણધર્મ નથી.

સમતલ αમાં આવેલા રેખાખંડ AB પરનું p બિંદુ, ABનું અમુક ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે. સમતલ α પરનાં A, B, p બિંદુના સમતલ β પરના પ્રક્ષેપ અનુક્રમે A´, B´ અને p´ છે. સામાન્ય રીતે એટલે કે રેખાખંડનો ગુણોત્તર પ્રક્ષેપમાં જળવાઈ રહેતો નથી.

રેખાખંડ ABનું P અને Q બિંદુઓ એકસરખા ગુણોત્તરમાં અનુક્રમે આંતરિક અને બાહ્ય વિભાજન કરે છે. અહીં P અને Q બિંદુઓ A અને B બિંદુ સાપેક્ષે સ્વરિત સંયુગ્મી (harmonic conjugate) કહેવાય છે. તેવી જ રીતે A અને B એ બિંદુ P અને Qના સાપેક્ષે પણ સ્વરિત સંયુગ્મી કહેવાય છે. A, B, P, Q – આ ચાર બિંદુઓ સ્વરિત વિસ્તાર (harmonic range) કહેવાય છે. તેને (AB, PQ)થી દર્શાવાય છે. હવે જો A´, B´, P´, Q´ એ અનુક્રમે A, B, P, Q બિંદુઓના પ્રક્ષેપ હોય તો (A´B´, P´Q´) પણ સ્વરિત વિસ્તાર થાય છે. એટલે કે સ્વરિત વિભાજનનો ગુણધર્મ એ પ્રક્ષેપી ગુણધર્મ છે.

A, B, C, D ચાર એક રેખસ્થ બિંદુઓ માટે  ગુણોત્તરને વિસ્તાર(ABCD)નો તિર્યક્ ગુણોત્તર કહે છે, જે વાસ્તવિક સંખ્યા છે અને પ્રક્ષેપન પછી પણ તે ગુણોત્તર યથાવત્ રહે છે. તિર્યક્ ગુણોત્તર (cross ratio) પ્રક્ષેપી નિશ્ર્ચલ (projective invariant) છે. સ્વરિત વિસ્તાર તિર્યક્ ગુણોત્તરનો વિશિષ્ટ કેસ હોવાથી તે પણ પ્રક્ષેપી નિશ્ર્ચલો છે. સ્વરિત વિસ્તાર માટે ગુણોત્તર – 1 હોય છે. ચાર સંગામી રેખાઓની રેખાવલી (pencil) લઈએ. આ રેખાવલીને કોઈ પણ ચાર બિંદુઓમાં છેદતી તિર્યક્ છેદક રેખાથી મળતા વિસ્તારનો તિર્યક્ ગુણોત્તર અચલ હોય છે અને આ અચલ એ ગણનામાં લીધેલી રેખાવલીનો તિર્યક્ ગુણોત્તર છે. આમ ચાર રેખાઓની રેખાવલીનો તિર્યક્ ગુણોત્તર પ્રક્ષેપીય નિશ્ચલ છે. જો આ રેખાવલીનો તિર્યક્ ગુણોત્તર – 1 હોય તો રેખાવલીને સ્વરિત રેખાવલી કહે છે. આમ સ્વરિત રેખાવલી હંમેશાં સ્વરિત રેખાવલીમાં પ્રક્ષેપિત થાય છે.

સમતલ α પરના વર્તુળનો સમતલ β પર મળતો પ્રક્ષેપ શાંકવ હોય છે, જે શાંકવની અનેક વ્યાખ્યામાંની એક છે. વળી વર્તુળના કયા ગુણધર્મો પ્રક્ષેપન પછી શાંકવ સ્વરૂપ જાળવી રાખે છે તે પણ જાણી શકાય છે. વર્તુળ અને લોપી રેખા વચ્ચે કોઈ સામાન્ય વાસ્તવિક બિંદુઓ ન હોય તો β સમતલ પરનો પ્રક્ષેપિત શાંકવ ઉપવલય હોય છે. વર્તુળ જો લોપી રેખાને સ્પર્શતું હોય તો શાંકવ પરવલય અને વર્તુળ જો લોપી રેખાને બે વાસ્તવિક ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદતું હોય તો પ્રક્ષેપ અતિવલયના આકારનો હોય છે. લોપી રેખાની બે બાજુ વૃત્તખંડના પ્રક્ષેપ સ્વરૂપે, અતિવલયની બે શાખાઓ રૂપે મળે છે. વર્તુળના સ્વરિત અને સમુત્ક્રમણ ગુણધર્મો અને પ્રક્ષેપણ-પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરી શાંકવનાં નાભિ, નિયામિકા વગેરેના અસ્તિત્વનું સમર્થન કરી શાંકવના અન્ય ગુણધર્મો સાબિત કરવાનું શક્ય બને છે. સમતલ αમાં આવેલા વર્તુળના સંદર્ભમાં લોપી રેખાનો ધ્રુવ, સમતલ βમાં આવેલા શાંકવના કેન્દ્ર સ્વરૂપે પ્રક્ષેપિત થાય છે. શાંકવનું કેન્દ્ર એ અનંત આગળની રેખાનો ધ્રુવ છે અને કેન્દ્ર તેમાંથી પસાર થતી જીવાનું મધ્યબિંદુ છે.

અનુબદ્ધ (conjugate) બિંદુઓ અને રેખાઓનો પ્રક્ષેપ અનુક્રમે અનુબદ્ધ બિંદુઓ અને રેખાઓ જ હોય છે. જો α સમતલમાંનું વર્તુળ લોપી રેખાને બે વાસ્તવિક બિંદુઓમાં મળે તો આ બિંદુઓ આગળ દોરેલા સ્પર્શકોનો પ્રક્ષેપ β સમતલમાં આવેલા અતિવલયના બે અનંતસ્પર્શકો (asymptotes) હોય છે. વર્તુળના ગુણધર્મોમાંથી શાંકવના અનુરૂપ ગુણધર્મો મેળવવાની પદ્ધતિને પ્રક્ષેપની વ્યાપક પદ્ધતિ કહે છે. ઉચ્ચતર સમતલીય વક્રો(higher plane curves)ના અભ્યાસમાં પ્રક્ષેપ-પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ સહાયક થાય છે. સમતલમાં આવેલી કોઈ યાર્દચ્છિક રેખા વક્રને છેદે ત્યારે મળતા છેદબિંદુની સંખ્યા સમતલીય વક્રની કક્ષા (degree) છે. સમતલમાં આવેલા કોઈ યાર્દચ્છિક બિંદુમાંથી વક્રને દોરેલા સ્પર્શકોની સંખ્યા સમતલીય બૈજિક વક્રનો વર્ગ (class) નક્કી કરે છે. વક્રની કક્ષા અને વર્ગ બંને પ્રક્ષેપીય નિશ્ચર છે. અસામાન્ય બિંદુઓ (singular points), સમદ્વિક બિંદુઓ (like double points); વક્ર પરનાં નતિ (inflexions) બિંદુઓ વગેરે પ્રક્ષેપ વક્ર પરનાં એ જ પ્રકારનાં બિંદુઓ હોય છે.

પ્રક્ષેપ ભૂમિતિ એ ભૂમિતિની કોઈ ખાસ શાખા નથી, પરંતુ એ એક વ્યાપક ભૂમિતિ છે. તેમાં બિંદુ, રેખા, સમતલ વગેરે જેવાં અવ્યાખ્યાયિત પદો અને થોડી આપતન પૂર્વધારણાઓ (axioms) કે અભિગૃહીતો લઈ ખૂબ ઝીણવટથી વિસ્તૃત સંરચના (structure) ઊભી કરવામાં આવે છે. તેમાં માપના અને માપનના ખ્યાલોનો (જેમકે લંબાઈ, ખૂણા વગેરેનું માપન) ઉપયોગ કરવામાં આવતો નથી. બહુ મોટી સંખ્યામાં અગત્યનાં પરિણામો મેળવ્યા પછી તેમાંથી કેટલાંક બિંદુઓ અને રેખાઓનું આદર્શ બિંદુઓ કે રેખાઓ તરીકે નિરૂપણ કરી અને તેમને ખાસ સ્થાન આપી યુક્લિડીય કે અયુક્લિડીય કે અફાઇન ભૂમિતિ સ્થાપિત થઈ.

પ્રક્ષેપ ભૂમિતિના મોટાભાગના અગત્યના ખ્યાલો જે. વી. પાસ્લે, ઍલેક્ઝાંડ્રિયાના પેપસ, જિરાર્ડ દસર્ગ, વૉન સ્ટોટ (Von Staudt), બ્લેઇઝ પાસ્કલ અને ફેલિક્સ ક્લેઈને પ્રક્ષેપ ભૂમિતિમાં દાખલ કર્યા હતા. કેટલીક ખાસ સમસ્યાઓ ઉકેલવામાં વિશિષ્ટ પ્રકારના પ્રક્ષેપનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે; દા.ત., જો પ્રક્ષેપ-શીર્ષ અમુક દિશામાં અનંતી આગળ હોય તો તેને સમાંતર પ્રક્ષેપ (parallel projection) કહે છે. અવકાશમાં સમતલ α કે સમતલ βને સમાંતર ન હોય તેવી ખાસ રેખા નિશ્ચિત કરી શકાય. α સમતલ પરના બિંદુ Pનો β સમતલ પરનો પ્રક્ષેપ P´ એવો મળે છે કે જેથી PP´ એ નિયત રેખાને સમાંતર હોય છે. આ પ્રકારના પ્રક્ષેપમાં α સમતલમાંની સમાંતર રેખાનો β સમતલમાં પ્રક્ષેપ પણ સમાંતર રેખાઓ જ હોય છે. રેખાખંડનો ગુણોત્તર યથાવત્ રહે છે. રેખાખંડના મધ્યબિંદુનો પ્રક્ષેપ એ પ્રક્ષેપિત રેખાખંડોનું મધ્યબિંદુ હોય છે.

અવકાશમાંની નિયત રેખા β સમતલને લંબ રૂપે હોય તો પ્રક્ષેપને લંબકોણીય પ્રક્ષેપ (orthogonal projection) કહે છે. જો સમતલ α અને સમતલ βની છેદક રેખા l હોય અને બે સમતલ વચ્ચેનો ખૂણો θ હોય તો α સમતલમાં X લંબાઈવાળા અને lને લંબ રૂપે હોય તેવા રેખાખંડ xનો β સમતલ પરના પ્રક્ષેપની લંબાઈ x cos θ હોય છે. વળી સમતલ α પરના A ક્ષેત્રફળવાળા સંવૃત વક્રનો પ્રક્ષેપ એ β સમતલ પરનો A cos θ ક્ષેત્રફળવાળો સંવૃત વક્ર છે.

તદ્દન જુદા જ પ્રકારના પ્રક્ષેપ પણ હોય છે, દા.ત., NS વ્યાસવાળો એક ગોલક છે. તેના પર P બિંદુ આવેલું છે. NPને લંબાવતાં તે S બિંદુ આગળ ગોલકને દોરેલા સ્પર્શ-તલને P´ બિંદુ આગળ મળે છે. જો ગોલક પર P બિંદુ F વક્ર અંકિત કરે તો S બિંદુ આગળ ગોલકના સ્પર્શ-તલ પર P´ બિંદુ વક્ર F´ અંકિત કરે છે. આ વક્રને ત્રિપરિમાણી (stereographic) પ્રક્ષેપ કહે છે. ગોલીય આકૃતિઓનું સમતલીય આકૃતિઓમાં રૂપાંતર કરી તેમનો અભ્યાસ કરવામાં આ બહુ ઉપયોગી છે. S આગળ સ્પર્શ-તલને સમાંતર સમતલમાં આવેલાં અક્ષવૃત્તો- (circles of latitudes)નું, C કેન્દ્રવાળાં સંકેન્દ્રી (concentric) વર્તુળોમાં રૂપાંતર થાય છે. N અને Sમાંથી પસાર થતા બૃહદવૃત્ત(great circles)નું Sમાંથી પસાર થતી અરીય (radial) રેખાઓમાં રૂપાંતર થાય છે. ત્રિપરિમાણી પ્રક્ષેપમાં ખૂણા જળવાઈ રહે છે, તેથી સમરૂપે કે સમકોણ નિરૂપણ (conformal mapping) મળે છે. ગોલક પરની આકૃતિઓના સમતલ પર આલેખન – એ ભૂગોળ અને માનચિત્રકલા(cartography)માં જરૂરી છે.

એ. આર. રાવ

અનુ. શિવપ્રસાદ મ. જાની