પાસ્કલ, બ્લેઝ (જ. 19 જૂન 1623, ક્લેરમૉન્ટ ફરાન્ડ, ફ્રાંસ; અ. 19 ઑગસ્ટ 1662, પૅરિસ, ફ્રાન્સ) : ફ્રેંચ ગણિતશાસ્ત્રી, ભૌતિકશાસ્ત્રી, ફિલસૂફ અને ફ્રેંચ ગદ્યના પ્રખર પંડિત. શાળાએ ગયા વગર જ પિતા પાસેથી પ્રાચીન ગ્રીક અને લૅટિન કલા અને સાહિત્ય શીખ્યા હતા. 12 વર્ષના થયા ત્યાં સુધીમાં તેમણે ભૂમિતિનો અભ્યાસ કરી લીધો અને પાસ્કલના પ્રમેય તરીકે પ્રચલિત પ્રમેય તૈયાર કર્યું. ફક્ત 16 વર્ષની ઉંમરે તેમણે શાંક્વ પર એક સંક્ષિપ્ત નિબંધ લખ્યો. પોતાના ગુરુ જિરાર્ડ દેસર્ગના પ્રક્ષેપ ભૂમિતિ પરના પ્રચલિત કાર્યના અભ્યાસ પર આધારિત આ નિબંધ હતો, જેથી તેમને ગણિતવર્તુળમાં સારી નામના મળી.
આકૃતિ 1 : બ્લેઝ પાસ્કલ
તેમના પિતા કરવેરા કચેરીના સુપરિન્ટેન્ડન્ટ હતા. કરવેરાની ગણતરીમાં તેમને વિશેષ મહેનત કરવી પડતી હતી. આ જોઈ પિતાને મદદરૂપ થવા માટે 1642માં પાસ્કલે 18 વર્ષની ઉંમરે સરવાળા-બાદબાકી કરવા માટેનું યંત્ર બનાવ્યું. તે પાસ્કલ ઍડિંગ મશીન તરીકે પ્રચલિત થયું.
આકૃતિ 2 : પાસ્કલનું સરવાળાયંત્ર
આ યંત્રમાં તેમણે 10 દાંતાવાળાં દાંતાચક્રો ગોઠવ્યાં હતાં. દાંતાચક્રોને વર્તુળાકાર પથમાં ગોઠવેલાં છે, જેથી અંદર ગોઠવેલી સંખ્યા યંત્રની બારીમાં વાંચી શકાય. હૅન્ડલ દ્વારા દાંતાઓને ગતિમાન કરી શકાય તે માટેની અને દરેક ચક્રને માહિતી પૂરી પાડવાની તેમજ પાછી મેળવવાની તેમાં વ્યવસ્થા હતી. દરેક ચક્ર પરના દર્શક બિંદુ પર 4 2 6નો અંક જોઈ શકાય છે, જે આકૃતિ 3માં દર્શાવેલો છે.
આકૃતિ 3 : દાંતાચક્રો
હૅન્ડલથી ચક્રો અને તે પરના અંકો ફેરવી શકાતા. સરવાળો કરવા માટે ચક્રને વિષમઘડી (anticlockwise) દિશામાં અને બાદબાકી માટે સમઘડી (clockwise) દિશામાં ખસેડવામાં આવતાં. સરવાળાની પ્રક્રિયાનું પુનરાવર્તન કરી ગુણાકાર મેળવાતો, આથી વધારે સમય લાગતો. આ યંત્ર સારી પ્રતિષ્ઠા પામ્યું અને તેનું સારા પ્રમાણમાં ઉત્પાદન કરવામાં આવ્યું. સ્વીડનની રાણીએ પણ આ યંત્ર ખરીદ્યું હતું. યંત્રમાં સુધારા કરી પાછળથી લિબ્નિત્ઝે તેને વધારે કાર્યક્ષમ બનાવ્યું.
ફ્રેંચ ગણિતશાસ્ત્રી ફર્મા અને પાસ્કલ ગાણિતિક સંભાવનાશાસ્ત્ર (probability)ના સ્થાપકો ગણાય છે. એક જુગારી કેવલિયર-દ-મેરે જુગારને લગતા ઘણા કોયડા પાસ્કલ પાસે રજૂ કરી ઉકેલ પણ મેળવતો. આવા એક કોયડાના ઉકેલ માટે પાસ્કલ અને ફર્મા વચ્ચે લાંબો પત્રવ્યવહાર થયેલો અને તેનો ઉકેલ પણ તેમણે મેળવેલો. પાસ્કલને ભાગ્યચક્ર અને સંભાવના-આધારિત કેટલીક રમતોમાં રસ હતો. તેણે સિક્કા ઉછાળવાની રમત માટે છાપ (head) અને કાંટો(tail)ની શક્યતાઓ મેળવવા માટે પ્રયાસ કર્યો. શક્યતાઓ તુરત જ જાણવા મળે માટે એક ત્રિકોણ રચ્યો, જેને પાસ્કલ ત્રિકોણ કહેવાય છે. આકૃતિ 4માં દર્શાવેલા પાસ્કલ ત્રિકોણમાં તેની બંને બાજુએ 1 લખવામાં આવે છે. બે બાજુ લખેલી સંખ્યાનો સરવાળો તેની નીચેની લીટીના ખાનામાં લખવામાં આવે છે.
આકૃતિ 4 : પાસ્કલ ત્રિકોણ
ત્રિકોણમાં લખેલા અંકો જોતાં તે દ્વિપદી પ્રમેયના જ સહગુણકો છે એમ માલૂમ પડે છે. આવી ગોઠવણી ઈ. સ. પૂ. છઠ્ઠી સદીમાં પાઇથાગોરાસે અને ઈ. સ. 1543માં સ્ટીફરે પણ કરેલી.
પાસ્કલનું પ્રમેય : શાંક્વમાં અંતર્લિખિત ષટ્કોણની સામસામેની બાજુઓની જોડનાં છેદ-બિંદુઓ સમરેખસ્થ (collinear) હોય છે. આ પ્રમેય બ્રાયન્કોનના પ્રમેયનું દ્વૈત (dual) છે.
બ્રાયન્કોનનું પ્રમેય : એક શાંક્વને પરિગત ષટ્કોણ લઈએ તો તે ષટ્કોણના ત્રણ વિકર્ણો સંગામી હોય છે. આ બંને પ્રમેય પ્રક્ષેપ ભૂમિતિમાં છે. આંકડાશાસ્ત્રમાં પાસ્કલનું ઋણ દ્વિપદી વિતરણ (negative binomial distribution) જાણીતું છે.
આકૃતિ 5 (i) આકૃતિ 5 (ii) આકૃતિ 5 (iii)
હૃદાભ વક્ર b > a એક પાશવાળો b < a, બે પાશવાળો
લિમેકન લિમેકન
પાસ્કલનું લિમેકન: વક્ર r = a cos θ + b(ધ્રુવીય સમીકરણ)ને લિમેસાઁ કહેવાય છે. આ વક્રનો સર્વપ્રથમ અભ્યાસ પાસ્કલે કરેલો તેથી તેને પાસ્કલનું લિમેસાઁ કહેવાય છે. r = a cos θ + b સમીકરણમાં b = a હોય તો r = a(1 + cos θ) થાય. આથી લિમેકન આકારનો વક્ર બને છે અને તેને હૃદાભ વક્ર (cardioid) કહેવાય છે. (આકૃતિ 5 (i)). જો b > a હોય તો લિમેકનમાં એક જ પાશ (loop) હોય છે, જે હૃદય જેવો દેખાય છે, પરંતુ જેમ b વધતો જાય તેમ તે વક્ર વર્તુળ જેવો બને છે. (આકૃતિ : 5 લિમેકન (ii)). જો b < a હોય તો લિમેકનમાં બે પાશ હોય છે. બે પાશ એકબીજાની અંદર હોય છે. બહારનો પાશ હૃદય આકારનો અને અંદરનો નાસપાતી આકારનો હોય છે. (આકૃતિ 5 : લિમેકન (iii))
ભૌતિકશાસ્ત્રમાં પાસ્કલ તરલ (fluid) ઉપરના તેમના પ્રયોગો માટે જાણીતા છે. તરલ દબાણ ઉપરના તેમના અગત્યના કાર્ય દ્વારા તેમણે પાસ્કલના નિયમ તરીકે ઓળખાતો એક સિદ્ધાંત આપ્યો. આ સિદ્ધાંત 1650માં વિકસિત થયો, જે દર્શાવે છે કે પાત્રમાં રાખેલા તરલ ઉપર લગાડવામાં આવતા દબાણનું બધી જ દિશામાં એકસરખું સંચારણ (transmission) થાય છે. પાસ્કલના નિયમની મદદથી હવાનું સંપીડન (air-compressor), નિર્વાત-પંપ (vacuum pump), સિરિંજ, વસ્તુને (મોટરને) ઊંચકવા માટેના દ્રવચાલિત (hydraulic) જૅક તથા ગાંસડી બાંધવાના દ્રવચાલિત પ્રેસની કાર્યપદ્ધતિ સમજી શકાય છે.
નરેન્દ્ર પ. ભામોરે
એરચ મા. બલસારા