ધ્રુવ અને ધ્રુવી (Pole and Polar) : સમતલ (plane) પરનાં બિંદુ અને રેખાઓનું સાયુજ્ય (correlation) દર્શાવતો ખ્યાલ.
સમતલમાં આવેલા આધાર વર્તુળ (base circle) C નું કેન્દ્ર O છે. P સમતલ પરનું બિંદુ છે અને વર્તુળ C ના સંદર્ભમાં P બિંદુને સાપેક્ષ બિંદુ Q આવેલું છે, જેથી OP.OQ = r2 થાય છે. (આવા બિંદુ Q ને P બિંદુનું વ્યસ્તબિંદુ કહે છે.) અહીં વર્તુળ C ની ત્રિજ્યાનું માપ r છે. Q બિંદુમાંથી OQને લંબ રૂપે દોરેલી રેખા p ને વર્તુળ Cના સંદર્ભમાં બિંદુ P ની ધ્રુવી કહે છે. બિંદુ Pને વર્તુળ C ના સંદર્ભમાં રેખા pનો ધ્રુવ કહે છે. રેખા p આપેલી હોય તો કેન્દ્ર Oમાંથી pને લંબ રૂપે રેખા OQ દોરી તેના પર બિંદુ P એવું લેવામાં આવે છે જેથી OP.OQ = r2 થાય છે.
આકૃતિ 1 : વર્તુળનો ધ્રુવ અને ધ્રુવી
આમ, પ્રત્યેક બિંદુ Pને અનુરૂપ રેખા p મળે છે જે તેની ધ્રુવી છે. અને પ્રત્યેક રેખા pને અનુરૂપ બિંદુ P મળે છે કે જે તેનો ધ્રુવ છે. આધાર વર્તુળ C ના કેન્દ્ર Oની ધ્રુવી એ સમતલ પરની અનંતસ્થ રેખા (line at infinity) છે અને બેઝ વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી રેખા pનો ધ્રુવ એ અનંતસ્થ બિંદુ (point at infinity) છે જે આપેલી રેખાને લંબદિશામાં આવેલી રેખા પર હોય છે. જો બિંદુ P આધારવર્તુળની બહાર હોય તો ધ્રુવી વર્તુળને બે વાસ્તવિક બિંદુમાં છેદે છે અને બિંદુ P વર્તુળમાં હોય તો ધ્રુવી સમગ્રપણે વર્તુળની બહાર હોય છે.
નીચેની આકૃતિઓ દ્વારા ધ્રુવ, ધ્રુવી અને તેના ગુણધર્મો દર્શાવી શકાય. વર્તુળ C જે સમતલ પર છે તે સમતલ પર વર્તુળની બહાર P બિંદુ આવેલું છે. બિંદુ Pમાંથી વર્તુળ C ને બે સ્પર્શકો PT1 અને PT2 દોરવામાં આવે તો T1T2 એ બિંદુ Pની ધ્રુવી છે. T1T2 અને OPનું છેદબિંદુ Q છે અને તે Pનું વ્યસ્તબિંદુ છે.
આકૃતિ 2 : વર્તુળ બહારનું બિંદુ P અને ધ્રુવી p
વર્તુળ C ની અંદર આવેલા બિંદુ Pમાંથી દોરેલી ચલ (variable) જીવા(chord)નાં અંત્યબિંદુઓ ui, vi (i=1,2,3) આગળ દોરેલા સ્પર્શકો(tangents)ના છેદબિંદુનો બિંદુપથ (locus) સુરેખા p છે, જે બિંદુ Pની ધ્રુવી કે ધ્રુવરેખા છે.
C વર્તુળની બહાર આવેલા બિંદુ P માટે ધ્રુવી p બિંદુપથ થવા માટે આવી જ રચના આપી શકાય. પરંતુ આવી રચનાથી ધ્રુવી p દ્વારા વર્તુળ વડે મળેલી જીવાનાં બિંદુઓ મળતાં નથી.
વર્તુળના ધ્રુવ, ધ્રુવીના ગુણધર્મો દર્શાવતું એક અગત્યનું પ્રમેય નીચે મુજબ છે :
પ્રમેય : A અને B બે બિંદુઓ વર્તુળ Cને સમાવતા સમતલ પર આવેલાં છે અને બિંદુ Aની ધ્રુવી બિંદુ B માંથી પસાર થાય તો બિંદુ Bની ધ્રુવી બિંદુ Aમાંથી પસાર થાય છે.
આકૃતિ 3 : વર્તુળની અંદરનું બિંદુ P અને ધ્રુવી p
સાબિતી : રેખા OA પર Aનું વ્યસ્તબિંદુ A’ લઈએ એટલે કે OA.OA’=r2 થાય. A’ આગળ OA’ ને લંબ રૂપે એક રેખા a દોરીએ તો ધારણા અનુસાર B બિંદુ રેખા a પર આવેલું છે.
આકૃતિ 4 : પ્રમેયની આકૃતિ
OBને લંબ રૂપે AB’ દોરીએ તો આકૃતિ 4 માં AB’ એ Bની ધ્રુવી છે, એટલે કે B’ એ Bનું વ્યસ્તબિંદુ છે એમ બતાવી શકાય. A’ અને B’ આગળના ખૂણા કાટખૂણા છે. આમ A,B’,B,A’ આ ચાર બિંદુઓ વૃત્તીય (cyclic) બિંદુઓ છે તેથી OB.OB’ =, OA.OA’ = r2 છે. આથી B’ એ B નું વ્યસ્તબિંદુ છે એમ સાબિત થાય છે.
આકૃતિ 5 : અનુબદ્ધ રેખાઓ a, b.
અનુબદ્ધ બિંદુઓ A, B.
અનુબદ્ધબિંદુઓ (conjugate points) અને અનુબદ્ધ રેખાઓ (conjugate lines) : બે બિંદુઓમાંના એકની ધ્રુવી બીજા બિંદુમાંથી પસાર થાય અને બીજાની ધ્રુવી પહેલા બિંદુમાંથી પસાર થાય તો આવાં બે બિંદુઓને વર્તુળના સંદર્ભમાં એકમેકનાં અનુબદ્ધ બિંદુઓ કહેવાય છે. વળી બે ધ્રુવ રેખાઓમાંની એકનો ધ્રુવ બીજી રેખા પર આવેલો હોય અને બીજીનો ધ્રુવ પહેલી રેખા પર આવેલો હોય તો આવી બે રેખાઓને એકમેકની અનુબદ્ધ રેખા કહેવાય છે.
વર્તુળના સંદર્ભમાં X અને Y બે અનુબદ્ધ બિંદુઓ હોય અને રેખા xy વર્તુળને I, J બિંદુઓમાં મળતી હોય તો xy એ I, J ને સ્વરિત રીતે (harmonically) જુદાં પાડે છે. એટલે કે (xy, IJ) એ સ્વરિત વિસ્તાર (harmonic range) છે. વર્તુળના સંદર્ભમાં રેખાઓ x અને y એકબીજીની અનુબદ્ધ રેખાઓ હોય અને પરસ્પરને U બિંદુમાં છેદતી હોય, U બિંદુમાંથી વર્તુળને દોરેલા સ્પર્શકોને i,j હોય તો યુગ્મતા(duality)ને કારણે (xy, i j) સ્વરિત રેખાવલી (harmonic pencil) છે. ઉપરના ગુણધર્મની મદદથી ધ્રુવ અને ધ્રુવી અંગેનો વર્તુળ માટેનો ખ્યાલ પરવલય (parabola), ઉપવલય (ellipse) કે અતિવલય(hyperbola)ને આધાર શાંકવ (base conic) તરીકે લઈને રજૂ કરી શકાય છે.
એ. આર. રાવ
અનુ. શિવપ્રસાદ મ. જાની