તરંગ (wave)

તરંગ (wave) : સ્થિતિસ્થાપક માધ્યમમાં કણના સ્થાનાંતર વગર, તેમાં ઉદભવતા વિક્ષોભ(disturbance)ની એક બિંદુથી બીજા બિંદુ પ્રતિ થતી ગતિ. સમય (t) અને સ્થાનનિર્દેશાંકો (x, y, z) સાથે કણના બદલાતા જતા સ્થાનાંતરના સંદર્ભમાં તરંગને વ્યક્ત કરવામાં આવે છે. તરંગ સ્થાનાંતરના વર્ણનમાં તરંગસમીકરણના ઉકેલ અને જે તે કિસ્સાને લગતી સીમાશરતો(boundary conditions)નો સમાવેશ થતો હોય છે. ઘણાખરા કિસ્સાઓમાં તરંગ સમીકરણ, દ્વિતીયક્રમ રૈખીય અંશત: વિકલન સમીકરણ સ્વરૂપે હોય છે. એકપારિમાણિક માધ્યમમાં, સમય (t) અને સ્થાનનિર્દેશાંક(x)ના સંદર્ભમાં તરંગસમીકરણ નીચે પ્રમાણે છે :

આ સમીકરણ(2)ની જમણી બાજુનું પ્રથમ પદ x દિશામાં v વેગથી ગતિ કરતો તરંગ અને બીજું પદ ઋણ x દિશામાં v વેગથી ગતિ કરતો તરંગ દર્શાવે છે, જ્યારે F અને G વિધેયો છે. જે તે કોયડાની સીમાશરતોના ખાસ ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને આ વિધેયો નક્કી કરવામાં આવે છે. એકપારિમાણિક કિસ્સામાં આ વિધેયો સામાન્ય રીતે જ્યા (sine) કે કોજ્યા (cosine) વિધેય હોય છે.

તરંગનું સરળ ગણિતીય વર્ણન કરવા માટે x અક્ષ ઉપર ખેંચી રાખેલી દોરીને y દિશામાં સરળ આવર્તકબળ (periodic force) આપતાં, દોરી ઉપર સરળ પ્રસંવાદી (harmonic) દોલનો મળે છે (જુઓ આકૃતિ 1અ અને 1બ). t = 0 સમયે x = 0 આગળ દોરીનું y દિશામાં સ્થાનાંતર મહત્તમ હોય, તો t સમયે તે જ સ્થાને સ્થાનાંતર નીચેના સૂત્રથી મળે છે :

y = A Cos 2πft ……………………………………………………………………(3)

જ્યાં y એ t સમયે દોરીનું સ્થાનાંતર; A, દોલનનો કંપવિસ્તાર અને f, તરંગની આવૃત્તિ છે.

સમીકરણ 3 દોરીના એક જ બિંદુનું સમય (t)ના વિધેય તરીકે સ્થાનાંતર દર્શાવે છે. ખેંચેલી દોરી ઉપર તરંગ ગતિના સંપૂર્ણ વર્ણનથી કોઈ પણ સમયે દોરીના કોઈ પણ બિંદુનું સ્થાનાંતર y મળવું  જોઈએ. આથી સ્થાનાંતર yને સ્થાન (x) અને સમય(t)ના વિધેય તરીકે મેળવવું આવશ્યક છે.

તરંગગતિ (wave motion) : તરંગ જ્યારે માધ્યમમાં ગતિ કરતો હોય ત્યારે વિક્ષોભ એક બિંદુથી દૂરના બીજા બિંદુ સુધી પ્રસરે છે; આ દરમિયાન માધ્યમના દ્રવ્યનું વાસ્તવિક રીતે કાયમી સ્થાનાંતર થતું નથી. ધ્વનિ એ તરંગગતિ છે પણ પવન તરંગગતિ નથી. ઊર્જાનો ગતિજ (kinetic) અથવા સ્થિતિજ (potential) ઊર્જા તરીકે સંચય કરી શકાય તેવા માધ્યમમાં જ તરંગગતિ શક્ય બને છે. યાંત્રિક (mechanical) માધ્યમમાં ગતિજ ઊર્જા માધ્યમના જડત્વ(inertia)માંથી સંભવે છે, અને તે અણુઓના વેગ તરીકે સંચિત થયેલી હોય છે. સ્થિતિજ ઊર્જા માધ્યમની સ્થિતિસ્થાપકતા(elasticity)માંથી સંભવે છે. અને તે અણુઓના સ્થાનાંતર સાથે સંચિત થયેલી હોય છે.

તરંગ મુક્ત ગતિ કરતો હોય ત્યારે માધ્યમનો એક કણ તેની નજીકના બીજા કણને વિક્ષોભ પહોંચાડે છે; એટલે કે ઊર્જા એકથી બીજા કણ પ્રતિ જાય છે. ત્યારબાદ બીજાથી ત્રીજા કણ પ્રતિ, એમ ઊર્જાનું આગળ ને આગળ સંચરણ થતું રહે છે અને ઊર્જાના સ્રોત(source)થી તે દૂરદૂરના બિંદુ સુધી પહોંચે છે. શાસ્ત્રીય ર્દષ્ટિએ એમ કહી શકાય કે તરંગ-પ્રસરણ દરમિયાન એક બિંદુ આગળની ગતિજ ઊર્જા બીજા બિંદુ આગળ સ્થિતિજ ઊર્જા તરીકે રૂપાંતરિત થાય છે. માધ્યમમાં કોઈ પણ જાતનું અવરોધક બળ ન હોય તો તરંગ-પ્રસરણ દરમિયાન યાંત્રિક ઊર્જાનો વ્યય થતો નથી અને તરંગ કોઈ પણ જાતના ફેરફાર સિવાય દૂર સુધી પ્રસરે છે.

તરંગઅગ્ર (wave front) : માધ્યમનો જે કણ સૌપ્રથમ દોલન શરૂ કરે તેની કળા (phase) વધુ અને પાછળથી દોલન શરૂ કરે તેની કળા ઓછી હોય છે. કોઈ પણ નક્કી કરેલી સંદર્ભરેખા સાથે સંદર્ભકણ જે કોણ રચે છે તેને સંબંધિત સરળ આવર્તગતિ કરતા કણની તે સમયની કળા કહે છે.

સમાન કળા ધરાવતા કણોમાંથી પસાર થતા કાલ્પનિક પૃષ્ઠને તરંગ-અગ્ર કહે છે. બિંદુવત્ ઉદગમસ્થાનમાંથી નીકળતા અને સમાંગ (homogeneous), સમદિગ્ધર્મી (isotropic) તથા ત્રિ-પારિમાણિક માધ્યમમાં ગતિ કરતા તરંગો એકસરખા સમયમાં એકસરખું અંતર કાપે છે. આથી આવા કિસ્સામાં સમાન અંતરે રહેલા કણોની કળા સમાન હોય છે. આવાં બિંદુઓમાંથી પસાર થતો તરંગ-અગ્રગોલીય હોય છે. ઉદગમસ્થાનથી ખૂબ જ મોટા (સૈદ્ધાંતિક રીતે અનંત) અંતરે તરંગ-અગ્રને સ્થાનિક રીતે સમતલ ગણી શકાય છે.

તરંગ–લંબાઈ : સામાન્યત: તરંગને તેની તરંગ-લંબાઈ કે આવૃત્તિ વડે ઓળખવામાં આવે છે. તરંગ સાથે સંકળાયેલી વિવિધ રાશિઓ આકૃતિ ૨માં દર્શાવેલી છે :

દોલન કરતા કણના મહત્તમ સ્થાનાંતરને, તરંગનો કંપવિસ્તાર (amplitude) કહે છે; અને તેની સંજ્ઞા A છે. આલેખ ઉપર ધન દિશામાં ઉચ્ચતમ સ્થાનને શૃંગ (crest) અને ઋણ y દિશામાં નિમ્નતમ સ્થાનને ગર્ત (trough) કહે છે. બે ક્રમિક શૃંગ કે ગર્ત વચ્ચેના અંતરને તરંગ-લંબાઈ કહે છે; અને તેને ગ્રીક મૂળાક્ષર લેમડા λ વડે દર્શાવવામાં આવે છે. બે ક્રમિક શૃંગ કે ગર્ત ઉપર આવેલા કણોની કળા વચ્ચે 2π રેડિયન જેટલો તફાવત હોય છે. આમ, જે બે કણ વચ્ચે કળાનો તફાવત (phase difference) 2π રેડિયન જેટલો હોય, તેમની વચ્ચેના અંતરને તરંગ-લંબાઈ કહે છે.

તરંગ–સંખ્યા (wave number) : તરંગ-લંબાઈ (λ)નો વ્યસ્ત (λ^–1) અથવા પથની એકમ લંબાઈદીઠ તરંગોની સંખ્યા. તેનો એકમ મીટર^–1  છે. તરંગની આવૃત્તિ કે તરંગલંબાઈને તરંગના વેગ સાથે સાંકળી શકાય છે. તરંગ-પ્રસરણનો વેગ છે. જ્યાં λ તરંગ-લંબાઈ અને T તેનો આવર્તકાળ છે. તરંગવેગ ν ને ν =  f λ વડે પણ દર્શાવાય છે; જ્યાં f = તરંગની આવૃત્તિ છે અને તે માધ્યમના કોઈ પણ છેદ આગળથી એકમ-સમય કે 1 સેકન્ડમાં પસાર થતા તરંગોની સંખ્યા છે. f = T^–1 = આવર્તકાળ Tનો વ્યસ્ત છે.

જ્યાં ω = 2πf = કોણીય આવૃત્તિ (angular frequency) અને તરંગ-સદિશ (wave vector) છે, જે એકમ અંતર માટે કળાનો તફાવત છે.

તરંગનો પાયાનો ગુણધર્મ એ છે કે તેની આવૃત્તિ અચળ રહે છે. તરંગના ઉદગમસ્થાન અને અવલોકનકાર વચ્ચે સાપેક્ષ ગતિ થતી હોય ત્યારે આવૃત્તિ અચળ રહેતી નથી. ઉદાહરણ તરીકે ડૉપ્લર ઘટનામાં આવૃત્તિ બદલાય છે. દૂર દૂરના તારાવિશ્વ(galaxy)માંથી આવતા પ્રકાશને લગતી ડૉપ્લર ઘટના એટલે કે રેડશિફ્ટ (red-shift), જ્યાં વર્ણપટરેખા, (spectral line) લાલ ભાગ તરફ ખસે છે. તે વિસ્તરતા વિશ્વની વિભાવનાને અનુમોદન આપે છે.

તરંગવેગ (wave velocity) : વિક્ષોભની ગતિનો દર અથવા તરંગ-પ્રસરણનો વેગ માધ્યમના નિયતાંકો વડે નક્કી કરી શકાય છે. તરંગનો વેગ માધ્યમના સ્થિતિસ્થાપક આંક (E) અને ઘનતા (જડત્વીય અચળાંક) ρ (ગ્રીક મૂળાક્ષર રો)ના ગુણોત્તરના વર્ગમૂળ જેટલો હોય છે. એટલે કે તરંગનો વેગ

ધ્વનિના તરંગો વ્યાપક સ્થિતિસ્થાપક તરંગોનો એક ખાસ પ્રકાર છે. સ્થિતિસ્થાપક તરંગ, માધ્યમમાં પ્રસરે છે ત્યારે તે માધ્યમની સ્થિતિસ્થાપકતા અને જડત્વના ગુણધર્મો ઉપર આધાર રાખે છે. સ્થિતિસ્થાપક તરંગના પ્રસરણ માટે માધ્યમ સ્થિતિસ્થાપક હોવું અનિવાર્ય છે; કારણ કે જો તેમ હોય તો જ સ્થાનાંતરિત કણને પોતાના મૂળ સ્થાને પાછા આવવા માટે પુન:સ્થાપક બળ (restoring force) મળી રહે છે. જડત્વનો ગુણધર્મ પણ એટલો જ અનિવાર્ય છે કારણ કે તેમ હોય તો જ સ્થાનાંતરિત કણ, તેની નજીકના કણને વેગમાન તબદીલ (transfer) કરી શકે. વિરૂપણ(shear)-તરંગ એ સ્થિતિસ્થાપક માધ્યમમાં એવો તરંગ છે જે માધ્યમના ઘટકનો આકાર બદલે છે, પણ કદ નિશ્ચિત રહે છે.

યાંત્રિક (mechanical) અને બિનયાંત્રિક (non–mechnical) – એમ બે પ્રકારના તરંગો હોય છે. જે તરંગને પ્રસરવા માટે માધ્યમ જરૂરી હોય તેને યાંત્રિક તરંગ કહે છે. યાંત્રિક તરંગ માધ્યમમાં પ્રસરે ત્યારે માધ્યમના કણ દોલન કરતા હોય છે. પાણી, દોરી, સ્પ્રિંગ અને ધ્વનિના તરંગો યાંત્રિક તરંગો છે.

જે તરંગને પ્રસરવા માટે માધ્યમ જરૂરી નથી એટલે કે શૂન્યાવકાશમાં પ્રસરે છે તેને બિનયાંત્રિક તરંગ કહે છે. વિદ્યુત ચુંબકીય અને પ્રકાશના તરંગો બિનયાંત્રિક છે. પ્રકાશ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ છે; તેથી  પ્રકાશનો તરંગ પ્રસરે છે ત્યારે તેના વિદ્યુત અને ચુંબકીય સદિશોમાં વધઘટ થતી હોય છે.

તિર્યક-તરંગ (transverse wave) : તરંગની ગતિ દરમિયાન માધ્યમના કણની ગતિ વિક્ષોભના પ્રસરણની દિશાને, ઉપર-નીચેની ગતિને કારણે મળતો તરંગ તે તિર્યક-તરંગ. આવો તિર્યક-તરંગ આગળ પ્રસરી રહ્યો હોય ત્યારે માધ્યમના કણ ઉપર-નીચે ગતિ કરતા હોય છે. તરંગ, દોરી ઉપર જમણી તરફ ગતિ કરતો હોય છે ત્યારે શૃંગ-બિંદુ Aથી B ઉપર અને ત્યારબાદ બિંદુ c ઉપર થઈને પસાર થાય છે (જુઓ આકૃતિ 3અ). આ ત્રણે બિંદુઓ પોતે દોરી ઉપર ગતિ કરતાં નથી. તરંગ ગતિ કરી રહ્યો હોય ત્યારે માધ્યમના કણ આગળ-પાછળ ગતિ કરે તેમ પણ બને, એટલે કે માધ્યમના  કણ તરંગની ગતિની દિશામાં જ આગળ-પાછળ ગતિ કરતા હોય છે. આવા તરંગને સંગત (longitudinal) અથવા સંપીડનાત્મક (compressional) તરંગ કહે છે. ખેંચેલી સ્પ્રિંગના એક છેડે દાબ આપતાં સંગત તરંગ, સ્પ્રિંગની દિશામાં ગતિ કરે છે (જુઓ આકૃતિ 3બ).

ધ્વનિના તરંગો સંગત તરંગો છે. સ્પ્રિંગના જે ભાગ ઉપરથી તરંગ પસાર થાય છે તે ભાગ સંકોચાય છે અને તરંગ પસાર થઈ ગયા પછી સ્પ્રિંગ યથાવત્ બને છે.

તિર્યક-તરંગની બાબતે માધ્યમના કણ તરંગ-ગતિને લંબ રૂપે ગતિ કરતા હોય છે. રજ્જુ તરંગ તિર્યક છે. પ્રકાશ એક વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ છે. તે પણ તિર્યક-તરંગ છે. પાણી ઉપર સર્જાતા તરંગ પણ તિર્યક છે. દોરી સમક્ષિતિજ અથવા લંબ રૂપે ગતિ કરે તો તરંગ સમક્ષિતિજ અથવા લંબ દિશામાં ધ્રુવીભૂત થાય છે. એટલે કે માધ્યમ માત્ર એક જ દિશામાં ગતિ કરે છે. પરિણામે માત્ર તિર્યક-તરંગોનું જ ધ્રુવીભવન (polarization) શક્ય છે; સંગત તરંગોનું નહિ.

સરળ આવર્તક બળને કારણે માધ્યમમાં ઉદભવતો તરંગ જેને જ્યા કે કોજ્યા વક્ર વડે દર્શાવી શકાય છે, તેને પ્રસંવાદી તરંગ કહે છે. અનંત માધ્યમમાં સતત ગતિ કરતા તરંગને પ્રગામી (progressive) તરંગ કહે છે.

તરંગપ્રસરણને લંબ દિશામાં, એકમ ક્ષેત્રફળમાંથી દર સેકન્ડે પસાર થતી ઊર્જાને તરંગની તીવ્રતા કહે છે. તરંગની તીવ્રતા તરંગના કંપવિસ્તારના વર્ગને પ્રમાણસર હોય છે. તરંગતીવ્રતાનો એકમ

સમાન તીવ્રતા અને આવૃત્તિનિશ્ચિત તરંગલંબાઈવાળો વાળા વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતા બે તરંગોના સંયોજનને, સ્થિતતરંગ કહે છે આવા તરંગ વડે સ્રોતમાંથી ઊર્જાનું વાસ્તવિક રીતે સ્થાનાંતર થતું નથી. સ્થિતતરંગ એવો જ હોય છે પણ પરાવર્ત પામી સ્રોત તરફ ગતિ કરતા તરંગની તીવ્રતા, બહાર કે આગળ જતા તરંગની તીવ્રતા કરતાં ઓછી હોય છે; પરિણામે સ્રોતમાંથી ઊર્જાનું સ્થાનાંતર થાય છે.

તરંગગતિ શૂન્યાવકાશમાં (વિદ્યુત ચુંબકીય તરંગો), વાયુમાં (ધ્વનિના તરંગો), પ્રવાહીમાં (દ્રવગતિકીય hydrodynamic તરંગ) અને ઘન પદાર્થમાં  (દોલન-તરંગો) સંભવે છે. માધ્યમ સંપૂર્ણ વિદ્યુતવાહક ન હોય અથવા પરાવૈદ્યુતાંક(dielectric constant)નો કાલ્પનિક ભાગ ઘણો મોટો (અનંત) ન હોય તો તેવા માધ્યમમાં વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો ગતિ કરે છે. વાયુ, પ્રવાહી અને ઘન માધ્યમમાં પ્રસરતા સ્થિતિસ્થાપક તરંગોને ધ્વનિક (acoustic) તરંગો કહે છે, જે સાંભળી શકાય અથવા ન પણ સાંભળી શકાય, તેવા હોય છે.

સ્થિતિજ અને ગતિજ ઊર્જાને સંગ્રહી શકાય તેવા સળંગ માધ્યમમાં તરંગ-ગતિ શક્ય બને છે. આવા માધ્યમમાં ગતિ કરતા તરંગ માટે તરંગ સમીકરણ મેળવવામાં આવે છે. આ સમીકરણમાંથી યાંત્રિક અને વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોના ઉકેલ મેળવી શકાય છે. ઉકેલને આધારે જાણી શકાય છે કે સંગત તરંગ તો યાંત્રિક માધ્યમમાં જ અને તિર્યક (લંબગત) તરંગ વિદ્યુતચુંબકીય તેમજ યાંત્રિક માધ્યમમાં અસ્તિત્વ ધરાવે છે. દરેક જાતના તરંગોની ગતિ દરમિયાન યાંત્રિક તરંગોની, બાબતે શ્યાનબળ (viscous force) તથા ઉષ્માને અને વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોની બાબતે અવરોધ તથા ચુંબકીય વ્યયને ધ્યાનમાં લેવાતા નથી; માત્ર સમાંગ અને સમદિગ્ધર્મી માધ્યમ આવશ્યક છે.

તરંગસંપુટ (wave packet) : અવકાશમાં નાના વિસ્તારમાં રહેલ તરંગ પદાર્થ તરંગપ્રકૃતિ ધરાવે છે એવો ખ્યાલ આવતાં, કણની વ્યાખ્યા કેવી રીતે કરવી એવો કોયડો ઉપસ્થિત થયો. પ્રશિષ્ટ ભૌતિકવિજ્ઞાનની ર્દષ્ટિએ કણનું માનસિક ચિત્ર બિંદુવત્ પદાર્થ છે જે દરેક પળે ચોક્કસ સ્થાન અને વેગમાન ધરાવે છે. પરમાણુના ક્વૉન્ટમ ગુણધર્મોની જાણકારીથી એટલું સ્પષ્ટ થયું કે કણનું, બિંદુવત્ પદાર્થ તરીકેનું ચિત્ર, એકંદરે જોતાં બરાબર નથી; પરંતુ P વેગમાન ધરાવતા કણ સાથે, નિશ્ચિત તરંગલંબાઈવાળો તરંગ સંકળાયેલ હોય તેવી દ બ્રૉગ્લી પરિકલ્પના(hypothesis)ની સફળતાથી નવી પરિસ્થિતિનું નિર્માણ થયું. શુદ્ધ પ્રસંવાદી તરંગ અવકાશમાં બધે જ છવાયેલો હોય છે. આથી કણના સ્થાનનો ખ્યાલ મુશ્કેલ બને છે. તેને બદલે તરંગ પૅકેટ એટલે કે અવકાશના નાના વિસ્તારમાં રહેલ તરંગનો વિચાર કરવામાં આવે તો કણ આવા વિસ્તારમાં જ છે એવું માની લેવું વાજબી ગણાય. કણનું સ્થાન તરંગ પૅકેટ વડે અંદાજી શકાય છે. જોકે તરંગપૅકેટમાં કણના સ્થાન માટે અચોક્કસતા પ્રવર્તે છે અને આવી અચોક્કસતા, તરંગપૅકેટના પરિમાણ ઉપર આધાર રાખે છે. આવા અસ્પષ્ટ (fuzzy) તરંગપૅકેટનો ખ્યાલ કરવાનો હોય તો તેણે લગભગ પ્રશિષ્ટ કણ (classical particle)ની જેમ ગતિ કરવી જોઈએ, એટલે કે દ બ્રૉગ્લી તરંગોના પુંજ (bundle) વડે રચાયેલું તરંગપૅકેટ મુક્ત કણોની બાબતે તો પ્રશિષ્ટ કણની જેમ ગતિ કરે છે.

તરંગવિધેય (wave function) : શ્રોડિંજર(Schroedinger)ના  તરંગ સમીકરણમાં વપરાતું ગણિતીય વિધેય, જે તરંગ-યાંત્રિકી (wavemechanics) પ્રમાણે કણની વર્તણૂક દર્શાવે છે. પાણીના તરંગમાં પાણીની સપાટીની ઊંચાઈ નિયમિત સમયાંતરે (periodically) બદલાય છે. ધ્વનિના તરંગમાં દબાણ નિયમિત સમયાંતરે (periodically) બદલાય છે અને પ્રકાશના તરંગોમાં વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં નિયમિત સમયાંતરે ફેરફાર થાય છે. તે જ પ્રમાણે જે રાશિનો ફેરફાર દ્રવ્યતરંગો રચે છે તેને તરંગવિધેય કહે છે, તેની સંજ્ઞા ગ્રીક મૂળાક્ષર ‘સાય’ Ψ છે. કોઈ (t) સમયે બિંદુ (x,y,z) આગળથી ગતિ કરતા પદાર્થ કણ સાથે સંકળાયેલું તરંગવિધેય, તે બિંદુ આગળ તે સમયે કણ હોવાની સંભાવના (probability) દર્શાવે છે. તરંગવિધેય Ψ સીધેસીધું કોઈ ભૌતિક મહત્વ ધરાવતું નથી તેમજ પ્રાયોગિક રીતે પણ નક્કી કરી શકાય તેમ નથી. કોઈ પણ સમયે કોઈ એક બિંદુ ઉપર કણ હોવાની સંભાવના શૂન્ય (0) અને એક (1)ની વચ્ચે હોય છે. આપેલા બિંદુ આગળ કણ ગેરહાજર હોય તો તે બિંદુ આગળ કણ હોવાની સંભાવના શૂન્ય હોય છે. જ્યારે કણ તે બિંદુ ઉપર પ્રત્યક્ષ હોય તો સંભાવના એક થાય છે. સંભાવના 0.6 મળે તો તે બિંદુ ઉપર કણ હોવાની સંભાવના 60 ટકા જેટલી હોય છે.

તરંગનો કંપવિસ્તાર (A) ધન અથવા ઋણ હોય છે. ઋણ સંભાવનાનો કોઈ જ અર્થ નથી. માટે Ψ અવલોકી શકાય તેવી રાશિ નથી. પરંતુ આ બધું તરંગ વિધેયના નિરપેક્ષ મૂલ્યના વર્ગ ને લાગુ પડતું નથી. ને સંભાવના-ઘનતા (probability density) કહે છે. (t) સમયે (x,y,z) બિંદુ આગળ Ψ તરંગ વિધેયવાળા કણની પ્રાયોગિક સંભાવના, તે બિંદુ આગળ મળતા ના સમપ્રમાણમાં હોય છે. જેમ  નું મૂલ્ય વધુ તેમ તે બિંદુ આગળ કણની સંભાવના વધુ અનેનું મૂલ્ય ઓછું તેમ સંભાવના ઓછી. નું મૂલ્ય શૂન્ય ન હોય તો તે બિંદુ આગળ કણ ચોક્કસ હોઈ શકે છે, પછી સંભાવના ભલે અતિ અલ્પ હોય. વિજ્ઞાની મૅક્સ બૉર્ને 19૨6માં,  નું આ પ્રમાણેનું અર્થઘટન કર્યું હતું.

ઘટના અને ઘટનાની સંભાવના વચ્ચે ઘણો તફાવત છે. કણ અવકાશમાં છવાયેલો હોય છે. જેનું વર્ણન તરંગવિધેય  Ψ કરે છે. આનો અર્થ એવો નથી કે કણ અવકાશમાં ચૂર્ણની જેમ છવાયેલો હોય છે. કોઈ પણ સ્થળે કણ, ધારો કે ઇલેક્ટ્રૉન, છે કે નહિ તે નક્કી કરવા માટે પ્રયોગ કરવામાં આવે તો તે ત્યાં હોય કે ન પણ હોય. તે બિંદુ આગળ ઇલેક્ટ્રૉન હોવાની સંભાવના 60 ટકા છે તેનો અર્થ એ નહિ કે તે બિંદુ આગળ ઇલેક્ટ્રૉનનો 60 ટકા ભાગ ત્યાં છે પણ તે બિંદુ આગળ ઇલેક્ટ્રૉન હોવાની સંભાવના 60 ટકા છે, અને આવી સંભાવના દર્શાવે છે. એવું પણ બને કે કોઈ પ્રયોગમાં એકસરખું તરંગવિધેય Ψ ધરાવતા એકસરખા કેટલાક કણ સંકળાયેલ હોય, તો (t) સમયે (x,y,z) બિંદુ આગળ વાસ્તવિક ઘનતા (એકમ કદદીઠ કણની સંખ્યા)  ને સમપ્રમાણમાં હોય છે.

તરંગકણ-દ્વૈતપ્રકૃતિ (wave-particle dual nature) : રોજબરોજના વ્યવહારમાં કણ અને તરંગની રહસ્યમય અથવા દ્વૈત- વિભાવના. તળાવના શાંત અને સ્થિર પાણીમાં પથ્થર નાખતાં તેની અંદર લહર (ripple) ઉત્પન્ન થાય છે, જે ક્રમશ: આવતાં બિંદુઓ ઉપર થઈને પસાર થાય છે; અને તેના દ્વારા ઊર્જા અને વેગમાનનું એક સ્થાનેથી બીજા સ્થાને વહન થાય છે. પ્રશિષ્ટ ભૌતિકવિજ્ઞાન મુજબ, તરંગ અને કણ બે અલગ અલગ અસ્તિત્વો (entities) છે, તેવી છાપ ઊપસે છે. કણની યાંત્રિકી અને તરંગની પ્રકાશિકી (optics), પોતાના સિદ્ધાંતો અને પ્રયોગોને આધારે, પ્રણાલિકાગત ભિન્ન ભિન્ન શાખાઓ છે.

પ્રતીત થતી ભૌતિક વાસ્તવિકતાનાં મૂળ, ઇલેક્ટ્રૉન, પરમાણુ, અણુ જેવા કણના સૂક્ષ્મ જગતમાં રહેલાં છે; પરંતુ, જે જગતમાં આપણે રહીએ છીએ, તેમાં ઇન્દ્રિયો વડે અનુભવ કરી શકાય તેવા આ કણ અને તરંગો નથી. ઇલેક્ટ્રૉન એ, વિદ્યુતભાર (charge) અને દળ (mass) ધરાવતો હોઈ તેને કણ તરીકે ગણવામાં આવે છે. તદુપરાંત તે કણ યાંત્રિકીના નિયમોને પણ અનુસરે છે. વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો વિવર્તન (diffraction), વ્યતીકરણ (interference) અને ધ્રુવીભવન (polarisation) જેવી ઘટનાઓ માટે તરંગ તરીકે વર્તે છે; જ્યારે બીજા કેટલાક સંજોગો જેમ કે ફોટોઇલેક્ટ્રિક અસર અને કૉમ્પ્ટન અસર જેવી ઘટના માટે તરંગ કણ તરીકે વર્તે છે. આધુનિક ભૌતિકવિજ્ઞાનની સમજ માટે વિશિષ્ટ સાપેક્ષવાદ (special theory of relativity) અને તરંગ-કણ-દ્વૈતતા આવશ્યક છે.

વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ એટલે યુગ્મિત વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રો. આ તરંગ પ્રકાશનની ઝડપે ગતિ કરે છે અને વિશિષ્ટ પ્રકારની તરંગ વર્તણૂક ધરાવે છે. ર્દશ્ય-પ્રકાશ 3000 Åથી 8000  વચ્ચેની તરંગલંબાઈ ધરાવતા વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોનો ખાસ વિભાગ છે. પ્રકાશ, ક્વૉન્ટમ સિદ્ધાંતને અનુસરે છે એટલે કે આપેલ આવૃત્તિનો પ્રકાશ વ્યક્તિગત ફોટૉન ધરાવે છે. ફોટૉનની ઊર્જા (E) તેની આવૃત્તિનો પ્રકાશ વ્યક્તિગત ફોટૉન ધરાવે છે. ફોટૉનની ઊર્જા (E) તેની આવૃત્તિ (ν)ને સમપ્રમાણમાં હોય છે. એટલે કે ફોટૉનની ઊર્જા E = hν જેટલી હોય છે જ્યાં h, પ્લાંકનો અચળાંક છે. તેનું મૂલ્ય 6.626×10^–34 જૂલ-સેકન્ડ છે. આથી ફોટૉન એ પ્રકાશનો કણ છે. જે hν ઊર્જાનો જથ્થો (quantum) ધરાવે છે. ઊર્જાનો ક્વૉન્ટમ્(hν)ની ભૌતિક વાસ્તવિકતા પ્રત્યે ખુદ તેના સંયોજક  મૅક્સ પ્લાંકને કેટલાંય વર્ષો સુધી શંકા રહી હતી, પણ આલ્બર્ટ આઇન્સ્ટાઇને પ્રતિપાદિત કર્યું કે પ્રકાશનું ઉત્સર્જન અલગ અલગ ક્વૉન્ટમ (ફોટૉન) તરીકે થાય છે, તે રીતે તે અવકાશમાં  પ્રસરે છે તથા તેનું શોષણ પણ અલગ અલગ ક્વૉન્ટમ (ફોટૉન) તરીકે થાય છે. આ પ્રયોગસિદ્ધ ખ્યાલથી  પ્રશિષ્ટ ભૌતિકવિજ્ઞાનને ફટકો પડ્યો; અને તદનુસાર પ્રકાશ માત્ર તરંગ નહિ પરંતુ કણ પણ છે તેવું સિદ્ધ થયું. અવકાશમાં પ્રસરે તેવા તરંગનો ખ્યાલ અને સૂક્ષ્મ વિસ્તારમાં સીમિત કણનો ખ્યાલ પારસ્પરિક રીતે અનન્ય દેખાય છે. પ્રત્યેક ફોટૉન, તરંગ ધરાવે છે એમ સ્વીકારી  લેવાથી એવો વિરોધાભાસ દૂર થાય છે. આથી પ્રકાશનો તરંગવાદ અને પ્રકાશનો ક્વૉન્ટમવાદ એકબીજાના પૂરક છે.

દ બ્રૉગ્લી તરંગો (De Broglie Waves) : દ્રવ્ય અને ઊર્જા મૂળભૂત રાશિઓ છે, જેના વડે પ્રકૃતિ આવિર્ભાવ (manifestation) થાય છે. લગભગ 19૨0 સુધી કણ-યાંત્રિકીનું પ્રભુત્વ રહ્યું. આ પહેલાં પ્રકાશના સ્વરૂપ વિશે ન્યૂટનના કણવાદ અને હ્યુજીનના તરંગવાદની બે સ્વતંત્ર વિચારધારાઓ પ્રવર્તતી હતી. 1864માં મૅક્સવેલે પ્રતિપાદિત કર્યું કે પ્રકાશ એ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ છે અને 1888માં હર્ટ્ઝે ઇલેક્ટ્રૉનને દોલિત કરી પ્રાયોગિક રીતે વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો પ્રયોગશાળામાં પેદા કર્યા. 1905માં આઇન્સ્ટાઇને પ્રકાશ(વિદ્યુત ચુંબકીય)-તરંગોની કણપ્રકૃતિ સ્પષ્ટ કરી.

ગતિ કરતો પદાર્થ અમુક સંજોગોમાં તરંગ પ્રકૃતિ ધરાવતો હોય તે રીતે વર્તે છે. ν આવૃત્તિ ધરાવતા ફોટૉનનું વેગમાન છે જ્યાં c પ્રકાશનો વેગ છે; પરંતુ પ્રકાશનો વેગ c = nλ છે. આથી ફોટૉનનું તરીકે દર્શાવી શકાય છે. અહીં λ દ બ્રૉગ્લી તરંગલંબાઈ છે. એટલે ફોટૉનની તરંગલંબાઈને વેગમાનના સંદર્ભમાં

દ બ્રૉગ્લીએ સૂચવ્યું છે કે સમીકરણ વ્યાપક છે જે દ્રવ્યમય કણ તેમજ ફોટૉન બંનેને લાગુ પડે છે. દળ(m) અને વેગ (v) ધરાવતા દ્રવ્યમય કણનું વેગમાન P = mv છે આથી કણની દ બ્રૉગ્લી તરંગલંબાઈ

 મળે છે.

અહીં દળ m સાપેક્ષિકીય (relativistic) હોવાથી લેવામાં આવે છે જ્યાં mo કણનું સ્થિર દળ (rest mass) છે.

સ્પષ્ટ થાય છે કે ગતિ કરતા કણનું વેગમાન (mv) જેમ વધુ કે ઓછું, તેમ કણની દ બ્રૉગ્લી તરંગલંબાઈ (λ) ઓછી કે વધુ હોય છે.

વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોની જેમ, ગતિ કરતા કણની તરંગ અને કણપ્રકૃતિ એક જ સમયે અવલોકી શકાતી નથી. આથી કણ અમુક સંજોગોમાં કણપ્રકૃતિ ધરાવતો હોય છે. પદાર્થનો આ બેમાંથી કયો ગુણધર્મ સ્પષ્ટ છે તે તો જેની સાથે  આંતરક્રિયા થતી હોય તેવા કણના પરિમાણ અને દ બ્રૉગ્લી તરંગલંબાઈ ઉપર આધારિત છે.

ગતિ કરતા કણની દ બ્રૉગ્લી તરંગલંબાઈ વડે મળે છે. દ બ્રૉગ્લી તરંગ, ગતિ કરતા પદાર્થ સાથે સંકળાયેલો હોવાથી તેવો તરંગ પદાર્થના વેગ(v)થી જ ગતિ કરે છે એમ ધારી લેવું સ્વાભાવિક છે. દ બ્રૉગ્લી તરંગનો વેગ   હોય તો

મળે છે, અને તે સૂત્ર વડે નું મૂલ્ય મેળવી શકાય છે.

દ બ્રૉગ્લી તરંગની આવૃત્તિ મેળવવા માટે ક્વૉન્ટમ સૂત્ર E = hvને ઊર્જાના સાપેક્ષિકીય સૂત્ર E= mc² સાથે સાંકળતા આવૃત્તિ  મળે છે. આથી દ બ્રૉગ્લી તરંગવેગ

કણનો વેગ (v) હંમેશાં પ્રકાશના વેગ (c) કરતાં ઓછો હોય છે. આથી દ બ્રૉગ્લી તરંગ પ્રકાશના વેગ કરતાં વધુ ઝડપે ગતિ કરે છે. આ પરિણામ અણધાર્યું છે. આ મુશ્કેલી દૂર કરવા માટે પ્રાવસ્થાવેગ (phase velocity) અને સમૂહવેગ (group velocity) વચ્ચે ભેદ જાણવો આવશ્યક છે.

તરંગસમૂહનો વેગ તરંગના પોતાના વેગ જેટલો હોવો જરૂરી નથી. દ બ્રૉગ્લી તરંગનો કંપવિસ્તાર ચોક્કસ સમયે અને ચોક્કસ સ્થળે પદાર્થ હોવાની સંભાવનાનો ખ્યાલ આપે છે. દ બ્રૉગ્લી તરંગને સમીકરણ  y = Acos (ωt – kx) વડે દર્શાવી શકાય નહિ.

પરંતુ, અહીં સામાન્યતરંગના વેગ v ને બદલે દ બ્રૉગ્લી તરંગનો વેગ

ત્રિપરિમાણમાં Kના સ્થાને સદિશ K જે તરંગ અગ્રને લંબ હોય છે; અને xના સ્થાને, સ્થાન સદિશ (position vector) ϒ લેવામાં આવે kxને બદલે સદિશ ગુણાકાર Kϒનો ઉપયોગ કરતાં, ત્રિપરિમાણમાં તરંગ સમીકરણ નીચે પ્રમાણે મળે છે :

પ્રાવસ્થા અને સમૂહવેગ તરંગસમૂહનો વેગ તરંગના પોતાના વેગ જેટલો હોવો જરૂરી નથી. દ બ્રૉગ્લી તરંગનો કંપવિસ્તાર ચોક્કસ સમયે અને ચોક્કસ સ્થાને પદાર્થ હોવાની સંભાવનાનો ખ્યાલ આપે છે. દ બ્રૉગ્લી તરંગ સમીકરણ (10) વડે દર્શાવી શકાય નહિ. તેને બદલે એવું વિચારી શકાય કે ગતિ કરતા પદાર્થને અનુરૂપ એવા તરંગ સંપુટ વડે તરંગનું નિરૂપણ આકૃતિ 4માં દર્શાવ્યા પ્રમાણે કરી શકાય.

પ્રાવસ્થા(phase)વેગ  છે જ્યારે સમૂહવેગ પ્રાવસ્થાવેગ કરતાં વધારે કે ઓછા છે તે હકીકત, માધ્યમમાં પ્રાવસ્થાવેગ તરંગ-સંખ્યા સાથે કેવી રીતે બદલાય છે તેની ઉપર આધારિત છે. શૂન્યવકાશમાં પ્રસરતા પ્રકાશના તરંગની જેમ બધી જ તરંગલંબાઈ માટે પ્રાવસ્થાવેગ  સમાન હોય તો સમૂહ અને પ્રાવસ્થાવેગ સમાન હોય છે.

v વેગથી ગતિ કરતા m_o સ્થિરદળ ધરાવતા પદાર્થ સાથે સંકળાયેલ દ બ્રૉગ્લી તરંગોની કોણીય આવૃત્તિ અને તરંગસંખ્યા નીચે પ્રમાણે આપી શકાય છે :

અને ω અને K, વેગ vના વિધેય છે.

દ બ્રૉગ્લી પ્રાવસ્થાવેગ

આમ, દ બ્રૉગ્લી પ્રાવસ્થાવેગ (w) પદાર્થના વેગ (v) તેમજ પ્રકાશના વેગ (c) કરતાં વધુ છે, કારણ કે v < c છે. પ્રદાર્થ સાથે સંકળાયેલ દ બ્રૉગ્લીતરંગનો સમૂહ વેગ μ છે

 આમ, દ બ્રૉગ્લી સમૂહવેગ μ = V થાય છે એટલે કે ગતિ કરતા પદાર્થ સાથે સંકળાયેલ દ બ્રૉગ્લી તરંગ સમૂહતરંગના વેગથી જ ગતિ કરે છે.

પ્રહલાદ છ. પટેલ