આંકડાપદ્ધતિઓ

January, 2002

આંકડાપદ્ધતિઓ
(Numeral Systems)

સંખ્યા વિશેનો પહેલવહેલો વિચાર માનવીને ક્યારે આવ્યો હશે તે ચોકસાઈથી કહી શકાય તેમ નથી. તેમ છતાં તે અંગે થયેલાં ઐતિહાસિક સંશોધનોને આધારે મળતી વિગતો રસ પડે તેવી છે. માનવવિકાસના પ્રાથમિક તબક્કાઓમાં પણ વિચારવિમર્શની તકો અત્યંત ઓછી હતી અને વિચારવિનિમય માત્ર કેટલાક ધ્વન્યાત્મક સંકેતો કે કેટલીક શારીરિક ચેષ્ટાઓ પૂરતો જ મર્યાદિત હશે, ત્યારે પણ સંખ્યાનો ખ્યાલ ભલે આજના જેટલો ને જેવો સંપૂર્ણ એટલે કે અમૂર્ત નહિ, પણ હશે તો ખરો જ. કદાચ સંખ્યાઓ, પ્રાથમિક સંખ્યાઓ વિશેષણ રૂપે (એટલે કે એક હરણ, બે તીર, ત્રણ પંખી; અહીં ‘એક’, ‘બે’, ‘ત્રણ’ માત્ર સંખ્યાઓ જ નથી, વિશેષણ પણ છે) પરોક્ષ રીતે અસ્તિત્વમાં આવી અને ગણતરીની પ્રક્રિયા સાથે આપોઆપ સંકળાઈ ગઈ. પ્રાથમિક તબક્કાઓમાં માનવી જ્યારે લગભગ એકલવાયો જ રહેતો આવ્યો હશે ત્યારે તેને કદાચ ‘એક’ અને ‘બે’થી વધુ આગળ જવાની જરૂર પડી નહિ હોય. તેથી સંખ્યા અને સંખ્યાવિશેષણ વચ્ચેનો સંબંધ કે તફાવત સમજવા માટે જે બુદ્ધિમત્તાની જરૂર પડે તે કક્ષા સુધી એ સમયે માનવી પહોંચ્યો ન હતો. આ બાબત જુદી જુદી ભાષામાં અસ્તિત્વમાં આવેલા અને વપરાતા સંખ્યા અને સંખ્યાક્રમ માટેના શબ્દો પરથી જણાઈ આવે છે. દા.ત., અંગ્રેજીમાં one અને first, two અને second, તેમજ સંસ્કૃતમાં एक અને प्रथम. આ શબ્દો વચ્ચે કોઈ દેખીતો સંબંધ નથી, જ્યારે તે પછીની સંખ્યાઓ અને સંગત સંખ્યાક્રમો પરસ્પરથી બહુ દૂર નથી. તે three, third; four, fourth; કે द्वि द्वितीय त्रि, तृतीय વગેરે ઉપરથી સ્પષ્ટ થાય છે.

વળી ગણતરી કરતી વખતે એક અને તેનાથી વધુ, કે એક, બે અને ઘણા એમ સૂચવવાનું અભિપ્રેત હશે તે જુદી જુદી ભાષાઓના વ્યાકરણ-પ્રયોગો ઉપરથી જણાય છે. દા.ત., અંગ્રેજી અને ગુજરાતીમાં એકવચન અને બહુવચન છે, જ્યારે સંસ્કૃતમાં એકવચન, દ્વિવચન અને બહુવચન છે.

માનવીનો વિકાસ થતો ગયો, તેની સમૃદ્ધિ વધતી ગઈ અને જરૂરિયાત વધતી ગઈ તે મુજબ નિ:શંક રીતે તેને વધુ સંખ્યાઓની જરૂર પડી હશે અને તેની સમૃદ્ધિ (કદાચ પશુધન) વિશે નોંધ કરવાની જરૂરિયાત રૂપે સંખ્યાસંકેતો અસ્તિત્વમાં આવ્યા હશે, તેમ માનવામાં આવે છે.

પૃથ્વી પર જુદી જુદી જગ્યાએ માનવસંસ્કૃતિનો વિકાસ જુદી જુદી રીતે થયો છે. વિભિન્ન સંસ્કૃતિઓ શરૂઆતના તબક્કે અલગ રહી તેથી જુદી જુદી સંસ્કૃતિઓમાં જુદા જુદા સંખ્યાસંકેતો અસ્તિત્વમાં આવે તે તદ્દન સ્વાભાવિક છે.

નવા સંખ્યાસંકેતો જેમ જેમ જરૂરિયાત ઊભી થઈ હશે તેમ તેમ અસ્તિત્વમાં આવ્યા હશે. હિંદુ અને આરબ પ્રજા સિવાય ભૂતકાળમાં સંખ્યાલેખન માટે જરૂરી એવી ‘સંપૂર્ણ’ સ્થાનમૂલ્ય પદ્ધતિ (place value system) ન હતી. જ્યાં હતી ત્યાં તે ‘શૂન્ય’ના અભાવે થોડી અસ્પષ્ટ હતી. એટલે દેખીતી રીતે જ શૂન્યની શોધ અને તેનું પ્રદાન ગણિતશાસ્ત્રના ઇતિહાસમાં અતિમહત્વનાં બની રહ્યાં. સ્થાનમૂલ્ય પદ્ધતિ ન હોવાને કારણે સરવાળા, બાદબાકી, ગુણાકાર અને ભાગાકાર જેવી ગણિતની પ્રાથમિક ક્રિયાઓ પણ અતિશય તકલીફવાળી રહી હશે. વળી રોમન પદ્ધતિ જેવી વ્યવસ્થામાં તો સંખ્યા લખવાવાંચવાનું કામ પણ બહુ સરળ ન હતું. આમ, ભૂતકાળમાં અપૂર્ણાંકો, મિશ્ર સંખ્યાઓ અને તેનું ગણિત આ બધાંના વિકાસનો વેગ અત્યંત ધીમો રહ્યો હતો. ગમે તેટલા સંકેતો હોય તોપણ સ્થાનમૂલ્ય પદ્ધતિ વિના મોટી સંખ્યાઓને દર્શાવવાનું મુશ્કેલ રહે જ. બીજી રીતે કહીએ તો સ્થાનમૂલ્ય પદ્ધતિ વિના માત્ર આપેલા સંકેતો વડે મર્યાદિત પ્રમાણમાં જ સંખ્યાઓનું નિરૂપણ થઈ શકે. મોટાભાગની સંખ્યાપદ્ધતિઓમાં મોટી સંખ્યાઓ દર્શાવતા સંકેતો જમણી બાજુથી શરૂ કરીને ક્રમશ: ડાબી તરફ જતા સંખ્યાસંકેતો દ્વારા નાની સંખ્યાઓ દર્શાવવાનો અને આ માટે જરૂરી પુનરાવર્તનની છૂટ લઈને, પરિણામી સંખ્યા મેળવવા માટે આ બધાંનો સરવાળો કરવાનો રિવાજ હતો. માત્ર રોમન પદ્ધતિમાં જ પરિણામી સંખ્યા મેળવવા બાદબાકીની જરૂર પડતી. ચીનમાં સરવાળા-ગુણાકારના સંયોજનથી સંખ્યા લખવામાં આવતી, જોકે તેમાં પણ પરોક્ષ રીતે તો સ્થાનમૂલ્ય પદ્ધતિની જ સંકલ્પના છે.

એમ પણ નોંધવું જરૂરી છે કે સ્થાનમૂલ્ય પદ્ધતિ વિના ગણિતની પ્રાથમિક ક્રિયાઓ સરળ બની તેમજ સ્થાનમૂલ્ય પદ્ધતિ અને શૂન્યની સંકલ્પનાને કારણે પ્રાથમિક ગણિતના વિકાસને જબરજસ્ત વેગ મળ્યો છે.

પ્રાથમિક શિક્ષણમાં જેનું વર્ષો સુધી મહત્વ રહ્યું છે અને જાપાનમાં આજે પણ પ્રચલિત છે તે મણકાપટ્ટી (abacus) સ્થાનમૂલ્ય પદ્ધતિની સંકલ્પનાને સ્પષ્ટ કરતું સાદામાં સાદું ઉપકરણ છે.

છાપકામની શોધ થતાં, મુસાફરી સરળ થતાં, વિભિન્ન પ્રજાઓનો પરસ્પર સંપર્ક વધવાથી સરળ વિચારધારાઓ મુજબ સંખ્યાલેખનમાં દસનો પાયો (base) એકધારો વપરાશમાં આવ્યો છે. તે એક સગવડ જ છે, કોઈ અનિવાર્યતા નથી, છતાં મોટાભાગની સંસ્કૃતિઓના ઇતિહાસમાં એક કે વધુ કારણોસર પાયો દસનો જ રહ્યો છે. ‘દસ’ સિવાયની સંખ્યા પણ પાયા તરીકે ઉપયોગમાં હતી તે પણ નોંધવું ઘટે. દા.ત., બારનો પાયો (દિવસ-કલાકના સંબંધ, ડઝન-નંગ, ફૂટ-ઇંચ વ.). 60નો પાયો (કલાક, મિનિટ, સેકન્ડ) વગેરે. (ઑસ્ટ્રેલિયા, ન્યૂગિનીના આદિવાસીઓ, આફ્રિકાની કેટલીક ઠિંગુ જાતિઓ, દક્ષિણ અમેરિકાના આદિવાસીઓ વગેરેએ 2, 3, 4, 5 વગેરે સંખ્યાઓને પાયામાં રાખીને આંકડાપદ્ધતિઓ રચી છે.) પાયા માટે સામાન્ય રીતે વિભાજ્ય સંખ્યા જ લોકોને વધુ અનુકૂળ આવી છે. તેથી જ જુદી જુદી જગ્યાએ 7 કે 11 જેવી સંખ્યાને બદલે 8, 10, 12, 16, 20 જેવી સંખ્યાઓ વપરાશમાં જોવા મળે છે. બેના પાયા પર આધારિત દ્વિઅંકી (binary) પદ્ધતિ અને ગણકયંત્રોના સમન્વયે, ગણતરીની પ્રક્રિયાને તો જાદુઈ સ્પર્શ આપ્યો છે. કેટલીક સંસ્કૃતિઓમાં એક કરતાં વધુ સંખ્યાલેખનપદ્ધતિઓ પ્રચલિત થઈ હતી.

પ્રાચીન ઇજિપ્ત : ઇતિહાસને પાને નોંધાયેલ પહેલી સંખ્યાલેખનપદ્ધતિ ઇજિપ્તની ગણાય છે. ઈ. પૂ. 2,500ના અરસામાં વપરાયેલ પદ્ધતિ ખડકો ઉપર કોતરાવેલ લેખો ઉપરથી જાણવા મળી છે. ઇજિપ્તમાં બે પદ્ધતિઓ, હાયરોગ્લિફિક અને હાયરૅટિક, વપરાશમાં હતી. પહેલી પદ્ધતિમાં એકથી નવ સુધીની સંખ્યા, તે સંખ્યા જેટલા ઊભા કાપા પાડીને દર્શાવવામાં આવતી. દા.ત., એક માટે ।, ચાર માટે ।।।।, દસ માટે ∩ એવા સંકેત વપરાતા હતા. બીજી પદ્ધતિમાં નવા સંકેતો ઉમેરી સંકેતોનું પુનરાવર્તન ઓછું કરવામાં કે દૂર કરવામાં આવ્યું. હાયરોગ્લિફિક પદ્ધતિમાં હજાર માટે કમળ, દસ હજાર માટે ચીંધેલી આંગળી અને લાખ માટે માછલીને મળતા આકાર વગેરે ચિત્રાત્મક સંજ્ઞાઓનો ઉપયોગ થતો હતો. કદાચ દસ લાખને ઘણી મોટી (કે કલ્પનાતીત) ગણવામાં આવી હશે એવું માનવાને કારણ છે, કેમ કે આ સંખ્યા દર્શાવવા આશ્ચર્યચકિત માણસના આકારની સંજ્ઞા  વાપરવામાં આવતી હતી. આ પદ્ધતિમાં સંખ્યાનાં પ્રતીકોના મૂલ્યનું જ મહત્વ છે, તેમાં સ્થાનમૂલ્યની સંકલ્પના નથી. આમ છતાં હાયરોગ્લિફિક પદ્ધતિમાં દસના ઘાત પ્રમાણે સંકેતો બદલવા જેટલો ‘દસ’નો પાયા તરીકેનો ઉપયોગ જોવા મળે છે. હાયરૅટિક પદ્ધતિમાં સુધારા-વધારા થયેલા અને પાછળથી તે ડિમૉટિક પદ્ધતિ તરીકે જાણીતી થયેલી.

આશરે 4,000 વર્ષ પહેલાં ઇજિપ્તની આંકડાપદ્ધતિમાં શૂન્યનો પ્રવેશ થયેલો તેવું માનવામાં આવે છે. એક મત એવો છે કે શૂન્યની શોધ ભારતની છે અને તે ઇજિપ્ત મારફત વિશ્વના અન્ય ભાગોમાં પહોંચેલી. શૂન્યના આગમન પછી પણ અહીં દરેક અપૂર્ણાંકને પ્રાકૃતિક સંખ્યાના વ્યસ્તોના સરવાળા તરીકે દર્શાવવાનું અનિવાર્ય ગણાતું. દા.ત., લખતા. અલબત્ત વ્યસ્ત દર્શાવવા તેમણે નવો સંકેત ઊભો કર્યો હતો. દા. ત., 4 માટે ।।।। અને ¼ માટે . આ ઉપરથી સ્પષ્ટ થશે કે આ માત્ર સંખ્યા દર્શાવવાની એક વધુ વ્યવસ્થા હતી, પણ ગણિતના વિકાસને વેગ મળે તેવી દૂરદર્શિતા કે સગવડ તેમાં ન હતી.

બેબિલોન : ઇજિપ્ત પછી લગભગ હજારેક વર્ષે બેબિલોનમાં સંખ્યા લખવાની એક પદ્ધતિ વિકસી હતી. આ પદ્ધતિમાં એક માટે અને દસ માટે સંકેતો વપરાતા. 59 સુધીની સંખ્યાઓ આ સંકેતોની મદદથી (જરૂરી પુનરાવર્તન સાથે) લખવામાં આવતી. દા.ત., 43ને  વડે દર્શાવાતી. આ પછીની મોટી સંખ્યા માટે ‘પાયા’ તરીકે 60નો ઉપયોગ કરતા. આમ એક પ્રકારની સ્થાનમૂલ્ય પદ્ધતિ વપરાતી, પણ સંકેતો બે જ હોઈ પદ્ધતિ ઘણી ક્લિષ્ટ બને છે. વળી શૂન્યના અભાવને કારણે તેના અર્થઘટનમાં પણ અચોક્કસતા હતી. કયા સંકેત માટે 60નો કયો ઘાત સંકળાયેલો છે તે બાબત લખનાર અને વાંચનારની સૂઝબૂજ પર નિર્ભર રહેતી.

ગ્રીસ : ગ્રીસમાં આંકડાઓ માટે બે પ્રકારની સંકેતલિપિઓ પ્રચલિત હતી. : ઍટિક (ઈ.પૂ. છઠ્ઠી સદી) અને આયોનિયન (ઈ. પૂ. ચોથી સદી). ઍટિક પદ્ધતિમાં સંખ્યાઓ માટેના સ્વતંત્ર સંકેતો હતા. જ્યારે આયોનિયન પદ્ધતિમાં મૂળાક્ષરોનો ઉપયોગ થતો હતો. આ પદ્ધતિમાં દસના પાયાનો ખ્યાલ પરોક્ષ રીતે સંકળાયેલો છે, પરંતુ તે ભારતીય પદ્ધતિ જેટલો સ્પષ્ટ નથી. સારણી પરથી ખ્યાલ આવશે કે અહીં 5, 10, 50, 100 અને 500 માટેના સંકેતો અનુક્રમે  છે. 5, 10, 100ના સંકેતો આ સંખ્યાનાં ગ્રીક નામોના પહેલા અક્ષર છે. આમ સંખ્યાલેખનમાં જરૂર મુજબ 10ના ઘાતોનું સંયોજન કરવામાં આવતું. આયોનિયન પદ્ધતિમાં સંખ્યાલેખનપદ્ધતિનો પાયો સ્પષ્ટ રીતે દસનો દેખાઈ આવે છે. તેમાં 24 મૂળાક્ષરો સહિત કુલ 27 સંકેતોનો ઉપયોગ થયો હતો. પહેલા નવ સંકેતો 1થી 9 સુધીની સંખ્યાઓ માટે, પછીના નવ સંકેતો દસની ગુણિત સંખ્યાઓ 10થી 90 માટે અને છેલ્લા નવ સંકેતો 100ની ગુણિત સંખ્યાઓ 100 થી 900 માટે વાપરવામાં આવતા હતા. 1,000 કે તેથી મોટી સંખ્યાઓ માટે લખવાની પદ્ધતિ પર બેબિલોન પદ્ધતિની અસર દેખાય છે. 10ના પાયા પર તે જ સંકેતો જરૂર મુજબ વાપરવામાં આવતા અને તેનું સ્થાનમૂલ્ય સ્પષ્ટ કરતાં પાદાંક (subscripts) વાપરવામાં આવતા. દા.ત., આ પદ્ધતિમાં 6 માટે F´, 700 માટે ψ, 80 માટે π, 9 માટે સંકેતો હતા. તેઓ 6,000 દર્શાવવા 6ની સંજ્ઞા પછી આ ચિહન (´) કરતા એટલે કે F´ લખતા અને એ રીતે 6,789 માટે F’ψπલખતા. આ જ રીતે તેઓ સમયની જરૂરિયાત મુજબ 103, 106 વ. માટે પાદાંક વાપરતા. ગ્રીક લોકો અપૂર્ણાંક માટે આ પદ્ધતિ શા માટે વિસ્તારી શક્યા નહિ તે એક આશ્ચર્યકારક બિના ગણાય. ગ્રીક લોકો, ગમે તે કારણે પણ અપૂર્ણાંકોની રજૂઆતમાં ઇજિપ્ત અને બેબિલોનની અસર તળે આવી ગયા હતા. દા.ત., 1200નો ખૂણો બનાવતી 60 એકમ ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળની લંબાઈ તેમણે  એકમ દર્શાવી છે.
ચીન : ઈ. પૂ. 540ના અરસામાં બે પ્રકારની આંકડાપદ્ધતિઓ વિકસી હતી : દંડનો ઉપયોગ કરતી અને સંજ્ઞાઓનો ઉપયોગ કરતી. દંડપદ્ધતિમાં એકથી પાંચ સુધીની સંખ્યાઓ એકથી પાંચ ઊભા દંડથી દર્શાવાય છે. 6થી 9 સંખ્યાઓ ઊભા દંડ ઉપર આડી લીટીથી દર્શાવાય છે. બીજી ચિહનાંકિત પદ્ધતિમાં 1થી 9 સુધીની સંખ્યાઓ માટેની વિશિષ્ટ સંજ્ઞાઓ હતી અને 10ના પ્રથમ અગિયાર ઘાત માટે પણ અલગ સંજ્ઞા (ચિહનો) હતી. આ પદ્ધતિમાં સરવાળા અને ગુણાકારનો સંયુક્ત ઉપયોગ થતો. દા.ત., 2,543 લખવા માટે પહેલાં 2નું ચિહન, પછી 1,000નું; પછી 5નું, પછી 100નું; પછી 4નું, પછી 10નું અને પછી 3નું ચિહન લખવામાં આવતું. આમ પરિણામી સંખ્યા = (2 × 1000) + (5 × 100) + (4 × 10) + 3 = 2,543. વધુ સ્પષ્ટ રીતે કહીએ તો દસના કોઈપણ ઘાત-ચિહન પહેલાં આવેલી સંખ્યાને તેની સાથે ગુણી અને આવી રીતે મળેલી સંખ્યાઓનો સરવાળો કરીને પરિણામી સંખ્યા મેળવવામાં આવતી હતી.
હિબ્રૂ : ઈ. સ.ના બીજા શતકમાં ગ્રીકના જેવી હિબ્રૂ વર્ણમાળાના 22 મૂળાક્ષરોનો ઉપયોગ કરતી પદ્ધતિ વિકસી હતી. નવ આંકડા માટે નવ અક્ષરો અને દસની પહેલી નવ ગુણક સંખ્યાઓ માટે બીજા નવ અક્ષરો અને બાકીના ચાર અક્ષરો સોથી ચાર સો સુધીની ચાર શતક સંખ્યાઓ માટે વાપરવામાં આવતા. આમ, મૂળાક્ષરો વપરાઈ જતાં મોટી સંખ્યાઓને નાની સંખ્યાઓના સંયોજન રૂપે દર્શાવવામાં આવતી.

દા.ત., 900 = 400 + 400 + 100

અમેરિકા : 16મી સદીમાં યુરોપીય અન્વેષકો મધ્ય અમેરિકામાં પ્રવેશ્યા ત્યારે તેમને ત્યાંની પ્રજાઓમાં વપરાતી અતિવિકસિત આંકડાપદ્ધતિનો ખ્યાલ આવ્યો. આ પદ્ધતિ યુરોપીય પદ્ધતિથી તદ્દન ભિન્ન હતી. મય સંસ્કૃતિએ વિકસાવેલ પદ્ધતિમાં સ્થાનમૂલ્ય અને શૂન્યની સંકલ્પનાઓ હતી. પાયો વીસનો લેવામાં આવ્યો હતો.
1થી 4 માટે ટપકાં ●
5, 10, 15 માટે દંડ અને 20 =
આથી 20 માટે 1 x 20 =
400 માટે 1 x 20 x 20 =
8,000 માટે 1 x 20 x 20 x 20 =     સંકેત હોવા જોઈએ.

પણ મય લોકોએ 400ના બદલે 360(કદાચ વર્ષના 360 દિવસ હોવાને કારણે)ની સંખ્યા લીધી. આમ મય પદ્ધતિમાં શૂન્ય, સ્થાનમૂલ્ય સિદ્ધાંત તથા પાયો 20 હોવા છતાં વીસ પછી 400ને બદલે 360 લેવાને કારણે ગણિતની ક્રિયાઓ માટે મય પદ્ધતિ નિરુપયોગી થઈ ગઈ. મયની જેમ ઍઝટેક પદ્ધતિ પણ મધ્ય અમેરિકામાં વિકસી હતી. તેમાં સ્થાનમૂલ્ય તથા શૂન્યની સંકલ્પના ન હતી. મય શિલાલેખમાં મોટામાં મોટી સંખ્યા 1,81,46,39,800 દિવસની છે (!). યુરોપિયનો આવ્યા તે સમયે ઉત્તર અમેરિકાના આદિવાસીઓની ભાષાઓને લિખિત સ્વરૂપ મળ્યું ન હતું, તેથી ત્યાંની માહિતી પુરાતત્વના અવશેષોમાંથી મેળવવામાં આવી છે.

રોમન : ભારતમાં પ્રમાણમાં વધુ જાણીતી પદ્ધતિ રોમન આંકડાઓની છે, જેનો વિકાસ આશરે ઈ. પૂ. સાતમી સદીના અરસામાં થયો હતો. આ પદ્ધતિમાં સ્થાનમૂલ્યનો અભાવ છે. અને અન્ય પદ્ધતિઓથી જુદી પડતી વધુ એક બાબત એ છે કે નાની સંખ્યા પછી મોટી સંખ્યા (ડાબેથી જમણે) આવે તો પરિણામી સંખ્યા = (મોટી સંખ્યા – નાની સંખ્યા) ગણવાનો રિવાજ હતો. આથી ઊલટો ક્રમ હોય તો પરિણામી સંખ્યા = (મોટી સંખ્યા + નાની સંખ્યા) ગણવામાં આવે છે.

દા.ત. 1 = I, 2 = II, 3 = III, 5 = V, 10 = X; IV, = 4; XIV = 10 (-1 + 5) = 14; XIII = 10 + 3 = 13 વગેરે.

અહીં સ્થાનમૂલ્યનો તદ્દન અભાવ હતો એમ કહેવાને બદલે તેનો ઉપયોગ અત્યંત મર્યાદિત હતો તેમ કહેવું વધુ યોગ્ય ગણાય. દા.ત., IX = 9, જ્યારે XI = 11 છે. આરબોએ યુરોપમાં બારમી સદીમાં ભારતીય આંકડા દાખલ કર્યા ત્યાં સુધી આ પદ્ધતિ વપરાશમાં હતી.

અરબસ્તાન : હાલમાં સાર્વત્રિક વપરાતી દસના પાયાની અરબી તરીકે ઓળખાતી અંકપદ્ધતિ અરબસ્તાનમાં ઉદભવી ન હતી તે બાબત સર્વસંમતિ છે. શરૂઆતમાં અરબી મૂળાક્ષરોનો આંકડા દર્શાવવા ઉપયોગ થતો હતો. ઈ. સ. 772માં ભારતીય ગ્રંથ सिद्धांतનું અરબીમાં ભાષાન્તર કરવામાં આવ્યું હતું અને મૂળાક્ષરો વાપરતી પદ્ધતિની સાથે સાથે ભારતીય અંકો અને અંકપદ્ધતિ વપરાશમાં આવ્યાં હતાં. અરબી ભાષા જમણેથી ડાબી બાજુ લખાય છે, પણ સંખ્યા ભારતીય પદ્ધતિ પ્રમાણે ડાબેથી જમણી બાજુ લખાય છે. આ બીજી પદ્ધતિ ‘ગુબાર’ (ધૂળી) પદ્ધતિ તરીકે ઓળખાતી, કારણ ભારતમાં ગણતરીઓ કરવા માટે પાટી ઉપર ધૂળ નાખીને તેમાં આંકડાઓ લખાતા હતા. આમ, અરબી પદ્ધતિને ખરી રીતે અરબી-ભારતીય પદ્ધતિ તરીકે ઓળખાવી શકાય.

ભારત : ભારતમાં ગણિતને વૈદિક કાળમાં પણ ઘણું ઊંચું સ્થાન આપવામાં આવેલું હતું. આ અંગેનો ઉલ્લેખ ઈ. પૂ. 1400થી ઈ. પૂ. 1100 દરમિયાન રચાયેલા ‘વેદાંગજ્યોતિષ’ નામના ગ્રંથમાં મળે છે. ભારતે વિકસાવેલી આંકડાપદ્ધતિમાં ‘સ્થાનમૂલ્ય’ વ્યવસ્થા હોવા ઉપરાંત વિશિષ્ટતા એ હતી કે તેમાં ખાલી સ્થાન દર્શાવવા ‘શૂન્ય’ની સગવડ હતી. આનાથી ફાયદો એ થયો કે સંખ્યાના પરિણામી મૂલ્યના અર્થઘટન વિશે કોઈ અચોક્કસતા ન રહી. ઉપરાંત ગમે તેટલી મોટી  સંખ્યા પણ ખૂબ જ સરળતાથી લખી શકાય તેવી સગવડ સૌપ્રથમ તેનાથી ઊભી થઈ. 1, 2, 3, 4 વગેરે જે આંતરરાષ્ટ્રીય આંકડા વપરાય છે અને જેને અરબી આંકડા (Arabic numerals) તરીકે ઓળખવામાં આવે છે, તે વાસ્તવમાં સહેજ સંસ્કાર પામેલા ભારતીય  આંકડા જ છે. આ આંકડાઓને ‘હિન્દુ-અરબ’ આંકડા તરીકે ઓળખવા જોઈએ. શૂન્યના સાંકેતિક ચિહનનો પ્રયોગ ઈ. પૂ. બસો વર્ષ પહેલાં પિંગળકૃત ‘છંદશાસ્ત્ર’માં થયેલો હોવાનું જણાય છે; જોકે શૂન્યના સંકેતવાળો શિલાલેખ નવમી સદી પછીનો જ મળે છે. ભારતીય સંખ્યાલેખનમાં દસનો પાયો લેવામાં આવેલ છે. આ પદ્ધતિની માહિતી આરબોને આઠમી સદીમાં હતી અને તેમની મારફત યુરોપમાં તે બારમી સદીમાં વપરાશમાં આવી હતી. સ્થાનમૂલ્યવાળી અને શૂન્ય સહિતની આ પદ્ધતિ સમયાંતરે વિશ્વભરમાં પ્રચલિત થઈ. આ પદ્ધતિથી ગણિતની પ્રાથમિક ક્રિયાઓ કરવાનું ઘણું સરળ થઈ ગયું.

ભારતમાં મોટી સંખ્યાઓને પણ વિશિષ્ટ નામથી ઓળખવાનું પ્રચલિત હતું. 100 = એકમ, 101 = દશક, 102 = સો, 103 = હજાર, 104 = દસ હજાર, 105 = લાખ, 106 = દસ લાખ, 107 = કરોડ, 108 = દસ કરોડ, 109 = અબજ, 1010 = ખર્વ, 1011 = નિખર્વ,  1012 = મહાપદ્મ,  1013 = શંકુ, 1014 = જલધિ,  1015 = અંત્ય, 1016 = મધ્ય અને 1017 = પરાર્ધ એ શબ્દો પ્રચલિત છે. ઈ. પૂ. પહેલા સૈકામાં રચાયેલા ‘લલિતવિસ્તર’ નામના બૌદ્ધ ગ્રંથમાં આની આગળની સંખ્યાઓ પણ આપવામાં આવી છે, જેમાંની છેલ્લી તલ્લક્ષણા = 1053 છે. સંખ્યાઓ દર્શાવવા માટે શબ્દાંકનો, અક્ષરાંકનો તથા કટપયાદિ પદ્ધતિનો ઉપયોગ ભારતમાં વિકસાવવામાં આવ્યો હતો. 0 = ખ, 7 = નગ, 9 = નંદ, 1 = આદિ ઉપરથી 1970 માટે ખનગનંદાદિ લખાય. સંખ્યાઓ પદ્યમાં વાપરવામાં પ્રાસ મેળવવા માટે આવી પદ્ધતિઓ ઉપયોગી હતી. (આ પદ્ધતિમાં આંકડાઓનો ક્રમ ઉલટાવાય છે.)
પશ્ચિમ યુરોપ : યુરોપમાં સૌપ્રથમ નવી અંકપદ્ધતિ દાખલ કરનાર પોપ સિલ્વેસ્ટર II (ઈ. 999) હતા, જેમણે સ્પેનમાં અભ્યાસ કર્યો હતો. 12મી સદીમાં અલ્-ખ્વારિઝમીના ગણિત ઉપરના પુસ્તકનું લૅટિનમાં ભાષાંતર થયું (De numero indorum). આ નવી અંકપદ્ધતિથી ગણતરી કરવાની રીત ‘ઍલ્ગોરિઝમ’ (અલ-ખ્વારિઝમીનું અપભ્રંશ) તરીકે ઓળખાતી હતી. આ પછીની બે સદીઓમાં ભારતીય-અરબી પદ્ધતિ મણકાપટ્ટી અને રોમન અંકના બદલે સાર્વત્રિક ઉપયોગમાં આવી ગઈ. આ નવી પદ્ધતિનું સામર્થ્ય દર્શાવવામાં 12 મી સદીમાં થઈ ગયેલ ફિબોનાકીનાં પુસ્તકોનો મહત્વનો ફાળો છે. આ સંખ્યાંકન પદ્ધતિમાં અપૂર્ણાંક અને દશાંશને સિમોન સ્ટેવિને (1585) આવરી લેતાં તેનો વિકાસ પૂર્ણ થયો ગણી શકાય.

સીમિત સંખ્યાના મૂળાક્ષરોનો ઉપયોગ કરીને તેમને વિવિધ ક્રમમાં ગોઠવીને અસંખ્ય શબ્દો ઉપજાવી શકાય છે. જે ભાષાઓમાં મૂળાક્ષરોની પદ્ધતિનો યોગ્ય વિકાસ થયો નથી ત્યાં શબ્દો માટે પણ સંજ્ઞાઓ કે સંજ્ઞાઓનું જૂથ વપરાતાં. તે ભાષાઓ શીખવામાં ઠીક ઠીક મુશ્કેલી થાય છે. ભાષાઓની જેમ ફક્ત એકથી નવ સુધીના અંકો, શૂન્ય તથા સ્થાનમૂલ્યપદ્ધતિના ઉપયોગથી સંખ્યાલેખન અત્યંત સરળ થઈ ગયું. તે ઉપરાંત ગણિતની પ્રાથમિક ક્રિયાઓ સરળતાથી કરવાનું શક્ય બન્યું. આ પદ્ધતિના વિકાસમાં ભારતનો ફાળો અતિમૂલ્યવાન ગણાય છે. ઓગણીસમી સદીના પ્રખ્યાત ગણિતજ્ઞ લાપ્લાસ લખે છે કે સ્થાનમૂલ્ય અને શૂન્યની સંકલ્પનાઓ એટલી સાદી છે કે તેને કારણે તેના શોધનાર કેટલા બધા પ્રશંસાને પાત્ર છે તેનો ખ્યાલ સહેલાઈથી આવતો નથી.
આધુનિક પદ્ધતિ : હવે તો બહુ જાણીતું છે કે સંખ્યાલેખનમાં ‘પાયા’ તરીકે દસને જ લેવાનું અનિવાર્ય નથી. 1 કરતાં મોટી હોય તેવી કોઈ પણ સંખ્યા tને પાયા તરીકે લઈ શકાય. આ પદ્ધતિમાં 0, 1, 2,……, t-1 સુધીના કુલ t સંકેતો (આંકડાઓ) જોઈએ. અને tના પાયા પર
antn + an1 tn1 +……+ a2t2 + a1t + ao
સંખ્યા માટે સંકેત an an1…… a2a1ao વપરાય.
સામાન્ય રીતે પહેલો આંકડો શૂન્ય ન લેવાય તેથી an ≠ 0 અને દરેક i માટે 0ai<t. દરેક પૂર્ણાંકને આ રીતે અનન્ય સ્વરૂપે દર્શાવી શકાય. દશાંશ પદ્ધતિની જેમ જ પૂર્ણાંકેતર સંખ્યાને પણ આ પદ્ધતિમાં
an an1……a2 a1 ao.b1 b2……bs……
એ રીતે દર્શાવી શકાય. આ સંકેત
antn + an1 tn1 +……a1t + ao +  +  +…. માટે છે.
હવે t = 10 લઈએ તો આપણી સુપરિચિત દશાંશ પદ્ધતિ મળે અને t = 2 લઈએ તો 0 અને 1 એમ બે આંકડાવાળી દ્વિઅંકી પદ્ધતિ મળે. આ દ્વિઅંકી પદ્ધતિ ગણકયંત્રો માટે ખૂબ જ ઉપયોગી છે. અને ગણકયંત્રોની સિદ્ધિઓ તો સર્વવિદિત છે.

સંખ્યા-લેખનની પ્રચલિત બે શૈલીઓ : જેમ વર્તમાન ભારતીય લિપિઓના અક્ષરોને પ્રાચીન બ્રાહ્મી અક્ષરો સાથે સરખાવતાં તેમની વચ્ચે મોટું અંતર જણાય છે, તેમ વર્તમાન ભારતીય લિપિઓનાં અંકચિહનો અને પ્રાચીન બ્રાહ્મી અંકો વચ્ચે પણ મોટું અંતર રહેલું છે. આ અંતર માત્ર અંકોના સ્વરૂપમાં જ નહિ પણ સંખ્યા-લેખનપદ્ધતિમાં પણ વરતાય છે.

પ્રાચીન બ્રાહ્મી અંકચિહનોની પદ્ધતિમાં શૂન્યનો પ્રયોગ નહોતો, આથી એકમ, દશક, શતક વગેરે સ્થાન અનુસાર અંકોના મૂલ્ય બદલાતાં નહિ. બ્રાહ્મી અંકોમાં સામાન્યતઃ 20 ચિહનો પ્રયોજાતાં. 1થી 9 સુધીનાં 9 ચિહનો, 10થી 90 સુધીના 9 ચિહનો અને 100 તથા 1000ના એક એક મળીને કુલ્લે 20 અલગ અલગ અંક-સંકેતો હતા. 200 અને 300ની સંખ્યા દર્શાવવા માટે 100ના ચિહનની જમણી બાજુએ અનુક્રમે એક અને બે આડી રેખાઓ ઉમેરવામાં આવતી. તેવી રીતે 2000 અને 3000નાં ચિહનો પણ 1000ના ચિહનની જમણી બાજુએ અનુક્રમે એક અને બે આડી રેખાઓ ઉમેરાતી, જ્યારે 400, 500, 600 વગેરે સંખ્યાઓ સૂચવવા માટે 100ના ચિહનની જમણી બાજુએ અનુક્રમે 4, 5, 6 વગેરેનાં ચિહનો ઉમેરવામાં આવતાં. તેવી જ રીતે 4000, 5000 અને 6000 વગેરેની બાબતમાં કરવામાં આવતું. અગાઉ જણાવ્યા મુજબ આ અંક-લેખન પદ્ધતિમાં શૂન્યનું ચિહન તથા સ્થાનમૂલ્યની પદ્ધતિ પ્રચલિત ન હોઈ ઉપર જણાવેલી દરેક સંખ્યાનું અલગ અલગ ચિહ્ન પ્રયોજાતું. દા. ત., 156 સંખ્યા દર્શાવવા માટે 6નું, 50નું અને 100નું એમ ત્રણ ચિહનો લખાતાં. આ પદ્ધતિ અનુસાર સંખ્યાઓ જમણેથી ડાબે લખાતી. સંસ્કૃતમાં સંખ્યા એકમથી શરૂ કરીને બોલાય છે, જેમકે  ઉમેરો વગેરે. એટલે આ બોલવાનો ક્રમ સંખ્યાઓ જમણેથી ડાબે લખાતી હોવાનું સ્પષ્ટ કરે છે. શબ્દોમાં પણ વ્યક્ત થતા સંખ્યા-લેખનમાં આ જ દિશા રહેલી છે. દા. ત., 1354 માટે चतुः पञ्यशत – अधिक – त्रिशत – अधिक – एक – सहस्रम्. સંખ્યાવાચક શબ્દોને ઉકેલવા માટે કહ્યું છે કે अंकानां वामतो गतिः (અંકોની ઊલટી દિશાથી ગતિ છે) અર્થાત્ અક્ષરો ડાબેથી જમણે લખાય છે, જ્યારે અંકો જમણેથી ડાબે લખાય છે. આ પ્રાચીન શૈલીના અંકોનો પ્રયોગ ઈ. સ.ની અગિયારમી સદી સુધી થતો જોવા મળે છે. જ્યારે ઈ. સ.ની છઠ્ઠી શતાબ્દીથી સાહિત્યમાં અને સાતમી-આઠમી શતાબ્દીથી અભિલેખોમાં શૂન્યના વ્યવહારવાળી દશાંશ પદ્ધતિના પ્રયોગનાં સ્પષ્ટ પ્રમાણ મળે છે.

પ્રાચીન શૈલીનાં 1થી 9 અંકચિહનોમાંથી આજનાં 1થી 9 ચિહનો ક્રમશઃ રૂપાંતર પામીને ઘડાયાં છે. તેમની સાથે શૂન્યનો યોગ થવાથી સંખ્યા-લેખન માટે કેવળ 10 અંકચિહ્નોની જ આવશ્યકતા રહી. પરિણામે 10, 20, 30 વગેરે અંકચિહનોનો પ્રયોગ લુપ્ત થયો. આ નવીન દશાંશ પદ્ધતિમાં 1થી 9 સુધીનાં 9 અંકચિહનો અને ખાલી સ્થાનસૂચક ચિહન શૂન્ય(0)થી સંખ્યાલેખનનો સમગ્ર વ્યવહાર ચાલે છે. આ દસ ચિહનો એકમ, દશક, શતક વગેરે પ્રત્યેક સ્થાન પર આવી શકે છે અને સ્થાન પ્રમાણે જમણી તરફ ખસતાં દરેક અંકનું સ્થાનિક મૂલ્ય દશગણું વધી જાય છે. દા. ત., 1, 11, 111 આમાં છયે અંકો ‘1’ છે, પરંતુ (જમણેથી ડાબે લેતાં) પહેલો 1નો, બીજો 10નો, ત્રીજો 100નો, ચોથો 1000નો, પાંચમો 10,000નો અને છઠ્ઠો 1,00,000નો બોધ કરે છે. આ સંખ્યાસૂચક ક્રમને દશગુણોત્તર સંખ્યા અથવા તો સ્થાનમૂલ્યનો સિદ્ધાંત કહે છે. આ પદ્ધતિને દશાંશ- પદ્ધતિ પણ કહેવામાં આવે છે. શૂન્યની શોધ અને સ્થાનમૂલ્યના પ્રયોગથી સંખ્યા-લેખનપદ્ધતિમાં ઘણી જ સરળતા થઈ ને એથી જ આજે શૂન્યયુક્ત દશાંશપદ્ધતિનો પ્રચાર સમગ્ર દુનિયામાં થતો રહ્યો છે.

વિજય જોશી

શિવપ્રસાદ મ. જાની 

પ્રવીણચંદ્ર પરીખ