લક્ષ્ય (limit)

લક્ષ્ય (limit) : વિધેયનું લક્ષ્ય (limit of a function). વિધેય y = f(x)માં xની કિંમત બદલાય તેમ yની કિંમત પણ બદલાય છે. વિધેયમાં નિરપેક્ષ ચલરાશિ xમાં થતા ફેરફાર પર અમુક નિયંત્રણો મૂકવામાં આવે ત્યારે સાપેક્ષ ચલરાશિ y ફેરફાર પામીને અમુક કિંમત નજીક ને નજીક જાય છે. આમ વિધેયનું મૂલ્ય જે કિંમતની નજીકમાં નજીક જઈ શકે તે કિંમતને વિધેયનું લક્ષ્ય કહેવામાં આવે છે; દા.ત., વિધેય  લઈએ. અહીં xનું મૂલ્ય જેમ વધતું જાય તેમ f(x)નું મૂલ્ય ઘટતું જાય છે. xની કિંમત ખૂબ ઝડપથી વધવાની સાથે yનું મૂલ્ય ખૂબ ઝડપથી ઘટવા લાગે છે અને શૂન્યની નજીક ને નજીક જાય છે, પરંતુ શૂન્ય થતું નથી. x અનંતીને આંબવા જાય ત્યારે નું મૂલ્ય અલ્પ થતું જઈ લુપ્ત થવા જાય છે. ગાણિતિક પરિભાષામાં જેમ x અનંતીને અનુલક્ષે છે, તેમ  શૂન્યને અનુલક્ષે છે. સંકેતમાં  છે.

હવે વિધેય લઈએ, xનાં બદલાતાં જતાં મૂલ્યો સાથે વિધેય f(x) અવિરતપણે બદલાય છે. x અનંતીને અનુલક્ષે અત્યારે  શૂન્યને અનુલક્ષે છે. સંકેતમાં  છે.

વિધેય 2x + 3નું મૂલ્ય, x એ 2ને અનુલક્ષે ત્યારે જોઈએ. x, 2ને અનુલક્ષે ત્યારે xની કિંમત 2.1થી શરૂ કરી ક્રમશ: 2.01, 2.001, 2.0001 …. એમ ઘટાડતા જઈને કે 1.9થી શરૂ કરી 1.99, 1.999….. એમ વધારતા જઈને 2ને અનુલક્ષે છે, જે નીચેના કોઠામાં દર્શાવ્યા મુજબ —

f(x)ની કિંમત 7.2થી ક્રમશ: ઘટીને કે 6.8થી ક્રમશ: વધીને 7ની સમીપ જાય છે. આમ x જેમ 2ને અનુલક્ષે છે, તેમ f(x) = 2x + 3, સાતને અનુલક્ષે છે. સંકેતમાં (2x + 3) = 7 છે. બીજી રીતે જોઈએ તો આપેલ ε > 0 માટે એવો δ > 0 શોધી શકાય કે જેથી જ્યારે x અને 2 વચ્ચેનો નિરપેક્ષ તફાવત સંખ્યા δ કરતાં નાનો થાય ત્યારે આપોઆપ (2x + 3) અને 7 વચ્ચેનો નિરપેક્ષ તફાવત સંખ્યા eથી નાનો થાય છે. સંકેતમાં (x – 2) < δ તેમ | f(x) – 7 | < ε થાય છે. એટલે કે  (2x + 3) = 7 છે. વ્યાપક સ્વરૂપમાં જોઈએ તો f(x) = 7 એટલે કે x, aને અનુલક્ષે ત્યારે વિધેય f(x)નું મૂલ્ય 7ને અનુલક્ષે છે. એટલે કે આપેલ ε > 0 માટે એવો δ > 0 અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી જ્યારે x અને a વચ્ચેનો નિરપેક્ષ તફાવત δ > 0થી પણ નાનો થાય ત્યારે f(x) અને l વચ્ચેનો તફાવત ε > 0થી નાનો થવા જાય છે. આમ | x – a | < δ તેમ | f (x) – 1 | < ε છે. એટલે કે  f(x) = l છે.

લક્ષ્યની પરિશુદ્ધ (rigorous) વ્યાખ્યા : aના કોઈ છિદ્રિત સાંનિધ્ય(deleted neighbourhood)ના પ્રત્યેક બિંદુએ વિધેય f(x) વ્યાખ્યાયિત કરેલું છે. lના પ્રત્યેક સાંનિધ્ય N (l, ε) માટે aનું છિદ્રિત સાંનિધ્ય N^* (a, δ) અસ્તિત્વ ધરાવે છે, જેથી xεN^* (a, δ) ⇒ f(x) ∈ N (l, ε) તો x, aને અનુલક્ષે ત્યારે f(x), lને અનુલક્ષે છે એટલે કે f (x) = l છે એટલે કે આપેલી ધન સંખ્યા ε માટે એવી ધન સંખ્યા d શોધી કાઢી શકાય કે જેથી જ્યારે x ∈N^* (a, δ) ∈ f(x) ∈ N (l, ε) હોય તો  f(x) = l છે, એમ કહેવામાં આવે છે.

લક્ષ્ય શ્રેણીનું (limit of sequence) : a₁, a₂, ….., a_n1 …… એક અનંત શ્રેણી (A_n) છે. તેનાં પદોની સંખ્યા n, અમર્યાદિતપણે વધીને અનંતને આંબવા જાય છે. ત્યારે શ્રેણીનું nમું પદ જો Aને અનુલક્ષે તો છે, એમ કહેવામાં આવે છે. બીજી રીતે કહીએ તો આપેલી ધન સંખ્યા ∈ માટે શ્રેણીનું A_n એક પદ a_N એવું શોધી કાઢી શકાય કે જેથી Nથી મોટી r જેવી સંખ્યાઓ માટે a_r જેવાં, શ્રેણી a_nમાં a_Nનાં અનુગામી બધાં પદો અને A વચ્ચેનો નિરપેક્ષ તફાવત નાની ધનસંખ્યા εથી નાનો થાય એટલે કે l a_r – A l < ε થાય ત્યારે  છે, એમ કહેવામાં આવે છે.

જો અનંત શ્રેણીને પરિમિત લક્ષ્ય હોય તો તેને અભિસારી શ્રેઢી કહેવામાં આવે છે. પરંતુ પરિમિત લક્ષ્ય ન હોય તો તેને અપસારી શ્રેઢી કહેવામાં આવે છે.

કલનશાસ્ત્રમાં લક્ષ્યની વિભાવનાના વિવિધ ઉપયોગો છે; જેમ કે, વિધેયના ફેરફારના દર ઉપરથી લક્ષ્યની મદદથી વિધેયના વિકલનની વ્યાખ્યા આપવામાં આવે છે. ગાણિતિક રાશિઓનાં સંનિકટ મૂલ્યો મેળવવામાં તેમજ સંકલનને સરવાળાના લક્ષ્ય તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી વક્ર નીચે આંતરાયેલાં ક્ષેત્રફળ શોધવામાં લક્ષ્યનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે.

જ્યારે નિશ્ચિત બિંદુ આગળ વિધેયનું મૂલ્ય અવ્યાખ્યાયિત હોય ત્યારે તે બિંદુના બહુ નજીકના બિંદુ આગળના મૂલ્ય સાથે સુસંગત હોય તેવું મૂલ્ય તે બિંદુ આગળ નિર્દિષ્ટ (assign) કરવામાં લક્ષ્યનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે; દા. ત., આગળ અવ્યાખ્યાયિત છે. કારણ કે છેદ x – 1 = 0 છે અને શૂન્ય વડે ભાગાકારની વિધિ માન્ય વિધિ નથી. તે સિવાયની xની બીજી કોઈ પણ કિંમત માટે વિધેય f(x)નું મૂલ્ય શોધવા માટે અંશ(x² – 1)ના અવયવ (x + 1) (x − 1) પાડવામાં આવે છે. તેને છેદ વડે ભાગવાથી (x + 1) મળે છે. (x + 1)માં xની કિંમત મૂકતાં f(x)નું મૂલ્ય મળે છે. xની 1થી નજીકની કિંમત માટે f(x)નું મૂલ્ય 2 છે. આમ, x, 1ને અનુલક્ષે ત્યારે  2ને અનુલક્ષે છે. એટલે કે  છે. આથી જો f(1) = 2 એવી વ્યાખ્યા લેવામાં આવે તો તે fનાં અન્ય મૂલ્યો સાથે સુસંગત છે. (વિધેય f આથી 2 આગળ સતત થાય છે.) વ્યાપક સ્વરૂપમાં જોઈએ કે છે, એમ જોઈ શકાય છે.

શિવપ્રસાદ મ. જાની