વિસ્તરતું વિશ્વ (બ્રહ્માંડ)

વિસ્તરતું વિશ્વ (બ્રહ્માંડ) : તારાવિશ્વો (galaxies) સમેત તારકોનું સમગ્ર ભૌતિક (દ્રવ્યમય) વિશ્વ વિખેરાતું હોય; તારાવિશ્વો પ્રકીર્ણન પામી અવલોકનકારથી દૂર દૂર, છેટે છેટે જતાં હોય; જેને લીધે વિશ્વનું કદ સર્વદા (નિત્ય) વૃદ્ધિ પામતું હોય તેવો અજમાયેશી ધોરણે સ્વીકારાયેલ વાદ અથવા નિરીક્ષણ.

આ નિરીક્ષણ કે વાદ અંતિમ નથી. છૂપી પોલીસે તૈયાર કરેલ કાલ્પનિક વાર્તા સાથે આ વાદને સરખાવવામાં આવે તો તે અપરાધી નથી, તેના ભણી દોરી જનાર કડી (કે તપાસ) છે. આખાય વાદની અંદર બ્રહ્માંડીય અચળાંક (cosmical constant) છૂપા હાથ(રુસ્તમ)નું કાર્ય કરે છે.

પ્રો. ડબ્લ્યૂ. ડી સિટરે (W. de Sitter) 1917ના નવેમ્બરમાં પ્રગટ કરેલા સંશોધનલેખ દ્વારા વિસ્તરતા વિશ્વનો અણસાર મળ્યો. વિશદ ચર્ચાઓને અંતે સિટરને જાણવા મળ્યું કે ધાર્યા પ્રમાણે દૂર દૂરના ખગોલીય પદાર્થો (celestial) અવલોકનકારથી દૂર જતા હોય તેવા નિરીક્ષણ ભણી સાપેક્ષવાદ દોરી જાય છે. ડી સિટર પેગંબર ન હતા, પણ બાતમી આપનાર તો જરૂર હતા. એટલે કે ખગોલીય પદાર્થોની પીછેહઠનું બારીકાઈથી નિરીક્ષણ થવું ઘટે. એટલે જ તો તે સમયે વિસ્તરતા વિશ્વનો વાદ ત્રિભેટે હતો. ખગોળવિદોને અતિ દૂરના આવા પદાર્થોની પીછેહઠ જોવા મળે તો ડી સિટરની બાતમી (વાદ) બરાબર ગણાય. જ્ઞાત પદાર્થોમાં સર્પિલ નિહારિકાઓ(spiral nebulae)ને અતિ દૂરનો પદાર્થ ગણી શકાય. તે આશરે 10 લાખથી 150 લાખ પ્રકાશવર્ષ(light year)ના અંતરે છે. તે પરાગાંગેય (extra-galactic) પદાર્થો છે. સર્પિલ નિહારિકાઓને મોટા ટાપુ તરીકે ગણવામાં આવે તો તારાવિશ્વ આકાશગંગા (milky way) તેના એક ખંડ જેવડું છે. નિહારિકા ઝાંખી ન હોય તો દૃષ્ટિરેખા ઉપર તેનો વર્ણપટમાં રેખાના વિસ્થાપનને આધારે ત્રિજ્યાવર્તી (radial) વેગ નક્કી કરવો શક્ય છે. લૉવેલ વેધશાળાના પ્રો. વી. એમ. સ્લિફરે આવાં શ્રેણીબદ્ધ અવલોકનો લીધાં હતાં.

માઉન્ટ વિલ્સન વેધશાળાના ડૉ. ઈ. પી. હબ્બલે વિસ્તરતા વિશ્વ બાબતે નીચેની અસર દર્શાવી, જેને હબ્બલ અસર (ઘટના) કહે છે. અતિ દૂરના તારકોના વર્ણપટ દર્શાવે છે કે આ વર્ણપટ અધોરક્ત (infra-red) તરફ વિસ્થાપિત થાય છે. એટલે વિકિરણકારી પદાર્થો અવલોકનકારથી દૂર જતા હોય છે. આ હબ્બલ-વિસ્થાપન બ્રહ્માંડ વિદ્યાકીય અભિરક્ત-સંસરણ(cosmological red-shift)ને કેટલીક અપૂર્ણતા સાથે ડૉપ્લર ઘટના સાથે સરખાવી શકાય.

નજીકના તારકો 10થી 50 કિમી/સેકન્ડના વેગથી દૂર જાય છે. જો આ વેગ 100 કિમી/સેકન્ડથી વધી જાય તો તેવા તારકોને ભાગેડુ (run away) ગણવામાં આવે છે. માઉન્ટ વિલ્સન વેધશાળાના એમ. એલ. હ્યુમસને (Humason) જેમિની જૂથના ઝાંખા વૃંદને 25,000 કિમી/સેકન્ડ વેગથી દૂર જતું નિહાળ્યું છે. આ વૃંદનું અંતર 15,00,00,000 પ્રકાશવર્ષ અંદાજેલું છે. હબ્બલના અભ્યાસ પ્રમાણે પશ્ચસરણ (recession) વેગ 550 કિલોમીટર પ્રતિ સેકન્ડ પ્રતિ મેગાપાર્સેક (1 મેગાપાર્સેક = 3.26 મિલિયન પ્રકાશવર્ષ) જેટલો જોવા મળે છે. 80 મિલિયન પ્રકાશવર્ષથી દૂરના બધા જ પદાર્થો બહારની તરફ દૂર દૂર જાય છે. તેમાંથી એકેય પૃથ્વી તરફ આવતો નથી. આ બધાં અવલોકનોમાં ક્ષતિ હોઈ શકે છે; તો પછી બૃહદ માપક્રમના (large scale) પ્રાયોગિક અન્વેષકના દિમાગમાં વિશ્વનું કેવું ચિત્ર ખડું થતું થશે તેની શંકાનું સમાધાન રીમાન-ક્રિસ્ટોફેલ પ્રદિશ (tensor) I નો પ્રમાપ નિશ્ચરતા (gauge invariance) કરે છે. આ ચિત્ર વિસ્તરતા વિશ્વનું છે.

જો અવલોકિત ત્રિજ્યાવર્તી વેગનો સ્વીકાર કરવામાં આવે તો નિહારિકાઓ ઝડપથી દૂર દૂર જાય છે તેવો સારાંશ સ્વીકારવો રહ્યો. આઇન્સ્ટાઇનનો સાપેક્ષવાદ ક્ષેત્ર-ભૌતિકી(field physics)ને આવરી લે છે અને તે સ્થૂળ-માપક્રમે કાર્ય કરે છે. ક્વૉન્ટમવાદ સૂક્ષ્મ-માપક્રમે (microscopic) કાર્ય કરે છે. આ બંને સિદ્ધાંતો મળે અને એક થાય તો બુદ્ધિગ્રાહ્ય સિદ્ધાંત તૈયાર થાય છે. આઇન્સ્ટાઇનના સાપેક્ષવાદનું મધ્યવર્તી પરિણામ ગુરુત્વાકર્ષણનો નિયમ છે. તેને G_μν = 0ના સ્વરૂપે અપાય છે. રિક્ત (empty) અવકાશમાં આઇન્સ્ટાઇને ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમ તરીકે G_μν = 0 સ્વીકાર્યો. G_μν એ સંમિતીય પ્રદિશ છે. આ નિયમ 10 અંશત: વિકલન (partial differential) સમીકરણો આપે છે, જેનાથી G_μν નક્કી કરી શકાય છે. આમાં ચાર સમીકરણો એકસમાન (identical) છે; તેથી અસરકારક સમીકરણો 6 રહે છે. ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમથી પસંદગી મર્યાદિત બને છે. આ નિયમનું વૈકલ્પિક સ્વરૂપ G_μν = λg_μν લઈ શકાય છે; જ્યાં λ વૈશ્ર્વિક અચળાંક છે. કેટલીક સૈદ્ધાંતિક ભૂમિકાને કારણે નિયમનું આ સ્વરૂપ વિશ્વસનીય (ખરું) છે. પણ lનું મૂલ્ય અતિસૂક્ષ્મ હોવું જોઈએ. λનું સૂક્ષ્મ મૂલ્ય આપણને  આઇન્સ્ટાઇન અથવા ડી સિટરના ગોલીય વિશ્વ ભણી દોરી જાય છે.

ઉમેરેલું પદ (λ g_μν) અપાકર્ષણ પેદા કરે છે,  જે અવલોકનકારથી લીધેલા અંતરને સમપ્રમાણમાં હોય છે. તે વિસર્જન કરતું બળ છે; જેને પ્રકીર્ણન તરીકે ગણવામાં આવેલ. 150 મિલિયન પ્રકાશવર્ષ અંતરે આવેલ પદાર્થો વિસર્જનબળની અસરથી પ્રકીર્ણન પામે છે. તત્પૂરતું આપણે તારણ કાઢી શકીએ કે બ્રહ્માંડીય અપાકર્ષણ પ્રભાવક બને છે અને તે વિસર્જન માટે જવાબદાર છે.

નિહારિકાઓના વધારે પશ્ચસરણ વેગ માટે બે વિકલ્પ છે : (1) તે બહારની દિશા ધરાવતા બળ વડે પેદા થયેલ હોય અથવા (2) પદાર્થોના વિદ્યમાન ક્રમના પ્રારંભથી જ તેમને વધારે મોટો વેગ પ્રાપ્ત થયો હોય. નિહારિકાઓના પશ્ચસરણ વેગ માટે બીજી કેટલીક સમજૂતીઓ આપવામાં આવી છે; પણ તે બધામાં ઉપર્યુક્ત બીજી બાબતનો આધાર લીધો છે. એટલે કે નિહારિકાઓ વધારે વેગ પ્રારંભથી જ ધરાવે છે.

સાપેક્ષવાદ અને તરંગ-યાંત્રિકી(wave mechanics)ના સહયોગથી બ્રહ્માંડીય અપાકર્ષણનું મૂલ્ય મેળવી શકાય. અવલોકિત ગતિ આ મૂલ્ય સાથે સુસંગત બને તો બધું બરાબર થાય.

પૃથ્વીથી જેમ નિહારિકાનું અંતર વધતું જાય છે તેમ બ્રહ્માંડીય અપાકર્ષણનું બળ વધુ મોટું બને છે. સૌથી વધારે એટલે કે મહત્તમ અંતરે આ બળ હજુ પણ વધે છે. આ રીતે અગાઉની ચર્ચા સમજાવે છે કે તે કેવી રીતે દૂર જાય છે, પણ સમજવાની એક તીવ્ર ઝંખના રહે છે કે તે કેવી રીતે થંભે છે તે જાણવાની.

આઇન્સ્ટાઇનનો ગુરુત્વાકર્ષણનો નિયમ અવકાશની વક્રતાના વિવિધ ઘટકોને અવકાશમાં રહેલા દ્રવ્યની ઘનતા, વેગમાન અને પ્રતિબળ (stress) સાથે જોડે છે. અવકાશ-વક્રતા એ અવલોક્ય (observable) ભૌતિક ગુણધર્મોનું ટેક્નિકલ નામ છે. આથી દ્રવ્યથી ઉદભવતી વક્રતાના ખ્યાલમાં કશું જ આધ્યાત્મિક નથી. જેમ ચુંબક ચુંબકીય ક્ષેત્ર રચે છે તેમ.

ગોલકને વક્ર પૃષ્ઠ હોય છે તેમજ તેને સંવૃત (closed) પૃષ્ઠ હોય છે એમ કહી શકાય. ત્રિપારિમાણિક અવકાશનાં બે લક્ષણો  વક્રતા અને સંવરણ (closure) વિચારી શકાય. સંવૃત પૃષ્ઠ અથવા અવકાશ વક્ર હોવું જ જોઈએ જ્યારે વક્ર પૃષ્ઠ અથવા અવકાશ સંવૃત ન પણ હોય. આથી વક્રતાના ખ્યાલ કરતાં સંવૃતતાનો ખ્યાલ આગળ નીકળી જાય છે.

ગોલીય અવકાશમાં આપણે જો એક જ દિશામાં સતત ચાલ્યા જ કરીએ તો આરંભબિંદુએ પાછા આવીએ છીએ. એક એવું સૂચન છે કે અવકાશનું વિસ્તરણ એ નરી આધ્યાત્મિકતા છે. તેને ભૌતિક વિશ્વના વિસ્તરણ સાથે કશી જ લેવાદેવા નથી. પણ આ ભૂલભરેલું છે, કારણકે સાપેક્ષતાના સિદ્ધાંત સાવ એટલા સરળ નથી. અવકાશ અને દ્રવ્યમય તંત્ર એકબીજાને બંધબેસતાં હોવાં જોઈએ.

કેટલાક વૈજ્ઞાનિક લોકો ગોલીય અવકાશને નકારે છે તો થોડાક બીજા એવું વિચારે છે કે તે એક ન ગમતી પરિકલ્પના છે જેનો ઉપયોગ નાછૂટકે કરવાનો રહે છે. સર્પિલ નિહારિકાઓની ગતિ સમજાવવામાં ‘અવકાશ વક્ર ન હોય’ તે બાબત તેમના ફાયદામાં છે.

તારાવિશ્વોના સંવૃત-તંત્રને સંવૃત અવકાશની જરૂર પડે છે. જો આવું તંત્ર વિસ્તરવા લાગે તો અવકાશે પણ વિસ્તરવું પડે; જેમ કે, પૃથ્વીની સપાટી ઉપર લોકો વિતરિત થઈને ઊભા રહે તો તેઓ પ્રકીર્ણન પામી શકતા નથી; સિવાય કે પૃથ્વીનું પૃષ્ઠ વિસ્તરવા લાગે. આથી વિસ્તરતા વિશ્વના સિદ્ધાંત આગળ (1) દ્રવ્યમય તંત્ર અને (2) અવકાશનાં વિસ્તરણ આવી ખડાં રહે છે; પણ અવલોકિત ઘટનાઓ દર્શાવે છે કે બંને ઘટનાઓ બને છે.

સાપેક્ષવાદમાં વક્ર અવકાશ એ મૂળભૂત બાબત છે અને તે સ્વીકારવા માટેની દલીલોને દબાવી શકાય તેમ નથી. સંવૃત અવકાશને વધુ પુરાવાઓની જરૂર પડે તેમ છે. જો મનુષ્યે જવાબદારી ન લેવી હોય તો નિશ્ચિત ત્રિજ્યા Rના સંવૃત વિશ્વ સાથે કામ કરવું, જેથી કોઈ પણ સમયે તેને પૂર્વવત્ સ્થિતિએ પહોંચવું હોય તો Rને અનંત કરીને અનંત વિશ્વ સાથે કામ કરી શકે. આ રીતે બે પ્રકારનાં વિશ્વોનો વિચાર કરી શકાય : (1) આઇન્સ્ટાઇનનું વિશ્વ અને (2) ડી સિટરનું વિશ્વ. આમ તો બંને વિશ્વો સંવૃત અને ગોળ છે. બંને વિશ્વને સ્થાયી ગણે છે, જેથી ગમે તે સમયે વિશ્વ જેવું ને તેવું જ રહે છે; તે છતાં બંનેની માન્યતામાં જુદાપણું પણ છે. ડી સિટરના વિશ્વમાં દૂરના પદાર્થો છેટા જાય છે, જ્યારે આઇન્સ્ટાઇનના વિશ્વમાં તેવું નથી. એક જ સૈદ્ધાંતિક ભૂમિકામાંથી આઇન્સ્ટાઇન અને ડી સિટરનાં વિધાનો બે વિકલ્પો રૂપે સામે આવે છે. બેમાંથી કયું પરિરૂપ (model) સ્વીકારવું તે તો વિશ્વની અંદર રહેલા દ્રવ્યના જથ્થા ઉપર આધારિત છે. સૈદ્ધાંતિક રીતે આ પ્રશ્ન ભાગ્યે જ હલ કરી શકાય તેમ છે. સાથે સાથે અવલોકનોની મદદથી નક્કી કરવું તે પણ સહેલું નથી. આ બધી બાબતોનો સારાંશ આ પ્રમાણે આપી શકાય : આઇન્સ્ટાઇનના વિશ્વમાં દ્રવ્ય છે, પણ ગતિ નથી અને ડી સિટરના વિશ્વમાં ગતિ છે, જ્યારે દ્રવ્ય નથી. પણ એટલું તો સ્પષ્ટ છે કે વાસ્તવિક વિશ્વ બંને  દ્રવ્ય અને ગતિ ધરાવે છે. તે બાબત કોઈ એક અમૂર્ત પરિરૂપને બિલકુલ અનુરૂપ નથી. એટલે સવાલ એ થાય છે કે કયો વિકલ્પ (પરિરૂપ) સંનિકટતા સાથે સ્વીકારવો ? આઇન્સ્ટાઇનના વિશ્વમાં ગતિ ઉમેરશું કે ડી સિટરના વિશ્વમાં થોડુંક દ્રવ્ય ?

ફ્રીડમાન અને લેમિત્રેનો વચગાળાનો ઉકેલ ‘વિસ્તરતાં વિશ્વો’ હતાં. દ્રવ્યમય-તંત્ર અને સંવૃત અવકાશ બંને વિસ્તરે છે. એક છેડે આઇન્સ્ટાઇનનું વિશ્વ છે, જ્યાં ગતિ નથી અને માટે તે સમતોલનમાં હોય છે. ત્યાંથી નમૂનારૂપ વિશ્વ તરફ જવાય છે, જ્યાં વધુ ને વધુ વિસ્તરણ થતું હોય છે અને તે રીતે બીજા છેડે ડી સિટરના વિશ્વ સુધી પહોંચાય છે. ક્રમશ: વિસ્તરણનો દર વધતો જાય છે અને ઘનતા ઘટતી જાય છે અને ડી સિટરનું વિશ્વ એ એક એવી મર્યાદા છે, જ્યાં ખગોલીય પિંડની ઘનતા શૂન્ય થાય છે, ત્યારે વિસ્તરણ થંભી જાય છે. તેનું કારણ એ નથી કે વિસ્તરણ એકદમ વધી જાય છે, પણ વિસ્તરવા માટે કશું જ બાકી રહેતું નથી.

વિશ્વના આ બધા નમૂનાઓને સમજવા માટે ડી સિટરના વિશ્વથી શરૂઆત કરી શકાય. અહીં ન્યૂટોનિયન આકર્ષણ અને બ્રહ્માંડીય અપાકર્ષણ એમ બે બળો પ્રવર્તતાં હોય છે. ડી સિટરના વિશ્વમાં દ્રવ્યની ઘનતા અત્યંત ઓછી હોય છે, જેથી ન્યૂટોનિયન આકર્ષણ શૂન્યવત્ બને છે અને બ્રહ્માંડીય અપાકર્ષણ બેલગામ બને છે. આ સમયે વિસ્તરણનો દર મહત્તમ બને છે. જો વધુ દ્રવ્ય તંત્રમાં દાખલ કરવામાં આવે તો ગુરુત્વ-બળ દ્રવ્યને ભેગું પકડી રાખે છે અને વિસ્તરણનો પ્રતિકાર કરે છે. જ્યારે ન્યૂટોનિયન આકર્ષણ અને બ્રહ્માંડીય અપાકર્ષણ એકસરખાં થાય છે, ત્યારે વિસ્તરણ શૂન્ય બને છે. આ છે આઇન્સ્ટાઇનનું વિશ્વ. જો હજુ વધારે દ્રવ્ય તંત્રમાં દાખલ કરવામાં આવે તો બ્રહ્માંડીય અપાકર્ષણ કરતાં ન્યૂટોનિયન આકર્ષણ વધી જતાં તંત્ર સંકોચાવા લાગે છે. આ છે સંકોચાતું વિશ્વ.

સારાંશ તરીકે કહી શકાય કે આઇન્સ્ટાઇનના વિશ્વથી શરૂઆત થઈ, પછી તે શ્રેણીબદ્ધ નમૂનાઓમાં થઈને પસાર થાય છે; જ્યાં વિસ્તરણ-દર વધતો જ જાય છે અને છેવટે ડી સિટરના વિશ્વથી પૂર્ણ થાય.

આઇન્સ્ટાઇનનું વિશ્વ સમતોલનમાં રહે છે, પણ આ સમતોલન અસ્થાયી છે. અહીં ન્યૂટોનિયન આકર્ષણ અને બ્રહ્માંડીય અપાકર્ષણ સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે. નાની સરખી ખલેલ આખા સમતોલનનો ભંગ કરે છે. ન્યૂટોનિયન આકર્ષણ કોઈ સંજોગોમાં નબળું પડે તો બ્રહ્માંડીય અપાકર્ષણનો હાથ ઉપર રહે છે અને પછી ધીમું વિસ્તરણ શરૂ થાય છે. આથી દ્રવ્યના કણો વચ્ચેનું સરેરાશ અંતર ઘટે છે. આથી વિસ્તરણ વધુ વધે છે; જેથી આકર્ષણ અને અપાકર્ષણનો વચ્ચેનો ગાળો પહોળો થતો જાય છે. વિસ્તરણનો દર ઘણો વધી જાય છે. જો ન્યૂટોનિયન આકર્ષણબળ વધુ હોય તો તંત્ર (વિશ્વ) સંકોચાવા લાગે છે. આથી આઇન્સ્ટાઇનનું વિશ્વ ખૂબ જ નાજુક છે, જેથી થોડીક ખલેલથી તેમાં વિસ્તરણ અથવા સંકોચન સર્વદા વધતું જાય છે. હવે ચિત્ર કેવું બને છે ? સમાન ગતિહીન નિહારિકાઓથી ગોળાકાર વિશ્વ ભરેલું હોય તો આ બે સ્વયંભૂ ફેરફારો શક્ય છે : (1) દ્રવ્ય સ્થાનિક સંઘનન (condensation) રચશે, જેથી અસમાન વિતરણ થાય. (2) દ્રવ્યનું વિકિરણમાં રૂપાંતર થશે, આથી સંકોચન શરૂ થાય.

સર્પિલ નિહારિકાઓના પશ્ચસરણના સિદ્ધાંતો ભેગા કરીએ તો વિસ્તરતું વિશ્વ સ્વીકાર્ય બને છે અને તે પણ તત્પૂરતું; પણ તેનાથી બ્રહ્માંડીય અપાકર્ષણ સાથે સમન્વય સધાતો નથી. પૂરતા ચિંતન બાદ ડી સિટરે ભારપૂર્વક કહેલું કે બ્રહ્માંડીય અચળાંક (λ) ઋણ હોવો જોઈએ. આથી બ્રહ્માંડીય અપાકર્ષણ નહિ, પણ આકર્ષણ મળે છે, પણ નિહારિકાઓની પશ્ચસરણ ગતિ એ બ્રહ્માંડીય આકર્ષણના પક્ષમાં નથી.

ઈ. એ. મિલ્ને દર્શાવ્યું કે અત્યારનો વેગ ધરાવતાં તારાવિશ્વોને તે પ્રારંભથી જ મળ્યો હોય અને થોડાક વિસ્તારમાં ભેગાં થયાં હોય અને જેમને મહત્તમ ગતિ પ્રાપ્ત થઈ હોય તે બધાં સૌથી વધારે દૂર હોય. જો ગુરુત્વાકર્ષણ સહિત અન્ય બળો નગણ્ય હોય તો એવું વિતરણ મળે છે, જેથી અંતર અને વેગ એકબીજાંને સમપ્રમાણમાં હોય. ગતિ અંતરના સમપ્રમાણમાં હોય છે તે બાબત વેગ કેવી રીતે પ્રાપ્ત થયો તે વિશે મુશ્કેલી ઊભી કરે છે. આથી બ્રહ્માંડીય અચળાંક ઉપર નિહારિકાઓનું પશ્ચસરણ શું પ્રકાશ ફેંકે છે તે બાબત અનિર્ણીત રહે છે.

વિશ્વ ગોલીય, સંવૃત છે અને નિરંતર વિસ્તરે છે. તેને એક રબરના બલૂન સાથે સરખાવી શકાય; જેમાં તારાવિશ્વો પુરાયેલાં છે. આ બલૂનને ધીમે ધીમે ફુલાવવામાં આવે ત્યારે તારાવિશ્વો પૃષ્ઠ ઉપર પ્રકીર્ણન પામે છે. અહીં તારાવિશ્વોને પોતાની નિજી ગતિ હોય છે, પણ નહિવત્. રબર ખેંચાવાથી તારાવિશ્વો પશ્ચસરણ ગતિ કરતાં દેખાય છે. બલૂન ઉપર બે બળો લાગે છે : એક, આંતરિક દબાણ, જેથી તે ફૂલે છે અને બીજું, રબરનું તાણબળ, જે તેને સંકોચાવાની ફરજ પાડે છે. શરૂઆતમાં સમતોલન હોય છે, પણ નાની સરખી ખલેલથી વિસ્તરણ શરૂ થાય છે. જેમ બલૂન (વિશ્વ) વધુ ને વધુ વિસ્તરતું જાય છે તેમ રબરની પ્રતિકારશક્તિ ઘટે છે. રબરનું તાણબળ એટલું બધું ઘટી જાય છે કે જેથી પશ્ચસરણ ગતિ ઘટી જાય છે. જોકે આ દૃષ્ટાંત (ઉપમા) અદ્દલ ન ગણાય. (જુઓ રંગીન આકૃતિ)

વિશ્વનાં માત્રાત્મક પારિમાણિક મૂલ્યો અંદાજે નીચે મુજબ છે :

(a) દૂરના પદાર્થોની પશ્ચસરણ ગતિ 528 કિમી / સેકન્ડ / મેગાપાર્સેક છે; જે વિવિધ કારણોસર 500-1000 કિમી./સેકન્ડ/મેગા- પાર્સેક લઈ શકાય છે.

(b) વિશ્વની વિસ્તરવાની શરૂઆત પહેલાં તેની ત્રિજ્યા = 328, – મેગાપાર્સેક = 1068 મિલિયન પ્રકાશવર્ષ. કૉસ્મિક કિરણો પાર્થિવેતર હોય તો તેનું ચોક્કસ મૂલ્ય મળવાનો સંભવ છે.

(c) વિશ્વનું કુલ દળ = 1.08 × 10²² × સૂર્યનું દળ. આ દળ 1011 તારાવિશ્વોની રચના માટે પર્યાપ્ત છે.

(d) વિશ્વમાં પ્રોટૉનની સંખ્યા = ઇલેક્ટ્રૉન સંખ્યા = 1.25 × 10⁷⁹ છે.

(e) પ્રારંભિક દ્રવ્યની સરેરાશ ઘનતા = 1.05 × 1027 ગ્રામ = 1 હાઇડ્રોન પરમાણુ/1580 સેમી³ છે.

(f) બ્રહ્માંડીય અચળાંક (λ) = 9.8 × 10^–55 સેમી^–1 જેટલો છે.

જેમ બાર હાથના ચીભડામાં તેર હાથનું બી શક્ય નથી, તેમ વિશ્વ જ્યારે વિસ્તરતું જાય છે ત્યારે તેની ત્રિજ્યા નિર્વાત અવકાશની વક્ર ત્રિજ્યા કરતાં કદાપિ વધારે હોઈ શકે નહિ. વિસ્તરતા વિશ્વના પથ ઉપર પ્રકાશનું કિરણ વિસ્તરણની દિશામાં જાય તો તેનું લક્ષ્ય એટલી બધી ઝડપથી પશ્ચસરણ કરે છે જ્યાં કિરણ પહોંચી શકતું નથી. પરિણામે બીજો કોઈ સંકેત (signal) ત્યાં (લક્ષ્ય) સુધી પહોંચી શકતો નથી.

આથી સ્વીકારવું રહ્યું કે સંપૂર્ણ ગોલીય વિશ્વ સ્થિરતા અને ગતિ, અવકાશ અને સમયને જુદાં પાડે તેવી સંદર્ભ-પ્રણાલી (frame of reference) પૂરી પાડે છે.

વિસ્તરતા વિશ્વ વિશે કૉસ્મિક કિરણોનો ઉદ્ગમ-ઉદ્ભવ અને ઇતિહાસ સારો એવો પ્રકાશ પાડી શકે તેમ છે. કોલ્હોર્સ્ટર (Kolho..rster) આકાશગંગા અને નિહારિકાઓને કૉસ્મિક કિરણોનો ઉદ્ગમ સ્રોત હોવાનું દર્શાવે છે. ત્યારબાદ મિલિકને બતાવ્યું કે કૉસ્મિક કિરણો તમામ દિશાઓમાંથી એકસરખી રીતે આવે છે. તે સંજોગોમાં આ કિરણો પાર્થિવેતર (extra-terrestrial) હોવાં ઘટે. કૉસ્મિક વિકિરણ સંગ્રહસ્થાન જેવું છે, જેમાં તમામ પ્રકારના પુરાતત્ત્વીય અવશેષો મળી રહે છે. આ અવશેષો ઉપર ઉત્કીર્ણ લેખો(inscriptions)ના સિક્કા લાગેલા હોય છે; જેમાંથી પૃથ્વીનાં પૂર્વકાલીન પરિમાણો મળી રહે છે, જે આ કિરણોને પેદા કરતી પેટા પારમાણ્વિક પ્રક્રિયાઓને ઓળખી કાઢે છે. તે ઉત્કીર્ણ લેખ વાંચી શકે છે. તેના ઉપરથી કહી શકે છે કે ત્યારથી આજ લગી વિશ્વનું કેટલું વિસ્તરણ થયું છે. અહીં વિશ્વની ઊર્જા અને દળની સાપેક્ષે કૉસ્મિક વિકિરણની ઊર્જા અને દળ નહિવત્ છે. અવકાશમાં સતત ઠલવાતા વિકિરણનું આખરે શું થતું હશે ? સંભવત: તેનું દ્રવ્યમાં રૂપાંતર થાય છે. ડી સિટરને આ વાત સ્વીકાર્ય નથી. વિશ્વમાં કુલ વિકિરણમાં ઘટાડો થતો જાય છે. અહીં ઊર્જાના જથ્થા – ક્વૉન્ટાની સંખ્યા અચળ રહે છે; પણ તેમની તરંગલંબાઈ સતત વધતી જતી હોઈ ક્વૉન્ટાની ઊર્જામાં ઘટાડો થતો જાય છે. વિસ્તરતા વિશ્વની ત્રિજ્યાના પ્રમાણમાં વિકિરણની ઊર્જાનો ઘટાડો થતો જાય છે. હકીકતમાં સર્પિલ નિહારિકાઓની સરેરાશ ગતિ અંતરના સમપ્રમાણમાં હોય છે. વ્યક્તિગત નિહારિકાનો વેગ જુદો કે ઘટતો હોઈ શકે છે; જેમ કે, જો વિસ્તરણ 5 ગણું થાય તો વૈયક્તિક ધોરણે નિહારિકાનો વેગ અગાઉના વેગ કરતાં પાંચમા ભાગનો થાય છે.

જો વિશ્વને વિસ્તરતું સ્વીકારી લેવામાં આવે તો તેની તાત્કાલિક પ્રતિક્રિયા ઉત્ક્રાંતિના સમય-માપક્રમ ઉપર પડે છે. ત્રણ પ્રકારના સમય-માપક્રમો ઉપર પસંદગી ઊતરે છે, જેમને અલ્પાવધિક (short), મધ્યવર્તી (intermediate) અને દીર્ઘ (long) તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.

વિસ્તરણ સાપેક્ષ છે. અવકાશનો દરેક ભાગ એકધારો ફૂલતો જાય છે તેથી તારાવિશ્વો વચ્ચેનું અંતર વધે છે તેમ પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રૉનનું અંતર વધતું હશે ? ગ્રહો વચ્ચેનું અંતર વધતું હશે ? તેમ હોય તો તેનો અર્થ એ થાય છે કે પરમાણુઓ, માનવો, પૃથ્વી અને સૌરમંડળ, વિશ્વ જે દરથી વિસ્તરે છે, તે પ્રમાણે વિસ્તરે છે. હકીકતમાં આવું નથી બનતું. પરિણામ એવું જોવા મળે છે કે માત્ર આંતર તારાવિશ્વ (inter galactic) અંતરોનું પ્રસરણ થાય છે. ખુદ તારાવિશ્વોને કોઈ અસર થતી નથી. આથી નાની પ્રણાલીઓ, જેમ કે, તારકવૃંદ, તારકો, માનવ-અવલોકનકારો, તેમનાં ઉપકરણો, પરમાણુઓ બધાં જ વિસ્તરણથી મુક્ત હોય છે. અલબત્ત, આ બધી નાની પ્રણાલીઓમાં બ્રહ્માંડીય અપાકર્ષણ અથવા વિસ્તરણનું વલણ હોય છેે. પ્રચંડ બળોની મદદથી આવી ચકાસણી કરવામાં આવી છે પણ કોઈ પ્રકારનું વિસ્તરણ જોવા મળ્યું નથી. સૌરમંડળના કોઈ પણ બે ગ્રહો ઉપર એક જ પ્રકાર(સંજ્ઞા)ના પુષ્કળ વિદ્યુતભારો મૂકવાથી તે અપાકર્ષણથી દૂર થઈ જાય છે; પણ તે વિસ્તરતી પ્રણાલી બનતી નથી. આથી કાયમી અને વિસ્તરતાં તંત્રો વચ્ચેની મર્યાદારેખા તૈયાર કરવી મુશ્કેલ છે. આ બાબત આવર્તક (periodic) અને અનાવર્તક (aperiodic) ઘટનાઓના જેવો તફાવત ધરાવે છે. પરિવર્તન (ફેરફાર) સાપેક્ષ છે. આપણાં સામાન્ય ભૌતિક પ્રમાણોની સાપેક્ષ વિશ્વ વિસ્તરે છે. અને ભૌતિક પ્રમાણો સંકોચાય છે. ‘વિસ્તરતા વિશ્વ’ના સિદ્ધાંતને ‘સંકોચાતા પરમાણુ’નો સિદ્ધાંત પણ કહી શકાય.

મનુષ્યો આવા સાહજિક (સ્વાભાવિક) દૃષ્ટિકોણને લીધે સદાને માટે એકસરખા છે. મનુષ્યજાતનું પરિસર બદલાતું રહે છે. એવું નથી લાગતું કે મનુષ્યના અહંકેન્દ્રી (ego centric) દૃષ્ટિકોણને લીધે વિસ્તરતું વિશ્વ એ વિકૃતિનું દૃષ્ટાંત હોય ? વિશ્વ તો નિશ્ચિતપણે પ્રમાણભૂત હોવું જોઈએ અને મનુષ્યે પોતાનાં પરિવર્તનોને તેનાથી માપવાં જોઈએ. સાપેક્ષ ફેરફારોને જોઈ મનુષ્ય જાણે કે વિશ્વ ઓગળી જતું હોય તેમ બુમરાણ મચાવે છે. જેમ વૃદ્ધિ પામતા બાળકને પોતાનું ઘર નાનું થતું જણાય છે; પણ ઘર કે રાચરચીલાના અદૃશ્ય થતા ગુણધર્મથી ભયભીત બની જાય છે.

આ બાબત ખરી લાગે તેવી છે પણ તે ખરી નથી. મનુષ્યનાં પ્રમાણો વિસ્તરતા વિશ્વ માટે જવાબદાર હોય તોપણ તે સ્ફોટ(ધડાકા)માં જવાબદાર ગણી શકાય નહિ. વળી મનુષ્યનાં પ્રમાણો કંઈ નાનકડાં કે ક્ષુલ્લક નથી. વિશ્વના રિક્ત વિસ્તારની વક્રતાત્રિજ્યા R_s અચળ લઈ શકાય છે, જેથી તેને આદર્શ બ્રહ્માંડીય પ્રમાણ તરીકે લઈ શકાય. તેનાથી વિશ્વના ફેરફારોને ન્યાયયુક્ત ઠરાવી શકાય.

આર્થર એડિંગ્ટનના તત્વજ્ઞાન(ફિલસૂફી)ના એક વિચાર પ્રમાણે મનુષ્યજીવનના રંગમંચ ઉપર રહી બ્રહ્માંડીય પ્રેક્ષકો(તારાવિશ્વના કદના માણસો)ના હિતાર્થે કોઈ એક નાટક કરી રહ્યા છે.

જેમ એક પછી બીજું એમ દૃશ્યો આગળ વધે છે તેમ તેઓને (પ્રેક્ષકોને) નટ-નટીઓ નાનાં થતાં હોય તેવું લાગે છે. આ સાથે ક્રિયા (action) ઝડપી થતી હોય તેવું લાગે છે. છેલ્લા અંકમાં નટ-નટીઓ ગાંડાની જેમ બેહદ ગતિ કરતાં જણાય છે ત્યારે વધુ નાનાં ને નાનાં બનતાં જાય છે. ક્રિયાઓ વધુ વેગીલી બને છે. છેલ્લે અસ્પષ્ટ અને પ્રબળ પ્રક્ષુબ્ધતા પ્રવર્તે છે અને અંતે કશું જ નહિ.

ઉપર્યુક્ત ચર્ચા ઉપરથી એટલું ફલિત થાય છે કે દૂરના પદાર્થો પશ્ચસરણ ગતિ કરે છે. ખગોળવિદોને એ પણ જોવા મળ્યું છે કે સુદૂરના પદાર્થો વધુ ઝડપથી પશ્ચસરણ ગતિ કરે છે. આ ચર્ચાનું નબળું પાસું એ છે કે આવા પદાર્થોની કેટલી પશ્ચસરણ ગતિ ધારી શકાય ? હાથી લેવા જતાં માખી પકડીને આવ્યા જેવી આ સ્થિતિ છે. માત્ર સાપેક્ષવાદ પશ્ચસરણ ગતિ વિશે કંઈ વધુ માહિતી આપી શકે તેમ નથી. માટે બીજો રસ્તો શોધવો જ રહ્યો, અને તે રસ્તો છે ક્વૉન્ટમ્ યાંત્રિકી(અથવા તરંગ-યાંત્રિકી)નો. આ બંને સિદ્ધાંતોનો સમન્વય કરતાં પશ્ચસરણ ગતિની સૈદ્ધાંતિક ગણતરી કરી શકાય તેમ છે. પરિણામે પશ્ચસરણ ગતિ 500થી 1000 કિમી/સેકન્ડ/મેપા. મળી શકી છે. ટેલિસ્કોપ અને સ્પેક્ટ્રૉસ્કોપની મદદથી પશ્ચસરણ ગતિની આ મર્યાદાઓને ટેકો મળે છે. આ ગતિનું સૈદ્ધાંતિક માપન વાહિયાત લાગે તેમ છે તે છતાં વિશ્વાસ વધારે છે. અલગ અલગ સમસ્યાને સ્પર્શ નહિ કરતાં જે સિદ્ધાંત બે અચળાંકો – બ્રહ્માંડીય અચળાંક અને પ્રોટૉન-ઇલેક્ટ્રૉનનાં દળોનો ગુણોત્તર નક્કી કરવાનો રહે છે. તે માટે બૃહદ માપક્રમવાળાં તારાવિશ્વોનું એક છેડેથી અને પરમાણુની ભીતરને બીજા છેડા સુધી વિચારવાનું રહે છે.

અહીં સુધી બ્રહ્માંડીય અચળાંકને પ્રકીર્ણન બળ તરીકે લીધો છે જે વિશ્વને ફુલાવે છે તથા નિહારિકાઓને દૂર દૂર લઈ જાય છે. પરમાણુમાં આનાથી જુદું જોવા મળે છે. તે ઉપગ્રહ ઇલેક્ટ્રૉનોના તંત્રની રચનાના માપક્રમનું નિયમન કરે છે. ઇલેક્ટ્રૉન તથા પ્રોટૉનની વર્તણૂક સમજવા માટે બૃહદ અને અલ્પનો સમન્વય જરૂરી છે.

બ્રહ્માંડીય અચળાંક  બરાબર છે. હવે પછી Rsને R તરીકે લેવામાં આવશે. આ સાથે એ પણ જોવાનું રહે છે કે પરમાણુના સિદ્ધાંત માટે વક્રતાત્રિજ્યાને શું નિસબત છે ?

લંબાઈ સાપેક્ષ છે, તે લંબાઈના પ્રમાણ સાથેની સરખામણી છે; પણ અનુભવમાં બંનેનાં વિસ્તરણોનો ગુણોત્તર જ પ્રવેશે છે. જો વિશ્વમાં દરેક ચીજની લંબાઈ બમણી થઈ જાય તો મનુષ્યના અનુભવમાં કશો જ ફેર પડતો નથી. આથી સર્વવ્યાપક પ્રમાણ શોધવું તે મુશ્કેલ નથી. આઇન્સ્ટાઇનને ગુરુત્વાકર્ષણનો નિયમ G_μν = λg_μν આપ્યો. આ નિયમને નીચે પ્રમાણે પણ આપી શકાય છે. મીટર એ જે તે સ્થળ આગળની વક્રતાત્રિજ્યાનું વ્યાવહારિક સાનુકૂળ ઉપગુણિત માપ છે, આથી મીટરમાં લીધેલું માપન અને વક્રતાત્રિજ્યાના સંદર્ભમાં લીધેલું માપન બરાબર થાય છે. ભૌતિક સિદ્ધાંતો મુજબ હાઇડ્રોજન પરમાણુને ગમે ત્યાં મૂકવામાં આવે તોપણ વક્રતાત્રિજ્યાના સંદર્ભમાં તેનું કદ એનું એ જ રહેશે. ઘન સમીક્ષાનું પણ તેમ જ થાય છે તથા મીટરના સંદર્ભમાં પરમાણુજ કદ અચળ રહે છે. જો વક્રતાત્રિજ્યા Rsને એકમ તરીકે સ્વીકારવામાં આવે તો સરળતા મળે છે. શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશ-વેગના સંદર્ભમાં અન્ય વેગોને વ્યક્ત કરવામાં આવે તો સરળ સમીકરણો મળે છે. Rsના સંનિકટ મૂલ્યને સર્પિલ નિહારિકાનાં અવલોકનો અનુમોદન આપે છે.

વિસ્તરતા વિશ્વના સાપેક્ષવાદ મુજબ મળે છે, જ્યાં N, ઇલેક્ટ્રૉનની સંખ્યા (જે પ્રોટૉનની સંખ્યા જેટલી છે); C, પ્રકાશનો વેગ; G, ગુરુત્વાકર્ષી અચળાંક અને m_p, પ્રોટૉનનું દળ છે. અહીં પ્રોટૉનની સંખ્યા પણ N થાય છે અને Rs = R છે. વિશ્વનું કુળ દળ M = Nm_p થાય છે.

સાપેક્ષવાદ પ્રમાણે મળે છે, જ્યારે તરંગ-યાંત્રિકી મુજબ મળે છે. આ પરિણામોનો સમન્વય કરતાં N અને R અલગ અલગ મળે છે. પરિણામે Nનું મૂલ્ય 10⁷⁹ મળે છે. Rની મદદથી તારાવિશ્વની પશ્ચસરણ ગતિની મર્યાદા C/R મળે છે. બધા જ અચળાંકો પ્રયોગશાળામાં માપેલા છે. આ રીતે મળતાં (સૈદ્ધાંતિક) પરિણામો અને નિહારિકાની પશ્ચસરણ ગતિને લગતાં અવલોકનો સુસંગત મળે છે.

ઉપર ચર્ચિત સિદ્ધાંતનો ઉપસંહાર પ્રો. ડિંગલ આ પ્રમાણે આપે છે :

‘વેગીલા ઇલેક્ટ્રૉન વિશે વિચાર્યું અને જોયું કે વિદ્યુતભાર અને દળ સમન્વિત છે. ફરીથી જોયું અને દેખાયું કે તે તો વૈશ્ર્વિક ગુંજતી રેખા છે, તો તેની સંખ્યા 1079 હોવી જ જોઈએ.’

એવું દેખાય છે કે વિશ્વનું વિસ્તરણ એકમાર્ગી પ્રક્રિયા છે; જેમ કે, ઉષ્માયાંત્રિકીય અપ્રતિવર્તી પ્રક્રિયા (thermodynamical running down). બે પ્રક્રિયાઓ નિકટપણે સંકળાયેલી હોય તેવું વિચારવું મુશ્કેલ છે. બહિર્વેશન (extrapolation) કસોટીથી જોઈ શકાયું છે કે વિજ્ઞાનની વર્તમાન પ્રણાલીમાં કોઈ નબળાઈ નથી. ખાસ કરીને ઉષ્માયાંત્રિકીનો બીજો નિયમ હજુ પણ અડીખમ છે. ભાવિ બહિર્વેશન દર્શાવે છે કે ભૌતિક વિશ્વ એક દિવસે વૈવિધ્યશૂન્ય બની રહેશે, વાસ્તવિક રીતે તે તેનો અંત હશે. વિજ્ઞાનની વર્તમાન વિભાવનાઓમાં રહેલી નબળાઈ સમજવા માટે ભૂતકાલીન બહિર્વેશન તરફ જવું પડે. અલૌકિક રીતે જોવામાં ન આવે તો વિશ્વનો આરંભ આજનું સંકટ છે. સમસ્યાઓનો પ્રામાણિકપણે સામનો કરવામાં ન આવે તો તેમનો ઢગ થાય છે. તેમને પાછળ ને પાછળ ધકેલતાં મોટો ડુંગર થાય છે જેના ઉપર આરોહણ અશક્ય બને છે. કદાચ આ અંતરાય- (ડુંગર)ને આપણે વિશ્વનો પ્રારંભ (beginning) કહેવો પડે.

વિજ્ઞાનને પોતાનું કારખાનું (workshop) તેમજ પોતાનો પ્રદર્શન-કક્ષ (show-room) હોય છે. લોકોને પ્રદર્શન-કક્ષથી સંતોષ નથી પણ તેમને તો કારખાનામાં શું ચાલે છે તેમાં રસ છે. કારખાનામાં પ્રવેશ મળે છે પણ પ્રદર્શન-કક્ષના પ્રમાણથી તેને (ઉત્પાદોને) જોવા અને ન્યાયયુક્ત ઠરાવવા ન આવે. કારખાનાના ભોંયરામાં વિજ્ઞાનનું નિર્માણ થાય છે. ત્યાં અંધકાર હોય છે તેથી ગોથું પણ ખાઈ જવાય. યંત્રો અંધકારથી ઢંકાયેલાં હોય છે.

વિજ્ઞાનમાં તૈયાર સિદ્ધાંત પ્રદર્શન-કક્ષ જેવો છે. પણ દૂરના તારાવિશ્વોના પ્રકાશનું રતાશ પડતું થવું, ગોલીય અવકાશ માટેની કલ્પનાઓ, તેમાં અભિપ્રેત થતા સિદ્ધાંતો, કેટલાક કુદરતી અચળાંકો  આ બધાં મળીને એક દૃષ્ટિ રચે છે. આ બધામાં વચ્ચે-વચ્ચે પરિવર્તનો આવતાં રહે. પણ આપણે તો સારાંશ ઉપર જ ધ્યાન કેન્દ્રિત કરવાનું રહે છે. લાંબા સાંકડા રસ્તા ઉપર જતાં અંત:ચક્ષુ સામે અનેક ઘટનાઓનો ચિત્રપટ દેખાય છે તે સાથે વિસ્તરતા વિશ્વની કડીઓ ભેગી થતી જાય છે. પરિણામે ભવિષ્યમાં વિસ્તરતા વિશ્વનો સારો એવો તાગ મળશે. વિશ્વના વિસ્તરણનાં તારણોને નીચે પ્રમાણે ગણિતીય પરિભાષામાં વ્યક્ત કરાય છે.

રૉબર્ટસન-વૉકર રેખાખંડ(line-element)માં વિધેય R(t)નો સમાવેશ થાય છે તે સમયનું કોઈ પણ વિધેય છે. આ વિધેય માત્ર અચળાંક નથી. રેખાખંડને જ્યારે ગુરુત્વના વાજબી ભૌતિક સિદ્ધાંત સાથે જોડી દેવામાં આવે તો R એ સમય-આધારિત વિધેય જોવા મળે છે; જેમ કે, આઇન્સ્ટાઇનનું ક્ષેત્ર-સમીકરણમાં R સમય-આધારિત છે. આમાંથી એવું ફલિત થાય છે કે R(t) પદને કારણે વિશ્વ સ્થાયી નથી. એટલે કે રેખાખંડ (dl) સમય સાથે બદલાય છે. મતલબ કે બે તારાવિશ્વો વચ્ચેનું અંતર સમય સાથે બદલાય છે. આથી સંવૃત વિશ્વનું કદ પણ સમય સાથે બદલાય છે, જ્યારે બીજાં બળો ન હોય અને માત્ર ગુરુત્વ-બળ મોજૂદ હોય તો સ્થાયી વિશ્વ શક્ય નથી. કાં તે ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે વિશ્વ સંકોચાય અથવા તો તેની વિરુદ્ધ વિસ્તરે છે. વિશ્વ સંકોચાશે કે વિસ્તરશે તેનો બધો જ આધાર પ્રારંભિક શરતો (initial conditions) ઉપર રહે છે, શું બનશે તે માત્ર સિદ્ધાંતમાંથી તારવી શકાય નહિ.

જે ઘટનાની વાત અહીં કરવામાં આવે છે તે બૃહદ-માપક્રમ ઉપર બને છે, જ્યારે વિશ્વ સમાંગ (homogeneous) હોય ત્યારે ટૂંકા અંતરો માટે આ ઘટનાઓ બનતી નથી; જેમ કે, તારાવિશ્વમાં સમય સાથેના ફેરફાર મળતા નથી. હબ્બલે અભિરક્ત વિસ્થાપન પ્રાચલ (Z) અને અંતર (l) વચ્ચે રેખીય સંબંધ શોધી કાઢ્યો. પશ્ચસરણ ગતિ ઓછી હોવાને લીધે બિન-સાપેક્ષીય ડૉપ્લર-વિસ્થાપન સૂત્ર Z = Vr લગભગ સાચું ઠરે છે; જ્યાં Vr પશ્ચસરણ-વેગ છે. હબ્બલ પ્રમાણે

Vr ≡ Z = Hl થાય છે.

H = (50.3 ± 4.3) કિમી/સેકન્ડ/મેપા. મૂલ્ય સ્વીકાર્ય છે. નિહારિકાની પશ્ચસરણ ગતિથી વિશ્વ વિસ્તરતું તે અવલોકાયું છે; સાથે સાથે અસ્થાયી વિશ્વની આગાહી સાથે પણ સુસંગત છે.

ત્રિજ્યાવર્તી યામ Ψ₁ના લઘુમૂલ્ય માટે

આ રીતે રોબર્ટસન-વૉકર રેખાખંડ લઘુ-અભિરક્ત વિસ્થાપન માટે હબ્બલના નિયમની આગાહી કરે છે. જ્યારે અભિરક્ત વિસ્થાપન નાનું ન હોય તો હબ્બલનો નિયમ રેખીય રહેતો નથી. અંતે અભિરક્ત વિસ્થાપન અને અંતરનો સંબંધ નીચે પ્રમાણે મળે છે :

આ રીતે અવલોકિત અભિરક્ત વિસ્થાપનથી પ્રાચલો H ને q નક્કી કરવાનું શક્ય બને છે અને ત્યારબાદ વિધેય R(t) નક્કી થાય છે.

પ્રહલાદ છ. પટેલ