વિશ્લેષણ (ગાણિતિક)

વિશ્લેષણ (ગાણિતિક)

1. સંખ્યાત્મક (numerical)

ગાણિતિક સમસ્યાઓનો સંખ્યાત્મક ઉકેલ શોધવા અંગેની પદ્ધતિઓ સાથે સંકળાયેલી ગણિતની શાખા. એમાં ખાસ કરીને એવી સમસ્યાઓ આવે છે, જેમનો વૈશ્લેષિક ઉકેલ અસ્તિત્વ ધરાવતો ન હોય કે સરળતાથી ઉપલબ્ધ ન હોય. વળી હાલમાં વપરાતી ઘણી રીતો ખાસ કરીને અંતર્વેશન (interpolation), પુનરાવૃત્તિ (interation) અને પરિમિત તફાવત (finite differences) જેવાં સંખ્યાત્મક વિશ્લેષણનાં અંગો પર આધાર રાખે છે. સંખ્યાત્મક વિશ્લેષણનો વિશિષ્ટ વિનિયોગ સંખ્યાત્મક વિકલનમાં થાય છે, જે અંતર્વેશન સાથે સંકળાયેલ છે. વળી સમલંબનો નિયમ (trapezoidal rule), સિમ્પ્સનનો નિયમ અને ન્યૂટનના નિયમનો ઉપયોગ કરી મેળવવામાં આવતા સંખ્યાત્મક સંકલનમાં, પુનરાવર્તન-(iteraction)થી મેળવવામાં આવતા સંખ્યાત્મક સમીકરણના ઉકેલમાં, સંકલ સમીકરણનો સંખ્યાત્મક ઉકેલ શોધતી વખતે ઇષ્ટતમીકરણ(optimization)નો ઉપયોગ કરવામાં, સંનિકટન(approximation)ને પરિણામે ઊભી થતી ક્ષતિ સાથે સંખ્યાત્મક વિશ્લેષણ સંકળાયેલું છે. દા.ત., કોઈ જટિલ વિધેયને બદલે તેનું સરળ સ્વરૂપ લેવામાં આવે ત્યારે સંનિકટનને કારણે ઊભી થતી ક્ષતિ અથવા ટેયલરની શ્રેઢીથી મળતા વિધેયના વિસ્તરણમાં અમુક પદ સુધીનું સંનિકટન લઈએ ત્યારે ઊભી થતી ક્ષતિ કે રુંડિત ક્ષતિ (truncated error) સાથે સંખ્યાત્મક વિશ્લેષણનું શુદ્ધ ગાણિતિક સ્વરૂપ સંકળાયેલું છે.

સંખ્યાત્મક વિશ્લેષણની રીતો કોઈ પણ પ્રશ્નનો ગણનયંત્ર દ્વારા ઉકેલ મેળવવામાં ઉપયોગી છે. તદુપરાંત કોષ્ઠાંકિત વિધેયોની કોઈ એક બિંદુ આગળ સન્નિકટ કિંમતો મેળવવા માટે પણ સંખ્યાત્મક વિશ્લેષણ ઉપયોગી છે. વળી ઇજનેરી તેમજ અન્ય વિજ્ઞાનશાખાઓમાં ઘણી વાર આપણને એવાં સમીકરણો મળે છે કે જેમના ઉકેલ બૈજિક અથવા વૈશ્લેષિક રીતે મેળવી ન શકાય. આવાં સમીકરણોના ઉકેલ માટે સંખ્યાત્મક રીતોનો ઉપયોગ થાય છે. સંખ્યાત્મક વિશ્લેષણના સિદ્ધાંતો પરિમિત અંતરોના કલનશાસ્ત્ર ઉપર આધારિત છે. પ્રથમ કેટલીક જરૂરી વ્યાખ્યાઓની ચર્ચા પ્રસ્તુત છે. ધારો કે વિધેયf(x)ની કિંમતો x = x₀, x₁, ……….., x_n માટે જ્ઞાત છે. ધારો કે આ કિંમતો અનુક્રમે y₀, y₁, y₂, ….., y_n છે. વળી x_{i + 1} – x_i = h છે, જ્યાં i = 0, 1, 2, ……., n – 1 છે. y_i ના પ્રથમ અવરોહી અંતરકારક અથવા પ્રગતાન્તરકારક Δની વ્યાખ્યા Δy_i = _yi+1 – y_i છે. તેવી જ રીતે yiના દ્વિતીય અંતર Δ² ની વ્યાખ્યા Δ₂y_i = Δy_i+1 – Δy_i છે. આમ Δ^ky_i = Δ^k–1(y_i+1) – Δ^k—1(y_i) થાય. સાંકેતિક કારક Eની વ્યાખ્યા Ef(x) = f(x + h) દ્વારા આપવામાં આવે છે. તેવી જ રીતે y_iના પ્રથમ આરોહી અંતરકારક ય્ની વ્યાખ્યા ∇y_i = y_i – y_{i – 1} છે. આ રીતે વધારે કક્ષા માટે આરોહી અંતરકારકો પણ વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય. ∇^ky_i = ∇^k–1y_i+½ – ∇^{k–1 –}y_i–1 છે. y_iના પ્રથમ મધ્ય અંતરકારક dની વ્યાખ્યા dy_i = y_i+½ – y_i–½ છે ઉચ્ચ કક્ષાના મધ્ય અંતરકારકોની વ્યાખ્યા δ^ky_i = δ^k–1y_i+1/2 – δ^k–1y_i–½ દ્વારા અપાય છે. સરળતાથી જોઈ શકાશે કે Δ = E–1, ∇ = 1 – E^–1 અને d = E^1/2 – E^–1/2. મધ્યક કારક mની વ્યાખ્યા સમીકરણ m = 1/2 (E^1/2 + E^–1/2) દ્વારા આપવામાં આવે છે.

જો વિધેય f(x)ની કિંમતો x = x₀, x₁, x₂, …., x_n માટે જ્ઞાત હોય, તો અંતરાલ (x₀, x_n)માંની xની બીજી કિંમત માટે f(x)ની કિંમત શોધવાની પદ્ધતિને અંતર્વેશન કહેવાય છે અને અંતરાલ (x_o, x_n) બહારની xની કિંમત માટે f(x)ની કિંમત શોધવાની પદ્ધતિને બહિર્વેશન કહેવાય છે.

અંતર્વેશન માટેનાં કેટલાંક સૂત્રો અહીં આપ્યાં છે :

ધારો કે વિધેય f(x)ની કિંમતો x = x₀, x₁, ….., x_n માટે અનુક્રમે y₀, y₁, y₂,….., y_n છે; પરંતુ xની કિંમતો સરખા અંતરે આવેલી નથી. તેથી ઉપર્યુક્ત સૂત્રોનો ઉપયોગ થઈ શકે નહિ. તે માટે અહીં આપેલા સૂત્રનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે.

(3) લાગ્રાન્જનું અંતર્વેશન સૂત્ર

સૂત્રો (1) અને (2) કોષ્ઠાંકિત કિંમતોની અનુક્રમે શરૂઆત અને અંતમાં અંતર્વેશન કરવા માટે વપરાય છે. તેવી જ રીતે કારકો d અને mની મદદથી કોષ્ઠાંકિત કિંમતોના મધ્યમાંના અંતરાલની કોઈ કિંમત માટે અંતર્વેશન કરવા માટેનાં સૂત્રો પણ મેળવી શકાય છે.

ધારો કે કોઈ વિધેયની કિંમતોનો ગણ આપવામાં આવેલ છે. આપેલ નિરપેક્ષ ચલ આગળ આ વિધેયના વિકલનફળ અથવા વિકલનફળો શોધવાની રીતોને સંખ્યાત્મક વિકલન કહેવાય છે. આ માટે આપેલા વિધેયને, કોઈ અંતર્વેશન સૂત્રની મદદથી બહુપદીના સન્નિકટ તરીકે લેવાય છે અને તે બહુપદીનું જે કક્ષાનું વિકલનફળ જરૂરી હોય ત્યાં સુધી વિકલન લેવું પડે છે. જો નિરપેક્ષ ચલની કિંમતો સરખા ગાળામાં વિસ્તરેલ હોય, તો સૂત્ર (1) અને સૂત્ર (2)ની મદદથી વિધેયનાં વિકલનફળો શોધી શકાય છે. ધારો કે કોષ્ઠાંકિત વિધેય f(x)નાં કોષ્ઠાંકિત કિંમતોની શરૂઆતની કિંમત માટે f(x)નાં વિકલનફળો શોધવાં છે. સૂત્ર (1)નું વારંવાર વિકલન કરવાથી તારવી શકાશે કે

તેવી જ રીતે વધારે કક્ષાનાં વિકલનફળો પણ શોધી શકાય છે. અહીં (‘) ડેશ x પ્રત્યે વિકલન દર્શાવે છે.

જો નિરપેક્ષ ચલની કિંમતો સમાન ગાળાએ વિસ્તરેલ ન હોય, તો અસમાન અંતરાલો માટેના કોઈ અંતર્વેશન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને વિધેયનાં સંખ્યાત્મક વિકલનફળો શોધી શકાય છે. સંખ્યાત્મક વિકલનની વધારે ચર્ચા અહીં શક્ય નથી.

સંકલ્યની આપેલી કિંમતોના ગણ ઉપરથી આપેલા અંતરાલમાં તેના નિયત સંકલની સંખ્યાત્મક કિંમત શોધવાની રીતને સંખ્યાત્મક સંકલન કહેવાય છે. અહીં પણ સંકલ્યનું યોગ્ય અંતર્વેશન સૂત્રની મદદથી બહુપદીમાં સન્નિકટન કરવામાં આવે છે અને આપેલ સીમાઓ વચ્ચે આ બહુપદીનું સંકલન કરવામાં આવે છે.

નિયત સંકલ સંખ્યાત્મક કિંમત શોધવાની છે; જ્યાં x = x₀, x₁, ….., x_n માટે y₀, y₁, y₂,….., y_n છે. અંતરાલ (a,b)ની x સમાન ભાગમાં વિભાજિત કરવાની રહેશે. x₀ = a, x₁ = x₀ + h, x₂ = x₀ + 2h, ……, x_n = x₀ + nh = b.

આમ છે. y માટે ન્યૂટનગ્રેગરી અંતર્વેશન સૂત્ર (1)નો ઉપયોગ કરીને તારવી શકાશે કે

ઉપર્યુક્ત સૂત્રને વ્યાપક ક્ષેત્રફલન સૂત્ર કહેવાય છે. આ સૂત્રમાં n = 1, 2, 3, …… મૂકવાથી સંખ્યાત્મક સંકલન માટેનાં કેટલાંક જાણીતાં સૂત્રો મેળવી શકાય છે.

સમલંબૅંકનો નિયમ :

સંખ્યાત્મક વિશ્લેષણની મદદથી કેટલાંક વિશિષ્ટ પ્રકારનાં સમીકરણોના સન્નિકટ ઉકેલો મેળવી શકાય છે. આવી કેટલીક સંખ્યાત્મક રીતો નીચે વર્ણવેલી છે.

ન્યૂટન-રાફસનની રીત :

જો x₁ એ સમીકરણ f(x) = 0ના બીજની લગભગ કિંમત હોય અને x₁ + h એ f(x) = 0નું બીજ હોય, તો ટેઇલરના વિસ્તરણની મદદથી જોઈ શકાશે કે hની લગભગ કિંમત   એ f(x)નું x પ્રત્યે વિકલન છે. આમ એ સમીકરણ f(x) = 0 ના બીજની લગભગ કિંમત છે. તેવી જ રીતે   કરતાં વધારે ચોકસાઈવાળું f (x) = 0નું બીજ છે. વ્યાપક રીતે ઉપયોગથી જોઈતી ચોકસાઈવાળું બીજ મેળવી શકાય છે.

મિથ્યાસ્થાનની રીત : (method of false position)

સમીકરણ f(x) = 0ના વાસ્તવિક બીજની લગભગ કિંમત શોધવાની આ જૂનામાં જૂની રીત છે. ધારો કે x0 અને x1 અને xની એવી કિંમતો છે કે જેથી x₀ < x₁ અને f(x₀) અને f(x₁) વિરુદ્ધ ચિહ્નના છે. તેથી y = f(x)નો આલેખ x₀ અને x₁ વચ્ચેની કોઈક xની કિંમત માટે x-અક્ષને છેદશે. આ છેદબિંદુ એક f(x) = 0નું બીજ છે.  આ હકીકતના ઉપયોગથી તારવી શકાશે કે f(x) = 0ના બીજની લગભગ 

હવે જો f(x₂) અને f(x₀) વિરુદ્ધ ચિહ્નના હોય, તો ઉપર્યુક્ત સૂત્રમાં x₁ની જગ્યાએ x₂ મૂકીને f(x) = 0નું વધારે ચોકસાઈવાળું બીજ x₃  મેળવી શકાય છે. જો f(x₀) અને f(x₂) એક જ ચિહ્નના હોય, તો x₀ને બદલે x₂ લઈને આગળ વધી શકાય છે.

બૈજિક સમીકરણોના બીજની લગભગ કિંમતો શોધવા માટેની અન્ય રીતો પણ છે. જગ્યાના અભાવે તેમની ચર્ચા કરીશું નહિ.

ઇજનેરી તેમજ વિજ્ઞાનની અન્ય શાખાઓના ઘણા કોયડાઓ વિકલ સમીકરણોના ઉકેલ મેળવવાથી હલ કરી શકાય છે. વિકલ સમીકરણો ઉકેલવાની કેટલીક વૈશ્લેષિક રીતો વિદિત છે; પરંતુ ઘણા કોયડાઓમાં આવતાં વિકલ સમીકરણો વૈશ્લેષિક રીતે ઉકેલી શકાતાં નથી. આ સંજોગોમાં વિકલ સમીકરણોના સંખ્યાત્મક ઉકેલો મેળવવા પડે છે.

વિકલ સમીકરણ  લો, જ્યાં પ્રારંભિક પ્રતિબંધ x = x₀ ત્યારે y = y₀ છે. આ સમીકરણ ઉકેલવાની કેટલીક સંખ્યાત્મક રીતો જોવાની રહે છે.

(1) ક્રમિક સન્નિકટનની પિકાર્ડની રીત :

આ રીતમાં પ્રથમ સન્નિકટન માટે f(x, y)માં yની જગ્યાએ y₀ મુકાય છે, બીજા સન્નિકટન માટે yને બદલે પ્રથમ સન્નિકટન મુકાય છે અને આમ વારંવાર કરતાં yની સન્નિકટન કિંમતો નીચે મુજબ મળે છે :

nમું સન્નિકટન વાસ્તવમાં, જ્યારે yn1 અને yn પૂરતા પ્રમાણમાં એટલે કે ઇચ્છિત ચોકસાઈની માત્રામાં, સમાન મળે ત્યારે આ પ્રક્રિયા અટકાવી દેવામાં આવે છે.

અહીં નોંધવું જોઈએ કે ઉપર્યુક્ત સન્નિકટનોમાં આવતા સંકલો મેળવવામાં મુશ્કેલી ઊભી ન થતી હોય તો જ પિકાર્ડની રીતનો ઉપયોગ કરવો જોઈએ. આ રીત સંખ્યાત્મક રીત નથી.

(2) ટેઇલરની રીત :

વિધેય y(x)નું બિંદુ (x₀, y₀)ના સાંનિધ્યમાં ટેઇલર વિસ્તરણ કરતાં શ્રેઢી

y’, y”, y”’, …..માં x = x₀ અને y = y₀ મૂકીને આ કિંમતો ઉપર્યુક્ત શ્રેઢીમાં મૂકતાં વિધેય y(x), (x − x₀)ની ઘાતશ્રેઢીના સ્વરૂપમાં પ્રાપ્ત થાય છે. આ શ્રેઢીમાં કેટલાં પદ લેવાં તે ઇચ્છિત ચોકસાઈની માત્રા પર આધાર રાખે છે.

(3) ઓઇલરની રીત :

આ રીતમાં વિકલ સમીકરણ   ઉકેલ y(x)ને ખૂબ જ નાની સુરેખાઓની શ્રેણી વડે લેખવામાં આવે છે. ધારો કે x₀,  x₀  + h = x₁, x₀ + 2h = x₂ ,…….. સરખા ગાળે આવેલી xની કિંમતો છે. તેમને અનુરૂપ y(x)નાં સન્નિકટ મૂલ્યો અનુક્રમે y₀, y₁, y₂, ….. છે. અહીં સહેલાઈથી જોઈ શકાશે કે

y₁ = y₀ + hf (x₀, y₀)

y₂ = y₁ + hf (x₁, y₁)

y₃ = y₂ + hf (x₂, y₂)

…………………………………..

…………………………………..

y_n+1 = y_n + hf(x_n, y_n).

જો hની કિંમત નાની હોય, તો ઉપર્યુક્ત રીત ધીમી છે અને જો hની કિંમત મોટી હોય, તો આ રીતથી મળતાં પરિણામ અચોક્કસ હોય છે. h ઉપરનાં આવાં બંધનોને કારણે આ રીત વ્યવહારુ નથી.

(4) ઓઇલરની સંશોધિત રીત :

ધારો કે x₀, x₁ = x₀ + h, x₂ = x₀ + 2h, …… સરખા ગાળે આવેલી xની કિંમતો છે. તેમને અનુરૂપ વિકલ સમીકરણ  f(x, y)ના ઉકેલ y = y(x)ના સન્નિકટ મૂલ્યો અનુક્રમે y₀, y₁, y₂, ….. છે. આ રીતમાં ઉપર્યુક્ત સન્નિકટ મૂલ્યોને વ્યાપક સૂત્ર

વડે આપવામાં આવે છે; જ્યાં i = 0, 1, 2, ……. જ્યાં સુધી y_i+1માં કોઈ ચોક્કસ ફેરફાર ન આવે ત્યાં સુધી આ રીતને વારંવાર વાપરી શકાય છે. પ્રથમ yi ઓઇલરની રીતે મેળવવામાં આવે છે. પછી તેવી કિંમત ઉપર્યુક્ત સમીકરણમાં મૂકવામાં આવે છે. ઓઇલરની રીત કરતાં આ સંશોધિત રીત વધારે ચોકસાઈવાળાં પરિણામ આપે છે.

આ ઉપરાંત સમીકરણ  f(x, y), જ્યારે x = x₀ ત્યારે y = y₀, ના સંખ્યાત્મક ઉકેલ માટેની રંગે-કુત્તાની રીતો પણ સાહિત્યમાં ઉપલબ્ધ છે.

લીલાભાઈ ખે. પટેલ

2. સંકર ચલનાં વિધેયો(complex) :

સંકર સંખ્યાઓનો ગણ C પણ વાસ્તવિક સંખ્યાગણ Rની જેમ જ એક ક્ષેત્ર (field) અને એક સ્થાનાવકાશ (topological space) છે. Rમાં પાયાના વિવૃત (open) ગણો જેમ વિવૃત અંતરાલો છે, તેમ Cમાં પાયાના વિવૃત ગણો વિવૃત ચક્રિકાઓ (discs) છે. કોઈ પણ સંકર સંખ્યા z0 અને કોઈ પણ ધનસંખ્યા r માટે ગણ{z || z − z₀ |< r} એક વિવૃત ચક્રિકા છે. C ક્ષેત્ર અને સ્થાનાવકાશ હોવાથી સંકર ચલનાં વિધેયોનાં સાતત્ય અને વિકલનની વ્યાખ્યા Rની જેમ જ આપી શકાય છે.

વૈશ્લેષિક વિધેયો :

Cના કોઈ પણ વિવૃત સંબદ્ધ (connected) ઉપગણને પ્રદેશ (region) કહે છે. સંકર વિશ્લેષણમાં કેવળ વિકલનીય જ નહિ પણ વૈશ્લેષિક (analytic) પણ હોય તેવાં વિધેયોનું ઘણું મહત્વ છે. આ વિષયના ઇતિહાસમાં વૈશ્લેષિક વિધેયની વ્યાખ્યા અનેક રીતે અપાઈ છે.

1825માં કોશીએ એવી વ્યાખ્યા આપી હતી કે પ્રદેશ Rમાં વ્યાખ્યાયિત વિધેય f જો Rમાંના દરેક બિંદુએ વિકલનીય હોય તો તે Rમાં વૈશ્લેષિક છે તેમ કહેવાય. જો f(z)માં z = x + iy મૂકતાં f(z) = u (x, y) + i n (x, y) મળે તો વૈશ્લેષિક વિધેય f માટે u અને n કોશી-રીમાન્ન સમીકરણો u_x = n_y, u_y =  n_xનું સમાધાન કરે તથા u અને n પ્રસંવાદી (harmonic) વિધેયો હોય એટલે કે u_xx + u_yy = 0 = v_xx + v_yy,

વાઇરસ્ટ્રાસે અંતતોગત્વા ઘાતશ્રેઢીઓ (power series) જ વૈશ્લેષિક વિધેયો છે તેવી રજૂઆત કરી. દરેક ઘાતશ્રેઢી પોતાની અભિસાર ચક્રિકામાં વૈશ્લેષિક છે અને જો જુદા જુદા પ્રદેશોમાં જુદી જુદી ઘાતશ્રેઢીઓ એવી હોય કે આ પ્રદેશો એકબીજાને આચ્છાદે (overlapping) એવી તેમની હારમાળા કરી શકાય અને બે પ્રદેશોના કોઈ પણ સામાન્ય બિંદુએ ઘાતશ્રેઢીઓના સરવાળા સરખા થતા હોય તો એ બધા પ્રદેશોના યોગ પર એક વૈશ્લેષિક વિધેય મળે અને એ વિધેયનું નિરૂપણ જુદા જુદા સ્થાને જુદી જુદી ઘાતશ્રેઢીઓ દ્વારા થાય. ઘાતશ્રેઢીઓના આ અભિગમનો લાભ એ છે કે એ સાબિત કરવું સરળ છે કે ઘાતશ્રેઢીનું વિકલન પદદીઠ (termwise) થઈ શકે છે અને જવાબમાં એ જ અભિસાર ચક્રિકાવાળી ઘાતશ્રેઢી મળે છે. આમ જો f પ્રદેશ Rમાં વૈશ્લેષિક હોય તો તેને Rના દરેક બિંદુએ ફાવે તેટલી વાર વિકલિત કરી શકાય છે. જો કોઈ વિધેયનું નિરૂપણ એકથી વધુ ઘાતશ્રેઢી દ્વારા થાય તો તે દરેક ઘાતશ્રેઢી એકબીજાનો વૈશ્લેષિક વિસ્તાર (analytic continuation) કહેવાય;

દા.ત., 1 + z + z² + z³ + ….. એ ઘાત શ્રેઢી | z | < 1 માં વિધેય  નું નિરૂપણ કરે છે તે જાણીતું છે. ઉપરની શ્રેઢી z = 2i માટે અભિસારી નહિ થાય, પણ શ્રેઢી

માટે અભિસારી છે. વળી આ નવા પ્રદેશ એ શ્રેઢીનો સરવાળો

જ થશે. આમ આ બીજી શ્રેઢી તે  વિધેયનો જ | z | < 1ની બહારના કેટલાક ભાગમાં (દા. ત., z = 2i આગળ) વૈશ્લેષિક વિસ્તાર કરે છે.

સંકલન : સંકર ચલના વિધેયના સંકલનની વ્યાખ્યા વાસ્તવિક ચલના વિધેયના સંકલન પર આધાર રાખે છે. R પરના વિધેયનું સંકલન અંતરાલ પર થાય છે, તેમ C પરના વિધેયનું સંકલન વક્રો પર થાય છે. આ માટે વક્રના પ્રચલ સમીકરણનો ઉપયોગ થાય છે. ધારો કે વક્ર Cનું પ્રચલ સમીકરણ (z = x + iy) x = u(t), y = n (t), a ≤ t ≤ b છે. જો વિધેય f માટે વાસ્તવિક સંકલ

અસ્તિત્વ હોય તો તે સંકર સંકલ છે તેવી વ્યાખ્યા છે. આ સંકલ પસંદ કરેલા પ્રચલ સમીકરણ પર આધાર નથી રાખતો તેમ સાબિત કરી શકાય છે. જો f, C પર વૈશ્લેષિક હોય અને C ચાપકલનીય (rectifiable) હોય તો f, C પર સંકલનીય હોય છે.

સંકલનનું મૂળભૂત પ્રમેય એ છે કે જો f પ્રદેશ Rમાં બધે વૈશ્લેષિક હોય અને C, Rમાંનો કોઈ સરળ બંધ વક્ર હોય તો

આ પ્રમેય કોશીના પ્રમેય તરીકે જાણીતું છે. આ મૂળભૂત પ્રમેયનું એક સુંદર પરિણામ એ છે કે જો f સરળ બંધ વક્ર Cની ઉપર અને અંદર બધે વૈશ્લેષિક હોય તો C પરનાં fનાં મૂલ્યો વડે જ Cની અંદરના દરેક બિંદુએ fનું મૂલ્ય નિર્ધારિત થઈ જાય છે. આ હકીકત દર્શાવતા પ્રમેયને કોશીનું સંકલન સૂત્ર કહે છે. તે આ પ્રમાણે છે.

ધારો કે f Cની ઉપર અને અંદર સર્વત્ર વૈશ્લેષિક હોય અને જો α Cની અંદરના ભાગમાં આવેલું કોઈ પણ બિંદુ હોય તો

આ સૂત્રથી શરૂ કરીને પણ એ દર્શાવી શકાય છે કે fનું વિકલન ગમે તેટલી વાર થઈ શકે છે અને દરેક કક્ષાનો વિકલિત પોેતે પણ એક સંકલ છે. ખરેખર ઘાતશ્રેઢીમાં નિરૂપણ લેવાથી વૈશ્લેષિક વિધેય fને ઘાતશ્રેઢી રૂપે વ્યક્ત કરી શકાય છે અને એમ કોશી અને વાઇરસ્ટ્રાસના અભિગમો વચ્ચેની કડી રૂપે ટેઇલરનું પ્રમેય મળે છે. એ પ્રમેય કહે છે કે જો f(z) z = α આગળ વૈશ્લેષિક હોય તો aના કોઈક સામીપ્યમાંના દરેક z માટે

સરળ બંધ વક્ર C પર વૈશ્લેષિક હોય તેવા વિધેયનો C પરનો સંકલ શોધવા માટે Cની અંદરના ભાગમાં fનાં વિશિષ્ટ બિંદુઓ (singularities) શોધવાનાં હોય છે. આવા દરેક બિંદુએ fનો અવશેષ (residue) શોધી તે બધા અવશેષોના સરવાળાને 2pi વડે ભાગવાથી fનો C પરનો સંકલ મળે છે. અવશેષ શોધવા માટે fનું લૉરેન્ટ્ઝ-વિસ્તરણ શોધવાનું હોય છે.

વૈશ્લેષિક વિધેયોનો એક મહત્વનો ગુણધર્મ એ છે કે આવું વિધેય વિવૃત ગણનું રૂપાંતર વિવૃત ગણમાં જ કરે છે. આ ગુણધર્મને રીમાન્નનું વિવૃત વિધેય પ્રમેય (open mapping theorem) કહે છે. આ પ્રમેયના ઉપયોગથી વૈશ્લેષિક વિધેયોનો એક બીજો મહત્વનો ગુણધર્મ મહત્તમ માનાંક પ્રમેય (maximum modulus theorem) મળે છે. આ પ્રમેય કહે છે કે જો વિધેય f સંવૃત પ્રદેશ R પર વૈશ્લેષિક હોય અને f અચળ ન હોય, તો Rમાં | f(z) |નું મહત્તમ મૂલ્ય Rની સીમા પર જ મળશે અને નહિ કે તેની અંદરના કોઈ બિંદુએ.

પૂર્ણ (Entire) વિધેય : જે વિધેય આખા સમતલમાં વૈશ્લેષિક હોય તેને પૂર્ણ વિધેય કહે છે. અચળ વિધેયો અને બહુપદી વિધેયો પૂર્ણ છે, ઘાત વિધેય ez એ શૂન્યો વગરના પૂર્ણ વિધેયનું એક દૃષ્ટાંત છે. શૂન્યો વગરના કે આપેલ શૂન્યોવાળા પૂર્ણ વિધેયોનું વ્યાપક સ્વરૂપ વાયર્સ્ટ્રાસે આપ્યું હતું. જો કોઈ પૂર્ણ વિધેય સીમાબદ્ધ (bounded) હોય તો તે અચળ જ હોય એવું લ્યુવિલનું પ્રમેય છે. આ પ્રમેયના ઉપયોગથી બીજગણિતના મૂળભૂત પ્રમેયની એક સરળ સાબિતી મળે છે. (જુઓ : મૂળભૂત પ્રમેયો.)

સમકોણ (conformal) વિધેયો : પૃથ્વી પરના પ્રદેશોના નકશાઓ એ ખરેખર તો પૃથ્વીના ગોલકની સપાટીથી કાગળ પરનું વિધેય છે. મૂળ સ્થળોનાં અંતરો જાળવી રાખી નકશા તૈયાર કરવાનું કામ પૃથ્વીના ગોળાકારને કારણે અશક્ય બને છે; આથી આખી  દુનિયાના નકશામાં ઉત્તર ધ્રુવ કે દક્ષિણ ધ્રુવ નજીકના દેશોના આકારો જાળવવા જતાં અંતરો બદલાઈ જાય છે અને અંતરો જાળવવા જતાં આકારો બદલાઈ જાય છે; પરંતુ આપેલ સ્થળની નજીકના પ્રદેશનો નકશો એવો દોરી શકાય છે કે તેમાં આવેલા ભૌગોલિક પદાર્થોના આકાર – એટલે કે ખૂણા અને દિશાઓ જાળવી શકાય છે. જે વિધેયો ખૂણાઓ જેમના તેમ રાખે છે તેમને સમકોણ વિધેયો કહે છે. વૈશ્લેષિક વિધેય f દરેક બિંદુએ સમકોણ હોતું નથી, પણ જે બિંદુ α એ f'(α) ≠ 0 હોય તે બિંદુએ f સમકોણ હોય છે.

જો સંકર સમતલનો D એક ઉચિત ઉપપ્રદેશ હોય તો D તે એકમ ચક્રિકા | z | < 1 સાથે સમરૂપ (homeomorphic) છે. આ સમરૂપતા એવી રીતે પસંદ કરી શકાય કે તે (તથા તેનું પ્રતિવિધેય) વૈશ્લેષિક હોય, સમકોણ હોય, Dના આપેલા બિંદુનું પ્રતિબિંબ ચક્રિકાનું કેન્દ્ર થાય અને આપેલા બિંદુએ આપેલી કોઈ દિશાનું પ્રતિબિંબ X-અક્ષની ધન દિશા થાય. સમગ્ર સંકર સમતલ ⊄ પણ | z | < 1 સાથે સમરૂપ તો છે, પણ ઉપરના સમકોણ ગુણધર્મવાળી કોઈ સમરૂપતા નથી મળતી એવું લ્યુવિલનું પરિણામ છે.

ઉપયોગો : સંકર ચલનાં વિધેયોના વિશ્લેષણનો ઉપયોગ ગણિતમાં તો અનેક સ્થાને થાય છે. તે ઉપરાંત તેનો ઉપયોગ ભૌતિકવિજ્ઞાનમાં ચુંબકીય ક્ષેત્રના અભ્યાસમાં તથા દ્રવયાંત્રિકીમાં થાય છે. ગણિતમાં ઘણા અનિયત વાસ્તવિક સંકલોની ગણતરી અમુક સંકર ચલના યોગ્ય વક્ર પરના સંકલનથી સરળ બને છે. સંખ્યાશાસ્ત્રમાં અમુક સામાન્ય ગુણધર્મ વડે જેની વ્યાખ્યા અપાઈ હોય તેવી સંખ્યાઓના સર્જક વિધેય(generating function)ને સંકર વિધેય ગણી તેનું સંકલન કરી તે સંખ્યાઓ માટેનું સૂત્ર મેળવવાની એક પ્રચલિત પદ્ધતિ છે.

અરુણ મ. વૈદ્ય

3. વૈધેયિક (functional) :

ઈ. સ. 1920-30ના અરસામાં ગણિતીય વિશ્લેષણમાં શરૂ થયેલ અરૂપતાના ખ્યાલને કારણે ગણિતની આ શાખા(વિધેયાત્મક વિશ્લેષણ)નો ઉદ્ભવ થયો. વૉલ્તેર, ફ્રેકહોગ, હિલ્બર્ટ, ફ્રૅશેટ અને બનાખ જેવા ગણિતીઓએ આ શાખાના વિકાસમાં નોંધપાત્ર ફાળો આપ્યો છે. વિકલ સમીકરણો, નિશ્ચિત બિંદુનું પ્રમેય, ફૂરીએ શ્રેઢી, સંનિકટન પ્રમેય જેવી વિધિય શાખાઓમાં તેનો ઉપયોગ થયો છે. વળી વિશ્લેષણમાં સાબિત કરેલાં કેટલાંક પરિણામોની સરળ સાબિતીઓ આ શાખાના ઉપયોગથી મળે છે.

ભૌતિકશાસ્ત્રમાં અભિલક્ષણાત્મક મૂલ્ય સમસ્યા (eigen value problem), સીમાંત મૂલ્ય સમસ્યા (boundary value problem) જેવા પ્રશ્નોમાં આ શાખાનો અભ્યાસ ઉપયોગી છે. હિલ્બર્ટ અવકાશ પર અમુક ગુણધર્મો ધરાવતા સુરેખ વિધેયો, જેવાં કે ગુણાકાર-કારક (multiplication operator), વિકલ-કારક (differential operator), સંવેગ-કારક (momentum operator), ગતિક-કારક (kinetic operator), હેમિલ્ટોનિયન(Hamiltonion)-કારકના અભ્યાસને કારણે ક્વૉન્ટમ મિકેનિક્સના અભ્યાસમાં સરળતા આવી છે. સંભાવનાશાસ્ત્ર, ઇજનેરી, અર્થશાસ્ત્ર, ખેતી અને ઉદ્યોગમાં પણ આ શાખાનાં પરિણામો ઉપયોગી થયાં છે. અહીં બનાખ અવકાશ, હિલ્બર્ટ અવકાશ અને તેના પર વ્યાખ્યાયિત વિશિષ્ટ ગુણધર્મો ધરાવતા સુરેખ વિધેય પ્રસ્તુત કરેલાં છે. બનાખ અવકાશ દ્વિપરિમાણી અને ત્રિપરિમાણી ભૂમિતિમાં આવતા લંબાઈના ખ્યાલને અને હિલ્બર્ટ અવકાશ લંબાઈ તેમજ લંબત્વના ખ્યાલને વ્યાપક સ્વરૂપ આપે છે.

વાસ્તવિક / સંકર સુરેખ માનકિત અવકાશ (real / complex normed linear space) : ક્ષેત્ર F (વાસ્તવિક / સંકર) પરનો અવકાશ N છે. પ્રત્યેક સદિશ x સાથે અનન્ય વાસ્તવિક સંખ્યા ॥ x ॥ને સદિશ xનો માનક (norm) કહેવામાં આવે છે. જો

॥ x ॥ને નીચેના ગુણધર્મો સાથે સાંકળી શકાય તો Nને માનકિત સુરેખ અવકાશ (normed linear space) કહેવામાં આવે છે :

x, y  ∈ N અને α ∈ F માટે

(i) ॥ x ॥ ≥ 0 નથી જો ॥ x ॥ ≥ 0 હોય તો અને તો જ x = 0 એટલે કે શૂન્ય અવકાશ છે.

(ii) ॥ αx ॥ = | α | ॥ x ॥, અહીં | α | સદિશ αનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય દર્શાવે છે.

(iii) ॥ x + y ॥ ≤ ॥ x ॥ + ॥ y ॥ હોય તો

F = R/C માટે Nને વાસ્તવિક / સંકર માનકિત સુરેખ અવકાશ કહેવામાં આવે છે. ॥ x ॥ ને સદિશ xની લંબાઈ પણ કહેવામાં આવે છે.

બનાખ અવકાશ જો માનકિત અવકાશ Nમાં વિધેય d : N × N → Rને વ્યાખ્યા d (x, y) = ॥ x − y ॥, x, y ∈ Nથી વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે તો (N, d) માનાવકાશ બને છે. જો માનાવકાશ (metricspace) પૂર્ણ (complete) બને તો Nને બનાખ અવકાશ કહેવામાં આવે છે.

બનાખ અવકાશનાં ઉદાહરણો :

(i) સદિશ અવકાશ N = ⊄ⁿ/Rⁿ સંકર કે વાસ્તવિક n-ટુપલનો ગણ છે, જેમાં x = (a₁, a₂, ……, a_n) ∈ N માટે

॥ x ॥ = (| a₁ |² + | a₂ |² + …… + | a_n |²)½ લેતાં

અવકાશ N બનાખ અવકાશ બને છે.

(ii) સદિશ અવકાશ N = C [0, 1], સંવૃત અંતરાલ [0, 1] પર વ્યાખ્યાયિત સતત સંકર કે વાસ્તવિક વિધેયનો ગણ લઈએ તથા f(t) ∈ C [0, 1] માટે ॥ f ॥ = મહત્તમ { f(t)  / t ∈ [0,1]} લેતાં N બનાખ અવકાશ બને છે.

ધરાવે તો વિધેય < ; >ને અંત:ગુણન (inner product) કહેવામાં આવે છે અને Hને અંત:ગુણન અવકાશ (inner product space) કહેવામાં આવે છે.

હિલ્બર્ટ અવકાશ : અંત:ગુણન અવકાશ Hમાં સદિશ x માટે ॥ x ॥ = <x, x>^1/2 એ સદિશ xનો માનક (norm) બને છે. જો આ માનક નીચે અંત:ગુણન અવકાશ H એ બનાખ અવકાશ બને તો Hને હિલ્બર્ટ અવકાશ કહેવામાં આવે છે.

હિલ્બર્ટ અવકાશનાં ઉદાહરણ :

(3) સદિશ અવકાશ N = L² (0, 1) સંવૃત (closed) અંતરાલ [0, 1] પર વર્ગ સંકલનીય (square summable) હોય તેવાં બધાં જ સંકર કે વાસ્તવિક વિધેયોનો ગણ લઈએ તથા

સતત સુરેખ વિધેય :

N₁ તથા N₂ આપેલ માનકિત સદિશ અવકાશ છે.

વિધેય T : N₁ → N₂ નીચેના ગુણધર્મો ધરાવે છે :

(i) x, y ∈ N, તથા α, β ∈ ⊄ માટે

T (αx + βy) = α T(x) + β(y).

(ii) T પ્રત્યેક સદિશ x ∈ N₁ આગળ સતત છે એટલે કે માનાવકાશ N₁માં કોઈ પણ શ્રેણી હોય ત્યારે માનાવકાશ N₂માં T(x_n) → T(x) થાય. તો T ને N₁ થી N₂ પરનું સતત સુરેખ વિધેય (continuous linear transformation) કહેવામાં આવે છે.

સીમિત સુરેખ વિધેય : સુરેખ વિધેય T : N₁ → N₂ કોઈક વાસ્તવિક સંખ્યા M ≥ 0 માટે ॥ Tx ॥ ≤ M ॥ x ॥ x ∈ N₁ ગુણધર્મ ધરાવે તો વિધેયને સીમિત સુરેખ વિધેય (bounded linear transformation) કહેવામાં આવે છે. આપેલ માનકિત અવકાશ N માટે સુરેખ વિધેય T : N → Nને N પરનો કારક (operator) કહેવામાં આવે છે.

માનકિત અવકાશમાં સતત સુરેખ વિધેયનો ખ્યાલ, સીમિત સુરેખ વિધેયના ખ્યાલને સમકક્ષ બને છે.

વિધેયક (functional) : સતત સુરેખ વિધેય f : N → Nને માનકિત અવકાશ N માટે N પરનું વિધેયક કહેવામાં આવે છે.

માનક : સતત સુરેખ વિધેય T : N₁ → N₂ માટે માનકિત સદિશ અવકાશ માટે

॥ T ॥ = મહત્તમ {॥T x ॥/ ॥ x ॥ ≤ 1}ને સુરેખ વિધેય Tનો માનક (norm) કહેવામાં આવે છે. વળી આ માનક નીચે N₁થી N₂ પર વ્યાખ્યાયિત બધાં જ સુરેખ વિધેયોનો ગણ β(N₁, N₂) અહીં દર્શાવેલા સરવાળા તથા અદિશ ગુણાકારની વ્યાખ્યા સાથે માનકિત અવકાશ (normed space) બને છે.

બનાખ અવકાશ N₂ માટે β(N₁, N₂) પણ બનાખ અવકાશ બને છે. N₁ = N₂ = N માટે માનકિત અવકાશ β(N₁, N₂)ને β(N) વડે દર્શાવવામાં આવે છે. આપેલ માનકિત અવકાશ N માટે બનાખ અવકાશ β(N, ⊄)ને માનકિત અવકાશ Nનો દ્વંદ્વ અવકાશ (dual space) કહેવામાં આવે છે. વળી તેને N* સંકેતથી દર્શાવવામાં આવે છે. વિધેયક વિશ્લેષણમાં આપેલ માનકિત-અવકાશનો દ્વંદ્વાવકાશ મેળવવાનો પ્રશ્ન અગત્યનો છે.

બનાખ અવકાશનાં ત્રણ મૂળભૂત પ્રમેયો :

ગાણિતિક વિશ્લેષણમાં વિધેયનું વિસ્તરણ મેળવવાની જરૂર પડે છે. પરંતુ વિધેય જો સાતત્ય, સીમિતતા, વિકલનીયતા કે સુરેખતાનું પાલન કરતું હોય ત્યારે વિસ્તારિત વિધેય મેળવવા માટે વધારાની શરતો મૂકવી પડે છે. આ દિશામાં અગત્યના સિદ્ધાંતો સાબિત કરવામાં હાન-બનાખ પ્રમેય (HannBanach theorem) ઉપયોગી છે.

આ પ્રમેય માનકિત સદિશ અવકાશના ઉપાવકાશ પર વ્યાખ્યાયિત વિધેયનું સમગ્ર અવકાશ પર વિધેયક વિસ્તરણ મેળવવાની શરત આપે છે.

હાન-બનાખ પ્રમેયનું સરળતમ સ્વરૂપ : જો M માનકિત સદિશ અવકાશ Nનો ઉપાવકાશ હોય તો વિધેયક f : N → ⊄નું ॥ f₀ ॥ = ॥ f ॥ જેવું વિસ્તારિત વિધેય f₀ : N → ⊄ મેળવી શકાય.

હાનબનાખ પ્રમેયની મદદથી આપેલ માનકિત સદિશ અવકાશ N માટે તેના ઉપાવકાશ N*માં શૂન્યેતર વિધેય fનું અસ્તિત્વ દર્શાવી શકાય છે.

વિવૃત વિધેય પ્રમેય (open mapping theorem) : T : B → B’ એ બનાખ અવકાશ Bથી બનાખ અવકાશ B’ પર વ્યાપ્ત સતત સુરેખ વિધેય છે. Bના વિવૃત ગણ G માટે તેનું પ્રતિબિંબ T(G), બનાખ અવકાશ B’નો પણ વિવૃત ગણ થશે. આ પ્રમેય બનાખ અવકાશ પર પ્રક્ષેપ વિધેયો(projections)ના અભ્યાસમાં ઉપયોગી છે તથા આ પ્રમેયમાંથી તેને સમકક્ષ સંવૃત આલેખ પ્રમેય (closed graph theorem) મેળવી શકાય તેમજ આપેલ બનાખ અવકાશ B₁ તથા B₂ માટે T ∈ β (B₁, B₂) એક એક સતત હોય તો તેનું વ્યસ્ત T^-1 ∈ β(B₂, B₁) સાબિત કરી શકાય.

સમસીમિત પ્રમેય (uniformly bounded theorem) : B બનાખ અવકાશ છે, M માનકિત સદિશ અવકાશ છે. જો માનકિત સદિશ અવકાશ β (B | N) તેમજ અરિક્ત ઉપગણ માટે પ્રત્યેક સદિશ x માટે ગણ {॥ T x ॥ / T ∈ }, Rનો સીમિત ગણ બને તો એ β(B | N)નો સીમિત ગણ બને. એટલે કે વાસ્તવિક સંખ્યા M ≥ 0 મળે કે જેથી પ્રત્યેક T ∈ માટે ॥ T ॥ ≤ M થાય. આ પ્રમેયની મદદથી આપેલ સતત સુરેખ વિધેય T : N → N, N માનકિત સદિશ અવકાશ માટે પરિવર્ત સતત સુરેખ વિધેય T’ : N* → N*ની વ્યાખ્યા આપી શકાય, જે હિલ્બર્ટ અવકાશમાં મહત્વની છે.

હિલ્બર્ટ અવકાશ : દ્વિ-પરિમાણી અવકાશ R² અને ત્રિ-પરિમાણી અવકાશ R³માં કરવામાં આવતા પરિમિત ભૂમિતિના અભ્યાસમાં સામ્ય છે; કારણ કે અહીં પણ સદિશની લંબાઈ અને બે શૂન્યેતર સદિશો વચ્ચેના ખૂણાની વ્યાખ્યા આપી શકાય છે; જેમ કે, બે શૂન્યેતર સદિશ x અને y  વચ્ચેનો ખૂણો  માટે vis સૂત્રથી આપવામાં આવે છે. જો સદિશ x અને

y  માટે < x, y> = 0 થાય તો સદિશ x અને y પરસ્પર લંબ (x ⊥ y) સદિશ (orthogonal vectors) કહેવામાં આવે છે.

લંબચ્છેદી એકમ ગણ (orthonormal set) : જો હિલ્બર્ટ અવકાશનો અરિક્ત ઉપગણ A (i) પ્રત્યેક x  ∈  A માટે ॥ x ॥ = 1 (ii) x, y ∈ A અને x ≠ y માટે x ⊥ y

આ શરતો(i) અને (ii)નું પાલન થાય તો Aને લંબચ્છેદી એકમ ગણ (orthonormal set) કહેવામાં આવે છે. જો આપેલ લંબચ્છેદી એકમ ગણ A માટે ACB, A ≠ B થાય તેવો લંબચ્છેદી એકમ ગણ B મેળવી ન શકાય તો Aને મહત્તમ લંબચ્છેદી એકમ ગણ (maximal orthonormal set) અથવા એકમ લંબચ્છેદી આધાર (orthonormal basis) કહેવામાં આવે છે.

લંબચ્છેદી આધાર માટેનું મૂળભૂત પ્રમેય : પ્રત્યેક હિલ્બર્ટ અવકાશ H ≠ {θ}માં એકમ લંબચ્છેદી આધાર {u_α} અસ્તિત્વ ધરાવતો હોય તો આપેલ સદિશ x ∈ H માટે ગણ {u_α : <x, u_α> ≠ 0} ગણનીય હોય છે.

હિલ્બર્ટ અવકાશ પર વ્યાખ્યાયિત વિવિધ સતત સુરેખ વિધેયો રીઝ નિરૂપણ પ્રમેય (Riegz representation thmeorem)ના ઉપયોગથી આપેલ T ∈ β(H), (અહીં H હિલ્બર્ટ અવકાશ છે)ના પરિવર્ત સુરેખ વિધેય T’ માટે T’ : H → H લઈ શકાય, અહીં T’ને સંકેત T* વડે દર્શાવવામાં આવે છે. વળી T અને T* વચ્ચેનો સંબંધ < Tx, y> = < x, T* >, x, y  ∈ H દ્વારા મળે છે.

પરિવર્ત પ્રક્રિયા T → T*ના ગુણધર્મો :

T₁, T₂  ∈ β(H) તેમજ α ∈ ⊄ માટે

(i) (T₁ + T₂)* = T₁* + T₂* (ii) (α T₁)* = αT₁*

(iii) (T₁ T₂)* = T₂* T₁* (iv) (T₁*)* = T* (v) ॥ T* ॥ = ॥ T ॥ (vi) ॥ T*T ॥ = ॥ TT* ॥ = ॥ T ॥2

T ∈ B(H) માટે T* ∈ B(H) મળતો હોય તો હિલ્બર્ટ અવકાશ H પર T અને T* વચ્ચેના સંબંધ દ્વારા વિશિષ્ટ સુરેખ વિધેયો વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય. હિલ્બર્ટ અવકાશ પરનાં ત્રણ વિશિષ્ટ સુરેખ વિધેય અહીં આપ્યાં છે : T = T* થાય તેવાં વિધેયને સંમિત (self adjoint), TT* = T*T થાય તેવાં વિધેયને અભિલંબ (normal) અને TT* = T*T = I થાય તેવાં વિધેયને ઐકિક (unitary) વિધેય કહેવામાં આવે છે.

બનાખ બીજગણિત : A બનાખ અવકાશ હોવા ઉપરાંત એકમ સહિત બીજગણિત છે. જો માનાંક ગુણાકાર માટે ગુણધર્મો (1)

x, y  ∈ A માટે ॥ x, y ॥ ≤ ॥ x ॥ ॥ y॥ (2) એકમ સદિશ 1 માટે ॥ 1 ॥ = 1 (અહીં ગુણાકાર તરીકે બે વિધેયનું સંયોજન લેતાં) અસ્તિત્વ ધરાવે તો Aને બનાખ બીજગણિત કહેવામાં આવે છે. આપેલ બનાખ અવકાશ B માટે β(B)માં T, S ∈ β(N) માટે તેમનું સંયોજન T 0 S ∈ β(N) તથા ॥ T 0 S ॥  ॥ T ॥ ॥ S ॥ થવાથી b(B) બનાખ અવકાશ બને છે. બનાખ અવકાશ C [0, 1] ગુણાકારની વ્યાખ્યા f, g ∈ C [0, 1] માટે (fg) (t) = f(t) g(t) t ∈ [0, 1] નીચે બનાખ અવકાશ થાય છે.

બનાખ* બીજગણિત : A બનાખ અવકાશ છે, અહીં દર્શાવેલા ગુણધર્મો (i) થી (iv) ધરાવતો પરિવર્તકારક (વિધેય)* : A → A અસ્તિત્વ ધરાવે તો Aને બનાખ* બીજગણિત (Banach* Algebra) કહેવામાં આવે છે. ગુણધર્મ :  x, y, ∈ A માટે

સ્પષ્ટ રીતે β(H) પરિવર્તકારક વિધેય T → T* નીચે B* બીજગણિત બને છે.

સુરેખ વિધેયનું વર્ણપટ (spectrum of an operator) : આપેલ સતત સુરેખ વિધેય T ∈ β(N), N માનકિત અવકાશ માટે ગણ α(T) = {λ ∈ ⊄ / T  λI, β ∈ N²}માં અસામાન્ય (singular) છે}ને Tનો વર્ણપટ (spectrum) કહેવામાં આવે છે. આપેલ T ∈ β (H) માટે તેનો વર્ણપટ σ (T) સુબદ્ધ (compact) ગણ હોય છે. સંમિત, અભિલંબ (normal) તથા ઐકિક (unitary) સતત સુરેખ વિધેય માટે વર્ણપટના પ્રમેયો સંકલનના રૂપમાં મેળવી શકાય છે.

આઈ. એચ. શેઠ

4. વાસ્તવિક (Real) :

ગણિતમાં વાસ્તવિક ચલોનાં વાસ્તવિક મૂલ્યો ધરાવતાં વિધેયોના વિકલન અને સંકલનના ખ્યાલોનો શાસ્ત્રીય અભ્યાસ.

ગણિતના અભ્યાસમાં સતત અને અસતત, સાંત અને અનંત – એવા ભિન્ન ભિન્ન પ્રવાહોનાં જોડકાં રહ્યાં છે. વિશ્લેષણ એ સતત અને અનંતના ગણિતનો અભ્યાસ છે. આ પ્રકારના અભ્યાસનાં મૂળ ગ્રીક તત્વવિદ ઝેનો(ઈ. પૂ. 495-435)ના વદતોવ્યાઘાત(Zeno’s paradox)માં, ગ્રીક ભૂમિતિવિદ યુડોકસસ(ઈ. પૂ. 408-355)ની સમાન ગુણોત્તરની વ્યાખ્યામાં અને ગ્રીક ગણિતજ્ઞ આર્કિમિડિઝ(ઈ. પૂ. 287-212)ની ક્ષેત્રફળ  શોધવાની, ખલાસ કરવાની રીત(method of exhaustion)માં રહેલાં છે; પરંતુ ખરેખર સતત અને અનંતના ગણિતનો આરંભ સત્તરમી સદીમાં ફર્મા (ફ્રેન્ચ, 1601-1605), ન્યૂટન (બ્રિટિશ, 1642-1727) અને લાઇબ્નીઝ(જર્મન, 1646-1716)ની કલનશાસ્ત્રની શોધથી થયો. આ ક્રાન્તિકારી શોધને કારણે વિધેયનાં લઘુતમ-ગુરુતમ મૂલ્યો, વક્રનો સ્પર્શક અને પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ અંગેના પ્રશ્નોના ઉત્તર સાંપડ્યા, પરંતુ સાથે સાથે અનંતની અજાણી ભોમકા પર ગણિતે ડગ માંડવાને કારણે ઘણા નવા પ્રશ્નો પણ ઊભા થયા. ન્યૂટન અને લાઇબ્નીઝના કામની આકરી આલોચના પણ થઈ. લક્ષ, સાતત્ય, વિકલન અને સંકલનના જે ખ્યાલો ઉદ્ભવ્યા એ અપરિપક્વ અને અસ્પષ્ટ હતા. આ ખ્યાલોમાં ત્યારબાદ જે સ્પષ્ટીકરણ, શોધન અને સંશોધન થયાં અને તેમાંથી જે નવા ખ્યાલો અને નવી રીતો વિકસ્યાં તેનો અભ્યાસ એટલે ગણિતીય વિશ્લેષણ. એ સમયે જે અભ્યાસ થયો એ વાસ્તવિક ચલનાં અને વાસ્તવિક મૂલ્યોનાં વિધેયોનો થયો તેથી વિશ્લેષણ વાસ્તવિક વિશ્લેષણ તરીકે જાણીતું બન્યું.

બહુપદી એ સરળ વિધેય છે. તેમાં સાંત પદો હોય છે. આવાં અનંત પદોના સરવાળાથી બનતા વિધેય વિશે શું કહી શકાય ? આપેલા વિધેયને બહુપદીમાં હોય છે એવાં, પરંતુ અનંત સંખ્યાનાં, પદોના સરવાળા તરીકે લખી શકાય ?  આવા પ્રશ્નો સ્વાભાવિક હતા. આ દિશામાં, અનંતશ: વિકલનીય (infinitely differentiable) વિધેયને અમુક શરતો હેઠળ અનંત ઘાતશ્રેઢીના સરવાળા તરીકે લખી શકાય એવું અંગ્રેજ ગણિતજ્ઞ ટેઇલર (1645-1731) અને સ્કૉટિશ ગણિતજ્ઞ મેકર્લારિને (1698-1748) બતાવ્યું. સ્વીડિશ ગણિતજ્ઞ ઓઇલરે (1703-1783) ત્રિકોણમિતીય, લઘુગણકીય અને ઘાતાંકીય વિધેયોના અનંત ઘાતશ્રેઢી તરીકેના નિરૂપણ દ્વારા આ વિધેયોના ઘણા ગુણધર્મો મેળવ્યા. અનંત શ્રેઢી જોડે કામ કરતી વેળાએ એે ધ્યાન રાખવું જરૂરી છે કે શ્રેઢી અભિસારી હોય; નહિતર વિચિત્ર પરિણામ મળી શકે; જેમકે, લાંબા ભાગાકાર(long division)ની રીત વડે 1 + x + x² + …. એમ લખી શકાય, પરંતુ બંને બાજુ x = 2 મૂકીએ તો 1 = −1 + 2 + 2² + …… જેવું અર્થહીન પરિણામ મળે. અનંત શ્રેઢી અભિસારી હોવાની જરૂરિયાત વિશે ઓઇલરને જાણ હતી, પરંતુ તેના કામમાં તેણે આ અંગે પૂરતી તકેદારી રાખી ન હતી. નવાઈની વાત એ છે કે તકેદારીના અભાવ છતાં, ઓઇલરે મેળવેલાં પરિણામો સાચાં છે. આમ બનવાનું એક કારણ એ હોઈ શકે કે ગણિતમાં શુદ્ધ તર્કના ખ્યાલો એ સમયે પૂરતા વિકસ્યા ન હોવાથી પોતાની દરેક દલીલ શુદ્ધ તર્કની ચાળણીમાંથી ગાળવાની જરૂર ઓઇલરને ન લાગી હોય, પરંતુ શું સાચું છે અને શું સાચું નથી એ તેના મનમાં સ્પષ્ટ હોય. તેના અત્યંત સર્જનશીલ મગજમાંથી ધસમસતા વિચારોના પ્રવાહને તર્કની દીવાલથી રોકવાનું તેને યોગ્ય ન લાગ્યું હોય એવું પણ બને. વિશ્લેષણમાં દરેક બાબત તર્કબદ્ધ રીતે, ચોકસાઈપૂર્વક તપાસવાનો અને રજૂ કરવાનો ખ્યાલ ગાઉસ (જર્મન, 1777-1855) અને કોશી(ફ્રેન્ચ, 1789-1857)એ આપ્યો. કોશીએ લક્ષ, સાતત્ય, શ્રેઢીનું અભિસરણ વગેરે ખ્યાલોને સુસ્પષ્ટ કરી કલનના ગણિતને સંગીન પાયા પર મૂક્યું. વિશ્લેષણમાં કોશીએ દાખલ કરેલ તાર્કિક ચુસ્તતા(logical rigour)નો ખ્યાલ હવે તો શુદ્ધ ગણિતની દરેક શાખામાં સ્વીકૃત થયો છે, એટલું જ નહિ, પાયાની જરૂરિયાત બની ગયો છે.

ફૂરીએ (1768-1830) નેપોલિયનના સમયનો ફ્રેન્ચ ભૌતિક વૈજ્ઞાનિક હતો. ઉષ્ણતાવહનના પ્રશ્નના સંદર્ભમાં આંશિક વિકલન સમીકરણ(partial differential equation)ના સીમામૂલ્ય- (boundary value)ના સવાલના ઉકેલ માટે તેણે 2πઆવર્તી વિધેય fનું અનંત ત્રિકોણમિતીય શ્રેઢી  p2x)ના રૂપમાં નિરૂપણ મેળવ્યું. અહીં p2 x dx અને (p2 = 0, 1, 2, 3, …..) ફૂરીઅરે સ્વીકારી લીધું હતું કે યથેચ્છ 2pઆવર્તી વિધેય માટે ઉપર પ્રકારની શ્રેઢી મળે. પરંતુ આ સાચું નથી. કયા પ્રકારના વિધેય માટે ફૂરીએ-શ્રેઢી મળે, ફૂરીએ-શ્રેઢી વિધેય પ્રતિ અભિસારી ક્યારે થાય વગેરે પ્રશ્નોના ઉત્તર મેળવવા માટે ફૂરીએ-શ્રેઢીના શસ્ત્રનો બહોળો અભ્યાસ થયો. કેટલાંક અગત્યનાં સામાન્ય (ordinary) વિકલ સમીકરણના ઉકેલ માટે વિધેયનું જ્ઞાતશ્રેઢી દ્વારા નિરૂપણ અને કેટલાંક આંશિક (partial) વિકલ સમીકરણના ઉકેલ માટે વિધેયનું ફૂરીએ-શ્રેઢી દ્વારા નિરૂપણ બહુ ઉપયોગી સાબિત થયેલ છે.

વિકલનની પ્રતિક્રિયા (inverse process) તરીકે સંકલન જાણીતું હતું. કોશીએ સાબિત કર્યું કે સંવૃત્ત સીમિત અંતરાલ [a, b] પરનું સતત વાસ્તવિક વિધેય સંકલનીય થાય. ખરેખર સતત વિધેયની સંકલનીયતાની સાબિતી માટે એકરૂપ સાતત્યના ખ્યાલની જરૂર પડે છે, જે કોશી પાસે ન હતો. આ કારણે ચુસ્ત તર્કના હિમાયતી કોશીની સાબિતીમાં ચુસ્તતાનો અભાવ હતો. જર્મન ગણિતજ્ઞ રીમાન્ને (1826-1866) સંકલની સરવાળાના લક્ષ તરીકે વ્યાખ્યા આપી સંકલનના ખ્યાલને સુવ્યવસ્થિત કર્યો. સતત વિધેયની સંકલનીયતાની તેણે સાચી સાબિતી આપી અને અસતત વિધેયની સંકલનીયતાની પણ ચર્ચા કરી.

અસંમેય સંખ્યાઓ બૈજિક સમીકરણોના બીજ-સ્વરૂપે લાંબા સમયથી ઉપયોગમાં હોવા છતાં તેની સ્પષ્ટ વ્યાખ્યા લભ્ય ન હતી. ગાઉસ અને કોશીની તર્કચુસ્તતાની કસોટીએ પાર ઊતરે એવી અસંમેય સંખ્યાની વ્યાખ્યા જર્મન ગણિતજ્ઞો વાયર્સ્ટ્રાસ (1815-1897) અને ડેડિકિન્ડે (1831-1916) આપી. વાયર્સ્ટ્રાસે સંમેય સંખ્યાઓની કોશી શ્રેણીઓના ગણમાં એક સમ-સંબંધ (equivalence relation) વ્યાખ્યાયિત કર્યો અને એ સંબંધના સમવર્ગ(equivalence class)ને વાસ્તવિક સંખ્યા કહ્યો. ડેડિકિન્ડે સંમેય સંખ્યાઓના અમુક પ્રકારના ઉપગણને વાસ્તવિક સંખ્યા કહ્યો.

વાયર્સ્ટ્રાસે વાસ્તવિક સંખ્યારેખાના દરેક બિંદુએ સતત હોય પરંતુ કોઈ પણ બિંદુએ વિકલનીય ન હોય એવા વિધેયનું પ્રથમ ઉદાહરણ આપ્યું. જો b અયુગ્મ પૂર્ણાંક હોય, 0 < a < 1 અને ab > 1 +  આ પ્રકારનું વિધેય છે.

જે સંખ્યા (વાસ્તવિક કે સંકર) પૂર્ણાંક સહગુણકોવાળા બહુપદી સમીકરણનું બીજ હોય તે સંખ્યાને બૈજિક સંખ્યા કહેવાય છે. બૈજિક ન હોય તેવી સંખ્યાને અબૈજિક (transcendental) કહેવાય છે. ફ્રેન્ચ ગણિતજ્ઞ લ્યુવિલે (1809-1882) 1851માં અબૈજિક સંખ્યાના કેટલાંક ઉદાહરણ આપ્યાં. 1873માં હર્માઇટે (ફ્રેન્ચ, 1822-1901) સંખ્યા eની અબૈજિકતા સિદ્ધ કરી. 1882માં લિન્ડેમાને p અબૈજિક હોવાનું સાબિત કર્યું. 1934માં ગેલ્ફોન્ડ અને શ્નાઇડરે સાબિત કર્યું કે જો a અને b (0 અને 1 સિવાયની) બૈજિક વાસ્તવિક સંખ્યાઓ હોય અને b અંસમેય હોય તો ab અબૈજિક થાય. જર્મન ગણિતજ્ઞ જ્યૉર્જ કેન્ટરે (1845-1918) 1874માં ગણ સિદ્ધાંતની મદદથી સિદ્ધ કર્યું કે વાસ્તવિક અબૈજિક સંખ્યાઓનો ગણ અગણનીય (uncountable) છે.

રીમાન્ન સંકલન સીમિત સંવૃત અંતરાળ પર સીમિત વિધેય માટે વ્યાખ્યાયિત થાય છે. આ વ્યાખ્યા અંતરાલની લંબાઈના ખ્યાલ પર આધારિત છે. વીસમી સદીના પ્રારંભમાં ફ્રેન્ચ ગણિતજ્ઞ હેન્રી લેબેગે (1875-1941) રીમાન્ન સંકલન કરતાં વિશેષ વ્યાપક સંકલનની વ્યાખ્યા આપી. વ્યાખ્યા ગણના માપ(measure)ના ખ્યાલ પર આધારિત છે. ગણનું માપ એ અંતરાળની લંબાઈનું વ્યાપકીકરણ છે. લેબેગ સંકલન માપનીય ગણ (measurable set) પરના માપનીય વિધેય (measurable function) માટે વ્યાખ્યાયિત થાય છે. લેબેગ સંકલન એ રીમાન્ન સંકલનનું એ રીતનું વ્યાપકીકરણ છે કે સંવૃત સીમિત અંતરાળ [a, b] પરનું દરેક રીમાન્ન સંકલનીય વિધેય f લેબેગ સંકલનીય થાય અને . અહીં અનુક્રમે fનો [a, b] પરનો રીમાન્ન સંકલ અને fનો [a, b] પરનો લેબેગ સંકલ સૂચવે છે. વળી વિધેયોની શ્રેણીના અભિસરણ અને તેના સંકલની શ્રેણીના અભિસરણ વચ્ચેના સંબંધના સંદર્ભમાં રીમાન્ન સંકલન કરતાં લેબેગ સંકલન ઘણું સારી રીતે વર્તે છે.

વાસ્તવિક વિશ્લેષણના ખ્યાલો અને રીતોનું ભિન્ન ભિન્ન દિશામાં વિસ્તરીકરણ થવા સાથે ભિન્ન ભિન્ન શાખાઓમાં તેનો ઉપયોગ થયો છે. એક ચલના વિધેયના અભ્યાસમાંથી બહુ ચલના વિધેયના અભ્યાસ તરફ જવું સ્વાભાવિક છે. બહુ ચલ વિધેયોના ઉપયોગથી વિકલન ભૂમિતિ વિકસાવી ગાઉસે ત્રિપરિમાણીય અવકાશમાંનાં વક્રો અને સપાટીઓનો અભ્યાસ કર્યો. સંખ્યાશાસ્ત્ર જેવી અસતત ગણિતની શાખામાં પણ વિશ્લેષણ ઉપયોગી નીવડ્યું છે; જેમ કે, ‘જો a અને b પરસ્પર અવિભાજ્ય ધનપૂર્ણાંકો હોય તો અનંત સમાંતર શ્રેણી a, a + b, a + 2b, a + 3b, ……માં અનંત સંખ્યામાં અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે’ એ પરિણામની સાબિતી ડિરિશ્લે(ફ્રેન્ચ, 1805-1859)એ વાસ્તવિક વિશ્લેષણની મદદથી આપી છે. ગાઉસ, કોશી, લ્યુવિલ, રીમાન્ન વગેરેએ સંકર ચલનાં સંકર વિધેયો માટે સાતત્ય, વિકલન, સંકલનના ખ્યાલો વિકસાવી સંકર વિશ્લેષણનો બહોળો અભ્યાસ કરેલ છે. યંત્રશાસ્ત્રના અભ્યાસમાં વૈશ્લેષિક રીતો વપરાય છે અને સંસ્થિતિ વિદ્યાના વિકાસમાં વિશ્લેષણ મદદરૂપ બનેલ છે. વીસમી સદીના પૂર્વાર્ધમાં વિકસેલ વિધેયાત્મક વિશ્લેષણ(functional analysis)ની શાખા એ વાસ્તવિક અને સંકર વિશ્લેષણ, સંસ્થિતિ વિદ્યા અને સુરેખ બીજગણિતનો સુભગ સંયોગ છે.

મહાવીર વસાવડા