વિધેય (function)

વિધેય (function)

બે અરિક્ત ગણ X, Y માટે X ગણના દરેક ઘટકને Y ગણના અનન્ય ઘટક સાથે સાંકળવાની અર્થવાહી અને ગૂંચવાડારહિત રીત. X અને Y બે અરિક્ત ગણ છે, આ બે ગણને કોઈ સંગતતા f વડે સાંકળવામાં આવે છે જેથી x ગણનો દરેક ઘટક, y ગણના અનન્ય ઘટક સાથે જોડાય છે તેથી X ગણથી Y ગણ પરનું વિધેય f મળે છે; જેને સંકેત f : X → Yથી દર્શાવવામાં આવે છે. x ગણના ઘટક x સાથે સંકળાયેલા y ગણના ઘટક yને f વિધેય નીચે f(x)થી દર્શાવવામાં આવે છે અને તેને ઘટક xનું f નીચેનું પ્રતિબિંબ કહેવામાં આવે છે. ગણ xને વિધેયનો પ્રદેશ (domain) કહેવામાં આવે છે. તેનો સંકેત D_f છે અને xમાં આવેલા બધા ઘટક x માટે f નીચે મળતા પ્રતિબિંબ f(x)ના ગણને વિધેયનો વિસ્તાર (સંકેત R_f) કહેવામાં આવે છે. f : x → yમાં ગણ xમાં આવેલા દરેક x માટે મળતા પ્રતિબિંબ f(x)નો ગણ (વિસ્તાર-ગણ) સમગ્ર-ગણ Yને આવરી લેતો હોય તો વિધેય fને વ્યાપ્ત (onto) વિધેય અને આવરી લેતો ન હોય તો વિધેય fને અવ્યાપ્ત (into) વિધેય કહેવામાં આવે છે. જો ગણ x કોક બે ભિન્ન ઘટક x₁, x₂ માટે f નીચે બે ભિન્ન પ્રતિબિંબ f(x₁), f(x₂) મળે [એટલે કે x₁ ≠ x₂ ⇒ f(x₁)  f(x₂)] તો fને એક એક (one to one) વિધેય કહેવામાં આવે છે, પરંતુ કોક બે ભિન્ન ઘટક x₁, x₂ માટે એક જ પ્રતિબિંબ મળે [એટલે કે x₁ ≠ x₂ ⇒ f(x)₁ = f(x₂)] તો વિધેય fને અનેક-એક (many-one) વિધેય કહેવામાં આવે છે.

જો f : x → y એેક-એક અને વ્યાપ્ત આલેખન હોય તો તેનું વ્યસ્ત આલેખન (inverse map) f^–1 : y → x વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે.

વ્યાખ્યા : Xથી Y પરનું એક-એક, વ્યાપ્ત વિધેય f છે. Y ગણમાં આવેલા દરેક ઘટક y માટે X ગણમાં અનન્ય (unique) ઘટક x મેળવી શકાય, જેથી f(x) = y થાય તો આ સંગતતા (correspondence) f^–1  : y → x ને fનું વ્યસ્ત વિધેય કહેવામાં આવે છે; દા.ત., y = e^xને x માટે છોડવાથી x = log y મળે છે, જે y = e^xનું વ્યસ્ત વિધેય છે. આવી જ રીતે y = f(x)ને xના સંદર્ભમાં ઉકેલવાથી x = f^–1(y) મળે છે. સરળ વિધેય y = x²માં સંગતતાના નિયમને આધારે દરેક વાસ્તવિક સંખ્યા xને વાસ્તવિક સંખ્યા y સાથે સાંકળવામાં આવે છે, જેથી વાસ્તવિક સંખ્યાનો બનેલો વિસ્તાર-ગણ મળે છે. આવા વિધેયને વાસ્તવિક (real) વિધેય કહેવામાં આવે છે. જો વિસ્તાર-ગણ સંકર સંખ્યાઓનો બનેલો હોય તો વિધેયને સંકર(complex)-વિધેય કહેવામાં આવે છે. વિધેય y = f(x)માં xની કિંમત જેમ બદલાય તેમ yની કિંમત પણ બદલાય છે, yની કિંમત x ઉપર આધાર રાખે છે. xની કિંમત નિરપેક્ષ છે, જ્યારે yની કિંમત x ઉપર આધારિત હોવાથી સાપેક્ષ છે. આથી xને નિરપેક્ષ ચલ (independent variable) અને yને સાપેક્ષ ચલ (dependent variable) કહેવામાં આવે છે. આમ વિધેયને ચલરાશિ x અને yના ક્રમિત યુગ્મ (ordered pair)ના ગણ તરીકે દર્શાવી શકાય છે; જેમ કે, f : {(x, y) | xRy, x ∈ X, y ∈ Y}. (xRy એટલે x related to y). (x, y)  જેવાં ક્રમિત યુગ્મોને x – y સમતલ પરનાં ભૌમિતિક બિંદુઓ તરીકે દર્શાવી શકાય છે. આ બધાં બિંદુઓનો ગણ અથવા વ્યવહારમાં આ બિંદુઓને જોડતાં મળતો વક્ર તે વિધેયનો આલેખ (graph) છે. આમ વિધેયને સૂત્રાત્મક સ્વરૂપે, ક્રમિત યુગ્મોના ગણ તરીકે, આલેખ સ્વરૂપે અને વેન-આકૃતિથી પણ દર્શાવી શકાય છે.

y = f(x) = a₀xⁿ + a₁ x^n–1 + a₂ x ^n–2 + ……. + a_n–1 x + a_n

જ્યાં a₀, a₁, a₂, ………, a_n–1, a_n અચળ હોય એવા વિધેયને બહુપદી વિધેય (polynomial function) કહેવામાં આવે છે. p₀(x), p₁(x), p₂(x), ….. , p_n(x) બહુપદીઓ હોય ત્યારે p₀(x) y_n + p₁ (x) y_n–1 + …… + p_n (x) = 0 સંબંધથી વ્યાખ્યાયિત વિધેય

y = f(x)ને બીજીય (algebraic) વિધેય કહેવામાં આવે છે. બીજીય ન હોય તેવા વિધેયને અબીજીય કે બીજાતીત (trnascendental) વિધેય કહેવામાં આવે છે. ત્રિકોણમિતીય, લઘુગણકીય અને ઘાતાંકીય વિધેય એ બીજાતીત વિધેયોનાં ઉદાહરણ છે. બીજીય વિધેયો y = x₂, સરળ વાસ્તવિક વિધેય છે. પરંતુ  વિધેય xની શૂન્ય સિવાયની કિંમતો માટે વ્યાખ્યાયિત છે. વિધેય y = logx, xની ધનકિંમતો માટે વ્યાખ્યાયિત છે. વિધેય y = tan^–1 x, x ∈ [−1, 1] ઉપર વ્યાખ્યાયિત છે. અહીં વિધેયના પ્રદેશ (domain) નિયંત્રિત છે. આવાં નિયંત્રિત પ્રદેશવાળાં વિધેયને મર્યાદિત (restricted) વિધેય કહેવામાં આવે છે. આ ઉપરાંત સતત, અસતત, યુગ્મ, અયુગ્મ, એકસૂત્રી (monotonic) વધતાં કે ઘટતાં વિધેય વગેરે વિવિધ પ્રકારનાં વિધેય છે. વિધેયોના અનેકવિધ પ્રકારો છે, જેમાંથી (1) અતિવલયી (hyperbolic) વિધેય, (2) ઘાત વિધેય, (4) ત્રિકોણમિતીય વિધેય, (5) બીટા-ગૅમા વિધેય, (6) લઘુગણકીય વિધેય અને (7) વૈશ્લેષિક-વિધેય અંગે વિગતે સમજ આપવાનો અહીં પ્રયાસ કર્યો છે.

ઉપવલયી વિધેયો (elliptic functions) : સંકર સમતલના પરિમિત ભાગમાં ધ્રુવ સિવાય અન્ય કોઈ વિશિષ્ટતા કે અનન્યતા (singularity) ન હોય એવાં એકમૂલ્ય, દ્વિઆવર્તી, વૈશ્લેષિક વિધેયોનો એક વર્ગ.

પ્રયુક્ત ગણિતમાં કે  સ્વરૂપનાં સંકલ જોવા મળે છે, જેનું પ્રમાણિત (standard) રીતોથી સંકલન કરી શકાતું નથી. આવા કિસ્સામાં સંકલ્ય(integrand)નું ઘાતાંકીય અનંત શ્રેઢીના સ્વરૂપમાં વિસ્તરણ કરી મળતાં પદોનું ક્રમાનુસાર (term by term) સંકલન કરી શકાય. ચલરાશિ xનું સુરેખ કે વર્ગાત્મક વિધેય R છે. x અને ના સંમેય વિધેય fનો સંકલ   એક વિશિષ્ટ પ્રકારનો સંકલ છે. આ પ્રકારના સંકલને

(અહીં A, B, C, D એ xમાં બહુપદી છે અને S(x) એ ત્રિઘાત કે ચતુર્ઘાત પદાવલી છે.)

સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય. આ પ્રકારના સંકલ ઉપવલયની ચાપની લંબાઈ શોધવાના પ્રશ્નોમાં વપરાતા હોવાથી આવા સંકલને ઉપવલયી સંકલ કહેવામાં આવે છે. આવા સંકલનો પદ્ધતિસર અભ્યાસ ફ્રેન્ચ ગણિતી લિજેન્ડરે કર્યો. ત્રણ પ્રકારના લિજેન્ડરના સંકલ જાણીતા છે :

લિજેન્ડરના ઉપવલયી સંકલ :

(i) સંકલ

(k અને f બે ચલરાશિવાળું આ વિધેય છે.) આ સંકલ લિજેન્ડરના પ્રથમ પ્રકારના ઉપવલયી સંકલ તરીકે જાણીતો છે, જેનો માનાંક (modulus) k અને કોણાંક (amplitude) Φ છે.

(ii) સંકલ ને માનાંક k અને કોણાંક f વાળો લિજેન્ડરનો બીજા પ્રકારનો ઉપવલયી સંકલ કહેવામાં આવે છે.

લિજેન્ડરનો ત્રીજા પ્રકારનો ઉપવલયી સંકલ કહેવામાં આવે છે. ઉપવલયી સંકલનો ખ્યાલ ઉપવલયના ચાપની લંબાઈ શોધવા જતાં ઉદ્ભવ્યો અને વિકસ્યો.

 મૂકતાં મળેલા સંકલને દ્વિતીય પ્રકારનો પરિપૂર્ણ (complete) સંકલ કહેવામાં આવે છે અને તેને E (K) સંકેતથી દર્શાવવામાં આવે છે. આમ છે. (k² < 1).

આવી જ રીતે પ્રથમ પ્રકારનો પરિપૂર્ણ સંકલ કહેવામાં આવે છે. આનું સંકલન કરવા માટે સંકલ્યનું અનંત શ્રેઢીના સ્વરૂપમાં વિસ્તરણ કરવામાં આવે છે; જેમકે,

ત્યારબાદ આ શ્રેઢીનાં પદોનું ક્રમાનુસાર સંકલન કરવામાં આવે છે. પછી તેમાં કિંમત મળે છે.

લિજેન્ડરના ઉપવલયી સંકલ , (k² < 1)માં

sin x = t અને sin Φ = z મૂકતાં

sin x = t ∴ cos x dx = dt

મળે છે.

આ સંકલને પ્રથમ પ્રકારનો જેકોબીનો ઉપવલયી સંકલ કહેવામાં આવે છે.

અહીં k = 0 મૂકતાં

∴ u = sin−¹ z ∴ sin u = z = sin Φ. સંકેતમાં Sn (u) = z = sin Φ અને Cn (u) = cos Φ. Sn(u), Cn (u), dn(u) આ ત્રણ વિધેયોને જેકોબીનાં પ્રમાણિત ઉપવલયી વિધેયો કહેવામાં આવે છે. ઉપવલયી સંકલના પ્રતીપ વિધેય તરીકે ઉપવલયી વિધેય મેળવવામાં આવે છે. આ વિધેયો આવર્તી વિધેયો છે. તેનું આવર્તમાન k છે. અહીં Sn (0) = 0, Cn(0) = 1. Sn(u) = sin u, Cn(u) = Cn(u). આમ ઉપવલયી વિધેયો ત્રિકોણમિતીય વિધેયોને મળતાં વિધેયો છે. ત્રિકોણમિતીય વિધેયો આવર્તી (periodic) વિધેયો છે. ઉપવલયી વિધેયો પ્રથમ કક્ષા (order) અને ઘાત(degree)નાં વિકલ સમીકરણોનું સમાધાન કરે છે, તે દ્વિ-આવર્તી (doubly periodic) વિધેયો હોય છે. ઉપવલયી વિધેયોના મુખ્ય બે પ્રકાર છે : (i) જેકોબીનાં ઉપવલયી વિધેયો અને (ii) વાયરસ્ટ્રાસનાં ઉપવલયી વિધેયો.

વિકલ સમીકરણ  ઉકેલ-સ્વરૂપે જેકોબીનાં ઉપવલયી વિધેયો મળે છે અને વિકલ સમીકરણ ઉકેલ-સ્વરૂપે વાયરસ્ટ્રાસનાં ઉપવલયી વિધેય મળે છે. આબેલ અને જેકોબીએ ઉપવલયી વિધેયોના કેટલાક ગુણધર્મ અને દ્વિ-આવર્તીતા અંગે અભ્યાસ કર્યો. વિધેય f(u) માટે f(u + ω₁) = f(u + ω₂) = f(u) હોય ત્યારે વિધેય f(u)ને આવર્તમાન ω₁, ω₂ સંદર્ભે દ્વિ-આવર્તી (doubly periodic) વિધેય કહેવામાં આવે છે.

જેકોબીએ ઉપવલયી વિધેયોનો અભ્યાસ કરવા θ_j(u, τ), j = 1, 2, 3, 4 સંકેતથી દર્શાવેલાં θ વિધેયો પ્રયોજ્યાં અને ઉપવલયી વિધેયોને θ વિધેયોના ગુણોત્તરના સ્વરૂપમાં દર્શાવી ઉપવલયી વિધેયોના અગત્યના ગુણધર્મ મેળવ્યા.

a, a + ω₁, a + ω₁ + ω₂, a + ω₂ શિરોબિંદુવાળા સમાંતર બાજુવાળા સંકર સમતલ પર ઉપવલયી વિધેયના ગુણધર્મ મેળવવામાં આવે છે. આવા પ્રદેશને કોષ (cell) કહેવામાં આવે છે. ઉપવલયી વિધેયોના કેટલાક ગુણધર્મ આ મુજબ છે : (1) કોષમાં ધ્રુવની સંખ્યા પરિમિત હોય છે. (2) કોષમાં શૂન્ય(બીજ)ની સંખ્યા પરિમિત હોય છે. (3) કોઈ પણ કોષમાં અવશેષ(residue)ની સંખ્યા શૂન્ય હોય છે. (4) કોષમાં એક પણ ધ્રુવ ન હોય એવું વિધેય અચળ હોય છે. (5) સર્વસામાન્ય ઉપવલયી વિધેયની કક્ષા (order) બે હોય છે. (6) બે કક્ષા અને શૂન્ય અવશેષવાળાં, એકધ્રુવી ઉપવલયી વિધેયોને વાયરસ્ટ્રાસનાં ઉપવલયી વિધેય કહેવામાં આવે છે. (7) a₀, −a₀ અવશેષ અને બે સરળ ધ્રુવવાળાં ઉપવલયી વિધેયોને જેકોબીનાં ઉપવલયી વિધેયો કહેવામાં આવે છે. (8) કોઈ પણ ઉપવલયી વિધેયને વાયરસ્ટ્રાસના ઉપવલયી વિધેય કે જેકોબીના ઉપવલયી વિધેય તરીકે દર્શાવી શકાય. (8) એક જ આવર્તમાનવાળાં બે ઉપવલયી વિધેયો પરસ્પર બૈજિક સંબંધથી જોડાયેલાં હોય છે. ઓગણીસમી સદીમાં ફ્રેન્ચ ગણિતી જોસેફ લિયુવીલેએ મુખ્યત્વે સમોચ્ચવક્ર સંકલન(contour integration)થી ઉપવલયી વિધેયના અગત્યના ગુણધર્મો મેળવેલા છે, જેમ કે, વિધેય f(u)ને આવર્તમાન- સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં બે ધ્રુવ કે ઓછામાં ઓછો એક બહુમૂલ્ય (multi-valued) ધ્રુવ હોય છે; જે બિંદુઓ આગળ વિધેય નિર્દિષ્ટમૂલ્ય ધારણ કરે તે બિંદુઓની સંખ્યા, ધ્રુવોની સંખ્યા અને શૂન્યોની સંખ્યા બરાબર હોય છે.

વિનિયોગ : ઉપવલયી વિધેય અને ઉપવલયી સંકલનો ઉપયોગ ઉપવલયના ચાપની લંબાઈ, અતિવલય, બર્નુલીની દ્વિપાશી-(lemniscate)ના ચાપ અને ઉપવલયજનું  પૃષ્ઠ મેળવવામાં કરવામાં આવે છે. સરળ ત્રિઘાત વક્રનું પ્રાચલ સ્વરૂપમાં નિદર્શન કરવામાં ઉપયોગી છે. ભૌતિકશાસ્ત્રમાં વિભવ(potential)નો સિદ્ધાંત, પ્રત્યાસ્થિકા (elastice), ઉષ્ણતાવહન અને ઉષ્ણતાવિસરણ-(diffusion)માં ઉપયોગી છે. વીજચુંબકત્વ અને ગુરુત્વાકર્ષણની ઘણી સમસ્યાઓ ઉપવલયી સંકલથી ઉકેલી શકાય છે.

અતિવલયી વિધેયો :

y = e^x ઘાતાંકીય વિધેયો સાથે સંકળાયેલાં છ વિધેયો અતિવલયી વિધેયો છે; જેમ કે, અતિવલયી સાઇન, અતિવલયી, કોસાઇન, અતિવલયી ટેન્જન્ટ, અતિવલયી કોટેન્જન્ટ, અતિવલયી કોસિક્ધટ, અતિવલયી સિકન્ટ.

વર્તુળ x² + y² = r² સાથે ત્રિકોણમિતીય કે વૃત્તીય વિધેયો સંકળાયેલાં છે, તેવી રીતે અતિવલયી વિધેયો અતિવલય x² − y² = r² સાથે સંકળાયેલાં છે. વાસ્તવિક ચલરાશિ માટે અતિવલયી સાઇન અને અતિવલયી કોસાઇનની ઘાતાંકીય સ્વરૂપમાં વ્યાખ્યાઓ સૂત્ર સ્વરૂપમાં

અહીં અતિવલયી કોસાઇન e^x અને e^–xનો સમાંતર મધ્યક છે. y = e^x અને  y = e^–x બંને વિધેયોનું અનંત શ્રેઢીના સ્વરૂપમાં વિસ્તરણ કરી શકાય છે. ત્રિકોણમિતીય કે વૃત્તીય વિધેયોને sin x, cos x, tan x, cosec x, sec x અને cot xથી દર્શાવવામાં આવે છે. આવી જ રીતે અતિવલયી વિધેયોમાં sin hx, cos hx, tan hx, cosec hx, sechx અને cot hx ખ્યાલો વિકસાવવામાં આવ્યા છે.

અતિવલયી વિધેયો માટે સંકર રાશિમાં

અતિવલયી વિધેયોમાં (i) સંકર ચલરાશિ માટે આવર્તમાન (period) 2πi છે. 1748માં ઑયલરે વૃત્તીય વિધેય માટે

 આ ત્રણ સૂત્રો આપ્યાં જેને ઓયલરનાં નિત્યસમ (identities) કહેવામાં આવે છે.

(ii) અતિવલયી વાસ્તવિક ચલરાશિમાં e^x = coshx + sinhx,

વૃત્તીય વિધેય માટેનાં કેટલાંક સૂત્રો અને મળતાં આવતાં અતિવલયી વાસ્તવિક વિધેય અને અતિવલયી સંકર વિધેય માટેનાં સૂત્રો, નિત્યસમો વગેરે અહીં આપ્યાં છે :

ગુણોત્તર સ્વરૂપમાં સૂત્રો :

નિત્યસમો :

sin²x + cos²x = 1

cosh²x − sin²hx =1    cosh²z − sinh² z = 1

sec²x − tan²x =1      coth²x − csch²x = 1           tan²hz + sech²z = 1

cosec²x = cot²x = 1 sech²x +  tanh²x = 1        coth²z − csch²z = 1

ઋણ ખૂણા માટે :

sin(−x) = −sinx  sinh(−x) = −sinhx

sinh(−z) = −sinhz

cos (−x) = cosx        cosh(−x) = coshx

cosh(−z) = cosh z     tanh(−z) = −tanhz

વૃત્તીય વિધેયોને અતિવલયી વિધેયો સાથે જોડતાં સૂત્રો :

sinhix = isinx  sinh iz = isinz

coshix = cosx sin iz = isinhz

tanhix = itanx cosiz = cosz

વિધેયોનું અનંત શ્રેઢીના સ્વરૂપમાં વિસ્તરણ :

અને (iii) તેમજ અતિવલયી સંકર ચલરાશિમાં

સરવાળાનાં સૂત્રો :

(i) વૃત્તીય વિધેયો માટે :        sin (x+y) = sinx cosy + cosx siny

        cos (x+y) = cosx cosy − sinx siny

sin (z + ζ) = sinz cosζ + cosz sinζ

cos (z + ζ) = cosz cosζ sinζ sinζ

(ii) અતિવલયી વિધેયો માટે : sinh (x + iy) = sinhx cosy

                                                + icosh x sinz

cosh(x+iy) = coshx cosy + i sinhx siny

sinh (z+z) = sinhz coshz + coshz sinhz

cosh(z+z) = coshz coshz + sinhz sinhz

વૃત્તીય વિધેયો સમભુજ (equilateral) ઉપવલય એટલે કે વર્તુળ સાથે સંકળાયેલાં છે તેવી રીતે અતિવલયી વિધેયો સમભુજ અતિવલય (equilateral hyperbola) સાથે સંકળાયેલાં છે. તેમને પ્રાચલ સ્વરૂપમાં અનુક્રમે થી દર્શાવવામાં આવે છે. e^z, sinz, cosz, sinh z, coshz વિધેયો સમગ્ર સંકર-સમતલ (complex plane) પર વૈશ્લેષિક (analytic) હોય છે. સર્વ વિધેયોની અનિવાર્ય વિશિષ્ટતા z = ∞ આગળ છે. e^zને શૂન્યો (zeros) નથી. sinz અને coszનો માત્ર વાસ્તવિક અક્ષ રેખાનાં અમુક બિંદુઓ પર લોપ થાય છે; જ્યારે sinhz અને coshzનો માત્ર કાલ્પનિક (imaginary) અક્ષ પર અમુક બિંદુઓએ લોપ થાય છે.

ઘાતાંકીય વિધેય (exponential function) : ઘન સંખ્યા a માટે વિધેય f(x) = a^x, x ∈ R ઘાતાંકીય વિધેય છે. ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજની ગણતરીમાં, ભૌતિક વિજ્ઞાનમાં વિકિરણ-ક્ષય(radio-active decay)ની પ્રક્રિયા તેમજ અન્ય અનેક વ્યવહાર તેમજ વિજ્ઞાનનાં ઉદાહરણોમાં ઘાતાંકીય વિધેય કામ લાગે છે.

ઘાતાંકીય વિધેયનો પ્રદેશ તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ R છે અને તેનો વિસ્તાર તમામ ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ R⁺ છે. જુદા જુદા a માટે જુદાં જુદાં ઘાતાંકીય વિધેયો a^x મળે છે. a > 1 માટે વિધેય a^x વધતું વિધેય છે (એટલે કે x > y માટે a^x > a^y), 0 < a < 1 માટે a^x ઘટતું વિધેય છે. (x > y માટે ax < ay) તથા a = 1 માટે તે અચળ વિધેય છે.

આ વિધેયોના આલેખો નીચેની આકૃતિમાંથી દેખાશે :

y = a^x, a > 1  y = a^x, a < 1

y = a^x, a = 1

f(x) = a^xમાં નીચેના ઉપયોગી ગુણધર્મો છે :

a^{x + y}= a^x, a^y

(a^x)^y = a^xy

એક ખૂબ ઉપયોગી ઘાતાંકીય વિધેય f(x) = e^x છે, જ્યાં

eનું આશરા પડતું મૂલ્ય 2.718281828 છે :

e^x તથા e^−x માટે નીચેની શ્રેઢીઓ જાણીતી છે :

આ બંને શ્રેઢીઓ તમામ x ∈ R માટે અભિસારી છે.

જો a ≠ 1 ઘાતાંકીય વિધેય Rથી R⁺ નું એક-એક અને વ્યાપ્ત વિધેય છે અને તેથી તેને પ્રતિવિધેય પણ મળે છે. આ પ્રતિવિધેય માટેનો સંકેત loga છે. તેને લઘુગણકીય વિધેય (logarithm function) કહે છે. પ્રતિવિધેયોની વ્યાખ્યાનુસાર દરેક x ∈ R માટે

એ નોંધવા જેવું છે કે ઘાતાંકીય વિધેયની વ્યાખ્યામાં a > 0 તથા x ∈ R માટે a^x એટલે શું તે જાણમાં હોવાનું માની લેવાયું છે. a > 0 અને x ીં R માટે axની સમજણ આપવાનું કામ બહુ સરળ નથી. તેથી તર્કશુદ્ધ રીતે જો ઘાતાંકીય વિધેયની વ્યાખ્યા આપવી હોય તો જુદી રીતે આપવી પડે છે. આ રીતમાં સંકલનનો ઉપયોગ કરવાનો થાય છે. (જુઓ આગળ લઘુગણકીય પ્રમેય) અને સામાન્ય રીતે શાળા-કૉલેજોમાં સંકલનનું શિક્ષણ અપાય તેની પહેલાં જ ઘાતાંકીય તથા લઘુગણકીય વિધેયોનો અભ્યાસ કરવાનો હોય છે. તેથી ઉપર આપી છે તેવી જ વ્યાખ્યાઓ પાઠ્યપુસ્તકોમાં સામાન્ય રીતે લેવાય છે.

વૃત્તીય વિધેયો (circular functions) : જુઓ વિશ્વકોશ (ખંડ8 પૃ. 751-755) : ત્રિકોણમિતિ.

ગૅમા અને બીટા વિધેયો (Gamma and Beta functions) : ઉચ્ચ ગણિતમાં કેટલાંક વિધેયોની વ્યાખ્યા જ અનુચિત સંકલ વડે આપવામાં આવે છે. ગૅમા અને બીટા વિધેયો આવાં વિધેયો છે. ગણિતમાં બહુપદી વિધેયો અને ત્રિકોણમિતીય વિધેયો પછીનાં અગત્યનાં વિધેયોમાં ગૅમા વિધેય આવે છે. વિધેય f(n)=n!, n = nની કેવળ અનૃણ (non-negative) કિંમતો માટે વ્યાખ્યાયિત છે અને આ વિધેય સતત નથી. કલનશાસ્ત્ર અને ગાણિતિક વિશ્લેષણ માટે આ પ્રમેય ખાસ મહત્વનું નથી. બધી જ ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે વ્યાખ્યાયિત હોય, સતત હોય અને અનૃણ-પૂર્ણાંક n માટે જેની કિંમત n! થાય એવું વિધેય મેળવવાનો એક પડકાર અઢારમી સદીના ગણિતશાસ્ત્રીઓ સામે ઊભો થયો. તેનો ઉત્તર પ્રખર સ્વિસ ગણિતી ઑયલરે આપ્યો. તેમણે દર્શાવ્યું કે અનુચિત સંકલ વડે વ્યાખ્યાયિત એક વિધેયમાં ઉપર્યુક્ત ગુણધર્મો છે. આ વિધેયને ગૅમા વિધેય કહેવામાં આવે છે.

વ્યાખ્યા : સંકેતથી દર્શાવેલા અનુચિત સંકલ x > 0ને ગૅમા વિધેય કહેવામાં આવે છે, એટલે કે  dt x વાસ્તવિક અને ધન છે. આ સંકલ x > 0 માટે અભિસારી છે અને તેને બીજા પ્રકારનો ઑયલર સંકલ કહેવામાં આવે છે. આ વિધેય કેટલાક અગત્યના ગુણધર્મ ધરાવે છે. xની બધી કિંમતો માટે પુનરાવૃત્તિ (recurrence) સૂત્ર  સાચું છે. જો n ધન પૂર્ણાંક સંખ્યા હોય તો હોય તો  છે. x ≤ 0 માટે પણ પુનરાવૃત્તિ-સૂત્રનો ઉપયોગ કરી મેળવી શકાય છે. સંકર ચલરાશિ z માટે  ધન વાસ્તવિક z (Rlz > 0) માટે આ વિધેયની વાયરસ્ટ્રાસે

 ઑયલર અચળાંક છે.

બીટા વિધેય : p અને qની બધી જ ધન કિંમતો માટે dx અર્થપૂર્ણ છે. અંતરાલ (0, 1)માં સંકલ સતત છે, જ્યારે x = 0 તથા x = 1 આગળ તે સંભવત: અસતત હોઈ શકે. તેથી  વિશે વિચારવું જરૂરી છે. આ પૈકી  માટે જેમ x → 0+ તેમ x^p-1 (1 − x)^q-1 x^1-p  → 1; તેથી તે સંકલ 1 − p < 1 માટે એટલે કે p > 0 (અને કોઈ પણ q) માટે અભિસારી છે. વળી બીજા સંકલ  તેમ x^p-1 (1 − x)^q-1  · (1 − x)^q-1  → 1; તેથી તે સંકલ 1 − q < 1 એટલે કે q > 0 (અને કોઈ પણ p) માટે અભિસારી છે.

આમ જો p > 0 તથા q > 0 હોય તો તથા બંને અભિસારી છે.

તેથી  માટે અર્થપૂર્ણ છે.

આમ બીટા વિધેય કહેવામાં આવે છે. તેને પ્રથમ પ્રકારનો ઑયલેરિયન સંકલ પણ કહેવામાં આવે છે. ગૅમા વિધેય એક જ ધન વાસ્તવિક ચલોનું વિધેય છે. જ્યારે બીટા વિધેય બે ધન વાસ્તવિક ચલોનું વિધેય છે. આમ છતાં બીટા અને ગૅમા વિધેયો વચ્ચે એક સુંદર સંબંધ છે.

ગૅમા વિધેયાના ગુણધર્મોમાં એક અગત્યનું સૂત્ર લીજેન્ડરનું છે,

ગણિતશાસ્ત્રમાં વિશ્લેષણમાં અને સંખ્યાત્મક વિશ્લેષણમાં તેનો નોંધપાત્ર ફાળો છે.

લઘુગણકીય (logarithmic) વિધેય : ઘાતાંકીય વિધેયનું પ્રતિવિધેય તે લઘુગણકીય વિધેય. ઘાતાંકીય વિધેય f(x) = a^x

(a ≠ 1, a > 0)નું પ્રતિવિધેય g(x) = log_a^x છે. (x ∈ R⁺).

આ સમીકરણો તથા ઘાતાંકીય વિધેયના ગુણધર્મો પરથી લઘુગણકીય વિધેયના નીચેના ગુણધર્મો સરળતાથી મળે છે.

x, y ∈ R, a ∈ R+ તથા a ≠ 1 માટે

(1) log_a (xy) = log_a x + log_a y

(2) log_a (x/y) = log_a x  log_a y

(3) log_a (xⁿ) = n log_a x

ઉપરના ગુણધર્મો બતાવે છે કે વિધેય log_a ગુણાકારને સરવાળામાં, ભાગાકાર ને બાદબાકીમાં અને ઘાતને ગુણાકારમાં બદલે છે. આ કારણે ગણતરી કરવામાં આ વિધેય ખૂબ ઉપયોગી થઈ પડે છે.

ઘાતાંકીય વિધેય a^xની જેમ જ log_ax પણ a > 1 માટે વધતું તથા 0 < a < 1 માટે ઘટતું વિધેય છે. log_a xનો આલેખ આકૃતિમાં અહીં દર્શાવ્યા પ્રમાણેનો હોય છે.

a = e માટે મળતા વિધેય log_exને પ્રાકૃતિક લઘુગણકીય વિધેય (natural logarithm function) કહે છે તથા a = 10 માટે મળતા log10 xને સામાન્ય (common) લઘુગણકીય વિધેય કહેવાય છે. ગણતરીઓ સરળ કરવા માટે સામાન્ય લઘુગણકીય વિધેયનો ઉપયોગ થાય છે. આ માટે એ વિધેય તથા તેના પ્રતિવિધેયનાં મૂલ્યોનાં કોષ્ટકો તૈયાર મળે છે.

માનવીના ચિત્તંત્ર પર જાતજાતની ઉત્તેજનાઓ (ઘોંઘાટ, પ્રકાશ, ગંધ, સ્પર્શ વગેરે) આક્રમણ કરે છે અને માનવીના મનમાં સંવેદન પેદા કરે છે. પ્રયોગોથી એવું જણાયું છે કે જો ઉત્તેજનાનું મૂલ્ય x હોય તો તેથી ઉત્પન્ન થતું સંવેદન log_axના સમપ્રમાણમાં છે. (અહીં સામાન્ય રીતે a = 10 લેવાય છે.) આ કારણે સંવેદન માપવા માટે વિશેષ લઘુગણકીય માપપદ્ધતિઓ વપરાય છે. આવી પદ્ધતિઓ ધરતીકંપની તીવ્રતા, ધ્વનિની તીવ્રતા વગેરે માપવા માટે વપરાય છે.

ગણિતના તર્કશુદ્ધ વિકાસમાં લઘુગણકીય વિધેયની વ્યાખ્યા ઘાતાંકીય વિધેયના પ્રતિવિધેય તરીકે ન આપતાં સ્વતંત્ર રીતે એક સંકલના મૂલ્ય તરીકે અપાય છે. x > 0 માટે

એ પ્રાકૃતિક લઘુગણકીય વિધેયની વ્યાખ્યા છે. કોઈ પણ a (0 < a, a ≠ 1) માટે log_a x ની વ્યાખ્યા

આ અભિગમમાં ઘાતાંકીય વિધેય a^x એટલે log_axનું પ્રતિવિધેય એવી તેની વ્યાખ્યા અપાય છે.

લઘુગણક અને લઘુગણકીય માપનપદ્ધતિ :

ભાગવતમાં દશાવતારની કથામાં બલિરાજ અને વામનની એક કથા છે. તેમાં માત્ર ત્રણ ડગલાંમાં વામન સ્વર્ગ, મૃત્યુ અને પાતાળ ત્રણે લોકને આવરી લે છે. ગણિતમાં ‘વામન’ જેવું જ કામ લઘુગણક (logarithm) કરે છે, થોડાં જ પગલાંમાં સંખ્યાઓનો મોટો વિસ્તાર તે આવરી લે છે. દસને આધાર (base) તરીકે લઈ 1, 10, 100, 1000, ………, દસ લાખ, ………………., દસ અબજ જેવી સંખ્યાઓને વૈજ્ઞાનિક સંખ્યાલેખન પદ્ધતિમાં અનુક્રમે 10^o, 10¹, 10², 10³, ….., 10⁶, …… 10¹⁰ દ્વારા દર્શાવી શકાય. સંખ્યા xના એકથી શરૂ કરી દસ અબજ સુધીના વિસ્તારને log10x માત્ર 1થી 10 સુધીમાં જ આવરી લે છે. સંખ્યાઓના વિશાળ વ્યાપને પહોંચી વળવા માટે માનવને વામનની આવશ્યકતા છે, જે લઘુગણક પૂરી પાડે છે. લઘુગણકની મદદથી ગુણાકારને સરવાળામાં, ભાગાકારને બાદબાકીમાં તેમજ ઘાત અને ઘાતમૂળને સહગુણકમાં ફેરવી ગણતરીને સરળતાથી કરી શકાય છે.

હાલના કમ્પ્યૂટર યુગમાં ગણનયંત્ર (કૅલ્ક્યુલેટર) અને કમ્પ્યૂટરની મદદથી ગણતરી અને બીજી ઘણી ગાણિતિક પ્રવિધિઓ ઝડપથી અને સરળતાથી થઈ શકે છે તેથી જૂની પેઢીના લઘુગણક અને સ્લાઇડરૂલ કાલગ્રસ્ત બની જાય, પરંતુ લઘુગણકના બહુવિધ વિનિયોગથી સંવેદનમાપનની પદ્ધતિ વિકસાવવામાં આવી છે જેથી ગણિતમાં લઘુગણકનું સ્થાન અવિચળ રહ્યું છે.

પ્રકાશ, ધ્વનિ, સ્વાદ, ગંધ અને ધ્રુજારી જેવી ઉત્તેજનાઓ આંખ, કાન, જીભ, નાક અને ત્વચા દ્વારા આપણે અનુભવીએ છીએ. ઉત્તેજનાના ફલસ્વરૂપે અનુભવાતી લાગણી તે સંવેદન છે. ઉત્તેજનાને વૈજ્ઞાનિક રીતોથી માપી શકાય છે, પરંતુ સંવેદન તેની સરખામણીમાં સૂક્ષ્મ હોવાથી તેનું માપન એટલું સરળ નથી. તેના માપન માટેના પ્રયોગો વેબર અને ફેચનર નામના જર્મન મનોવિજ્ઞાનીઓએ કર્યા. જુદી જુદી લાગણીઓ માટે વેબરે અનેક માણસો સાથે પ્રયોગો કર્યા તેમજ વિવિધ લાગણીઓ માટે ઉત્તેજનામાં થયેલો ‘પારખી શકાય તેવો લઘુતમ તફાવત’ ટૂંકમાં ‘પાલત’ મેળવ્યો જેનું મૂલ્ય અજવાળા માટે 2 %, ધ્વનિ માટે 10 %, વજન માટે 20 %, રબરની ગંધ માટે 12 % અને મીઠાની ખારાશ માટે 25 % જણાયો. આમાંથી વેબરે ઉત્તેજના (stimulus, સંકેત − S) અને સંવેદન(sensation, સંકેત t)ને જોડતો નિયમ આપ્યો. ઉત્તેજનાની માત્રા Sથી વધીને S + Δs થાય ત્યારે જ સંવેદનમાં ફેરફાર જોવા મળે છે. એક જ પ્રકારની ઉત્તેજના માટે વેબરના નિયમ મુજબ ઉત્તેજના માત્રા s અને તેના પાલત ΔS માટે ગુણોત્તર અચલ રહે છે. આ નિયમનો ઉપયોગ કરી જર્મન મનોવિજ્ઞાની ફેચનરે સંવેદન માપવાની ચતુરાઈભરી રીત શોધી કાઢી. ઉત્તેજનાની જે માત્રાએ સંવેદન શરૂ થાય છે તેને ઉત્તેજનાનું સીમામૂલ્ય (સંકેત S0) કહેવામાં આવે છે. ફેચનરના પ્રયોગમાં ઉત્તેજનાની માત્રાને તબક્કાવાર વધારતા જઈ તેની સામે સંવેદનની નોંધ કરવામાં આવી તો ઉત્તેજનાની માત્રા S_o, S_or, S_or², S_or³, ………. સ્વરૂપમાં અને તેને અનુરૂપ સંવેદન 0, t₁, 2t₁, 3t₁, ……. સ્વરૂપમાં મળે છે. એટલે કે જ્યારે ઉત્તેજનાની માત્રા S, સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં વધે છે ત્યારે તેને અનુરૂપ સંવેદન સમાંતરશ્રેણીમાં વધે છે. એ જાણીતું છે કે સમગુણોત્તર શ્રેણીને સમાંતર શ્રેણીમાં ફેરવતો સંબંધ લઘુગણકીય (logarithmic) હોય છે. આ પરથી ફેચનરે ઉત્તેજનાની માત્રા S અને સંવેદના tને જોડતો નિયમ  સૂત્રથી આપ્યો. અહીં S_o ઉત્તેજનાનું સીમામૂલ્ય અને K અચળ છે. ફેચનરનું આ સૂત્ર સંવેદનમાપન માટે ખૂબ મહત્વનું નીવડ્યું. આમાંથી ધ્વનિ, પ્રકાશ, ધ્રુજારી, સ્વાદ વગેરેથી થતાં સંવેદન માપવા માટેની લઘુગણકીય માપપદ્ધતિ અસ્તિત્વમાં આવી. ઉત્તેજનાની તુલનાએ સંવેદન ખૂબ ધીમેથી વધે છે. આથી સંવેદનના માપની પદ્ધતિ અને એકમ, ઉત્તેજનાની માપનપદ્ધતિ અને એકમથી જુદાં છે. દા.ત., ધ્વનિની ઉત્તેજનાની માત્રા ‘વોટ’ પ્રતિ ચોરસમીટર એકમમાં માપવામાં આવે છે. જો 1000 હર્ટ્ઝના આંદોલનથી ધ્વનિ ઉત્પન્ન કરવામાં આવે તો ઉત્તેજનાનું સીમામૂલ્ય 10^–12 વોટ/ચો.મી. છે. એટલે જ સીમામૂલ્યથી ઓછી માત્રાનો ધ્વનિ આપણે સાંભળી શકતા નથી. અહીં ફેચનરનું સૂત્ર  વાપરીએ તો સીમામૂલ્ય 10^–12 = S_o છે.

ધ્વનિ-તીવ્રતા માપવાનો એકમ વોટ/ચો.મી. હોય ત્યારે K = 1 લેવામાં આવે છે અને તે પરથી મળતા સંવેદન tના માપના એકમને બેલ (Bel) (ટેલિફોનના શોધક ગ્રેહામ બેલના નામ પરથી) કહેવામાં આવે છેે. (સંકેત B). તેના દસમા ભાગને ડેસિબેલ (સંકેત dB) કહેવામાં આવે છે. અહીં અને S_o = 10^–12 મૂકીએ તો t = (12 + log S) બેલ મળે, જે t = 120 + 10 log S ડેસિબેલ થાય એટલે કે ધ્વનિની ઉત્તેજના 10^–11 થી વધીને 1 થાય ત્યારે સંવેદન 1Bથી વધીને 12B થાય છે. આમ ઉત્તેજનામાં 10¹¹ (સો અબજ) ગણો વધારો થાય ત્યારે સંવેદન માત્ર K ગણું થાય છે. લઘુગણકીય માપનપદ્ધતિ સંવેદનમાપનને સરળ અને સંક્ષિપ્ત બનાવે છે.

ભલભલાને ધ્રુજાવી કાઢે એવી ધ્રુજારી ધરતીકંપથી થાય છે. ધરતીકંપથી જે નુકસાન થયું હોય તેટલું નુકસાન કરવું હોય તો કેટલી શક્તિ વાપરવી પડે તે પરથી ધરતીકંપની તીવ્રતાની માત્રા નક્કી કરી શકાય. ધરતીકંપથી આપણને થતું સંવેદન બહુ ઓછું હોય છે. તે વેબરફેચનરના નિયમને અનુસરે છે. આવું સંવેદન માપવા માટે અમેરિકન વિજ્ઞાની રિક્ટરે ખાસ લઘુગણકીય માપપદ્ધતિ આપી છે. ધરતીકંપને પણ અમુક સીમામૂલ્ય (સંકેત s_o) છે. ધરતીકંપના સીમામૂલ્યનું રિક્ટર માપ શૂન્ય ગણાય છે. તેનાથી ઓછી માત્રાના ધરતીકંપનું સંવેદન આપણને થતું નથી. ધરતીકંપના રિક્ટર માપ માટેનું સૂત્ર છે. અહીં S = S_o હોય તો R = log   જો Sનું મૂલ્ય, સીમામૂલ્ય કરતાં દસગણું હોય તો  એટલે કે રિક્ટરમાપ 1 છે. સીમામૂલ્ય કરતાં સોગણી તીવ્રતાવાળા ધરતીકંપનું રિક્ટરમાપ 2, હજારગણાનું 3 છે. 1934ના બિહારના ધરતીકંપનું રિક્ટરમાપ 8.4 અને 1970ના ભરૂચના ધરતીકંપનું રિક્ટરમાપ 5.4 હતું એટલે કે બંનેના રિક્ટરમાપનો તફાવત ત્રણ થાય; પરંતુ ધરતીકંપની તીવ્રતાની દૃષ્ટિએ જોઈએ તો બિહારનો ધરતીકંપ, ભરૂચના ધરતીકંપ કરતાં હજારગણો શક્તિશાળી હતો. સ્વાદ, ગંધ અને પ્રકાશના સંવેદનમાપન માટે પણ આ પદ્ધતિ વાપરી શકાય છે.

વૈશ્લેષિક વિધેય (analytic function) : દ્વિપરિમાણી વિસ્તાર- (region)ના દરેક બિંદુ આગળ સંકર વિધેય f(z) વિકલનીય હોય અને તેનું વિકલનફળ f´(z) અસ્તિત્વ ધરાવતું હોય એવું વિધેય f(z).

આ વિધેયને સર્વત્ર વિકલનીય [હોલોમોર્ફિક (holomorphic) કે મૉનોજેનિક કે રેગ્યુલર] વિધેય પણ કહેવામાં આવે છે.

સંકર વિધેયનું લક્ષ લઈ સંકલન કરવા જતાં 1814ના અરસામાં ફ્રેંચ ગણિતી ઑગસ્ટિન લૂઈ કોશીએ વૈશ્લેષિક વિધેયો શોધ્યાં. તે પરનાં તેમણે મેળવેલાં પરિણામ ઈ. સ. 1825માં પ્રસિદ્ધિ પામ્યાં. સામાન્ય (ordinary) અને આંશિક (partial) વિકલ સમીકરણ અને ગાણિતિક ભૌતિકશાસ્ત્રમાં તેમણે આ પરિણામોનો ઉપયોગ કર્યો. આંશિક વિકલોનો ઉપયોગ કરી ફ્રેંચ ગણિતી કોશી અને જર્મન ગણિતી બર્નહાર્ડ રીમાન્ને સંકર વિધેય f(z) વૈશ્લેષિક હોવાની જરૂરી અને પર્યાપ્ત શરતો અંગેનો સિદ્ધાંત આપ્યો. વૈશ્લેષિક વિધેય પરથી રીમાન્ન સપાટી અને સમકોણ (conformal) રૂપાંતરણો રજૂ થયાં. તેમના સમકાલીન ગણિતી વાયરસ્ટ્રાસે વૈશ્લેષિક વિધેયને અનંત ઘાત શ્રેઢીનાં સ્વરૂપમાં રજૂ કર્યું; જેમ કે . પ્રદેશ D 0 પર વ્યાખ્યાયિત વૈશ્લેષિક વિધેય f(z) સતત પણ હોય છે. તેથી D ઉપર z0ની નજીક z હોય તો R પર f(z_o)ની નજીક f(z) હોય અને f(z) − f(z₁)ના (z − z_o) સાથેના ગુણોત્તરના લક્ષ્ય (સંકેતમાં)  ને વિધેય f(z)નું z = z_o બિંદુ આગળનું z સાપેક્ષે વિકલન કહેવામાં આવે છે અને તેને f´(z)થી દર્શાવવામાં આવે છે. વિધેય f(z)નું વિકલન પ્રદેશ Dના પ્રત્યેક બિંદુ આગળ અસ્તિત્વ ધરાવતું હોય તો વિધેય f(z)ને પ્રદેશ D પર વૈશ્લેષિક વિધેય કહેવામાં આવે છે.

વિધેય f(z) વૈશ્લેષિક હોવાની કોશીરીમાન્નની આવશ્યક અને પર્યાપ્ત શરતો : વિધેય f(z) = w = u (x, y) + i υ (x, y) પ્રદેશ (domain) D ઉપર વ્યાખ્યાયિત વૈશ્લેષિક વિધેય છે. u અને uના ચલરાશિ x અને y પ્રત્યેના આંશિક વિકલનો u_x, u_y; u_x, u_y અસ્તિત્વ ધરાવે છે. જે કોશીરીમાન્ન શરતો u_x = u_y અને u_y = -υ_xનું પાલન કરે છે. આથી ઊલટું, જો વિધેય f(z) કોશીરીમાન્ન શરતોનું પાલન કરતું હોય તો તે વિધેય વૈશ્લેષિક વિધેય હોવું જોઈએ.

w = f(z)નાં ઘટક વિધેય u અને uને  એકબીજાનાં સ્વરિત સંયુગ્મી (harmonic conjusate) વિધેય કહેવામાં આવે છે. આંશિક વિકલન કરતાં F_xx + F_yy = 0 મળે એટલે કે F એ લાપ્લાસના સમીકરણનું સમાધાન કરે છે. જે   કે Δ²F = 0 છે. (z − a)² + ….. + a_n (z − a)ⁿ + ….. આ અનંત ઘાત શ્રેઢી છે. આ શ્રેઢી સર્વત્ર વિકલનીય (holomorphic) વિધેય રચે છે; જેને થી દર્શાવવામાં આવે છે. અહીં એવી એક ધન સંખ્યા R અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી |z − a| < R માટે શ્રેઢી અભિસારી છે અને |z − a| > R માટે શ્રેઢી અપસારી છે. આમ |z − a| = R થી બહારના દરેક બિંદુ આગળ શ્રેઢી અપસારી છે. |z − a| = R ને વર્તુળની અભિસારિતા ત્રિજ્યા કહેવામાં આવે છે. વિધેય f(z), |z − a| < R માટે સર્વત્ર વિકલનીય હોવાથી f(z)ના બધા ક્રમ(order)નાં વિકલનો મળે છે.

અરુણ મ. વૈદ્ય

શિવપ્રસાદ મ. જાની