આલેખ (Graph) : અવલોકનો કે માહિતીની ભૌમિતિક રીતે રજૂઆત કરવાની પદ્ધતિ. અંતર અને દિશા તેનાં પાયાનાં તત્વો છે.
(ક) કોર્તેઝીય પદ્ધતિ : સમતલના કોઈ એક બિંદુમાંથી પસાર થતી બે પરસ્પર લંબરેખાઓ લેવામાં આવે તો બિન્દુને ઊગમબિંદુ (origin) અને લંબરેખાઓને લંબયામાક્ષો (coordinate axes) તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. સામાન્ય રીતે લંબરેખાઓ પૈકી એક ક્ષૈતિજ (horizontal) અને બીજી શિરોલંબ (vertical) હોય છે. ક્ષૈતિજ યામાક્ષ પ્રથમ કે x-અક્ષ અને શિરોલંબ યામાક્ષ દ્વિતીય કે y–અક્ષ નામે ઓળખાય છે. ઊગમબિંદુથી x-અક્ષ પર જમણી તરફનું અંતર ધન (positive) અને ડાબી તરફનું ઋણ (negative); y-અક્ષ પર ઉપરની તરફનું અંતર ધન અને નીચેની તરફનું ઋણ ગણવાની પ્રણાલી છે. x–અક્ષ પરનું સચિહન અંતર બિંદુનો પ્રથમ યામ, x-યામ કે કોટિ (abscissa) કહેવાય છે. y–અક્ષની દિશામાં સચિહ્ન અંતર બિંદુનો દ્વિતીય યામ કે ભુજ (ordinate) કહેવાય છે. સમતલના બિંદુના x–યામ અને y–યામ મળીને ક્રમિત (ordered) જોડ (x, y) બને. બિંદુ P ક્રમિત જોડ(x, y)નું ભૌમિતિક ચિત્ર કે તેનો આલેખ છે.
ત્રિપરિમાણી અવકાશમાં કોઈ એક બિંદુને ઊગમબિંદુ ગણીને તેમાંથી પસાર થતી ત્રણ પરસ્પર લંબરેખાઓ પ્રથમ કે x-અક્ષ, દ્વિતીય કે y-અક્ષ અને તૃતીય કે z-અક્ષ તરીકે લેવામાં આવે છે. અવકાશના બિંદુનું નિરૂપણ કરતાં ત્રણ ક્રમિત સચિહ્ન અંતરો x, y અને z તે બિંદુના યામો છે. આ બિંદુને ક્રમિત ત્રય (x, y, z) વડે નિર્દેશવામાં આવે છે. તે બિંદુ (x, y, z) Pનો આલેખ છે.
ઉચ્ચતર ગણિતશાસ્ત્રમાં n પરિમાણી અવકાશની કલ્પના કરવાની જરૂર પડે છે. આ સંદર્ભમાં તે અવકાશનું બિંદુ ક્રમિત n-પુટી (n-tuple) (x1, x2,…xi,…xn) વડે નિર્દેશિત થાય છે. સચિહન અંતર xiને બિંદુનો i-મો યામ કહે છે. બિંદુ ક્રમિત n-પુટી(x1, x2,…xi,…xn)નો આલેખ છે.
આ પદ્ધતિ સૌપ્રથમ પ્રયોજનાર ફ્રેંચ ગણિતી દ કાર્ત હતો એટલે તે કાર્તેઝીય યામપદ્ધતિ તરીકે પ્રચલિત છે.
(ખ) ધ્રુવીય (polar) પદ્ધતિ : સમતલમાં બિંદુનું સ્થાન નિર્ણીત કરતી અન્ય પદ્ધતિ. સમતલમાં કોઈ એક બિંદુ Oને નિશ્ચિત બિંદુ તરીકે અને Oમાંથી ઉદભવતા કિરણ OXને આદ્ય કે પ્રારંભિક (initial) કિરણ તરીકે લઈએ તો O ધ્રુવ કહેવાય. Oથી બિંદુ Pનું અંતર r હોય અને અન્ત્ય કિરણ OP, કિરણ OX સાથે θ માપનો ખૂણો બનાવે તો ક્રમિત જોડ (r, θ) ને બિંદુ Pના ધ્રુવીય યામો કહેવાય. rને Pનો અરીય (radial) યામ અને θને તેનો કોણીય યામ કહેવામાં આવે છે. બિંદુ P(r, θ)નો આલેખ છે.
(ગ) ગોલીય(spherical) પદ્ધતિ : અવકાશમાંના બિંદુનું સ્થાન નિર્ણીત કરવા માટેની એક પદ્ધતિ. બિંદુ P ગોલકના વક્ર પૃષ્ઠ પર અને ઊગમબિંદુ O ગોલકના કેન્દ્ર આગળ છે. Oથી Pનું અંતર (ગોલકની ત્રિજ્યા) r છે. Pનો XOY સમતલ પરનો લંબપાદ N છે. ખૂણા XONનું માપ θ અને ખૂણા POZનું માપ Φ છે. ક્રમિત ત્રિપુટી (r, θ, Φ) બિંદુ Pના ગોલીય યામો છે. θ બિંદુ Pનો (પૂર્વ) રેખાંશ અને Φ Pનો (ઉત્તર) કોટયક્ષ (colatitude) છે. (90 – Φ બિંદુ Pનો ઉત્તર અક્ષાંશ બને.)
(ઘ) નળાકારી (cylindrical) પદ્ધતિ : અવકાશના બિંદુ Pના XOY સમતલ પરનો લંબપાદ N અને NPનું માપ Z છે. XOY સમતલમાં Nના ધ્રુવીય યામ (r, θ) હોય તો બિંદુ Pના સિલિન્ડરીય યામો (r, θ, Z) એ ક્રમિત ત્રય દ્વારા દર્શાવાય છે.
પ્રકારો :
(1) રેખાલેખ : અવલોકનો કે માહિતીના ચલ (xi)ને x-અક્ષ પર અને પ્રત્યેક ચલને સંગત આવૃત્તિ(fi)ને y-અક્ષ પર નિર્દેશવામાં આવે છે. (xi, fi) જેવી ક્રમિત જોડોને અનુરૂપ બિંદુઓનું સમતલમાં આલેખન કરી પ્રત્યેક બિંદુમાંથી x-અક્ષ પર લંબ રેખાખંડો દોરવાથી પ્રાપ્ત થતો આલેખ રેખાલેખ છે.
(2) સ્તંભાલેખ : વર્ગીકૃત માહિતી માટે પ્રત્યેક વર્ગનાં સીમા-બિંદુઓ x-અક્ષ પર અને દરેક વર્ગની આવૃત્તિ (frequency) y-અક્ષ પર નિર્દેશવામાં આવે છે. (માહિતી અસમાન વર્ગલંબાઈના વર્ગોમાં વિભાજિત હોય ત્યારે ન્યૂનતમ વર્ગલંબાઈને સાપેક્ષ આવૃત્તિને પ્રમાણસર રૂપાંતરિત કરવી આવશ્યક છે.) દરેક વર્ગની લંબાઈ જેટલા x-અક્ષ પરના પાયા ઉપર તે તે વર્ગની આવૃત્તિ જેટલો લંબચોરસ રચતાં પ્રાપ્ત થતો આલેખ સ્તંભાલેખ છે.
(3) આવૃત્તિ બહુકોણ – (frequency polygon), આવૃત્તિ વક્ર (frequency curve) : અવર્ગીકૃત માહિતીના ચલ (Xi) અને વર્ગીકૃત માહિતીના વર્ગોની મધ્ય કિંમતો (Xi)ને xઅક્ષ પર અને સંગત (corresponding) આવૃત્તિ (fi)ને y-અક્ષ પર નિર્દેશવામાં આવે છે. સમતલમાં (Xi, fi) જેવાં બિંદુઓ નિરૂપો. તદુપરાંત પહેલા વર્ગના પુરોગામી વર્ગની મધ્યકિંમત (Xo) તથા છેલ્લા વર્ગના અનુગામી વર્ગની મધ્યકિંમત (Xn+1)ને અનુરૂપ આવૃત્તિઓ શૂન્ય ગણી (Xo, O) અને (Xn+1, O) બિંદુઓ x-અક્ષ પર આલેખો. હવે (xo, O), (x1, f1), (x2, f2),… (Xn, fn), (xn+1, O) નિર્દેશતાં બિંદુઓને ક્રમવાર રેખાખંડો વડે જોડતાં આવૃત્તિ બહુકોણનો આલેખ પ્રાપ્ત થાય. આ બિંદુઓને મુક્ત હાથે વક્રથી જોડતાં આવૃત્તિ વક્ર મળે છે.
(4) સંચયી (cumulative) આવૃત્તિ બહુકોણ/વક્ર : વર્ગીકૃત માહિતીના વર્ગોની મધ્ય કિંમતો (Xi)ને xઅક્ષ પર અને પ્રત્યેક વર્ગની સંચયી આવૃત્તિ (cfi)ને y-અક્ષ પર નિર્દેશી (Xi, cfi) જેવી ક્રમિત જોડોનાં બિંદુઓ નિરૂપો. ક્રમવાર બિંદુઓને રેખાખંડોથી જોડતાં સંચયી આવૃત્તિ બહુકોણ અને મુક્ત હાથે વક્રથી જોડતાં સંચયી આવૃત્તિ વક્ર પ્રાપ્ત થાય છે.
માહિતી સાતત્યપૂર્ણ ન હોય તો (Xi, cfi) બિંદુઓ નિરૂપી ક્રમવાર જોડતાં મળતો આવૃત્તિ બહુકોણ સોપાન આકારનો મળે છે.
(5) પાઈ–ચાર્ટ : માહિતીના મુખ્ય ઘટકોને પ્રમાણસર વર્તુળાકાર પ્રદેશમાં વૃત્તાંશ (sector of a circle) તરીકે નિર્દેશવામાં આવે છે.
(6) વક્રના આલેખ : ગણિતશાસ્ત્રમાં y = f(x) જેવા સંબંધોના આલેખો માટે નિરપેક્ષ ચલ x ને x-અક્ષ પર અને સાપેક્ષ ચલ y ને y-અક્ષ પર નિર્દેશવામાં આવે છે. (બંને અક્ષો પર પ્રમાણમાપ એકસરખું રાખવું આવશ્યક છે). (x, y) જેવી ક્રમિત જોડોને જોડતાં આલેખ પ્રાપ્ત થાય છે. કેટલાક અતિપરિચિત સંબંધોના આલેખોની રૂપરેખા નીચે દર્શાવી છે. વક્રની નીચે તેનું સમીકરણ અને પ્રચલિત નામ આપેલ છે.
ax + by + c = O : રેખા
y = ΙxΙ : માનાંક (modulus)
y = [x] : સોપાન કે મહત્તમ પૂર્ણાંક
y = sin x : સાઇન
y = cos x : કોસાઇન
y = tan x : ટેન્જન્ટ
x2 + y2 = a2 : વર્તુળ
પરવલય (parabola)
= 1 (0 < b < a) : ઉપવલય (ellipse)
= 1 : અતિવલય (hyperbola)
y = ex : ઘાતાંકીય (exponential)
y = log x (x > 0) : લઘુગણકીય (logarithmic)
= cosh(x/c) : રજ્જુવક્ર (catenary)
y2 = x(x – a)2 : પાશવક્ર (loopy)
y = aebθ : સમકોણી સર્પિલ (equiangular spiral)
y = a(θ + sin θ), y = a(1 + cos θ) : ચક્રજ (cycloid)
x2/3 + y2/3 = a2/3 કે x = a cos3 θ, y = a sin3 θ : પરાચક્રજ (astroid)
r = a(1 + cos θ) : હૃદાભવક્ર (cardioide)
મોહનભાઈ ડા. સુથાર