ડાયૉફૅન્ટાઇન સમીકરણો (Diophantine equations) : જેના ઉકેલો પૂર્ણાંક સંખ્યાઓમાં મેળવવાના હોય તેવાં સમીકરણો (ટૂંકમાં ડા.સ.). આવાં સમીકરણોનો સૌપ્રથમ સઘન અભ્યાસ કરનાર ગ્રીક ગણિતશાસ્ત્રી ડાયૉફૅન્ટાસના નામ ઉપરથી આ નામ ઊતરી આવ્યું છે. ડા.સ.નું સામાન્ય સ્વરૂપ f ≡ f( x1, x2…..xn) = 0 છે. અહીં f; x1, x2, …., xn પૂર્ણાંક ચલોમાં પૂર્ણાંક સહગુણકોવાળી બહુપદી છે. અન્ય સ્વરૂપના ડા.સ.નો પણ અભ્યાસ થાય છે. (દા. ત.. xy = yx અને આના ઘન પૂર્ણાંકોના ઉકેલો x = y અને (x, y) = (2, 4) કે (x, y) = (4, 2)) છે. ડા.સ. મુખ્યત્વે ચાર પ્રકારનાં છે : (1) જેને એક પણ ઉકેલ ન હોય; દા. ત., x2 + y2 = 3. (2) જેને અનન્ય (unique) ઉકેલ હોય; દા. ત., 5x + 3y = 8 x > 0, y > 0. (3) સાન્ત (finite) સંખ્યાના ઉકેલો હોય; દા. ત., x2 + y2 + z2 = 28 અને (4) અનન્ત ઉકેલો હોય; દા. ત., x2 – 2y2 = 1. કેટલીક વખત ઉદાહરણ (2)માં છે તેવી રીતે ડા.સ.ના ઉકેલો પર વિશિષ્ટ શરતો પણ લાદવામાં આવે છે.
બધાં ડા.સ.ને લાગુ પડે તેવી ડા.સ. ઉકેલવાની કોઈ વ્યાપક રીત નથી પણ આપેલા ડા.સ.ને ઉકેલ નથી તેમ સાબિત કરવા માટે ઘણી વાર સમશેષતા(congruence)નો ઉપયોગ કરી શકાય છે.
હવે કેટલાંક જાણીતાં ડા.સ. તથા તેમના ઉકેલ જોઈએ.
(1) ax + by = c સમીકરણમાં a, b, c પૂર્ણાંકો છે. અહીં a અને bનો ગુ.સા.અ. (H.C.F.) d, જો c નો અવયવ હોય તો અને તો જ ડા.સ.ને ઉકેલો મળે. વળી જો કોઈ એક ઉકેલ x = xo, y = yo હોય તો તમામ ઉકેલોનો ગણ
(2) x2 + y2 = z2 આ ડા.સ.ના તમામ ઉકેલોનો ગણ
{x = k (m2 – n2), y = 2kmn, z = k(m2 + n2)/ k, m, n પૂર્ણાંક છે.} દા.ત., k = 1, m = 3, n = 2 લેવાથી x = 5, y = 12, z = 13 મળે છે.
(3) x2 – Dy2 = N, x > 0, y > 0, Dને 1 સિવાય કોઈ પૂર્ણ વર્ગ અવયવ નથી. આ સમીકરણને પેલિયન સમીકરણ કહેવાય છે. જોકે યુરોપમાં આ સમીકરણનો અભ્યાસ થયો તેની સદીઓ પહેલાં ભારતમાં તેનો ઉકેલ જાણીતો હતો. આ સમીકરણ ઉકેલવા માટે x2 – Dy2 = 1 ઉકેલવું જરૂરી બને છે. આ માટે 
ના પરંપરિત અપૂર્ણાંક – વિસ્તરણની મદદ લઈ x2 – Dy2 = 1નો એક (મૂળભૂત) ઉકેલ x0, y0 શોધવામાં આવે છે. બાકીના બધા ઉકેલો xn, yn
હવે x2 – Dy2 = Nનો કોઈ એક ઉકેલ x = a, y = b, હોય તો x2 – Dy2 = 1નો મૂળભૂત ઉકેલ x0, y0 હોય તો
થી મળતા an, bn એ બધા x2 – Dy2 = Nના ઉકેલો છે. xn + yn = zn , n ≥ 3 સમીકરણ ઇતિહાસમાં સૌથી વધુ જાણીતું થયેલું ડા.સ. છે.
ફરમાએ સાબિત કર્યું હતું કે n = 4 માટે ઉપરના સમીકરણને કોઈ શૂન્યેતર ઉકેલ નથી. તેણે ઈ. સ. 1637માં એવો દાવો પણ કર્યો હતો કે આ ડા.સ.ને n ≥ 3 માટે કોઈ શૂન્યેતર ઉકેલ નથી, તેવી સાબિતી તેની પાસે છે. પણ સાડાત્રણ સોથી વધુ વર્ષ માટે કોઈ આ પરિણામ સાબિત ન કરી શક્યું કે ન તો n ≥ 3 માટે xn + yn = zn હોય તેવા શૂન્યેતર પૂર્ણાંકો x, y, z મળ્યા. આ પરિણામ ફરમાના અંતિમ પ્રમેય તરીકે ખૂબ પ્રખ્યાતિ પામ્યું. આખરે એક નિષ્ફળ પ્રયત્ન કર્યા પછી 1994માં એન્ડ્રુ વાઇલ્સે એ પ્રમેયની સાચી સાબિતી આપી છે.
વિજય જોશી
અરુણ વૈદ્ય