ટોપોલૉજી (સંસ્થિતિવિદ્યા)

ટોપોલૉજી (સંસ્થિતિવિદ્યા) : એક વિશિષ્ટ પ્રકારની ભૂમિતિ. આપણે શાળાઓમાં જે ભણીએ છીએ તે યુક્લિડીય ભૂમિતિ છે. તેમાં આકૃતિઓના એવા ગુણધર્મોનો અભ્યાસ થાય છે કે જે આકૃતિના સ્થાનાંતરણ, પરિભ્રમણ કે પરાવર્તન જેવાં જડ રૂપાંતરોથી બદલાતા નથી; દા. ત., કોઈ આકૃતિ (વર્તુળની જેમ) બંધ આકૃતિ હોય અને તેને અન્ય સ્થાને ખસેડવામાં આવે કે તેનું પરિભ્રમણ કરાવવામાં આવે તો આ રૂપાંતર પછી પણ તે આકૃતિ બંધ જ રહે છે. આવાં રૂપાંતર હેઠળ અક્ષુણ્ણ રહેતા અન્ય ગુણધર્મો ક્ષેત્રફળ, એકરૂપતા, સમરૂપતા છે.

સંસ્થિતિવિદ્યામાં આકૃતિઓના જે ગુણધર્મોનો અભ્યાસ થાય છે તે આકૃતિઓને તોડ્યાફોડ્યા વગર તેને વાળવાથી, વિસ્તારવાથી કે સંકોચવાથી બદલાતા નથી. આમ આકૃતિનું બંધ હોવું એ સંસ્થિતિવિદ્યાનો ગુણધર્મ છે પણ ક્ષેત્રફળ નથી, કારણ કે યુક્લિડીય ભૂમિતિનાં રૂપાંતરો હેઠળ વર્તુળ વર્તુળ જ રહે છે, સંસ્થિતિવિદ્યાનાં રૂપાંતરો હેઠળ વર્તુળ કેવળ બંધ આકૃતિ જ રહે છે. એ વર્તુળ ન પણ રહે. આકૃતિ એક જ ટુકડામાં હોવી (અવિભક્તપણું Connected-ness) એ પણ સંસ્થિતિવિદ્યાનો ગુણધર્મ છે. બિંદુનું આકૃતિની અંદર હોવું એ પણ સંસ્થિતિવિદ્યાનો ગુણધર્મ છે. આકૃતિમાં (નિશ્ચિત સંખ્યાનાં) છિદ્રો હોવાં એ પણ સંસ્થિતિવિદ્યાનો ગુણધર્મ થાય છે.

સંસ્થિતિવિદ્યામાં જે રૂપાંતરો લેવામાં આવે છે. તેમને તદ્રૂપતા (Homeo morphism) કહેવાય છે. તદ્રૂપતા હેઠળ અક્ષુણ્ણ રહેતા ગુણધર્મોને સાંસ્થિતિક (topological) કહેવાય છે. તદ્રૂપતા સામાન્ય રીતે ખેંચતાણ કે સંકુચન હોય છે માટે આકૃતિ રબરની બનેલી હોય તેમ ધારી લેવાથી સાંસ્થિતિક ગુણધર્મો કયા છે તેનો ઝટ ખ્યાલ આવે છે. આ કારણે સંસ્થિતિવિદ્યાને રબરની ચાદરની ભૂમિતિ પણ કહેવાય છે.

યુક્લિડીય ભૂમિતિ પણ આમ તો અમુક રૂપાંતરો હેઠળ સચવાઈ રહેતા ગુણધર્મોનો અભ્યાસ છે, છતાં તે વિષયનો અભ્યાસ પૂર્વધારણાયુક્ત અભિગમથી તાર્કિક રીતે થઈ શકે છે એ જ રીતે સંસ્થિતિવિદ્યાનો અભ્યાસ પણ શાસ્ત્રીય રીતે વ્યાખ્યાઓ અને પૂર્વધારણાઓ વડે શરૂ કરાય છે.

સંસ્થિતિવિદ્યામાં જે પરિવર્તનોની અસરથી કોઈ ‘તૂટફૂટ’ ન થાય તે પરિવર્તનો કામનાં છે ‘તૂટફૂટ ન થાય’ નો અર્થ એવો કરી શકાય કે પરિવર્તન અગાઉ જે બિંદુઓ એકબીજાની ‘નજીક’ હતાં તે પરિવર્તન પછી પણ એકબીજાની ‘નજીક’ જ રહેવાં જોઈએ. વાસ્તવિક સંખ્યાઓમાં આવાં પરિવર્તનોને ‘સતત’ વિધેયો કહે છે. સાતત્યની વ્યાખ્યામાં વિવૃત ગણો (open sets) મહત્વનો ભાગ ભજવે છે. વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે તો વિવૃત ગણોની વ્યાખ્યા વિવૃત અંતરાલની મદદથી અપાય છે પણ વ્યાપક ગણમાં અંતરાલો હોતા નથી. આ કારણે વિવૃત ગણોના મહત્વના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને જ તેમની વ્યાખ્યા અપાય છે અને એ રીતે સ્થાનવિદ્યાનો પૂર્વધારણાયુક્ત અભ્યાસ શરૂ કરાય છે

ધારો કે S એક ગણ છે તથા J નીચેના ગુણધર્મો ધરાવતા તેના ઉપગણોનો સમૂહ છે.

(1) ખાલી ગણ Φ∈Jતથા S∈J

(2) જો J’ તે J નો ઉપસમૂહ હોય તો UT પણ Jમાં હોય T∈J’

(3) જો S1, S2,….Sn તે S ના (મર્યાદિત સાંત સંખ્યાના) ઉપગણો હોય તો તેમનો છંદ ગણ પણ J માં હોય, (એટલે કે Si∈J, i = 1,2,…..n તો  Sn∈J) તો J ને S પરની એક સંસ્થિતિ (ટોપોલૉજી)  તથા J માંના દરેક ગણને આ ટોપોલૉજીનો વિવૃત ગણ કહેવાય.  ટોપોલૉજીનો J યુક્ત ગણ S ને સ્થાનાવકાશ કે સાંસ્થિતિક અવકાશ (Topological Space) (S, J) કહે છે.

જો બે સાંસ્થિતિક અવકાશો (S₁, J₁) તથા (S₂, J₂) વચ્ચે એવું વિધેય f ; S₁→S₂ હોય કે જે એક એક તથા વ્યાપ્ત હોય તથા પ્રત્યેક A₁∈J₁ માટે  f(S^A)∈J₂ થાય અને પ્રત્યેક B₁∈J₂ માટે  (B₁)∈J₁ થાય તો આવા સાંસ્થિતિક અવકાશો તદ્રૂપ (homeomorphic)  તથા વિધેય f ને તદ્રૂપતા (homeomorphism) કહેવાય. જો બે સાંસ્થિતિક અવકાશો તદ્રૂપ હોય તો તે બન્નેમાં સાંસ્થિતિક ગુણધર્મો એકસરખા જ હોય.

જે ગણોનાં અંતર વ્યાખ્યાયિત હોય તે ગણો સ્વાભાવિક રીતે જ સાંસ્થિતિક અવકાશો બને છે. x, y વચ્ચેના અંતરને d(x,y)થી દર્શાવીએ તો તેમાં નીચેના ગુણધર્મો હોવા જરૂરી છે. (1) d(x,y)≥o,  તથા x=y હોય તો અને તો જ d (x,y)=o (2) d (x,y)=d(y,x) (3) d (x,y)  ≤ d (x,y) + d(y,z).

ગણ xમાં આ પ્રમાણેનો અંતરનો ખ્યાલ d (x,y) હોય તો (x,d) એક સાંસ્થિતિક અવકાશ છે અને આવા અવકાશને માનાવકાશ (metric space) કહે છે.

આપેલ ગણ ઉપરની કોઈ ચોક્કસ સંસ્થિતિ કોઈ માન (અંતર)ના ખ્યાલમાંથી ઉદભવે છે કે નહિ તે જાણવું મહત્ત્વનું હોય છે. આ માટે સંસ્થિતિવિદ્યામાં પૂરતાં સંતોષકારી પરિણામો છે. આ પ્રકારનું એક મહત્ત્વનું પરિણામ યુરીસોનનું માનીય પ્રમેય (Urysonb’s metrization Theorem) છે.

યુક્લિડીય અવકાશમાં સમાવિષ્ટ (embedded) સાંસ્થિતિક અવકાશ કે જે સ્થાનીય (locally) રીતે n-પરિમાણીય યુક્લિડીય અવકાશને તદ્રૂપ છે તેને n-બહુવિધ (n–manifold) કહે છે. આમ યુક્લિડીય અવકાશમાં સમાવિષ્ટ કોઈ પણ સતત વક્ર અને કોઈ પણ સતત પૃષ્ઠ અનુક્રમે 1–બહુવિધ અને 2–બહુવિધનાં ઉદાહરણો છે.

સ્વછેદન ન કરતો હોય તેવો કોઈ પણ બહુકોણ એ 1-ગોલક (એકમ વર્તુળ) સાથે તદરૂપ છે. એટલું વિચારવું પૂરતું છે કે તે રબર-પટ્ટીના બનેલા છે. આ જ કારણસર સ્વછેદન ન કરતો હોય તેવો કોઈ પણ બહુફલક એ 2-ગોલક (3-પરિમાણીય યુક્લિડીય અવકાશના ઊગમબિંદુથી એકમ અંતરે આવેલ બિન્દુઓના ગણ) સાથે તદરૂપ છે. 2-ગોલક એ એક 2-બહુવિધ છે. 2 બહુવિધનું અન્ય રસપ્રદ ઉદાહરણ છે ટોરસ (Torus). ટોરસ એટલે સાઇકલ કે સ્કૂટરની ટ્યૂબ અથવા તો મેંદુવડાની સપાટી, સ્કૂટરની ટ્યૂબને તોડ્યા વગર ફક્ત ખેંચી, સંકોચી કે વાળીને વૉલી બૉલની ટ્યૂબની 2-ગોલીય આકારમાં રૂપાંતરિત નથી કરી શકાતી તે કલ્પના આપણે કરી શકીએ. એટલે કે 2-ગોલક અને ટોરસ સાંસ્થિતિક રીતે જુદા છે (તદ્રૂપ નથી). એમ કહેવાયું છે કે સંસ્થિતિવિદ્યા એ છે કે જે ઈડલી અને મેંદુવડાની સપાટી વચ્ચેનો ભેદ જાણે છે તથા જે ચાના કપ અને સાઇકલની ટ્યૂબ વચ્ચે ભેદ નથી કરતો ! 2-ગોલક અને ટોરસ વચ્ચેનો સાંસ્થિતિક ભેદ આત્મસાત્ કરવાના બીજા અવસર આપણને મળવાના છે.

ધારો કે ઉપર જણાવેલ બન્ને બહુવિધો ઉપર યથેચ્છ રીતે V સંખ્યાનાં શિરોબિન્દુઓ અને E સંખ્યાની વક્ર ધારો (cuved edges) દાખલ કરતાં F સંખ્યાના વક્ર ફલકો (cuved faces) રચાય છે.

V – E + Fની ગણતરી કરતાં આશ્ચર્ય સાથે જોવામાં આવે છે કે 2-ગોલક માટે હંમેશાં બે અને ચોરસ માટે હંમેશાં શૂન્ય જવાબ આવે છે. પૂર્ણાંક V-E+F 2-બહુવિધ સાથે સંકળાયેલ ઑઇલર લાક્ષણિક અચલાંક (Euler Characteristic) તરીકે જાણીતો છે, જે એક સાંસ્થિતિક અવિચલ (Topological inveriant) છે. 2-ગોલક અને ટોરસના ઑઇલર લાક્ષણિક અચલાંક જુદા આવે છે તે આ બન્ને વચ્ચેનો સાંસ્થિતિક ભેદ છતો કરે છે.

પાસપાસેના પ્રદેશો માટે જુદા રંગો વાપરી આપેલ ચોક્કસ સપાટી ઉપરના કોઈ પણ નકશાને રંગ કરવા માટે ઓછામાં ઓછા કેટલા રંગની જરૂર પડે ? ટોરસ માટે આ સંખ્યા સાત છે તે જાણીતું છે. આ વાત સાબિત કરવા પ્રથમ તો એમ બતાવવું પડે કે ટોરસ ઉપરના કોઈ પણ નકશાને સાત રંગથી રંગી શકાય છે. વળી ત્યાર બાદ ટોરસ ઉપરનો એક નકશો એવો રચવો જોઈએ કે જેને માટે પૂરેપૂરા સાત રંગની જરૂર પડે (છ થી ન ચાલે). સમતલ ઉપરના આ પ્રશ્ને ગણિતજ્ઞોને ખૂબ જ હંફાવ્યા. હિવૂડે (Heawood P J) 1980માં સાબિત કર્યું કે સમતલ ઉપરના કોઈ પણ નકશાને પાંચ રંગ વડે રંગી શકાય છે. પરંતુ હિવૂડ અને અન્ય ગણિતજ્ઞો સમતલ પરનો એવો કોઈ નકશો ન રચી શક્યા જેને માટે પાંચ રંગની ખરેખર જરૂર પડતી હોય અને તેથી તો અસ્તિત્વમાં આવ્યો ચાર-રંગનો પશ્ન (Four-colour problem). એપલે (Appel K.) અને હેકને (Haken W.) 1976માં આ પ્રશ્નોનો સંપૂર્ણ ઉકેલ આપ્યો. કમ્પ્યૂટરની 1200 કલાકની ગણતરીઓ ઉપર તેમની સાબિતી આધારિત હોવાથી આ સાબિતી ખૂબ જ ચર્ચાનો વિષય બની.

જૉર્ડન (Jordan C.) નામના ગણિતજ્ઞે 1893માં સ્વયંસ્પષ્ટ લાગે તેવું વિધાન કર્યું. તેણે કયું સમતલ ઉપર એકમ વર્તુળને તદ્રૂપ હોય તેવો કોઈ પણ વક્ર દોરવામાં આવે તો તે સમતલના બે અવિભક્ત ભાગ કરે છે. આ સરળ લાગતા વિધાનની સાબિતી વેબ્લેને (Veblen O.) 1905માં આપી. આ સાબિતી આપણે ઇચ્છીએ તેટલી સરળ નથી જ. 2-ગોલક માટે પણ ઉપરનું પ્રમેય સાચું છે; પરંતુ ટોરસ ઉપર એકમ વર્તુળને તદ્રૂપ હોય તેવો વક્ર સહેલાઈથી દોરી શકાય છે જે ટોરસના બે અવિભક્ત ભાગમાં ભાગલા ન પાડે. આ વિષમતા ફરી પાછો 2-ગોલક અને ટોરસ વચ્ચેનો સાંસ્થિતિક ભેદ પ્રગટ કરે છે.

1-ગોલક(=Sⁿ=(n+1)-પરિમાણીય યુક્લિડીય માનાવકાશના ઊગમબિન્દુથી એકમ અંતરે આવેલ બિન્દુઓનો ગણ ખૂબ જ અગત્યનો સાંસ્થિતિ અવકાશ છે. તેથી તેની સાંસ્થિતિક ઓળખ મેળવવાના સ્વાભાવિક પ્રયત્નો થયા છે. સાંસ્થિતિક રીતે જોતાં; સંવૃત્ત, સીમિત, અવિભક્ત અને 1-બહુવિધ હોય તેવા સાંસ્થિતિક અવકાશનું એકમાત્ર ઉદાહરણ 1-ગોલક છે. 2-ગોલક અને ટોરસ ઉપર મુજબના બધા જ ગુણધર્મો ધરાવતા તદરૂપ ન હોય તેવા 2-બહુવિધ છે. અને તેથી 2-ગોલકની સાંસ્થતિક ઓળખ સંવૃત્ત, સીમિત, અવિભક્ત 2-બહુવિધ તરીકે મળતી નથી. આ કાર્ય અવિભક્તતાના વિશિષ્ટ ખ્યાલના વિકાસથી પૂર્ણ કરવામાં આવે છે. આપેલ સાંસ્થિતિક અવકાશ ઉપર દોરેલ (એકમ વર્તુળને તદ્રૂપ હોય તેવા) કોઈ પણ વક્રને તે અવકાશમાં જ રહીને સાતત્યપૂર્ણ રીતે બિંદુ ઉપર સંકોચી શકાય તો તેને કેવળ અવિભક્ત (Simply connected) અવકાશ કહેવામાં આવે છે. સ્પષ્ટ છે કે 2-ગોલક કેવળ અવિભક્ત છે પરંતુ ટોરસ નથી. ઓગણીસમી સદીના અંત ભાગમાં સંવૃત, સીમિત, કેવળ અવિભક્ત, 2-બહુવિધ તરીકે 2-ગોલકની ઓળખ જાણીતી હતી. હેનરી પૉઇન્કારે (Henri Poincare) 1904માં, 3-ગોલકની પણ આ રીતે ઓળખ આપી શકાય તેમ અટકળ કરી. આ અટકળ પૉઇન્કારે અનુમાન તરીકે જાણીતી કરી. સ્મેલ (smale) ઝીમેન (Zeeman) તથા સ્ટૉલિંગ્ઝ (Stallings) એક-બીજાથી સ્વતંત્ર રીતે 1961-1962 દરમિયાન n-ગોલક(n≥5)ની ઉપર જણાવ્યા મુજબની ઓળખની સાબિતીનું કાર્ય કર્યું. ફ્રીડમેન (Freedman)ને 4-ગોલક માટેના ઉપર્યુક્ત દર્શાવેલ પ્રકારના કાર્ય માટે 1986નું, દર ચાર વર્ષે આપવામાં અવતું ગણિતનું સર્વોચ્ચ પારિતોષિક ફિલ્ડ મેડલ (Field Medal) (જે ગણિત માટે નોબેલ પ્રાઇઝ સમાન છે.) એનાયત કરવામાં આવ્યું. ઉકેલ આપનારને એક મિલિયન ડૉલરનું ઇનામ આપવાની ઘોષણા કરનાર કલે મૅથેમેટિકલ ઇન્સ્ટિટ્યૂટે (Clay Mathematical Institute) આ સદીની શરૂઆતમાં જાહેર કરેલ સાત પ્રશ્નોમાં પૉઇન્કારે અનુમાનનો સમાવેશ કર્યો. રશિયન ગણિતજ્ઞ પેરેલમને (Perelman) પૉઇન્કારે અનુમાન અને તેનાથી પણ વ્યાપક પરિણામની સાબિતી 2002-2003 દરમિયાન આપી. આ કામ માટે 2006નો ફિલ્ડ મેડલ તેમને એનાયત કરવામાં આવ્યો. દુ:ખની વાત એ છે કે પેરેલમને આ પુરસ્કારનો અસ્વીકાર કર્યો છે. એમ માનવામાં આવે છે કે બ્રહ્માંડની ઉત્પત્તિનાં ગૂઢ રહસ્યોની આપણી સમજ ઉપર પણ આ શોધની અસર થશે.

આપણા માથાના વાળ કોઈ પણ રીતે ઓળવામાં આવે તોપણ એક ભમરો અવશ્ય જોવામાં આવશે જ. જો આપણું માથું ટોરસ આકારનું હોય તો ભમરો કયાંય ન રચાય તે પ્રકારે આપણા માથાના વાળ ઓળી શકીએ. એ પણ જાણીતું છે કે આપણું માથું 2-ગોલકને બદલે કોઈ જુદા n પરિમાણવાળા n-ગોલક સમાન હોય તો ભમરા વગરનું માથું ઓળવાનું તો અને તો જ શક્ય બને જો n એકી સંખ્યા હોય.

સંસ્થિતિવિદ્યા ગણિત અને ગણિતબહાર પોતાની ઊંડી અસર સ્થાપી ચૂકી છે. આ વિષયે પોતાના વિકાસ દરમિયાન પોતાના સ્વરૂપમાં જ ઘણા ફેરફારો અનુભવ્યા છે. આના પરિણામ રૂપે સંસ્થિતિવિદ્યા એક જ વિષય રહ્યો નથી. ઊભા થતા પ્રશ્નોના પ્રકાર અને તેમને હલ કરવાની શોધાતી નવી નવી યુક્તિઓ પ્રમાણે સંસ્થિતિવિદ્યાની અહીં જણાવેલ શાખાઓ હવે સ્વતંત્ર અસ્તિત્વ ધરાવે છે : ગણસિદ્ધાંત આધારિત સંસ્થિતિવિદ્યા (Point set Topology અથવા General Topology), બૈજિક સંસ્થિતિવિદ્યા (Algebraic Topology), ભૌમિતિક સંસ્થિતિવિદ્યા (Geometric Topology), વિકલિત સંસ્થિતિવિદ્યા (Differential Topology).

અજય કે. દેસાઈ