ગણનીયતા (countability) : ગણિતમાં બે ગણોને તેમની સભ્યસંખ્યાની ર્દષ્ટિએ સરખાવવાની એક શાસ્ત્રીય પદ્ધતિ.
જો આપેલ બે ગણમાંના પ્રત્યેકમાં પાંચ સભ્યો હોય (દા.ત., પાંડવોનો ગણ અને પંચમહાભૂતોનો ગણ), તો સભ્યસંખ્યાની ર્દષ્ટિએ તે બંને સરખા છે એમ આપણે કહીએ છીએ. ગણિતમાં ‘સરખા’ને બદલે ‘સામ્ય’ વધુ વપરાય છે. આમ મેઘધનુષ્યના રંગોનો ગણ અને સપ્તાહમાંના વારોનો ગણ સામ્ય ગણો છે, કારણ કે બંનેમાં સાત સભ્યો છે. એપ્રિલ અને જૂન માસના દિવસોના ગણો સામ્ય છે (કારણ કે બંનેમાં 30 સભ્યો છે), પણ જાન્યુઆરી અને સપ્ટેમ્બરના દિવસોના ગણો સામ્ય ગણો નથી તે દેખીતું છે.
રેખા પરનાં બિંદુઓનો ગણ અનંત છે અને પૂર્ણાંકોનો ગણ પણ અનંત છે, સંમેય સંખ્યાઓનો ગણ પણ અનંત છે અને બેકી (યુગ્મ) પૂર્ણાંકોનો ગણ પણ અનંત છે. આમાંના કોઈ બે ગણો સામ્ય છે કે કેમ તે શી રીતે નક્કી કરવું ? આ માટે જર્મન ગણિતજ્ઞ કૅન્ટૉરે ઓગણીસમી સદીમાં સભ્યસંખ્યાના ખ્યાલથી સ્વતંત્ર એવી સામ્યતાની વ્યાખ્યા આપી. કૅન્ટૉરની વ્યાખ્યાની ખૂબી એ હતી કે તે પાંચ, સાત કે ત્રીસ જેવી સાંત સભ્યસંખ્યાના ગણો માટે પણ લાગુ પડે છે અને અનંત ગણો માટે પણ લાગુ પડે છે.
કૅન્ટૉરની વ્યાખ્યા એવી હતી કે બે ગણો A અને B વચ્ચે કોઈ એક-એક અને વ્યાપ્ત સંબંધ સ્થાપી શકાય તો A અને B સામ્ય ગણો કહેવાય, આમ
A = {બ્રહ્મા, વિષ્ણુ, મહેશ},
B = {લાલ, પીળો, વાદળી},
C = {પૂર્વ, પશ્ચિમ, ઉત્તર, દક્ષિણ}
D = {1, 2, 3, 4}
= {0, ± 1, ± 2, ± 3, …}
E = {0, ± 2, ± 4, ± 6, …}
હોય તો A અને B સામ્ય છે પરંતુ A અને C સામ્ય નથી, A અને પણ સામ્ય નથી એ જોવું સરળ છે. C અને D સામ્ય છે, પણ અને E વિશે શું કહી શકાય ? જો માંના પ્રત્યેક n માટે f(n) = 2n મૂકીએ તો આ f અને E વચ્ચેનો એક-એક અને વ્યાપ્ત સંબંધ બને છે. માટે કૅન્ટૉરની વ્યાખ્યા પ્રમાણે અને E સામ્ય ગણો છે.
કોક નિશ્ચિત ધનપૂર્ણાંક n માટે આપણે ગણ Nn = {1, 2, 3, ….., n} લઈશું. આપેલ ગણ A કોઈ n માટે Nnને સામ્ય હોય તો A સાંત ગણ કહેવાય અને તેની સભ્યસંખ્યા n છે તેમ કહેવાય. આમ ઉપરના ગણો પૈકી અને E સિવાયના બધા સાંત છે. પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગણ N, પૂર્ણાંકોનો ગણ Z, સંમેય સંખ્યાઓનો ગણ Q તથા વાસ્તવિક સંખ્યાગણ R એ બધા અનંત ગણો છે. આ બધા એકબીજાના સામ્ય ગણો છે તેવું નથી. N, Z અને Q સામ્ય ગણો છે, પણ તેમાંનો કોઈ R સાથે સામ્ય નથી.
જે ગણ N સાથે સામ્ય હોય તે ગણનીય (countable) કહેવાય. E, Z, Q એ બધા ગણનીય ગણો છે, પણ R ગણનીય નથી.
કૅન્ટૉરે એ પણ બતાવ્યું હતું કે દરેક અનંત ગણને એક ગણનીય ઉપગણ હોય છે.
આ બધા ખ્યાલો ગણની પ્રધાન સંખ્યા(cardinal number)ના ખ્યાલ તરફ આપણને લઈ જાય છે. (આ ખ્યાલ માટે સંખ્યાઓનું અધિકરણ જુઓ.)
ઈચ્છાલાલ હરિલાલ શેઠ
અરુણ વૈદ્ય