ક્ષેત્રમિતિ

ક્ષેત્રમિતિ (measuration) : વક્રોની લંબાઈ, સમતલ અને અવકાશમાંની આકૃતિઓનાં ક્ષેત્રફળ અને ઘનફળ શોધવાનો અભ્યાસ. આકૃતિની બધી બાજુ (કે કિનારી) સીધી હોય અને ફલકો સપાટ હોય તે એક પ્રકાર, અને આકૃતિઓ વક્ર કિનારીઓ કે સપાટીઓ વડે બંધાયેલી હોય એ બીજો પ્રકાર.

લંબાઈ, ક્ષેત્રફળ અને ઘનફળના એકમ : માપણી કરવા માટે પ્રમાણિત એકમની જરૂર પડે છે. લંબાઈના એકમ તરીકે સેન્ટિમીટર (કે ઇંચ) લેવામાં આવે છે. આથી એક સેન્ટિમીટર બાજુવાળા ચોરસનું ક્ષેત્રફળ એકમ ક્ષેત્રફળ છે જે ચોરસ સેન્ટિમીટરમાં મપાય છે. એક સેન્ટિમીટર ધારવાળા ઘનના ઘનફળને એકમ ઘનફળ કહે છે (જે ઘન સેમી. છે).

લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ : આકૃતિ 1માં ABCD એક લંબચોરસ છે જેની બાજુ AB = a એકમ અને બાજુ BC = b એકમ છે. લંબચોરસ ABCD, ab ચોરસોમાં વિભાજિત થશે.

ABCDનું ક્ષેત્રફળ    = (a x b) ચોરસ એકમ

                                   = ab

                                   = લંબાઈ x પહોળાઈ …….(i)

કાટખૂણ Δનું ક્ષેત્રફળ : દરેક લંબચોરસનો વિકર્ણ તેને બે એકરૂપ કાટખૂણ ત્રિકોણોમાં વિભાજિત કરે છે.

કાટખૂણ Δ BCDનું ક્ષેત્રફળ = ½ (લંબચોરસ ABCDનું ક્ષેત્રફળ)

                                      = ½ (AD x DC)

                                      = ½ (a x b)

                                      = ½ (પાયો x વેધ)…….(ii)

ત્રણ બાજુ આપી હોય તેવા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ :

આકૃતિ 2માં BC = a, CA = b અને AB = c એ Δ ABCની બાજુઓ છે. AD BC છે. BD = x અને CD = y લઈએ. Δ ADB અને Δ ADC કાટખૂણ ત્રિકોણો છે.

c² = x² + h² અને b² = y² + h² છે.

અહીં AD = h એ Δ ABCની ઊંચાઈ છે અને પાયાની લંબાઈ BC = a = x + y છે. હવે b² – c² = y² – x² = (y + x) (y – x)

 ∵ y + x = a છે.

વળી h² = b² – y²

 મળે છે. અહીં a + b + c = 2s છે અને s ત્રિકોણની અર્ધપરિમિતિ છે.

Δ ABCનું ક્ષેત્રફળ = ½ (a x h)

                   

Δ ABCનું ક્ષેત્રફળ =

સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ : સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણમાં સામસામેની બાજુઓ અને સામસામેના ખૂણા સરખા હોય છે. ABCD સમાંતર બાજુ ચતુષ્કોણ છે. આકૃતિ 3 BC = AD = a; AB = DC = b છે. Aમાંથી BC પર દોરેલા લંબ AE = h છે. ∠ ABC = α છે. વિકર્ણ AC, સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણને બે એકરૂપ ત્રિકોણોમાં વિભાજિત કરે છે.

    સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ ABCDનું ક્ષેત્રફળ

        = 2(Δ ABCનું ક્ષેત્રફળ)

      

        = ah

        ( h = b sin α)

ABCDનું ક્ષેત્રફળ = 2ΔABCનું ક્ષેત્રફળ

              

              ABCDનું ક્ષેત્રફળ = a b sinα…………..(iv)

સમલંબક ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ : ABCD સમલંબક ચતુષ્કોણ (trapezium) છે

જેમાં BC = a, CD = b, DA = c અને AB = d છે.

Aમાંથી BC પર દોરેલો લંબ AE = h છે; Aમાંથી AF ॥ CD દોરેલો છે. વિકર્ણ AC છે.

સમલંબક ચતુષ્કોણ ABCDનું ક્ષેત્રફળ

        = Δ ABCનું ક્ષેત્રફળ + Δ ADCનું ક્ષેત્રફળ

      

      

        = ½ (સમાંતર બાજુઓનો સરવાળો) x ઊંચાઈ   ………..(v)

n બાજુવાળા નિયમિત બહુકોણનું ક્ષેત્રફળ : n બાજુવાળા નિયમિત બહુકોણને ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે.આકૃતિ 5માં તૂટક

રેખાઓ વડે ત્રિકોણોને દર્શાવ્યા છે. ત્રિકોણના અંતર્ગત વર્તુળની ત્રિજ્યા r અને પરિગત વર્તુળની ત્રિજ્યા R છે. ત્રિકોણમિતિના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતાં

n બાજુવાળા બહુકોણનું ક્ષેત્રફળ

n બાજુવાળા બહુકોણનું ક્ષેત્રફળ

વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ : વર્તુળ વક્રરેખાથી બનેલી બંધ આકૃતિ છે. બધાં જ વર્તુળો માટે પરિઘ અને વ્યાસનો ગુણોત્તર એકમૂલ્ય હોય છે જેને πથી દર્શાવવામાં આવે છે; એટલે કે,

C = π d (અહીં d = વર્તુળનો વ્યાસ)

         C = π (2r) (અહીં વ્યાસ d = 2ત્રિજ્યા)

         C = 2π r……………………………………………………..(vii)

(જ્યાં )

વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી દોરેલી બે ત્રિજ્યાના છેડા પરિઘને બે બિંદુઓમાં મળે ત્યારે આ બે બિંદુઓ વચ્ચેની વક્રરેખાને ચાપ કહે છે.

ચાપની લંબાઈનું સૂત્ર s = rθ છે અને વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ = ½ r²θ છે. અહીં s = ચાપની લંબાઈ, r વર્તુળની ત્રિજ્યા અને θ કેન્દ્ર આગળ આંતરેલો ખૂણો છે.

વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ = ½ rs મળે છે. આથી વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ = ½ rs, અહીં s વર્તુળનો પરિઘ = 2π r છે.

વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ = ½ r x 2πr = πr² છે………..(viii)

ઉપવલયનું ક્ષેત્રફળ : ઉપવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ  છે. અહીં a અને b અનુક્રમે ઉપવલયના અર્ધપ્રધાન અક્ષ અને અર્ધગૌણ અક્ષ છે.

ઉપવલયનું ક્ષેત્રફળ = π ab છે એમ કલનશાસ્ત્રથી મેળવી શકાય છે.

અનિયમિત આકૃતિનાં ક્ષેત્રફળ : સમતલ આકૃતિઓનાં ક્ષેત્રફળો બૈજિક અને ત્રિકોણમિતીય સૂત્રો દ્વારા મેળવવાં કેટલીક વાર મુશ્કેલ બને છે ત્યારે સન્નિકટન(approximation)ની કોઈ એક રીત વાપરવામાં આવે છે. આકૃતિ 7માં દર્શાવ્યા પ્રમાણે y₀, y₁, y₂, ….. y_n જેવી સમાંતર જીવાઓ દોરી આકૃતિને n પટ્ટીઓમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે. પ્રત્યેક પટ્ટીની પહોળાઈ h છે. આથી સમલંબના નિયમથી અનિયમિત આકૃતિનું ક્ષેત્રફળ = h (½ y₀ + y₁ + y₂ + …. + y_n-1, + ½ y_n) મળે છે.

સિમ્પસનના સન્નિકટનના નિયમ મુજબ

ક્ષેત્રફળ =  1/3 h (y₀ + 4y₁ + 2y₂ + 4y₃ + 2y₄ + …. + 4y_n-1 + y_n) છે, જેમાં n બેકી છે.

ઘન આકૃતિનાં ઘનફળ અને ક્ષેત્રફળ : જે ઘન આકૃતિની સીમાઓ બહુકોણો હોય તેને બહુફલક (polyhedron) કહે છે. સાદામાં સાદો બહુફલક ઘન (cube) છે. એકમ લંબાઈની બાજુવાળા ઘનના ઘનફળને એકમ ઘનફળ કહે છે. a બાજુવાળા ઘનનું ઘનફળ V = a x a x a = a³ છે. જે બહુફલકના બે ફલકો સમાંતર સમતલમાં આવેલા સર્વાંગસમ બહુકોણો હોય અને બાકીના ફલકો સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણો હોય તેવા ઘનપદાર્થને પ્રિઝમ (prism) કહે છે. સર્વાંગસમ બહુભુજ આકારના ફલકો પ્રિઝમના આધાર (bases) કહેવાય છે. બાકીના ફલકો પાર્શ્વફલકો (leteral faces) કહેવાય છે. જુઓ આકૃતિ 8) આકૃતિ 8માં AA´, BB´, CC´, DD´, EE´ પ્રિઝમની પાર્શ્વકોરો છે. સમાંતર ફલક(parallelepiped)ના બધા જ ફલકો સમાંતર બાજુ ચતુષ્કોણ હોય છે. લંબચોરસ ફલકોવાળો પ્રિઝમ લંબઘન છે.

આકૃતિ 9માં દર્શાવેલા લંબઘનનું ઘનફળ V = abc અને તેનું ક્ષેત્રફળ (પૃષ્ઠફળ) S = 2(ab + bc + ca) છે.

પ્રિઝમનું ઘનફળ V = A_bh. અહીં Ab પ્રિઝમના આધારનું ક્ષેત્રફળ અને h તેની ઊંચાઈ છે. પાર્શ્વીય ક્ષેત્રફળ = pl; અહીં p આધારની પરિમિતિ અને l પાર્શ્વધાર છે.

કુલ ક્ષેત્રફળ (સંપૂર્ણ પૃષ્ઠ) S_T = 2A_b + pl.

પિરામિડ એક વિશિષ્ટ સ્વરૂપનો બહુફલક છે જેનો એક ફલક બહુકોણ છે. બાકીના ફલકો શિરોબિંદુ સામાન્ય હોય તેવા ત્રિકોણો છે. આમ પિરામિડના પાર્શ્વફલકો ત્રિકોણાકાર હોય છે. આવા પિરામિડનું ઘનફળ V = 1/3 A_bh. અહીં A_b = આધારનું ક્ષેત્રફળ, h = શિરોબિંદુમાંથી આધાર પર દોરેલો લંબ છે. પિરામિડના પાર્શ્વફલકો સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણો હોય તો આ સમપિરામિડના પાર્શ્વફલકોનું ક્ષેત્રફળ = ½ πh’ છે, અહીં π = આધારની પરિમિતિ અને h’ = તિર્યક (slant) ઊંચાઈ છે.

નળાકાર (cylinder) : પ્રિઝમના આધારોની ભુજાઓની સંખ્યાને અનંતપણે વધારવામાં આવે તો આધારો વક્રરેખા બને છે અને પ્રિઝમ સિલિન્ડર બને છે. પ્રિઝમનાં સૂત્રોમાં A_b = πr² અને p = 2 πr મૂકતાં v = π r² l; S = 2 p rl અને S_T = 2 π r² + 2π rl મળે છે. (આકૃતિ 10)

શંકુ : પિરામિડના આધારની બાજુઓની સંખ્યાને અનંતપણે વધારવામાં આવે તો આધારની અંતિમ સ્થિતિ એક બંધ વક્ર બને છે અને પિરામિડની અંતિમ સ્થિતિ શંકુ બને છે. (આકૃતિ 11)

સમપિરામિડ જેવી જ સમશંકુની વ્યાખ્યા છે, તેથી પિરામિડના સંકેતોને શંકુના સંકેતો તરીકે વાપરીએ તો જેના વર્તુળાકાર આધારની ત્રિજ્યા r હોય, જેની ઊંચાઈ h હોય તેવા શંકુનું ઘનફળ છે અને પાર્શ્વીય પૃષ્ઠ S = π rl છે. અહીં તિર્યક ઊંચાઈ .

ગોલક (shere) : વર્તુળના કોઈ એક વ્યાસની આસપાસ જો તે વ્યાસ પરનું અર્ધવર્તુળ પરિભ્રમણ કરે તો તેથી બનતી ઘનાકૃતિ ગોલક (sphere) કહેવાય છે. જો ગોલકની ત્રિજ્યા R હોય તો તેનું ઘનફળ

અને પૃષ્ઠ S = 4 π R². બે સમાંતર સમતલો વચ્ચે આવેલો ગોલકનો ભાગ ગોલકનો સમખંડ કહેવાય છે. આકૃતિ 12માં BB´ CC´ ગોલકનો સમખંડ છે અને તેની ઊંચાઈ h = LM છે.

r₁ = BL અને r₂ = CM તેના વર્તુળાકાર આધારોની ત્રિજ્યાઓ છે.

ગોલકના સમખંડનું ઘનફળ અને સમખંડનું પૃષ્ઠ S = 2π a (h₁-h₂). અહીં h₁ = AL, h₂ = AM

 સમખંડનું પૃષ્ઠ S = 2π ah છે.

રમેશચંદ્ર ના. દેસાઈ