ક્વૉન્ટમ ઉષ્માયાંત્રિકી

ક્વૉન્ટમ ઉષ્માયાંત્રિકી (quantum thermodynamics) : લૅટિસ કંપનોનું ક્વૉન્ટીકરણ. બિંદુઓની આવર્તક (periodic) ગોઠવણીને લૅટિસ કહે છે અને તે એક ગણિતીય વિભાવના છે. આવર્તક ગોઠવણી ધરાવતાં બિંદુઓ ઉપર પરમાણુઓ, અણુઓ કે આયનો (વીજભારિત પરમાણુઓ કે અણુઓ) સ્થાન ગ્રહણ કરે છે ત્યારે તે લૅટિસ સ્ફટિક બને છે. આવી કણો સહિતની લૅટિસ રચના ભૌતિક વિભાવના ધરાવે છે. સ્ફટિક-લૅટિસમાં અણુઓ, પરમાણુઓ કે આયનો કંપનો કરતા હોય છે જેને લૅટિસ કંપનો (lattice vibration) કહે છે. આવાં કંપનોને કારણે સ્ફટિક-લૅટિસમાં કંપન-ઊર્જા અસ્તિત્વમાં આવે છે અને લૅટિસ કંપનોની ઊર્જાનું ક્વૉન્ટીકરણ થાય છે. દોલન-ઊર્જાના આવા જથ્થાને ફોનૉન કહે છે. વીજચુંબકીય ઊર્જાના ક્વૉન્ટીકરણથી ફોટૉન મળે છે, તે રીતે લૅટિસની દોલન-ઊર્જાના ક્વૉન્ટીકરણથી ફોનૉન મળે છે.

ફોનૉન : તે ધ્વનિ-ઊર્જાનો જથ્થો છે અને ધ્વનિ-તરંગોને અનુરૂપ દોલનોની ઊર્જાનો નાનામાં નાનો એકમ છે. પ્રકાશ-ઊર્જાના જથ્થાને ફોટૉન કહે છે તેમ ધ્વનિ-ઊર્જાના જથ્થાને ફોનૉન કહે છે. સામાન્યત: તરંગ જેવા વિક્ષોભ(disturbance)ની ગતિ ધ્વનિતરંગ રચે છે. આવા વિક્ષોભના સંચરણ માટે વાયુ, પ્રવાહી કે ઘન પ્રકારનું સ્થિતિસ્થાપક માધ્યમ આવશ્યક છે.

ફોટૉન વીજચુંબકીય તરંગોનું તો ફોનૉન ધ્વનિ-તરંગોનું પૅકેટ છે. તે દ્રવ્યહીન (massless) કણની જેમ વર્તે છે. આવા કણની ઊર્જા hν અને વેગમાન હોય છે; અહીં λ પ્લાંકનો નિયતાંક છે; ν દોલનની આવૃત્તિ છે અને λ તેની તરંગલંબાઈ છે. તરંગલંબાઈ અને આવૃત્તિનો ગુણાકાર λν = ν થાય છે, અહીં v ધ્વનિનો વેગ છે. ધ્વનિનું આ કણસ્વરૂપ પારમાણ્વિક (atomic) કક્ષાએ જ મહત્વનું બને છે કારણ કે hનું મૂલ્ય અત્યંત નાનું છે, પરિણામે hνનું મૂલ્ય પણ અત્યંત નાનું છે. આપણે, સામાન્ય રીતે, વાત કરતા હોઈએ ત્યારે ઉદ્ભવતા ધ્વનિ-તરંગોની ઘટનામાં ફોનૉનના ખ્યાલનું ખાસ મહત્વ નથી.

ઘન પદાર્થોના ગુણધર્મોનું વર્ણન કરતી વખતે આ ખ્યાલ મહત્ત્વનો બને છે. ઘન પદાર્થની વિશિષ્ટ ઉષ્મા સમજાવવા માટે ફોનૉન વાયુના ખ્યાલનો સરળતાથી ઉપયોગ થાય છે. મુક્ત ફોનૉનના સમૂહને ફોનૉન વાયુ કહે છે. ઘન પદાર્થમાં ફોનૉન-ફોનૉન વચ્ચે આંતરક્રિયા થતી હોય છે. તદુપરાંત ઘન પદાર્થમાં અશુદ્ધિ-પરમાણુઓ અને ફોનૉન વચ્ચે પણ આંતરક્રિયા થતી હોય છે. આ કારણે ફોનૉન સરેરાશ મુક્ત પથ (mear free path) ધરાવે છે. [બે ક્રમિક સંઘાત (collisions) વચ્ચે કાપેલા સરેરાશ અંતરને સરેરાશ મુક્ત પથ કહે છે.] અવાહક પદાર્થોમાં ઉષ્માનું વહન ફોનૉન દ્વારા થાય છે. ઉષ્માવાહકતાનું મૂલ્ય ફોનૉનના સરેરાશ મુક્ત પથ વડે નક્કી થાય છે. કેટલાક ઘન પદાર્થોમાં ઇલેક્ટ્રૉન-ફોનૉન આંતરક્રિયા પણ મહત્ત્વની બને છે. આવી આંતરક્રિયા અતિવાહકતા (superconductivity) પ્રતિ દોરી જાય છે.

કાળા પદાર્થ વડે મળતા વીજચુંબકીય વિકિરણમાં ફોટૉન ઉષ્મીય ઉત્તેજના (thermal excitation) અનુભવે છે. તે રીતે સ્ફટિકમાં ફોનૉન ઉષ્મીય રીતે ઉત્તેજિત થતા હોય છે. કોણીય આવૃત્તિ w ધરાવતી સ્થિતિસ્થાપક રીતિ(elastic mode)ની ઊર્જા નીચેના સૂત્રથી મળે છે :

અહીં ħ પ્લાંકનો નિયતાંક છે; n, કોઈ એક પૂર્ણાંક સંખ્યા છે. રીતિને ક્વૉન્ટમ સંખ્યા n માટે ઉત્તેજિત કરવામાં આવે તો તેના વડે E ઊર્જા મળે છે. આવી રીતિમાં n ફોનૉન હોય છે. અહીં  છે અને h = 6.626 x 10^–34 જૂલ. સેકન્ડ છે. n = 0 લેવામાં આવે તો ઊર્જા મળે છે. આ ઊર્જાને રીતિની શૂન્ય બિંદુ ઊર્જા (zero point energy) કહે છે. વીજચુંબકીય વિકિરણના કણ ફોટૉન બાબતે પણ આમ થતું હોય છે.

ફોનૉનનો તરંગસદિશ (wave vector) k હોય તો તેનું વેગમાન ħk જેટલું થાય છે. (થાય છે. અહીં λ તરંગની (તરંગ)લંબાઈ છે અને  તરંગ પ્રસરણની દિશામાં લીધેલ એકમ સદિશ છે.) આવો ફોનૉન ħk વેગમાન ધરાવતો હોય તે રીતે ફોટૉન, ન્યૂટ્રૉન અને ઇલેક્ટ્રૉન જેવા કણ સાથે આંતરક્રિયા કરે છે. વ્યાવહારિક રીતે ફોનૉન ħk વેગમાન સાથે આંતરક્રિયા કરતો હોય તેમ વર્તે છે. આવા ħk વેગમાનને કેટલીક વખત સ્ફટિક વેગમાન (crystal momentum) કહે છે. અહીં આંતરક્રિયામાં ભાગ લેતા બધા જ ઘટકોનું કુલ વેગમાન ચુસ્તપણે અચળ રહે છે. ક્વૉન્ટમ અવસ્થાઓ વચ્ચે માન્ય સંક્રમણ (allowed transition) માટે સ્ફટિકમાં તરંગસદિશ પસંદગી(wave vector selection)ના નિયમો હોય છે. સ્ફટિક વડે એક્સ-કિરણ(X-rays)ના ફોટૉનનું સ્થિતિસ્થાપક પ્રકીર્ણન (scattering) થાય ત્યારે તરંગસદિશ પસંદગી નિયમ નીચે મુજબ મળે છે :

k´ = k + G…………………………………………..1a

અહીં G વ્યુત્ક્રમ (reciprocal) લૅટિસમાં સદિશ છે; k, આપાત ફોટૉનનો તરંગસદિશ છે અને k’, પ્રકીર્ણિત થતા ફોટૉનનો તરંગસદિશ છે. ધારો કે પ્રકીર્ણન ઘટના અસ્થિતિસ્થાપક (inelastic) છે અને તે દરમિયાન ફોનૉનનું સર્જન થાય છે. આવા ફોનૉનનો તરંગસદિશ K વડે દર્શાવવામાં આવે તો તરંગસદિશ પસંદગી નિયમ નીચે મુજબ બને છે :

k´ + K = k + G ……………………………………1b

અને આવી ઘટનામાં K તરંગસદિશવાળા ફોનૉનનું શોષણ થતું હોય તો તરંગસદિશ પસંદગી નિયમ નીચે મુજબ બને છે :

k´ – K = k + G……………………………………..1c

સમીકરણ 1b અને 1c વાસ્તવમાં તો સમીકરણ 1aની વિસ્તૃતિ (extension) છે.

લૅટિસનાં કંપનો સ્ફટિકના તાપમાન ઉપર આધાર રાખે છે. નીચા તાપમાને આવાં કંપનોને ઘણો નાનો કંપવિસ્તાર (amplitude) હોય છે. સ્ફટિકનું તાપમાન વધે તેમ કંપવિસ્તારનું મૂલ્ય પણ વધે છે. દોલનનો કંપવિસ્તાર ક્રમિક પરમાણુઓ વચ્ચેના અંતર જેટલો થાય છે ત્યારે તેમાં વધારો થતો અટકી જાય છે. આવા કંપવિસ્તારનું મૂલ્ય મહત્તમ બને છે. તાપમાન ઘટાડતાં કંપવિસ્તાર ઘટે છે, પણ તાપમાન નિરપેક્ષ શૂન્ય (absolute zero) કરવામાં આવે ત્યારે કંપવિસ્તાર શૂન્ય થતો નથી. નિરપેક્ષ શૂન્ય તાપમાને લૅટિસ દોલનના કંપવિસ્તારને શૂન્ય બિંદુ કંપવિસ્તાર (zero point amplitude) કહે છે. શૂન્ય બિંદુ કંપવિસ્તારનું મૂળ ક્વૉન્ટમ યાંત્રિકીય છે.

સ્ફટિકમાં લૅટિસ દોલનો તાપમાન ઉપર આધાર રાખતી ઘણી ઘટનાઓ સાથે સંકળાયેલાં હોય છે. ઘણીખરી ધાતુઓમાં તેમનું તાપમાન વધતાં વીજઅવરોધ વધે છે કારણ કે સંવહન-(conduction)ઇલેક્ટ્રૉનનું લૅટિસ દોલન વડે પ્રકીર્ણન થાય છે. ધાતુનું તાપમાન વધતાં દોલનનો કંપવિસ્તાર વધે છે, આથી ઇલેક્ટ્રૉન વધારે પ્રકીર્ણન પામે છે, પરિણામે અવરોધમાં વધારો થાય છે. પદાર્થની ઉષ્માવાહકતા, ઉષ્માપ્રવાહની મદદથી નક્કી કરવામાં આવે છે. પદાર્થ કે સ્ફટિકમાં ઉષ્માનું સંવહન લૅટિસ દોલનો વડે થાય છે.

લૅટિસ દોલનોના સિદ્ધાંતના વિનિયોગથી સ્ફટિકની વિશિષ્ટ ઉષ્મા, ધ્વનિનો વેગ તથા ઘન પદાર્થના સ્થિતિસ્થાપક ગુણધર્મોની સમજૂતી મળી રહે છે. દોલનોના ચિરસંમત ઉપચાર (treatment) વડે ડ્યુલોંગ-પેતિત નિયમ મળે છે. આ નિયમ મુજબ વિશિષ્ટ ઉષ્મા પદાર્થના તાપમાન ઉપર આધારિત નથી. પદાર્થના ઊંચા તાપમાન માટે આ નિયમ સાચો છે; પણ દોલનોની ક્વૉન્ટમ પ્રકૃતિ મહત્વની બને તેટલા નીચા તાપમાને આ નિયમ સંતોષકારક કામ આપતો નથી. અત્યંત નીચા તાપમાને માત્ર ધ્વનિના તરંગો (એટલે કે મોટી તરંગલંબાઈ અને ઓછી આવૃત્તિવાળાં લૅટિસ દોલનો) ઉષ્મીય રીતે ઉત્તેજિત થાય છે. પી. ડિબાઈએ વિશિષ્ટ ઉષ્માના આ સિદ્ધાંતને સૂત્રબદ્ધ કર્યો ત્યારે આ પ્રવર્તનને લક્ષમાં લીધું હતું. ડિબાઈના સિદ્ધાંત મુજબ નીચા તાપમાને, વિશિષ્ટ ઉષ્મા નિરપેક્ષ તાપમાનના ત્રિઘાતના સમપ્રમાણમાં હોય છે એટલે કે વિશિષ્ટ ઉષ્મા ∞ T³ થાય છે. અહીં T એ પદાર્થનું નિરપેક્ષ તાપમાન છે. આલ્બર્ટ આઇન્સ્ટાઇને પણ વિશિષ્ટ ઉષ્માના સિદ્ધાંતને સૂત્રબદ્ધ કર્યો. આ સિદ્ધાંત અનુસાર પ્રત્યેક પરમાણુ સ્વતંત્ર રીતે સમાન આવૃત્તિથી દોલનો કરે છે. આવાં પરમાણુ-દોલનો સાથે ક્વૉન્ટમ અસરનો સમાવેશ થાય છે. પદાર્થ અથવા સ્ફટિકના નીચા તાપમાન સિવાય, વિશિષ્ટ ઉષ્મા માટે આ સિદ્ધાંત બરાબર બંધ બેસે છે. મૅક્સ બૉર્ન અને ટી. વૉન કર્માને આ બધાં પાસાંનું સંયોજન કરી સિદ્ધાંત તૈયાર કર્યો, જેમાં લૅટિસ દોલનો માટે યોગ્ય વિસર્જન (dispersion) સંબંધોનો ઉપયોગ કર્યો છે. તે સાથે યોગ્ય ક્વૉન્ટમ સાંખ્યિકી(statistics)નો પણ સમાવેશ કરવામાં આવ્યો છે. પરમાણુઓ વચ્ચે આંતર-બળો પ્રવર્તતાં હોય છે. આવાં બળોની પ્રકૃતિ પ્રમાણે લૅટિસ દોલનોનાં પ્રતિરૂપ (models) તૈયાર કરવામાં આવ્યાં છે. આ પ્રતિરૂપમાં જુદી જુદી પૂર્વધારણાઓ-(assumptions)નો સમાવેશ થાય છે. મૂળભૂત સિદ્ધાંતને આધારે આ બધાંને ન્યાય્યક (justify) ઠરાવવાં મુશ્કેલ છે, પણ ન્યૂટ્રૉનના અસ્થિતિસ્થાપક પ્રકીર્ણન વડે પ્રાયોગિક રીતે વિસર્જન વક્રો સીધેસીધા મેળવી કે માપી શકાય છે અને તે રીતે કોઈ પણ પ્રતિરૂપની સત્યતા (validity) ચકાસી શકાય છે.

આવૃત્તિને ν હટર્ઝ તરીકે લઈએ તો તેને તરંગલંબાઈ lના વિધેય તરીકે લેતાં વિસર્જનના સંબંધને વર્ણવી શકાય છે. [કોઈ પણ તંત્ર દર સેકન્ડે એક દોલન અથવા કંપન અથવા પરિભ્રમણ કરે તેવા તંત્રની આવૃત્તિને એક હટર્ઝ કહે છે]. કોણીય આવૃત્તિ (ω) અને તરંગસદિશ (k)ને સામાન્ય રીતે નીચેનાં સૂત્રો વડે દર્શાવવામાં આવે છે :

ω = 2πν………………………………………….2a

…………………………………………….2b

આથી વિસર્જન-સંબંધને ω(k) વડે વ્યક્ત કરી શકાય છે. અહીં તરંગસદિશ kની દિશા અને લૅટિસ દોલનના સંચરણ (propagation)ની દિશા એક જ હોય છે. ઘન પદાર્થમાં ન્યૂટ્રૉનનું અસ્થિતિસ્થાપક પ્રકીર્ણન થાય છે ત્યારે ન્યૂટ્રૉન ħω જેટલી ઊર્જા અને ħk જેટલું વેગમાન ગુમાવી શકે છે. આપાત અને પરાવર્ત ન્યૂટ્રૉનની ઊર્જા અને વેગમાનને લક્ષમાં લેતાં, ω(k) નક્કી કરી શકાય છે.

આકૃતિ (1)માં ω અને kનો સંબંધ આલેખ-સ્વરૂપે દર્શાવ્યો છે. આ વિસર્જન વક્ર 300° કૅલ્વિન તાપમાને રાખેલી ઍલ્યુમિનિયમ ધાતુ માટે તૈયાર કરવામાં આવ્યો છે. અહીં kની દિના [100] દિશામાં છે. [100] દિશા ન્યૂટ્રૉનના અસ્થિતિસ્થાપક પ્રકીર્ણન વડે નક્કી કરવામાં આવેલી છે. સામાન્ય સ્ફટિકો માટે વિસર્જન સંબંધો આ પદ્ધતિથી મળી રહે છે.

એક પારિમાણિક લૅટિસ : લૅટિસ કંપનોને લગતા ઘણા મહત્વના ખ્યાલોને સાદી એક પારિમાણિક લૅટિસ વડે વ્યક્ત કરી શકાય છે. આવી લૅટિસમાં માધ્યમના પરમાણુઓ કે કણો x-અક્ષ ઉપર સીધી રેખા ઉપર ચોક્કસ સ્થાને સમાન અંતરે ગોઠવાયેલ (localised) હોય છે. બે ક્રમિક કણો વચ્ચેનું અંતર a હોય તો nમો કણ x = na અંતરે હોય છે. પાસપાસેના કણો આકૃતિ (2)માં દર્શાવ્યા મુજબ હૂકના

નિયમને અનુસરતી સ્પ્રિંગ વડે જોડાયેલા કલ્પી લેવામાં આવ્યા છે. આ ગોઠવણીમાં સ્પ્રિંગને લંબ રૂપે પુન:સ્થાપક બળ (restoring force) પ્રવર્તતું નથી. ધારો કે nમા કણના સ્થાનાંતર Unને ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે. nમા કણ ઉપર લાગતું બળ, સ્પ્રિંગ બંને તરફ કેટલી ખેંચાય છે તેના ઉપર આધાર રાખે છે. સ્પ્રિંગની ડાબી તરફ વિસ્તૃતિ(extension) U_n – U_n–1 જેટલી અને જમણી તરફ વિસ્તૃતિ U_n+1 – U_n જેટલી થાય છે. nમા કણ માટે ગતિનું સમીકરણ નીચે મુજબ મળે છે :

અહીં m, કણનું દળ છે. સ્પ્રિંગની લંબાઈ L = Na હોય અને જો કણોની સંખ્યા N બહુ મોટી હોય તો આ સમીકરણના ઉકેલથી સમતલ તરંગ મળે છે. આવો સમતલ તરંગ નીચેના સમીકરણ વડે વ્યક્ત થાય છે :

U_n = A exp [ i (kx – ωt]………………………………4

અહીં A, તરંગનો કંપવિસ્તાર છે; k, તરંગસદિશ છે; ω, કોણીય આવૃત્તિ છે; x, કણનું સ્થાન છે અને t, સમય છે. નીચેનું સમીકરણ યથાર્થ ઠરે તો તે સમીકરણ (3) અને સમીકરણ (2)નો ઉકેલ બને છે.

અહીં ω_o મહત્તમ કોણીય આવૃત્તિ છે અને તે નીચેના સૂત્રથી મળે છે.

પ્રણાલીની આ સામાન્ય રીતિઓ છે. લઘુ આવૃત્તિઓ માટે સમીકરણ (5) નીચે મુજબ મળે છે :

ω = v_s k…………………………………………..7

અહીં v_s ધ્વનિનો વેગ છે જે નીચેના સૂત્રથી મળે છે.

પણ જ્યારે λ >> a એટલે કે તરંગલંબાઈ ઘણી વધારે મોટી હોય ત્યારે આમ બને છે. અર્થાત્ જ્યારે લૅટિસ સાતત્યક (continuum) તરીકે વર્તે છે અને કણ પ્રકૃતિ ગુમાવે છે ત્યારે તેમ બને છે. બીજું મહત્વનું લક્ષણ એ છે કે તે તરંગલંબાઈ ઉપર આધાર રાખે છે. આ ઘટનાને વિસર્જન (dispersion) કહે છે. પ્રાવસ્થા વેગ (phase velocity) v_p અને જૂથ-વેગ (group velocity) – v_g નીચેનાં સમીકરણોથી મળે છે :

 

મોટી તરંગલંબાઈ માટે v_p અને v_g સર્વથા સમાન (identical) હોય છે, પણ વ્યાપક રીતે જોઈએ તો તે ભિન્ન છે. મહત્તમ આવૃત્તિ હોય ત્યારે જૂથ-વેગ શૂન્ય બને છે. આમ થતાં, સંચરકની રીતિને બદલે સ્થિર રીતિ મળે છે. ω અને ω+dω કોણીય આવૃત્તિઓ વચ્ચેની રીતિઓ નીચેના સમીકરણથી મળે છે :

ρ(ω) dω = ρ(k)dk……………………………….11

અહીં r (w) અવસ્થા-ઘનતા છે. રીતિઓ kના સંદર્ભમાં એકસરખા ગાળે હોય છે તથા છે. આથી ρ(ω) નીચેના સમીકરણથી મળે છે :

અહીં ω < ω₀ છે. T તાપમાને સ્ફટિકને ઉત્તેજિત કરતાં, લૅટિસ દોલનોની ક્વૉન્ટમ પ્રકૃતિ મહત્વની બને છે. પ્રત્યેક ચિરસંમત દોલાયમાન આવૃત્તિ ω, નીચેના સમીકરણ મુજબ ઊર્જા ધરાવે છે.

અહીં k_B, બોલ્ટ્ઝમાનનો નિયતાંક છે. hω, એ એક ફોનૉનની ઊર્જા છે અને સમીકરણ(13)નો છેદ T તાપમાને ઉત્તેજિત થયેલ ફોનૉનની સંખ્યા દર્શાવે છે. લૅટિસની કુલ ઊર્જા E નીચેના સમીકરણથી મળે છે :

ત્રિપારિમાણિક લૅટિસ : વાસ્તવમાં, ત્રિ-પારિમાણિક સ્ફટિક રચનામાં, લૅટિસ દોલનોના સાચા વર્ણન માટે ઘણી બાબતો ધ્યાનમાં રાખવી પડે છે. પરમાણુના કેન્દ્રમાં નાભિ (nucleus) હોય છે અને તેની આસપાસ ઇલેક્ટ્રૉન કક્ષીય ભ્રમણ કરતા હોય છે. ઢ (rigid) આયન પ્રતિરૂપમાં, નાભિ સાથે મુક્તતાના અંશો (degrees of freedom) સંકળાયેલ હોય છે એમ સ્વીકારી લીધું છે. [ x કે y કે z અક્ષ ઉપર ગતિ કરતી કીડીને મુક્તતાનો એક જ અંશ હોય છે; ટેબલના કે અન્ય સમતલમાં ગતિ કરતી કીડીને મુક્તતાના બે અંશો હોય છે અને ઊડતી માખીને મુક્તતાના ત્રણ અંશો હોય છે. કોઈ તંત્રના મુક્તતાના અંશો એટલે ગત્યાત્મક તંત્રની અવસ્થાને નિર્દિષ્ટ કરવા માટે જરૂરી સ્વતંત્ર રાશિઓની સંખ્યા.]

નાભિ સાથે સંકળાયેલા મુક્તતાના અંશો મહત્વના છે અને ઇલેક્ટ્રૉન તો ન્યૂક્લિયસને જ અનુસરતા હોય છે. સોડિયમ ક્લોરાઇડ (NaCl) જેવા આયનિક સ્ફટિકમાં કવચ-પ્રતિરૂપ (shell model) સ્વીકારીને ઢ આયન પ્રતિરૂપની બાબતે સુધારો કરી શકાય છે. કવચ પ્રતિરૂપમાં મુક્તતાના વધારાના અંશો ઇલેક્ટ્રૉન કવચને આપવામાં આવે છે.

બે પરમાણુઓનાં કેન્દ્રોને જોડતી રેખા ઉપર લાગતા બળને કેન્દ્રીય બળ (central force) કહે છે. એક પરિમાણમાં સુરેખા ઉપર રહેલા બે પરમાણુઓ વચ્ચે પ્રવર્તતું બળ કેન્દ્રીય હોય છે. કેટલાક સ્ફટિકોમાં કોણીય બળો પણ મહત્વનાં હોય છે. આવાં બળો કોણમાં થતા ફેરફારનો વિરોધ કરે છે.

આકૃતિ (1)માં બતાવ્યા પ્રમાણે, લૅટિસ દોલનો માટે મળતા વિસર્જન વક્રો ω(k) સામાન્ય રીતે શક્ય નથી. તે માટે આંતર-પરમાણુ-બળોનો આધાર લેવો પડે છે. આથી બળો માટે પ્રતિરૂપ તૈયાર કરવું જરૂરી છે. ત્યાર બાદ માપેલા ω(k)માં બંધ બેસે તેવા પ્રાચલો (parameters) પસંદ કરવામાં આવે છે. આ પ્રતિરૂપને આધારે અવસ્થા-ઘનતા ρ(ω) નક્કી કરવાનું શક્ય બને છે.

આકૃતિ (3)માં ઍલ્યુમિનિયમની [100] દિશામાં માત્ર એક જ લંબગત (transverse) શાખા છે; તે છતાં તે મુખ્ય દિશાઓ [110] અને [111]માં એટલે કે T₁ અને T₂માં વિભક્ત થાય છે. પરમાણુમાં દોલનો k-સદિશને સમાંતર હોય ત્યારે તેને સંગત (longitudinal) દોલનો કહે છે, અને k-સદિશને લંબ રૂપે હોય ત્યારે તેને લંબગત દોલનો કહે છે. વ્યાપક રીતે, કોઈ પણ દિશામાં સંગત અને લંબગત દોલનોનું મિશ્રણ હોય છે. વધુ મોટી તરંગલંબાઈની મર્યાદામાં જ્યાં ω અને k વચ્ચે રૈખિક (linear) સંબંધ હોય ત્યાં આ લાગુ પડે છે. મુખ્ય દિશામાં સંગત અને લંબગત ધ્વનિતરંગો હોય છે. લંબગત ધ્વનિતરંગો ઘન પદાર્થોમાં હોય છે અને વાયુ તથા પ્રવાહીમાં તે નથી મળતા કારણ કે વાયુ અને પ્રવાહી અપરૂપણ(shearing)નો વિરોધ કરી શકતાં નથી

વાન-હૉવે, આકૃતિ (3) પ્રમાણે ρ(ω)માં જોવા મળતા સ્પષ્ટ અસાતત્યને અનન્યતા (singularity) કહેલ છે.  0 થાય ત્યારે તેવી આવૃત્તિ માટે આવું અસાધારણ પરિણામ જોવા મળે છે.

વિસર્જન સંબંધોનાં માપ : એક સમય એવો હતો કે લૅટિસ દોલનોની આવૃત્તિ ω(k) અપ્રત્યક્ષ રીતે વિશિષ્ટ ઉષ્મામાપન ઉપરથી નક્કી કરવામાં આવતી હતી. ન્યૂટ્રૉનના અસ્થિતિસ્થાપક પ્રકીર્ણન અને 1960ની આસપાસ તૈયાર કરવામાં આવેલ ત્રિ-અક્ષ વર્ણપટમાપક (triple axis spectrometer) વડે વ્યાપક મુખ્ય અક્ષ ઉપર ω(k)નું પ્રત્યક્ષ માપન સામાન્ય ઘટના બની. તેમ છતાં, બીજી દિશાઓમાં ω(k)ના માપન માટે બળ-અચળાંક પ્રતિરૂપ(force constant model)ની આવશ્યકતા જણાઈ. તે ઉપરથી અવસ્થા ઘનતા ρ(ω) મેળવી શકાય છે.

સોડિયમ ક્લોરાઇડમાં એકમ કોષ(cell)દીઠ એકથી વધુ પરમાણુઓ હોય છે. એવા સ્ફટિકમાં ω(k)ની વધારાની શાખાઓ હોય છે. આવી શાખાઓને પ્રકાશીય (optic) શાખાઓ કહે છે. વધુ મોટી તરંગલંબાઈ હોય ત્યારે આ શાખાઓને અશૂન્ય (non-zero) આવૃત્તિ હોય છે. આ શાખાઓ શ્રુતિગમ્ય (acoustic) શાખાઓથી જુદી પડે છે. શ્રુતિગમ્ય શાખાઓ માટે ધ્વનિતરંગોની આવૃત્તિ મોટી તરંગલંબાઈ માટે શૂન્ય થવા જાય છે. k = 0 પ્રકાશીય રીતિઓનું માપન અધોરક્ત (infrared) શોષણપદ્ધતિ અને રામન પ્રકીર્ણન વડે થાય છે. ω(k) જાણવાથી બીજા ઘણા ગુણધર્મો જાણી શકાય છે. તે બધામાં સૌથી વધારે મહત્વનો ગુણધર્મ વિશિષ્ટ ઉષ્મા છે. બીજા ગુણધર્મો તરીકે અવાહક પદાર્થોમાં ઉષ્માવાહકતા અને અતિવાહકતા પ્રત્યે દોરી જતી ઇલેક્ટ્રૉન-યુગ્મની આંતરક્રિયા વગેરે આવે છે.

પ્રહલાદ છ. પટેલ