સંકલન (Integration) : કલનશાસ્ત્રની બે મૂળભૂત પ્રક્રિયાઓમાંની એક. વિકલન અને સંકલન એ એકબીજીની વ્યસ્ત પ્રક્રિયાઓ છે.
વક્રો દ્વારા આવરાયેલું કે વક્રસપાટીનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે કે ઘનાકારોનું ઘનફળ શોધવા માટે સામાન્ય અંકગણિતની રીતો અપૂરતી થઈ પડે છે અને એ માટે જે પાછળથી સંકલન તરીકે ઓળખાઈ એવી નવી રીતની જરૂર પડે છે એવો ખ્યાલ સૌપ્રથમ આર્કિમિડીઝને ઈ. પૂ. ત્રીજી સદીમાં આવ્યો. તેણે ‘અનંત સરવાળા’ની એક રીત શોધી કાઢી. શંકુનું ઘનફળ શોધવા માટે તેણે શંકુની ધરીને લંબ દિશામાં કાપ મૂકી મૂકીને શંકુનાં ખૂબ પાતળાં સમાંતર પતીકાં (slices) કર્યાં હોય તેવી કલ્પના કરી. દરેક પતીકું નળાકાર છે તેમ સ્વીકારી તેનું ઘનફળ શોધી આ બધાં ઘનફળોનો સરવાળો કરી શંકુનું ઘનફળ મેળવ્યું. અત્યારના ધોરણે આર્કિમિડીઝની રીત ખૂબ કાચી હતી પણ તેનાં પરિણામો સાચાં હતાં.
આર્કિમિડીઝની પદ્ધતિ અન્યોને એટલી કઠિન લાગતી હતી કે એ રીતોનો ઉપયોગ ત્યારપછી લગભગ બે હજાર વર્ષો સુધી કોઈએ ન કર્યો. પછી ઈ. સ.ની 17મી સદીમાં અનેક ગણિતીઓએ એક જ દિશામાં વિચારવા માંડ્યું, પણ કલનશાસ્ત્રની શોધનો યશ બ્રિટનના ન્યૂટન તથા જર્મનીના લાઇબનિત્ઝને ફાળે જાય છે. ન્યૂટને 1665ના અરસામાં વિકલન અને સંકલન બંને પ્રવિધિઓની શોધ કરી હતી, પણ તેને પ્રકાશિત કરવામાં તેણે ખૂબ વિલંબ કર્યો. લાઇબનિત્ઝે તેના પછી દોઢ દાયકા પછી કામ કર્યું પણ તેણે તે તરત જ પ્રકાશિત કર્યું. વક્રનો સ્પર્શક શોધવો અને વક્ર હેઠળનું ક્ષેત્રફળ શોધવું એ એકબીજીની વ્યસ્ત પ્રક્રિયાઓ છે એવો ખ્યાલ ન્યૂટનના ગુરુ આઇઝૅક બૅરોને આવ્યો હતો. પહેલા કામ માટે વિકલન કરવું પડે છે અને બીજા માટે સંકલન, એ ન્યૂટને સમજાવ્યું.
આપેલ વિધેય f(x)નું કોઈ અંતરાલ [a, b] પર સંકલન કરવું એ વક્ર y = f(x), x-અક્ષ તથા બે અભિલંબ રેખાઓ y = a તથા y = b એ ચાર સીમારેખાઓથી બંધાયેલ પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધવા સમાન છે. આ સંકલન માટેનો સંકેત 
છે.
આ સંકલનનું મૂલ્ય શોધવા માટે બે રીતો છે. જો f(x)નું પૂર્વગ g(x) જ્ઞાત હોય એટલે કે g^(x) = f(x) થાય તેવું વિધેય g(x), તો
એ સંકલનનું મૂલ્ય છે. જો પૂર્વગ જ્ઞાત ન હોય અને માત્ર સંકલનના આસન્ન મૂલ્યથી ચાલે તેવું હોય તો
નિયમ(Trapezoidal Rule)નો ઉપયોગ કરી શકાય. એ નિયમ પ્રમાણેનું આસન્ન મૂલ્ય
લેવાય છે. જેમ b–aનું મૂલ્ય ઓછું તેમ આ સૂત્ર વધુ ચોક્કસ પરિણામ આપે છે. જો b–a નાની સંખ્યા ન હોય તો સિમ્પસનના નિયમનો ઉપયોગ કરી શકાય. આ નિયમ પ્રમાણે નું આસન્ન મૂલ્ય લેવાય છે.
પરંતુ f(x)નું પૂર્વગ અજ્ઞાત હોય કે તેનું અસ્તિત્વ જ ન હોય અને નું ચોક્કસ મૂલ્ય જ જોઈએ તો આર્કિમિડીઝની જેમ ‘અનંત સરવાળાની રીત’ પ્રયોજવી પડે છે. આ રીતે તર્કશુદ્ધતાની ઝાઝી પરવા કર્યા વગર ગણિતજ્ઞોએ ન્યૂટન પછી લગભગ દોઢસો વર્ષ સુધી સંકલન કર્યાં અને ખૂબ ઉપયોગી પરિણામો મેળવ્યાં. આ પરિણામો ગણિત ઉપરાંત ઇજનેરી અને વિજ્ઞાનની અનેક શાખાઓમાં ખૂબ કામ લાગ્યાં.
ઓગણીસમી સદીમાં જર્મન ગણિતજ્ઞ રીમાન્ને સંકલનને શાસ્ત્રીય શુદ્ધ પદ્ધતિથી વ્યાખ્યાયિત કર્યું. ની વ્યાખ્યા આપવા માટે તેણે સૌપ્રથમ તો f(x) [a, b] પર સીમિત હોય તે જરૂરી ગણ્યું અને પછી અંતરાલ[a, b]નું વિભાજન p = {a = x0, x1, x2, ………., xn1, xn = b} લીધું. દરેક ઉપાંતરાલ [xi1, xi]માં તેણે f(x)ની મહત્તમ નિમ્ન સીમા mi તથા લઘુતમ ઊર્ધ્વસીમા Mi લઈ તેમનો ઉપાંતરાલની લંબાઈ (xi xi1) સાથે ગુણાકાર કરી mi (xi xi1) તથા Mi (xi xi2) મેળવ્યાં. હવે આ પદોનો તમામ ઉપાંતરાલો માટે સરવાળો કરી આપેલ વિભાજન p માટે બે 
સરવાળા તથા 
મેળવ્યા.
હવે mi ≤ Mi હોવાથી ≤ થશે. આ કારણે ને નીચલો સરવાળો તથા ને ઉપલો સરવાળો કહે છે.
હવે [a, b]નાં જુદાં જુદાં તમામ વિભાજનો p માટે નીચલા સરવાળા મેળવીએ તો આ બધા નીચલા સરવાળાઓનો ગણ ઉપરથી સીમિત થશે અને તે ગણની લઘુતમ ઊર્ધ્વસીમા (l.u.b.) મળશે. આ લઘુતમ ઊર્ધ્વસીમાને f(x)નો aથી bનો નીચલો રીમાન્ન સંકલ કહે છે અને તેને 
એમ લેખાય છે.
એ જ પ્રમાણે જુદાં જુદાં વિભાજનો p માટે નો ગણ નીચેથી સીમિત છે અને તેની મહત્તમ નિમ્નસીમા (g.l.b.)ને f(x)નો aથી bનો ઉપલો રીમાન્ન સંકલ કહે છે. તેને 
– આ રીતે લખાય છે. એ જોવું સરળ છે કે દરેક f(x) તથા [a, b] માટે
હવે રીમાન્ન એવી વ્યાખ્યા આપે છે કે જો
હોય તો f(x) [a, b] પર સંકલનીય છે તેમ કહેવાય અને f(x)નો [a, b] પરનો સંકલ, એટલે કે નું મૂલ્ય જેટલું 
જેટલું છે તેમ કહેવાય.
દરેક સતત વિધેય સંકલનીય છે અને કેટલાંક અસતત વિધેયો પણ સંકલનીય છે તેમ સાબિત કરી શકાય છે.
રીમાન્ન સંકલનમાં ઘણા સગવડિયા ગુણધર્મો છે, જેવા કે 
રીમાન્ન સંકલનથી પરિમિત ક્ષેત્રફળો, ઘનફળો વગેરે શોધવાનું કામ ખૂબ સરળ બન્યું. આપેલ અંતરાલ [a, b] પર રીમાન્ન સંકલનીય હોય તેવાં વિધેયોના ગણમાં અંતરનો ખ્યાલ વગેરે દાખલ કરી ઉપયોગી રચનાઓ કરવામાં આવી. પરંતુ રીમાન્ન સંકલન સાવ ક્ષતિરહિત તો નથી. રીમાન્ન સંકલનીય વિધેયોની શ્રેણી લઈએ અને તે શ્રેણીનું લક્ષ્ય કોઈ વિધેય હોય તો તે લક્ષ્ય વિધેય પણ રીમાન્ન સંકલનીય હોય તેવું બનતું નથી. અન્ય શબ્દોમાં કહીએ તો [a, b] પર રીમાન્ન સંકલનીય હોય એવાં વિધેયોનો ગણ R [a, b]ને અમુક વિશેષ અર્થમાં માનાવકાશ બનાવીએ તો તે પૂર્ણ માનાવકાશ નહિ બને. તેને પૂર્ણ કરવા માટે વિસ્તારવાની જરૂર પડે.
આ વિસ્તારવાનું કામ વીસમી સદીની શરૂઆતમાં ફ્રેન્ચ ગણિતજ્ઞ હેન્રી લેબેગે કર્યું. લેબેગે જોયું કે રીમાન્ન સંકલનની વ્યાખ્યા જ એવી છે કે સામાન્ય રીતે સતત કે લગભગ સતત હોય તેવાં જ વિધેયો સંકલનીય બને છે. તે વ્યાખ્યામાં અને એકબીજાની નજીક હોવા માટે [xi, xi + 1]માં mi અને Mi નજીક હોવા જોઈએ. આ બે f(x)નાં મૂલ્યોની સીમાઓ હોવાથી [xi, xi + 1]માં f(x)નાં મૂલ્યોમાં મોટું પરિવર્તન ન થાય તો જ વિધેય સંકલનીય બને. આનો અર્થ તો એ જ થાય કે જે વિધેય સતત હોય કે લગભગ સતત જેવું જ હોય તે જ રીમાન્ન સંકલનીય હોય. આ એક મોટો પ્રતિબંધ છે અને તેના મૂળમાં એ વાત છે કે [a, b]નું વિભાજન ઉપાંતરાલોમાં કર્યું છે. તેને બદલે જો [a, b]નું વિભાજન એવા ઉપગણોમાં કરીએ કે તેમાંના કોઈ પણ ઉપગણમાં f(x)નાં મૂલ્યોમાં ઝાઝો ફેરફાર ન થતો હોય તો ઘણાં વધુ વિધેયોનું સંકલન થઈ શકે. આવા વિચારોથી પ્રેરાઈને લેબેગે
[a, b]નું વિભાજન કરવા માટે નીચે પ્રમાણે વિચાર્યું :
વિધેય f(x) [a, b] પર સીમિત છે માટે તે અંતરાલમાં તેને એક મહત્તમ નિમ્નસીમા (glb) m તથા લઘુતમ ઊર્ધ્વસીમા (lub) M છે. દરેક x ીં [a, b] માટે m જ્ર f(x) જ્ર M થાય. હવે અંતરાલ [a, b]ને નહિ પણ અંતરાલ [m, M]નું ઉપાંતરાલોમાં વિભાજન કરીએ. p = {m0, m1, m2, ………., mn1, mn = M}. હવે ઉપાંતરાલ(mi1, mi)નું f હેઠળ વ્યસ્તપ્રતિબિંબ ધારો કે Si1 છે, એટલે કે
Si1 = {x ીં [a, b] f(x) ીં [mi1, mi]}.
તો S0, S1, ……., Sn એ બધા [a, b]ના અલગ ઉપગણો થાય અને {s0, s1, …….., sn} એ [a, b]નું એક વિભાજન મળે. આ વિભાજનમાંના ગણો Si કદાચ ઉપાંતરાલો ન પણ હોય.
હવે x ીં Si માટે mi1 જ્ર f(x) < mi તેથી હવે રીમાન્નની યોજના પ્રમાણે mi1 ને Siની ‘લંબાઈ’ વડે ગુણવાના રહેશે અને આવાં પદોના સરવાળાથી ‘નીચલો સરવાળો’ મળશે. miને Siની ‘લંબાઈ’ વડે ગુણી, એવાં પદોનો સરવાળો કરવાથી ‘ઉપલો સરવાળો’ મળશે અને એમ આપણી રીત આગળ વધશે.
પરંતુ લેબેગ સામે પ્રશ્ન એ ઊભો થયો કે જો Si એ ઉપાંતરાલ ન હોય તો તેની ‘લંબાઈ’ એટલે શું ? એટલે પહેલું કામ તો તેણે લંબાઈનો ખ્યાલ અંતરાલો ન હોય તેવા વાસ્તવિક સંખ્યાના ગણો સુધી વિસ્તારવાનું કરવાનું આવ્યું. આ માટે તેણે ગણના માપ(measure)નો ખ્યાલ વિકસાવ્યો, જે પાછળથી ગણનું લેબેગ માપ કહેવાયું. લંબાઈના ખ્યાલને માપ સુધી વિકસાવવામાં લેબેગે જોયું કે વાસ્તવિક સંખ્યાઓના દરેક ગણ સુધી એ ખ્યાલ વિકસાવી શકાતો નથી. આમ વાસ્તવિક સંખ્યાઓના કેટલાક ઉપગણો માપનીય છે અને કેટલાક નથી.
હવે ફરી Si = f1 ([mi1, mi]) પર જઈએ. જો આવા ગણ Si માપનીય હોય તો f માપનીય વિધેય (measurable function) છે એમ લેબેગે વ્યાખ્યા કરી અને જે વિધેયો માપનીય હોય તેમને માટે લેબેગ રીમાન્ન સંકલનના ખ્યાલનો વિસ્તાર રીમાન્નની જ રીતથી કરી શક્યો.
રીમાન્ન સંકલનમાં [a, b]ના વિભાજનના ઉપગણો ઉપાંતરાલો જ છે અને તે બધા તો માપનીય છે જ માટે રીમાન્ન સંકલનીય હોય તેવાં બધાં જ વિધેયો લેબેગ સંકલનીય પણ છે. કેટલાંક વિધેયો લેબેગ સંકલનીય છે પણ રીમાન્ન સંકલનીય નથી. જ્યારે વિધેય રીમાન્ન તથા લેબેગ બંને રીતે સંકલનીય હોય ત્યારે તેનાં બંને સંકલો સરખા જ થાય છે.
જો [a, b] પર લેબેગ સંકલનીય હોય તેવાં તમામ વિધેયોના ગણ L[a, b]ને (અમુક વિશેષ અર્થમાં) માનાવકાશ બનાવીએ તો તે પૂર્ણ માનાવકાશ બને છે એટલે કે L[a, b]માંની બધી જ મૂળભૂત શ્રેણીઓને L[a, b]માં જ લક્ષ્ય હોય છે.
આ લેખમાં એક વાસ્તવિક ચલ xના અંતરાલ [a, b] પર સીમિત હોય તેવા જ વિધેય f(x)ના સંકલનનો વિચાર કરવામાં આવ્યો છે; પરંતુ આવા સંકલનના લક્ષ્ય તરીકે એવા જે [a, b] પર સીમિત ન હોય તેવા f(x)ના સંકલનનો અને અંતરાલ [a, b]ને સ્થાને [a, ઝ્] કે [ઝ્, b] હોય તેવા સંકલનનો પણ વિચાર કરી શકાય.
વળી એકથી વધુ ચલોનાં વિધેયોના યોગ્ય ગણો પર સંકલનનો પણ અભ્યાસ ખૂબ ઉપયોગી પુરવાર થયો છે.
સંકર ચલ Zના વિધેય f(z)ના સંકલનની વ્યાખ્યા પણ આખરે તો વાસ્તવિક ચલના વિધેયના સંકલન પર જ આધાર રાખે છે.
અરુણ મ. વૈદ્ય