શાંકવો (conics)

શાંકવો (conics)

લંબવૃત્તીય શંકુના એક સમતલ સાથેના છેદથી રચાતો સમતલીય વક્ર.

આપણે શાંકવની બીજી વ્યાખ્યાઓ આપીએ તે પહેલાં ઉપર્યુક્ત વ્યાખ્યામાં છેદક સમતલની જુદી જુદી સ્થિતિથી રચાતા જુદા જુદા શાંકવોનો પરિચય કરીએ.

ટેબલ પર એક વર્તુળ દોર્યું છે. વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી ટેબલને લંબ રેખા l લઈએ અને તેના પર એક બિંદુ O લઈએ. જો Oને વર્તુળના દરેક બિંદુ સાથે જોડતી રેખાઓ લઈએ તો એક શંકુ રચાય. બિંદુ O એ આ શંકુનું શિરોબિંદુ (vertex) કે શીર્ષ (apex) કહેવાય. ટેબલને લંબરૂપે દોરેલી રેખા lને શંકુની અક્ષ (axis) કહેવાય છે અને Oને વર્તુળનાં બિંદુઓ સાથે જોડતી રેખાઓને શંકુની જનકરેખાઓ કે જનકો (generators) કહેવાય છે. આ જનકરેખાઓ Oની બંને બાજુએ અનંત સુધી લંબાયેલી છે તેથી શંકુ બે એકરૂપ (identical) ભાગોનો બનેલો છે. એક ભાગ શંકુના શિરોબિંદુની ઉપર છે અને બીજો શિરોબિંદુની નીચે. (જુઓ આકૃતિ 1).

શંકુની કોઈ પણ જનક રેખા શંકુની અક્ષ સાથે જે ખૂણો બનાવે તે શંકુનો અર્ધશિર:કોણ કહેવાય છે. અર્ધશિર:કોણને α સંકેત વડે દર્શાવવામાં આવ્યો છે. શંકુને છેદતું સમતલ શંકુની અક્ષ સાથે જે ખૂણો બનાવે તેને θ વડે દર્શાવવામાં આવ્યો છે. (θ = 90°)

આકૃતિ (i)માં છેદક સમતલ શંકુના શીર્ષમાંથી પસાર થતું નથી.

જો θ = 90° એટલે કે છેદક સમતલ શંકુની અક્ષને લંબ હોય, તો આ સમતલનો શંકુ સાથેનો છેદવક્ર વર્તુળ છે.

જો α < θ < 90° હોય તો છેદક સમતલનો શંકુ સાથેનો છેદવક્ર લંબગોળાકાર (oval shape) બંધ વક્ર હોય છે, જેને ઉપવલય કહેવામાં આવે છે.

જો α = θ એટલે કે છેદક સમતલ એ શંકુની કોઈ એક જનક રેખાને સમાંતર હોય, તો છેદક સમતલનો શંકુ સાથેનો છેદ એક ખુલ્લો વક્ર છે, જેને પરવલય કહેવામાં આવે છે. આ વક્ર અનંત વિસ્તરેલો છે. આ વક્રનાં બંને પાંખિયાં જેમ જેમ દૂર જઈએ તેમ તેમ પહોળાં થતાં જાય છે.

હવે જો 0 < θ < θ તો છેદક સમતલ એ શંકુના શીર્ષની ઉપર-નીચે આવેલા બંને ભાગોને છેદે. આમ કરવાથી મળતા છેદવક્રને અતિવલય કહેવામાં આવે છે. અતિવલય બે અલગ વક્રો જેવો દેખાય છે પણ તે બે શાખા ધરાવતો એક જ વક્ર છે. બંને શાખાઓ ખુલ્લી, એકબીજીની વિરુદ્ધ દિશામાં અનંત વિસ્તરેલી છે અને જેમ જેમ દૂર જઈએ તેમ તેમ વધુ પહોળી થતી જાય છે.

છેલ્લે, જો છેદક સમતલ શંકુના શિરોબિંદુમાંથી પસાર થાય તો સમતલનો શંકુ સાથેનો છેદ એ શંકુની બે જનક રેખાઓની જોડ છે. અહીં પણ આ છેદને બે બિન્ન રેખાઓ તરીકે ન ઓળખતાં એક રેખાયુગ્મ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે. રેખાયુગ્મને અપહ્રાસિત શાંકવ (degenerate conic) તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.

ઉપર વર્ણવેલ દરેક શાંકવને પોતપોતાના અલગ ગુણધર્મો છે તેમજ આ બધા વક્રોમાં હોય તેવા કેટલાક સામાન્ય ગુણધર્મો પણ છે. આવા સામાન્ય ગુણધર્મો પૈકીના કોઈને વ્યાખ્યા તરીકે લઈને, ભૂમિતિવિદોએ સંશ્ર્લેષિક ભૂમિતિ(synthetic geometry)ની રીતો વડે શાંકવોનો અભ્યાસ કર્યો છે. હવે નાભિ-નિયામિકા ગુણધર્મ તરીકે જાણીતા, તમામ શાંકવોના એક સામાન્ય ગુણધર્મની મદદથી શાંકવની વ્યાખ્યા પ્રસ્તુત છે.

સમતલમાં S કોઈ નિશ્ચિત બિંદુ, l કોઈ નિશ્ચિત રેખા અને P ચલબિંદુ છે. Pમાંથી રેખા l પર દોરેલા લંબ રેખાખંડ PM છે. જો  અચળ સંખ્યા (e) હોય, તો Pનો બિંદુપથ એક શાંકવ છે. નિશ્ચિત બિંદુ Sને આ શાંકવનું નાભિ (focus) અને નિશ્ચિત રેખા lને શાંકવની નિયામિકા (directrix) કહેવામાં આવે છે. ધન ગુણોત્તર eને શાંકવની ઉત્કેન્દ્રતા કહેવામાં આવે છે. જો શાંકવની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) e < 1 હોય તો શાંકવ ઉપવલય, e = 1 હોય તો શાંકવ પરવલય અને e > 1 હોય તો શાંકવ અતિવલય છે.

ઉપવલય : આગળ ઉલ્લેખ કર્યા મુજબ ઉપવલય એક બંધ વક્ર છે. આ વક્રના અંદરના ભાગમાં એક બિંદુ એવું છે જેથી બિંદુ Oમાંથી પસાર થતી દરેક જીવા માટે O તેનું મધ્યબિંદુ છે. આ બિંદુ Oને ઉપવલયનું કેન્દ્ર કહેવાય છે. ઉપવલયના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી દરેક જીવાને ઉપવલયનો વ્યાસ કહેવામાં આવે છે. ઉપવલયને સંમિતતાની બે અક્ષો છે. ઉપવલયનો સૌથી મોટો વ્યાસ A´Aને ઉપવલયનો પ્રધાન અક્ષ અને સૌથી નાનો વ્યાસ B´B ને ઉપવલયનો ગૌણ અક્ષ કહે છે. લંબાઈ AA´ ને 2a અને BB´ને 2b વડે દર્શાવવામાં આવે છે. ઉપવલયનું નાભિ S એ પ્રધાન અક્ષ પર એવી રીતે આવેલું છે કે જેથી OS = ae થાય. ઉપવલય માટે e < 1 છે, આથી ae < a. તેથી S ઉપવલયના અંદરના ભાગમાં છે. કિરણ OA પર X એવું બિંદુ હોય કે જેથી  થાય તો Xમાંથી OXને લંબ રેખા એ ઉપવલયની નિયામિકા છે. ઉપવલયની નિયામિકા દેખીતી રીતે જ ઉપવલયના બહારના ભાગમાં છે. સંમિતતાને કારણે ઉપવલયને એક બીજું નાભિ S´ છે, જે OA´ પર એવી રીતે આવેલ છે કે જેથી  OS´ = OS થાય. S´ને અનુરૂપ નિયામિકા એ કિરણ OA´ પર આવેલ બિંદુ X´ માંથી ઉપવલયની પ્રધાન અક્ષને દોરેલી લંબ રેખા છે, જેથી OX´ = OX થાય.

પરવલય : ધારો કે નાભિ Sમાંથી નિયામિકા પર દોરેલ લંબ રેખાખંડ SX છે અને SXનું મધ્યબિંદુ A છે. સ્પષ્ટ છે કે A પરવલય પરનું બિંદુ છે. આ બિંદુને પરવલયનું શીર્ષ (અથવા શિરોબિંદુ) કહેવામાં આવે છે. પરવલય રેખા SX પ્રત્યે સંમિત છે. SXને પરવલયની અક્ષ કહેવામાં આવે છે. આ વક્રને કેન્દ્ર નથી. ઉપરાંત

આ વક્રને એક જ નાભિ અને એક જ નિયામિકા છે. પરવલયની

અક્ષને સમાંતર હોય તેવી કોઈ પણ રેખા પરવલયને એક જ બિંદુમાં છેદે છે. આવી તમામ રેખાઓને પરવલયના વ્યાસ કહેવામાં આવે છે.

અતિવલય : અતિવલય કેન્દ્રીય વક્ર છે. જો O કેન્દ્ર હોય તો O માંથી પસાર થતી, વક્રની કોઈ પણ જીવાનું મધ્યબિંદુ O છે. O માંથી પસાર થતી અતિવલયની પ્રત્યેક જીવાને અતિવલયનો વ્યાસ કહેવામાં આવે છે. આ વક્રને પણ બે સંમિતતા-અક્ષો (axes of symmetry) છે. આમાંની એક અક્ષ વક્રને A´ અને Aમાં છેદે છે. A´ વક્રની એક શાખા પર છે અને A તેની બીજી શાખા પર છે. આ અક્ષને અતિવલયની મુખ્ય અક્ષ (transverse axis) કહેવામાં આવે છે.

અતિવલયની બીજી અક્ષને અનુબદ્ધ અક્ષ (conjugate axis) કહેવામાં આવે છે. અતિવલયની અનુબદ્ધ અક્ષ અતિવલયની બંને શાખાઓની બરાબર મધ્યમાં આવેલી છે અને અતિવલયને એક પણ બિંદુમાં છેદતી નથી. આ વક્રને પણ ઉપવલયની જેમ જ બે નાભિ S અને S´ છે, જે મુખ્ય અક્ષ પર કેન્દ્ર Oની પ્રત્યેક બાજુએ સંમિત રીતે આવેલા છે. OS = OS´ = ae છે. S અતિવલયની એક શાખાના અંદરના ભાગમાં છે. તો S´ તેની બીજી શાખાના અંદરના ભાગમાં છે. પ્રત્યેક નાભિને સંગત નિયામિકાઓ અતિવલયની મુખ્ય અક્ષને અનુક્રમે X અને X´ બિંદુએ લંબ છે; જ્યાં X, X´ એ મુખ્ય અક્ષ પર Oની સામસામે આવેલાં બિંદુઓ છે જેથી  થાય. બંને નિયામિકાઓ અતિવલયની બે શાખાઓ વચ્ચે આવેલી છે અને તેથી તેના કેન્દ્રની નજીક છે.

શાંકવોના અભ્યાસ માટે વૈશ્ર્લેષિક ભૂમિતિ(analytical geometry)નો બહોળો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. ખાસ કરીને, શાંકવોના ગુણધર્મોની ચકાસણી માટે યામપદ્ધતિ એ સંશ્ર્લેષિક ભૂમિતિ કરતાં વધુ પ્રભાવક સાધન છે. જો કે આ પદ્ધતિમાં શાંકવની વ્યાખ્યા તરીકે શાંકવનો નાભિ-નિયામિકા ગુણધર્મ લેવામાં આવે છે.

પરવલયના શીર્ષ Aને ઊગમબિંદુ અને પરવલયની અક્ષને X-અક્ષ તરીકે લઈ પરવલયનું સમીકરણ y² = 4ax મેળવવામાં આવે છે. ઉપવલયની પ્રધાન અક્ષને X-અક્ષ અને ગૌણ અક્ષને Y-અક્ષ તરીકે લઈ ઉપવલયનું સમીકરણ  મેળવવામાં આવે છે. આવી જ રીતે અતિવલયનું સમીકરણ તેના સરળતમ,  સ્વરૂપમાં મેળવવામાં આવે છે. અહીં અતિવલયની મુખ્ય અક્ષ (transverse axis) X-અક્ષ અને અનુબદ્ધ અક્ષ (conjugate axis) Y-અક્ષ લેવામાં આવે છે. ઉપવલયના સમીકરણમાં b = a લેવાથી તેના એક વિશિષ્ટ પ્રકાર તરીકે વર્તુળનું સમીકરણ x² + y² = a² સ્વરૂપમાં મળે છે. અતિવલયના સમીકરણમાં b = a લેવાથી અતિવલયનું એક અગત્યનું અને વિશિષ્ટ સ્વરૂપ  x² − y² = a² મળે છે. આ અતિવલયને લંબાતિવલય (rectangular hyperbola) કહેવામાં આવે છે.

અહીં આપેલાં સમીકરણો એ શાંકવોના યામ સમતલમાંના વિશિષ્ટ સ્થાન પર આધારિત છે. યામ સમતલમાં કોઈ પણ સ્થિતિમાં દોરેલ શાંકવ એ દ્વિચલ દ્વિઘાત સમીકરણ ax² + 2hxy + by² + 2gx + 2fy + c = 0 વડે દર્શાવી શકાય અને સાબિત કરી શકાય.

ઉપર્યુક્ત સમીકરણ જુદા જુદા શાંકવો દર્શાવે તે માટેની આવશ્યક અને પર્યાપ્ત શરતો પ્રત્યેક શાંકવ માટે નીચે મુજબ છે :

ઉપવલય માટે : h² < ab, પરવલય માટે : h² = ab અને અતિવલય માટે : h² > ab. વર્તુળ માટે બે શરતો છે : a = b અને h = 0. રેખાયુગ્મ પણ શાંકવ છે તે શરૂઆતમાં જોયું. આ સમીકરણ રેખાયુગ્મ દર્શાવે તે માટેની શરત abc + 2fgh − af² − bg² − ch² = 0 છે. એટલે કે   એ આપેલ દ્વિચલ દ્વિઘાત સમીકરણ રેખાયુગ્મ દર્શાવે તે માટેની શરત છે.

શાંકવોના કેટલાક ગુણધર્મો, ખાસ કરીને કેટલાક પ્રક્ષેપણ ગુણધર્મો(projective properties)ની ચર્ચા કરવા માટે સમપરિમાણ (homogeneous) બેરીસેન્ટ્રિક કે ટ્રાઇલિનિયર (barycentric or trilinear) યામપદ્ધતિઓ વધુ ઉપયોગી નીવડે છે.

દ્વિચલ દ્વિઘાત સમીકરણ(અથવા ત્રિચલ સમપરિમાણ દ્વિઘાત સમીકરણ)ના આલેખ તરીકે શાંકવની વ્યાખ્યા આપી શકાય.

શાંકવોની કેટલીક વ્યાખ્યાઓ આપી તે ઉપરાંત હવે એક એવી વ્યાખ્યા આપવામાં આવી છે જે કેટલાક ભૂમિતિવિદોના મતે શાંકવની સર્વશ્રેષ્ઠ વ્યાખ્યા છે.

એક સમતલમાં આવેલી બે સમતિર્યક્ અથવા પ્રક્ષેપણીય (homographic or projective) પેન્સિલની રેખાઓ પૈકી અનુરૂપ રેખાઓનાં તમામ છેદબિંદુઓના ગણને શાંકવ કહેવામાં આવે છે. આ સુંદર ફાંકડી (elegant) વ્યાખ્યા શાંકવોના ઘણા બધા ગુણધર્મો માટે પાયા (base) રૂપ બને છે.

જેમાં માપના ખ્યાલોને સંપૂર્ણ અવગણવામાં ન આવ્યો હોય તેવી પ્રક્ષેપ-ભૂમિતિમાં શાંકવની વ્યાખ્યા નીચે મુજબ આપી શકાય :

બે સમતલો પૈકી એક પણ ઉપર ન હોય તેવા બિંદુમાંથી એક સમતલ પર આવેલા વર્તુળના બીજા સમતલ પરના પ્રક્ષેપને શાંકવ કહેવામાં આવે છે.

શાંકવોના લગભગ બધા જ ગુણધર્મો આ વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને તારવી શકાય. શરૂઆતમાં જ આપેલ શાંકવની વ્યાખ્યાથી આ વ્યાખ્યા ખાસ જુદી નથી. એ બાબતની નોંધ લેવી જોઈએ કે પ્રથમ વ્યાખ્યામાં લીધેલ ‘લંબવૃત્તીય શંકુ’ના સ્થાને જેનો પાયો કોઈ પણ શાંકવ હોય અને આ શાંકવના સમતલની બહારનું કોઈ પણ બિંદુ જેનું શિરોબિંદુ હોય તેવો શંકુ લઈ શકાય. (જુઓ આકૃતિ 2).

સામાન્ય રીતે એકથી વધુ વ્યાખ્યા આપતા શાંકવોના કોઈ પણ પુસ્તકમાં તમામ વ્યાખ્યાઓની સમાનતા  સુસંગતતા (consistancy) સ્થાપિત કરતી સાબિતી આપવી જરૂરી બને છે. આ સંદર્ભમાં શાંકવો વિશે ડેંડેલિન નામના ભૂમિતિવિદે આપેલ એક પ્રમેય ઘણું રસપ્રદ છે.

એક સમતલનો શંકુ સાથેનો છેદ એક ઉપવલય છે. બે ગોલક સમતલની સામસામેની બાજુએ એવી રીતે મૂકવામાં આવે કે જેથી તેઓ સમતલને સ્પર્શે અને શંકુની વક્ર સપાટીને વર્તુળાકારે સ્પર્શે. (ગોલક અને શંકુનાં સ્પર્શબિંદુઓનો ગણ વર્તુળ હોય). તો ગોલકના સમતલ સાથેનાં સ્પર્શબિંદુઓ એ ઉપવલયની નાભિઓ છે અને પ્રત્યેક ગોલકના શંકુ સાથેના સ્પર્શથી રચાતા વર્તુળના સમતલ અને ઉપવલયના સમતલનો છેદ એ ઉપવલયની નિયામિકાઓ છે. (જુઓ આકૃતિ 3).

શાંકવોના ગુણધર્મો : શાંકવોના ઘણાબધા ગુણધર્મો છે. આ પૈકીના કેટલાકનો અત્રે ઉલ્લેખ કરવામાં આવ્યો છે :

શાંકવના સમતલમાં આવેલી કોઈ પણ રેખા શાંકવને વધુમાં વધુ બે બિંદુઓમાં છેદે; કારણ કે શાંકવનું સમીકરણ x, yમાં દ્વિઘાત છે. અથવા બીજી રીતે કોઈ પણ શાંકવ એ વર્તુળનું પ્રક્ષેપણ છે. અલબત્ત, રેખાના શાંકવ સાથેનાં બે છેદબિંદુઓ એકાકાર હોય ત્યારે રેખા શાંકવનો સ્પર્શક બને છે.

શાંકવ પર ન હોય તેવા (external) બિંદુમાંથી શાંકવને બે અને માત્ર બે સ્પર્શકો દોરી શકાય.

વર્તુળમાં ધ્રુવ અને ધ્રુવીના લગભગ તમામ ગુણધર્મો અને સ્વરિતતાના ગુણધર્મો (harmonic properties) તમામ શાંકવો માટે સત્ય છે.

શાંકવના બે અનુબદ્ધ વ્યાસ પૈકીના કોઈ પણ એકને સમાંતર દોરેલી જીવાઓ બીજા વડે દુભાગાય છે.

શાંકવના કાર્તેઝીય સમીકરણમાં પાંચ સ્વૈર અચળો હોવાથી ચોક્કસ પાંચ શરતો આપી હોય તો આ શરતોનું પાલન કરતા એક કે તેથી વધુ પણ નિશ્ચિત સંખ્યામાં શાંકવો મળે; દા.ત., સામાન્ય રીતે એક સમતલમાં આવેલાં પાંચ બિંદુઓમાંથી પસાર થતો અનન્ય (unique) શાંકવ મળે.

બધા જ પરવલય માટે એક શરત સામાન્ય છે. પરવલય આદર્શ રેખા(અનંતી પર આવેલી રેખા (Ideal Line) કે (line at infinity)ને સ્પર્શે છે. (બૈજિક શરત h2 = ab) તેથી સામાન્ય રીતે આપેલાં ચાર બિંદુમાંથી પસાર થતાં બે પરવલયો મળે. શાંકવ વર્તુળ હોય તે માટે દ્વિચલ દ્વિઘાત સમીકરણ પર બે શરતો છે. a = b અને h = 0. અથવા સાંશ્ર્લેષિક દૃષ્ટિબિંદુથી જોવામાં આવે તો પ્રત્યેક વર્તુળ અનંતી પર આવેલાં બે વૃત્તીય બિંદુઓ(circular points)માંથી તો પસાર થાય જ. તેથી ત્રણ અસમરેખ બિંદુઓમાંથી પસાર થતું એક અને માત્ર એક જ વર્તુળ મળે. તે જ પ્રમાણે સંગામી ન હોય તેવી ત્રણ રેખાઓને સ્પર્શતાં ચાર વર્તુળો મળે.

શાંકવ રેખાયુગ્મ દર્શાવે તે માટે એક શરત છે અને તેથી સામાન્ય સંજોગોમાં આપેલાં ચાર બિંદુઓથી ત્રણ રેખાયુગ્મો મળે.

શાંકવની નાભિમાંથી પસાર થતી જીવાને તેની નાભિજીવા કહેવાય. આવી જીવા શાંકવની અક્ષને લંબ હોય, તો તેને શાંકવનો નાભિલંબ કહેવામાં આવે છે.

શાંકવની પ્રત્યેક નાભિજીવાના, નાભિ વડે બનતા બે રેખાખંડોની લંબાઈનો સ્વરિત મધ્યક એ તે શાંકવના અર્ધનાભિલંબ જેટલો હોય છે.

શાંકવ પરના કોઈ પણ બિંદુને નાભિ સાથે જોડવાથી મળતા રેખાખંડને તે બિંદુની નાભિ-ત્રિજ્યા(focal radius of that point) કહેવામાં આવે છે. જો શાંકવને બે નાભિ હોય તો શાંકવ પરના બિંદુને બે નાભિત્રિજ્યાઓ હોય. શાંકવના કોઈ પણ બિંદુએ દોરેલો સ્પર્શક તે બિંદુની બે નાભિત્રિજ્યાઓ સાથે એકરૂપ ખૂણાઓ બનાવે; પણ પરવલયમાં તો એક જ નાભિ હોય. તેથી પ્રત્યેક બિંદુને એક જ નાભિત્રિજ્યા હોય. પરવલયના કોઈ પણ બિંદુએ સ્પર્શક તે બિંદુની નાભિત્રિજ્યા અને પરવલયની અક્ષ સાથે એકરૂપ ખૂણા આંતરે.

વધુ વ્યાપક પરિણામ નીચે મુજબ છે :

જો બિંદુ Pમાંથી PT અને PT´ એ શાંકવને દોરેલા સ્પર્શકો હોય અને S અને S´ શાંકવની નાભિ હોય, તો ∠ TPS = ∠ T´PS´

ઉપવલયનો એક ઉપયોગી ગુણધર્મ : જેની નાભિ S અને S´ હોય તેવા ઉપવલય પરના કોઈ પણ બિંદુ P માટે SP + S´P = અચળ = 2a છે. = પ્રધાન અક્ષની લંબાઈ છે.

અતિવલય માટે આ ગુણધર્મ | SP − S´P  = 2a = મુખ્ય અક્ષ(transverse axis)ની લંબાઈ. ઉપવલયના પ્રધાન અક્ષ(A´A)ને વ્યાસ લઈને દોરેલ વર્તુળને ઉપવલયનું સહાયકવૃત્ત (auxiliary circle) કહેવામાં આવે છે. ઉપવલયના ચલ સ્પર્શક પર, નાભિઓમાંથી દોરેલા લંબોના લંબપાદનો બિંદુપથ એ ઉપવલયનું સહાયક વૃત્ત જ છે અને આ લંબોની લંબાઈનો ગુણાકાર b2 જેટલો હોય છે, જ્યાં b એ ઉપવલયની ગૌણ અક્ષની અર્ધલંબાઈ છે. ઉપવલય પરના કોઈ પણ બિંદુ P માંથી તેની પ્રધાન અક્ષને દોરેલી લંબ રેખા પ્રધાન અક્ષને Nમાં અને પ્રધાન અક્ષથી P તરફના અર્ધતલમાં સહાયક વૃત્ત Qમાં મળે તો PN : QN એ અચળ ગુણોત્તર છે અને તેનું મૂલ્ય b : a છે. નીચેની આકૃતિમાં વર્તુળ પરના પ્રત્યેક બિંદુ Qમાંથી વર્તુળના વ્યાસ A´A પર દોરેલા લંબ QN પર બિંદુ P એવું છે કે જેથી  થાય. Pનો બિંદુપથ ઉપવલય છે.

આ જ આકૃતિમાં ∠ QON = θને ઉપવલય પરના બિંદુ Pનો ઉત્કેન્દ્રીકોણ કહેવામાં આવે છે. ઉપવલયનાં પ્રચલ સમીકરણો મેળવવા માટે આ ખૂણો અત્યંત ઉપયોગી છે. હકીકતમાં પ્રચલ સમીકરણો x = a cos θ, y = b sin θ માં આવતા પ્રચલ qનું આ ભૌમિતિક અર્થઘટન છે.

 અતિવલય માટે પણ ઉપવલયના આનુષંગિક ગુણધર્મો સત્ય છે. જોકે અતિવલય માટે પ્રચલ સમીકરણો x = a cos hθ, y = b sin hθ લેવાના બદલે x = a sec θ, y = b tan θ લેવામાં આવે છે. આમ કરવાથી cos hθ અને sin hθ જેવાં અતિવલીય વિધેયો(hyperbolic functions)નો ઉપયોગ ટાળી શકાય છે.

પરવલય y² = 4ax માટે પ્રચલ સમીકરણો જુદાં છે.

આ સમીકરણો  છે, જ્યાં m એ પરવલય પરના બિંદુ P આગળના સ્પર્શકનો ઢાળ છે. પરવલય માટે સહાયક વૃત્ત નથી. પરવલયના ચલ સ્પર્શક પર નાભિમાંથી દોરેલા લંબના લંબપાદનો બિંદુપથ એ પરવલયના શિરોબિંદુ આગળ દોરેલો સ્પર્શક છે. ઉપવલય(કે અતિવલય)ના સમતલમાં આવેલાં એવાં બિંદુઓ કે જેમાંથી ઉપવલયને (કે અતિવલયને) બે પરસ્પર લંબ સ્પર્શકો દોરી શકાય તે બિંદુઓનો ગણ એક વર્તુળ છે. આ વર્તુળ ઉપવલય (કે અતિવલય) સાથે સમકેન્દ્રી છે. તેની ત્રિજ્યા ઉપવલયના કિસ્સામાં  અને અતિવલયના કિસ્સામાં જેટલી છે. આ વર્તુળને ઉપવલયનું (કે અતિવલયનું) નિયામિકાવૃત્ત (director circle) કહેવામાં આવે છે. પરવલય માટે આ ગુણધર્મ સહેજ જુદો પડે છે. પરવલયના સમતલનાં એવાં બિંદુઓ કે જેમાંથી પરવલયને બે પરસ્પર લંબ સ્પર્શકો દોરી શકાય. તેમનો ગણ નિયામિકા છે. અહીં એક બાબત નોંધવા જેવી છે; જે અતિવલયમાં b > a હોય તે અતિવલય માટે ઉપર્યુક્ત ગુણધર્મ ધરાવતાં વાસ્તવિક બિંદુઓ એક પણ નથી. તેથી વાસ્તવિક નિયામિકાવૃત્તનું અસ્તિત્વ નથી. જો a = b હોય (અગાઉ નોંધ્યું તેમ, આવો અતિવલય લંબાતિવલય કહેવાય.) તો આ અતિવલયમાં તેનું કેન્દ્ર એકમાત્ર એવું બિંદુ છે, જેમાંથી અતિવલયને બે પરસ્પર લંબ સ્પર્શકો દોરી શકાય. આ બે સ્પર્શકો અતિવલયના અનંત સ્પર્શકો (asymptotes) છે.

પરવલયના કેટલાક એવા ગુણધર્મો છે જે બીજા શાંકવો ધરાવતા નથી.

(1) સામાન્ય રીતે પરવલયના સમતલમાં આવેલા કોઈ બિંદુમાંથી પરવલયને ત્રણ અભિલંબો દોરી શકાય.

(2) ઉપર્યુક્ત ત્રણ અભિલંબોના લંબપાદથી બનતા ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર હંમેશાં પરવલયના અક્ષ પર જ હોય.

(3) ઉપર્યુક્ત ત્રિકોણનું પરિવૃત્ત હંમેશાં પરવલયના શિરોબિંદુ(શીર્ષ)માંથી પસાર થાય.

(4) પરવલયના ત્રણ સ્પર્શકોથી બનતા ત્રિકોણનું પરિવર્તુળ પરવલયના નાભિમાંથી પસાર થાય.

(5) ગુણધર્મ 4માં વર્ણવેલા ત્રિકોણનું લંબકેન્દ્ર પરવલયની નિયામિકા પર હોય અને આ ત્રિકોણ માટે નાભિની પદિક રેખા (સિમ્પસન-રેખા  pedal line) એ પરવલયના શીર્ષ આગળનો સ્પર્શક બને.

(6) પરવલય પરના P બિંદુ આગળનો અભિલંબ પરવલયની અક્ષને Gમાં મળે તો PGનો પરવલયની અક્ષ પરનો પ્રક્ષેપ એ પરવલયનો અવાભિલંબ (subnormal) કહેવાય. પરવલયનો અવાભિલંબ અચળ હોય છે. (એટલે કે અવાભિલંબની લંબાઈ Pની પરવલય પરની સ્થિતિ પર આધારિત નથી.) અને આ અવાભિલંબ પરવલયના અર્ધનાભિલંબ (semi latus rectum) જેટલો હોય છે.

અતિવલયના ગુણધર્મો પૈકી એક અતિ વિશિષ્ટ ગુણધર્મ એ છે કે અતિવલયના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી એવી બે રેખાઓ મળે છે કે જે અતિવલયને અનંતી પર આવેલાં બિંદુઓ (points at infinity) આગળ મળે છે અને તે બિંદુએ આ રેખાઓ અતિવલયને સ્પર્શે છે. આ રેખાઓને અતિવલયના અનંત સ્પર્શકો (asymptotes) કહેવામાં આવે છે.

અતિવલયના અક્ષો એ તેના અનંત સ્પર્શકો વચ્ચેના ખૂણાઓનાં દ્વિભાજકો છે.

(1) અતિવલયના અનંત સ્પર્શકોને છેદતી કોઈ પણ રેખાના અનંત સ્પર્શકો વચ્ચેના રેખાખંડનું મધ્યબિંદુ એ તે જ રેખા પર કપાયેલી અતિવલયની જીવાનું પણ મધ્યબિંદુ છે.

(2) અતિવલયના કોઈ પણ સ્પર્શક અને તેના અનંત સ્પર્શકોથી બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ અચળ છે.

જે અતિવલયના અનંત સ્પર્શકો પરસ્પર લંબ હોય તે અતિવલયને લંબાતિવલય કહેવામાં આવે છે. લંબાતિવલય કેટલાક અત્યંત રસપ્રદ ગુણધર્મો ધરાવે છે.

(3) કોઈ પણ બે લંબાતિવલયો પરસ્પર ચાર બિંદુઓમાં છેદે છે. આ ચાર બિંદુઓ પૈકીનાં કોઈ પણ ત્રણથી બનતા ત્રિકોણનું લંબકેન્દ્ર ચોથું બિંદુ છે.

(4) કોઈ એક ત્રિકોણનાં ત્રણ શિરોબિંદુમાંથી પસાર થતો લંબાતિવલય તે ત્રિકોણના લંબકેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે અને આ લંબાતિવલયનું કેન્દ્ર એ ત્રિકોણના નવબિંદુવૃત્ત (nine point circle) ઉપર આવેલું છે.

આમ જોઈ શકાશે કે કોઈ શાંકવ નિશ્ચિત કરવા માટે સમતલમાં પાંચ બિંદુઓ જરૂરી છે. તેથી આપેલાં ચાર બિંદુઓમાંથી પસાર થતાં અનંત શાંકવો મળે. આ શાંકવોના સમૂહને શાંકવોની રેખાવલી – પેન્સિલ કહેવામાં આવે છે. હવે આ શાંકવોના સમતલમાં દોરેલી કોઈ છેદક રેખા પેન્સિલમાંના પ્રત્યેક શાંકવને એક બિંદુજોડમાં છેદે તેથી પેન્સિલમાંના અનંત શાંકવોને છેદતી રેખા અનંત બિંદુજોડોનું નિર્માણ કરે. આ બધી જ બિંદુજોડ સમુત્ક્રમણ બિંદુપંક્તિ(involution range)નું નિર્માણ કરે છે. સમુત્ક્રમણ બિંદુપંક્તિના દ્વિ-બિંદુ (double point) : સમતલમાં અનંત શાંકવો છે અને તે જ સમતલમાં એક રેખા છે. શાંકવોની પેન્સિલના બે શાંકવો એવા મળશે જેને આ રેખા સ્પર્શતી હશે. આ સ્પર્શબિંદુઓ એ ઉપર્યુક્ત સમુત્ક્રમણ બિંદુપંક્તિનાં દ્વિ-બિંદુઓ છે. પ્રક્ષેપ-ભૂમિતિ(projective geometry)ના પુરસ્કર્તાઓમાંના એક એવા ભૂમિતિવિદ્ દ’ સર્ગ(De’ Sargue)નું આપેલું આ પ્રમેય છે.

ઉપર્યુક્ત પ્રમેયનું દ્વૈત વિધાન જુઓ. શાંકવોનો એક અનંત સમૂહ એવો મળે કે જે આપેલી ચાર રેખાઓને સ્પર્શે. શાંકવોના આવા સમૂહને શાંકવોની સ્પર્શક પેન્સિલ (રેખાવલી) કહેવામાં આવે છે. એક બિંદુમાંથી શાંકવોને દોરેલા સ્પર્શકોની જોડ સમુત્ક્રમણ પેન્સિલ(involution pencil)નું નિર્માણ કરે છે. શાંકવોની સ્પર્શક પેન્સિલનાં નિયામિકાવર્તુળો સમાક્ષ સંહતિ(coaxial system)નું નિર્માણ કરે છે. તેથી આ બધાં જ શાંકવોનાં કેન્દ્ર સમરેખ છે.

જેના નાભિ S અને S´ સમાન હોય તેવા, પરસ્પર એકબીજાંને ન છેદતાં, અનંત ઉપવલયનો સમૂહ અને તે જ બિંદુઓ S અને S´ જેના નાભિ છે તેવા, પરસ્પર એકબીજાંને ન છેદતાં, અનંત અતિવલયનો સમૂહ, એવો સમૂહ છે કે એક સમૂહનો પ્રત્યેક વક્ર બીજા સમૂહના દરેક વક્રને લંબ છે. (કાટખૂણે છેદે છે.) આવી સંરચનાને સમનાભિ શાંકવોનો સમુદાય કહે છે. સ્પષ્ટ છે કે આ સમુદાય (system) સ્વયંલંબ છેદક વક્ર (self orthogonal trajectory) છે.

ભૌતિકવિજ્ઞાન, ખગોળ, ઇજનેરી જેવી વિજ્ઞાનની શાખાઓમાં શાંકવોના સંદર્ભો જોવા મળે છે. સૂર્યમાળાના પ્રત્યેક ગ્રહોના સૂર્યની આસપાસ ફરવાના ગતિમાર્ગ ઉપવલયી છે. આ ઉપવલયી ગતિમાર્ગનાં એક નાભિબિંદુએ સૂર્ય છે. તેથી ગ્રહોના ગતિમાર્ગના અભ્યાસમાં ઉપવલયના ઘણાબધા ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કરવો પડે છે.

બધાં જ ગુરુત્વાકર્ષી બળો સમાંતર (પૃથ્વીને લંબ) છે તેમ માની લેવામાં આવે તો પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થનો ગતિમાર્ગ, કોઈ પણ સ્થળે પરવલયાકાર હોય છે. બંદર પરની દીવાદાંડીના અરીસાઓનો આકાર પરવલયના પરિભ્રમણથી રચાતા ઘનાકાર જેવો હોય છે. આ પરવલયના નાભિના સ્થાન પર દીવાદાંડીના પ્રકાશનું ઉદ્ભવસ્થાન રાખવામાં આવે છે, જેથી આ ઉદ્ભવસ્થાનમાંથી કોઈ પણ દિશામાં નીકળતા પ્રકાશનાં કિરણો અરીસા પર પડ્યા પછી પરવલયની અક્ષને સમાંતર દિશામાં કિરણોનો એક સબળ સમૂહ રચે છે, જે ઘણાબધા કિલોમીટરના અંતર સુધી દરિયામાં પહોંચે છે.

ઐતિહાસિક નોંધ : શાંકવો વિશેની નોંધ ઈ. પૂ. ત્રીજી સદીમાં ગ્રીક ગણિતશાસ્ત્રી મીનેસ્મસનાં ગાણિતિક કાર્યોમાં મળે છે તેમ ભૂમિતિનો ઇતિહાસ તપાસતાં માલૂમ પડે છે મીનેસ્મસ બાદ તેના જેવો જ પ્રખર ગણિતશાસ્ત્રી યુડોક્સસ ગ્રીસની ગાણિતિક શાળાનો વડો થયો અને આ બંનેનાં કાર્યોને આગળ વધારતાં યુક્લિડ અને ઍપૉલોનિયસે શાંકવો અને તેના ગુણધર્મોનો અભ્યાસ સઘન રીતે આગળ ધપાવ્યો.

કૅપ્લરે ગ્રહોના ગતિમાર્ગના અભ્યાસના સંશોધન દરમિયાન શાંકવોના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કર્યો. અહીં ડિસાર્ગના નામનો ઉલ્લેખ તેના વિખ્યાત અને પાયાના પ્રમેય સાથે કરવામાં આવ્યો. શાંકવોના અભ્યાસમાં આવું જ પાયાનું કામ પાસ્કલે કર્યું છે. પાસ્કલનું વિખ્યાત પ્રમેય કહે છે કે શાંકવમાં અંતર્ગત ષટ્કોણની સામસામેની બાજુઓના છેદથી મળતાં ત્રણ બિંદુઓ સમરેખ છે. પાસ્કલના પ્રમેયના એક વિશિષ્ટ પ્રકાર-સ્વરૂપે ઍલેક્ઝાન્ડ્રિયાના પાપસનું પ્રમેય ખૂબ જ જાણીતું છે; જેમાં શાંકવ તરીકે રેખાયુગ્મ લઈ પાસ્કલનું પરિણામ મેળવાય છે. સાંશ્ર્લેષિક ભૂમિતિમાં સતત સઘન સંશોધન કરનારા ભૂમિતિવિદોમાં જેકોબ સ્ટેઇનરનું નામ સૌથી મોખરે છે.

ભૂમિતિનો અભ્યાસ કરવા માટે બૈજિક પદ્ધતિઓનો સફળ રીતે ઉપયોગ કરનારો પ્રથમ ગણિતજ્ઞ રેન દ’કાર્તે હતો. શાંકવોની ભૂમિતિનો અભ્યાસ કરનાર અગ્રગણ્ય ગણિતશાસ્ત્રીઓમાં પોઇન્કારે (Poincare), વૉન સ્ટાન્ડ્ટ (Von standt), ક્રિમૉના (Cremona), સૅલ્મૉન (Salmon) અને મૅક્લૉરિન(Maclaurin)ના નામનો ઉલ્લેખ કરવો જ પડે.

એ. આર. રાવ

પ્રહલાદભાઈ વ્યાસ