જાદુઈ ચોરસ

January, 2012

જાદુઈ ચોરસ : ચોરસની પ્રત્યેક હારમાં પ્રત્યેક સ્તંભમાં તથા બંને મુખ્ય વિકર્ણોમાં આવેલી સંખ્યાઓનો સરવાળો સમાન થાય તેવી રીતે કરવામાં આવેલી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓની ગોઠવણી. આકૃતિ (1)માં આવો એક જાદુઈ ચોરસ છે. અહીં પ્રત્યેક આડી હારમાં આવેલી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો 1 + 12 + 7 + 14 = 8 + 13 + 2 + 11 = 10 + 3 + 16 + 5 = 15 + 6 + 9 + 4 = 34 છે. પ્રત્યેક ઊભા સ્તંભમાં આવેલી સંખ્યાઓનો સરવાળો પણ 1 + 8 + 10 + 15 = 12+13+3+6 = 7+2+16+9 = 14+11+5+4 = 34 છે તથા બંને મુખ્ય વિકર્ણોમાં આવેલી સંખ્યાઓનો સરવાળો પણ 1+13+16+4 = 15+3+2+14 = 34  છે. આમ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓની આ ગોઠવણીથી આકૃતિ (1)માં દર્શાવ્યા મુજબ જાદુઈ ચોરસ બને છે. અહીં 4 × 4 = 16 સંખ્યાઓનો ઉપયોગ થયો હોવાથી આને ચાર કક્ષાનો જાદુઈ ચોરસ કહે છે (આકૃતિ 1). વ્યાપક રીતે n2 સંખ્યાઓનો ઉપયોગ કરવાથી મળતા જાદુઈ ચોરસને n-કક્ષાનો જાદુઈ ચોરસ કહે છે.

આકૃતિ 1

આકૃતિ 2માં દર્શાવેલો ત્રણ કક્ષાનો જાદુઈ ચોરસ ઈ. સ. 1000 વર્ષ અગાઉ ચીનમાં પ્રચલિત હતો. પંદરમી સદીની શરૂઆતમાં કૉન્સ્ટૅન્ટિનોપલના રહેવાસી મોસોપુલુસે (Moschopulus) યુરોપમાં જાદુઈ ચોરસની રમત દાખલ કરી એમ માનવામાં આવે છે. ભારતીય ગણિતશાસ્ત્રી શ્રીનિવાસ રામાનુજને તેમની શરૂઆતની નોટબુકમાં ત્રણ તથા ચાર કક્ષાના જાદુઈ ચોરસ બનાવવાની રીત વિશે માહિતી આપી છે.

આકૃતિ 2

જાદુઈ ચોરસની વિવિધ રચનાઓ તથા ગુણધર્મો : જાદુઈ ચોરસના નાના ચોરસોને ખાનાં (cells) કહે છે. n-કક્ષાના જાદુઈ ચોરસમાં n2 ખાનાં હોય છે. આવા જાદુઈ ચોરસમાં n-હાર (row) અને n-સ્તંભ (column) હોય છે. હારોને પહેલી, બીજી,… nમી અને સ્તંભોને પહેલો, બીજો, … n-મો એમ ક્રમાંક આપવામાં આવે છે. i-મી હાર અને j-મા સ્તંભના છેદ પર આવેલા ખાનાને (i, j)મું ખાનું કહે છે (જુઓ આકૃતિ 3).

આકૃતિ 3

આવા ચોરસમાં એકબીજાને છેદતા બે વિકર્ણો (diagonals) હોય છે. જાદુઈ ચોરસની પ્રત્યેક હારમાં, પ્રત્યેક સ્તંભમાં અને બંને મુખ્ય વિકર્ણોમાં આવેલી સંખ્યાઓનો સરવાળો સમાન હોય છે. આ સરવાળાને જાદુઈ ચોરસ સાથે સંકળાયેલ જાદુઈ અચલાંક કહે છે. દા.ત., આકૃતિ 1માં જાદુઈ અચળાંક 34 છે અને આકૃતિ 2માં જાદુઈ અચલાંક 15 છે. n-કક્ષાના જાદુઈ ચોરસમાં n2 પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, 1, 2, 3, … , n, n+1, …., n2  આ સંખ્યાઓ મૂકવાથી બનતો જાદુઈ ચોરસ સામાન્ય જાદુઈ ચોરસ (standard magic square) કહેવાય છે.

આકૃતિ 1ના જાદુઈ ચોરસમાં 1થી 16 સુધીની ક્રમિક પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ છે. આકૃતિ 2ના જાદુઈ ચોરસમાં 1 થી 9 સુધીની ક્રમિક પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ છે. આમ બંને સામાન્ય જાદુઈ ચોરસો છે. સામાન્ય જાદુઈ ચોરસમાં આપેલી બે સંખ્યાઓ p તથા q માટે સરવાળો p+q = n2+1 થાય તો p અને qને એકબીજીની પૂરક(complementary) સંખ્યાઓ કહે છે. દા.ત., 4-કક્ષાના જાદુઈ ચોરસમાં 1 + 16 = 2 + 15 = 3 + 14…. = 42 + 1 = 17 છે. આથી (1, 16), (2, 15), (3, 14), . . . વગેરે પૂરક સંખ્યાઓ છે. n-કક્ષાના જાદુઈ ચોરસના પ્રત્યેક ખાનામાં આવેલી સંખ્યાને સ્થાને તેની પૂરક સંખ્યા મૂકવામાં આવે તો મળતી નવી ગોઠવણી પણ જાદુઈ ચોરસ બને છે.

આકૃતિ 4(a)માં દર્શાવેલા જાદુઈ ચોરસના પ્રત્યેક ખાનામાં આવેલી પ્રત્યેક સંખ્યા xને બદલે તેની પૂરક સંખ્યા (17–x) મૂકવાથી મળતી નવી ગોઠવણી આકૃતિ [4(b)] પણ જાદુઈ ચોરસ બનાવે છે જે 4-કક્ષાનો જાદુઈ ચોરસ છે.

આકૃતિ 4 (a)                             આકૃતિ 4 (b)

આપણી પાસે n-કક્ષાનો જાદુઈચોરસ છે. n2 પદોવાળી એક સમાંતર શ્રેણી a, a + d, a + 2d, ….., a + (n–1) d  છે. n-કક્ષાના જાદુઈ ચોરસમાં 1ની જગાએ a, 2ની જગાએ a + d,…  છેવટે nની જગાએ a + (n2 – 1)d મૂકવાથી મળતી સંખ્યાઓની ગોઠવણી પણ જાદુઈ ચોરસ બને છે. દા.ત., 1, 2, 3, …., 16થી બનાવેલા 4-ચાર કક્ષાના જાદુઈ ચોરસ આકૃતિ 5 (a)માં 1ને બદલે 2, 2ને બદલે 5, 3ના સ્થાને 8…., 16ને બદલે 47 મૂકવાથી મળતી સમાંતર શ્રેણી 2, 5, 8 …, 47 (a = 2 અને d = 3) પણ 4-કક્ષાનો સામાન્ય જાદુઈ ચોરસ બનાવે છે. જુઓ આકૃતિ 5(b). આમ, આ સમાન્તર શ્રેણીનાં 16 પદોથી બનતો જાદુઈ ચોરસ છે તેનો જાદુઈ અચલાંક 98 છે.

આકૃતિ 5 (a)                            આકૃતિ 5 (b)

3 કે ત્રણથી અધિક એકી કક્ષા (n = 3, 5, 7, …)ના સામાન્ય જાદુઈ ચોરસ બનાવવાની ત્રણ રીતો છે.

(1) લા લુબ્રેની રીત : ફ્રેન્ચ દ’ લા લુબ્રે (De la Laubere)ની રીત નીચે મુજબ છે. સૌથી ઉપરની હારના મધ્યખાનામાં 1 મૂકો. હવે

(i) જો કોઈ ખાનામાં પ્રાકૃતિક સંખ્યા i હોય તો i પછીની ક્રમિક સંખ્યા (i + 1)ને તે ખાનાથી ઈશાન (north-east) તરફ જતાં લઘુવિકર્ણ પર આવતા ખાનામાં મૂકો. જુઓ આકૃતિ 6(i). તેમાં 2, 3; 6, 7, 8; 11, 12, 13, 14, 15; 21, 22 મૂકેલા છે. આ નિયમને વિકર્ણનો નિયમ કહે છે.

(ii) વિકર્ણના નિયમથી સંખ્યાઓ મૂકતાં સૌથી ઉપરની હારમાં આવેલા ખાના પર પહોંચીએ તો સૌથી નીચેની હારને આ હાર ઉપર મૂકેલી છે તેમ ગણી વિકર્ણના નિયમ પ્રમાણે આવતા ખાનામાં પછીની ક્રમિક સંખ્યા મૂકવી.

જુઓ આકૃતિ 6(ii)માં 1, 2; 8, 9; 17, 18; 24, 25.

(iii) આ જ પ્રમાણે જો જમણી બાજુના સીમાન્ત સ્તંભમાં આવેલાં ખાનાં પર પહોંચીએ તો ડાબી બાજુના પ્રથમ સ્તંભને આ સ્તંભની બાજુમાં મૂકેલો છે તેમ ગણી વિકર્ણના નિયમ મુજબ આવતા ખાનામાં પછીની ક્રમિક સંખ્યા મૂકવામાં આવે છે. જુઓ આકૃતિ 6 (iii)માં 3, 4; 9,10; 16,17; 22, 23.

આકૃતિ 6(i)                આકૃતિ 6(ii)                આકૃતિ 6(iii)                આકૃતિ 6(iv)                 આકૃતિ 6(v)

(iv) જો ખાનાંઓમાં સંખ્યા મૂકતાં વચ્ચે સંખ્યા મૂકેલું ખાનું આવે અથવા તો જમણી બાજુના સીમાન્ત સ્તંભનું સૌથી ઉપરનું ખાનું આવે તો પછીની ક્રમિક સંખ્યાને વચ્ચે આવતી સંખ્યાના ખાનાની નીચેની લંબક દિશામાં આવેલા પ્રથમ ખાનામાં મૂકવામાં આવે છે. આકૃતિ 6(iv)માં 4, 5, 6; 10, 11; 14, 15, 16; 19, 20, 21.

ઉપર્યુક્ત નિયમોને અનુસરીને પાંચ, સાત વગેરે કક્ષાના જાદુઈ ચોરસ મળે છે. જુઓ આકૃતિ 6(v).

આ રીતને અનુસરતાં કેન્દ્રીય ખાનામાં સંખ્યા 13 અને સૌથી નીચેની હારના વચલા ખાનામાં (n2 = 52) એટલે કે સંખ્યા 25 આવે છે.

(2) બાશે મેઝેરિયા(Bachet de Meziriac)ની રીત : આ પણ એકી કક્ષાના જાદુઈ ચોરસ બનાવવાની રીત છે. અહીં 1ને જાદુઈ ચોરસના કેન્દ્રીય ખાનાની ઉપરથી લંબક દિશામાં આવેલા પ્રથમ ખાનામાં મૂકવામાં આવે છે. જુઓ આકૃતિ 7 (i). અહીં દ’ લા લુબ્રેની રીતના આકૃતિઓ (i), (ii) અને (iii) નિયમ મુજબ ખાનાંઓમાં ક્રમિક સંખ્યાઓ મૂકવામાં આવે છે; પરંતુ સંખ્યા મૂકતી વખતે વચ્ચે સંખ્યા મૂકેલું ખાનું આવે અથવા તો જમણી બાજુના સીમાન્ત-સ્તંભનું સૌથી ઉપરનું ખાનું આવે તો પછીની ક્રમિક સંખ્યાને વચ્ચે આવતી સંખ્યાના ખાનાની ઉપરની લંબક દિશામાં આવેલા દ્વિતીય ખાનામાં મૂકવામાં આવે છે. જુઓ આકૃતિ 7 (ii) માં 5, 6; 10, 11; 15, 16; 20, 21. આ રીતનો ઉપયોગ કરતાં આકૃતિ 7 (i)માં બતાવ્યા પ્રમાણે પાંચ કક્ષાનો જાદુઈ ચોરસ મળે છે. આ ચોરસના કેન્દ્રીય ખાનામાં  એટલે કે સંખ્યા 13 મળે છે અને કેન્દ્રીય ખાનાની નીચેની લંબક(vertical) દિશામાં સંખ્યા (n2 = 52) એટલે કે સંખ્યા 25 મળે છે. [જુઓ આકૃતિ 7(ii).]

આકૃતિ 7(i)                            આકૃતિ 7(ii)

(3) વિકર્ણની રીત : n-કક્ષાના ચોરસને મુખ્ય ચોરસ કહે છે. આ રીતમાં મુખ્ય ચોરસમાં વધારાનાં નાનાં ચોરસ ખાનાંઓ એવી રીતે ઉમેરવામાં આવે છે કે જેથી તેની પ્રત્યેક દિશામાં n ખાનાંવાળા n વિકર્ણો મળે છે. આકૃતિ 8 (i)માં ત્રણ કક્ષાનો જાદુઈ ચોરસ દર્શાવ્યો છે.

આકૃતિ 8 (i) આકૃતિ 8 (ii) આકૃતિ 8 (iii)  આકૃતિ 8 (iv)

આકૃતિ 8 (i)માં દર્શાવ્યા મુજબ મુખ્ય ચોરસનાં (1,1) ખાનાંમાંથી પસાર થતા વિકર્ણના શરૂઆતના સૌથી નીચેના ખાનાને 1 નંબર આપી, (2,2)માંથી પસાર થતા વિકર્ણના સૌથી નીચેના ખાનાને 4 અને (3,3)માંથી પસાર થતા વિકર્ણના સૌથી ઉપરના ખાનાને 9 નંબર આપવામાં આવે છે. આકૃતિ 8 (ii)માં નંબર 7ને ત્રણ ખાનાં ઉપર તરફ, 3 ને ત્રણ ખાનાં નીચે તરફ, 9ને ત્રણ ખાનાં ડાબી તરફ અને 1ને ત્રણ ખાનાં જમણી તરફ ખસેડવામાં આવે છે જેથી આકૃતિ 8(iii) મળે છે. સંખ્યા 2, 6, 4, 7, 8 ને યથાવત્ રાખવામાં આવે છે. પરિણામે આકૃતિ 8(iv)માં દર્શાવ્યા મુજબ ત્રણ કક્ષાનો જાદુઈ ચોરસ મળે છે. વિકર્ણની રીતનો ઉપયોગ કરી પાંચ કક્ષાનો જાદુઈ ચોરસ પણ આકૃતિ 9(i)  અને આકૃતિ 9(ii)માં બતાવ્યા પ્રમાણે બનાવી શકાય છે.

આકૃતિ 9 (i)  આકૃતિ 9 (ii)

પાંચ કક્ષાના જાદુઈ ચોરસ

3થી અધિક બેકી કક્ષાના nના સામાન્ય જાદુઈ ચોરસ :

આવા જાદુઈ ચોરસની રચનામાં

(1) n = 6, 10, 14, 18………… વ્યાપક રીતે કક્ષા n બેકી પણ ચારથી વિભાજ્ય નહિ અને

(2) n = 4, 8, 12, 16…………વ્યાપક રીતે કક્ષા n બેકી પણ ચારથી વિભાજ્ય છે.

n બેકી પણ ચારથી વિભાજ્ય નહિ : અહીં nને n = 2 (2 m + 1), m = 1, 2, 3, ….સ્વરૂપમાં મૂકી શકાય. આવા ચોરસને જાદુઈ ચોરસ બનાવવાની રીત રાલ્ફ સ્ટ્રાચી(Ralph Strachy)એ આપી છે. n=10 માટે આ રીત નીચે મુજબ છે. 10 × 10 ખાનાંવાળા ચોરસનો ચાર સરખા ઉપચોરસો A,B,C,Dમાં વિભાજન કરવામાં આવે છે. જુઓ આકૃતિ 10(i). આથી પ્રત્યેક ઉપચોરસ અયુગ્મ (પાંચ) કક્ષાનો મળે છે. ઉપરાંત Aમાં 1થી 25 સુધીની ક્રમિક સંખ્યાઓ દ’ લા લુબ્રેની રીતથી ગોઠવી જાદુઈ ચોરસ બનાવવામાં આવે છે. આવી જ રીતે ઉપચોરસ Bમાં 26થી 50, Cમાં 51થી 75 અને Dમાં 76 થી 100 ગોઠવી જાદુઈ ચોરસો B,C,D રચવામાં આવે છે. જે આકૃતિ 10(i)માં બતાવ્યું છે. હવે સમચોરસને નીચેની રીતે જાદુઈ ચોરસ બનાવવામાં આવે છે. ઉપચોરસ Aની મધ્યહારમાં ડાબી બાજુથી આવેલા પ્રથમ ખાના સિવાયનાં બાકીનાં m ખાનાંઓ લેવામાં આવે છે. કારણ કે અહીં n = 10  હોવાથી m = 2 છે. ( n = 10, 2 m+1 = 5)

આકૃતિ 10 (i) : દસ કક્ષાનો ચોરસ

આકૃતિ 10 (ii) : દસ કક્ષાનો જાદુઈ ચોરસ

આ ખાનાંમાંની 17, 24; 23, 5; 6, 13; 10, 12; 11, 18. ઘાટી કરીને બતાવી છે. આ સંખ્યાઓને Dનાં તદનુરૂપ ખાનાંઓમાં આવેલી સંખ્યાઓ 92, 99; 98, 80; 81, 88, 85, 87 અને 86, 93 સાથે અદલાબદલી કરવામાં આવે છે. ઉપરાંત ઉપચોરસ Cની જમણી બાજુથી આવેલ m-1 સ્તંભોમાંની (અહીં એક જ સ્તંભ) સંખ્યાઓ 65, 66, 72, 53, 59 નો ઉપચોરસ Bનાં તદનુરૂપ ખાનાંઓમાં આવેલી સંખ્યાઓ 40, 41, 47, 28, 34 સાથે અદલાબદલી કરવામાં આવે છે. (જુઓ આકૃતિ 10 (i) અને 10 (ii))

n બેકી પણ ચારથી વિભાજ્ય : n = 8 કક્ષાનો સામાન્ય ચોરસ લઈ તેને જાદુઈ ચોરસ બનાવવાની રીત જોઈએ. 8 કક્ષાના આ જાદુઈ ચોરસની પ્રથમ હારમાં 1થી 8, બીજીમાં 9થી 16, ત્રીજીમાં 17 થી 24 અને આઠમી હારમાં 57થી 64 સુધીની ક્રમિક પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ લખવામાં આવે છે. જુઓ આકૃતિ 11 (i). આ ચોરસનું  એટલે કે ચાર ઉપચોરસોમાં વિભાજન કરવામાં આવે છે. આ રીતે મળેલા ઉપચોરસોના મુખ્ય વિકર્ણો પર આવેલાં ખાનાંઓમાં આવેલી સંખ્યાને સ્થાને તેમની પૂરક સંખ્યા મૂકવામાં આવે છે. આમ કરવાથી આઠ કક્ષાનો સામાન્ય જાદુઈ ચોરસ મળે છે. જુઓ આકૃતિ 11(ii), જેમ કે, 11(i) (8,57), (15,50), (22,43), (29,36), (1,64), (10,55), (19,46), (28,37) છે તેને બદલે આકૃતિ 11(ii)માં (57,8), (50,15) વગેરે મૂક્યા છે. જુઓ આકૃતિ 11(iii) આનો જાદુઈ અચલાંક 260 છે.

આકૃતિ 11 (i) 8 કક્ષાનો સામાન્ય ચોરસ આકૃતિ 11 (ii) 8 કક્ષાનો સામાન્ય જાદુઈ ચોરસ આકૃતિ 11 (iii) 8 કક્ષાનો સામાન્ય જાદુઈ ચોરસ

n = 4 માટે ઉપર્યુક્ત અચલાંકની રીતનો ઉપયોગ કરતાં આકૃતિ 12(i), 12(ii)માં બતાવ્યા પ્રમાણે સામાન્ય જાદુઈ ચોરસ મળે છે જેનો જાદુઈ અચલાંક 34 છે.

આકૃતિ 12 (i)                           આકૃતિ 12 (ii)

આ ઉપરાંત વિશિષ્ટ ગુણધર્મો ધરાવતા જાદુઈ ચોરસ જેવાકે ક્ધિાારીવાળો જાદુઈ ચોરસ આકૃતિ 13 (i), આકૃતિ 13 (ii).

આકૃતિ 13 (i)                 આકૃતિ 13 (ii)

બહુ ગણો જાદુઈ ચોરસ (symmetric magic sq.), અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ દ્વારા બનતો જાદુઈ ચોરસ (આકૃતિ 14) પણ જાણીતો છે.

આકૃતિ 14 : અવિભાજ્ય સંખ્યાઓથી બનતો જાદુઈ ચોરસ

વિખ્યાત ભારતીય ગણિતશાસ્ત્રી શ્રીનિવાસ રામાનુજને આપેલા કેટલાક જાદુઈ ચોરસો જાણીતા છે. તેમણે જાદુઈ ચોરસો ઉપરાંત જાદુઈ લંબચોરસોની પણ રચના કરેલી છે. ચોરસ ઉપરાંત અન્ય ભૌમિતિક આકારો પર પણ જાદુઈ રચનાઓ કરવામાં આવી છે. આકૃતિ 15માં પાંચ ખૂણાવાળા તારામાં છેદબિંદુઓ પર સાત અને અગિયાર સિવાયની એકથી બાર સુધીની સંખ્યાઓ એવી રીતે મૂકવામાં આવે છે જેથી તારક બનાવતી કોઈ પણ રેખા ઉપર આવેલી ચાર સંખ્યાઓનો સરવાળો 24 મળે છે.

આકૃતિ 15 : જાદુઈ તારો

વળી ઓગણીસ નિયમિત ષટ્કોણીય ખાનાંઓમાં સંખ્યાઓની ગોઠવણી કરવામાં આવે છે. અહીં ત્રણ ખાનાંવાળી છ હારો, ચાર ખાનાંઓવાળી છ હારો અને પાંચ ખાનાંઓવાળી ત્રણ હારો મળે છે. હવે સંખ્યા 1 થી 19ને આ ષટ્કોણીય ખાનાંઓમાં એવી રીતે ગોઠવવામાં આવે છે કે આ પંદરમાંની પ્રત્યેક હારમાં આવેલી ખાનાંઓમાંની સંખ્યાઓનો સરવાળો 38 થાય છે. આ જાદુઈ આકૃતિને ત્રણ કક્ષાનો જાદુઈ ષટ્કોણ કહેવામાં આવે છે જે આકૃતિ 16માં દર્શાવ્યો છે.

આકૃતિ 16

ગાંધી-જન્મશતાબ્દી દિવસ 2-10-1969 નો ઉપયોગ કરી ગુજરાત ગણિત મંડળના અધિવેશન દરમિયાન સ્વ. શ્રી કાપ્રેકરે એક જાદુઈ ચોરસ રજૂ કરેલો જે નીચે મુજબ છે (જુઓ આકૃતિ 17).

આ એક વિશિષ્ટ પ્રકારનો જાદુઈ ચોરસ છે જેમાં

(i) પંક્તિઓમાં મૂકેલી સંખ્યાઓનો સરવાળો 100 થાય છે.

(ii) સ્તંભોમાં મૂકેલી સંખ્યાઓનો સરવાળો 100 થાય છે.

(iii) બંને વિકર્ણોમાં મૂકેલી સંખ્યાઓનો સરવાળો 100 થાય છે.

(iv) છેડાના  Δનાં નિશાનમાં મૂકેલી સંખ્યાઓનો સરવાળો 100 થાય છે.

આકૃતિ 17

(v)માં પ્રથમ હારનાં વચ્ચેનાં બે ખાનાં અને છેલ્લી હારનાં વચ્ચેનાં બે ખાનાંમાં મૂકેલી સંખ્યાઓનો કુલ સરવાળો 100 થાય છે.

(vi)માં પ્રથમ સ્તંભનાં વચ્ચેનાં બે ખાનાં અને છેલ્લા સ્તંભના વચ્ચેનાં બે ખાનાંમાં મૂકેલી સંખ્યાઓનો કુલ સરવાળો 100

થાય છે.

(vii)માં સમચોરસ આકૃતિની મધ્યમાં બનતા ચોરસમાં ચાર ખાનાંઓમાં મૂકેલી સંખ્યાઓનો કુલ સરવાળો પણ 100 થાય છે.

એ. આર. રાવ

શિવપ્રસાદ મ. જાની