સમૂહો (groups)

સમૂહો (groups) : એક ગણ પર વિશેષ ગુણધર્મોવાળી દ્વિક્ક્રિયા દાખલ કરવાથી મળતું અતિઉપયોગી બીજગાણિતિક માળખું.

ચિત્રકારો, સ્થપતિઓ અને વિશેષ કરીને ભૌતિકશાસ્ત્રીઓ તથા રસાયણશાસ્ત્રીઓ વિવિધ પ્રકારના સમમિત (symmetric) સમૂહો તથા તેમના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ સદીઓથી કરતા હતા, છતાં પણ સમૂહની ગાણિતિક વ્યાખ્યા 1882માં સૌપ્રથમવાર ગણિતશાસ્ત્રીઓ હેનરીચ વેબર (Heinrich Weber) તથા વૉલ્ટર વૉન ડાઇકે (Walter Van Dyck) આપી. આ અગાઉ 1830માં ગણિતશાસ્ત્રી ગાલોઆએ સાંત (finite) ગણ પર વ્યાખ્યાયિત બધા એક-એક અને વ્યાપ્ત વિધેયોના ગણને દ્વિક્ક્રિયા-વિધેયોના સંયોજન તળે મળતી રચના માટે ‘સમૂહ’ શબ્દ યોજ્યો હતો. વીસમી સદીમાં ગણિત ઉપરાંત અન્ય વિવિધ શાખાઓમાં ઉપયોગિતા ઊભી થતાં સમૂહના અભ્યાસનો ઝડપથી વિકાસ થયો.

વ્યાખ્યા : જો આપેલ અરિક્ત (non-empty) ગણ Gમાં વ્યાખ્યાયિત દ્વિક્ક્રિયા (binary operation) * માટે

(G1) સંગઠનનો નિયમ  પ્રત્યેક a, b, c ∈ G માટે a * (b * c) = (a * b) * c

(G2) એકમ-ઘટકનું અસ્તિત્વ  પ્રત્યેક a ∈ G માટે a * e = e * a = a થાય તેવો ઘટક e અસ્તિત્વ ધરાવે છે.

(G3) વ્યસ્ત ઘટકનું અસ્તિત્વ  પ્રત્યેક a ∈ G માટે a * b =

b * a = e થાય તેવો ઘટક b અસ્તિત્વ ધરાવે છે.

(G1), (G2), (G3) પૂર્વધારણાઓનું પાલન થાય તો Gને દ્વિક્ક્રિયા * નીચે ‘સમૂહ’ કહેવામાં આવે છે તથા સંકેત < G; * > થી દર્શાવાય છે. સાથે ગેરસમજ ઊભી ન થાય તો ફક્ત સમૂહ G કહેવામાં આવે છે.

અહીં eને સમૂહનો એકમ ઘટક તથા ઘટક bને ઘટક aનો વ્યસ્ત ઘટક કહેવામાં આવે છે.

‘સમૂહ’નું નીચે પ્રમાણે વિભાગીકરણ કરવામાં આવેલ છે :

(1) જો આપેલ સમૂહ G માટે ગણ Gમાં સાંત ઘટકો હોય તો સમૂહ Gને સાંત સમૂહ કહેવામાં આવે છે. અહીં ગણ Gમાં આવેલ ઘટકોની સંખ્યાને સમૂહની કક્ષા કહેવામાં આવે છે તથા સંકેત O(G)થી દર્શાવાય છે. સાંત ન હોય તેવા સમૂહને અનંત સમૂહ કહેવામાં આવે છે.

(2) જો આપેલ સમૂહ Gમાં પ્રત્યેક a, b ∈ G માટે a * b = b * a થાય તો Gને સમક્રમી (આબેલિયન) સમૂહ કહેવામાં આવે છે.

સમૂહનાં ઉદાહરણો :

(1) પૂર્ણાંક સંખ્યાઓનો ગણ Z, સંમેય સંખ્યાઓનો ગણ Q, વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ R તથા સંકર સંખ્યાઓનો ગણ  પ્રત્યેક  સરવાળાની દ્વિક્ક્રિયા તળે અનંત સમક્રમી સમૂહ બને છે. અહીં e = 0 તથા સંખ્યા aનો વ્યસ્ત ઘટક a મળે છે.

(2) શૂન્યેતર સંમેય (વાસ્તવિક, સંકર) સંખ્યાઓનો ગણ Q0 (R0, C0 અનુક્રમે) ગુણાકારની દ્વિક્ક્રિયા તળે અનંત સમક્રમી સમૂહ બને છે. અહીં e = 1 તથા શૂન્યેતર સંખ્યા aનો વ્યસ્ત ઘટક 1/4 મળે છે.

(3) સમતલમાં આવેલ આકૃતિ F માટે સમતલ પર વ્યાખ્યાયિત વિધેય fના ગુણધર્મો : (i) જો f આકૃતિ Fના પ્રત્યેક બિન્દુનું આકૃતિ Fમાં જ નિરૂપણ કરે તથા (ii) Fનાં કોઈ પણ બે બિન્દુઓ વચ્ચેના અંતરની જાળવણી કરે તો તેને આકૃતિ Fની સમમિતતા (symmetry) કહેવામાં આવે છે. આકૃતિ Fની બધી જ સમમિતતાનો ગણ દ્વિક્ક્રિયા-વિધેયોના સંયોજન-તળે સમૂહ બને છે. આ સમૂહને આકૃતિ F માટે સમમિત (symmetric) સમૂહ કહેવામાં આવે છે.

આકૃતિ 1માં બતાવ્યા પ્રમાણે, આકૃતિ F સમબાજુ ત્રિકોણ લેતાં અનુરૂપ સમમિત સમૂહ Gમાં નીચેના છ ઘટકો f0, f1, f2, f3, f4 તથા f5 મળે છે.

અહીં f ∈ G માટે fની ત્રિકોણનાં શિરોબિન્દુઓ પર થતી અસર જ બતાવવી પૂરતી છે.

f0(1) = 1, f0(2) = 2, f0(3) = 3; f1(1) = 1, f1(2) = 3, f1(3) = 2; f2(1) = 3, f2(2) = 2, f2(3) = 1; f3(1) = 2, f3(2) = 1, f3(3) = 3; f4(1) = 2, f4(2) = 3, f4(3) = 1 તથા f5(1) = 3, f5(2) = 1, f5(3) = 2. અહીં તદેવ-વિધેય f0 એકમ ઘટક બને છે.

વ્યાપક રૂપે, n બાજુવાળા નિયમિત બહુકોણની બધી જ સંમિતતાનો ગણ સંયોજનની દ્વિક્ક્રિયા તળે 2n કક્ષાનો સમૂહ બને છે અને તેને દ્વિતલ સમૂહ કહેવામાં આવે છે.

(4) આપેલ અરિક્ત ગણ S પર વ્યાખ્યાયિત બધા જ એક-એક તથા વ્યાપ્ત વિધેયનો ગણ A(S) દ્વિક્ક્રિયા-વિધેયોના સંયોજન-તળે સમૂહ બને છે. આ સમૂહને ક્રમચય (permutation) સમૂહ કહેવામાં આવે છે. સમૂહ A(S)ના પ્રત્યેક ઘટકને ગણ S પર ક્રમચય કહેવામાં આવે છે; જો ગણ Sમાં ઘટકોની સંખ્યા n હોય તો સમૂહ A(S)ને સંકેત S_nથી દર્શાવાય છે અને O(S_n) = n ! જો ગણ Sમાં 2 કરતાં વધારે ઘટકો હોય તો A(S) અસમક્રમી સમૂહ બને છે. અહીં એકમ ઘટક તદેવ-વિધેય બને છે.

(5) આપેલ પ્રાકૃતિક સંખ્યા n માટે nને સાપેક્ષ પૂર્ણાંક સંખ્યાઓનો ગણ Z_n = {[0], [1], ….., [n-1]}, nને સાપેક્ષ સરવાળાની દ્વિક્ક્રિયા તળે n કક્ષાનો સમક્રમી સમૂહ બને છે. આ સમૂહને સંકેત <Z_n; + n>થી દર્શાવાય છે. અહીં [0] એકમ ઘટક બને છે.

(6) ગણ Z[i] = {a + ib/a, b ∈ G} સરવાળાની દ્વિક્ક્રિયા તળે સમૂહ બને છે. આ સમૂહને ગોસિયન સમૂહ કહેવામાં આવે છે તથા તેના પ્રત્યેક ઘટકને ગોસિયનપૂર્ણાંક કહેવામાં આવે છે. અહીં એકમ ઘટક 0 થશે.

સમૂહો <Zn; + n> તથા <Z[i]; +> સંખ્યાશાસ્ત્રના અભ્યાસમાં ઉપયોગી બને છે.

(7) ‘ક્વોટરનીય સમૂહ’ તરીકે પ્રચલિત આઠ કક્ષાના અસમક્રમી સમૂહ G = {ણ્ 1, ણ્ i, ણ્ j, ણ્ k / i2 = j2 = k2 = 1; ij = ji = k; jk = kj = i; ki =  ik = j}ની રચના ગણિતશાસ્ત્રી હેમિલ્ટને આપી હતી.

(8) સંકર-સંખ્યાઓના ગણ  પર વ્યાખ્યાયિત વિધેય Z ડ્ડ  ad  bc  0ને મોબિયસ રૂપાંતર કહેવામાં આવે છે. દ્વિક્ક્રિયા-વિધેયોના સંયોજન તળે બધાં જ મોબિયસ રૂપાંતરોનો ગણસમૂહ બને છે. આ સમૂહને મોબિયસ રૂપાંતર (transformation) સમૂહ કહેવામાં આવે છે. આ સમૂહ સંકર-સંખ્યાઓના વિશ્લેષણમાં ખૂબ જ ઉપયોગી છે.

(9) જો આપેલ પ્રાકૃતિક સંખ્યા n માટે n ત્ n વાસ્તવિક શ્રેણિકોના ગણને Mn(R)થી તથા A ∈M_n (R) માટે તેના નિશ્ચાયકને સંકેત det Aથી દર્શાવીએ તો શ્રેણિકોના ગુણાકારની દ્વિક્ક્રિયા તળે મળતા સમૂહો

GL(n; R) = {A ∈Mn(R)  det A  0}

SL(n; R) = {A ∈Mn(R)  det A = 1}ને

અનુક્રમે સામાન્ય સુરેખ સમૂહ તથા વિશિષ્ટ સુરેખ સમૂહ કહેવામાં આવે છે. n >, 2 માટે આ બંને સમૂહો અસમક્રમી બને છે. ભૂમિતિ ઉપરાંત ભૌતિકશાસ્ત્ર તેમજ રસાયણશાસ્ત્રના અભ્યાસમાં આ બંને સમૂહો ખૂબ જ ઉપયોગી બને છે.

સમૂહના સરળ ગુણધર્મો : આપેલ સમૂહ Gમાં

(1) એકમ ઘટક અનન્ય હોય છે.

(2) આપેલ ઘટક aનો વ્યસ્ત ઘટક અનન્ય હોય છે તથા તેને સંકેત a1થી દર્શાવાય છે.

(3) પ્રત્યેક a ∈ G માટે (a^-1)^-1 = a

(4) a, b ∈ G માટે (a * b)1 = b1 * a1

(5) લોપકરણનો નિયમ : a, b, c ∈ G માટે a * b = a * c અથવા b * a = c * a પરથી b = c મળે છે.

(6) આપેલ a, b ∈ G માટે સુરેખ સમીકરણો a * x = b તથા y * a = b, Gમાં અનન્ય ઉકેલ ધરાવે છે.

ગુણધર્મ (6) દ્વારા સમૂહની સમકક્ષ વ્યાખ્યા નીચે પ્રમાણે મળે :

જો અરિક્ત ગણ Gમાં વ્યાખ્યાયિત દ્વિક્ક્રિયા * માટે

(i) * સંગઠિત હોય તથા

(ii) પ્રત્યેક a, b ∈ G માટે સુરેખ સમીકરણો a * x = b તથા y * a = bના ઉકેલો Gમાં શક્ય હોય તો G સમૂહ બને છે.

સમૂહ Gમાં સંગઠનના નિયમનો ઉપયોગ કરી Gના ઘટક a માટે તથા પૂર્ણાંક n માટે ઘાત aⁿ ની વ્યાખ્યા આપી શકાય. (સરળતા ખાતર a0 = e લેવામાં આવે છે.) ઘાત ગુણધર્મો : પૂર્ણાંક m, n, ∈ Z માટે am * an = am+n તથા (am)n = amnનું પાલન કરે છે. ઘાતની વ્યાખ્યા પરથી સમૂહના ઘટકની કક્ષાની વ્યાખ્યા નીચે પ્રમાણે મળે :

જો સમૂહ Gમાં આપેલ ઘટક a માટે aⁿ = e થાય તેવો ન્યૂનતમ ધનપૂર્ણાંક અસ્તિત્વ ધરાવે તો તેને ઘટક aની કક્ષા [સંકેત O(a)] કહેવામાં આવે છે. જો આવી પૂર્ણાંક સંખ્યા અસ્તિત્વ ન ધરાવે તો aને અનંત કક્ષાનો ઘટક કહેવામાં આવે છે.

સ્પષ્ટ છે કે પ્રત્યેક સમૂહમાં એકમ ઘટકની કક્ષા 1 થશે. સમૂહ <z4; + 4>માં ઘટક [2]ની કક્ષા 2 તે, જ્યારે ઘટકો [1] તથા [3] બંનેની કક્ષા 4 છે. સમૂહ <2 ; + >માં એકમ ઘટક સિવાય પ્રત્યેક ઘટકની કક્ષા અનંત છે.

ઘટકની કક્ષા માટે અગત્યનાં પરિણામો નીચે પ્રમાણે મળે છે : સમૂહ Gમાં

(i) a ∈ G માટે O (a) = O(a^-1)

(ii) જો G સાંત સમૂહ હોય તો પ્રત્યેક ઘટકની કક્ષા સાંત થશે તથા a ∈ G માટે O(a) < O(G).

સાંત સમૂહનું કોષ્ટક : જો સાંત સમૂહ G માટે G = {a₁ = e, a₂, …., a_n} હોય તો નીચે આકૃતિ 2માં બતાવ્યા પ્રમાણે n હાર તથા n સ્તંભવાળા કોષ્ટકની મદદથી સમૂહનું નિરૂપણ કરી શકાય. અહીં iમી હારમાં આવેલ ઘટક ai તથા jમાં સ્તંભમાં આવેલ ઘટક a_jના છેદનથી મળતા ખાનામાં દ્વિક્ક્રિયા * તળે મળતી a_j * a_iની કિંમત મૂકવામાં આવે છે.

આકૃતિ 3 તથા આકૃતિ 4માં અનુક્રમે સમૂહ <z₄; +₄> તથા સમબાજુ ત્રિકોણના સમમિત સમૂહ G = {f0, f1, f2, f3, f4, f5; 0}નું કોષ્ટક દ્વારા નિરૂપણ કરવામાં આવેલ છે.

આપેલ સમૂહના વિશિષ્ટ ઉપગણ લેતાં ઉપસમૂહની વ્યાખ્યા મળે છે. વ્યાખ્યા : જો આપેલ સમૂહ <G; * >નો અરિક્ત ઉપગણ H દ્વિક્ક્રિયા * તળે પોતે સમૂહ બને તો Hને Gનો ઉપસમૂહ કહેવામાં આવે છે.

આપેલ સમૂહ G માટે H = {e} તથા H = G હંમેશાં ઉપસમૂહ (અનુચિત) બને છે.

સમૂહ <G : * >નો અરિક્ત ઉપગણ H ઉપસમૂહ બને તે માટેની જરૂરી અને પર્યાપ્ત શરત : a, b ∈ H માટે (i) a * b ∈ H તથા (ii) a ∈H માટે a1 ∈ H  મળે છે. શરત (i)ને સંવૃતતાની શરત કહેવામાં આવે છે. સાંત સમૂહ G માટે અરિક્ત ઉપગણ H ઉપસમૂહ થવા ફક્ત સંવૃતતાની શરત  જરૂરી અને પર્યાપ્ત બને છે.

ઉપસમૂહ(subgroup)નાં ઉદાહરણો :

(1) <z; +>, સમૂહ <Q; +> (તેમજ સમૂહ <R; +> તથા <; + >નો ઉચિત ઉપસમૂહ બને છે.

(2) ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ, સમૂહ <R₀; x>નો ઉચિત ઉપસમૂહ બને છે.

(3) સમબાજુ ત્રિકોણની સમમિતતાના સમૂહ G = {f0, f1, f2, f3, f4, f5; 0} માટે H1 = {f0, f1}, H2 = {f0, f2}, H3 = {f0, f3} તથા H4 = {f0, f4, f5} ઉચિત ઉપસમૂહ બને છે.

(4) આપેલ સમૂહ <G; *>માં a ∈ G માટે ગણ N(a) = {x ∈ G/a * x = x * a} તથા ગણ Z(G) = {x ∈G / પ્રત્યેક y ∈ G માટે x * y = y * x}, Gના ઉપસમૂહો બને છે. ઉપસમૂહ N(a)ને ઘટક aનો નિયતકાર (Normaliser) જ્યારે ઉપસમૂહ Z(G)ને સમૂહનું કેન્દ્ર (Centre) કહેવામાં આવે છે. સમૂહશાસ્ત્રના અભ્યાસમાં આ બંને ઉપસમૂહો ખૂબ જ ઉપયોગી છે.

(5) આપેલ સમૂહ Gના ઘટક a માટે H = {aⁿ / n ∈Z}, Gનો ઉપસમૂહ બને છે અને તેને aથી સર્જિત ચક્રીય ઉપસમૂહ (સંકેત <a>) કહેવામાં આવે છે.

જો આપેલ સમૂહ G માટે Gનો કોઈક ઘટક a મળે જેથી G = {aⁿ/n ∈Z} = <a> થાય તો Gને ચક્રીય સમૂહ કહેવામાં આવે છે તથા ઘટક aને ચક્રીય સમૂહનો સર્જક કહેવામાં આવે છે. પ્રાકૃતિક સંખ્યા n માટે સર્જક [1] સાથે સમૂહ <zⁿ; +n> ચક્રીય સમૂહ બને છે, જ્યારે ચક્રીય સમૂહ <z; +> ને બે સર્જકો +1 તથા 1 છે. પ્રત્યેક સાંત સમૂહને કેટલાક ચક્રીય ઉપસમૂહોના ગુણાકાર રૂપે વ્યક્ત કરી શકાય છે.

સમૂહના બંધારણની દૃષ્ટિએ બધા સમૂહોમાં ચક્રીય સમૂહો સરળતમ છે તથા સમૂહશાસ્ત્રના કેટલાક મુશ્કેલ પ્રશ્નોના જવાબ ચક્રીય સમૂહો માટે સરળતાથી મળે છે. ચક્રીય સમૂહ હંમેશાં સમક્રમી હોય છે. આપેલ ચક્રીય સમૂહનો કોઈ પણ ઉપસમૂહ પણ ચક્રીય હોવાથી ચક્રીય સમૂહના બધા જ ઉપસમૂહો ખૂબ જ સરળતાથી મેળવી શકાય છે તેમજ ચક્રીય સમૂહના સર્જકોની સંખ્યા પણ મેળવી શકાય છે. વળી બંધારણની દૃષ્ટિએ n કક્ષાનો કોઈ પણ ચક્રીય સમૂહ, સમૂહ <z_n; + n>ને તથા અનંત ચક્રીય સમૂહ, સમૂહ <z; +>ને સામ્ય હોય છે.

આપેલ સાંત સમૂહના બધા જ ઉપસમૂહોનું સંબંધ ‘ઉપગણ’નો ઉપયોગ કરી લેટિસ આકૃતિ દ્વારા સરળતાથી નિરૂપણ કરી શકાય. આકૃતિ 5 તથા આકૃતિ 6માં અનુક્રમે સમૂહ <z4; +4> તથા સમબાજુ ત્રિકોણની સંમિતતાના સમૂહ G = <f0, f1, f2, f3, f4, f5; 0>ના ઉપસમૂહોનું લેટિસ આકૃતિ દ્વારા નિરૂપણ કરવામાં આવેલ છે.

આપેલ સમૂહ <G;*>ના ઉપસમૂહ H તથા ઘટક a માટે ગણ Ha = {h*a/h ∈H}ને Hનો Gમાં a પરત્વે દક્ષિણ સહગણ કહેવામાં આવે છે. (આ જ પ્રમાણે વામ સહગણની વ્યાખ્યા આપી શકાય.) સમૂહ <z; +>માં ઉપસમૂહ H = {0, ણ્ 5, ણ્ 10, ણ્ 15, ……} તથા a = 4 માટે દક્ષિણ સહગણ H4 = {…….,11, 6, 1, 4, 9, 14, …….} તથા વામ સહગણ 4H = H4 સમબાજુ ત્રિકોણની સંમિતતાના સમૂહ G = <f0, f1, f2, f3, f4, f5; 0>, ઉપસમૂહ H = {f0, f1} તથા a = f4 માટે દક્ષિણ સહગણ Hf4 = {f0 O f4, f1 O f4} = {f4, f2} તથા વામ સહગણ f4 H = {f4 o f0, f4 o f1} = {f4, f3}.

આપેલ સમૂહ Gના ઉપસમૂહ H માટે પરિણામો : (i) Hના Gમાં કોઈ પણ બે દક્ષિણ સહગણો કાં તો સમાન ગણો અથવા અલગ ગણો બને છે અને (ii) Gમાં Hના બધા જ દક્ષિણ સહગણો Gનું વિભાજન આપે છે.

સમૂહશાસ્ત્રમાં સાંત સમૂહ માટે લાગ્રાંજનું પ્રમેય ખૂબ જ રસપ્રદ તથા ઉપયોગી છે.

લાગ્રાંજનું પ્રમેય : સાંત સમૂહ Gના ઉપસમૂહ H માટે O(H) તે O(G)નો અવયવ થાય છે.

સમૂહ Gમાં આપેલ ઉપસમૂહ Hના ભિન્ન દક્ષિણ સહગણોની સંખ્યાને Hનો Gમાં ઘાતાંક કહેવામાં આવે છે તથા તેને સંકેત i_G(H)થી દર્શાવવામાં આવે છે. સમૂહ <z; +>માં ઉપસમૂહ H = {0, ણ્5, ણ્10, ણ્15, ……}નો ઘાતાંક 5 છે જ્યારે સમબાજુ ત્રિકોણની સંમિતતાના સમૂહ Gમાં ઉપસમૂહ H = {f0, f1}નો ઘાતાંક 3 છે. લાગ્રાંજના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતાં સાંત સમૂહ Gમાં ઉપસમૂહ Hનો ઘાતાંક  બને છે.

લાગ્રાંજના પ્રમેયની મદદથી પરિણામો : (1) સાંત સમૂહ Gમાં પ્રત્યેક a ∈ G માટે aO(G) = e અને (2) અવિભાજ્ય કક્ષાનો સમૂહ હંમેશાં ચક્રીય સમૂહ બને છે એમ તારવી શકાય.

બહુપદીઓના બીજોના અભ્યાસમાં ગણિતજ્ઞ ગાલુવાએ સમૂહ Gના પ્રત્યેક ઘટક a માટે દક્ષિણ સહગણ Ha તથા વામ સહગણ aH સમાન બને તેવા ઉપસમૂહ Hની અગત્ય પિછાણી અને આવા ઉપસમૂહને નિયત ઉપસમૂહ નામ આપ્યું. સમક્રમી સમૂહમાં પ્રત્યેક ઉપસમૂહ નિયત ઉપસમૂહ છે તેમજ આપેલ સમૂહ Gનું કેન્દ્ર Z(G) પણ નિયત ઉપસમૂહ બને છે. સમબાજુ ત્રિકોણની સંમિતતાના સમૂહ Gમાં ફક્ત એક નિયત ઉપસમૂહ H = {f0, f4, f5} મળે છે. આપેલ સમૂહ Gના નિયત ઉપસમૂહ H માટે બધા જ દક્ષિણ સહગણોનો ગણ G /H = {Ha /a ∈G} ગણ ગુણાકારની દ્વિક્ક્રિયા  (Ha) (Hb) = Hab – તળે સમૂહ બને છે અને તેને અવયવ સમૂહ કહેવામાં આવે છે.

ક્રમચય સમૂહ <S_n; 0>ના અભ્યાસમાં ફેરબદલી તથા ચક્ર અગત્યનો ભાગ ભજવે છે, અહીં ગણ Sના ઘટકોનું મહત્ત્વ ન હોવાથી S = {1, 2, …, n} લઈ શકાય.

(i) ગણ Sના કોઈ પણ બે ભિન્ન ઘટકો p તથા q માટે f ∈ Sn જ્યાં f(p) = q, f(q) = p તથા f(m) = m, m દ p, qને ફેરબદલી કહેવામાં આવે છે તથા સંકેત f = (p, q)થી દર્શાવાય છે.

(ii) Sના કોઈ પણ k ભિન્ન ઘટકો p₁, p₂, …., pk માટે g ∈ Sn જ્યાં g(p1) = p2, g(p2) = p3, ….., g(pk1) = pk, g(pk) = p1 તથા g(m) = m, m દ p₁, p₂, ……, pk – ને k લંબાઈનું ચક્ર કહેવામાં આવે છે તથા સંકેત g = (p1, p2, ….., pk)થી દર્શાવાય છે. k લંબાઈના ચક્રની કક્ષા પણ k હોય છે.

ક્રમચય સમૂહ <Sn; 0>ના અભ્યાસમાં નીચેનાં બે પરિણામો ખૂબ જ રસપ્રદ છે :

(1) પ્રત્યેક ક્રમચય f ∈Snને પરસ્પર અલગ ચક્રોના સંયોજન તરીકે દર્શાવી શકાય છે.

(2) પ્રત્યેક ક્રમચય f ∈ Snને ફેરબદલીઓના સંયોજન તરીકે દર્શાવી શકાય છે.

જો આપેલ ક્રમચય f ∈ Snનું ફેરબદલીઓના સંયોજનથી મળતાં કોઈ એક નિરૂપણમાં ફેરબદલીઓની સંખ્યા યુગ્મ (અયુગ્મ) હોય તો fને યુગ્મ (અયુગ્મ) ક્રમચય કહેવામાં આવે છે. n >, 2 માટે સમૂહ <Sn; 0>માં બધી જ યુગ્મ ફેરબદલીઓનો ગણ An,   કક્ષાનો નિયત ઉપસમૂહ બને છે.

નિયત ઉપસમૂહના ખ્યાલ પરથી ગણિતજ્ઞ ગાલુવાએ સરળ સમૂહની વ્યાખ્યા  જો આપેલ સમૂહ Gને ઉચિત નિયત ઉપસમૂહ ન હોય તો તેને સરળ સમૂહ કહેવાય  તેમ આપી. અવિભાજ્ય કક્ષાનું ચક્રીય સમૂહ તથા n > 5 માટે સમૂહ An સરળ સમૂહ બને છે.

આપેલ n સમૂહો <G1; *>, <G2; 0>, ……, <Gn; 0> માટે ગણ G = G1 ત્ G2 ત્ ….. ત્ Gn, દ્વિક્ક્રિયા; જ્યાં x = (a1, a2, ….., an) તથા y = (b1, b2, ….., bn) ∈ G માટે

x ્ર y = (a1 * b1, a2 O b2, ……, an D bn) તળે સમૂહ બને છે અને તેને આપેલ n સમૂહોનો (બાહ્ય) ગુણાકાર સમૂહ કહેવામાં આવે છે.

નીચેના પરિણામને સાંત સમક્રમી સમૂહ માટેના મૂળભૂત પ્રમેય તરીકે ગણવામાં આવે છે.

પ્રત્યેક સાંત સમક્રમી સમૂહને અવિભાજ્ય સંખ્યાની ઘાતના કક્ષાવાળા ચક્રીય સમૂહોના (બાહ્ય) ગુણાકાર તરીકે દર્શાવી શકાય. ઉપરાંત જો ચક્રીય સમૂહોના ક્રમને અવગણવામાં આવે તો આ નિરૂપણ અનન્ય હોય છે.

લાગ્રાંજના પ્રમેયના પ્રતિપ્રમેયના સ્વરૂપમાં ગણિતજ્ઞ લુડવિગ સિલૉવે (Ludwig Sylow) નીચેનું પરિણામ મેળવ્યું :

સિલૉવનું પ્રમેય : સાંત સમૂહ Gમાં જો અવિભાજ્ય સંખ્યા p તથા પ્રાકૃતિક સંખ્યા k માટે p^k, O (G)નો અવયવ હોય તો Gમાં p^k કક્ષાનો ઉપસમૂહ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.

pસિલૉવ ઉપસમૂહની વ્યાખ્યા – જો સાંત સમૂહ Gમાં અવિભાજ્ય સંખ્યા p તથા પ્રાકૃતિક સંખ્યા k માટે, pk, O(G)નો અવયવ હોય પરંતુ pk+1, O(G)નો અવયવ ન હોય તો સમૂહ Gના pk કક્ષાના કોઈ પણ ઉપસમૂહને Gનો pસિલૉવ ઉપસમૂહ કહેવામાં આવે છે  લેતાં સિલૉવના પ્રથમ પ્રમેય પરથી નીચેનું પરિણામ તારવી શકાય :

સાંત સમૂહ Gમાં તેની કક્ષા O(G)ના પ્રત્યેક અવિભાજ્ય અવયવ p માટે p-સિલૉવ ઉપસમૂહ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.

અરૂપ બીજગણિતમાં સમૂહ સૌથી સરળ બૈજિક રચના છે. સમૂહના ખ્યાલને વધુ વ્યાપક બનાવી અર્ધસમૂહનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે. (જો અરિક્ત ગણ Gમાં વ્યાખ્યાયિત દ્વિક્ક્રિયા સંગઠનના નિયમનું પાલન કરે તો તેને અર્ધસમૂહ કહેવામાં આવે છે.)

ગણિતીય વિશ્લેષણ, સંખ્યાશાસ્ત્ર, સાપેક્ષવાદ જેવી ગણિતની વિવિધ શાખાઓ ઉપરાંત આંકડાશાસ્ત્ર, ભૌતિકશાસ્ત્ર, રસાયણશાસ્ત્ર, (અણુઓના બંધારણનો અભ્યાસ સમમિત સમૂહો વિના સંભવી શકે નહિ.) સ્ફટિકશાસ્ત્ર, કમ્પ્યૂટરશાસ્ત્ર, જનનશાસ્ત્ર, અર્થશાસ્ત્રમાં સમૂહશાસ્ત્રનાં પરિણામોનો ઉપયોગ વિપુલ પ્રમાણમાં થાય છે.

આઈ. એચ. શેઠ